Содержание к диссертации
Введение
Глава 1.. Теоретико-методологические основы методической подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе 24
1.1..Методологические подходы к построению систем методической подготовки учителя математики 24
1.1.1.. Анализ понятия методической системы обучения в контексте системного подхода к изучению действительности 24
1.1.2..Обзор методических систем обучения, реализуемых в современной методической подготовке учителя математики 28
1.2..Содержание методической подготовки учителя в вопросах истории становления прикладной составляющей школьного математического образования 37
1.2.1..Приложения математики в период становления школьного математического образования 37
1.2.2..Обучение приложениям математики в трудовой школе в период образовательных реформ начала ХХ века 44
1.2.3..Политехническая и прикладная направленность обучения математике в школе во второй половине ХХ века 54
1.3..Современное состояние методической подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 68
1.3.1..Понятие практико-ориентированного обучения математике 68
1.3.2..Содержание прикладных аспектов обучения математике в школе в современных учебных пособиях для студентов 71
1.3.3..Место и значение практических приложений математики в современных нормативных документах общего образования 73
1.3.4..Анализ возможностей выявления прикладных умений студентов и школьников в международных исследованиях 79
1.3.5..Характеристика содержания практических приложений математики в современных школьных учебниках и учебных пособиях 85
Выводы по главе 1 86
Глава 2.. Практико-ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя 89
2.1..Линия практических приложений математики в школе как содержательная основа методической подготовки учителя к практико-ориентированному обучению 89
2.1.1.. Обоснование целесообразности выделения линии практических приложений математики в школе 90
2.1.2..Принципы конструирования линии практических приложений математики в школе 92
2.1.3..Цели, задачи и этапы реализации линии практических приложений математики в школе 99
2.1.4..Методические условия успешности реализации линии практических приложений математики в школе 117
2.2..Задачи, обеспечивающие практико-ориентированное обучение математике в школе, как основной компонент методической подготовки учителя 123
2.2.1..Понятие и уровни сложности задач, обеспечивающих практико- ориентированное обучение математике в школе 123
2.2.2..Требования к задачам, обеспечивающим практико-ориентированное обучение математике в школе 136
2.2.3..Функции задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе 148
2.3..Классификация задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе 163
2.3.1..Классификационные признаки задач, обеспечивающих практико- ориентированное обучение математике в школе 163
2.3.2..Использование задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике, на уроках 170
2.3.3..Использование задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике, во внеурочное время 178
2.4..Математическое моделирование как теоретическая основа практико- ориентированного обучения математике в школе 187 2.4.1..Представления о математическом моделировании в науке и школьной практике 188
2.4.2..Значение математического моделирования в практико-ориентированном обучении математике в школе 194
2.4.3.. Функции математического моделирования в практико-ориентированном обучении математике в школе 197
2.4.4..Методические особенности обучения математическому моделированию в практико-ориентированном обучении математике в школе 203
Выводы по главе 2 207
Глава 3.. Построение методической системы подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 213
3.1..Теоретическое направление подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе 214
3.1.1..Структура методической системы подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 214
3.1.2..Содержание теоретического направления подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 227
3.1.3..Тестовая оценка теоретической подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 231
3.2..Создание учителем образовательных продуктов для использования в практико- ориентированном обучении математике в школе 237
3.2.1..Характеристика заданий для подготовки учителя к созданию собственных образовательных продуктов 237
3.2.2..Характеристика наборов задач на приложения, как одного из типов образовательных продуктов 247
3.2.3..Характеристика прикладных исследовательских и проектных заданий как типов образовательных продуктов 270
3.2.4..Характеристика курсов по выбору прикладного содержания как типов образовательных продуктов 283
3.3.. Подготовка учителя к использованию электронных образовательных ресурсов в практико-ориентированном обучении математике в школе 295
3.3.1..Обзор электронных образовательных ресурсов для использования в практико-ориентированном обучении математике в школе 296
3.3.2..Электронные образовательные ресурсы в методической подготовке учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе 301
Выводы по главе 3 307
Глава 4.. Опытно-экспериментальная работа по верификации результативности реализации методической системы подготовки учителя к практико- ориентированному обучению математике в школе 312
4.1..Методика проведения опытно-экспериментальной работы 312
4.1.1..Задачи опытно-экспериментальной работы 313
4.1.2..Методы опытно-экспериментальной работы 314
4.1.3..Признаки сформированности специальных компетенций 316
4.2..Анализ результативности реализации методической системы подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе 319
4.2.1..Результаты констатирующего этапа опытно-экспериментальной работы 319
4.2.2..Результаты формирующего этапа опытно-экспериментальной работы 326
4.2.3..Результаты контрольного этапа опытно-экспериментальной работы 330
Выводы по главе 4 339
Заключение 341
Библиография
