Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические особенности обучения началам анализа в профильной школе
1.1 Современное состояние системы математического образования в России 9
1.2 История дифференцированного обучения 14
1.3 Цели профильного обучения 26
1.4 Дифференциация содержания образования основное средство осуществления профильного обучения 29
1.5 Профильная и уровневая дифференциация, как педагогическая проблема 36
1.6 Элементы математического анализа в школьном курсе математики 58
1.7 Роль задач при дифференциации учебного процесса по математике 78
Выводы по главе 1 88
Глава 2. Методическая система обучения началам анализа в профильной школе
2.1 Методические требования к отбору задач по началам математического анализа для профильных классов 91
2.2 Изучение понятий производной и дифференциала в процессе решения задач 108
2.3 Проектирование задачного материала по началам математического анализа с учетом профильной дифференциации 122
2.4 Педагогический эксперимент и его результаты 152
Выводы по главе 2 173
Заключение 176
Список литературы 178
Приложения 199
- История дифференцированного обучения
- Элементы математического анализа в школьном курсе математики
- Методические требования к отбору задач по началам математического анализа для профильных классов
- Педагогический эксперимент и его результаты
Введение к работе
Актуальность исследования. В начале XXI века стала очевидной необходимость серьезной модернизации школьного образования. Россия все больше становится страной открытой миру, где строится рыночная экономика и правовое государство, в котором на первое место должен быть поставлен человек, обладающий значительно большей, чем ранее, мерой свободы и личной ответственности. Фундаментальные процессы, изменяющие российскую действительность, «разворачиваются» в общемировом контексте перехода цивилизации к новому состоянию постиндустриального информационного общества. К сожалению, эти принципиально новые тенденции пока в малой степени нашли свое отражение в содержании российского школьного образования, а именно они должны стать основой его кардинальной модернизации.
Специфика современной системы образования состоит в том, что она должна быть способна не только вооружать обучающегося знаниями, но и формировать у него потребность в непрерывном самостоятельном и творческом подходе к овладению новыми знаниями, создавать возможности для отработки умений и навыков самообразования. Современные тенденции социально - экономического развития России заставляют переосмыслить цели школьного образования, соответственно по-новому сформулировать и планируемые результаты образования.
Одним из направлений модернизации является профилизация старшей ступени общеобразовательной школы, реализация которой, в свою очередь, вызвала необходимость введения инноваций в школьную практику.
Важнейшим социальным требованием к школе, заявленным в Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года и в Концепции профильного обучения в учреждениях общего среднего образования, является ориентация образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, познавательных и созидательных способностей, успешной социализации в обществе и активной адаптации на рынке труда. При этом подчеркивается, что решение этих задач должно стать органической составляющей педагогической деятельности, интегрированной в общий процесс обучения и развития. В стратегических документах отмечается новая роль профессиональной ориентации как условия для психологической поддержки молодежи, помощи в выявлении профессиональных интересов, склонностей, определения реальных возможностей в освоении той или иной профессии.
Все это привело к необходимости разработки концепции совершенствования методики преподавания математики, к дифференцированному преподаванию школьного курса математики, в частности элементов математического анализа. При этом необходимо
ИСПОЛЬЗОВаТЬ ШИрОКИЙ Круг научной И научнп-метпдичрНГПР ТИТП""^Т" I
по дифференцированному обучению математике,. имцЮНАЛМІЯЧ
&ИЫИЮТМА I
оэ
Проблемы дифференциации обучения математике рассматриваются в докторских диссертациях В.А. Гусева, И.М. Смирновой, М.В. Ткачевой , а так же в работах В.Г. Болтянского, Г.Д. Глейзера, Л.М. Коротковой, А.А. Кузнецова, Ю.М. Колягина, Г.Л. Луканкина, В.Л. Матросова, А. И. Нижникова, Н.С. Пурышевой, В.Д. Селютина, Н.Л. Стефановой, Н.А.Терешина, Н.Е. Федоровой, В.В. Фирсова, М.И. Шабунина и др.
Анализ содержания работ, посвященных вопросам преподавания школьного курса математического анализа, позволяет сделать вывод о том, что в них рассматриваются, в основном, вопросы методики изложения отдельных тем курса или излагается опыт работы преподавателей. Вместе с тем, в имеющейся научно-методической литературе не встречаются комплексные исследования проблемы дифференциации процесса обучения основам математического анализа, в которых был бы дан анализ ее современного состояния, систематизирован и обобщен имеющийся опыт методической подготовки, проведено его научно-теоретическое обоснование, на основе которого были бы разработаны пути дальнейшего совершенствования подготовки учащихся в соответствии с задачами математического образования. Все указанное выше определяет актуальность тематики данного исследования.
Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся старшей средний школы в условиях дифференцированного обучения.
Предмет исследования составляют содержание и методика изучения начал математического анализа в профильных классах в условиях уровневой дифференциации.
