Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода Фирстов, Виктор Егорович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Кибернетическая концепция в теории обучения: основания, проблематика, математические модели, классы задач и реализации

1.1. Современное представление кибернетики

1.1.1. Исторический экскурс и понятийный аппарат кибернетики .55

1.1.2. Формализованное описание кибернетической системы 62

1.1.3. Классы задач для кибернетических систем 67

1.2. Смысл и сущность кибернетической концепции в обучении

1.2.1. Процесс обучения в парадигме кибернетики: вопросы обоснования и проблематика 69

1.2.2. Метрические характеристики информации и их интерпретация в учебном процессе 75

1.2.3. Качественный аспект информации в обучении 83

1.3. Концепция искусственного интеллекта (ИИ) в учебном процессе

1.3.1. Искусственный интеллект: исторический экскурс 88

1.3.2. Психологические теории развития интеллекта 90

1.3.3. Психологические аспекты искусственного интеллекта 92

1.3.4. Элементы когнитологии

1.3.4.1. Общие положения 99

1.3.4.2. Модели представления знаний 101

1.3.4.3. Манипулирование знаниями 104

1.3.5. Модели распознавания образов и учебный процесс 109

1.3.6. Автоматизированные обучающие системы (АОС)

1.3.6.1. Некоторые общие замечания относительно АОС 115

1.3.6.2. Задачи дидактики, разрешимые в рамках АОС 117

1.3.6.3. Проблемы использования современных информационных технологий 118

1.3.6.4. Проблемы интерфейса в АОС 119

1.3.6.5. Проблемы обучения в гипертекстовой среде 121

1.3.6.6..Тенденции развития АОС: адаптивные обучающие системы (АдОС) 123

1.3.7. Электронная педагогика (ЭП)

1.3.7.1. Экспертные системы (ЭС) 125

1.3.7.2.Приложения и проблемная область ЭП 126

1.3.7.3. Оценки и перспективы ЭП 128

1.3.8. Нейросетевые модели обучения

1.3.8.1. Искусственный интеллект и нейронаука 131

1.3.8.2. Мозг — как функциональная система 133

1.3.8.3. Нейросетевые модели мозга: требования, описания и постановка задач 135

1.3.8.4. Нейросетевое обучение в дискретной модели Хопфилда 139

1.3.8.5. «Нейросетевая» педагогика и ее приложения 143

Выводы по главе 1 148

Глава 2. Теория информационных технологий и оптимальная организация учебного процесса

2.1. Замечания относительно определения и трактовки понятия «информационная технология» в образовании 153

2.2. Алгебраическая теория обучающих экспертных систем общего назначения

2.2.1. Экспертные системы — как технологический компонент личностно-ориентированного подхода в процессе обучения 155

2.2.2. Сократовский диалог и концепция развивающего обучения Л.С. Выготского - как составляющие алгоритма учебного процесса 156

2.2.3. Формирование базы знаний диалоговой обучающей ЭС 162

2.2.4. Алгоритмы тестирования - как частный случай диалога с ЭС : 167

2.2.5. Классно-урочная система обучения 172

2.2.6. Методика обучения моделированию и использованию ЭС в учебном процессе 177

2.3. Количественные меры информации и оптимизация группового сотрудничества при обучении

2.3.1. Теоретическая модель 178

2.3.2. Методические указания по реализации информационной технологии группового сотрудничества в учебном процессе 185

2.3.3. Результаты эксперимента 187

2.4. Информационная модель развивающего обучения 193

Выводы по главе 2 199

Глава 3. Теория семантических сетей при управлении качеством содержания образования и креативными процессами в обучении

3.1. Вопросы общей теории семантических сетей

3.1.1. Представление знаний в виде семантических сетей

3.1.1.1. Аксиоматический метод - как универсальный способ формирования теоретических знаний 203

3.1.1.2. Дискретная модель семантической сети для неформальной аксиоматической теории 206

3.1.2. Элементы топологии семантических сетей

3.1.2.1. Маршруты, расстояния и связность между вершинами семантической сети 209

3.1.2.2. Области доминирования предикатных вершин семантической сети 211

3.1.2.3. Емкости предикатных вершин семантической сети 213

3.1.2.4. Характерные размеры областей доминирования и система покрытий семантической сети 215

3.1.2.5. Концепция обобщения на метауровень при формировании аксиоматической теории в виде семантической сети(формализация креативных процессов) 217

3.1.3. Оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях

3.1.3.1. Классы задач сетевой оптимизации дедуктивного вывода 219

3.1.3.2. Система аксиом - как объект оптимизации 220

3.1.3.3. Минимизация длины и емкости дедуктивного вывода 222

3.1.3.4. Ранжировка значимости элементов информационного пространства дедуктивной теории 225

3.2. Примеры практических задач сетевой оптимизации в обществоведении и геометрии

3.2.1. Практика реформирования российского и советского конституционного законодательства 227

3.2.2. Оптимизация доказательств теоремы Пифагора и аксиоматики евклидовой геометрии

3.2.2.1. Общие замечания о способах доказательств теоремы Пифагора 232

3.2.2.2. Анализ евклидова доказательства теоремы Пифагора 233

3.2.2.3. Анализ доказательства Бхаскара: использование свойства равносоставленных плоских фигур 235

3.2.2.4. Анализ доказательства Бхаскара: использование подобия треугольников в аксиоматике Гильберта 237

3.2.2.5. Анализ векторного доказательства теоремы Пифагора 241

3.2.2.6. Процедура оптимизации доказательства теоремы Пифагора и обсуждение результатов 242

3.2.2.7. Опыт оптимизации евклидовой геометрии 246

3.2.2.8. Система постулатов - как объект оптимизации в процессе формирования евклидовой геометрии 249

3.3. Стохастические модели при формировании семантических сетей и оптимизация креативных процессов в обучении

3.3.1. Формирование информационного пространства дедуктивной теории как ветвящийся марковский процесс 252

3.3.2. Эффективная стратегия оптимизации исследовательской работы при обучении - как оптимальное управление случайным марковским процессом 258

3.3.3. GMP-стратегия и проблемы Гильберта 262

3.3.4. GMP-стратегия - как выражение мировоззренческой концепции канона 265

3.3.5. GMP-стратегия — как выражение идеи изоморфизма

3.3.5.1. Концепция изоморфизма в дидактике 271

3.3.5.2. Концепция изоморфизма при решении текстовых задач в школьном курсе алгебры 273

3.3.5.3. Операторная версия комплексных чисел в планиметрии 282

3.3.5.4. Концепция изоморфизма при решении задач линейного программирования 296

3.3.6. GMP-стратегия при реализации междисциплинарного подхода в обучении на основе концепции центризма

3.3.6.1. Междисциплинарный подход в обучении: основные положения и предварительные замечания 300

3.3.6.2. Концепция центризма - как общий методологический принцип 301

3.3.6.3. Архимедова концепция барицентра и ее интерпретация по Мебиусу 303

3.3.6.4. Концепция барицентра при определении объемов школьных многогранников и круглых тел 307

3.3.6.5. Барицентрические координаты и проективная геометрия 313

3.3.6.6. Барицентрические координаты в популяционной генетике 314

3.3.6.7. Хронология теории цвета; формализация живописного образа и концепция колориметрического барицентра...;.. 320

3.3:6:8. Описание цветового пространства живописного

образа и барицентрические координаты :... 323

3.3.6.9. Компьютерная реализация концепции колориметрического барицентра и анализ закономерностей его расположения в цветовом пространстве живописных композиций... 325

3.3:6; 10: Ансамбли колориметрических барицентров и, феномены психологии восприятия живописи 328

3.3:6:11. Некоторые замечания относительно преподавания математики в гуманитарной области знаний: .332

Выводы по главе 3. 336

Глава 4. Опыт управления креативными процессами при формировании умений и навыков математического исследования в учебном процессе

4.1. Общие сведения о феноменах математического творчества 344

4.2. Некоторые вопросы дидактики математического творчества 345

4.3. GMP- стратегия при обобщениях теоремы Пифагора 346

4.3.1. Задача Пифагора: полугрупповая теория и генеалогия пифагоровых троек 347

4.3.2. Обобщенные пифагоровы построения (ОПП) рекуррентные последовательности и рациональные точки конических сечений 352

4.3.3. Обсуждение результатов GMP-стратегии при обобщениях теоремы Пифагора в;дидактическом аспекте 366

4.4. GMP-стратегия при обобщениях алгоритма Евклида: реологические числа и их свойства; .370

4.5. Магические квадраты из домино и их построение 373

Выводы по главе 4 382

Заключение 387

Библиографический список 396

Приложения

Приложение 1. Программа спецкурса «Обучающие экспертные системы» для студентов специальности 032100.00 428

Приложение 2. Программа элективного курса «Обучающие экспертные системы» для учащихся 10-11 -х классов 430

Приложение 3. Программа элективного курса «Элементы комбинаторики и теории вероятностей с приложениями» для учащихся 10-11-х классов 431

Приложение 4. Технологические компоненты при оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе: итоговый тест по математике для учащихся 4-го класса общеобразовательных учреждений 435

Приложение 5. Технологические компоненты при оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе: тематический тест по алгебре для студентов 1-го курса специальности «032100.00 Математика с дополнительной специальностью»...437

Приложение 6. Конспект факультативных занятий в 9-м классе по теме «Нестандартное решение задач на совместно произведенную работу (СПР)» 439

Приложение 7. Пакет задач для проведения элективного курса «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии» 447

Приложение 8. «Избранные вопросы алгебры: линейное, дробно линейное и квадратичное программирование в контексте школьного образования» (рабочая программа дисциплины по выбору) 449

• Процесс обучения в парадигме кибернетики: вопросы обоснования и проблематика
• Сократовский диалог и концепция развивающего обучения Л.С. Выготского - как составляющие алгоритма учебного процесса
• Формирование информационного пространства дедуктивной теории как ветвящийся марковский процесс
• Обобщенные пифагоровы построения (ОПП) рекуррентные последовательности и рациональные точки конических сечений

Введение к работе

Актуальность исследования. Кибернетическая концепция в процессе обучения прослеживается с периода зарождения педагогической науки. Это связано с тем, что в области дидактики педагогика опирается на теорию когнитивных процессов, реализующих преобразование и передачу информации (знаний и опыта) от поколения к поколению. Поскольку информационная сущность процессов управления была осознана только в середине XX в., то длительное время продвижение кибернетической концепции в педагогике происходило на основе эмпирико-эвристических соображений, без должной систематизации.

Уровень общественного развития рубежа ХХ-ХХI вв. характеризуется необходимостью реализации возрастающих массивов информации, которой следует распорядиться рационально и в ограниченное время. Наметившаяся тенденция отражает главные проблемы современного образования, которые сводятся к интенсификации учебных процессов, реализующих усвоение больших массивов знаний, приобретение опыта и выработку необходимых компетенций в течение ограниченного периода обучения. Необходимость эффективного управления учебными процессами определяет актуальность кибернетической концепции в дидактике, поскольку определение оптимальных параметров управления такими процессами в натурных условиях часто бывает затруднительным, и их оценка происходит в рамках математических моделей на основе дидактических закономерностей рассматриваемого процесса. Таким образом, концепция кибернетики реализует теоретический метод исследования дидактических процессов, проводимый в категории морфизма.