- Анализ понятия методической системы обучения в контексте системного подхода к изучению действительности
- Обоснование целесообразности выделения линии практических приложений математики в школе
- Функции математического моделирования в практико-ориентированном обучении математике в школе
- Подготовка учителя к использованию электронных образовательных ресурсов в практико-ориентированном обучении математике в школе
Анализ понятия методической системы обучения в контексте системного подхода к изучению действительности
На каждом этапе, согласно получаемым результатам, публиковались научные и учебно-методические статьи, пособия для студентов и школьников, монографии по теме исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем: теоретически обоснована, разработана и апробирована новая методическая система подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе, функционирующая в условиях уровневого педагогического образования и ориентированная на создание обучающимися собственных образовательных продуктов, предназначенных для обучения школьников практическим приложениям математики; предложена концепция методической подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе, опирающаяся на положения о: бинарной роли практических приложений в обучении математике в школе; направленности методической подготовки на реализацию содержательно-методологической линии практических приложений математики в школе; единстве методологического, исторического и методического подходов в содержании, формах и методах такой подготовки; непрерывности и модульности процесса формирования специальных компетенций учителя; единстве когнитивной и контекстной подготовки учителя к созданию собственных образовательных продуктов, предназначенных для обучения школьников практическим приложениям математики; в соответствии с положениями концепции построена модель методической системы подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе, демонстрирующая структуру и взаимосвязи целевого, содержательного, методического (инструментального), результативно-оценочного компонентов этой системы и позволяющая реализовать соответствующую методику подготовки учителя в вузах педагогической направленности; в процессе разработки методической системы подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе установлены основные периоды в истории развития прикладной составляющей школьного математического образования: становления, развития в трудовой школе, политехнизма, прикладной направленности, позволяющие реализовать исторический подход в методической подготовке учителя математики; сконструирована содержательно-методологическая линия практических приложений математики в школе, являющаяся идейной и содержательной основой такой подготовки учителя; в соответствии с методикой подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе выявлены и охарактеризованы основные типы образовательных продуктов, необходимые для реализации такого обучения (отдельные задачи и наборы задач; исследовательские и проектные задания, методические разработки курсов по выбору, направленные на обучение школьников практическим приложениям математики), а также предложены методические приемы обучения студентов созданию таких продуктов и критериально-рейтинговый подход к их оцениванию.
Теоретическая значимость результатов исследования
1. Предложенная методическая система подготовки учителя к практико-ориенти рованному обучению математике в школе дополняет и расширяет следующие научные направления теории и методики обучения математике: «Психолого-педагогические ос новы обучения математике», «Общая методика обучения математике», «Частная мето дика обучения математике».
2. Совокупность теоретических положений концепции методической подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе расширяет науч ное направление, связанное с профессиональной подготовкой учителя к решению ком плекса проблем обучения школьников использованию полученных знаний вне рамок образовательного процесса.
3. Выявленные основные периоды в истории развития прикладной составляющей школьного математического образования систематизируют сложившиеся в теории и методике обучения математике (общая методика) представления по этому вопросу.
4. Сконструированная линия практических приложений математики в школе дополняет существующие в теории и методике обучения математике содержательно-методологические линии. Конкретизированные в контексте современной образовательной парадигмы ключевые понятия линии «задача на приложения», «прикладное исследовательское задание», «прикладное проектное задание» расширяют имеющиеся в общей и частной методиках обучения математике представления о классе задач, направленных на обучение школьников практическим приложениям математики.
5. Систематизированные методические требования к задачам на приложения в контексте современной образовательной парадигмы, выделенные четыре уровня сложности и построенная система классификаций таких задач, отражающая бинарное назначение практических приложений математики в обучении (с одной стороны - обучение приложениям математики, с другой - обучение математике через ее приложения), дополняют имеющиеся представления о школьных математических задачах в теории и методике обучения математике.
Обоснование целесообразности выделения линии практических приложений математики в школе
В этот период, судя по тиражам и количеству переизданий, довольно широко распространенными пособиями для преподавания геометрии были учебники методиста-математика А.М. Астряба (1879-1962), ставшего впоследствии профессором, заведующим кафедрой методики математики Киевского педагогического института. В этих учебниках был реализован другой подход к преподаванию математики. Он основывался на идее использования приложений в обучении, близкой к той, которая была изложена в упомянутом ранее докладе С.Н. Полякова. Подтвердим это примерами.
