Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ДИДАКТИЧЕСКИЕ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ СИСТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЙ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1.1. Проблема систематизации математических знаний школьников 13
1. l.l. Внутрипредметные и межпредметные связи как основные аспекты системы 16
1.1.2. Структурирование теоретических знаний 21
1.1.3. Составляющие системы теоретических знаний, основные этапы систематизации 22
1.2. Систематизация понятий на примере темы "геометрические преобра зования плоскости" 24
1.2.1. Система понятий, объективность отношений между ними 24
1.2.2. Отношения между математическими понятиями курса математики средней школы на примере темы "Геометрические преобразования плоскости" 28
1.2.3. Примеры вертикальных связей между математическими понятиями на примере темы "Геометрические преобразования плоскости" 33
1.3. ТРЕБОВАНИЯ К КЛАССИФИКАЦИИ В ТЕМЕ "ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ПЛОСКОСТИ " 37
1.3.1. Операционный состав классификации математических понятий 37
1.3.2.Классификация геометрических преобразований плоскости школьного курса геометрии 46
1.3.3. Классификация планиметрических фигур через группы преобразований плоскости 49
1.3.4. Возможность проведения теоретического обобщения, основанного на
на классификации фигур с помощью преобразований плоскости 55
1.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КАК СРЕДСТВО СИСТЕМАТИЗАЦИИ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 60
1.4.1. Проблема деления задач на метрические и аффинные в литературе 60
1.4.2. Принцип систематизации задач через иннарнанты групп преобразований 65
1.4.3. Основные методы решения аффинных задач 68
1.4.4. Систематизация геометрий плоскости с помощью инвариантов групп
геометрических преобразований 77
Выводы главы 1 85
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ТЕМЕ "ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
2.1. Изучение частных видов преобразований по общей схеме исследования, организация самостоятельной работы учащихся 86
2.2. Обучение методам решения аффинных задач на основе систематизации теоретических знаний 110
2.2.1. Решение аффинных задач методом эквивалентных фигур 111
2.2.2. Решение аффинных задач методом геометрических преобразований...! 17
2.2.3. Решение аффинных задач на построение 125
2.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И ОСНОВНЫЕ ИТОГИ ЭКСПЕРИМЕНТА 129
2.3.1. Проверка эффективности предлагаемой методики развития навыков систематизации теоретических знаний по теме "Геометрические пре-бразования плоскости" 131
2.3.2. Проверка эффективности предлагаемой методики в развитии у учащихся навыков систематизации планиметрических задач и некоторых методов их решения 137
Выводы главы 11 144
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 146
БИБЛИОГРАФИЯ 150
Приложение 159
- Проблема систематизации математических знаний школьников
- Систематизация понятий на примере темы "геометрические преобра зования плоскости"
- Изучение частных видов преобразований по общей схеме исследования, организация самостоятельной работы учащихся
Введение к работе
Одна из важнейших задач методики обучения математике школьников заключается в развитии у них логического мышления. Поэтому все основные навыки формально-логического мышления, необходимые в дальнейшей жизни, предполагается развивать в учебной деятельности. Для осуществления этой цели обучения используются такие основные приемы формальной логики, как операции над понятиями (обобщение и ограничение, определение, деление, классификация понятий) и построение различных форм рассуждений на основании известных фактов (дедуктивные и индуктивные умозаключения, умозаключения по аналогии и др.).
Представляется, что привнесение принципов, форм и методов формальной логики в методику обучения математике в школе и создание на этой основе новых методических приемов работы позволит добиться более глубокого понимания учащимися содержания предмета и систематизации полученных знаний и умений. Особенно удачно, на наш взгляд, происходит это в том случае, если основная часть учебного материала сосредоточена в едином промежутке времени и в одном разделе учебника ("Квадратные уравнения", "Параллелограммы", "Многочлены" и др. темы).
Общеизвестно, что формирование у учащихся таких основополагающих понятий математики, как "число", "функция", "геометрическое преобразование" происходит на протяжении всего времени их обучения в школе. Поэтому весь накопленный объём знаний не может быть приведен в систему без обобщающих приёмов повторения и закрепления изученного. Но личный опыт преподавательской работы в университете, равно как и анализ современной педагогической и методической литературы, показывают, что многие выпускники школ, а также студенты-первокурсники не имеют целостного представления о структурах различных основных понятий школьного курса математики. Так, они с 'ірудом приводят примеры включения множеств геометрических фигур, включение числовых множеств. Не могут указать основные типы функций, их отли-
чительные и общие свойства. Это же относится и к геометрическим преобразованиям. Большинство наблюдаемых, обладая широким спектром теоретических знаний, довольно часто путаются в признаках математических объектов, не могут определить взаимосвязь определений и теорем и т. д.
