Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Проблема формирования мировоззрения учащихся при обучении математике: состояние, поиск подхода к исследованию.. 30
1.1 Актуальность и понимание проблемы исследования в современных условиях 31
1.2, Из истории развития представлений о мировоззрении учащихся и процессе его формирования (Анализ подходов к исследованию проблемы) 52
1.2.1. Математико-философские исследования 54
1.2.2. Психолого-педагогические и методические исследования. 82
1.3, Выводы по первой главе 121
Глава II. Концепция мировоззренчески направленного математического образования в современной школе 128
2.1. Теоретические предпосылки построения концепции МНОМ.. 129
2.1.1. О постулатах и принципах построения концепции 129
2.1.2. Основные понятия и постулаты концепции МНОМ 146
2.2. Состав и содержание методической системы МНОМ 177
2.2.1. Содержание математического образования 179
2.2.2. Модель результата (микроцель) как компонент системы 185
2.2.3. Коллективный субъект образовательного процесса, учебный материал и результат обучения в методической системе.. 190
2.3. Методическая система в рамках целостного акта tf логика мировоззренчески направленного обучения математике 205
2.4. Срез динамической модели математического мировоззрения учащихся и мировоззренческий потенциал МНОМ 220
2.3. Выводы по II главе 229
Глава III. Методические средства и формы учебной деятельно сти и коммуникации в опыте реализации МНОМ 232
3.1. Психолого-педагогические барьеры в обучении математике . 235
3.2. Типы учебных мировоззренческих ситуаций 258
3.3. Мировоззренческие ситуации на уроках математики 283
3.4. Опыт формирования элементов математического реализма 305
3.5. Учимся элементам диалектики 326
3.6. Структурирование учебного материала в опыте МНОМ 347
Заключение 368
Терминологический словарь 377
Список литературных источников 389
Приложения 1 -3 420
- Актуальность и понимание проблемы исследования в современных условиях
- Теоретические предпосылки построения концепции МНОМ..
- Психолого-педагогические барьеры в обучении математике
Введение к работе
Актуальность исследования. В докладе Международной комиссии по образованию для XXI в., представленном ЮНЕСКО, рассмотрены четыре основополагающих принципа образования: "научиться жить вместе; научиться приобретать знания; научиться работать; научиться жить"'. С развиваемых в данном исследовании позиций, отмеченные четыре принципа представляют собой мировоззренческие установки, которые должны определить развитие образовательной системы на многие годы вперед. Сказанное имеет самое непосредственное отношение и к постановке отечественного образования на грани двух веков и тысячелетий. Ведущие отечественные специалисты в сфере образования (B.C. Леднев, Ю.И. Дик, А.В. Хуторской) следующим образом видят ее ближайшие перспективы:
"Школа XXI века потребует радикальных изменений, позволяющих учащимся адаптироваться к условиям быстро меняющегося мира, творчески реализовывать себя в личной и семейной жизни, в будущей профессиональной деятельности... Всестороннее развитие человека является глобальной целью образования...
Решение данной проблемы видится нами в переходе от образования как "передачи ученику знаний" к продуктивному образованию, когда приращение знаний ученика происходит в процессе создания им собственных образовательных продуктов - гипотез, исследований, сочинений, правил..."/529, с. 3/.
В приведенной цитате фактически намечается путь перехода всей образовательной системы России с позиций "технократического мировоззрения" (В .П. Зинченко), обращенного в проишое и господствовавшего в XX веке не только в отечественном образовании, на позиции миро-
Комментарий к Закону Российской Федерации "ОБ ОБРАЗОВАНИИ" М.: Юристь, 1998.
воззрения будущего - в своей основе гуманистического, а точнее, по словам известного российского философа А.Д. Урсула, "ноогуманистиче-ского". Характерной особенностью такого мировоззрения является установка: "Человек должен перестать мыслить себя и преобразователем природы (мировоззренческая установка западной цивилизации), и ее рабом (основа восточного миропонимания) и занять адекватное место в мироздании, способствуя своему собственному выживанию и сохранению природы",., в целом - "устойчивому развитию" социума в будущее при опережающем, ноосферном характере систем образования /454, с. 392, 397/.
В приведенных цитатах, на наиі взгляд, нашли отражение как зарождающиеся в обществе потребности в новом образовании, личностно ориентированном и обращенном в будущее через формирование гуманистических ценностей и качеств учащейся молодежи, так и результаты осознания негативных последствий все еще распространенного стиля обучения, в том числе и обучения математике. Последнее косвенно подтверждается тем, "что, по данным международных исследований, наша страна сдает передовые позиции в области школьного образования. Если, по данным второго международного исследования знаний учащихся по математике и естественным наукам 1990-91 года, наши школьники по качеству знаний занимали 4-5-е места, то по результатам третьего международного исследования мы оказались на 16-м месте. Мы почти потеряли преимущество, которым законно гордились многие годы...
Проблемы школьного воспитания не просто отошли на второй план, а стали исчезать из поля зрения педагогов вместе с ранее существующей системой коммунистического воспитания. Отсутствие общенационального согласия по вопросу о базовых ценностях крайне отрицательно сказывается на морально-нравственном здоровье молодежи" /529, с. 8, 9/.
Видимо, не случайно всё большее число отечественных и зарубежных ученых и педагогов-практиков дальнейшее совершенствование образования всё чаще связывают не только с использованием новых лед-технологий, но, прежде всего, с изменением его общей иаправлетюсти на приобретение учащимися Культуры, в которой справедливо видят действенную основу нравственности, мировоззренчески ориентированных знаний и убеждений, личности. Именно с культурологических позиций можно увидеть новые пути решения давней для отечественной школы проблемы формирования мировоззрения подрастающего поколения, в том числе и при обучении математике,. В условиях современной России выбранная тема исследования не только не потеряла своей значимости, но приобрела новый смысл, а ее разработка стала еще более необходимой.
Данная тема становится особо актуальной в связи с наметившейся и все более укрепляющей свои позиции гуманитаризацией математического образования (Т.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, А.Г. Мордкович, Т.А. Иванова и др.), поскольку в ее основе лежит забота о личности ученика, а, следовательно, и о его мировоззрении. Мировоззрение в этом случае мыслится как базовое качество личности, лежащее в основе, в том числе, и ее отношения к процессу учения, и приобретаемых ею предметных знаний и умений. С этих позиций требует переосмысления и последующей теоретической и практической доработки ряд взаимосвязанных проблем: направленности, содержания, технологии обучения и т.д. Все сказанное относится к изначально сложной и комплексной проблеме оказания разумной помощи формирующемуся мировоззрению школьников средствами обучения математике.
