Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Элементы нестандартного анализа и логико-речевая символика- как средства формирования математической культуры учащихся 10-11-х классов 15
1. Роль математического языка в формировании математической культуры 16
2. Теоретические основы исследования 25
3. Ядро концептуальных положений нестандартного анализа 37
Выводы по первой главе 41
Глава 2 Методика и средства внедрения факультативного курса по элементам нестандартного анализа 44
1. Результативность Н-дидактики изложения непрерывности функции- инварианта Н-анализа 44
2. Содержание факультативного курса «Элементы нестандартного анализа» 50
3. Методические рекомендации учителям математики по изучению элементов Н-анализа 72
Выводы по второй главе 76
Глава 3 Применение ЛРС, УДЕ и ОУДЕ в теории множеств 78
1. Операции над множествами 79
1. Операция объединения 79
2. Пересечение множеств 82
3. Разность множеств 84
4. УДЕ на три операции с множествами 88
2. Декартово произведение множеств 89
1. Числовые множества на R 90
2. Сложные задания на числовые множества на R 93
3. Числовые множества на R2. Произведение множеств 102
3. Применение ЛРС и ОУДЕ в изучении Н-анализа 110
1. ОУДЕ на тему операции над множествами 112
2. ОУДЕ множеств на числовых прямой и плоскости 115
4. Методические рекомендации по использованию системы упражнений по изучению теории множеств в факультативном курсе 122
5. Педагогическая эффективность Н-дидактики математического анализа и технологии ЛРС, УДЕ и ОУДЕ 124
Выводы по третьей главе 135
Приложение 137
Содержание и характер учебно-методического пособия: "ЛРС, УДЕ и ОУДЕ - эффективный дидактический инстру мент обучения математике"
1. Принцип построения учебно-методического пособия 139
2. Содержание учебно-методического пособия 142
Заключение 164
Литература 167
- Роль математического языка в формировании математической культуры
- Результативность Н-дидактики изложения непрерывности функции- инварианта Н-анализа
- Операции над множествами
Введение к работе
Актуальность исследования. Изменяющиеся социальные условия в >ществе оказывают влияние па образовательную систему нашей страны, что шшо отражение в Законе РФ "Об образовании", и котором работникам об-ізования предоставляется возможность самостоятельно выбирать оргапиза-ионные формы и дидактические приёмы обучения с целью гуманизации и гманитаризации учебно-воспитательного процесса в школе и вузе.
В работах Батракова И.С., Дьяченко В.К., Зайкина М.Н., Молчанова 1.Л. и др. анализируются тенденции децентрализации управления системой бразования на фоне изменяющихся социальных основ общества. Всё это да-г жизпь таким формам организации личпостно-ориентировашюго обучения, ак урок по инициативе учащихся, урок изобретательства, межпредметный рок, урок-"погружеіше", урок- деловая игра и др.
Исследования Зотова Ю.Б., Махмутова М.И., Онищука В.А., Яковлева І.М. и др. проявляют тендеіщии установления вариативности урока в форме рока-семинара, урока-дискуссии, интегрироваппого урока, урока-акрепления изучешюго материала на базе укрупнённых дидактических еди-иц (УДЕ) Эрдниева П.М..
У учителей-математиков имеется возможность самостоятельно выби-іать формы обучепия, чем существенно обогащается арсенал методических гриёмов построения и проведения уроков по математике на высоком уровне. Z этой точки зрения паходят своё применение результаты исследований Во-ювича М.Б., Глейзера Г.Д., Гусева В.А, Дорофеева Г.В., Кудрявцева Л.Д., Іуканкипа Г.Л., Мамия К.С., Монахова В.М., Мордковича А.Г., Фридмана І.М., Шихалиева Х.Ш., Эрдпиева П.М., Эрдниева Б.П. и др., а также передоюй опыт учителей-новаторов Карпа А.П., Окунева А.А., Рыжика В.И., Шата-юва В.Ф., Щетинина М.П., статьи Гузееза В.В., Дудшщына Ю.П., Зильбер-іерга Н.И., Магомсдова Н.Г., Фшткельштейна В.М., Черниковой Т.М. и др.
