Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Историко-теоретические предпосылки и тенденции развития стохастического образования в отечественных и зару бежных средних учебных заведениях 20
1.1. Обучение элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в школах России XIX - начала XX вв 20
1.2. Опыт отечественного школьного обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в советский период 41
1.3. Современный этап в отечественном обучении школьников стохастике 52
1.4. Методические особенности построения стохастической линии школьного курса математики в зарубежных школах: история и современность 70
Выводы по первой главе 83
Глава II. Профессионально-прикладная направленность обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы 85
2.1. Понятия «прикладной» и «профессиональной» направленно-стей: эволюция и современное состояние понятий 85
2.2. Профессионально-прикладные задачи: определение и специфика 105
2.3. Научно-методические особенности обучения построению и анализу математических моделей при решении профессионально-прикладных стохастических задач 116
Выводы по второй главе 129
Глава III. Концепция методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы 132
3.1. Общие принципы построения методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы 132
3.2. Психолого-педагогические особенности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы 143
3.3. Целевой компонент методической системы 160
3.4. Мотивационный компонент методической системы 165
3.5. Содержательный компонент методической системы 168
3.6. Процессуальный компонент методической системы 181
3.6.1. Формы обучения стохастике 181
3.6.2. Методы обучения стохастике 184
3.6.3. Средства обучения стохастике 213
3.7. Контрольно-диагностирующий компонент методической системы 227
3.8. Результативный компонент методической системы 228
Выводы по третьей главе 230
Глава IV. Реализация методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы и опытно-экспериментальная проверка её эффективности 233
4.1. Особенности концентрического развёртывания стохастической линии в профильных классах 233
4.1.1. Методика обучения элементам комбинаторики 240
4.1.2. Методика работы с понятием «вероятность» в профильных классах 250
4.1.3. Методика изучения теорем умножения и сложения вероятностей и их следствий 260
4.1.4. Методика изучения независимых повторных испытаний 270
4.1.5. Методические особенности изучения случайных величин 279
4.1.6. Методика обучения старшеклассников элементам математической статистики 297
4.1.7. Методические рекомендации по изучению статистических гипотез в профильных классах 307
4.1.8. Методика изучения элементов теории корреляции в профильных классах 317
4.2. Методика организации и проведения элективных стохастических курсов в профильных классах с учётом профессионально-прикладной направленности 324
4.3. Опытно-экспериментальная работа 335
4.3.1. Констатирующий этап 337
4.3.2. Поисковый этап 346
4.3.3. Формирующий этап 347
Выводы по четвёртой главе 364
Заключение 367
Библиография 371
Приложения 420
- Опыт отечественного школьного обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в советский период
- Научно-методические особенности обучения построению и анализу математических моделей при решении профессионально-прикладных стохастических задач
- Психолого-педагогические особенности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы
- Методические рекомендации по изучению статистических гипотез в профильных классах
Введение к работе
Актуальность исследования. Введение стохастической компоненты в школьное математическое образование имеет более чем 200-летнюю историю, первые интенции к изучению вероятности в школе восходят к П.С. Лапласу. Эта история довольно драматична, она представляет собой целую серию циклов, состоящих из инициации процесса, более-менее масштабного внедрения этой линии, затем её резкой критики и последующего исключения стохастической компоненты из школьной программы.
Дискуссии по этому вопросу разворачиваются вокруг двух фундаментальных тезисов. Первый состоит в очевидной общей значимости стохастических представлений не только в профессиональной деятельности разного типа, но и в обыденной жизни, при оценке различного рода рисков, возможностей, надёжности, доверия и пр. Второй, который ему противостоит, - что стохастика в виде более или менее усечённого университетского курса теории вероятностей в школе совершенно неприемлема, она не воспринимается и не достигает тех целей, которые перед ней ставятся.