Проблемой исследования является выявление эффективности применения методического обеспечения при обучении началам математического анализа в профильных классах, основанного на их общеобразовательной и специальной значимости в условиях уровневой дифференциации. В ходе исследования была выдвинута гипотеза -использование деятельностного подхода при решении задачи обучения началам математического анализа учащихся профильных классов в условиях уровневой дифференциации позволит повысить качество знаний учащихся, как общекультурных, так и специальных, развить и поддержать у них интерес к изучаемому предмету.
Целью исследования является разработка и выявление эффективности разработанного методического обеспечения для изучения элементов математического анализа в профильных классах в условиях уровневой дифференциации.
Для решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы были выдвинуты следующие задачи исследования.
1. Раскрыть психолого-педагогические особенности основ реализации уровневой дифференциации в обучении математике учащихся профильных классов.
f Л* < і . . „,
і ' - . *
-
Выявить требования к отбору задач курса математического анализа, использующихся для реализации уровневой дифференциации учебного процесса.
-
Определить содержание и структуру начал математического анализа, обеспечивающих реализацию базового уровня обучения математике в профильной школе.
4. Разработать методическое обеспечение для реализации уровневой
дифференциации в профильных классах при решении задачи обучения
началам математического анализа.
5. Провести педагогический эксперимент и
проанализировать его результаты.
Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования:
1) изучение и анализ отечественной и зарубежной психолого-
педагогической, учебно-методической и специальной литературы по
вопросам, относящимся к проблеме исследования;
-
беседы с учителями математики и учащимися;
-
анкетирование;
-
проведение педагогического эксперимента;
-
проведение анализа исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем впервые на базе комплексного исследования проблемы дифференциации процесса обучения, были разработаны теоретические основы методического обеспечения повышения эффективности изучения начал математического анализа в условиях уровневой дифференциации в профильных классах на основе решения задач, включающие в себя:
углубленное изучение математики, в частности начал математического анализа;
создание условий для реализации дифференциации содержания обучения старшеклассников;
обеспечение преемственности между общим и профессиональным образованием;
обеспечение эффективности подготовки выпускников школы к освоению программ среднего и высшего профессионального образования.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней разработана и теоретически обоснована методика обучения математике учащихся профильных классов на примере изучения понятий начал анализа, которая способствует установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями.
Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанные в диссертации требования к отбору задач по началам математического анализа для профильных классов с учетом уровневой дифференциации могут быть использованы в работе учителя при обучении
математике на базовом уровне и в элективных курсах различных профилей, а также при подготовке учителей математики в высшей школе, в работе по повышению их квалификации.
На защиту выносится: методика реализации уровневой дифференциации в профильных классах при решении задачи обучения началам математического анализа, включающая в себя:
-
требования к отбору заданного материала по курсу математического анализа в условиях дифференцированного обучения.
-
принцип отбора содержания учебного материала курса начал анализа, соответствующего профилю обучения.
-
методический подход и соответствующие ему методические рекомендации к использованию разработанного заданного материала при обучении началам математического анализа.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные результаты исследования докладывались автором и обсуждались на научно-методических семинарах кафедр МГОУ (2002, 2003 гг.), на 19-м Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов (Москва, МГЛУ, 2000 г.), на Международной научно-методической конференции "Математика в ВУЗе. Современные интеллектуальные технологии" (г. Новгород, 2000 г.)
Разработанные автором диссертационного исследования методические рекомендации обучения элементам математического анализа в профильной школе апробированы в МКТ (Московский кооперативный техникум), в средних общеобразовательных школах №5, № 10 г. Мытищи Московской области, также в процессе курсовой подготовки учителей математики в ИПК и ПРНО МО.
Структура диссертации.
Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Во «Введении» обоснована актуальность темы исследования, сформулированы его проблема, цель и гипотеза, определены объекты, предмет, задачи и методы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования, приведены положения, выносимые на защиту, и сведения об апробации и внедрении результатов исследования.
В первой главе «Психолого-педагогические особенности обучения началам анализа в профильной школе» проводится анализ современного состояния математического образования в России и истории дифференцированного обучения, рассмотрены цели профильного обучения и проблема дифференциации содержания образования. В этой же главе дифференциация, индивидуализация и гуманизация рассматриваются как общепедагогические проблемы, проводится анализ литературы, посвященной этой проблеме, подробно останавливаясь на двух различных
видах дифференциации - уровневой и профильной, их различии и единстве. Также рассматривается вопрос о роли и месте задач в процессе дифференцирующего обучения, определяются требования к отбору заданного материала по курсу математического анализа в условиях дифференцированного обучения.
Глава вторая «Методическая система обучения началам анализа в профильной школе», посвящена реализации предложенных подходов к дифференциации учебного процесса на примере курса математического анализа. Рассмотрены вопросы изучения понятий начал анализа в процессе решения задач, упорядочения задачного материала по началам математического анализа с учетом уровневой дифференциации в профильных классах. Методическая система заключается в реализации уровневой дифференциации при решении задач и отображена в схеме и таблице распределения задачного материала. В этой же главе приводятся основные результаты эксперимента, проводившегося с целью подтверждения выдвинутой нами гипотезы, сделаны выводы и заключение. В приложениях представлены примеры различных задач, которые можно использовать в работе в классах различных профилей с учетом уровневой дифференциации.