На наш взгляд, весьма удачными дидактическими находками являются /ДЕ П.М. Эрдниева, теорегико-шшжествеиные технологии Х.Ш. Шихалиева г обобщённые УДЕ, или ОУДЕ В.В. Тульчия в школьном и вузовском курсах іатематики, учитывая, что они (С.Г. Мапвелов) способствуют коллективному ворчеству педагога и обучающихся.
В работах многих видных математиков- А.Н. Колмогорова, А.И. Мар-сушевича, А.С. Столяра, A.M. Пьшгкало, Х.Ш. Шихалиева, П.М. Эрдниева и го. рассматривается усиление логической основы школьного курса, вкшоче-те в него элементов математической логики.
Несмотря на то, что математика имеет, несомненпо, большое значение иія формирования общей культуры учащихся, становится всё более очевид-гой тенденция в напіей системе образования па непрерывное уменьшение фсмени на изучение математики в старших классах. Кроме того, из учебных їланов по математике в старших классах обычных школ исчезли такие осно-юполагающие вопросы, как понятие предела функции и непрерывность. Это гакладывает определённые требования на подбор учебного материала для
создаваемых учебных пособий по школьной математике и их объём. В эт условішх возрастает роль правильного выбора рациональных методов изі жсішя материала.
В отличие от классического, или стандартного анализа О. Коши, баз рующегося на понятии бесконечно малой как переменной величины, т стремящейся к нулю функции, нестандартный анализ Робинсона, предл женный им в 1960 г., следуя Г. Лейбницу, трактует это понятие как постоя пую достаточно малую (в рамках проводимого исследования) величину, и его нестандартном анализе оно является стержневым. Новая модель неста дартного анализа В.В. Тульчия, которую мы будем использовать, сохран вес основополагающие концепции стандартного анализа, вводит нові обобщённые математические понятия и предложения (такие, например, к; предел и непрерывность абстрактного неметризованного множества и др.), также принципы
топологической эквивалентности,
компактности и
предельного перехода,
существенно упрощающие дидактику изложения основных разделов апали: делая его более прозрачным и доступным для учащихся старших классов, также доігускают создание полиязычных (оптимально 2-И языка) учебнь пособий при небольшом увеличении их объёма по сравнению с существу! щими моноязычными пособиями того же характера.
Как показал наш опыт проведения факультативных занятий в СШ №7 Армавира, новые обобщённые понятия и нестандартные методы доказ тельств теорем, характерные для нестандартного анализа, логико-речев, символика (ЛРС), УДЕ П.М. Эрдпиева, теоретико-множествепные технол гии Х.Ш. Шихалиева, и обобщённые (логические) укрупнённые дидактич скис единицы ОУДЕ (ЛУДЕ)- позволяют учащимся за существенно бол короткое время (по сравнению со временем освоения элементов матанали по другим учебникам) изучить основные понятия и предложения анали: знания по которому они углубят в вузе.
В некоторых случаях, о чём свидетельствуют результаты исследован] психологов и педагогов Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, С.Л.Рубинштейг Л.В. Занкова, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина и др., достигается не только в сокий уровень ЗУНов, но и общее развитие.
Труды физиологов U.K. Анохина, Н.А. Бернштсйна, И.П. Павлої И.М. Сеченова и др., психолога А.Н. Леонтьева нашли своё применение в и следовании, в них отмечается, что в коре головного мозга образуются усле но-рефлекторные связи в виде особых ансамблей нейронов, которые осуц ствляют регуляцию деятельности но решению сходных задач, а также обр;
Таким образом, учитывая всё сказанное выше, в школе и вузе меж,
эебностыо в разработке новых дидактических ослов учебно-іитательпого процесса и фактическим состоянием учебного процесса по ;матике возникли противоречия, которые и обусловили акт\>аль-:ть разработки проблем ы по поиску путей совершенствования со-ясания обучения математике в старших классах в форме факультатива но ментам нестандартного анализа и изучению лоїико-речевои символики средств повышения математической культуры учащихся старших класів ел ь ю исследовании является разработка содержания факультатив-о курса «Элементы нестандартного математического анализа» с применс-;м логико-речевой символики и укрупнённых дидактических єдиний, обоб-иных укрупнённых дидактических единиц, логических укрупнённых дидак-ческих единиц и методики его изучения, способствующих повышепию ма-іатической культуры учащихся.