Всё это, на наш взгляд, определённо указывает на отсутствие у учащихся такого важного момента научного знания, как единство, внутренняя необходимая связь материала, что является следствием пробела, имеющегося в современной методике построения процесса обучения геометрии в средней школе.
В науке, как известно, момент единства достигается благодаря систематической организации получаемых знаний. Эта безусловно требуемая научным познанием форма единства задаёт важнейшее методическое требование к преподаванию математики в школе, заключающееся в постоянном обеспечении систематизации в ходе изложения предмета. Стало быть, выявляется проблема поиска оптимальных вариантов обобщения и систематизации знаний школьного курса математики, определяющая контуры и характер проблемного поля настоящего диссертационного исследования.
В качестве примера, на материале которого проиллюстрированы основания отбора содержания и организации учебного материала с целью его обобщения и систематизации, нами взята тема "Геометрические преобразования плоскости в школьном курсе планиметрии" (для занятий по выбору в 9-Ю классах). Выбор именно этой темы можно обосновать следующими соображениями:
геометрические преобразования лежат в основе выдвинутого Ф. Клейном принципа, позволяющего всё разнообразие геометрий понять с единой точки зрения;
геометрические преобразования и числовая функция являются двумя моделями общего понятия функции, и имеется возможность прослеживать связь между двумя основными понятиями - функции и преобразования плоскости, т. с. связь алгебры с геометрией;
- множество преобразований плоскости относительно их композиции образует группу, являющуюся примером математической структуры, что позволяет применить некоторые аспекты одной и той же методики при изучении различных числовых множеств, которые также образуют группу относительно операций сложения и умножения. Групповые свойства множества дают возможность показать на конкретном материале пример целостной теории.
При этом под целостной теорией мы понимаем минимальную структуру, адекватную общепринятой структурной единице науки и включающую в себя две основные части: основания и следствия. Основания составляют ту часть теории, которая содержит в себе группу основных понятий и исходных посылок, тогда как следствия - это часть теории, в которой на базе исходных данных посылок объясняются и интерпретируются известные факты и предсказываются новые.
Основная цель теории состоит, как известно, в том, что бы научиться её* применять. Но всякая теория может применяться либо для изучения, развития другой теории, либо для решения практических задач. Поэтому применительно к нашей теме необходимо показать, с одной стороны, применение теории групп в классификации геометрии евклидовой плоскости, т. е. систематизацию планиметрических фигур и основных теорем школьного курса, а, с другой стороны, применение аксиом групп преобразований в решении задач на доказательство и построение.
Нужно отметить, что разработка методики обучения теме "Геометрические преобразования" привлекала внимание многих методистов. Так, А. Н. Колмогоровым, А. Ф. Семеновичем и Р. С. Черкасовым было разработано учебное пособие по геометрии [44], где все основные вопросы предлагалось изучать на основе понятия геометрического преобразования. Так как этот учебник был написан для массовой школы, то понятие "группы преобразований плоскости" в нём отсутствовало. Однако центральное место в учебном пособии занимает отношение эквивалентности, и, в частности, конгруэнтность и подобие фигур. Изучение проблемы применения множеств преобразований к деле-
нию множества фигур на классы эквивалентности оправданно ограничено авторами рассмотрением равных и подобных треугольников, где с помощью преобразований определяются и доказываются признаки равенства и подобия треугольников. К достоинствам данного учебника можно отнести и наличие множества разнообразных задач на применение преобразований плоскости.
В широко применяемом в настоящее время учебнике А. В. Погорелова [72] в теме "Преобразование фигур" не ставится цель полной формализации понятий геометрического преобразования. Введение основных преобразований осуществляется здесь индуктивным способом, посредством нестрогих определений, зачастую противоречащих друг другу [91, С. 35]. Более подробно автор рассматривает основные инварианты движений и подобия, а также доказательства некоторых групповых свойств множества движений. Определение равенства фигур А. В. Погорелов даёт с помощью движения фигур, причём новое определение согласовывается с прежним применительно к треугольникам. При изложении материала данной темы автор применяет традиционный синтетический и координатный методы. Но, по нашему мнению, эта методика, не обеспечивает данному разделу планиметрии формы целостной теории, поскольку идея подобного изложения не находит систематического применения в остальных разделах данного пособия.