Целенаправленность и информационная сущность дидактических процессов определяют объективную связь между кибернетикой и педагогикой. Эта связь реализуется на основе теории информации и кибернетики (К.Шеннон, Н.Винер; 1948), опираясь на универсальные информационные принципы управления процессами любой природы, включая процессы обучения. В союзе с кибернетикой педагогическая наука, помимо экспериментального метода исследования, приобретает основательный теоретический метод, переводящий педагогическое знание с уровня феноменологической (описательной) теории на логико-математический уровень развитой теории (в терминологии В.К.Лукашевича). У педагогики на уровне развитой теории, кроме функции фиксации знаний, за счет логического вывода появляются функции приращения, объяснения и предсказания знаний об исследуемом объекте. Объективность этого процесса _{обусловлена тем, что педагогическая наука все больше нуждается в формализованном языке, причем, не столько для реализации собственных концепций, сколько для анализа непростой логики дидактических процессов.} Пока педагогика представлена, больше, на уровне феноменологической теории, однако содержит весомый кибернетический контент, который при нарастающей информатизации образовательного пространства объективно увеличивается, и вопросы моделирования, толкования и прогнозирования дидактических процессов приобретают существенное значение.

Актуальность кибернетической концепции в дидактике обусловлена также тем, что в настоящее время ИКТ, фактически, стали неотъемлемой частью учебных процессов. В то же время, вопросы теории обучения в информационно-образовательной среде до конца не урегулированы. Остается проблематика рациональной интеграции ИКТ и оптимизации факторов компьютерного интерфейса в учебных процессах, разрешить которую без привлечения кибернетических принципов затруднительно (Н.Д.Никандров, В.Л.Матросов, А.А.Кузнецов, Я.А.Ваграменко, И.В.Роберт и др.). Современные интеллектуальные обучающие системы (ИОС) строятся на основе данных когнитивной и гештальт-психологии, моделируя отдельные нейросетевые алгоритмы обучения нейронных ансамблей в человеческом мозге, которые реализуют параллельную обработку информации и представляют большой интерес для дидактики.. В этом аспекте актуальность кибернетического подхода обусловлена возможностью моделирования мыслительных процессов человека, проводя на уровне искусственного интеллекта или нейродинамики эффективные алгоритмы обучения (F.Rosenblatt, М.М. Бонгард, Я.З.Цыпкин, М.Минский, R.J.Anderson, J.J.Hopfild и др.).

Проведение кибернетической концепции в сфере образования призвано обеспечить качественное улучшение показателей обучения и при своем разрешении выводит на инновационные пути развития педагогической науки, реализуя положения «Национальной доктрины развития образования в РФ (на период 2000-2025 гг.)», и приоритетные направления национальных проектов в области образования. Решение данного комплекса проблем требует соответствующей кадровой подготовки, включающей перечисленные компоненты педагогической деятельности. Актуальность данного вопроса обусловлена тем, что стратегическая линия, проводимая при подготовке учителей математики по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью» в рамках ГОС ВПО-2 (2005), а также в проектах ФГОС ВПО-3 (под ред. Г.А. Бордовского, В.Л. Матросова и В.В. Рубцова), предусматривая профессионально направленное обучение математике, содержание такого обучения не конкретизирует. При этом, на уровне общего образования в проектах ФГОС 2-го поколения (под ред. А.М. Кондакова и А.А.Кузнецова), предусматривается «включение содержания обучения в контекст решения значимых жизненных задач», что означает обучение математическому моделированию. Поскольку вопросы дидактики математического моделирования пока, в полной мере, не разрешены, то вузам, кафедрам и преподавателям предложено самим сформировать это содержание, используя опыт отечественной дидактики 60-70 гг., который опирался на кибернетические представления.

Указанный вектор управления современным российским образованием обусловлен реалиями XXI в. при переходе к постиндустриальному обществу, который ускорил процессы глобализации, и профессиональная деятельность протекает в постоянно изменяющихся условиях, требуя умения мобильно решать возникающие нестандартные проблемы. В условиях, когда принятие обоснованного решения по оптимизации образовательной траектории системы происходит в ограниченное время, естественно, прибегнуть к математическому моделированию дидактических процессов. Моделирование является теоретической основой кибернетики и, таким образом, представленная аргументация говорит о том, что, разрешение широкого круга вопросов дидактической проблематики в рамках кибернетической концепции, проведенное в данном диссертационном исследовании, является актуальным, способствующим развитию и совершенствованию школьного математического образования.

Опыт кибернетики в дидактике. В отечественной дидактике кибернетические традиции разрабатываются около полувека, однако до недавнего времени не представляли магистрального направления. Смысл и сущность кибернетической трактовки дидактических процессов, а также анализ структуры и содержания обучения с позиций кибернетики, одним из первых, рассмотрел Л.Б.Ительсон (1964). На 2-м пленуме Научно-методического совета по педагогике высшей школы (1967) был заслушан доклад С.И. Архангельского «Научная организация учебного процесса», в котором принципы кибернетики и теории информации распространялись в область высшего образования.

В рамках кибернетики управление дидактическими процессами может проводиться, как по линии совершенствования их системной организации, так и путем воздействия на их содержательный компонент. В первом случае, по В.И. Арнольду, речь идет о «жестких», а, во втором, о «мягких» моделях управления дидактическими процессами. По линии организации процессов обучения Ю.К.Бабанский построил классификацию методов обучения по трем признакам – организации, стимулированию и контролю учебного процесса. Управление учебным процессом путем воздействия на содержание обучения, как показал Л.Б. Ительсон (1973), зависит от психологической модели, лежащей в основе процесса обучения. В целом, вопросы формирования содержания образования в педагогике остаются дискуссионными и выделяются три концепции (В.А. Тестов, 2006), трактующие содержание как: педагогически адаптированные основы наук, изучаемых в школе или вузе (М.Н.Скаткин,1980); совокупность ЗУН, которые должны быть усвоены обучаемым контингентом (В.П. Беспалько, 1989); педагогически адаптированный социальный опыт человечества, изоморфный сложившимся культурным ценностям во всей их структурной полноте (В.В. Краевский, 2003). В последнем случае в основу положена тринитарная методология и в содержании образования выделяются три равноправных компонента: фундаментальность (передача знаний), гуманистическая ориентация (воспитание) и профессиональная направленность (развитие умения).

Формирование содержания образования отвечает за его качество в силу того, что абстрактное количество информации, связанное с образовательным контентом, в учебном процессе приобретает качества, обусловленные дидактическими принципами. Вопросы качества образования обозначены в приоритетных направлениях развития системы образования РФ до 2010 г. в части разработки Общероссийской системы оценки качества образования (ОСОКО) как системы, прежде всего, внешней оценки результатов образования в интересах личности, общества и государства (В.А. Болотов, 2007). Система показателей ОСОКО должна оценивать качество как меру отклонения образовательной траектории системы от поставленных директив (целей образования), и попытки построения такой теории предпринимались в 60-х гг. ХХ в. (Н.М.Амосов, Р.Карнап, Й.Бар-Хиллел, Ю.А. Шрейдер, А.А. Харкевич и др.). В последнее время для этих целей задействованы концепции синергетики (Г. Хакен), т.к. самоорганизация на микроуровне системы приводит к проявлению определенных качеств на ее макроуровне. Однако, пока разработка общей теории меры качественной информации конкретных результатов не дала, и, таким образом, при создании эффективной ОСОКО формирование системы оценочных показателей представляет проблемный фактор. Один из подходов к управлению качеством содержания образования опирается на исследования, проводимые в Ярославском педуниверситете им. К.Д. Ушинского при подготовке учителей естественнонаучного профиля на основе инновационной концепции фундирования содержания предметных курсов и наглядного моделирования в процессе обучения математике в школе и вузе (В.Д. Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И. Смирнов и др.).

Проведение кибернетической концепции в отечественном образовании отличалось нерегулярностью и период ее интенсивного развития в 60-70 гг. на рубеже 70-80 гг. сменился спадом. Причина спада связана с тем, что при обосновании кибернетической концепции в педагогике у Л.Б.Ительсона (1964) и С.И.Архангельского (1976) вопросы теории математического моделирования дидактических процессов, в основном, рассмотрены частным образом и основной приоритет кибернетики – оптимизация управления дидактическими процессами посредством математического моделирования не получает полного обоснования. В развитых странах (США, Англия, Франция, Япония и др.) такой спад не наблюдался, т.к. «компьютерная волна» 80-х гг. в этих странах привела к формированию образовательного киберпространства, что в педагогической психологии наметило переход от концепции бихевиоризма к концепции когнитивной психологии (Дж. Андерсон, 1983). В этот период в образовании реализуются многочисленные ИКТ-версии систем тестирования, создаются обучающие экспертные системы (ЭС), а также автоматизированные обучающие системы (АОС) в виде локальных компьютерных сетей (компьютерных классов). Дальнейшее развитие АОС представляют так называемые адаптивные обучающие системы (АдОС), позволяющие в широком формате реализацию технологий личностно-ориентированной педагогики. Появление Интернета дало развитие новым формам открытого образования посредством дистанционного обучения. В России аналогичные процессы инициировались в 1996 г., когда в Москве состоялся Конгресс ЮНЕСКО, который ясно показал, что многие страны связывают дальнейшее развитие национальных систем образования с широкоформатным использованием дистанционных технологий обучения. Это направление получило широкую поддержку вузовской общественности России в рамках Всероссийского эксперимента в области использования ИКТ в дистанционном обучении, который проводился в 1997-2002 гг., и его результаты в июне 2002 г. коллегией Минобразования РФ оценены положительно. Фактор отставания России в этой области не следует расценивать негативно, поскольку проблематика электронной педагогики далека от полного разрешения, что показывает опыт реализации открытого образования в СГУ им. Н.Г. Чернышевского (Л.Ю. Коссович, Н.А. Иванова, И.Г. Малинский, В.Е. Фирстов).

Приведенные аргументы показывают возможности кибернетики при разрешении дидактической проблематики и свидетельствуют об усилении тенденций в этом направлении. Дело в том, что кибернетика способствует развитию теории обучения, разрешая возникающие противоречия между ее содержанием и формой не только посредством опыта, но и в рамках категории морфизма, путем моделирования и оптимизации дидактических процессов. Естественно, кибернетическая модель процесса обучения представляет его некий аналог, однако такие модели имеют количественную интерпретацию, что дает возможность получения такой информации о закономерностях учебного процесса, какую не дают собственные понятия дидактики, т.е. кибернетическую концепцию в обучении следует рассматривать в логике принципа дополнительности. Поскольку управление в кибернетике – это преобразование информации в абстрактном смысле, то, следуя логике принципа дополнительности, в дидактике, таким образом, могут разрешаться противоречия самой различной природы и, в этой связи, в современном образовательном пространстве имеют место следующие противоречия:

между сложившейся практикой интерпретации опыта обучения математике в средней школе на уровне феноменологической теории и необходимостью адекватного отражения проблемности и теоретического анализа ситуаций при выборе учителем стратегии управления процессом обучения математике в средней школе;

между объективным процессом возрастания массивов информации, осваиваемых и передаваемых обучаемому контингенту, и директивными требованиями по качеству ее усвоения за ограниченный период времени в процессе обучения математике;

между практикой реализации кибернетического и личностно-ориентированного подходов при обучении математике в школе и недостаточным уровнем математического моделирования проблем управления креативными процессами при обучении математике;

между особенностями реализации логических методов в математике и гуманитарных науках и необходимостью обоснования средств эффективного обучения математике в гуманитарной области образования.