Проблема исследования. В диссертации обосновано, что в целом актуальность выбранной темы и проблемы данного исследования определяется противоречием между:
с одной стороны, сформировавшимся в современной науке (философии, психологии, культурологии, методике) пониманием необходимости оказания целенаправленной помощи растущему человеку в формировании персонального личностно-социокультурного, в своей основе нравственного мировоззрения как целостного качества его личности и осознанием позитивного воздействия, которое сможет оказать в достижении этой цели соответствующим образом организованный процесс овладения учащимся математической культурой,
с другой - несоответствием этой цели традиционно ориентированного обучения математике, по-прежнему ограничивающегося лишь передачей учащимся готовых (а, значит, обращенных в прошлое) математических знаний, умений и навыков и отодвигающего на второй план решение задач формирования у них способов и средств математического познания и видения мира, соответствующих мотивов, творческих процедур и других мировоззренческих ориентиров и качеств, укоренившихся в математической культуре.
Свой немалый вклад в разрешение указанного противоречия и в разработку проблемы развития личности и ее мировоззрения средствами обучения математике в свое время внесли и продолжают вносить отечественные ученые. Особое внимание при этом уделялось исследованию и раскрытию роли обучения математике в формировании и развитии различных, мировоззренчески значимых сторон личности учащихся: их мышления, логической культуры, культуры математического языка и речи, научного мировоззрения, отдельных групп общеучебных умений и др. Представления об этой роли и рекомендации практическим работникам по ее усилению неоднократно излагали в своих работах АД. Александров, В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Е.Г. Глаголева, Г.Д. Глейзер, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Н.Б. Истомина, А.Н, Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, А.И. Маркушевич, В.М. Монахов, К.И.
Нешков, И.Л. Никольская, В.Л. Матросов, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, АА, Столяр, Н.А. Терешин, Л.М. Фридман, А.Я. Хинчин, Р.С. Черкасов, СИ. Шварцбурд и др. Их работы способствовали и продолжают способствовать теоретическому осмыслению проблем личностного развития учащихся при обучении математике, гуманитаризации математического образования с целью повышения качества математической подготовки российских школьников.
Вместе с тем нельзя не отметить, что, не смотря на усилия многих ученых, проблема в целом остается нерешенной. И прежде всего - из-за недостаточной разработанности ее научных основу учитывающих и активно использующих наработки философии, методологии и истории математики (А.Г. Барабашев, Н.Н. Моисеев, О.Ф. Теребилов, Е.Л. Фейн-берг и др.), психологии математического познания и математической культуры (Ж. Адамар, Д. Пойа, В.А. Крутецкий, П.Г, Кузнецов, В.В. Налимов и др.), системного подхода к исследованию сложных объектов и т.п. Все эти характерные стороны широкой проблемы, как и составляющие ее выше указанные подпроблемы, уже не могут быть раскрыты лишь на интуитивной основе. Отсюда вытекает необходимость построения и обоснования целостной теоретико-методической концепции решения соответствующей проблемы, что свидетельствует об актуальности нашего исследования. В то же время, понимание проблемы в современных условиях, а, значит, и уточнение актуальности темы требуют специального рассмотрения и становятся важной задачей самого исследования.
В работе подробно рассмотрены группы факторов, создающих основания для ослабления действия указанного противоречия за счет иного понимания проблемы в условиях современной российской школы, выявления и использования комплекса соответствующих мер ее решения,
что позволяет признать тему данного исследования высокоактуальной. К таким факторам относятся:
^переориентация всего образования в стране на личность и понимание образования как целостного процесса обучения-развития-воспитания на основе культуросообразной деятельности;
понимание ведущей роли мировоззрения как механизма обобщенной индивидуально-социальной ориентировки человека к изменяющейся действительности, развития себя как нравственной личности и преобразователя мира в направлении Добра, Красоты и Истины;
современное понимание математики как науки "о количественно и пространственно-подобных формах и отношениях" (А.Д. Александров), и - более общо - как грани культуры, предметом которой являются системные средства познания и идеального преобразования человеком окруоюающей действительности, структурного видения мира и способы оперирования с ними (глава I, с. 79). Это, в свою очередь, определяет особый статус математики в ряду современных наук и существенно повышает ее влияние на развитие мировоззренческих ориентиров и качеств современного человека, согласующихся с особенностями предмета математики; Такие ориентиры и качества, отнесенные к индивиду, названы в работе математика-мировоззренческими, а возможности образовательной области "математика" по их формированию - математика-мировоззренческим потенциалом обучения предмету в школе;
наметившиеся в современной школе и все более укрепляющие свои позиции тенденции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Т.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.Г. Морд-кович, Ф.Т. Михайлов, И.П. Смирнова, Р.С. Черкасов, Т.А. Иванова, М, Белл, X. Фройденталь и др.). Они напрямую связаны с математическим мировоззрением учащейся молодежи, которое, при его сформированно-сти, способствует правильной ориентировке человека в мире, его стрем-
лению к истине и красоте, овладению им началами математической культуры, основами профессии, способами познания и разумного преобразования мира и себя в нем;
5) необходимость такого математического образования, которое
бы предусматривало приобретение учащимися устойчивых мотивов,
способов и средств математического познания и коммуникации, пред
метных знаний, процедур творческой деятельности как их математико-
мировоззренческих ориентиров и качеств, личностно значимых и опре
деляющих различные стороны их математического мировоззрения, в
целом - их математико-мировоззренческий потенциал.
Среди ориентиров и качеств, составляющих математико-мировоззренческий потенциал образовательной области "Математика", который может стать потенциалом учащегося, особенно полезными для современного человека, а тем более профессионала оказываются: понимание мира и его отдельных частей как целостностей, в основе "устройства" которых лежат взаимоувязанность частей, упорядоченность, красота и гармония; созданные человеком математические модели, рассматриваемые как системные средства познания мира вещей и идей и помогающие ему овладевать профессией; зафиксированные в математической культуре рациональные способы и средства познавательно-преобразующей, языковой и профессиональной деятельности (различные коды записи информации, идеализация, абстрагирование, аналогия, структурирование и др.); некоторые процедуры творчества, рефлексии и понимания (обнаружение проблем, составление и решение задач ) и др.;
6) потребность в комплексной разработке теоретических основ и
методического обеспечения рациональной интеграции двух процессов и
наличие для этого в науке соответствующей базы. Первый из этих про
цессов - привитие учащимся школы начал математической культуры, в
том числе и как основы овладения ими профессией. Второй - формиро-
вание необходимого и полезного учащимся математико-мировоззренческого потенциала. Предполагается, что интеграция должна осуществляться с целью дальнейшего совершенствования результатов обоих процессов в условиях современной школы, в то время как они до сих пор воспринимаются в лучшем случае как рядоположенные, а учителями школ и преподавателями реализуются раздельно.
Такое понимание актуальности выбранной темы и проблемы позволило наметить отправную позицию данного исследования:
математика, рассматриваемая как своеобразная грань человеческое культуры (а не только науки), накопила и содержит в себе мировоззренческие ценности, ориентиры, способы и средства познавательной деятельности, оправдавшие себя за тысячелетия существования человечества. Немалый мировоззренческий потенциал накоплен и в опыте обучения математике (прежде всего, отечественном) как школьной и вузовской дисциплине. Это позволяет надеяться, что обучение математике, организованное как присвоение учащимися полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств, то есть как мировоззренчески направленное обучение предмету, суи^ественно поможет решению указанной проблемы и будет соответствовать духу зародившейся и на наших глазах окрепшей тенденции гуманитаризации математического образования.