Александров А. Д., Вернер А. Л., Рыжик В. И. - авторы другого школьного учебного пособия [2] по геометрии, в главе "Преобразования", вводя понятие преобразования на основе функционального подхода, достаточно полно рассматривают свойства движений и подобия плоскости, теорему Шаля и теорему о представлении подобия композицией движения и гомотетии. На основании этих теорем доказываются групповые свойства множеств движений и подобий. В этом учебнике, на наш взгляд, удачно введено отношение эквивалентности фигур, однако не продемонстрирована связь свойств отношения эквивалентности и групповых свойств множества подобий, с помощью которых введены и доказаны признаки подобия треугольников. Кроме того, применение движений
к определению равенства фигур не осуществляется вообще, хотя группа движений плоскости рассмотрена в книге.
Изучением различных аспектов проблемы геометрических преобразований в разное время занимались также М. Берже [6], Г. Вейль [12], С. В. Дужин [28], Ф. Клейн [40], Г. С. М. Кокстер [41-43], М. Комацу [54], П. С. Моденов [64, 65], В. В Прасолов [74], Г. И. Саранцев [85, 87], 3. А. Скопец [92, 93], А. И. Фетисов [104, 105], Л. Р. Хахамов [111], И. М. Яглом [121-123] и др.
Однако большая часть указанных исследований представляет собой либо строго научные труды, либо научно-популярные работы, ввиду чего в них не рассмаїривается ни процесс демонстрации материала, ни вопросы методики обучения.
Всё вышесказанное свидетельствует о необходимости творческого переосмысления учебного материала темы "Преобразования плоскости" и разработки соответствующих оснований его отбора с тем, что бы на примере данной конкретной темы показать основные приёмы систематизации знаний (определений, методов доказательств и решения задач) и начать подготовку учащихся к наиболее оптимальному изучению высоких математических абстракций, таких как, конечные и бесконечные геометрии, в том числе неевклидовы, алгебраические структуры и т. д. Поэтому избранную нами тему можно считать вполне актуальной.
Итак, проблема настоящего диссертационного исследования заключается в поиске оптимальных вариантов обобщения и систематизации знаний школьного курса математики. Объектом исследования является учебная деятельность школьников, направленная на систематизацию знаний в классах с углублённым изучением математики или на факультативных занятиях. Предметом исследования является организация содержания учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости", рассматриваемое как средство систематизации и обобщения знаний учащихся по геометрии.
Цель исследования - на примере темы "Геометрические преобразования плоскости" раскрыть особенности отбора содержания и организации учебного
материала, обеспечивающие улучшение обобщения и систематизации математических знаний школьников.
Основная гипотеза исследования может быть сформулирована следующим образом: если содержание учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости" изложить с использованием понятия группы, раскрыв при этом возможность классификации фигур с помощью действия группы преобразований, то это позволит учащимся понять принцип классификации геометрий по Ф. Клейну и систематизировать: а) теоретические знания о преобразованиях и фигурах; б) некоторые методы решения задач на доказательство и построение. Кроме того, это создаст условия для развития самостоятельной учебной деятельности учащихся.
Для решения указанной проблемы исследования и проверки достоверности сформулированной основной гипотезы необходимо было последовательно решить следующие задачи исследования:
на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы обосновать необходимость развития у учащихся навыков систематизации изучаемого материала и, в частности, классификации теоретических знаний по геометрии при углублённом изучении математики или на занятиях по выбору;
разработать методические рекомендации к изучению темы "Геометрические преобразования плоскости" с учётом усиления роли классификации и обобщения теоретических знаний;
провести отбор задач для закрепления изученного теоретического материала и знакомства с новыми методами решения задач, а также осуществления учебной математической деятельности на более высоком уровне;
осуществить экспериментальную проверку разработанных материалов.
При решении поставленных задач использовались такие методы исследования, как изучение математической, психолого-педагогической и методической литературы по теме исследования; конструирование (структурирование) содержания темы "Геометрические преобразования плоскости"; организация и
проведение апробации материалов в процессе обучения; количественная и качественная обработка данных, полученных в процессе апробации.
В ходе работы над проблемой автором учитывался собственный опыт работы учителем в летних математических школах Краснодарского края, а также на занятиях кружка в средней школе № 4 г. Краснодара.