История дифференцированного обучения
История дифференцированного обучения как в нашей стране, так и за рубежом может дать педагогу богатый материал для размышления. Возникновение дифференциации и индивидуализации обучения можно отнести ко времени распространения классно-урочной системы. До этого обучение было индивидуальным, соответственно, и темп продвижения учащихся и методы обучения педагоги соотносили с особенностями ученика. Важность учета «свойств ума», «природных наклонностей» учеников отмечали великие мыслители прошлого (Платон, М.Ф. Квинтилиан, Я.А. Коменский, Д. Локк, Ж.-Ж. Руссо и т.д.). Русские педагоги (П.Ф. Лесгафт, Н.И. Пирогов, Л.Н. Толстой, К.Д. Ушинский) также неоднократно подчеркивали необходимость ориентации на индивидуальные особенности учеников в процессе обучения. Известно, что дореволюционная школа России была дифференцированной по полу и сословной. В России существовали разнообразные виды школ: начальные училища, духовные училища и семинарии, мужские и женские гимназии, реальные и коммерческие училища, кадетские корпуса и т.д. Предпринимались попытки осуществить фуркацию, то есть разделение учебных планов и программ в старших классах средней школы. Но проект реформы не нашел поддержки в правительственных кругах.
После революции 1917г. было провозглашено равенство прав граждан России в получении образования. Школа стала единой, однако в основу ее построения была заложена возможность фуркации, что предполагало в старших классах второй ступени специализацию в гуманитарных, естественно-математических, технических науках. Выбор специализации в значительной мере предрешал выбор специальности в высшем учебном заведении.
Если обратиться к истории российской педагогики в послевоенный период, то можно выявить цикличность интереса педагогической теории и практики к проблеме дифференциации. Рост интереса к идеям дифференциации наблюдался в послереволюционные, в 50-60-е гг. — после XX съезда КПСС, в 90-е гг. XX века — период демократизации жизни страны, а в 30-40-е и 70-е гг. наблюдалось падение интереса к дифференцированному обучению, снижение его роли в учебном процессе.
В 20-е гг. шел активный поиск принципов, методов, содержания образования в новой школе. Идея дифференцированного обучения нашла свое выражение в профессионализации школы II ступени и введении профуклонов. Широкое распространение профуклонов (1924/1925 уч.год), по мнению историков педагогики, было обусловлено и социальными условиями, и педагогическими причинами. С одной стороны, трудности в экономической жизни страны, безработица требовали вооружения старшеклассников какой либо профессией, с другой — курс на связь школы с жизнью, непосредственное участие школьников в производительном труде выдвигали задачу профессионализации школы. Так, учащиеся, оканчивающие школу с кооперативно-торговым уклоном, получали квалификацию счетнобухгалтерских работников, товароведов; оканчивающие школу с культурно-просветительским уклоном, могли работать библиотекарями, заведующими избами-читальнями.
Однако на практике, как пишет З.И. Равкин, профессионализация нередко принимала стихийный характер, на что указывает резкое различие соотношения часов между специальными и общеобразовательными предметами в разных губерниях. Намечаемые уклоны не всегда оказывались актуальными и целесообразными. Например, одна городская школа избрала целевой установкой по профессионализации зуботехнику и должна была выпускать 40 зуботехников в маленьком окружном городке [197] . Использование учебного времени на профессионализацию ухудшало образовательную подготовку школьников. Состоявшаяся в июле 1925 г. Всероссийская конференция по вопросам школы II ступени решительно подчеркнула сохранение общеобразовательного характера школы как непременного условия при профессионализации.
В 20-е гг. в опытно-показательных учреждениях Наркомпроса апробировалась дифференциация по способностям детей. Создавались группы учащихся с ярко выраженным интеллектом, а также слабоуспевающих детей. Для последних общеобразовательные дисциплины преподавались сокращенно, но увеличивалось количество практических занятий в школьных мастерских.В это время П.О. Эфрусси [264] было проведено интересное исследование, в котором определены условия эффективной работы классов слабоуспевающих учеников. Среди этих условий — малая наполняемость таких классов, возможность перевода детей в общеобразовательные классы. Отметим, что эти условия актуальны в настоящее время для классов коррекции.