Особую остроту вопрос приобрёл в современной ситуации, когда стохастическая компонента вошла одновременно и в начальную школу (где ряд учебных комплектов явно включает элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, а один из них содержит систематически реализуемую стохастическую линию), и в основную школу (где она уже имеется в большинстве учебников), и в старшую школу. Наличие одной и той же линии на нескольких уровнях образования поставило вопрос о дублировании, поскольку повторное изучение уже освоенного по крайней мере один раз материала не активизирует развитие, а тормозит его ввиду падения основного фактора - учебной мотивации. Это требует не просто методической проработки стохастической линии школьного курса математики для её адаптации к возрастным особенностям мышления, но и фундаментального анализа возможностей этой содержательной линии обеспечивать интеллектуальное, психическое, культурное развитие на различных этапах обучения с явным выделением различия методик преподавания стохастики на каждом из этих этапов.
Существенным моментом для постановки проблемы исследования явилось то обстоятельство, что в 2002 г. приказом Министерства образования РФ была утверждена концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Профилизация как начальная (правильнее было бы считать пробная) ступень профессионального выбора налагает дополнительные требования не только на профильные, но и на общие курсы, предполагая их спецификацию под соответствующий профиль.
Результаты анализа имеющихся в настоящий момент исследований по теории и методике обучения стохастике показали, что применительно к профессионально-прикладной направленности данная проблема остаётся недостаточно исследованной.
Так, изучению различных проблем организации профильного обучения посвящены работы Г.И. Алексеевой, Г.В. Андерсонс, С.С. Кравцова, Н.К. Мартиной, Т.Ф. Турутиной, Л.О. Филатовой, И.В. Фролова и других, но они не конкретизированы в отношении именно стохастической компоненты математического образования.
С другой стороны, вопросам обучения стохастике в средней школе посвящены работы Е.А. Бунимовича, Л.О. Бычковой, Б.В. Гнеденко, Ж. Кудратова, Д.В. Маневича, А. Плоцки, С.А. Самсоновой, В.Д. Селютина, Ю.Н. Тюрина и других, однако в большинстве своём они ориентированы на обучение науке о случайном в рамках именно основной школы.
Тем не менее, работы по проблемам теории и методики обучения математике в комплексе, с одной стороны, и имеющиеся концепции прикладной и профессиональной направленностей обучения математике (Г.Л. Луканкин, М.И. Махмутов, Р.А. Низамов, Н.А. Терешин, В.В. Фирсов, И.М. Шапиро и др.), с другой, создают одну из теоретических предпосылок для разработки концепции методической системы обучения стохастике в профильных классах.
По этой причине в качестве научной проблемы исследования был выдвинут вопрос о том, каковы условия построения эффективной методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы, а в качестве начальной гипотезы выбран тезис о том, что в профильных классах обучение стохастике должно иметь чёткую ориентацию на предполагаемую будущую сферу деятельности.
Цель исследования - обосновать, спроектировать и реализовать в учебном процессе методическую систему обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы.
Объект исследования - обучение математике в профильных классах общеобразовательной школы.
Предмет исследования - методическая система обучения стохастике в курсе математики профильных классов общеобразовательной школы в свете идей профессионально-прикладной направленности.
Особого внимания потребовал вопрос о стохастической компоненте в не- матических профилях. Для них математика, очевидно, должна носить более прикладной характер, ориентированный именно на этот профиль. Это побудило проанализировать более общий вопрос о характере прикладной направленности математики вообще и стохастики в частности. В результате было выявлено несколько качественно различных типов прикладной направленности, охарактеризованы рамки применения этих типов и установлено, что в условиях профильной дифференциации наиболее уместным является тип, который был нами назван «профессионально-прикладной направленностью». Он отличается от других, употребляемых в основной школе, тем, что ориентирован на задачи, максимально приближенные к профессиональным, не только по форме (например, для химического профиля задача формулируется как задача про пробирки, а для инженерно-технического - как задача про гайки), но и по содержанию.