Объектом исследования — процесс обучения учащихся старших іссов математическому анализу.
Ир є дме т о м исследования являются содержание, методы, формы редства изучения факультативного курса нестандартного математического шиза, оказывающих формирующее влияние на математическую культуру шшхея старших классов.
В качестве рабочей гипотезы исследования выдвигается едположепие, что если разработать содержание факультативного курса по ландартпому анализу с применением технологий укрупнённых дидактиче-сс единиц (УДЕ), логических укрупнённых дидактических единиц (ЛУДЕ) и общённых укрупнённых дидактических единиц (ОУДЕ) и квазиоптимально-варианта логико-речевой символики (ЛРС), то внедрение такого курса в оцесс обучения учащихся старших классов средних школ способно эффек-вно влиять на дальнейшее развитие математического языка учащихся, их тематической культуры.
Для достижения поставленной в исследовании цели и проверки сфор-лированной выше гипотезы потребовалось решить следующие конкретные іачи:
1. Выявить роль математическою языка и технологии УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ в формировании математической культуры учащихся.
-
Разработать содержание факультативных занятий по изучению непрерывности множеств и основополагающих пришшнов нестандартного математического анализа, пршщипы отбора материала.
-
Разработать методику изложения факультативного курса.
-
Определить и экспериментально проверить содержание и объём упражнений УДЕ, ОУДЕ с применением ЛРС для разработки новых
нестандартных методических приёмов приобретения прочных Зл. ов в области математики, формирования математической культ обучающихся.
Указанные выше цели и дидактические задачи реализовывались этапно:
На первом этапе (1994-1997 гг.)- констатирующий эксперимент, г лизировалась психолого-дидактическая и методическая литература и сущі вуюпщс учебные пособия по математике для старших классов средней пі лы. Была сформулирована проблема исследования, определены объект предмет исследования, поставлена цель, выработана гипотеза. Сформули ваны задачи и определены методы исследования.
На втором этапе (1997-1998 гг.)- поисковом и эксперименте ном, на факультативных занятиях по нестандартному математическому г лизу в экспериментальных 10-х - 11-х классах Армавирской СШ №7 ра: батывалась и испытывалась методика введения нестандартной теории ы жеств, непрерывности множеств, принципов нестандартного анализа- тс логической эквивалентности, предельного перехода и компактности; акти внедрялись УДЕ и ОУДЕ с использованием квазиоптимального вариа ЛРС, дающего максимально компактную запись математических текстов.
На первом- втором курсах ФМФ (специальность- "математика- ин<| матика") Армавирского государственного педагогического института (. ПИ) также проводилась экспериментальная работа по внедрению символі УДЕ и ОУДЕ в учебный процесс.
На третьем этапе (1998-1999 г.г.) продолжалась работа по внедреї УДЕ, ОУДЕ и ЛРС в школах и вузах Армавира, анализировались получен результаты эксперимента, создавалось учебно-методическое пособие студентов и учащихся школ с углублённым изучением математики. Фор лировались теоретические и практические выводы, в результате были ре ны поставленные задачи исследования.
Теоретической основой исследования являются основные положе отечественной психологии и дидактики- общефилософская теория познаї образования и воспитания, дсятельностный подход в процессе обучеі труды методистов и учёных-педагогов; разработанная нестандартная тес математического анализа Тульчия В.В.