В 20-е гг. реализовалась дифференциация по интересам учащихся в форме кружковых занятий. Кроме того, в ряде школ, руководствовавшихся идеями «свободного воспитания», в отсутствие классно-урочной системы ученики распределялись по желанию по группам умственного труда: физико-математической, биологической, общественных наук и т.д. Отражение идей дифференциации наблюдалось в Дальтон-плане, и в бригадно-лабораторном методе, которые в то время реализовались в школе. Дальтон-план давал возможность ученику продвигаться собственным темпом в выполнении задания, а в учебный процесс внедрялись программы различного уровня: обязательная для всех программа-минимум и необязательная, по выбору, программа-максимум повышенной сложности. Бригадно-лабораторный метод позволял ученикам распределить роли и обязанности в соответствии со своими способностями и склонностями. Указанные методы вызвали критику, основными причинами которой были смещение акцента на индивидуальную работу в ущерб коллективной, снижение педагогического руководства и контроля со стороны учителя за работой каждого ученика,
В 20-е и в начале 30-х гг. в советской педагогике активно развивалось педологическое направление. Длительное время деятельность педологов оценивалась отрицательно или замалчивалась. Считалось, что педология нанесла большой вред советской школе, особенно выдвинутая педологами теория врожденной одаренности, предопределенности судьбы человека биологическими и социальными факторами. Однако, если обратиться сейчас к работам педологов Е.А. Аркина, П.П. Блонского, А.Б. Залкинда, С.С. Моложавого и других, то можно увидеть много интересных и важных аспектов. Прежде всего, это акцент на необходимости всестороннего изучения ребенка, тщательного выявления причин его школьных проблем и только после этого - осуществление педагогического воздействия. В работах педологов подробно рассматривались физиологически стороны развития ребенка, подчеркивалась неповторимость, уникальность, каждого человека. «При всем сходстве в строении нервной системы разных людей, при всей общности законов нервной деятельности нервная организация каждого, как взрослого человека, так и ребенка является единственной, неповторяемой. Она единственная потому, что только в ней нашла отражение определенная комбинация - одна из бесчисленного количества возможных комбинаций наследственных и внешних факторов» [23].
В 30-е гг. начался новый этап в истории советской школы и педагогики. Вектор развития школы сменился, после известных постановлений 1931-1936 гг. был взят курс на единообразие и жесткую регламентацию учебного процесса. Идеи дифференциации и индивидуализации выдвигались и в это время как средство одоления неуспеваемости школьников (A.M. Гельмонт, СР. Ривес, С.Л.Славина), как способ устранения перегрузки учащихся но широкого распространения не получили.
Вновь активно идеи дифференциации и индивидуализации стали разрабатываться в конце 50-х гг. В это время по инициативе действительных членов АПН РСФСР A.M. Арсеньева, и М.А. Мельникова начался широкий эксперимент по дифференциации обучения в средней школе №710 г. Москвы и № 18 г. Павловского Посада Московской области. Вопрос о дифференциации возник в период после опубликования в 1958 г. закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» и в связи с введением в систему народного образования средних школ с производственным обучением. Эти школы давали общее и политехническое образование, а также вооружали учащихся специальными знаниями и умениями для работы в одной из отраслей народного хозяйства. Необходимо было определить систему обучения в этих школах, формы и методы учебной работы, которые обеспечили бы связь между общеобразовательными предметами, специальной теоретической подготовкой и обучением производительному труду. В процессе разработки этих программ и возникла система дифференцированного обучения.
Авторы, изучавшие проблемы дифференцированного обучения в те годы (М.А. Мельников, Н.М. Шахмаев), отмечали, что дифференциация не должна быть дробной, то есть отражать узкую специализацию. Направления обучения должны охватывать широкие области теоретических и практических знаний: физико-техническое, естественно-агрономическое, гуманитарное направления. Неоднократно подчеркивалось, что профильное обучение не должно привести к снижению общего уровня общеобразовательной подготовки, хотя некоторое сокращение часов на изучение непрофилирующих предметов допускалось.
Характерным для первых экспериментальных школ с дифференциированным обучением в эти годы было подчинение всей их деятельности задачам профессиональной подготовки учеников. «Целям профессиональной подготовки учащихся должны служить все предметы, и в первую очередь наиболее близкие » [222]. В московской школе № 710 работа по дифференциации сначала была организована и виде факультативных занятий. Однако вскоре выяснилась их малая педагогическая эффективность, связанная с тем, что факультативные занятия шли параллельно с основным курсом, соответственно согласование содержания учебного материала осуществить было довольно трудно: не все ученики посещали факультативные занятия, следовательно, на изученный в ходе факультативных занятий материал нельзя было опереться на уроках.
Элементы математического анализа в школьном курсе математики
Математический анализ как часть математики. Коротко математический анализ можно определить как совокупность разделов математики, «в которой функции и их обобщения изучаются методом пределов» ([151],с.35).
Функции являются объектом исследования не только в математическом анализе: некоторые виды функций рассматриваются и в элементарной математике, однако методы исследования функций - интегральное и дифференциальное исчисление - используются эксклюзивно в математическом анализе.
Несмотря на собственный объект исследования и собственные методы, термин "математический анализ" в настоящее время больше генетико-педагогический, чем научный; его чаще используют педагоги и историки математики, чем ученые, занимающиеся непосредственным исследованием областей современной математики. Обычно этот термин употребляют для обозначения того, что сейчас называют основами математического анализа, сюда входят разделы: теория действительного числа, теория пределов, теория рядов, в том числе и рядов Фурье, дифференциальное и интегральное исчисления и их простейшие приложения, дифференциальные уравнения и т.д., то есть, той части математики, которая сложилась уже к концу 19 столетия.
Иногда под математическим анализом понимают гораздо более широкую область математики, представленную не только перечисленными выше, ставшими уже классическими разделами, но и сравнительно молодыми -вариационное исчисление, функциональный анализ, уравнения математической физики и другие. Второе понимание более емкое, но менее распространенное.