Диссертационное исследование проводилось с 1996 г. по 1999 г. и включало в себя несколько этапов. На первом этапе был проведён анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы, определен предмет исследования, организован поисковой эксперимент. На втором этапе были разработаны методические рекомендации по теме "преобразования плоскости в школьном курсе геометрии", в которых рассмотрены особенности отбора и организации учебного материала, направленные на систематизацию знаний, а также разработаны (наборы) системы задач и методы поиска их решения на основе непосредственной взаимосвязи с теоретическими знаниями, подготовлены учебные материалы и методические рекомендации к ним по теме "Геометрические преобразования плоскости". На третьем этапе разрабатывалась методика проведения педагогического эксперимента и осуществлялась его реализация. В ходе четвёртого этапа была осуществлена количественная и качественная обработка материалов апробации, сформулированы общие выводы и заключения по проведенному исследовано.
Научная новизна и теоретическая значимость настоящего диссертационного исследования заключается в том, что в нём:
обоснована необходимость использования понятия группы для обобщения свойств движения, подобий и аффинных преобразований на занятиях по выбору;
доказано, что теоретические знания при развитии навыков обобщения, классификации и систематизации должны обладать, по возможности, признаками целостной теории. На примере темы "Геометрические преобразования плоскости" впервые продемонстрирована методика обучения навыкам классин
фикации фигур с помощью действия на их множества группами различных аффинных преобразований, изучаемых в школе;
разработаны принципы отбора теоретического материала для классов с углублённым изучением математики или факультативов с целью систематизации основных математических понятий;
экспериментально доказано влияние понимания классификации и систематизации на развитие самостоятельности учащихся в учебной деятельности.
Практическая значимость работы заключается в том, что разработанное по теме "Геометрические преобразования плоскости" пособие может быть использовано учителями, работающими в классах с углублённым изучением математики и на занятиях по выбору; учащимися для самостоятельного знакомства с темой; преподавателями педвузов для проведения спецкурсов.
Апробация результатов исследования заключалась в следующем. О ходе и результатах проводимого исследования автор делал регулярные сообщения на Герценовских чтениях в Российском государственном педагогическом университете им. А. И. Герцена (1996-2000 г.г.), на семинарах преподавателей Краснодарского края, а также на методических семинарах кафедры высшей алгебры и геометрии Кубанского государственного университета. На защиту выносятся следующие положения:
организация и отбор теоретического материала с учётом признаков целостной теории эффективно способствует развитию у учащихся навыков обобщения, классификации и систематизации знаний и умений;
понимание классификации и систематизации способствует развитию самостоятельности учащихся в учебной деятельности.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка и приложения.
Наиболее важные положения и результаты исследования отражены в следующих работах.
1. Группы движений плоскости в школьном курсе математики: Книга для учителя. Краснодар, 1994. 132 с. (в соавторстве с Е. А. Семснко).
2.Преобразования в школьном курсе геометрии: Книга для учителя. Краснодар, 1999. 175 с. (в соавторстве с Е. А Семенко).
Изучение элементов аффинной геометрии как один из способов развития общекультурного уровня учащихся математических классов // Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся в профессиональной подготовке будущих учителей математики. Тезисы докладов на Герценовских чтениях. СПб., 1997. С. 71.
Школьный курс геометрии с позиции программы Клейна // Тезисы докладов XVI Всероссийского семинара преподавателей математики и методики ее преподавания университетов и педагогических вузов России. Новгород, 1997. С. 90.
Принципы отбора теоретического материала темы "Элементы аффинной геометрии в школьном курсе математики" // Личностно-ориеитированный подход при обучении математике (содержательный и процессуальный аспекты). Тезисы докладов 51-х Герценовских чтений. СПб., 1998. С. 102.
Приёмы систематизации знаний учащихся классов с углубленным изучением математики // Проблемы и перспективы развития методики обучения математики: Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценов-ские чтения. СПб., 1999. С. 159.
О систематизации знаний учащихся средних школ // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования: Сборник научных работ, представленных на 53-е Герценовские чтения. СПб., 2000. С. 145.
Проблема систематизации математических знаний школьников
Не ставя перед собой цель в пределах настоящего исследования сколько-нибудь полно и подробно проанализировать проблему систематизации математических знаний школьников, мы ограничимся здесь лишь рассмотрением её общей сути.