Методы исследования: анализ психолого-педагогической, матсм: ческой и методической литературы по проблеме исследования; изучеш обобщение педагогического опыта; проведение констатирующего, поисю го, и обучающего экспериментов с учащимися старших классов.
На защиту выносятся: 1. Эффективность влияния логико-речевой символики, технологий У
ТУДЕ и ОУДЕ на формирование математической кули урм обучающих-;я.
Подержание и методика факультативного курса нестандартного анализа то введению понятия непрерывности множеств и принципов нестандартного анализа на основе технологий УДЕ, ЛУДЕ и ОУДЕ. Дидактика регулярного и фронтального использования ЛРС, УДЕ и ОУДЕ как на стадии обучения, так и при самоконтроле и аттестационном контроле обучающихся.
Научная новизна диссертационного исследования заключается л, что повышение математической культуры учащихся старших классов ней школы осуществляется на основе разработанного принципиально го факультативного курса элементов нестандартного математического иза; в реализации целостного подхода при разработке и создании новых но-методичеекгос пособий, сочетающих в себе ЛРС, УДЕ и ОУДЕ, как учителей (учащихся) школ, так и преподавателей (студентов) вузов.
II рактическая значимость результатов диссертапиоп-работы обусловлена возможностью их использования для: ювышения эффективности обучения математике в вузах и школах, шко-гах с повышенным уровпем преподавания математики; галее углубленной подготовки студентов-математиков в университетах и іедвузах;
ювышепия, посредством предложенных дидактических материалов, фовня владения учащимися логико-речевой символикой (составной части математического языка) и, следовательно, повышения их математиче-;кой культуры;
іепрерьівного повышения методического уровня учителей математики «срез систему повышения квалификации в институтах усовершепствова-гия учителей;
іальнейшего аналогичного подхода других ученых-педагогов при нестандартном подходе к решению проблем дидактики высшей и средней нколы в области таких математических дисциплин как алгебра, геометрия, прикладная математика, ипформатика и др.
Jocmoeepnocmb и обоснованность обеспечиваетсяогго-на теорию развития личности; психологией развития мышления; приме-іем комплекса методов исследования, адекватных его объекту, предмету, [, задачам и логике; деятельностпым подходом в формировании новых шых понятий. Основные результаты исследования подтверждены мпого-им положительным опытом внедрения ЛРС, УДЕ и ОУДЕ при чтепии :а анализа в ЛГПИ, проведении факультатива "Элементы нестандартного пса" в 10-11 классах Армавирской экспериментальной общеобразова-ной школы №7, чтении курса математического анализа в Новороссий-
ском педагогическом колледже и итогами, проведёнпой опыч экспериментальной работы.
Апробация работы. Результаты диссертационного исследования і верялись в вузах и школах Краснодарского края путем проведения совмес с преподавателями Армавирского педагогического института, а также Ар вирского ПУ №11, экспериментов по внедрению УДЕ, ОУДЕ, ЛУДЕ и J в учебный процесс студентов и учащихся 10-11-х классов Армавирской : перименталыюй школы № 7. Материалы исследования обсуждались :
на межрешональной научной конференции "Развитие личности в обр; вательных системах южно-российского региона" Южное отделение Pj (Пятигорск 1998 г.);
на VI, VII Международных конференциях "Циклы природы и общест: секция "Циклы в педагогаке", проводимой РАН, РАЕН, Министерсті общего и профессионального образования РФ, Ставропольским униі ситетом(1998г., 1999 г.);
на I Международной конференции "Циклы", проводимой РАН, РА: Министерством общею и профессионального образования РФ, Стаї польским технологическим университетом (1999 г.);
на паучной конференции «Развитие непрерывного педагогического ot зовапия в новых социально-экономических условиях на Кубапи» в Ар вирском государственном педагогическом институте (1998,1999 г.);
путём депонирования в НИИ Высшего образования (№ 87-98 от 27.04 № 88-98 от 27.04.98);
Основные результаты диссертационного исследования также освещал па межрегиональном методическом семинаре математиков (научный руке дитель, профессор В.И. Тульчий) при Армавирском межрегиональном иж туте усовершенствования учителей (1999 г.).