Одновременно на базе одного из учебников по математике была отработана методика обучения стохастике в профильных классах ряда средних школ Липецкой области и получен достаточно богатый эмпирический опыт, подтвердивший общую эффективность профессионально-прикладной направленности в реализации стохастической линии в разных профилях. Было выделено и охарактеризовано стохастическое мышление как особый тип мышления, формируемый в результате обучения стохастике, позволяющий человеку адекватно воспринимать и анализировать процессы случайного характера. Следует отметить, что именно формирование стохастического мышления следует рассматривать как главное психическое новообразование, связанное с изучением стохастики. Это позволило чётко позиционировать именно развивающий характер обучения стохастике.
Следующий этап исследования состоял в обобщении и теоретической обработке полученных результатов, позволивший подняться от конкретной методики, связанной с конкретным учебником, к общей методической системе, позволяющей разрабатывать такую методику для любого учебника, в рамках любой общематематической методики и под любого учителя. Необходимость подобной разработки обусловлена и современными тенденциями реформирования системы образования, направленными на распространение не типовых, а авторских методик обучения, которые создаются в самих образовательных учреждениях. Разработанная методическая система была выражена в системе принципов, позволяющих реализовать профессионально-прикладную направленность обучения стохастике. Здесь понадобилось расширить рамки чисто предметной результативности методики, включив в рассмотрение как возрастные и профильные особенности психики и интеллекта учащихся, так и ориентацию на приоритеты современного школьного математического образования, способствовать становлению математически грамотной личности, способной регулировать собственную учебно-познавательную деятельность, стремящейся к самообразованию, к продуктивному социальному взаимодействию в современном обществе.
В разработке методической системы были использованы:
теория конструирования содержания образования (Ю.К. Бабанский, В.В. Краевский, В.С. Леднев, И.Я. Лернер и др.);
психолого-педагогические исследования когнитивных процессов и концепция учебной мотивации (Э.Г. Гельфман, А.К. Маркова, Ж. Пиаже, Г.И. Щукина и др.);
труды в области учебной деятельности, условий её формирования и развития (В.В. Давыдов, И.Я. Зимняя, А.К. Маркова, Д.Б. Эльконин и др.);
теория дифференцированного обучения математике (В. А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, Г. Л. Луканкин, В.М. Монахов, Н.Х. Розов, М.В. Ткачёва и др.).
Задачи обобщения потребовали провести ретроспективный анализ обучения стохастике и развития методики этого обучения с целью выделения основных проблем освоения такой методики и способов их решения, а также сравнить отечественный опыт обучения стохастике с зарубежным. Здесь удалось частично опереться на исследования в области теории и истории математического образования (Э.Г. Гельфман, Б.В. Гнеденко, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, Г.С. Евдокимова, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, Н.Х. Розов, О.А. Саввина, С.А. Самсонова, Е.И. Санина, Г.И. Саранцев, В. Д. Селютин, А. А. Столяр, О.В. Тарасова,
-
-
А. Тестов, Л.М. Фридман, Р.С. Черкасов, М.В. Шабанова и др.), а частично - самостоятельно провести анализ различных источников: государственных, законодательных и нормативных актов, программно-методических документов, работ в области философии, педагогики, психологии, теории и методики обучения математике, освещающих теоретические проблемы и практический опыт по внедрению стохастической линии в школьный курс математики (монографии, энциклопедии, научные сборники, учебники и методические пособия), материалов научно-практических конференций, симпозиумов, семинаров, изданий центральной и местной педагогической печати.
Наконец, сама разработка методической системы была включена в рамки ряда дидактических принципов, которые уже напрямую сопрягались с общими идеями профессионально-прикладной направленности. На этом этапе исследования были окончательно оформлены основные методологические позиции исследования, связанные с:
работами по применению системного подхода к анализу педагогического процесса (В.Г. Афанасьев, В.П. Беспалько, В.В. Краевский, Н.В. Кузьмина,
-
К. Никулин, В.А. Тестов, А.В. Тутолмин и др.);
фундаментальными работами по методологии личностно- деятельностного подхода (К.А. Абульханова-Славская, Б.Г. Ананьев, А.В. Боровских, Л.С. Выготский, П.Я. Гальперин, О.Б. Епишева, А.Н. Леонтьев, А.В. Петровский, Н.Х. Розов, Н.Ф. Талызина, Г.Н. Щукина и др.);
трудами по методологии и методам психолого-педагогических исследований (В.В. Краевский, П.И. Пидкасистый, В.А. Сластёнин и др.).