Проблема данной работы состояла в том, чтобы с позиций современной науки исследовать и разработать научные основания (подходы, сущность, принципы, условия осуществления и содержание) создания целостной концепции мировоззренчески направленного обучения математике как одного из целесообразных и возможных путей и комплексных методических средств совершенствования общего математического образования учащихся современной школы и формирования отдельных сторон их мировоззрения.
Цель исследования состояла в разработке научно обоснованной концепции {теоретических основ и методического обеспечения) мировоззренчески направленного обучения математике в современной общеобразовательной и профессиональной школе. Разработка соответствующей теории может существенно изменить сложившиеся представления о закономерностях развития мировоззрения человека, о путях и способах формирования его отдельных сторон средствами обучения различным школьным дисциплинам, открыть новые направления прикладных исследований в методике.
В качестве объекта данного исследования определен процесс математического образования, рассматриваемый в контексте современной науки и сформулированной проблемы как единство обучения-развития-воспитания и как специфическая часть (грань) культуры общества.
Предметом исследования является мировоззренчески направленное обучение математике (как оказание учащимся целенаправленной помощи в формировании полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств) и методическое обеспечение такого процесса - соответствующая ему методическая система.
В диссертации обсуждаются состояние указанной проблемы и перспективы одного из ее возможных решений с опорой на сформулированную отправную позицию, при этом главное внимание уделяется разработке ее теоретических основ. В ней представлено авторское решетше проблемы в виде концепции мировоззренчески направленного обучения математике (МНОМ), включающей методическую систему (МС МНОМ), обеспечивающую достижение планируемых результатов этого процесса.
Гипотеза исследования. В основу решения проблемы было положено следующее предположение: обучение математике в современной школе необходимо и при определенных условиях возможно осуществить
как целостный мировоззренчески направленный процесс, являющийся рациональной интеграцией двух других процессов. Первый из них - организованное учителем приобретение учащимися современной школы начал математической культуры,, в том числе и как основы овладения ими профессией. Второй - формирование математико-мировоззренческого потенциала учащихся как совокупности им необходимых и полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств. В сравнении с первым, второй из диалектически соединяемых в рамках МНОМ процессов (вместе с его целями) должен быть объемлющим и ведущим. В этом случае учебная математическая деятельность учащихся может быть осуществлена в логике математического познания и развития их математической культуры. Тогда у учащегося будет формироваться мировоззренческий фундамент их математических знаний в виде совокупности мировоззренческих ориентиров и качеств (отдельные способы и средства математического познания, элементы математического реализма и диалектического мышления, математико-мировоззренческие умения и др.), согласующихся с особенностями предмета математики и личностными характеристиками учащегося. Такие ориентиры и качества помогут ему в самостоятельном овладении математической культурой на уровне его возможностей (но не ниже уровня Госстандарта), окажутся полезными для него в повседневной жизни или профессиональной деятельности и составят различные стороны его математического мировоззрения. Основанием такой гипотезы явилось осознание того, что традиционное обучение математике, главенствующей целью которого было и остается научение учащихся только готовым математическим фактам и формирование на их основе предметных умений и навыков, не может содействовать развитию и воспитанию личности. Узкая цель влечет за собой малые результаты и, кроме того, такие знания в своей основе являются лишь информационной оболочкой знаний и не содержат в себе
источников их порождения, которые являются ростками будущего. В то же время, в соответствии с высказанной выше отправной позицией, горизонты и возможност?/ математического образования могут быть значительно расширены. Для этого должны быть созданы соответствующие условия и, прежде всего, разработаны и систематически использованы в обучении методические средства, соответствующие расширенной цели.
Проблема, цель, объект, предмет и гипотеза определили основные группы задач исследования:
Опираясь на данные философии, математики, истории развития науки и математической культуры, на результаты изучения известных психолого-педагогических и методических описаний мировоззрения, опыта его формирования у растущего человека, обосновать актуальность и специфику проблемы исследования в современных условиях постановки образования в России; выявить основные факторы, условия, психолого-педагогические и методические средства, способствующие формированию мировоззрения учащихся при обучении математике, определить подход и теоретические основания построения целостной концепции мировоззренчески направленного обучения математике в общеобразовательной и профессиональной школе;
Построить теоретическую модель мировоззрения растущего человека, в том числе математического, которая согласуется с современными данными различных наук о его личности и мировоззрении (А.Г. Асмолов, Г.Е. Залесский, П.В. Симонов, Н.И. Рейнвальд, А.А. Касьян и др.), отражает закономерности, этапы и уровни становления и развития мировоззрения, может быть положена в основу методики. Определить роль в этих процессах и возможности влияния на них математической культуры, ее предмета и соответствующим образом организованного
математического образования с целью формирования различных сторон математического мировоззрения учащихся;
Разработать концепцию мировоззренчески направленного обучения математике как одного из возможных путей и комплексных средств совершенствования математического образования учащихся школ различного типа и формирования полезных для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств. Разработать содержательную модель методической системы мировоззренчески направленного обучения математике {МС МНОМ) как совокупность взаимосвязанных и взаимообусловленных компонентов, отражающих социальные потребности, заказ общества современной школе и раскрывающих управляющую функцию МС в осуществлении целостных актов мировоззренчески направленной учебной математической деятельности;
На опыте работы учителей математики, преподавателей педагогических вузов и на собственном опыте работы в качестве учителя математики в школах различного типа и преподавателя математических и методических дисциплин в педагогическом вузе проверить принципиальную реализуемость в практике работы общеобразовательной и профессиональной школы основных положений разработанной концепции, касающихся разработанных условий, средств и методов обучения, содержания учебного материала и др. Опираясь на результаты исследования, разработать научно-практические рекомендации для учителей и методистов по совершенствованию математического образования в современной школе в условиях МНОМ, выявить методические проблемы, в основу решения которых может быть положена концепция МНОМ и результаты данного исследования.
Методологическую основу исследования составили: - известные общенаучные подходы: деятельностный, системный, культурологический, примененные в их различных модификациях,
диалектических сочетаниях и во взаимной дополнительности, конкретизированные в соответствии с предметом и проблемой исследования и составившие единый; комплексный подход как основу всей работы;
- концепции, подходы, отдельные результаты исследований, полученные в трудах отечественных и зарубежных ученых в философии, психологии, общей и профессиональной педагогике, в математике и истории развития математической культуры, в методике преподавания математики, а также отдельные идеи и методические приемы, средства воспитания и развития различных сторон личности учащихся, включая мировоззренческие, наработанные и используемые в практике обучения, в том числе и математике.