Величие математического анализа, как и математики вообще, в абстрактности. В математических абстракциях в чистом виде отражены общие и существенные признаки объектов и их отношений, благодаря чему (с помощью абстракций ) открываются новые свойства изучаемых объектов, что способствует развитию математики. Чем выше достигается уровень абстрактности, тем самостоятельнее наука, тем ее методы становятся менее зависимыми от других наук. Величие вовсе не означает, что математический анализ - некая "неприкосновенная особа", и он важен лишь этим, то есть, некоторый "математический анализ сам для себя". Сила и практическая значимость математического анализа в его приложениях. Именно он занимается разработкой методов построения и изучения динамических моделей в математике, моделей, описывающих движения, текущие процессы, непрерывно меняющиеся состояния, широко распространенные в природе. Отсюда результаты, полученные в анализе, имеют значительную часть приложений прежде всего к различным разделам физики, а потом и к другим наукам. Поэтому даже сколько-нибудь серьезное изучение физики непременно потребует основательного владения вопросами анализа.
Как указывал известный популяризатор математики М. Клайн: "Обращение к прошлому - плодотворный источник познания настоящего" ([105] с. 13). Чтобы лучше понять суть и логику математического анализа, необходимо восстановить некоторые, наиболее важные моменты его развития.
Математический анализ появился в виде анализа бесконечно малых и самым первым в нем сформировался раздел "Дифференциальное и интегральное исчисление". Построение теории "Дифференциального и интегрального исчисления" как систематического учения стало возможным благодаря открытию следующих фактов:метода неделимых Кавальєри, метода квадратур и кубатур Ферма, Роберваля, Паскаля и Валлиса, способам Роберваля и Барроу проведения касательной к кривым и метода определения наибольших и наименьших величин Ферма. Само появление и развитие анализа в 17 веке стимулировалось потребностями астрономии и механики, о чем еще в 1843 г. писал профессор Медлер: "... многие части высшего математического анализа вовсе не были рассмотрены, либо, по крайней мере, не с такой точностью и последовательностью, если б не потребовала этого астрономия. Ньютону нужно было исчисление бесконечно малых, и поэтому он открыл его" ([153], с.69).
Благодаря Ньютону и Лейбницу в 17 веке стали известными математические факты: обратная взаимосвязь между процессами интегрирования и дифференцирования; понятие интеграла (у Ньютона изначально в смысле неопределенного и у Лейбница - в смысле определенного); вычислены производные и интегралы некоторых функций; найдена формула вычисления определенного интеграла с помощью первообразных (формула Лейбница-Ньютона), правила дифференцирования постоянной величины, суммы функций и разности, произведения, частного и корня; инвариантность вида первого дифференциала от выбора аргумента; разработаны приемы вычисления экстремумов функций и некоторые приложения дифференциального и интегрального исчисления к решению ряда задач геометрии, механики и астрономии. Сюда же следует отнести и появление "Теории дифференциальных уравнений". "Однако математический анализ, теоретически богатый и практически значительный, нес в самых своих основах неразрешенное противоречие между растущими практическими успехами и логической необоснованностью, неразъясненностью его понятий и операций" ([214], с. 149). Слабые стороны анализа 17 столетия: отсутствие рационального объяснения используемых понятий (бесконечно малой и функции),. регулярного метода отыскания первообразных; формальный, необоснованный перенос в математику переменных величин основных понятий и законов, установленных в низшей математике, и другие были устранены многочисленными стараниями.математиков последующих столетий. При этом уместно заметить, что до первой половины 18 века математический анализ неотделим от его приложений и, более того, исполняет по отношению к ним подчиненную роль.
Математиками 18 столетия вопросы существования практически не обсуждались, но для обоснования каждой математической теории они требовали точного истолкования ее основных понятий. Понятие бесконечно малой "не поддавалось разгадке", и поэтому некоторые ученые (Д Аламбер, Кузен, Гурьев) предпринимали серьезные попытки вовсе устранить это понятие из математики, а все надежды связывали с поиском корректного определения предела, которое помогло бы объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления. Эти поиски не могли привести к желаемым результатам, узость определения предела была обеспечена хотя бы тем, что все названные математики всякое приближение переменной к пределу мыслили обязательно монотонным и непрерывным. Узкое определение предела связано и с узким представлением о функции, имевшим место в 17 - 18 веках. Если перемены в развитии "Дифференциального и интегрального исчисления" в 18 веке оставались все же незначительными, то именно в это время в трудах Д. Бернулли, Ж. Д Аламбера, О.Л. Эйлера "Теория дифференциальных уравнений" приобрела статус самостоятельной дисциплины. Возникновение современной "Теории пределов" датируют началом 19-го века, когда в работах О. Коши понятие предела выступило как самостоятельный объект исследования. Заслуга же Коши не в том, что он сумел точнее определить понятие предела, а как раз в том, что он с помощью этого понятия провел дальнейшую систематизацию анализа,. Благодаря Коши стало "узаконенным" понятие бесконечно малой, определяемой как переменная, :имеющая своим пределом нуль (т. е. в смысле потенциальной бесконечности).