Необходимость разрешения данных противоречий определяет проблему настоящего диссертационного исследования, которую можно сформулировать в следующем виде: «Каким образом и насколько эффективно кибернетическая концепция может использоваться для управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню формирования математических знаний и компетенций школьников?»

Актуальность, высокая практическая значимость и недостаточная разработанность данной проблемы обусловили выбор темы настоящего диссертационного исследования: «Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода».

Объект исследования – процесс обучения математике в полной средней школе.

Предмет исследования методы управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода.

Цель исследования – на основе кибернетической концепции разработать теоретические основы и обосновать математические модели управления когнитивными процессами учащихся при обучении математике в средней школе.

Концепция исследования представляет разработку научных основ решения поставленной проблемы путем построения теории математических моделей управления когнитивными процессами при обучении математике учащихся средней школы, исходя из информационной сущности дидактических процессов:

1). В этом случае управление проводится путем целевого воздействия на количественный или качественный аспекты информации, реализуемой в процессе обучения математике в средней школе.

2). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на количественный аспект информации, реализуемой в учебном процессе, формируются на основе метрических функций. Процедура оптимизации в этом случае носит универсальный характер и названа оптимизацией 1-го рода. В ее основе лежат абстрактные количественные меры информации и управление данными процессами проводится по критерию минимума информационной энтропии.

3). Модели управления когнитивными процессами учащихся путем воздействия на качественный (семантический) аспект информации данного образовательного контента, строятся в рамках принятой когнитологической модели, представляющей систему знаний посредством неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети и процедура оптимизации в таких моделях названа оптимизацией 2-го рода: данная сеть метризуется и характеризуется системой покрытий, что позволяет ввести сетевые параметры, управляющие качественными аспектами данной системы знаний. Таким образом, выделяются классы задач сетевого управления, моделирующие формирование и освоение образовательного контента в учебном процессе:

управление путем совершенствования аксиоматики теории;

оптимизация дедуктивного вывода на семантических сетях;

ранжировка значимости элементов семантической сети.

4). Оптимизация в рамках первых двух классов задач наблюдается в развитии отечественного школьного обучения геометрии, начиная со 2-ой половины XVIII в. При этом оптимизация дедуктивного вывода опирается на алгоритмический информационный подход А.Н. Колмогорова (1965), что позволяет реализовать управление качеством содержания обучения.

5). Ранжировка значимости элементов семантической сети формирует управление креативными процессами учащихся, опираясь на закономерности генезиса математики. Формально, творческий поиск представляется случайным процессом в информационном пространстве данной аксиоматической теории и его оптимизация по критерию значимости реализует одну из стратегий оптимального управления ветвящимся марковским процессом.

6). Построение теории математических моделей для эффективного управления когнитивными процессами в школьном обучении математике предусматривает разработку базисного комплекса математических моделей. В класс базисных моделей оптимизации 1-го рода входят: «сократовский» диалог, тестирование, классно-урочная система обучения, организация группового сотрудничества учащихся при выполнении учебной работы и процедура тематического планирования учебного процесса. В класс базисных моделей оптимизации 2-го рода, отнесены модели формирования содержания обучения, креативной педагогики и интегрированного обучения математике.

Гипотеза исследования – разработка математических моделей управления когнитивными процессами на основе кибернетической концепции представляет важный компонент повышения эффективности и качества школьного обучения математике, если:

алгебраические модели управления процессом обучения (тестирование, ЭС, АОС, АдОС и т.п.), рзработаны в рамках системных дидактических принципов (целостности, развивающего обучения, наглядности моделирования и др.);

для базисных моделей организации группового сотрудничества на занятии (коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке, проблемного обучения и т.п.), а также процедуры календарно-тематического планирования предметного материала в учебном процессе механизм оптимизации математического моделирования происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данных процессах;

повышение эффективности обучения математике в средней школе путем организации группового сотрудничества на занятиях на основе кибернетического подхода определяется онтогенетическими параметрами обучаемого контингента;

управление качеством школьного обучения математике строится на основе контент-анализа его содержания, представленного неформальной аксиоматической теорией в виде семантической сети, топологические характеристики которой являются параметрами оптимизации качества данного математического контента (за счет выбора совершенной аксиоматики и путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода). При этом процесс управления адекватно коррелирует с системой дидактических принципов обучения математике;

управление креативными процессами при обучении математике в школе строится как оптимальное управление ветвящимся марковским процессом на основе стратегии «больших узловых точек (great main points)» или GMP-стратегии, проводимой по критерию значимости между вершинами предметной области соответствующей семантической сети, и эффективный творческий поиск исходит из достаточно значимых теоретических посылок;

при интегрированном обучении математике в средней школе реализация GMP-стратегии для управления креативными процессами проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма или морфизма), способствуя развитию познавательных мотиваций и математическому самообразованию учащихся.

Задачи исследования – ставятся в соответствии с целью, концепцией и гипотезой исследования и сводятся к следующим:

1). Исходя из психологической концепции развивающего обучения Л.С. Выготского построить дидактическую модель обучающей экспертной системы (ЭС) общего назначения, реализующей управление показателями академической успешности (успеваемости) учащихся на основе актуализации образовательного контента и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации.

2). Разработать программу спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение и реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

3). Построить базисные теоретико-информационные модели для управления эффективностью когнитивных процессов учащихся при обучении путем воздействия на количественный аспект информации соответствующего образовательного контента в рамках оптимизации 1-го рода:

модель учебного процесса, которая определяет оптимальное распределение образовательного контента по шагам траектории обучения посредством минимизации информационной энтропии, связанной с усвоением структурированного массива знаний;

модель организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения, в которой оптимизация разбиения обучаемого контингента на группы проводится по принципу минимума информационной энтропии при оптимальном варианте разбиения;

4). Выявить закономерности оптимизации управления учебным процессом при организации группового сотрудничества или модульного обучения путем минимизации информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули).

5). Разработать ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно, следуя критерию минимума энтропии информации для оптимальной конфигурации разбиения, которая интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения.

6). Разработать и обосновать концепцию и модель представления содержания обучения в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, а также определить классы задач и параметры сетевой оптимизации 2-го рода, позволяющие воздействовать на качество образовательного контента:

показать, что при управлении качеством содержания школьной геометрии, ее аксиоматика представляет один из параметров оптимизации;

показать, что минимизация длины (или емкости) дедуктивного вывода является параметром оптимизации качества содержания школьной геометрии при условии, что эта процедура вписана в систему дидактических принципов процесса обучения.

7). На основе генетического подхода разработать математическую модель управления креативными процессами учащихся при обучении математике в средней школе, для чего необходимо:

показать, что управление процессом математического творчества формируется как управление случайным процессом марковского типа. Стратегия такого управления вытекает из характерной закономерности генезиса математики, по которой роль ее отдельных положений в процессе развития неодинакова и управление таким процессом реализуется по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей ту область математики, в которой перед обучаемым поставлена проблема;

дать обоснование критерия значимости как параметра управления креативными процессами при обучении математике в средней школе, заданного в виде отношения доминирования между вершинами предметной области соответствующей семантической сети. Выводы формируются на основе концепции GMP-стратегии, по которой творческий поиск оказывается результативным, если он исходит из значимых теоретические посылок;

показать, что при междисциплинарном обучении реализация GMP-стратегии управления креативным процессом проводится в рамках некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретико-методологическими основами исследования являются:

концепция структурализма в методологии науки (Ф. де Соссюр, К. Леви-Строс, М.Фуко и др.);

концепции педагогической психологии в «классическом» варианте (К.Д.Ушинский, П.П.Блонский, М.Я.Басов, С.Л.Рубинштейн, Ж.Пиаже, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, А.Н.Леонтьев и др.);

положения психофизиологии (И.М.Сеченов, В.М.Бехтерев, И.П. Павлов: теория рефлекса), гештальт-психологии (М.Вертгеймер, В.Келер и др.) и нейрофизиологии (Д.Хебб: механизмы памяти);

функциональная концепция психологии (W.James), теория функциональных систем и метод функциональных аналогий (Э.Л.Пост, П.К.Анохин, В.Д.Шадриков и др.);

концепции кибернетики (Н.Винер), теории информации (К.Шеннон, Н. Рашевский, А.Н. Коломогоров) и синергетики (И.Р.Пригожин, Г.Хакен);

принципы образования и дидактики в Законе РФ «Об образовании» (В.П.Беспалько, В.В.Краевский, Г.Л.Луканкин, В.Л.Матросов и др.);

личностно-ориентированная концепция образования (Б.М.Теплов, В.В.Краевский, В.В.Давыдов, В.Д.Шадриков, И.Я.Лернер и др.);

концепции интегрированного (междисциплинарного) образования и педагогических технологий (Ю.А.Самарин, Г.И.Беленький, В.М.Монахов);

работы ведущих отечественных специалистов в области дидактики школьной математики (В.М.Брадис, Н.Я.Виленкин, Г.В.Дорофеев, Н.Х.Розов, В.Г.Болтянский, В.М.Монахов, А.Г.Мордкович, В.А.Гусев, Г.Л.Луканкин, Г.И.Саранцев, В.В.Афанасьев, В.А.Тестов, В.И. Игошин и др.);

опыт применения кибернетики в педагогике (Л.Б.Ительсон, С.И.Архангельский, В.П.Беспалько, А.В. Брушлинский, Ю.К.Бабанский );

педагогические концепции развивающего (Л.С.Выготский, Л.В. Занков, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов), проблемного (С.Л.Рубинштейн, М.Н. Скаткин, М.И.Махмутов, И.Я.Лернер) и эвристического (Д. Пойа, А.В. Хуторской) обучения;

концепции педагогики группового сотрудничества в учебном процессе (Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, А.В.Петровский, Д.Б.Богоявленская и др.);

исследования, отражающие генезис современной электронной педагогики: классические работы по программированному обучения и АОС (В.П.Беспалько, А.Н.Леонтьев, П.Я.Гальперин, С.Осуга, В.С.Аванесов, В.А. Хлебников), системы личностно-ориентированного адаптивного обучения и Web-технологии в системах открытого образования (J.R.Anderson, Н.Д.Никандров В.Л.Матросов, Я.А.Ваграменко, И.В. Роберт, А.А. Андреев, П.Л.Брусиловский, D.Suthers, K.Nakabayashi, В.И.Солдаткин,С.А.Щенников);

концепции фундирования и наглядного моделирования Ярославской педагогической школы в проектировании содержания и технологий обучения математике (В.Д.Шадриков, Ю.П.Поваренков, В.В. Афанасьев, Е.И.Смирнов и др.);

исследования в области психологии математического творчества (Аристотель, Р.Декарт, Г.Лейбниц, И.Кант, А.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Пойа, Г.Биркгофф, А.Реньи, Г.И.Рузавин и др.);

концепции и принципы креативной педагогики (Д.Б. Богоявленская, А.В. Брушлинский, М.А. Холодная, В.Д. Шадриков, В.А. Гусев, Е.И. Смирнов, А.В. Ястребов, В.С. Секованов и др.);

современные концепции интеллекта: гештальт-психологические и когнитологические теории (R.Glaser, J.R.Anderson, Б.М.Величковский, Б.Г. Ананьев, В.М.Сергеев), процессуально-деятельностный подход (Л.А.Венгер, А.В.Брушлинский), информационный подход (Э.Хант, Р.Стернберг), интеллект как форма организации ментального опыта (М.А.Холодная);

концепция «искусственного интеллекта» (А.М.Тьюринг, Э.Пост, Н.Винер, К.Шеннон, Дж. фон Нейман, А.Н. Колмогоров, В.Л.Матросов, С.К.Клини, М.Минский, Я.З.Цыпкин, В.М.Глушков, Д.А.Поспелов и др.);

нейронаука и эволюционная биокибернетика как концепции междисциплинарного исследования когнитивных процессов (F.Rosenblatt, М.М.Бонгард, J.J.Hopfild, В.Г.Редько, С.П.Курдюмов, Г.Г.Малинецкий и др.).