Еще одним основанием и источником исследования явился 35-летний личный опыт работы и в качестве учителя математики в различного типа школах (с 1963 г.), преподавателя (с 1966 г.), затем заведующего кафедрой в педагогическом вузе (1985-1989; 1992-93 гг.), а также -в качестве исследователя в области математики (1965-1985 гг.) и методики ее преподавания в школе и вузе (1970-1999 гг.).
Научно-теоретическими предпосылками исследования явились:
понимание структуры и содержания мировоззрения, его роли для человечества и индивида, процесса его формирования, данное в работах философов, психологов и других деятелей науки и культуры; К.И. Абульханова-Славская, Г.И. Батищев, М.М. Бахтин, B.C. Библер, Л.И. Божович, Э.Ф. Володин, Г.Е. Залесский, Э.В. Ильенков, М.С. Каган, А.А. Касьян, Е.И. Кукушкина, М,К. Мамардашвили, К. Маркс, Н.А. Менчин-ская, Э.И. Моносзон, Т.К. Мухина, P.M. Рогова, В. Франкл, В.Е. Шинка-рук, B.C. Шубинский, Ф. Энгельс и др.;
основы системного подхода к исследованию объектов и явлений, в том числе в математике и педагогике: А.И. Аверьянов, И.В. Блауберг,
В.Г. Болтянский, Н. Бурбаки, Ю.В. Громыко, В.И. Крупич, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, А.И. Мальцев, Н.Н. Моисеев, В.И. Нечаев, И. Пригожий, В.Н. Садовский, А.И. Уемов, А.Д. Урсул, Ю.А. Шрейдер, ГЛ. Щедро-вицкий, Б.Г. Юдин и др.;
основы теории деятельности и деятельностного подхода к исследованию процесса познания, творчества, структуры и развития личности: Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, ПЯ. Гальперин, А.Н. Леонтьев, ПК. Анохин, Н.М. Амосов, Дж. Брунер, А.В. Брушлинский, B.C. Леднев, А.Г, Асмолов, В.В. Давыдов, А.М. Матюшкин, B.C. Мерлин, Л.Ф. Обухова, К.К. Платонов, Н.И. Рейнвальд, П.В. Симонов, Г.В. Суходольский, В.Д. Шадриков, Г.И. Щукина, Д.И. Фельдштейн, М.А. Холодная, И.С. Якиманская и др.;
основы культурологического подхода к исследованию: С.С. Аве-ринцев, О.С. Анисимов, М.М. Бахтин, B.C. Библер, Г.Н. Волков, Л,Н. Гумилев, В.П. Зинченко, А.Ф. Лосев, НО, Лосский, Ю.М. Лотман, Э.С. Маркарян, В.В. Налимов, Б. Саймон, ПА. Сорокин, А. Швейцер, К, Яс-перси др.;
основные направления и пути развития современного образования, в том числе профессионального, усиления его личностной ориентации ВЛ. Беспалько, А.А. Бодалев, П.Я. Гальперин, М.В. Гамезо, Л.В. Занков, B.C. Леднев, А.К. Маркова, В.М. Монахов, A.M. Новиков, И,П. Смирнов, А.Т. Глазунов, Н.Ф. Талызина, А.Д. Урсул, М.А. Холодная, П.М. Эрдниев и др.;
философские, историко-культурные и методологические данные о развитии науки, о математике как науке и своеобразной грани культуры, позволившие понять ее значение для человечества и индивида и (в рамках данного исследования) уточнить содержание предмета математики и математического мировоззрения, выявить закономерности и условия успешного формирования отдельных сторон математического миро-
воззрения учащихся средствами обучения математике в современной школе: Аристотель, Платон, Р. Декарт, Н.И. Лобачевский, Ж. Адамар, А.Д. Александров, Н, Бурбаки, А.Г. Барабашев, Г. Биркгофф, Б.В. Бирюков, М. Бунге, В.И. Вернадский, Н. Винер, Б.В. Гнеденко, А.А. Касьян, О.И. Кедровский, М. Клайн, Ю.М. Колягин, В.А. Крутецкий, К. Маркс, Н.Н. Моисеев, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, С.А. Яновская и др.;
- основные направления развития системы общего математического образования, включающие: различные концепции ее развития на современном этапе: А.Д. Александров, М. Вертгеймер, Н.Я. Виленкин, Г.Д. Глейзер, Г.В. Дорофеев, Ф. Клейн, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Г. Фройденталь, PC. Черкасов, П.М. Эрдниев и др.; направления и пути совершенствования теории и методики обучения математике как области научных знаний и учебной дисциплины: М.Б. Волович, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М, Колягин, Дж. Икрамов, Г.Л. Луканкин, Е.И. Лященко, Н,В. Метельский, Г.И. Саранцев, И.М. Смирнова, А.А. Столяр, Ю.А. Шрейдер и др.; пути и средства воспитания личности, формирования мировоззрения и развития отдельных сторон культуры учащихся средствами обучения математике и естествознания: А.Д. Александров, М.С. Белл, В.Г. Болтянский, Э.Г. Гельфман, Б.В, Гнеденко, Е.Г. Глаголева, В.А. Гусев, Н.Я. Виленкин, Н.Б. Истомина, Ю.М. Колягин, В.И, Крупич, И.Л. Никольская, В.Н. Михайловский, В.М. Монахов, Э. Пардала, Д. Пойа, И.М. Смирнова, Н.А. Терешин, И.Ф. Теслен-ко, А.Я. Хинчин и др.
Основные этапы и организация исследования подробно рассмотрены в первой главе в связи с анализом результатов различных психолого-педагогических исследований, проведенных примерно в то же время. Здесь дадим лишь краткую характеристику этапам данного исследования. Условно можно выделить три этапа: первый - 1970-1982гг.
- предварительный), второй - 1983-1992гг. - поисковый; третий -1993-1999гг. -завершающий.
Начало первого этапа исследовательской работы в заданном направлении относится к 1969-1970 учебному году, когда в связи с непосредственным участием в Белоярском эксперименте по внедрению тогда новой Программы по математике (А.Н. Колмогоров) была осознана потребность понять, что вообще и при каких условиях дает человеку математика, а учащемуся - обучение ей независимо от какой бы то ни было программы. Задача понять проблему через собственную деятельность учителя и исследователя, через деятельность учащихся оказалась ведущей для первого этапа. Для этого было решено обратиться к исследованию закономерностей использования в обучении в то время мало разработанного в методической науке метода аналогий, как имеюгцего непосредственное отношение к воспитанию у учащихся математической культуры мышления, ориентиров познания и, следовательно, мировоззрения.
С разработкой метода аналогий фактически завершился подготовительный этап представляемого здесь исследования по мировоззренческой проблеме. Основные методические идеи, выявленные и использованные на этом этапе, были с успехом перенесены на другие, хотя и близкие по духу области и проблемы методики математики. Главная черта второго этапа исследования основной проблемы - расширение области применения идей и методических приемов, наработанных при подготовке кандидатской диссертации по аналогии, и осознание причин, возможности и границ подобного расширения. На этом этапе как раз и зародились основные представления о математическом реализме, математика-мировоззренческих умениях, элементах диалектического мышления и т.п., которые уже позже, на следующем этапе исследования привели к более четким их характеристикам, представленным в диссер-
тации. Все это нашло отражения в соответствующих публикациях автора и на третьем этапе послужило основой построения концепции.