В «Наглядной геометрии», учебнике для школ первой ступени [21], изложение геометрии А.М. Астряб считал целесообразным начать не с изучения отвлеченных сведений о фигурах на плоскости, а с систематизации и развития имеющихся у ребенка сведений о реальном трехмерном пространстве. В предисловии автор указывает на особенности обучения «наглядной» геометрии, среди которых важно выделить следующую: весь геометрический материал вводится на основе имеющихся у детей этого возраста представлений о предметах, существующих в реальном мире. В содержание обучения также были включены геодезические измерения, которые, по мнению автора, «дают детям … удивительно яркие образы геометрических фигур» [21, c. 6]. В настоящее время такой подход можно считать начальным этапом обучения математическому моделированию – обучения умению сопоставлять абстрактные математические понятия и их прообразы, существующие в реальности.
Логическим продолжением этого учебника стал «Курс опытной геометрии» [20]. В предисловии указано: «Предлагаемый «Курс опытной геометрии» ставит себе целью изложить в популярной форме элементарный курс геометрии в объеме, необходимом для применения геометрических знаний в практической жизни» [20, с. 5]. Но обучение геометрии здесь не сводится к решению каких-либо задач из практики. Рассмотрение примеров из реального мира позволяет автору мотивировать необходимость введения геометрических понятий, формул, теорем. В учебном пособии имеются хорошо известные задачи об измерении расстояний и высот при различных ограничениях. Подобные задачи хорошо известны и встречаются в современной учебной литературе.
Проанализируем подход к использованию приложений математики еще одного автора учебников геометрии того временного периода Я.И. Перельмана, сегодня больше известного как популяризатора науки. В двадцатых годах прошлого века по заданию Наркомпроса РСФСР в числе своих учебных пособий он написал «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений» [292]. Эта книга адресована не только учащимся, но и «учащим». Первая глава предназначена для учителя. Её название сформулировано автором в виде вопроса: «Как сделать изучение геометрии интересным и жизненным?» В ней Я.И. Перельман касается вопросов повышения качества преподавания геометрии в школе, указывает на особенности изучения математики в целом, отмечает важную роль задач в обучении. Главная мысль автора состоит в том, что ученик «должен чувствовать, что геометрия снабжает его применимыми к жизни сведениями, вооружает могущественным орудием познания действительности» [292, с. 10-11].
Обратим внимание на то, что Я.И. Перельман не призывает дать ученикам узкие знания по геометрии, предназначенные для применения в отдельных профессиональных сферах. (Вспомним, что именно на это предполагалось нацелить обучение в трудовой школе.) Напротив, он подчеркивает, что приобретение качественных теоретических знаний школьниками возможно только тогда, когда присутствует интерес к изучаемому предмету. А основой интереса, по мнению Я.И. Перельмана, могут выступать знания о возможностях применения теории на практике. Это созвучно и сегодняшним воззрениям на организацию обучения математике.
На протяжении всей книги автор передает учителю свой опыт составления задач, связанных с применением математики. Для этого в каждой главе Я.И. Перельман приводит справочные сведения. Воспользовавшись ими, учитель должен был сам составлять задачи, подобные рассмотренным. Кроме того, автор часто обращается к учителю с различными методическими советами. Например, после задачи следующего содержания «Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не превышает 1/24 его основания («заложения»). Сколько приблизительно градусов в угле такого наклона?», автор дает рекомендации «приучать пользоваться учеников подобными приближенными приемами, дающими часто возможность обходиться не только без тригонометрических таблиц, но и без знания тригонометрии. Учащиеся должны уметь использовать до конца свои геометрические познания, и не оставаться беспомощными перед задачами, хотя и неразрешимыми вполне точно доступными им средствами, но допускающие достаточное для практики приближенное решение» [292, c. 15].
В этом примере автор обращает внимание учителя на то, что для решения задач, возникающих в реальной ситуации, довольно часто бывает достаточно сделать вычисления приближенно, с определенной степенью точности. Для этого целесообразно выбрать и соответствующий способ решения. В книге приведено довольно много задач, где требуется обосновать или проверить используемую на практике эмпирическую формулу, позволяющую делать вычисления быстро и с нужной степенью точности, так называемые задачи на «проверку технических рецептов геометрического характера».
Необходимо обратить внимание и на то, что Я.И. Перельман последовательно, на примерах показывает, как на основе различных данных можно составлять «реальные» задачи, называемые в современной методической литературе прикладными, практическими. Так, к приведенной выше задаче дается вариант подобной ей:
SДля русских железных дорог принят предельный уклон в 0,008. Для Закавказской железной дороги допущены, в виде исключения, уклоны до 0,025. Каким углам, в градусной мере, соответствуют эти уклоны?