Методы педагогического исследования, используемые для решения поставленной проблемы, представляют комплекс взаимодополняющих методов, проводимых адекватно цели и задачам диссертационного исследования в рамках общелогических методов познания (сравнения, анализа, синтеза, абстракции, обобщения, индукции, дедукции, аналогии и моделирования). Комплекс теоретических методов исследования составляют: метод единства исторического и логического, аксиоматический метод, формализация (математическое моделирование), гипотетико-дедуктивный метод, а также метод восхождения от абстрактного к конкретному, за которым следует апробация теоретических результатов в предметной области исследования традиционными методами педагогической диагностики: наблюдение, экспертные оценки, тестирование и опрос. Для апробации теоретических моделей управления когнитивными процессами школьников при их обучении математике проводились прямые эксперименты в учебном процессе, достоверность результатов которых устанавливалась стандартными средствами проверки статистических гипотез (программа Statistica for Windows, V.6).

Экспериментальная база и этапы исследования. Исследования по теме диссертации проводились в 1997-2010 гг. и затронули период, когда в России проходила интеграция региональной высшей школы. Поэтому начинались исследования на базе физико-математического факультета Саратовского государственного педагогического института им. К.А.Федина, а после интеграции продолжились на механико-математическом факультете Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

На уровне школьного образования исследования проводились в школах №65 Волжского, №18 Фрунзенского, №93 Кировского и на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского районов г. Саратова, а также по линиям ГОУ ДПО «Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования (СарИПКиПРО)» Министерства образования Саратовской области, ИДПО СГУ, филиала Федерального центра тестирования при СГУ и Центра открытого образования СГУ.

На 1-ом этапе (1997-2002гг.) формировалась парадигма исследования, направленного на повышение эффективности школьного математического образования. В основу был положен генетический принцип обучения математике в оригинальной трактовке, суть которой сводилась к тому, что пути совершенствования данного предмета следует искать среди закономерностей генезиса математики. Для этого проводился широкий историко-математический анализ, позволивший выявить характерную закономерность, по которой в процессе развития математики роль отдельных математических положений явно неодинакова и остается востребованной в современной математике. Поэтому потенциал идей, связанных с такого рода значимыми положениями (универсумами), далеко не исчерпан и его реализация ведет к обнаружению оригинальных математических результатов. Таким образом, формируется оригинальная GMP-стратегия управления процессами математического творчества, которая способствует развитию познавательных мотиваций учащихся в процессе школьного обучения, т.к. результативность творческого поиска в математике оказывается выше, если этот поиск проводится путем последовательных обобщений некоторого универсума (или их комбинации). Поначалу, для апробации GMP-стратегии и выяснения особенностей методики ее реализации строилась цепочка обобщений, исходя из универсума, каковым выступила теорема о делении с остатком. Это исследование подтвердило концептуальные предпосылки GMP-стратегии и составило содержание элективного курса «Реологические числа и их свойства» для старших классов средней школы и в расширенной версии для студентов – будущих учителей математики.

На 2-м этапе (2002-2006гг.) GMP-стратегия проводилась в области геометрии и творческий поиск формировался путем обобщений универсума в виде теоремы Пифагора. Результаты этих исследований систематизированы в двух авторских монографиях, представляющих содержание элективных курсов, как для школьников профильного уровня обучения, так и студентов математических специальностей университетов и педвузов. При этом, используемый математический аппарат только в отдельных случаях выходит за уровень школьного углубленного изучения математики и, хотя в процессе обобщений уровень абстракции постепенно нарастает, тем не менее, понимание и усвоение нового математического материала, привлекаемого в процессе исследования, в этом случае облегчено тем, что его применение органично вписано в разрешение конкретной ситуации, следуя постулатам концепции наглядного моделирования.

Эти данные свидетельствовали о том, что в рамках GMP-стратегии, посредством определенной педагогической деятельности, реализуется эффективное математическое образование и самообразование школьников. Причину такой эффективности можно установить, исследуя структуру математического знания, что было сделано в третьей авторской монографии, где содержание предметной области математики представлено в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети. Эта сеть метризуется и характеризуется определенной системой покрытий, что позволяет определить параметры оптимизации, управляющие качественными аспектами рассматриваемой системы знаний. Установлено, что качеством системы знаний в области математики управляют два фактора: рациональный выбор системы аксиом и параметры (длина или емкость) дедуктивного вывода для элементов семантической сети, моделирующей данную систему знаний. Как показывает анализ исторического опыта, именно эти факторы управляют развитием школьной геометрии в отечественной дидактике на протяжении последних 250 лет, причем, закономерность такова, что в школьном обучении геометрии принципы наглядности и доступности, как правило, доминировали над принципом математической абстракции.

На 3-м этапе (2006-2010гг.) дается толкование закономерностей креативных процессов на основе GMP-стратегии при обучении математике в школе. Для этого между элементами семантической сети, представляющей данную систему знаний, на основе сетевых параметров вводится отношение доминирования и элементы сети ранжируются по значимости. Креативный поиск трактуется как случайный процесс освоения данной семантической сети и представляет неоднородный ветвящийся марковский процесс. Его особенность такова, что у элементов с бльшей значимостью в процессе поиска вероятность перехода к новому состоянию (решение проблемы) оказывается выше, что объясняет эффективность GMP-стратегии при построении математического исследования от универсума.

Обобщение GMP-стратегии на междисциплинарный уровень обучения математике строится на основе общих методологических концепций: канона, центризма или морфизма. В частности, канон демократии исходит из идеала справедливости путем принятия решения большинством голосов граждан. В рамках GMP-стратегии этот идеал аксиоматизируется и на этой основе строится формальная теория государства, которая составляет предмет современной теории кооперативных игр, элементы которой составляют основу школьного факультатива по обществознанию. Концепция центризма в рамках GMP-стратегии реализуется на основе архимедовой концепции барицентра по трем направлениям. Во-первых, на этой основе проводится лабораторный практикум «Определение формул для объемов выпуклых многогранников и круглых тел методом взвешивания» для учащихся 11-х классов средней школы. Во-вторых, концепция барицентра по А.Мебиусу представляет оригинальную трактовку законов генетики и на этой основе проводятся интегрированные занятия на уровне профильного обучения биологии. В-третьих, концепция барицентра распространяется в цветовое пространство произведений живописи и с помощью современных ИКТ позволяет установить закономерности психологии творчества и восприятия живописного искусства и, таким образом, реализуется один из подходов к обучению математике в гуманитарной области знаний. Концепция морфизма в рамках GMP-стратегии проводилась в виде универсального подхода к решению текстовых задач в рамках школьного факультатива по алгебре в 9-х классах; на основе операторной версии комплексных чисел при решении задач планиметрии в 10-11 классах профильного уровня обучения математике; в виде элективного курса «Задачи линейного программирования в экономике и физике» для 10-11 классов соответствующего профиля.

Таким образом, на основе кибернетической концепции формируется общий подход к построению теории математических моделей управления процессами, обучения математике в школе, изложенный в итоговой авторской монографии. В частности, психологическая концепция развивающего обучения Л.С. Выготского в диалоге моделируется системой алгебраических автоматов, реализующей алгоритм дидактической (обучающей) экспертной системы (ЭС) общего назначения. На этой основе построено содержание спецкурса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включая реализацию простейших программных продуктов для изучения элементов школьного курса математики. Управление учебным процессом на основе количественных мер информации, происходит по принципу минимизации информационной энтропии в данном процессе. Эта закономерность подтверждается опытом оптимизации процесса обучения математике путем эффективного разбиения класса на группы для выполнения заданной коллективно-распределенной учебной деятельности, которые показали повышение показателей эффективности обучения на 27,5% в 4-м классе; на 25% в 9-м классе и на 20-25% в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе. Методика проведения таких измерений составила основу ииновационной ИКТ для организации эффективного группового сотрудничества в процессе обучения математике в школе. Принцип минимизации информационной энтропии лежит в основе управления модульным обучением и формированием календарно-тематического планирования содержания обучения математике, хотя в случае модульного обучения имеют место онтогенетические эффекты и оно распространено в высшей школе, однако на школьном уровне его применение ограничено.

Управление учебным процессом при воздействии на качественный (семантический) аспект информации системы математических знаний, представленной в виде семантической сети, происходит путем минимизации длины или емкости дедуктивного вывода для элементов этой сети. Этот критерий является необходимым; достаточность обеспечивается, если его реализация вписывается в систему дидактических принципов процесса обучения математике. Управление креативными процессами по критерию значимости при обучении математике в рамках GMP-стратегии опирается на психофункциональные закономерности творческого поиска в процессе математического исследования. Таким образом, в процессе этапов исследования на основе принципов кибернетики, в соответствии с целью, концепцией, гипотезой и задачами диссертационного исследования, построен и апробирован базисный комплекс математических моделей, реализующий эффективное управление дидактическими процессами при обучении математике в средней школе.