Общий результат всех трех этапов исследования проявился в создании концепции мировоззренчески направленного обучения математике (МНОМ) в современной общеобразовательной и профессиональной школе.
Научная новизна. Впервые к разработке проблемы формирования мировоззрения учащихся средствами обучения математике применен комплексный подход как единство известных в науке системного, дея-тельностного и культурологического подходов, использованных в их взаимосвязи и конкретизированных применительно к объекту и основному предмету исследования. На этой основе впервые создана целостная концепция в виде:
- комплексного подхода к построению методической концепции
МНОМ и его основных принципов для образовательной области "Мате
матика";
постулатов, определений основных понятий, их следствий и обобщающих положений концепции МНОМ;
двух структурных моделей математического мировоззрения, позволивших определить мировоззренческий потенциал МНОМ;
целостной модели методической системы МНОМ (МС МНОМ);
уточненной логики математического познания и согласованной с ней, впервые разработанной логики целостных актов мировоззренчески направленной учебной математической деятельности с использованием МС МНОМ;
средств и форм организации учебной деятельности и коммуникации, способствующих достижению прогнозируемых результатов МНОМ.
Разработанная концепция позволила с единых позиций выделить цели общего мировоззренчески направленного математического образования в современной школе, описываемые в форме совокупности диагностируемых математико-мировоззренческих качеств учащихся. Определены и описаны взаимосвязанные совокупности таких качеств - стороны математического мировоззрения (математический реализм, элементы диалектического мышления, математико-мировоззрепческие умения и др.). Они помогли наметить конкретные направления, и содержание учебной работы по математико-мировоззренческому образованию учащихся в условиях, предоставляемых действующими стандартами, программами и учебниками для постепенного внедрения концепции МНОМ. Выделены учебные элементы и те их группы, которыми следует пополнить содержание учебного предмета "математика" в целях более полного достижения планируемых результатов МНОМ. Сформулированы основные принципы совершенствования учебных математических материалов в направлении усиления их мировоззренческой значимости для учащихся и предоставления больших возможности для формирования у них соответствующих качеств и осознанного владения школьной математикой.
Теоретическая значимость проведенного исследования определяется:
во-первых, тем, что в построении методической концепции впервые в методической науке использован своеобразный аналог аксиоматического метода, широко применяемого в математике и естественных науках, показана целесообразность применения такого подхода в педагогических науках (компактность описания основ теории и её ближайших практико-ориентированных следствий, четкость в определении основополагающих понятий через систему постулатов, возможность совмест-
ного использования диалектического метода и основных законов логики рассуждений и др.).
Во-вторых, результаты исследования обосновывают новые для методической науки или существенно уточняют известные подходы, идеи, методические средства в области обучения математике и воспитания учащихся его средствами. К ним в первую очередь относятся: предмет математики как грани культуры и образовательной области, культуросо-образная деятельность, целостный акт учебной математической деятельности, содержание математического мировоззрения и его отдельных сторон, математико-мировоззренческий потенциал, логика учебного математического познания, мировоззренчески направленное обучение математике, методическая система МНОМ и др.
В-третьих, разработанная целостная концепция определила основы ее применения на практике, комплекс методических средств в направлении оказания целесообразной помощи учащимся, в предотвращении появления у них при обучении математике ряда психолого -гносеологических барьеров или для формирования полезных для них ма-тематико-мировоззренческих ориентиров и качеств. Среди них - пополнение содержания учебного предмета "математика" мировоззренчески значимыми учебными элементами, типы учебных мировоззренческих ситуаций, целесообразные формы и методические приемы организации учебной деятельности учащихся и коммуникации: метод аналогий, структурирование, диалог культур личностей и др,
В-четвертых, теоретический фундамент концепции мировоззренчески направленного обучения математики позволил выстроить теоретические основания Единой программы общего и начального профессионального образования (НПО), ее модели учебного плана и разработать опытную программу "Общекультурный базис подготовки профессионала" для системы НПО, которые все вместе получили одобрение при их
рассмотрении на Бюро базового образования РАО (решение Бюро РАО от 29.12.97г.). Благодаря всему этому правомерно сказать, что данное исследование открывает новое направление не только в методике обучения математике, но и в профессиональной педагогике, что существенно повышает его статус и открывает перспективы его применения в науке и практике.
Практическая значимость результатов исследования:
выделены цели общего мировоззренчески направленного математического образования в современной школе в форме совокупности диагностируемых математико-мировоззренческих качеств учащихся; определены и описаны взаимосвязанные совокупности таких качеств - стороны математического мировоззрения (математический реализм, элементы диалектического мышления, математико-мировоззренческие умения и др.);
намечены конкретные направления и содержание учебной работы по математико-мировоззренческому образованию учащихся в условиях, предоставляемых действующими стандартами, программами и учебниками для фрагментарного и постепенного внедрения разработанной концепции;
выделены учебные элементы и те их группы, которыми следует пополнить содержание учебного предмета "математика" в целях более полного достижения планируемых результатов мировоззренчески направленного обучения математике и формирования мировоззренческого фундамента математических знаний и умений учащихся;
сформулированы основные принципы совершенствования учебных математических материалов в направлении усиления их мировоззренческой значимости для учащихся и предоставления больших возможностей для формирования у них соответствующих математико-
мировоззренческих качеств и осознанного владения школьной математикой;
- раскрыты новые для методической науки или существенно уточнены известные подходы, идеи, методические средства обучения математике и воспитания учащихся его средствами (культуросообразная деятельность, целостный акт учебной математической деятельности, содержание математического мировоззрения и его отдельных сторон, матема-тико-мировоззренческий потенциал, логика учебного математического познания, мировоззренчески направленное обучение математике, методическая система мировоззренчески направленного обучения математике и др.).
Результаты исследования могут быть использованы: а) при разработке мировоззренчески и гуманитарно-ориентированных стандартов, программ и учебных пособий по математике для общего и начального профессионального образования, б) при написании учебных пособий нового поколения по математическим курсам и по теории и методике обучения математике для студентов и учителей, в) при разработке теоретических мировоззренчески ориентированных моделей как для других образовательных областей, так и методики мировоззренчески направленного и личностно-ориентированного обучения отдельным учебным курсам (не обязательно связанным с математикой) в школах различного типа и вузах, г) в процессе обучения конкретным вопросам школьной и вузовской математики.
Основанием для этого является свойство общности комплексного подхода, примененного в данном исследовании, и полученной в его рамках системы положений и методических рекомендаций по формированию мировоззрения растущего человека, отражающих закономерности, условия и методические средства, которые могут быть использованы для
формирования сторон мировоззрения, непосредственно не связанных с математикой.