В результате начальная гипотеза исследования трансформировалась в ряд положений, которые были обоснованы и которые обеспечивают эффективность обучения стохастике в профильных классах средней школы:
одной из главных целей обучения стохастике должно быть создание условий для реализации профессионально-прикладной направленности;
профессионально-прикладная направленность должна быть реализована в методической системе и включена во все её компоненты: целевой, мотиваци- онный, содержательный, процессуальный, контрольно-диагностирующий и результативный;
отбор содержания предметного материала, форм, методов и средств обучения стохастике должен отражать не только возрастные особенности старшеклассников, но и специфику будущей профессиональной деятельности;
в построении обучения необходимо использовать опыт преподавания элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в отечественных и зарубежных средних учебных заведениях.
Наконец, на заключительном этапе была проведена опытно- экспериментальная проверка спроектированной методической системы; на основе данных, полученных в ходе опытно-экспериментальной работы, вносились коррективы в исходную методическую систему обучения стохастике в профильных классах.
Таким образом, в процессе исследования были решены следующие задачи:
-
проведён теоретико-методический анализ состояния обучения стохастике в школьном курсе математики как в отечественных школах, так и за рубежом, а также проанализировано современное состояние школьного стохастического образования и выявлены ведущие тенденции его развития;
-
дано методологическое и теоретическое обоснование основных положений концепции профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы;
-
с позиций профессионально-прикладной направленности определена цель обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы, её место в структуре целей математического образования;
-
разработаны и теоретически обоснованы принципы, которые во взаимосвязи составили концептуальную основу построения методической системы обучения стохастике через реализацию профессионально-прикладной направленности;
-
с позиций профессионально-прикладной направленности теоретически обоснован понятийный аппарат, структурные компоненты методической системы обучения стохастике в профильных классах, исследованы их взаимосвязи и разработано содержание каждого из них;
-
экспериментально проверена эффективность процесса обучения стохастике, построенного на реализации п
В исследовании использованы следующие методы:
теоретические: анализ философской, методологической, психолого- педагогической, исторической, методической литературы, педагогических первоисточников и периодики, учебных программ, учебников и учебных пособий, диссертаций по проблеме исследования; моделирование гипотезы, исследование и проектирование результатов и процессов её достижения на различных этапах опытно-экспериментальной работы;
эмпирические: опросно-диагностические (анкетирование, интервьюирование, беседы, тестирование), изучение педагогической документации, анализ деятельности учащихся 10-11 классов и студентов, наблюдения, обобщение педагогического опыта, опытная работа;
статистические методы обработки результатов опытно- экспериментальных данных.
Личный вклад диссертанта состоит в теоретической разработке концептуальных идей и положений исследования, непосредственном руководстве и осуществлении опытно-экспериментальной работы в качестве учителя математики высшей категории, доцента кафедры математического анализа и элементарной математики ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина», педагога ОАУ ДПО «Липецкий институт развития образования».
Научная новизна исследования:
-
на основе изучения и анализа обширного круга источников впервые в теории и методике обучения математике реконструирована целостная историческая картина обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в отечественных и зарубежных средних учебных заведениях;
-
выявлена и определена сущность профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы;
-
впервые разработана концепция методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы с учётом профессионально-прикладной направленности (представляет собой совокупность положений о сущности, специфике, принципах и методической целостности системы обучения стохастике учащихся профильных классов);
-
впервые спроектирована и реализована в учебном процессе методическая система обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы.