Как указано в программно-методических материалах по математике [76], целями математической подготовки в средней школе являются: развитие логического мышления учащихся, интеллектуальное развитие, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценного функционирования в обществе [76, С. 7].
Одним из средств достижения указанных целей выступает систематизация знаний. Поэтому действительной целью процесса обучения становится формирование учеником системы математического знания, приобретение им не отрывочных сведений и отдельных изолированных элементов данной дисциплины, но понимание важнейших взаимосвязей понятий этой науки.
Систематизация освобождает память от необходимости запоминать материал как сумму частных, не связанных между собой сведений и фактов, поскольку группирует их в более крупные единицы, которые легче удержать в памяти и воспроизвести в нужных случаях. Поэтому учащиеся, достигшие должного уровня логического мышления, а это относится, прежде всего, к ученикам с уже сформировавшимся устойчивым интересом к математике, испытывают потребность в систематизации знаний и, порой, осуществляют её по-своетугу. Стало быть, систематизация учебного материала основана на внутреипей потребности учащихся, опосредствованной определённым уровнем их психического и умственного развития, завершение формирования которой происходит, как правило, в средней и старшей ступенях школы. Вот почему характерной особенностью курсов математики в 10-11 классах является систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в ходе всего предшествующего изучения алгебры и геометрии, что достигается как в процессе изучения нового материала, так и при проведении обобщающего повторения [76, С. 12].
Вместе с тем, как показывает личный опыт преподавательской работы и анализ методической литературы, выпускники школ не обладают сложившейся системой математического знания, т. е. не усматривают связи между темами алгебры и геометрии, а также слабо осознают общность тем каждого математического курса. Так, число ж некоторые учащиеся воспринимают как исключительно геометрическое понятие, а число е - как сугубо алгебраическое, не понимая того, что это объекты общего множества иррациональных чисел. Многие школьники лишь с большим трудом могут дать определение алгебраической функции и геометрического преобразования, но еще в меньшей степени они способны выявить аналогии между этими понятиями. Метод доказательства от противного (как, впрочем, и все иные методы доказательства) у большинства учащихся ассоциируется исключительно с курсом геометрии и соответственно применяется ими при решении только геометрических задач.
Следует заметить, что затруднения, всякий раз испытываемые большей частью учащихся при попытках осуществить систематизацию математических знаний, имеют своё объективное основание в том, что "математика изучает абстракции второго рода, абстракции от абстракций" [18, С. 204]. Высокие требования к уровню развития логического и абстрактного мышления, предъявляемые самим предметом математики, не согласуются с возрастными особенностями мышления школьника. И было бы большим преувеличением утверждать, что в настоящее время по объективно сущее противоречие получило своё научное разрешение, вследствие чего методисты, психологи и педагоги до сих пор находятся в процессе поиска оптимального решения проблемы систематизации математических знаний. Поэтому неудивительно, что в современной методологии до сих пор не разработаны универсальные приёмы систематизации теоретических знаний применительно к школьному образованию.
Между тем, как показывает практика, систематизация знаний необходима на всех этапах обучения и для всех учеников, но при этом должны учитываться возраст учащихся, уровень овладения ими теоретическими знаниями, их интеллектуальные и физические возможности. С учётом этих факторов в процессе обучения необходимо использовать различные педагогические, методические приёмы и формы систематизации. Иначе говоря, для каждого возраста с учётом различного уровня умственного развития учеников возможна своя, доступная форма, ступень систематизации знаний.
В настоящем диссертационном исследовании предметом рассмотрения [См. С. 8] является систематизация знаний учащихся, обучающихся в классах с углублённым изучением математики или проявляющих интерес к данному предмету и посещающих дополнительные занятия по выбору, кружки, факультативы. Выбор данного контингента обоснован следующими причинами:
- во-первых, для учащихся этой категории можно выбрать достаточно ёмкую тему, на материале которой можно продемонстрировать различные приёмы систематизации знаний;
- во-вторых, эти учащиеся, как правило, обладают хорошим уровнем математической подготовки, а, значит, способны воспринимать проводимую систематизацию во всех ее проявлениях;
- в-третьих, высокий уровень мотивации к обучению, присущий этим ученикам, формирует у них вполне определённую духовную потребность в систематизации математических знаний, что является необходимым условием успешного её проведения.