Практическая значимость работы подкрепляется внедрением результатов нашего исследования в практику работы общеобразовательной и профессиональной школы и педагогических вузов.
Внедрение результатов исследования осуществлялось в период с 1970 по 1999 годы. Первоначально нами разрабатывались частные вопросы методики обучения математике в общеобразовательной школе, хотя сразу же под углом зрения общей проблемы значимости математического образования для учащихся. К таким частным вопросам относились: метод аналогий, прием структурирования учебного материала, формирование средствами обучения математике ряда общеучебиых и мировоззренческих умений учащихся и др.
Результаты этих исследований отражены в ряде публикаций автора, подготовленных индивидуально или в соавторстве (И.Ф. Сафир, А.Н. Капиносов, П.С. Остапчук, М.Э. Кожевникова и др.). Во многих публикациях описан личный опыт работы в качестве учителя математики в школах или опыт работы учителей и коллег, работавших под нашим руководством в указанных направлениях и получивших устойчивые положительные результаты. Кроме того, некоторые из направлений для указанных соавторов стали темами их самостоятельных методических исследований.
К участию в разработке частных тем, уроков, учебных материалов, подчиненных общей мировоззренческой направленности, и к их апробации на разных этапах нашего исследования были привлечены коллеги по кафедрам, учителя и учащиеся школ г. Нижнего Тагила, г. Кривого Рога, г. Ровно, г. Самары и г. Тольятти, а также ряда сельских школ (Россия, Украина) с общим охватом учащихся более 5000. Опыт изучался, обобщался и систематизировался студентами и преподавателями педагогиче-
ских институтов, лично автором, с его участием или под его руководством. Полученные результаты и конкретные методические наработки публиковались, использовались автором и его коллегами при чтении лекций и проведении практических и лабораторных занятий, студентами различных педагогических вузов при написании курсовых и дипломных работ по методике преподавания математике.
В духе основных идей мировоззренчески направленного обучения математике автором на разных этапах исследования разрабатывались и были прочитаны курсы лекций и проведены практические занятия по таким дисциплинам, как "Методика преподавания математики", "Современные основы школьной математики", "История математики" (1980-84 гг.), "Алгебра и теория чисел", "Числовые системы" (1984-88 гг.), объединенный курс "Элементарная математика и методика ее преподавания" (1990/91 уч. г., Ровенский пединститут), объединенный курс "Математи-ко-методическая культура учителя начальных классов" для факультетов начальных классов по специальности № 2121 "Педагогика и методика начального обучения" (1992/93 уч. г.; Самарский педагогический институт. По курсу "Алгебра и теория чисел" под нашим руководством и с нашим участием были разработаны и опубликованы методические рекомендации для студентов и преподавателей, нацеливающие не только на овладение математическим содержанием курса, но и общематематическими и интеллектуальными умениями, что соотносится с мировоззренческой направленностью обучения математике в школе и вузе. Кроме того, для учащихся младших классов была разработана программа и учебные материалы курса "Математическое моделирование", программа и материалы прошли апробацию в СШ № 25 г. Самары (при участии ассистента кафедры М.Н, Вякулиной) в 1992/93 уч. г. и дали положительные результаты. Комплект программ для факультета начальных классов по-
лучил положительные рецензии д. пед. н. Ю.А. Первина и д. пед. н., проф. Н.Б. Истоминой (Приложение 3).
Апробация исследования осуществлялась автором через выступления перед учителями математики, преподавателями и научными работниками методических и математических кафедр педагогических училищ, институтов и университетов: Нижнетагильского, Свердловского, Криворожского, Ровенского, Тольяттинского, Самарского, МЇЇГУ и МПУ; через публикации (статьи, методические рекомендации, депонированные рукописи, программы, монографии). Теоретические положения периодически обсуждались как на семинарах (кафедральных, факультетских, слушателей ФПК), так и на зональных, республиканских, всесоюзных и международных конференциях и семинарах: Екатеринбург (1974, 1993), Ленинград (1980), Днепропетровск (1981), Киев (1981, 1983, 19S7), Астрахань (1984, 1992), Тернополь (1985), Уфа (1990), Москва (1973, 1979, 1987, 1989, 1999), Кривой Рог (1990, 1995, 1997), Витебск (1991), Ровно (1991, 1995), Ставрополь (1996), Н, Новгород (1997), Советск(1998), Самара (1993, 1994, 1996, 1997, 1999).
Достоверность и обоснованность основных положений и выводов исследования обеспечивается: корректным применением к проблеме исследования комплексного подхода как авторской конкретизации и совместного использования известных в науке системного, деятельностно-го и культурологического подходов; четкостью методологических позиций, сформулированных на основе всестороннего анализа философских, методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических и методических исследований и разработанных известными учеными концепций; логической непротиворечивостью проведенных рассуждений и выводов, их согласованностью с концепциями базисных наук и принципиальным соответствием с основными результатами других исследователей; использованием известных современной
науке методов и принципов исследования (диалектический, восхождения от абстрактного к конкретному, соответствия метода исследования его объекту, воспроизводства знаний и др.); соответствием полученных результатов исследования собственному опыту и опыту коллег по работе в различных институтах и практике учителей математики.
На защиту выносятся следующие концептуальные положения:
обучение математике в современной общеобразовательной и профессиональной школе необходимо построить так, чтобы в первую очередь формировать мировоззренческий фундамент математических знаний учащихся как совокупность полезных и необходимых для них математико-мировоззренческих ориентиров и качеств. В этом суть мировоззренчески направленного обучения математике как образовательного процесса. Формируемые в этом случае ориентиры и качества учащихся в своих взаимосвязях образуют различные стороны их математического мировоззрения: усвоенные способы и средства математического познания, математико-мировоззренческие умения, элементы математического реализма и диалектического мышления и др., в целом - матема-тико-мировоззренческий потенциал учащегося. Постепенное "выращивание" у учащегося такого потенциала - основная цель мировоззренчески направленного обучения математике;
важнейшие условия и средства успешного протекания мировоззренчески направленного обучения математике с достаточной полнотой определяются представленной в диссертации концепцией, включающей методическую систему обеспечения этого процесса (сокращенно-МСМНОМ);
разработанная концепция является научно обоснованной, а при постановке математического образования в условиях современной отечественной школы целесообразной и практически реализуемой. Теоретические основания концепции МНОМ представлены в диссертации в
виде системы ее постулатов, основных понятий и положений и вытекающих из них следствий.
Научная обоснованность концепции определяется:
положенным в основу ее разработки комплексным подходом как диалектическим единством системного, деятельностного и культурологического подходов, примененных во взаимосвязи и взаимной дополнительности и конкретизированных в диссертации в соответствии с проблемой исследования и предметом математики как грани культуры и образовательной области;
полученной в результате такого применения непротиворечивой системой постулатов, основных понятий, положений концепции и их следствий.