Прошло более 30 лет с момента появления монографий «первой волны» по кибернетическим методам в педагогике. Сегодня ситуация в этой области стала качественно иной и, фактически, в данном диссертационном исследовании, впервые, предпринята попытка осмыслить новое положение и новые соотношения между кибернетикой и педагогикой. Качественной закономерностью «кибернетизации» образовательного пространства является иерархический характер этого процесса: 1-й уровень «кибернетизации» связан с насыщением образовательного пространства средствами ИКТ; на 2-м уровне происходит формализация понятийно-категориального аппарата и закономерностей учебных процессов до состояния развитой теории, способной предсказывать и прогнозировать результаты этих процессов; на 3-м уровне, в перспективе, обучающие нейросетевые алгоритмы мозга воплощаются в сфере педагогики. Таким образом, «кибернетизация» образовательного пространства, фактически, представляет форму принципа рефлексии, который реализует познание человеческой сути через психологию.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

впервые, исходя из информационной сущности дидактических процессов, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению учебными процессами путем математического моделирования, позволяющий выявить, обосновать и эффективно реализовать дидактические закономерности для управления когнитивными процессами при обучении математике в средней школе, обеспечивая современные требования по уровню математических знаний и компетенций школьников;

построена классификация моделей управления учебным процессом по информационному признаку: модели 1-го рода, если параметр управления в учебном процессе представляет количественная мера информации и критерий управления сводится к минимизации информационной энтропии данного процесса; модели 2-го рода, если параметр управления представляет качественный аспект информации, связанной с образовательным контентом, когда критерий качества обусловлен топологией семантической сети, представляющей данную систему знаний, и зависит от исходной системы постулатов и параметров логического вывода (длины и емкости);

построена дидактическая модель обучающей ЭС общего назначения путем алгебраической интерпретации динамики прохождения образовательного контента и выделения образовательной траектории с минимальной энтропией информации, что позволяет выявить закономерность управления динамикой академической успешности учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития при обучении математике в средней школе;

построена информационная модель распределения образовательного контента по шагам траектории учебного процесса на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, оптимизация которой происходит по принципу минимизации информационной энтропии в процессе усвоения структурированного массива знаний;

разработана инновационная ИКТ для организации эффективного обучения математике в средней школе путем разбиения класса на малые группы, проводимого поэтапно по критерию минимума информационной энтропии для оптимальной конфигурации разбиения, которая затем интегрируется в версиях проблемного или эвристического обучения;

для проведения оптимизации 2-го рода разработана и обоснована концепция и модель представления содержания обучения школьной математике в рамках неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети, метрические и топологические характеристики которой управляют качеством образовательного контента;

впервые, на основе кибернетической концепции разработан общий подход к управлению креативными процессами при обучении математике в школе, по которому творческий поиск моделируется случайным процессом и происходит в рамках семантической сети, представляющей рассматриваемую систему знаний;

установлено, что стратегии управления креативными процессами при обучении математике в школе опираются на универсальную закономерность математического поиска, который представляет ветвящийся марковский процесс и его оптимизация происходит по критерию значимости исходных посылок на основе GMP-стратегии;

дано определение критерия значимости в системе математического знания как отношения доминирования между элементами соответствующей семантической сети, которое строится по двум параметрам – логической дистанции от источников (системы постулатов) и информационной емкости области доминирования элемента сети;

на примерах реализации математических моделей в экономике, обществоведении, искусствознании, биологии и физике показано, что в случае междисциплинарного обучения GMP-стратегия проводится на основе некоторой общей методологии (канона, центризма, морфизма и т.п.).

Теоретическая значимость исследования определяется его вкладом в педагогическую науку, который представляют следующие результаты:

разработана теория обучающих экспертных систем, алгоритм которой построен на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского и реализует режимы консультации, приобретения и контроля знаний в рамках ИКТ в процессе обучения математике в средней школе;

установлен и построен базисный набор дидактических моделей для управления когнитивными процессами при обучении математике в школе;

установлено, что при организации модульного обучения или группового сотрудничества в учебном процессе, закономерность, управляющая повышением эффективности процесса обучения, обусловлена минимизацей информационной энтропии процесса разбиения (обучаемого контингента на группы или содержания курса на модули);

данная закономерность оптимизации группового сотрудничества имеет онтогенетический аспект: показатели академической успешности оказываются выше в младших классах и снижаются в старших классах;

разработана концепция представления предметного содержания школьного обучения математике в виде неформальной аксиоматической теории, интерпретируемой семантической сетью;

разработана и обоснована система критериев, управляющих повышением эффективности учебного процесса путем воздействия на содержание школьного математического образования;

установлено, что критерии оптимизации по длине и емкости дедуктивного вывода в системе математических знаний являются компонентами, реализующими принцип наглядности, следуя формуле В.Г. Болтянского: наглядность = изоморфизм + простота;

в рамках теории марковских процессов дано обоснование GMP-стратегии, которое опирается на представление о значимости элементов в системе математического знания и позволяет оптимизировать управление когнитивными процессами креативного поиска решения проблемы школьником в процессе обучения и самообучения;

показано, что GMP-стратегия отражает психофункциональные закономерности креативного поиска в процессе решения математической задачи, поскольку значимость элемента сети растет с уменьшением логической дистанции (за счет увеличения вероятности интуитивного вывода) и с увеличением емкости его области доминирования (растет вероятность дискурсивного вывода), откуда следует дидактическая закономерность, по которой креативный поиск школьника в процессе решения математической задачи оказывается результативным, если формируется на достаточно значимом математическом основании;

Практическая значимость исследования оценивается показателями внедрения полученных результатов в школьное обучение математике, среди которых следующие практически значимые направления:

1.Апробацию и реализацию разработанной ЭС на основе концепции развивающего обучения Л.С. Выготского, в которой управление академической успешностью учащихся происходит путем оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации, демонстрируют следующие результаты:

1.1.Принцип управления академической успешностью учащихся на основе актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума энтропии информации реализуется в ходе специальной процедуры тестирования с помощью гомогенных тестов, при которой в рамках фиксированного временного регламента выполнения тестов целенаправленно изменяются промежутки времени, связанные с выполнением отдельных тестовых заданий. Измерения проводились в 2004-2008 гг. в 4,9 и 10-х классах МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на г. Саратова, а также на 1-м курсе механико-математического ф-та СГУ им. Н.Г. Чернышевского со студентами специальности 032100.00(050201) в ходе курса алгебры при изучении темы «Теория множеств» и непосредственно показали факт улучшения показателей академической успешности учащихся за счет минимизации информационной энтропии при оптимизации зон ближайшего развития в динамике прохождения образовательного контента;

1.2. На основе данной обучающей ЭС реализован контроль знаний школьников, для чего созданы мощные тестовые батареи и апробированы специальные алгоритмы тестирования уровня знаний по математике: в 2002г. по заказу Минобразования Саратовской области проводился мониторинг уровня математической подготовки выпускников начальной школы (охвачено 2262 школьника); в 2003-2006 гг. данная технология использовалась в рамках рубежного тестирования уровня математических знаний школьников 5-8 и 10-х классов в г. Саратове, проводимого Центром тестирования СГУ имени Н.Г.Чернышевского;

1.3. Положения, реализованные в данной обучающей ЭС, и общие принципы построения ЭС, составили основу элективного курса «Обучающие ЭС» для старших классов профильного уровня средней школы, включающего практические задания на построение простейших программных продуктов для изучения элементов школьной программы по математике.

2. Апробирована инновационная ИКТ для организации группового сотрудничества в учебном процессе, реализующая проведение эффективной коллективно-распределенной учебной деятельности на уроке путем создания оптимальных конфигураций творческих групп, в которых более полно реализуется творческий потенциал учащихся в рамках проблемного или эвристического обучения математике в средней школе. Проведенные измерения показали повышение показателей академической успешности на 27,5% в 4-м классе; на 25% в 9-м классе и на 20-25% в 10-11-х классах, на фоне слабого уменьшения показателей в онтогенезе.

3. На основе авторских монографий [1;2], отражающих этап творческого развития «новейшей истории теоремы Пифагора» на основе GMP-стратегии, проецируется определенная учебная деятельность в виде школьных элективных курсов по математике профильного уровня или в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарские занятия или индивидуальная исследовательская работа с учащимися);

4. Проведение GMP-стратегии в рамках интегрированного обучении математике, где получены следующие практически значимые результаты:

4.1. В обществоведении, когда GMP-стратегия проводилась путем аксиоматизации канона демократии в русле формальной теории государства, на основе которой разработано содержание школьного факультатива, реализующего обучение математике в гуманитарной области знаний;

4.2. В рамках концепции изоморфизма: в процессе обучения решению текстовых задач школьной алгебры (9 класс), в виде операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также при моделировании и решении задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

4.3. На основе концепции центризма: в рамках лабораторного практикума по определению формул объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11-й класс); при интерпретации законов генетики при профильном обучении биологии и в психологии восприятия живописи, где показаны возможности математики в искусствознании и культурологии.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются методологической аргументированностью исходных теоретических положений; внутренней непротиворечивостью логической структуры исследования; адекватностью применяемых методов исследования целям и задачам данного исследования; продолжительностью опытно-экспериментальной фазы исследования и статистической устойчивостью данных, полученных в независимых измерениях и опытах; широким эффективным внедрением результатов исследования в учебный процесс начальных, средних и высших учебных заведений России.

Личный вклад автора заключается в разработке общей теории математического моделирования дидактических процессов при обучении математике в полной средней школе на основе кибернетической концепции и комплекса моделей, реализующих эффективное управление количественными и качественными аспектами образовательного контента в учебном процессе, включая интегрированное обучение.

Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты исследования представлены на: Международной электронной научной конференции «Новые технологии в образовании» (Воронеж, 2000); ежегодных научно-практических конференциях механико-математического факультета СГУ имени Н.Г.Чернышевского (2001,2002); Всероссийской научной конференции «54-е Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2001); IV Международной научно-технической конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2001); весенней математической школе «Понтрягинские чтения-XIII» (Воронеж, 2002); Всероссийской научно-методической конференции «Развитие тестовых технологий в России» (Москва, 2002), II,IV-VII Колмогоровских чтениях (Ярославль,2004,2006-2009); VI Международной конференции по алгебре и теории чисел (Саратов, 2004); семинаре в Институте истории естествознания и техники РАН (секция проф. С.С. Демидова; Москва, 2005); Поволжской региональной научно-практической конференции «Актуальные проблемы модернизации непрерывного образования» (Саратов, 2005); Международном конгрессе по креативности и психологии искусства (Пермь, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педвузов «Современные проблемы школьного и вузовского математического образования» (Саратов, 2005); Всероссийской научной конференции «Гуманитаризация среднего и высшего математического образования: состояние, перспективы» (Саранск, 2005); XIX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Авиньон, Франция, 2006); XX Конгрессе Международной ассоциации эмпирической эстетики (Чикаго, США, 2008); Всероссийской научной конференции «Проблемы управления в социально-экономических и технических системах» (Саратов, 2008).