На защиту выносятся следующие положения.
-
-
Концепция методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы основана на идее реализации профессионально-прикладной направленности. Концепция даёт возможность подготовить учащихся профильных классов общеобразовательной школы, владеющих методами стохастики, обладающих стохастическим мышлением, способных анализировать поступающую информацию с позиций логики, умеющих применять стохастические знания для описания процессов реальной действительности.
-
Построение методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы требует соблюдения следующих дидактических принципов: комплексности и связности, универсальности, расширяемости, инвариантности и вариативности, прогностичности.
-
Профессионально-прикладная направленность обучения в методической системе обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы входит во все структурные компоненты этой системы: целевой, мотива- ционный, содержательный, процессуальный, контрольно-диагностирующий и результативный.
Целевой компонент представлен целью обучения стохастике в профильных классах, которая должна состоять в формировании у учащихся общих представлений об элементах комбинаторики, статистики и теории вероятностей как адекватных средствах описания явлений и процессов реального мира, в освоении старшеклассниками организации сложной деятельности за счёт привлечения специфических методов и средств обучения, а также в развитии их стохастического мышления и повышении уровня математической культуры.
Мотивационный компонент рассматривает формирование и развитие познавательных интересов старшеклассников в рамках профильного обучения стохастике как источник формирования у них склонностей к занятию в будущем соответствующей профессиональной деятельностью.
Содержательный компонент представлен «ядром» - инвариантной частью и «оболочкой» - вариативной частью (профильным и элективным блоками). Инвариантный блок представлен перечнем стохастических понятий и фактов без включения профессионально-прикладных вопросов (определялся стандартом). Разнообразие содержательно-методического обеспечения стохастической линии для различных профилей (профильный блок оболочки) достигалось различием методических подходов, степени иллюстративности, абстрактности и т.п. При разработке конкретных программ учитывались потребности учащихся, их индивидуальные психологические особенности, склонности, интересы. Профильный блок дополняется и расширяется за счёт элективного блока (представлен элективными курсами «В мире стохастики», «История становления и развития стохастики»). Вариативность материала этого блока достигается через реализацию профессионально-прикладной направленности обучения стохастике.
Отбор материала для «оболочки» осуществляется с помощью принципов: соответствия содержательного компонента профилю обучения, универсальности стохастического образования, репрезентативности, ёмкости, соответствия возрастным и индивидуальным особенностям учащихся, минимизации, времени, перспективности.
Процессуальный компонент представлен научно обоснованными формами (внеклассная и классно-урочная), методами (словесные: рассказ, лекция, беседа; наглядные: иллюстрации, схематизация, символизация, демонстрация; работа с книгой; практические: наблюдение, стохастические игры, статистические исследования, эксперимент (в том числе статистический и мысленный статистический), лабораторная работа, практическая работа, упражнения, моделирование (имитация); интерактивные: дискуссия, деловая игра, «аквариум», метод- проектов, кейс-метод, «мозговой штурм»; контроля) и средствами (печатные; наглядные плоскостные; демонстрационные; электронные образовательные ресурсы; аудиовизуальные; учебные приборы) обучения стохастике в профильных классах.
Контрольно-диагностирующий компонент отражает требования к качеству стохастической подготовки старшеклассников, определённые ГОС и нормативными документами. Он предполагает взаимодействие педагогов и обучаемых, контроль со стороны учителя и самоконтроль, осуществляемый учащимися.
Результативный компонент заключается в анализе эффективности обучения стохастике в свете идей профессионально-прикладной направленности. Критериями эффективности спроектированной методической системы обучения стохастике в профильных классах являются: повышение уровня ЗУНов учащихся в области стохастики; развитие критического мышления у старшеклассников как некоторого надпредметного качества; повышение познавательного интереса к математике у старшеклассников.