Систематизация понятий на примере темы "геометрические преобра зования плоскости"
Рассматривая систематизацию знания как процесс установления его системно-структурных связей, необходимо учитывать первичность построения системы понятий, на основе которой далее "достраивается" система остальных составляющих теоретических знаний. Поэтому прежде чем перейти к выбору темы учебного курса и выделению оснований отбора теоретического материала по выбранной теме, необходимо провести анализ как всевозможных видов отношений между понятиями, так и выделение основных проблем в их установлении.
Пусть М={Пь П2, ..., Пп} есть множество понятий некоторого фрагмента учебного материала, Р - бинарное отношение ПІРП которое означает, что понятие ПІ используется в определении понятия Hj. Это отношение порождает на множестве М определенную структуру {М, Р}, которую мы и будем называть системой понятий. При этом понятие можно считать включённым в систему только тогда, когда установлены связи (отношения) между этим и уже известными понятиями [37, С. 71].
Такое определение системы понятий позволяет выделить главную задачу, стоящую перед учителем в процессе обучения школьников построению системы понятий, а именно, развитие у них навыков установления отношений между парой понятий, т. е. формирование у учащихся умения отвечать на следующие вопросы: входит ли данное понятие в определение другого? Какие понятия входят в определение данного? Например, входят ли понятия "точка", "луч" в определение понятия угла, т. е. связаны ли данные понятия бинарным отношением с понятием угла (как, впрочем, и с любой другой геометрической фигурой)?
Вообще же выявление и фиксирование логических связей между известным понятием и основными понятиями геометрии (такими, как "точка", "прямая", "плоскость" и др.) является той простейшей логической операцией при работе с понятием, которая может успешно применяться в отработке его определения. Знание определений понятий, их понимание обеспечивает эффективность установления указанного бинарного отношения между понятиями.
Между тем обучение навыкам систематизации понятий должно проводиться на примерах сложных понятий. Так, системой понятий являются отношения пространственных фигур, которые определяются через другие их виды. А. А. Столяр приводит пример включений понятий на материале "Многогранники", показывая, что процесс определения понятия, являясь процессом его сведения к другому понятию, не может уходить в бесконечность, т. е. некоторые первоначальные понятия уже не могут быть определены через другие именно потому, что они суть первоначальные [63, С. 67].
Пример 1. Куб - прямоугольный параллелепипед - параллелепипед -призма - многогранник - геометрическое тело - множество точек. В приведённой цепочке включений каждое последующее понятие может быть использова-но в определении предыдущего.
Благодаря этому система понятий представляет особый интерес для учителя не только как способ усвоения понятий учащимися, но и как способ оптимизации процесса обучения. Ибо определением понятия через другое, уже известное и, соответственно, распространением известных свойств последнего на новое, определяемое понятие не только достигается экономия учебного времени, но и одновременно осуществляется систематизация понятий изучаемой темы.
С учётом сказанного понятна популярность способа изучения темы "Параллелограммы", суть которого заключается в установлении отношений между основными видами параллелограмма, изучаемыми в школьном курсе планиметрии. Система понятий: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат представлены диаграммой 1, где каждое нижестоящее понятие может содержать в своём определении вышестоящее, связанное с ним линией и, следовательно, обладает всеми свойствами вышестоящей фигуры.
Построение подобных систем, как отмечается в методической литературе, не только систематизирует различные виды понятий, но и их свойства. Иначе говоря, в известной системе понятий становятся очевидными общие и отличительные свойства входящих в неё понятий. Подобный подход к изучению геометрических фигур позволяет расширить познавательный интерес школьников и одновременно развить их логическое мышление, а так же самостоятельность в их учебной деятельности.
Используя приведенную в примере 2 модель включений понятий, можно познакомить учащихся с другими видами четьфёхугольников, обладающими интересными свойствами, и попросить их установить отношения нового понятия с понятиями уже имеющейся системы. Так, дельтоид - выпуклый четырёхугольник, у которого два противоположных угла прямые и диагонали пересекаются под прямым углом. Анализируя соотношения нового понятия с известными, можно установить его связь с квадратом, который может быть определён как дельтоид, являющийся параллелограммом.
Таким образом, обучение построению системы понятий развивает у учащихся те навыки, которые позволят им в дальнейшем анализировать понятия, не вошедшие в систему, выделять и сравнивать их основные свойства и тем самым определять отношение новых понятий к данной системе.