Апробация результатов исследования на уровнях высшего, среднего и начального образования проводилась автором в ходе учебного процесса:

на механико-математическом факультете СГУ им. Н.Г.Чернышевского при подготовке студентов по специальности 032100.00 (050201) «Математика с дополнительной специальностью», где за период 1997-2010 гг. реализовано 10 авторских учебных программ элективных курсов, в рамках которых защищено около 100 курсовых и 60 дипломных работ;

в ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» Министерства образования Саратовской области, где на основе авторских монографий [1-4] проводится цикл элективных курсов для учителей школ области;

в 1998-2003 гг. на базе СШ №65 Волжского р-на г.Саратова при апробации методики решения текстовых задач с применением элементов понятия изоморфизма на факультативных занятиях по алгебре в 9-х классах ; на базе школы №93 Кировского р-на на уроках геометрии в 11-х классах проведен цикл лабораторных работ по определению формул объемов призмы, пирамиды, конуса и шара путем взвешивания, а также практикуется элективный курс «Операторная версия комплексных чисел в планиметрии»;

в 2001-2003 гг. на базе СШ №18 Фрунзенского р-на при апробации тестовых батарей и отработке технологий тестирования знаний школьников по математике в 5-6-х классах;

в 2004-2008 гг. на базе МОУ «Гимназия №5» Заводского р-на при апробации инновационной ИКТ при организации и оптимизации группового сотрудничества в учебном процессе, которая показала увеличение показателей успеваемости по математике на 20-27,5% в 10-11 и 4-х классах;

Результаты диссертационной работы в различных вариантах используются в образовательном процессе в Воронежском государственном педагогическом университете, в Борисоглебском государственном педагогическом институте, во Владикавказском Центре непрерывного математического образования при Институте прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А (г. Владикавказ, Республика Северная Осетия-Алания), в Костромском госуниверситете им. Н.А.Некрасова, которые подтверждают эффективность проведения исследовательской работы студентов в рамках GMP-стратегии и повышение оценочных показателей успеваемости обучаемого контингента на 20% за счет оптимальной организации педагогики сотрудничества в учебном процессе.

Всего по теме диссертации опубликовано 58 работ.

Основные положения, выносимые на защиту:

1). Реализация инновационной дидактической (обучающей) экспертной системы общего назначения, разработанной на основе психологической концепции развивающего обучения Л.С.Выготского, путем актуализации и оптимизации зон ближайшего развития по критерию минимума информации приводит к повышению академической успешности учащихся при обучении математике в средней школе.

2). Информационная модель организации группового сотрудничества в учебном процессе на основе управления процессом разбиения обучаемого контингента на группы по принципу минимума энтропии информации для оптимального варианта кластеризации реализует эффективное построение коллективно-распределенной учебной деятельности учащихся. Интеграция этой модели в структуру проблемного или эвристического контекста, приводит к повышению академической успешности школьников и их творческой активности в обучении математике в полной средней школе.

3). Инновационная ИКТ, созданная на основе информационной модели оптимизации группового сотрудничества в процессе обучения математике в средней школе, по измерениям времени выполнения тестовых заданий учащимися, формирует интеллектуальный портрет данного контингента, устанавливает оптимальную групповую конфигурацию и реализует повышение академической успешности этого контингента.

4). Концепция и модель интерпретации системы знаний в школьном обучении математике на основе неформальной аксиоматической теории в виде семантической сети позволяет выделить классы задач оптимизации при управлении качественными аспектами содержания обучения в целях повышения эффективности учебного процесса.

5). Критерии качества содержания системы знаний, реализуемых при обучении математике в средней школе, сводятся к оптимальному выбору системы аксиом и минимизации параметров дедуктивного вывода (длины или емкости) для элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний.

6). Управление креативными процессами при обучении математике в школе опирается на закономерности генезиса математики и сводится к управлению ветвящимся марковским процессом по критерию значимости элементов семантической сети, представляющей данную систему знаний. Процедура управления творческим поиском в процессе обучения проводится в рамках GMP-стратегии, которая проецируется посредством определенной учебной деятельности, как по линии школьных элективных курсов, так и в рамках личностно-ориентированного подхода (семинарская или индивидуальная работа с учащимися).

7). Методика проведения GMP-стратегии при управлении креативными процессами школьников профильного уровня обучения математике на основе авторских монографий [1-4], исследований по теории реологических чисел [4;23] и теории магических квадратов из домино [4;26].

8). Методика проведения GMP-стратегии в рамках интегрированного обучения математике в средней школе, опирается на общие методологические концепции (канона, морфизма и центризма) и реализуется посредством математического моделирования:

в рамках школьного факультатива по обществознанию (профильный уровень), исходя из канона демократии, который аксиоматизируется и на этой основе строится формальная модель государства, которая реализует канал эффективного обучения математике в гуманитарной области знаний;

в рамках концепции изоморфизма: при решении текстовых задач (9 класс); операторной версии комплексных чисел в планиметрии, а также на примерах задач линейного программирования экономического и физико-технического содержания в соответствующих профильных классах;

в рамках концепции центризма, позволяющей: реализовать лабораторный практикум по определению объемов многогранников и круглых тел путем взвешивания (11 класс); дать интерпретацию законов генетики при профильном обучении биологии и результатам в области психологии живописи, демонстрируя возможности математики в сфере искусствознания и культурологии.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 385 наименований источников, и 8 приложений. Содержание работы изложено на 460 страницах машинописного текста (включая библиографию и приложения), в котором имеются 55 рисунка и 26 таблиц.

Процесс обучения в парадигме кибернетики: вопросы обоснования и проблематика

Проводя кибернетическую концепцию в обучении, естественно, должно быть четкое обоснование вопросов актуальности для проведения подобной линии. Конкретно, следует дать аргументированные ответы на такие вопросы: «Почему возможна и для чего нужна кибернетическая интерпретация педагогических закономерностей? Зачем сводить различные реальные стороны учебного процесса к неким абстрактным операциям над информацией и что это дает?» Приводя необходимую аргументацию по данным вопросам, действуем последовательно, в порядке их постановки. Действительно, в парадигме кибернетики процесс обучения, » фактически, сводится к извлечению определенной информации из внешней среды и ее накоплению в памяти для дальнейшего использования. При этом возможность кибернетической интерпретации педагогических процессов обусловлена тем, что такого рода процессы носят целенаправленный характер, и их можно рассматривать как управление учебным процессом путем формирования оптимальных образовательных траекторий, обусловленных соответствующим аттрактором цели. Направленность всякого учебного процесса обеспечивается характерной конфигурацией соответствующей системы обучения, в которой всегда выделяются управляющая подсистема (администрация и коллектив педагогов) и объект управления (обучаемый контингент), отношения между которыми регулируются надлежащим набором обратных связей. Таким образом, формально получается киберсистема из двух взаимодействующих автоматов, которая, в принципе, аналогична системе, представленной на рис. 1.1.

Следует отметить, что реализация возможности кибернетической интерпретации учебных процессов сопряжена с определенной проблематикой, разрешение которой способствует оптимизации процесса обучения, и в этом плане можно выделить три главных аспекта:

1). Вопросы диагностики интеллектуальных способностей, склонностей и мотиваций обучаемого контенгента.

2). Вопросы конструирования актуальной учебной информации.

3). Вопросы организации педагогических коммуникаций в учебном процессе.

По сути, выделенные аспекты выражают хорошо известную педагогическую триаду — кого, чему и как следует учить. Замечательно, однако, что эта триада обозначилась как частный случай управления простейшей кибернетической системой, для которой обозначенная триада перефразируется в терминах теории информации, а именно: что перерабатывается (т.е. свойства самой информации), как эта информация преобразуется (в действия, знания, навыки, качества личности и т.п.) и для чего происходит этот процесс (цели обучения и их оптимальное достижение).

Отметим, что данные аспекты проблемной области учебного процесса сложным образом взаимосвязаны, а потому выделение каждого из них в отдельное рассмотрение представляется некорректным.

Разумеется, обозначенная проблематика обусловлена целями обучения, которых, как минимум, две:

1). Извлечение соответствующей информации из внешней среды.

2). Повышение уровня извлеченной информации и последующее структурирование.

Эффективное достижение этих целей, главным образом, зависит от того, насколько оптимизированы подходы к разрешению обозначенных аспектов проблематики обучения. При этом следует иметь в виду, что с повышением уровня знаний возрастает их универсальность в плане приложений, и указанный фактор, естественно, должен рационально использоваться в учебном процессе.

Говоря об оптимизации учебного процесса, речь, по сути, идет об эффективном управлении закономерностями этого процесса, обеспечивающем благоприятный учебный эффект. Определение научной закономерности в педагогике, согласно [122], означает построение символической модели, изоморфной определенным инвариантным связям и отношениям, объективно имеющим место в определенных условиях между определенными явлениями или факторами педагогического процесса. Важно подчеркнуть, что далеко не всякое изоморфное отображение обобщенной связи педагогических явлений может служить для выражения педагогических закономерностей. Необходимо, чтобы эти закономерности могли практически направляться и контролироваться посредством определенных количественных или структурных параметров моделируемой связи (отношения), а также ее объектов и их состояний. В современной кибернетике символическое моделирование строится в рамках теории функциональных систем (ФС) [337;356]. Это направление зародилось в работах американского математика Э.Л. Поста (1941) и первыми примерами ФС явились многозначные логики, алгебры автоматов, алгебры вычислимых функций и др. [337]. Затем, усилиями П.К.Анохина ФС реализовались в области психофизиологии [14; 15]. ФС-теория позволила проведение количественных и структурных исследований сложных процессов и систему создав, тем самым, необходимую основу для нового подхода — кибернетического метода функциональных аналогий (МФА).

Идея МФА опирается на тот факт, что в колоссальном многообразии естественных процессов наблюдаются некоторые общие (универсальные) закономерности. Например, такие по природе разные процессы, как колебания математического маятника и электромагнитные процессы в колебательном контуре радиоприемника, формально описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, обнаруживая сходство при функциональном описании и, следовательно, МФА - это методология исследования в рамках категории морфизма. Важной особенностью ФС является их содержательная связь с реальными кибермоделями, т.к. в рамках МФА для изучения заданных реальных процессов строится их аналог - функциональная модель, имеющая определенное формальное сходство с изучаемым процессом.

Однако, в чем заключается это сходство? Что общего можно усмотреть между роботами и живыми организмами, автоматическими системами и обществом, компьютером и мозгом? Кибернетика видит эту общность в том, что все перечисленные объекты являются сложными динамическими системами, поведение которых носит целесообразный характер, направленный на реализацию поставленной цели. Такого рода системы в кибернетике объединены в класс систем автоматического управления (регулирования) на том основании, что процедура управления такими системами универсальна и сводится к последовательному исполнению следующих функций: сбор и передача информации — обработка информации — выработка управляющего воздействия (реакция системы).

Системы обучения в полной мере отвечают указанным требованиям и, таким образом, относятся к классу систем автоматического управления. Поэтому реализация управления системами обучения может строиться в рамках МФА, позволяющего среди достаточно изученных реальных процессов (не обязательно учебных) находить такие, с которыми можно сопоставить определенные стороны учебного процесса. При таком сопоставлении формируется некоторая содержательная функциональная модель, дающая количественное описание выделенных сторон учебного процесса, а это открывает путь для объективного измерения нематериальных (но информационных) и субъективных свойств и связей педагогических явлений.

Приведенные соображения позволяют заключить, что необходимость кибернетической интерпретации педагогических закономерностей диктуется необходимостью реализации эффективного управления педагогическими процессами, однако определение оптимальных параметров управления в натурных условиях, зачастую, проблематично, а потому следует прибегнуть к формированию содержательных математических моделей данных процессов (например, в рамкахМФА) и результаты оптимизации этих моделей перенести на соответствующие натурные объекты.