К первой половине 19 века относят появление "Теории рядов" как самостоятельного раздела, поскольку ряды, рассматриваемые ранее только как средство исследования, получили статус самостоятельных объектов изучения. Итак, к середине 19 века фундаментальная база анализа укрепилась, были получены и уточнены следующие факты:
1. В "Теории пределов": корректное определение понятия предела, основные признаки существования пределов последовательностей, основные теоремы о пределах, внутренний критерий сходимости последовательности.
2. В "Дифференциальном и интегральном исчислении": определение интеграла как предела интегральных сумм, производной - как предела отношения, аналитически доказано существование определенного интеграла непрерывной функции, исходя из данных определений изучены свойства определенного интеграла, определены простейшие несобственные интегралы.
3. В "Теории рядов" определение суммы сходящегося ряда, определение абсолютной и условной сходимости, получены признаки сходимости рядов, установлена область сходимости степенного ряда для действительных и комплексных значений аргумента и др.
Но, как справедливо замечает Г.М. Фихтенгольц:"....в этом фундаменте еще оставалась брешь - нехватало строгого обоснования самого понятия вещественного числа и установления непрерывности области вещественных чисел" ([249],с.433).Эти и другие проблемы были разрешены во второй половине 19 века с построением в работах К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора «Теории действительных чисел». Хотя каждый из ученых использовал свой метод для построения теории, все пришли к обоснованию следующих фактов: иррациональные числа можно построить с помощью рациональных, между множеством вещественных чисел и множеством точек прямой можно установить взаимно однозначное соответствие, числовая прямая обладает свойством непрерывности. Даже такой довольно краткий исторический обзор позволяет заметить, что последовательность этапов развития анализа находится в порядке, обратном современному его изложению.
Методические требования к отбору задач по началам математического анализа для профильных классов
Проникновение математических методов в самые разнообразные, подчас неожиданные сферы человеческой деятельности означает возможность пользоваться новыми, как правило, весьма плодотворными средствами исследования. Рост математической культуры специалистов в соответствующих областях приводит к тому, что одних лишь математических познании далеко не достаточно для решения той или иной прикладной задачи -необходимо еще получить навыки в переводе исходной формулировки задачи на математический язык. Собственно в этом и состоит проблема овладения искусством математического моделирования. Традиционно курс математического анализа преподается по программе, в основе которой лежат достаточно сложные принципы построения науки математики и возникает необходимость строгого анализа содержания. Однако все это составляет лишь часть арсенала средств, необходимых математику в практической деятельности. Распространенная трудность у специалистов-математиков - их растерянность перед задачами, возникающими непосредственно из практики. Это совсем не обязательно связано с недостатками способностей, а скорее отражает формальный характер курса математического анализа по сравнению с другими дисциплинами. Возможным средством для устранения этого недостатка следует считать обучение методам постановки математической задачи, возникающей из реальных практических ситуаций, то есть математическому моделированию.
Рассмотрим основные элементы процесса моделирования: 1) процесс выявления основных или существенных особенностей явления, 2) перевод известных фактов на язык математических понятий и величин Й и постулирование соотношений между этими величинами, 3) после построения модели ее следует подвергнуть проверке. Здесь во-первых, сама математическая основа модели должна быть непротиворечивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от ее способности адекватно описывать исходную ситуацию. Но вообще говоря, решение задачи зависит как от критериев, выдвинутых автором модели, так и от установления физических, экономических или любых других характеристик исходной ситуации. Нужно подчеркнуть, что ответ, который невозможно реализовать на практике (хотя он и получен с помощью тонкого математического анализа), оказывается бесполезным для данной задачи. Кроме того, можно сказать, что приближенный ответ, который получается быстро, может оказаться более эффективным, чем более точный ответ, на получение которого уходит больше времени. Это часто свидетельствует о пользе непосредственного численного приближенного решения, позволяющего избежать затрат времени на поиски наиболее изящного аналитического решения. Очень важен вопрос об интерпретации вытекающих из модели выводов. Предстоит совершить обратный переход с математического языка на язык формулирования задачи. При этом следует отчетливо осознавать как математический смысл полученных решений, так и то, что они означают на языке реального мира, который математика призвана описывать. Поскольку обучение анализу вообще связано с приложениями, метод обучения в классах технического профиля должен быть таков, что производная и интеграл должны идти в неразрывной связи с их приложениями. Уже подход к анализу должен быть связан с приложениями. Простейшими приложениями могут служить равномерно ускоренное движение в свободном падении, на наклонной плоскости, по параболической траектории. Затем идут многочисленные примеры уравнений, приводящих к показательной функции. Прозрачнейшими формами постановки задач являются те, в которых рассматриваются процессы, при которых некоторая величина, скажем популяция или капитал, или радиоактивное вещество, постепенно увеличивается или уменьшается приблизительно пропорционально наличному количеству, т.