Этот подход к составлению задач возможно использовать и сегодня как в практике работы учителя математики, так и в методической подготовке студентов. В пособии все задачи иллюстрируют применение математики к различным областям знаний и распределены не по темам школьной геометрии, а по разделам приложений. Оно служило дополнением к другому пособию «Новый задачник по геометрии» [291]. В нем задачи разделены по темам школьного курса геометрии, решения и ответы помещены в конце задачника.
Функции математического моделирования в практико-ориентированном обучении математике в школе
Сформулированные принципы конструирования линии ППМ позволяют определить цели, задачи и этапы ее реализации.
К базовому понятию линии естественно отнести понятие математической модели, т. к. оно проявляется во всех средствах обучения практическим приложениям математики в школе. Математическим методом выделяемой линии является метод математического моделирования, который одновременно является специальным (частно-методическим) методом обучения и методом решения задач на приложения математики в школе.
Поэтому, прежде чем перейти к рассмотрению целей, задач и этапов реализации этой линии, представим наше понимание последовательности изучения школьниками элементов метода математического моделирования. Использованию элементов метода математического моделирования в школе посвящено немало методических исследований, в большинстве из которых выделялись различные этапы и уровни обучения этому методу. В этом исследовании мы опираемся на результаты Н.Я. Виленкина [271]. Им выделены «в порядке нарастающей сложности» следующие уровни обучения математическому моделированию, определяющие последовательность изучения понятий, связанных с этим методом. Приведем их. Это обучение: 1) «языку», на котором будет вестись моделирование; 2) «переводу» реальной ситуации на математический язык; 3) выбору существенных переменных и построение схемы их взаимосвязей; 4) составлению математических выражений реально существующих отношений и связей; 5) решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа; 6) исследованию полученного решения, и, в частности, простейшим навыкам самоконтроля.
Анализ содержание этих уровней позволил сделать вывод о необходимости и целесообразности выделения четырех этапов процесса математического моделирования при решении задач в обучении математике в школе: математизация (анализ условия), формализация (построение математической модели условия), внутримо-дельное решение, интерпретация результата.
Чаще выделяют только три этапа: формализация (построение математической модели); внутримодельное решение; интерпретация результата. Но при решении ряда задач не всегда возможно сразу предъявить математическую модель условия. Например, в фабуле задачи присутствует непонятная или неизвестная учащимся нематематическая терминология. Поэтому считаем целесообразным выделить еще один этап – этап математизации, на котором будет проделана подготовительная работа к составлению математической модели: проведен предварительный анализ условия задачи с целью установления возможности применения математики для ее решения, определены все нематематические термины, дана им математическая интерпретация, выявлены отношения между объектами условия задачи, уяснен смысл задачи в целом.
Итак, в нашем исследовании в качестве этапов процесса математического моделирования выделяются следующие:
Учитывая необходимость обучения школьников элементам метода математического моделирования, руководствуясь представленными в нормативных документах требованиями к уровню математической подготовки учащихся по использованию приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, а также опираясь на принципы конструирования линии ППМ, нами выделены общие цели ее реализации:
1. Формирование системы математических знаний во взаимосвязи с их практическими приложениями к изучению окружающего мира.
2. Формирование прикладной математической грамотности, понимаемой как способность использовать математику для описания действительности и решения задач реального мира методом математического моделирования.
3. Демонстрация идей математизации наук через знакомство с теоретическими основами практических приложений математики.
Сформулированные цели достаточно широки и могут быть достигнуты на двух уровнях – прагматическом и исследовательском. Начальный уровень, прагматический, определяется необходимостью ориентации в современном мире для практической жизни, подготовленностью к решению бытовых и профессиональных задач с использованием математического аппарата. Этот уровень посилен для всех учащихся и заложен в стандартах общего математического образования. Повышенный уровень, исследовательский, состоит в наличии способности обучаемого математически исследовать объекты реального мира с различными целями, т. е. в математическом подходе к явлениям реального мира [14]. Достижение этого уровня доступно не всем учащимся. Обучение на таком уровне возможно организовать во внеурочной работе по математике: на занятиях курсов по выбору, при выполнении школьниками исследовательских и проектных заданий и т. п.