Практическое проведение МФА обычно осуществляется поэтапно. Вначале формируются аналоговые функциональные модели простейших реальных процессов, которые определяют базис соответствующего пространства моделей. Затем путем синтеза компонентов базиса формируются и исследуются модели более высокого уровня и т.д., таким образом, строится соответствующая база данных, элементы которой ответственны за реализацию тех или иных сторон учебного процесса. Другой канал пополнения пространства моделей формируется путем анализа реальных моделей, при котором происходит, либо их распознавание в рамках существующей базы данных, либо расширение базиса этой базы данных.

Сократовский диалог и концепция развивающего обучения Л.С. Выготского - как составляющие алгоритма учебного процесса

Крупнейший представитель афинской философской школы Сократ (ок. 469-399гг. до н.э.) разработал оригинальный так называемый «сократовский» метод обучения, который сейчас больше известен как «вопросно-ответная система обучения», реализуемая посредством диалога между учителем и учеником. Это метод пришел к нам в интерпретации одного из лучших учеников Сократа - Платона (427-347 гг. до н.э.), который изложил его в своих «Диалогах» [226]. Сам Сократ свой- метод обучения называл майевтикой (от древнегреч. цашткт] — буквально, повивальное искусство), понимая под этим термином искусство извлечения скрытых в человеке новых знаний и истин с помощью искусных наводящих вопросов, которые систематизированы в рамках определенной логической последовательности. В результате происходит личностно-ориентированное обучение логическому мышлению, способствующему получению новых знаний и поиску истины.

Среди стратегий постановки вопросов, следуя Платону [226], в основном выделяются три направления:

1). Обучаемый в ходе диалога подводится к противоречию, из которого, по закону исключенного третьего, следует вывод истинного утверждения;

2). В процессе диалога формируются новые понятия;

3). В ходе диалога формулируется проблема.

Перечисленные стратегии довольно четко прослеживаются, например, в одном из главных сочинений Платона — диалоге «Теэтет» [227]. В дальнейшем искусство ведения диалога оказалось широко востребованным, например, в вопросах дипломатии или следственной юридической практики, что обозначило актуальность теоретического изучения логической структуры диалога [228]. Касаясь дидактических аспектов, отметим, что все три обозначенные стратегические линии ведения диалога по сей день являются общепризнанной практикой в учебном процессе. Например, при обучении математике стратегия диалога, связанная с приведением к противоречию, успешно используется в процедуре текущего опроса, когда ошибочный ответ путем дополнительных вопросов сводится к абсурду и, таким образом, опрашиваемый субъект от ошибки логически последовательно приводится к истинному заключению. Вторая из обозначенных стратегий довольно часто используется при объяснении нового материала, когда при общении с аудиторией учитель на частных примерах постепенно подводит ее к общей формулировке нового понятия. И, наконец, третья стратегия диалога широко применяется в концепции проблемного обучения [189].

Множество Z следует считать частично упорядоченным, поскольку задаваемые вопросы подчинены определенной логической стратегии, и, таким образом, выделяется класс Zo a Z, содержащий минимальные элементы частично упорядоченного множества Z и, представляющий те вопросы, которыми инициируется моделируемый процесс обучения в диалоге. Если выбран исходный вопрос ZQ eZ0, который поставлен перед А , то, тем самым, формально происходит запуск этого процесса.

Дальнейший сценарий развивается следующим образом. Поступив на вход А автомата А вопрос ZQELZ -А1 «обдумывается» учеником, после чего принимается резолюция s"0l є S 0, которая позволяет перейти к состоянию с более высоким уровнем знаний s n=f (Sol;z0)eAS 0 в зоне потенциального развития уровня S 0 и сформулировать ответ а} = g (s"01;z0)eZ , который по каналу обратной связи (рис. 2.1) поступает на вход А управляющей системы А, так, что Z =A и мы имеем функции выходов, соответственно

Поступив на вход А автомата А ответ а{ є Z = А анализируется учителем, после чего принимается некоторая резолюция SJJGS, которая переводит А в состояние Si2=f(su;a1) є S и формулирует следующий вопрос zi=g(s11;a1) =.Z, после чего описанный процесс повторяется. Таким образом, автомат А последовательно» реализует «обучение» А с уровня S до уровня 5 по схеме (2.1), и затем отдается команда о прекращении данного" процессам Формальное описание этого процесса в виде алгоритма представлено в таблице 2.1, где г,— количество вопросов, которое задается учителем Представленная: кибернетическая модель, обучения в диалоге, хотя- и является достаточно хорошим приближением к реальности; однако полной адекватности в этой модели не достигается, если учесть ряд» обстоятельств:

1). В реальной ситуации уже на первом шаге диалога учитель реализует некоторый выбор исходного вопроса ZQ средин других возможных представителей класса Z0 и, далее, на.выбранный;вопрос zo &Zo ученик дает некоторышответяуЕ Z \ который; если; следовать традиционной шкале,может оказаться плохим; удовлетворительным, хорошим или; отличным; Є учетом результата ує учитель ставит вопрос z/, опять же, из некоторого класса и получает ответ агё Z и т.д. Следовательно, в реальности функции;переходов f;f и функции выходов gig автоматов А и А - это случайные процессы, а сценарий в табл. 2.1 — одна из возможных реализаций процесса обучения. Поэтому процесс обучения в диалоге учитель-ученик с позиций кибернетики описывается киберсистемой из двух конечных стохастических автоматов;

2): Поскольку каждое новое состояние обозначенной киберсйстемы зависит только от ее предыдущего состояния, то поведение данной» системы описывается некоторым марковским процессом с конечным множеством состояний: Такие киберсйстемы можно представлять в виде семантических сетей [121;299], где пропускные способности между элементами; сети определяются вероятностями переходов между соответствующими состояниями системы в данном марковском процессе; [256]; Выданной интерпретации на сетях можно рассматривать задачи оптимизации, имея в виду, например, эффективное (развивающее) обучение в диалоге.

Формирование информационного пространства дедуктивной теории как ветвящийся марковский процесс

До сих пор вопросы, связанные с формированием информационного пространства дедуктивной теории Th(S) в виде семантической сети Г (S) явно не затрагивали природу самого процесса такого формирования. Между тем, в реальности, построение информационного пространства дедуктивной теории Th(S), вообще говоря, представляет собой некоторый случайный процесс Th(S;t), поскольку моменты времени t, когда происходит установление того или иного нового утверждения данной теории, недетерминированы. Т.е., фактически, при построении пространства Th(S) мы имеем дело с некоторым случайным процессом Th(S;t) с непрерывным временем t 0 к счетным множеством состояний, так, что моменты времени переходов между состояниями случайным образом распределены на интервале t 0. Априори, об этом процессе можно высказать следующие соображения [302;364]:

1). Случайный процесс Th(S;t) происходит в пространстве Th(S) и реализуется как случайный орграф Г (S;t) на орграфе Г (S).

2). При t=0: Th(S;O)=;E(O)=0, в соответствии с определением (3.2).

3). В каждый момент времени t 0 случайная функция Th(S;t) обладает конечным набором реализаций (состояний) th](t);...; thn(t).

4). Каждая реализация thj(t);...; th„(t) представляет собой объединение доказательств некоторых утверждений Th(S) в смысле определения (3.24-26).

5). Для Th(S) и Г(S) имеет место счетность и потенциальная выполнимость

Фундаментальное свойство процесса Th(S;t) устанавливает Предложение ЗЛО. Случайный процесс Th(S;t) — является марковским процессом.

Доказательство. Пусть th(t) — некоторая реализация случайного процесса Th(S;t) в момент времени L Тогда th(t)c Th(S) и можно выбрать дополнение th(t) реализации th(t) до Th(S). С th(t) и th(t), соответственно, связаны орграфы g(t) и cg(t), так, что выполняется соотношение: Т (S) -g(r) о ig(r) v cg(r) (3744) где g(t) - это орграф, дуги которого соединяют орграфы g(t) и cg(t).

Объединение g(t) Jcg(t) в (3.44) определяет всевозможные состояния Th(S;t ), в которые может перейти реализация th(t) в некоторый момент времени f t. Отсюда видим, что эволюция рассматриваемого случайного процесса Th(S;t) такова, что при данной реализации th(t) в произвольный момент времени t его дальнейшее поведение совершенно не зависит от поведения данного процесса до момента времени t, т.е. Th(S;t) — марковский процесс. Что и требовалось доказать.

Марковский процесс Th(S;t) обладает счетным множеством состояний и, вообще говоря, является неоднородным, т.к. поведение процесса Th(S;t) на временном интервале (т;t) при данном состоянии Th(S;r) зависит от расположения интервала (т ;t) на временной оси. В соответствии с этим, обозначим через Р-Іп(т;і) -условную вероятность того, что в момент времени t процесс находится в состоянии th„(t) при условии, что в предшествующий момент r t этот процесс находился в состоянии th/т). В рамках семантической модели информационное пространство теории Th(S) представляется в виде семантической сети Г (S) и ее узлы являются точками ветвления транспортируемой информации, которые определяются пересечением соответствующих областей доминирования, как это следует из предложения 3.7. Поэтому, в рамках рассматриваемой стохастической модели, при построении информационного пространства Th(S) случайный процесс Th(S;t) является ветвящимся марковским процессом.

Неоднородный во времени ветвящийся процесс Th(S;t) с однородными частицами, которыми в данном случае являются элементы пространства Th(S), определяется как марковский процесс [265;288;341], переходные вероятности Pin(r;t) которого удовлетворяют уравнению Колмогорова-Чэпмена вида

Приведенные доводы показывают, что, в рамках принятой модели, формирование пространства Th(S) описывается ветвящимся марковским процессом Th(S;t), эволюция которого описывается системой дифференциальных уравнений (3.48), (3.49) с условиями (3.45)-(3.47) в асимптотике (3.43) и, по сути, сводится к случайным блужданиям по предметным вершинам сети Г (S), исходя из аксиом системы Е. В этой связи, освоение пространства Th(S) реализуется в марковском процессе Th(S;t), который рассматривается как процесс «дедуктивной диффузии» когнитивной информации, т.е. фактически речь идет о замкнутой модели формирования знаний. Однако, в реальности, как показывает исторический опыт, процесс эволюции научных дисциплин, вообще говоря, не сводится только лишь к «дедуктивной диффузии», а также включает взаимодействие с внешней средой на уровне всевозможных межпредметных связей данной дисциплины, которые являются довольно мощным стимулом ее развития. Поэтому, в общем случае, процесс эволюции научной дисциплины должен рассматриваться в рамках некоторой открытой модели, учитывающей ее функционально-логические межпредметные связи, следуя общему методологическому принципу Тейяра де Шардена: «Какой-либо феномен, точно установленный хотя бы в одном месте, в силу фундаментального единства мира, имеет повсеместные корни и всеобщее значение» [250].