Основные результаты по диссертационному исследованию опубш ваныв 11 работах [1]-[11J.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введи трёх глав, приложения и библиографического списка, содержащего 119 именований. В первой главе три параграфа, во второй- два, в третьей- і Объём работы 176 страниц, пабранных с использованием программы W 7.0. пакета программ семейства Microsoft Office (стиль 'Times New Roma В работе 64 рисунка, 8 таблиц, 1 гистограмма.
Роль математического языка в формировании математической культуры
Исторически сложилось так, что параллельно с развитием математики развивалась система обозначений в науке— символика, система понятий, умозаключений, суждений. Так или иначе, в любом исследовании обязательно идёт речь о системе обозначений, т.е. математическая символика, математический язык рассматриваются с той или иной точки зрения. Не всегда содержание указанных понятий раскрывается однозначно, не существует определённой классификации и однозначного понимания составляющих понятия «математический язык», несмотря на всю их важность:
«...Сейчас, как никогда, становится ясным, что математика- это не только совокупность фактов, изложенных в виде теорем, но, прежде всего-арсенал методов, и даже ещё прежде того-лзыдг для описания фактов и методов самых разных областей науки и практической деятельности». (Успенский В. Предисловие к книге- Шиханович Ю.А. Введение в современную математику. Начальные понятия. М. Наука, J 965. с.7).
Математика вообще наука, не терпящая неточности и неясности выражений, символики. «Научный язык не должен создавать дополнительных трудностей при восприятии сообщаемой информации. Без этого требования не может быть науки как системы знаний, не может быть уверенности в том, что определенное утверждение или предположение не было искажено в процессе рассуждений. Научное изложение должно быть кратким и вполне определённым. Именно поэтому наука вынуждена разрабатывать свой собственный язык, способный максимально точно передавать свойственные ей особенности. Математическая символика как раз и является таким языком, своего рода стенографической записью абстрактной мысли. Она не оставляет места для неточности выражений и расплывчатых толкований. Но этого мало- математическая символика позволяет автоматизировать проведение тех действий, которые необходимы для получения выводов, сжимать запись информации, делать ее обозримой и удобной для последующей обработки. Она дает большие возможности и для общения с автоматом» (см. предисловие к [75], проф. Б.В. Гнеденко).
Нельзя не согласиться с мнением педагога П.Р. Халмош о том, что «плохая система обозначений может сделать хорошее изложение плохим, а плохое- ещё ухудшить», (см. «Как писать математические тексты».- Успехи математических наук, T.XXVL, 1971, №5, с.249)
Исходя из всего вышеперечисленного, в своём исследовании мы опирались на наиболее полное исследование в этой области- изложение докторской диссертации X.I1L Шихалиева (1995 г.).
Для уточнения понятия «математический язык» необходимо рассмотреть совокупность средств или компонентов его составляющих, но прежде выясним смысл понятия «язык», к примеру в словаре СИ. Ожегова («Словарь русского языка».М.- Русский язык. 1986):
«Язык- 1. Система звуковых, словарных и грамматических средств, объективирующая работу мышления и являющаяся орудием общения, обмена мыслями и взаимного понимания людей в обществе. 4. Система знаков (зву , ков, сигналов и т.п.), передающих информацию. 5. То, что выражает, объясня ет собой что-нибудь (о предметах и явлениях)».
Результативность Н-дидактики изложения непрерывности функции- инварианта Н-анализа
Нетрудно видеть, что приведённый в конце 2 фрагмент читабелен— все используемые символы к моменту изучения данной темы уже известны обучающимся, стиль изложения с использованием двух языков— русского и английского уже привычен для них. Используемые символы ЛРС в предыдущем параграфе убедительно демонстрируют, что символы из таблицы 2 являются ничем иным, как увеличением информативной ёмкости единиц сообщения, и, следовательно, наступает кибернетический эффект, т.е. учащиеся увереннее оперируют более длинными цепочками символов, как если бы это был один сверхсимвол.