Подготовка учителя к использованию электронных образовательных ресурсов в практико-ориентированном обучении математике в школе
Задачи на приложения не только показывают пути применения знаний, полученных при изучении теоретического материала, они позволяют удерживать в сознании необходимые теоретические факты. При решении таких задач учащиеся имеют возможность убедиться в том, что для объяснения явлений природы, разрешения проблем, возникающих в профессиональной деятельности и в быту, могут быть применены известные математические факты. Например, признак равенства треугольников (по трем сторонам) связан с понятием жесткости треугольника, которое, в свою очередь, может быть использовано при ответе на такой практический вопрос:
SОбъясните, почему при постройке ферм мостов, опор линий электропередач используют систему треугольников?
Отвечая на этот вопрос, учащиеся рассуждают примерно так: основным требованием, предъявляемым к таким постройкам, является неизменность формы конструкции. Балки таких сооружений, как правило, стальные и сами по себе почти не поддаются ни заметному растяжению, ни сокращению длины (сжатию). Под действием внешней силы (например, погодных явлений) возможно лишь изменение их взаимного наклонения. Но с тремя сторонами заданной длины может существовать только один треугольник, так как все треугольники с соответственно равными сторонами равны между собой. Поэтому при неизменной длине балок, скрепленных в форме треугольника (хотя бы даже только шарнирами), углы, составленные ими, должны также оставаться неизменными. Среди всех и-угольников, составленных из стержней, только треугольники являются жесткими фигурами.
Исследовательская деятельность, по мнению В.А. Гусева, является частью творческой, «продуктом которой являются новые знания (либо новое знание о самом исследуемом объекте, либо новые знания о конкретном или специфическом методе исследования)» [101, c. 67]. Под учебно-исследовательской деятельностью учащихся В.А. Да-лингер понимает учебную деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих исследовательских умений [103]. Ученик, способный к исследовательской деятельности, должен не только обладать математическими знаниями, но и уметь действовать самостоятельно, нешаблонно, использовать накопленные теоретические сведения и практический опыт, критически осмысливать полученные результаты. Решение задач, связанных с приложениями математики, способствует формированию навыков исследовательской деятельности.
Учебная исследовательская деятельность предполагает наличие следующих основных этапов: 1. Постановка проблемы. 2. Изучение соответствующей теории, сбор материала по проблеме исследования. 3. Выдвижение гипотезы и подбор методов проведения исследования. 4. Анализ и обобщение собранного материала, выводы. 5. Представление результатов исследования [163].
В качестве иллюстрации возможности формирования навыков исследовательской деятельности с помощью задач на приложения приведем задачу из книги А.И. Островского [282]. Эта задача может быть составной частью учебного исследования, связанного с изучением основ начертательной геометрии.
SВ одной книге помещен рисунок (рис. 10), на котором изображены два вертикальных столба и их тени на горизонтальную плоскость. По этим данным требуется найти положение источника света (лампочки, фонаря) и его «основания» (т. е. проекции источника света на горизонтальную плоскость).
Исследовательская деятельность учащихся при решении такой задачи состоит поиске связи между физическим явлением и его математической интерпретацией; выявлении свойств понятий, отношений между ними. Учитель может направить исследование учащихся по следующему пути. Формулировка задачи связана с реальной ситуацией, понимание которой требует от учащихся знания закона о прямолинейности распространения световых лучей. Этот физический закон позволяет уяснить причину образования тени. Тени отбрасывают все непрозрачные тела, расположенные на пути лучей света. Лучи же, скользящие по контуру предмета, обрисовывают его тень. Следовательно, глядя на рисунок, справедливо предположить, что световой луч, идущий от источника света, положение которого необходимо определить, соединяет верхнюю точку столба и крайнюю точку тени. Итак, известно положение двух световых лучей, исходящих от источника. Т. к. оба столба освещены одним источником света, то он может находиться только на пересечении прямых, содержащих эти световые лучи.
Таким образом, для того, чтобы найти положение источника света необходимо к двум перпендикулярам и их проекциям на горизонтальную плоскость построить две наклонные и найти точку пересечения этих наклонных, которая и будет являться искомым источником света.
Поиск ответа на дополнительные вопросы связан со способностью представлять описанную ситуацию в новых преобразованных условиях, анализировать данные, делать выводы. В качестве одного из этапов поиска решения задачи целесообразно предложить учащимся проделать эксперимент по созданию реальной модели этой ситуации (например, используя плоскость стола, два закрепленных вертикально карандаша и настольную лампу). Приведем решение этой задачи, для обоснования которого использованы как математические, так и физические факты.
Решение. Введем обозначения: пусть отрезки АВ и СD – столбы, освещенные источником света, МВ и ND – их тени на горизонтальной плоскости . Необходимо построить точку S – источник света и точку K – её проекцию на плоскость . Для удобства элементы, которые даны в условии задачи, на чертеже будем обозначать сплошными линиями, остальные – штриховыми.