Целесообразность концепции обосновывается необходимостью организации МНОМ в современной школе как методического пути и комплексного средства дальнейшего совершенствования математического образования в русле решения общей проблемы формирования различных сторон математического мировоззрения учащихся при обучении предмету, включая мировоззренчески значимые для них математические знания и умения, и недостаточной разработанностью этой проблемы в современной науке.
Принципиальная реализуемость концепции обосновывается а) наличием контингента учителей и коллег, способных воспринять основные идеи концепции и применять их в обучении математике; б) опытом внедрения концепции в работу современной общеобразовательной и профессиональной школы. Опыт показал, что разработанная концепция является практико-ориентированной, а ее даже фрагментарное внедрение позволяет формировать такие стороны математического мировоззрения учащихся как мировоззренчески воспринимаемые учащимися математические знания и способы деятельности, полезные для них группы
математико-мировоззренческих умений, элементы математического реализма и диалектического мышления.
Логика изложения результатов диссертационного исследования определила следующую структуру диссертации: введение; глава I "Проблема формирования мировоззрения учащихся при обучении математике: состояние, поиск подхода к исследованию"; глава II "Концепция мировоззренчески направленного математического образования в современной школе"; глава III "Методические средства и формы учебной деятельности и коммуникации в опыте реализации МНОМ" заключение; терминологический словарь; список использованных литературных источников; приложения 1 - 3.
Актуальность и понимание проблемы исследования в современных условиях
Проблема формирования мировоззрения растущего человека, в том числе и при обучении математике в образовательных учреждениях различного типа, не является новой для педагогической науки и практики. Ее, как самостоятельную или в рамках других проблем (формирование и развитие личности, стратегии жизни, самоопределения и т.п.), в разное время исследовали Л.И. Божович, К.К. Платонов, Н.А Менчинская, Э.И. Моносзон, P.M. Рогова, Г.Е. Залесский, Б,В. Гнеден-ко, И.Ф. Тесленко, В.Н. Мощанский, Ю.Ф. Фоминых, Н.А. Терешин, Р.С. Черкасов, Н.В. Шаронова, Г. Нойнер, Л. Клинберг и др. Однако по ряду причин она не получила удовлетворительного решения и остается первостепенной в переживаемое нами время, и особенно в нашей стране. Рассмотрим те из причин, которые актуализируют проблему и анализ которых позволит, на наш взгляд, определить возможный подход и наметить конкретные пути ее решения.
К концу XX столетия в мировом сообществе все больше кристаллизуются и осознаются как противоположные два осознания мира и его дальнейшего существования. Одну мировоззренческую концепцию можно обозначить как гуманизм + космизм (В.И. Вернадский, М.М. Бахтин, Н.Н. Моисеев, В.В. Налимов, С. Киркегор, А.Д. Урсул, М. Хайдеггер, П.Т. де Шарден, К. Ясперс и др.). Ее существенные черты:
? устремленность к созданию единой цивилизации Земли, вписывающейся в эволюционные процессы Природы и Космоса и способствующей их развитию;
? признание самоценности каждого индивида и других социальных субъектов (этнических групп, групп людей по интересам, коллективов и т.п.);
опора на принципы: поддержки вариативности и взаимодополнительности различий отдельных субъектов (в том числе и коллективных), ответственности человека за совершаемые поступки, взаимодействия и взаимообогащения отдельных культур, поддержки и развития культуросообразной деятельности и др.
Противоположное мироощущение точнее всего назвать крайним эгоцентризмом с его отрицанием и неприятием любых традиций, притязаниями на неограниченные права, с безнравственностью и безответственностью, с «беспрепятственным ростом жизненных запросов», «безудержной экспансией собственной натуры», с "врожденной неблагодарностью ко всему, что сумело облегчить ему жизнь" /368/ и т.п. Как правило, такое мироощущение сопряжено с вполне определенными способами и средствами получения благ для себя. Распространенными в современном обществе способами оказываются в этом случае власть и насилие, а наиболее мощными средствами - деньги, техника и технологизированные (вещные) знают, то есть, прежде всего, знания, оторванные от осознания способов их получения и от духовных ценности (ВВ. Давыдов, Л.В. Занков, ГЛ. Щедровицкий, В.В. Налимов, П.Г. Кузнецов, Ю.В. Громыко и др.). Такого рода знания при овладении ими дают огромную власть над другими людьми.
Можно указать и много других типов мировоззрений /240/, так или иначе распределяющихся между двумя отмеченными полюсами. Вряд ли нужно выстраивать мировоззрения по шкале "плохое" - "хорошее", - в каждом из них есть "своя правда". Важно, думается, другое: нельзя допустить того, чтобы их противостояние перешло в конфронтацию носителей этих мировоззрений и привело к очередному насильственному "переделу мира". Но не допустить этого могут лишь сами люди, вот почему система образования должна уделять серьезное внимание формированию взглядов и убеждений, в большей степени тяготеющих к первому из отмеченных полюсов.
Противоборство выделенных крайних мировоззренческих позиций происходит также и в рамках науки, и философии, и образования. В качестве ярких примеров научной мысли, имплицитно склоняющихся к одной из этих позиций и закрепивших ее в своих научных текстах, можно указать следующие. С одной стороны, - теорию человеческого труда, теории биологического поля и эволюции ноосферы с их законами сохранения мощности и увеличения потока свободной энергии, бифуркации и др., являющимися отличительными признаками жизни (СА. Подолинский, К. Маркс, Э. Бауэр, В.И. Вернадский, А.Г. Гурвич, П.Г. Кузнецов, Н.Н. Моисеев и др.). А с другой стороны, - теории естественного отбора Ч. Дарвина, классовой борьбы, вооруженного свержения власти, мирового господства одной нации и т.п. Что касается философских течений, то к первой мировоззренческой позиции тяготеют немецкий классический идеализм (Г. Лейбниц, И.Г. Фихте, Г. Гегель, И. Кант) и экзистенциализм, ко второй - материализм (Д. Дидро, К. Гельвеций, Ф. Бэкон и др.), картезианство, прагматизм, редукционистский, механистически понятый материализм /308/.
Теоретические предпосылки построения концепции МНОМ
Из истории развития науки известно, что еще в VI-V веках до н. э. в Древней Греции возникла, а затем почти повсеместно распространилась и укрепилась мировоззренческая установка: любая концепция, претендующая на статус научной теории, должна базироваться на вполне определенной системе исходных положений — ее постулатах. В закреплении и конкретизации такой установки основополагаюшцую роль сыграла математика: еще Евклиду (III в. до н.э.), впервые удалось последовательно воплотить основные ее требования в математических текстах, хотя подобные попытки фрагментарно предпринимались другими мыслителями и до Евклида, и на другом материале (Гераклит, Фал ее, Платон, Аристотель и др.).