е. A Q aQ At; следовательно, dQ/dt = aQ Q(t)=t0eat . Далее нужно привести различные связанные с такими процессами примеры приложений, которые учитель считает целесообразным рассматривать непосредственно в процессе изучения основных понятий анализа: поглощение излучения, барометрическое давление, изменяющееся с высотой, натяжение приводного ремня и т.п., а при рассмотрении дифференциальных уравнений второго порядка - колебания, приводящие к линейному уравнению вида d2x dx т—- + р— + fJx = K. dt dt
Отметим, что сколь часто физик говорит о порядке величин, столь часто математик избегает этого выражения. В преподавании математики школьник должен понимать, что х3 растет быстрее, чем х , а ех - быстрее любой степени х. Для наглядного понимания производной и интеграла наглядность сравнения порядка величин является предварительным условием. То, что функция / может быть так аппроксимирована линейной функцией / что f(x)- f (x) стремится к нулю, а потому f(x)-f(x0) - f (x0 )(х-х0) стремится к нулю быстрее, чем х-х0. Если предположить двукратную дифференцируемость, то, даже разделив на (х-х0) мы получим все еще ограниченную величину. Школьник должен видеть это не только в виде формулы, но и на графике, где изображены функции и касательные к ним. То же относится, разумеется, и к производным высших порядков: если функция / дифференцируема в точке х0 к раз, то f(x) можно аппроксимировать многочленом k-я степени / так, что f(x)-f (х) стремится к нулю быстрее, чем (х-х0)к. Для учителя, работающего в классах математического профиля или в классах технического профиля с хорошей математической подготовкой, не безынтересно, что до самого последнего времени этот факт отсутствовал почти во всех курсах анализа, тогда как всевозможным «остаточным членам» уделялось много внимания.
Насколько хорошо аппроксимируется интеграл гладкой функции площадями под графиками нижних или верхних ступенчатых функций или иных кусочно-линейных функций? Пусть шаг разбиения равен h, изменение функции / в каждом интервале длины h имеет не более, чем тот же порядок, погрешность величины интеграла, подлежащего вычислению при замене функции/ в каждом частичном интервале константой, имеет порядок не более h , суммарная погрешность по всем интервалам имеет порядок не более h. А как же с кусочно-линейной аппроксимацией? Какую погрешность мы допустим, заменяя функцию / в интервале длине h линейной функцией, т.е. заменяя, например, кривую хордой? Хорда всегда параллельна некоторой касательной, построенной в том же интервале (в соответствии с теоремой Лагранжа о конечных приращениях), а потому порождает ошибку более высокого порядка малости, чем h, и, если/дважды дифференцируема, то имеет порядок не более чем h , Итак, точность аппроксимации удивительным образом улучшается на целый порядок. Если не просто применять суммы Дарбу, а пользоваться аппроксимирующими многочленами. Применение к интегрированию элементарных функций (скажем, х ) весьма иллюстративно.
Примыкающий вопрос: нельзя ли улучшить аппроксимацию, пользуясь многочленами более высокой степени? Ответ на него ведет к теории интерполяции. Аналогичный вопрос: нельзя ли при численном дифференцировании в таблицах применить подобный прием для повышения точности? Сколь хорошо аппроксимируется отношение sin х к х вблизи X = О? следовательно, порядок погрешности для одного интервала длины h не более h ; для всего интеграла в целом - не более h . Для математических и технических классов это хороший материал. Надо сказать, что искусством построения модели можно овладеть в результате собственной практики. Так как таковой практики у учащихся 8-9 классов, как правило, недостаточно, то изучение отдельных тем в курсе алгебры и начал анализа встречает серьезные трудности у большинства ребят. Нужны другие пути введения некоторых математических понятий, более доступные доказательства отдельных теорем, свойств, усиление наглядности в доказательствах и изложении материала, усиление прикладного характера изучаемых дисциплин с учетом Щ направленности личности учащихся с учетом уровня его математического развития. Преимущества разноуровневого эго изложения материала состоит в том, что обеспечивается индивидуализация обучения математике, которая открывает простор развитию интересов, способностей и склонностей учащихся, более широко в учебный процесс внедряется самостоятельная работа, активизируется мышление учащихся в процессе получения новых знаний, устраняются перегрузки учащихся, обеспечивается и обязательный базовый минимум знаний у всех учеников средней школы и более глубокое знание у тех, кто увлекается математикой. Приведем пример упражнений трех уровней, предлагавшихся на уроках математики в классах различных профилей при изучении темы «Введение понятия производной».
Педагогический эксперимент и его результаты
С целью проверки эффективности и достоверности полученных нами результатов по дифференцированному обучению математическому анализу в профильных классах средней школы в 1999 - 2003 гг. проводился педагогический эксперименте учащимися 10-11 классов средних школ №5 и №10 г.Мытищи, а также со студентами 1-го курса Московского кооперативного техникума (далее МКТ).