Как известно (проф. Н.М. Амосов), мозг человека перерабатывает информацию иерархией кодов, «которые по отношению друг к другу не только находятся в субординации (в соподчинении), но и обладают известной функциональной самостоятельностью (код звуков и знаков — код слов -» код фраз - код смысла). Иначе говоря, в процессе мышления значительный объем информации перерабатывается и усваивается именно на нижних этажах кодовой системы, независимо от словесных уровней J (цитируется по [118], стр.131)
ЛРС полностью соответствует приведённым выше словам, так как удачное информационное оформление изучаемого материала на нижнем— дорече-вом уровне (форма записи, иллюстрации и т.п.)- способно сразу, ещё до словесного уровня сформировать понимание изучаемого, прочность его запоминания и, естественно, сознательность усвоения. Это необходимо ясно представлять учителям математики старших классов школ, собирающимся проводить подобный факультативный курс по изучению элементов нестандартного анализа.
Здесь трудно не согласиться со словами П.М. Эрдниева и БІТ. Эрдниева ([118], стр. 135):
«Нельзя думать, будто школьная математическая терминология и символика не нуждаются в дальнейшем улучшении. Даже небольшое усовершенствование символа, записываемого, быть может, сотни раз на каждом уроке, заметно снижает утомление (то же самое верно относительно термина)».
Математика— вообще язык символов. Поэтому при отборе символов и символических понятий в ЛРС, необходимо, естественно, руководствоваться тем, что это очень важный шаг в обучении, т.к. в психологической литературе некоторые мыслительные процессы, связанные с образами, так и называются-«символическое мышление». Учитывая, что ЛРС входит составной частью в математический язык, то всё сказанное относится и к развитию математического языка учащихся, а, следовательно, и к формированию высокой математической культуры.
Конечно, чтобы вести факультатив по нестандартному анализу, школьный учитель должен, прежде всего, хорошо разбираться в стандартном анализе Кошн. Далее, ему необходимо изучить основные положения предлагаемого нестандартного математического анализа. Но таких учителей в современной школе найдётся немного, поэтому трудно не согласиться с мнением ILM. Эрдниева и Б.П. Эрдниева ([118], стр.240) о том, что «общий путь распространения новых приемов обучения— «от практики к теории», от наблюдений передовой технологии на уроке новатора к подражанию на своих уроках, а затем уж к теоретическому «осмыслению совершенного» по литературе». Поэтому прежде, чем школьный учитель возьмётся за подобный факультатив, ему необходимо посмотреть, примериться к опыту учителей уже ведущих такие занятия.
Применяемые в Н-аяализе ЛУДЕ- нестандартные определения предела и непрерывности множеств, принципы Н-анализа, использовались нами на занятиях систематически в ходе записей математических текстов, что ([89], стр. 187) «существенно разгружает традиционно используемую в ходе занятия верхнюю {т.е. вербальную) систему восприятия информации человеческим мозгом за счёт нетрадиционного активного (посредством конструирования кратких, но информативно ёмких символических текстов) включения в процесс приобретения ЗУНов его кижней (доречевой) системы восприятия информации».
Вследствие этого при доказательстве теорем с помощью ЛУДЕ, что, как уже отмечалось в первой главе, является неотъемлемой частью «нестандартной технологии изучения математики», выявляются иногда не замеченные при первом чтении важные элементы логики доказательства прямой теоремы (методики решения прямой задачи в ОУДЕ) и этим способствуют ускоренному и устойчивому формированию ЗУНов у обучающихся» ([89], стр. 187).