Методическая концепция, тем более относящаяся к мировоззрению и учебному предмету "математика", не должна быть исключением. Наряду с этим при построении необходимого фундамента методической концепции следует учитывать особенности объекта и предмета исследования, методологический принцип соответствия метода исследования его объекту и те изменения, которые история развития научной мысли внесла в первоначальное понимание выше отмеченной мировоззренческой установки. Прежде всего, приведем несколько соображений по поводу понятия "постулат", примененного к построению методической теории, и основополагающие принципы, легшие в основу разработки концепции.
О постулатах и принципах построения концепции МНОМ
По установившейся в современной науке традиции понятие "постулат" используется как речевой эквивалент понятия "аксиома" /8/, /276/, /353/, /426/.
В применении к построению математической теории под аксиомами понимают утверждения, принимаемые как истинные в рамках этой теории, положенные в ее основу для фиксирования на выбранном языке существенных независимых и непротиворечивых свойств ее основных ("первичных") понятий и связей между ними. Заметим, что только благодаря аксиомам первичные понятия математической теории, собственно говоря, и приобретают статус понятий в их гносеологическом (теоретико-познавательном, научном) значении /460/, Поэтому, когда об основных понятиях говорят, что они неопределяемые, то это не более чем метафора, несущая, впрочем, вполне определенный смысл. Она означает, что первичные понятия не определяются распространенным способом - "через род и видовое отличие" - и сами (в рамках данной теории и вместе с аксиомами) задают "род" для всех прочих ее понятий /60А/, /65/, /164/, /303/, /353/, часто называемых "производными".
В научно-популярной и математико-методической, особенно учебной литературе, как правило, ограничиваются своеобразным "укороченным" толкованием термина: аксиома - это "математическое предложение", "основное свойство, принимаемое без доказательства" /327/, /383/ (а также /135/, /226/, /328/ и др.).
Обратим внимание на некоторые обстоятельства методологического характера, имеющие непосредственное отношение как к мировоззрению учащихся и его формированию средствами обучения математике, так и к построению методической концепции (теории).
Первое: в современной математике как науке понимание аксиомы и постулата закреплено однозначно и термины используются как тождественные в границах математической теории, поэтому для ученых-математиков нет необходимости их различать. В то же время, в их современной научной трактовке естественно оказался "утерянным" (лучше сказать - скрытым) обще культурный смысл - история и логика процесса осмысления этих понятий. Так, известно, что в Древней Греции понятия "аксиома" и "постулат" значительно различались между собой. У Аристотеля читаем: "... всякая доказывающая наука имеет дело с тремя (сторонами); то, что принимается как существующее, именно род, свойства которого, присущие ему сами по себе, рассматривает наука, и общие (положения ), называемые аксиомами, из которых, как из первичного, ведется доказательство1... Постулат же есть нечто противное мнению учащегося или такое, что, будучи (возможно) доказуемым, принимается и применяется недоказанным" /17, с.200/.
Сказанное можно понять так: постулат есть задача для хорошего ученика, аксиома - признанное и принятое всеми положение, "удостоенное" быть таковым (в точном переводе с древнегреческого - а,ши.а). Аналогичное мнение находим в книге по истории математики: "Аксиомы - это такие очевидные вещи, которые, по словам Аристотеля, "необходимо иметь каждому, кто будет что-то изучать". Постулат - это лишь принцип, который геометр предлагает своему собеседнику принять, но не являющийся ни "очевидным", ни "аксиоматическим". Его можно опровергнуть, не приходя к противоречию... постулаты интерпретировались как простые "гипотезы"... /138, с. 75/.
Психолого-педагогические барьеры в обучении математике
По B.C. Шубинскому, психолого-гносеологический барьер - это устойчивое затруднение, закрепившееся в психике человека и препятствующее его дальнейшему развитию в одной или нескольких взаимосвязанных сферах личности. Барьер (в дальнейшем будем использовать этот укороченный термин), "во-первых, характеризует человека со стороны психологических "установок", внутренних программ поведения и познания и, во-вторых, оказывается своеобразной преградой, тормозом при переходе от одного уровня мировоззрения к другому" /500, с. 20-21/.
Особо отметим, что по данной характеристике, которой мы будем придерживаться в дальнейшем, психолого-гносеологический барьер -всегда тормоз, т.е. играет отрицательную роль в развитии мировоззрения и личности. А это, в частности, сказывается как на общем развитии человека, так и на его развитии в какой-либо одной или взаимосвязанных гранях культуры. Возникновение барьеров наблюдалось и в истории развития человечества как на почве науки вообще, так и математики в частности (глава I, с. 37-38 и др.). Из приведенной характеристики следует также, что при своем возникновении у человека барьеры начинают играть для него роль мировоззренческих ориентиров, хотя и отрицательного характера, Это лишний раз подтверждает справедливость утверждения о наличии мировоззренческих ориентиров в содержании математической культуры, рассматриваемой как целое (пп. 1.1,2.1.1 и др.).
Нетрудно предположить, что подобного рода барьеры могут возникать и в процессе обучения математике. В работе /191/ нами обосновано утверждение: барьеры зарождаются при неоднократном повторении однотипных способов разрешения учебных ситуаций, создаваемых в том числе и при обучении какому-то учебному курсу. В этом случае неоднократное повторение какого-либо способа вместе с его однотипным результатом приобретает для учащегося мировоззренческий характер, особенно тогда, когда учащихся обучают в традиционной логике и не приучают рефлектировать и анализировать свои действия (нарушается логика математического познания). Анализ с этих позиций многих математических ошибок учащихся, устойчивых, переходящих из одного поколения учащихся в другое и описанных в методической литературе, показывает, что их источником является именно возникновение тех или иных барьеров, а не неспособность учащихся к математике, как довольно часто это явление объясняют учителя. Этот факт, хотя и с иных позиций, подтверждается другими исследователями (Г.И. Саранцев, Я. И. Груденов, Е.И. Лященко и др.).
К числу подобных ошибок относятся, например, так называемые ошибки по аналогии. Как показано в работах еще первого этапа нашего исследования /163/, /164/, их причина кроется и в не понятой многими учителями сущности аналогии (терминологический словарь), и в распространенных приемах ее применения в обучении, ведущих к ошибкам, а не предупреждающих их появление, и в отпугивании учащихся активно пользоваться ею. Этот вопрос будет рассмотрен в отдельных примерах по применению метода аналогийt разработанных и применявшихся нами как один из методических инструментов, оправдавших себя в обучении математике и в формировании элементов математического мировоззрения. Другие категории математических ошибок, также на наш взгляд, связанные с появлением у учащихся психолого-гносеологических барьеров, рассмотрены (хотя и с иных позиций) М.Б. Воловичем, Я.И. Груде-новым, А. А. Столяром и другими /88/, /131/, /435/.
В связи со сказанным естественно возникает общепедагогическая и методическая задача: исследовать, как подобные барьеры образуются и, главное, какие можно предложить способы и средства их предупреждения или преодоления. В данной работе эта проблема, как и некоторые способы и средства ее разрешения лишь намечаются в связи с основной ее темой. Рассмотрим некоторые из барьеров, возникающих в обучении как отрицательные мировоззренческие ориентиры.