4. Ряд методических принципов, разработанных в рамках построения методической системы обучения стохастике, может быть положен в основу проектирования методической системы обучения математике в профильных классах с учётом профессионально-прикладной направленности. Это принципы профессионально-прикладной взаимосвязанности компонентов системы, профессионально-прикладного целеполагания, мотивированности, инвариантности и вариативности содержания обучения, процессуальности, формирования творческой личности средствами математики, результативности.
5. Спроектированная методическая система обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы эффективна на практике.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нём решена научная проблема, имеющая важное значение для теории и методики обучения математике, посвященная поиску и построению эффективной системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы. Проведённое исследование вносит вклад в развитие категориального аппарата педагогической науки: обоснованы необходимость и целесообразность введения понятий «стохастическое образование», «профессионально-прикладная направленность обучения стохастике», «профессионально-прикладная стохастическая задача», «стохастическое мышление». Соискателем:
-
-
-
дано теоретическое обоснование роли новой содержательной линии школьного курса математики как логического завершения курса основной школы;
-
осуществлено научное решение проблемы, связанной с проектированием методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы, в которой профессионально-прикладная направленность реализована в целевом, мотивационном, содержательном, процессуальном, контрольно-диагностирующем и результативном компонентах.
Практическая значимость исследования состоит в следующем:
-
-
-
-
определено содержание обучения стохастике в классах физико- математического, гуманитарного и естественнонаучного направлений, дано обоснование эффективных педагогических способов для его усвоения учащимися;
-
разработана научно обоснованная методика обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы с учётом профессионально- прикладной направленности, способствующая формированию стохастических умений и навыков, мышления старшеклассников;
-
апробированы и внедрены в практику элективные курсы «В мире стохастики», «История становления и развития стохастики» для 10-11 классов, основной идеей которых является реализация профессионально-прикладной направленности;
-
созданные и опубликованные монографии, пособия, методические рекомендации, учебные материалы позволяют учителю осуществлять обучение стохастике в профильных классах, способствуют формированию у учащихся интереса к математике, осознанного выбора будущей профессии, а также могут использоваться преподавателями высших учебных заведений при проведении занятий по теории и методике обучения математике, спецкурсов на математических, физико-математических факультетах педагогических вузов, преподавателями институтов повышения квалификации педагогических кадров при разработке лекций и практических занятий по методологическим проблемам совершенствования математического образования в общеобразовательной школе, в научно-исследовательской работе студентов, магистрантов, аспирантов, докторантов и педагогов-практиков.
Достоверность полученных научных результатов обеспечивается методологической обоснованностью исходных теоретических положений, использованием комплекса взаимодополняющих методов и методик исследования, адекватных его целям и задачам, природе изучаемого явления, сопоставлением результатов исследования с практикой обучения стохастике в общеобразовательной школе. Репрезентативность результатов научного исследования и опытно-экспериментальных данных, использование метода моделирования образовательного процесса в общеобразовательной школе дополняются количественным и качественным анализами, соответствием полученных результатов базису системного описания и научным представлениям о развитии современной системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы на основе реализации идей профессионально-прикладной направленности.
Апробация и внедрение результатов исследования проводились непрерывно по мере их разработки. База исследования: МОУ СОШ № 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 18, 21, 23, 40, 42, 43, 53, 54, 60, 68, МОУ гимназии № 1, 12, 19, 64, МОУ лицей № 66 г. Липецка, МОУ лицей № 5 г., МОУ гимназия № 97 г. Ельца, МОУ СОШ № 1, 2 г. Задонска, МОУ СОШ с. Становое Липецкой области, ФГБОУ ВПО «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина», ОАУ ДПО «Липецкий институт развития образования».
Теоретические положения диссертационного исследования изложены в ряде работ автора. Результаты исследования внедрены в виде монографий, учебно-методических пособий, методических рекомендаций, статей. Выводы и предложения по результатам исследования могут быть использованы для дальнейшего совершенствования обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы, подготовки и повышения квалификации учителей математики.