Различные примеры систем понятий, встречающиеся в методической литературе, равно как и приведённые выше, по сути своей образуют структуру внутри предметных связей. Так, в примерах 1, 2 установлены горизонтальные связи между понятиями, изучаемыми в одном классе по разделам "Стереометрия" (10 класс) и "Планиметрия" (8 класс).
Изучение частных видов преобразований по общей схеме исследования, организация самостоятельной работы учащихся
В 1.2.-1.4. нами была развёрнута аргументация и предложены формулировки оснований отбора учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости", цель изучения которого заключается, прежде всего, в осуществлении систематизации знаний школьников по геометрии.
Анализ литературы позволил выделить два основных методических подхода к изучению геометрических преобразований плоскости. Представители первого (Б. В. Кутузов, А. И. Фетисов и др.) предлагают сначала рассматривать частные виды преобразований (осевую симметрию, центральную симметрию, параллельный перенос и поворот), а лишь затем общее преобразование движения. В основе данного похода, таким образом, лежит индуктивный ход мысли: от знания частою к знанию общего. Он справедливо считается более доступным для школьников.
Сторонники же другого подхода (Д. И. Перспелкин, П. С. Моденов, А. С. Пархоменко и др.) считают, что изучение общего преобразования движения должно быть предпосылкой исследования его частных видов. В основу этого подхода положено дедуктивное движение мысли: от знания общего к знанию частного, что, несомненно, обеспечивает изучаемому материалу более строгую научную форму.
К общим чертам методики изложения темы "Геометрические преобразования плоскости" в современной литературе [4], [67], [115] можно отнести, во-первых, смешанный тип изложения (дедуктивный и индуктивный), а, во-вторых, использование осевой симметрии в качестве основного преобразования плоскости.
Следуя сформировавшимся современным тенденциям и учитывая, что разработанный нами учебный курс предназначается для учащихся с высоким уровнем математических способностей, необходимых для восприятия дедуктивного изучения предмета, автор также использует смешанный тип изложения содержания учебного материала.
Однако сразу следует отметить, что рассмотрение вопроса о представлении каждого частного вида движения композицией конечного числа осевых симметрии не входит в состав задач нашего исследования. Поэтому, следуя схеме подачи материала рассматриваемой темы, предложенной в учебнике А. Д. Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика [2], предназначенном для углублённого изучения геометрии, в содержание изучаемого материала были включены основные виды движения: поворот, центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос, скользящая симметрия. Такой выбор оправдан и учебными целями - развитием у учащихся навыков систематизации понятий и установления внутрипредметных связей содержания школьного курса геометрии.
("формулированные в главе I диссертации основания отбора теоретического материала позволили произвести отбор учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости" и разработать методику обучения, эффективность которой была подтверждена проведённым нами экспериментом.
С учётом этого планирование учебного материала по теме "Геометрические преобразования плоскости" предлагается осуществить следующим образом:
1. Отображение фигур 1 ч.
2. Преобразования плоскости 1 ч.
3. Преобразования, сохраняющие расстояние 1 ч.
4. Эквивалентность фигур 1 ч.
5. Равенство фигур 1 ч.
6. Понятие группы. Примеры групп. Подгруппы 2 ч.
7. Поворот плоскости 2 ч.
8. Центральная симметрия 1 ч.
9. Осевая симметрия 2 ч.
10. Параллельный перенос 1 ч,
11. Скользящая симметрия 1ч.
12. Теорема Шаля 1 ч.
13. Группа движений плоскости 2 ч.
14. Гомотетия 2 ч.
15. Подобия Зч.
16. Сжатие к прямой 2 ч.
17. Сдвиг вдоль прямой 2 ч.
18. Основная теорема аффинной геометрии 2 ч.
19. Множества преобразований плоскости. Классификация фигур. Классификация геометрий плоскости 2 ч.
20. Аффинные повороты 2 ч.
21. Аналитическая запись аффинных преобразований 2 ч.
Всего 36 ч.
Приведённая "расчасовка" требует от учителя умения активно использо вать методы проблемного обучения, которое предполагает выделение значи тельной части учебного материала, отводимой на самостоятельное изучение.
Это вытекает из требования усиленного развития у учащихся навыкоь ни зации самостоятельной работы, выдвинутого в качестве одной из задач диссертационного исследования.
Обеспечению эффективности организации самостоятельной работы учащихся способствует также предлагаемая методика изучения каждого вида преобразования по разработанной схеме исследования, что и было подтверждено экспериментом.