Поэтому, для начала, в данной работе рассматривается частный случай — замкнутая модель, когда отсутствует внешнее воздействие и уравнение Фоккера-Планка сводится к уравнению диффузии, представляя построение Th(S) в виде марковского процесса Th(S;t). Как будет видно ниже, рассматриваемый частный случай представляет интерес при решении некоторых актуальных образовательных задач, связанных с эффективными стратегиями обучения, которые выражают креативные подходы к предмету в рамках концепции значимости (3.33) для вершин сети Г(S) и анализа марковского процесса Г (S;t). Такой подход можно обосновать в рамках идеи Н.Н. Боголюбова [37], по которой описание интересующего процесса строится в зависимости от временного масштаба, обозначенного при рассмотрении этого процесса. В данном случае при описании открытой модели формирования пространства Th(S) в педагогическом аспекте выделяются два процесса - развитие образования и развитие науки. С определенностью можно считать, что изменения в области образования происходят гораздо медленнее, чем развитие науки. Если, например, взять математику, то на школьном уровне в современных программах задействованы научные результаты, которые известны, как минимум, 100-200 лет. Действительно, «передний край» школьной геометрии затрагивает вопросы, сформулированные в «Эрлангенской программе» Ф. Клейна (1872); в области алгебры и анализа этот рубеж можно условно обозначить понятиями непрерывности и предельного перехода, обоснование которых, как известно, дается в работах Б. Больцано (1817) и Л.О. Коши (1821). Указанный временной разрыв несколько уменьшается на уровне высшей школы, где он составляет несколько десятков лет, в зависимости от вузовской специальности. Примерно такая же картина наблюдается и по многим другим учебным дисциплинам. Таким образом, учитывая, что новейшие научные результаты системой образования воспринимаются далеко не сразу, всегда имеется некоторый—масштаб—времени —в—течение—которого—процесс 258 формирования знаний вполне адекватно укладывается в рамки замкнутой модели. Для современного школьного математического образования этот масштаб по оценкам составляет 100 лет и снижается до значений -10 лет в высшем образовании.

Обобщенные пифагоровы построения (ОПП) рекуррентные последовательности и рациональные точки конических сечений

Опишем поэтапно креативную процедуру обобщений, связанных с построением и исследованием ОПП, которая, во всей полноте, изложена в монографии [322].

Исходный пункт. Конфигурация квадратов Qu, Q12, Q13 (рис.4.4) в виде «пифагоровых штанов», используемая Евклидом при доказательстве теоремы Пифагора [204].

Этап 1. На математической Олимпиаде Дании в 1992 году [186] предлагалась следующая задача. На сторонах прямоугольного треугольника построены квадраты Qu, Qn, Q13, от соответствующих вершин которых построены квадраты Q21, Q22, Q23 так, как показано на рис.4.4. Требуется найти отношение AS21 суммы площадей квадратов S(Q2j), S(Q22), S(Q23) к сумме площадей квадратов S(Qu), SfQj , S(Q13). Решение этой задачи довольно элементарно даёт AS2i=3 и, как видим, этот результат, никоим образом, не зависит от формы базисного треугольника, на который опираются квадраты Qu, Q12, 75 на рис 4.4.

Этап 2. Непосредственно устанавливается [322], что отношение AS2i=3 действительно представляет собой некоторый аффинный инвариант, после чего, естественно, возникает соблазн построить следующую конфигурацию квадратов Q3i, Q32, Q33 (рис.4.4) с целью дальнейшего аналогичного изучения. В принципе, подобные построения можно неограниченно продолжить и в результате получается некоторая взаимосвязанная сеть квадратов, именуемая ОПП, в которых последовательности квадратов Qn; Q31,:..; Qij-i.i и квадратов Q2i; Q41I—I Q2J,I,JNB дальнейшем будем называть, соответственно, квадратами нечётной и чётной серий ОПП; обозначение Qkl относится к квадрату, находящемуся на / -ом месте (1=1 ;2; 3) к-то шага ОПП (рис.4.5).

Этап 3. Дальнейшее обобщение, в расширенной версии для студентов специальности 032100.00, с плоскостью ОПП (рис.4.5) связывает евклидово пространство Е, понимаемое как вещественное векторное пространство с обычной процедурой скалярного произведения векторов. В пространстве Е определим линейный оператор і: Е- Е, который действует по следующему правилу: для любого а еЕ вектор і а также принадлежит Е и получается поворотом вектора а относительно его начала на 90 против часовой стрелки, т.е. ial. a, \ia\ =\а\ и ориентированный угол Z(a;ia)=90

Для описания ОПП с базисным треугольником AJBJCJ, связывается тройка векторов аг, Ъг, с; и далее устанавливается следующая рекуррентная процедура построения ОПП

Этап 4. С ОПП на рис.4.5 связывается бесконечный планарный граф Г на рис. 4.6, который является одновременно гамильтоновым и эйлеровым [322], что в классе бесконечных графов представляет случай неординарный и выражает замечательные топологические свойства ОПП: по гамильтонову свойству, у каждой вершины квадратов (рис.4.5) можно удалить две стороны, так, что в результате образуется конфигурация, гомеоморфная прямой; по эйлерову свойству, от любой вершины с индексом п 1 (рис.4.5), двигаясь по сторонам квадратов ОПП, прокладываются два непересекающихся маршрута произвольной длины, содержащие стороны квадратов каждую только один раз. В частности, на Г строится двусторонне-бесконечная гамильтонова цепь [322], формируемая в обе стороны от вершины А} в виде следующей последовательности вершин (рис.4.5):

Этап 5. В сети ОПП выделяются 6 неограниченных серий квадратов, (3 четные и 3 нечетные) после чего, в силу (4.10), устанавливается [322], что в каждой такой серии (в зависимости от четности) соответствующие стороны квадратов связаны линейным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида:

Для дальнейшего продвижения исследований в рамках данного спецкурса предусматривается спецсеминар по теме «Линейные рекуррентные (конечно-разностные) уравнения и методы их решения». Для подготовки соответствующих сообщений студентам следует проработать материал гл.У, 1-5 [74];[182].

Этап 6. Решения уравнений (4.11),(4.12), соответственно, имеют вид: где q,=l(5-jri);q,=L(5 + m- корни характеристического полинома для уравнений (4.11),(4.12). Каждое решение (4.13), (4.14), представляется деревом и, например, для квадратов нечетной серии (решение (4.13)) такое дерево представлено на рис.4.7.

Этап 7. Представление в виде дерева с переменной ветвистостью (рис.4.7) означает наличие иерархичности решений (4.13),(4.14) и позволяет рассматривать такие решения в рамках концепции ультраметрического пространства с неординарной (фрактальной) метрикой [77;213]. В этой связи в рамках данного спецкурса предусматривается спецсеминар по теме «Мера и размерность Ф.Хаусдорфа при интерпретации фрактальных объектов» [86;180;266]. При подготовке к спецсеминару студентам, следует проработать материал п. 1.10 [322]. Для ультраметрического пространства в виде дерева решений на рис.4.7 фрактальная размерность оказывается равной [322] при топологической размерности dT =0, где у=5 -максимальная ветвистость дерева решений (4.13);(4.14).

Этап 8. Зададимся вопросом, существует ли какая-либо закономерность в расположении одноимённых вершин квадратов (например, Аі;А3;А5;...;А2П-і) для соответствующей серии ОПП (рис.4.5)?

Для ответа на этот вопрос на плоскости выберем систему координат с началом в точке А], а направление координатных осей определим базисными векторами А,А2 и А2А3.В данной системе координат определим координаты указанных вершин с помощью радиус-векторов AjA ,. В результате положение интересующих вершин определяется параметрическим векторным уравнением

Этап 9. По аналогии с ОПП (рис.4.5), когда на сторонах AAJBJCJ строились квадраты, как обобщение, рассмотрим случай, когда на сторонах AAJBJCJ строятся правильные треугольники и, таким образом, формируется цепочка треугольников которая составляет предмет данного исследования и представлена на рис.4.8.

Поскольку конфигурация на рис.4.8, когда на сторонах произвольного AA]B]Ci строятся правильные треугольникиA1BlC2;A2BlCl;AlB2Cl:i связана с задачей Наполеона (п.3.3.5.3), то цепочка треугольников (4.18) получила название «обобщенные Наполеоновы построения» (ОНП) [320]; [322].

Этап 10. Для формализации ОНП стороны треугольников цепочки (4.18) опишем тройками векторов (a -b c,), i = l;n (рис.4.8), связь между которыми определим с помощью линейного оператора / по следующему правилу: всякий вектор/ а получается из вектора а є F поворотом на угол 60 против часовой стрелки относительно начала вектора а, так, что /а=Й и ориентированный угол Za;fa=60. В результате установлено, что при ОНП одноименные стороны треугольников цепочки (4.18) (например, а,;...;ап) связаны векторным рекуррентным уравнением 2-го порядка вида

Этап 11. Результаты исследований ОПП и ОНП обнаруживают общее свойство, выражающееся в том, что процедура формирования ОПП и ОНП описывается соответствующими линейными рекуррентными уравнениями 2-го порядка, с которыми ассоциируются характерные линии - семейство гипербол при ОПП и инвариантные прямые в случае ОНП. Эти факты наводят на мысль о существовании общей связи между линейными рекуррентными уравнениями 2-го порядка и коническими сечениями, включая вырожденные случаи. Реализация данной гипотезы представляет следующий (после ОПП и ОНП) шаг при формировании цепочки индуктивных обобщений в рамках обозначенной исследовательской программы, исходя из теоремы Пифагора. Материализация этой идеи приводит к доказательству следующего утверждения [321] [322]: пусть произвольное рекуррентное уравнение 2-го порядка с характеристическим уравнением 2?-pz-q=0, p;qeR, д?Ю. Тогда при/? + q -1Ф0 С уравнением (4.21) связано некоторое коническое сечение, тип которого зависит от дискриминанта D характеристического уравнения: гипербола - при D 0 , парабола - при D=0, эллипс - при D 0; случай p+q-l = 0 отвечает вырожденным коническим сечениям.

Похожие диссертации на Математические модели управления дидактическими процессами при обучении математике в средней школе на основе кибернетического подхода

Методика формирования готовности старших дошкольников к обучению математике в школе на основе онтогенетического подходаГурбатова Елена Романовна

Методические основы обобщения и систематизации знаний учащихся в процессе обучения математике в средней школеСанина Елена Ивановна

Методика отбора и использования историко-научного материала в процессе обучения математике в школе (На прим. изучения элементов теории чисел) Алексеева Валентина Александровна

Воспитание советского патриотизма в процессе обучения математике в восьмилетней школе Кожабаев Каиржан Габдуллович

Реализация межпредметных связей математики и физики в процессе обучения математике в кубинской школеАльварес Гомес, Айда Дельфина

Соотношение интуиции и логики в процессе обучения математике в средней школеМаликов Турсынбек Сабирович

Имитационные дидактические игры как средство развития познавательного интереса учащихся в процессе обучения математике в общеобразовательной школе Блинова Татьяна Леонидовна

Формирование исследовательских умений в процессе обучения математике в начальной школе Михеева Лариса Алексеевна

Разрешение противоречий в процессе обучения математике учащихся основной школы на факультативных занятияхЦацкина Елена Петровна

Формирование функционально-графической грамотности учащихся основной школы в процессе обучения математикеПермякова Марина Юрьевна