Направление исследования и отдельные его результаты обсуждались и были одобрены на международных (Днепропетровск, 2005 г., Елец, 2005, 2008 гг.; Москва, 2008, 2010 гг.; Нижний Новгород, 2010 г.; Орёл, 2006 г.; Плоцк (Польша), 2008 г.; Санкт-Петербург, 2005-2010 гг.; Саратов, 2009 г.; Тамбов, 2005-2006, 2008 гг.), всероссийских (Анапа, 2005 г.; Барнаул, 2007 г.; Волгоград, 2010 г.; Калуга, 2004 г.; Кузнецк, 2006 г.; Липецк, 2008 г.; Москва,
-
-
-
-
-
г.; Орёл, 2006-2007, 2009 гг.; Якутск, 2010 г.), межрегиональных (Мценск, 2007 г.), региональных (Елец, 2008 г.) и научно-практических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов (Елец, 2002-2011 гг.), научно-практическом семинаре «Психолого-педагогические и методические вопросы образования» (Москва, 2010-2011 гг., факультет педагогического образования МГУ имени М.В. Ломоносова), научно- методологическом семинаре Института математики и информатики (Москва,
-
г., МГПУ), методологическом семинаре кафедры методики обучения математике (Санкт-Петербург, 2011 г., РГПУ им. А.И. Герцена), всероссийских научно-практических семинарах (Орёл, 2006, 2008 гг.), а также на фестивале педагогических идей «Открытый урок, 2004/2005 г.» (Москва), методическом объединении учителей математики (Задонск, 2008 г.; Липецк, 2008-2011 гг.) и в творческой группе «Актуальные проблемы методики преподавания школьного курса математики» методического объединения учителей математики (Елец, 2004-2011 гг.).
Структура и объём работы. Содержание диссертации изложено на 438 страницах и состоит из введения, четырёх глав, выводов к каждой главе, заключения, списка литературы (458 наименований, из них 23 иностранных источника), 8 приложений; работа иллюстрирована 3 схемами, 31 таблицами и 23 рисунками.
Опыт отечественного школьного обучения элементам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в советский период
Попытки введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьную математику предпринимались и после революции 1917 г. Существовала преемственность между передовыми дореволюционными методическими идеями и школьными программами в советское время. В частности, идеи, предложенные профессором П.А. Некрасовым, были признаны актуальными.
В этот период создается единая трудовая школа с определёнными образовательными и воспитательными задачами. Так, в проекте необязательной примерной программы, разработанной Наркомпросом в 1918 г., имелся раздел «Соединения и основы теории вероятностей» [209].
Советская средняя школа, оставаясь единой в смысле программы, на протяжении I ступени и двух первых классов II ступени разделялась затем по трём направлениям: науки гуманитарные; науки естественно-математические; науки технические. В программу для физико-технического направления входили следующие разделы: «Основы теории вероятностей (прямое и косвенное определение вероятности), сложение и умножение вероятностей. Понятие о математическом ожидании. Исторические сведения». Для биологической и естественных групп предусматривалось изучение таких тем, как: «Происхождение теории вероятностей. Случайность. Понятие о вероятности. Математическое выражение вероятности. Приложение теории вероятностей к статистике. Обработка экспериментальных данных» [14; 280].
В 1919 году в объяснительной записке к программе второй ступени Единой Трудовой Школы-коммуны для физико-технических групп указывается, что «теория вероятностей должна войти в курс математики» со ссылкой на активное использование статистического метода в современной физике [192].