Операции над множествами
Во второй главе исследования уже приводились методические рекомендации к изучению некоторых вопросов курса Н-анализа, а именно, лекционный курс по разделу непрерывность множеств. Всё, что было сказано в 3 второй главы распространяется и на материал этой главы. Именно с изучения теории множеств и начались занятия факультатива по Н-анализу. Именно тогда шаг за шагом учащиеся знакомились с новой для них, а иной раз и уже знакомой, но подзабытой символикой. В данном исследовании уже подчёркивалось, что вводимая нами символика не является просто символикой- это логико-речевая символика. Большая часть символов нашей ЛРС в отдельности, кроме самых употребительных в современной математике, является достаточно большой единицей логики, выражающей собой целую цепочку некоторых обычных математических символов- т.е. логически объединённые символы в одной фразе. Тем самым наш логический символ является ещё и речевой частью- может быть проговорен словами, при этом невозможно противоположное по смыслу его толкование. Учащиеся на наших занятиях привыкали, видя такой символ или конструкцию символов проговаривать их смысл. После нескольких занятий на осмысление символа и его использование в решении задачи практически тратилась одна единица времени вместо нескольких, включённых в символ. Как подчёркивалось во второй главе- наступал эффект сверхсимвопа. За счёт этого экономилось достаточно много времени, а само изучение вопросов теории множеств проходило в достаточно высоком темпе. Интуитивно нами ощущалось, что учащиеся довольно легко и прочно усваивали символику, что в дальнейшем нашло подтверждение и в контрольных срезах и при подведении итогов эксперимента.
Это даёт нам основание утверждать, это подтверждено и экспериментом, что логико-речевая символика, являясь частью математического языка развивает логическое мышление учащихся, ЗУНы по применению ЛРС, а, следовательно, математического языка для познания окружающей действительности посредством задач. Поэтому мы обращаем внимание учителей именно на эту сторону нашего факультативного курса.
Кроме того, важное значение имеет система упражнений курса. Не секрет, что есть упражнения, формирующие ЗУНы в прямолинейном применении правил. Не всегда это плохо, но если система упражнений построена только на таких упражнениях, то при попытке решить обратную или противоположную задачи неизбежны ошибки и неправильное применение правил. В нашем курсе большинство задач требует особой проверки— систематически учащимся предлагалось составить и решить обратную (а также составить и решить аналогичную и обратную к ней) задачу (УДЕ и ОУДЕ). В результате это стремление, проверить ответ, становилось неотъемлемым правилом без которого не обходилась ни одна задача.
Обращенные задания, сюда входят и деформированные ([118], стр.41 ), «являются информативно более ёмкими, чем прямые: выполнение обращенных заданий в большей мере развивает у школьника умение выполнять и прямые преобразования, притом самым экономным образом: записан один пример, а в процессе решения его испробовано несколько вариантов, выполнено в уме, в сущности, не менее 3-4 заданий».
Во второй главе уже говорилось о значении технологии обучения, что если методика— это несколько более общее понятие, то технология ([118], стр.239) «приземлена, она от практики, она более предметна, чем методика обучения». Создание её возможно только посредством опыта, эксперимента.
Далее (там же) «Технология обучения напрямую связана с предельно конкретными деталями процесса обучения: порядок расположения записей, правил, компонентов тем и параграфов; подбор задач; рисунков, чисел, таблиц; выбор символов и терминов; создание удачных обозначений, графиков, упражнений, моделей и приборов; использование несловесной информации (толщина линий, цвет, формы знаков); конкретные приёмы контроля знаний и тл — всё это в совокупности обеспечивает эффективность технологии того или иного нового научного направления в дидактике».
Приведённые в 3 второй главы некоторые технологические приёмы для лекционного курса работают и здесь. К вышеизложенному в этом параграфе добавим лишь некоторые особые приёмы, относящиеся к практической части курса:
1. (Так же) Совместное изучение взаимосвязанных понятий и операций, при изучении, к примеру, операций над множествами, их обобщение- декартово произведение числовых множеств; и др.
2. Применение многокомпонентного задания (состав приведён в первой главе данного исследования).
3. ([118], стр,240) «Параллельная запись сравниваемых правил (задач, преобразований), в частности двойственных суждений.