Содержание образования первого курса МКТ соответствует стандарту общего (полного) образования (10-11 классы средней общеобразовательной школы). Студенты 1-го курса МКТ с первого дня обучения разделяются на группы, соответствующие будущим специальностям:бухгалтерский учет, мировая экономика (математического профиля), товароведение (гуманитарного профиля), технология приготовления продуктов питания (технологического профиля). Именно разнообразие специальностей и разбиение на группы (профили) привело к необходимости расширения эксперимента на среднее специальное учреждение.
В процессе экспериментальной работы решались следующие задачи, поставленные в теоретическом исследованиях.
1. Раскрыть психолого-педагогические основы уровневой дифферециации при профильном обучении математике.
2. Выяснить механизм проведения уровневой и профильной дифференциации на основе задач математического анализа при разбиении учащихся на группы в условиях эксперимента и вести наблюдения за ними.
3. Экспериментально доказать, что определенные в исследовании требования к задачам курса математического анализа, используемым в процессе дифференциации учебного процесса, определяют успешность деятельности учащихся и характер формируемых у них знаний.
4. Проверить на практике действенность предлагаемых способов дифференциации учебного процесса обучения основам математического анализа в профильных класах.
Были подобраны экспериментальные и контрольные классы с учетом определенных требований. Экспериментальные классы выбирались различные и занимались по различным учебным пособиям. В процессе эксперимента учащиеся изучали математический анализ по следующим учебным пособиям:
1.Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы/Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. - М., Просвещение, 1998г.
2.Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы/ Колмогоров А.Н., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др. Под. ред. Колмогорова А.Н. - М., Просвещение, 1998г.
3.Башмаков М.И., Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов средней школы 2-е издание стереотипное - М., Дрофа 2000г.
4. Математика - 10, учебное пособие для 10 класса гуманитарного профиля / Вернер А.Л., Карп А.П. - М., Просвещение, 1999г.
Решение этих задач потребовало проведения трехэтапного исследования: Констатирующий этап эксперимента (1999-2001гг.). Основными задачами этого этапа были следующие: ;
- анализ программ, учебных пособий, календарных планов учителей математики старших классов средних школ,
- анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме реализации принципа дифференцированного подхода в процессе обучения,
- собеседование с учителями, работающими в старших классах средних школ,
- наблюдение работы учащихся 10-11 классов на уроках математического анализа,
- определение экспериментальной и контрольной групп учащихся, проведение диагностирующей проверочной работы в экспериментальных и контрольных классах, определение направлений работы с учащимися экспериментальных Ф" классов.
Методическими особенностями экспериментальной программы являются:
- содержание теоретического материала одно и то же для всех направлений ифференцированного обучения (математические, технические, гуманитарные), дифференциация обучения (в каждом из направлений) осуществляется посредством :
а) различного числа часов, отводимого на изучение отдельных разделов (тем),
б) различного уровня изложения теоретического материала (понятия, теоремы, закона),
в) решение различных по сложности и по трудности задач,
г) неодинакового уровня отработки, достаточно общих методов решения задач.
На этом этапе осуществлялся сбор фактического материала: анализировались психолого-педагогическая литература по теме исследования, программы, учебники, практический опыт учителей средних школ по дифференциации обучения, анкетирование.
Многое дал собственный опыт работы учителем математики в школах №5 и №10 г.Мытищи , в математических, технических и гуманитарных 10 и 11 Щ классах этих школ, а также с различными группами 1-го курса МКТ. Изучение практики работы школ показало, что при комплектации 10-ых классов учителя проводят определенную работу по выявлению учебных возможностей учащихся, учету их дальнейших жизненных планов. Дифференциация обучения достигается здесь за счет решения различной сложности задач, времени, отводимого на изучение той или иной темы. Отсутствие методического обеспечения для дифференцированного обучения учащихся по математике объясняют многие учителя достаточно низким уровнем решения этой проблемы. На этом этапе нас интересовали также более частные вопросы, а именно:
1. Какие вопросы темы «Производная» наиболее трудно усваиваются школьниками?
2. Какие характерные ошибки допускаются учащимися при изучении данной темы?
3. Какой материал, изученный ранее, требует доработки для успешного изучения экспериментальной темы?
В результате проведенной работы с учащимися было установлено:
1) вопрос «предел функции в точке» усвоен учащимися формально. Они умеют решать простейшие задачи на вычисление предела функции в точке, пользуясь правилами вычисления пределов (86,9% учащихся дали правильный ответ при выполнении таких заданий), но недостаточно ориентируются в понятии предела функции в точке, не могут по графику функции ответить на вопрос, имеет ли функция предел в указанной точке. Даже такая практическая сторона использования теории пределов , как приближенные вычисления значений функции, по сути дела осталась неосвещенной. Ни один из опрошенных учеников не смог решить задачу вида: найти приближенное значение функции f(x) = в точке х=2.
2) только 16,3% учащихся смогли выполнить задание, связанное с геометрическим смыслом производной, хотя положение о том, что угловым коэффициентом касательной является производная функции в точке х известно с начальных уроков по изучению данной темы. Очевидной причиной этого является тот факт, что учащиеся, изучив вопрос «Понятия о производной.
Касательная к графику функции», далее на протяжении . всей темы «Производная» не решают ни одной задачи на геометрический смысл производной.