Так, в учебнике «Элементарная алгебра» А.П. Киселёва хотя и нет отдельного раздела, в котором бы рассматривались элементы стохастики, но всё же присутствуют некоторые статистические сведения. Так, в отделе III «Графическое изображение функций» в п.ПО «Диаграммы» на примере даётся определение диаграммы (средний прирост населения Европейской России и других государств за пятилетие 1908-1912), рассматриваются её основные виды (столбчатая и круговая), в п.111 «Графики температуры, влажности и пр.» строится полигон частот [138, с. 111-123]. Следует отметить, что каждая задача носит строго прикладной характер. Приведём в качестве примера некоторые из них: «№ 1. Изобразите посредством секторов сравнительную величину океанов, зная, что Великий океан занимает 175 млн. кв. км, Атлантический океан - 90, Индийский - 75, Южный Ледовитый - 15, Северный Ледовитый -11. № 7. В одном селении во время эпидемии заболело: 1-го августа 5 человек, 2-го - 7 человек, 3-го - 9 человек, 4-го - 10 человек, 5-го - 8 человек, 6-го - 4 человека, 7-го - 2 человека. Построить график заболеваемости за неделю с 1-го по 7 августа включительно» [138, с. 131-132].
Развитие в 20-х гг. XX века популяционной генетики, опирающейся на методы теории вероятностей и статистики, ещё раз доказало важность науки о случайном как в математике - науке, так и математике - учебном предмете.
Элементы теории вероятностей входили в примерные программы по математике советской школы, и по ним был в 1926 году издан учебник СП. Виноградова. В 1925 г. для школ II ступени и рабочих факультетов вышла программа, в которую вошли следующие вероятностные вопросы: «Понятие о вероятности явлений. Сложение и умножение вероятностей. Понятие о "законе больших чисел", его опытная проверка. Элементы математической статистики. Закон случайных ошибок». Программы для рабочих факультетов в 1925 г. также содержат вопросы теории вероятностей [192, с. 61-62; 193]. В это время продолжалось обсуждение возможных путей изучения теории вероятностей в школе в профессионально-педагогической печати, публиковались проекты различных программ, предлагались всевозможные методические пути их реализации. Однако всё-таки реальных попыток включения науки, изучающей случайности, в массовую школу не происходило.
О присутствии комбинаторики в школьном обучении можно судить по содержанию программ 1933, 1934 гг. [128; 348].
К сожалению, вышеназванные программы не нашли реального воплощения в жизни. Это объясняется двумя основными причинами: слишком велик объём материала; нехватка квалифицированных преподавательских кадров. Характеризуя советскую статистику (описательную) как статистику нового типа, В.И. Ленин говорил: «Статистика была в капиталистическом обществе предметом исключительного ведения "казённых людей" или узких специалистов, - мы должны понести её в массы, популяризировать её, чтобы трудящиеся постепенно учились сами понимать и видеть, как и сколько надо работать, как и сколько надо отдыхать, - чтобы сравнение деловых итогов хозяйства отдельных коммун стало предметом общего интереса и изучения» [180, с. 192].
Н.К. Крупская в статье «Главное в преподавании математики» в 1937 г. отмечала, что В.И. Ленин «настаивал, чтобы преподавание статистики (описательной - примеч. автора) было введено в наших школах» [161, с. 700]. Далее, в числе основных вопросов, которым нужно уделить внимание в преподавании математики, она указывала статистические вопросы. Н.К. Крупская писала, что нужно «обратить особое внимание на увязку теории с практикой, на увязку математики с окружающей, хорошо знакомой учащимся общественной жизнью, со знакомыми фактами в области естествознания, техники. Совершенно особое внимание надо обратить на статистику, на чём настаивал Ленин...» [161, с. 701]. Вместе с тем вышесказанное констатирует необходимость усиления профессионально-прикладной направленности школьного курса стохастики.
Научно-методические особенности обучения построению и анализу математических моделей при решении профессионально-прикладных стохастических задач
Потребность в использовании практических материалов при обучении стохастике определяется тем, что возникновение, формирование и развитие основных стохастических понятий и идей имеют своим источником чисто человеческие ощущения и восприятия.
Понятия, созданные современной стохастикой, порой кажутся весьма далёкими от реального мира. Однако именно с их помощью людям удалось постичь тайны строения атомного ядра, познать ход химических реакций, рассчитать движение космических кораблей, создать весь тот мир техники, на котором основано современное производство. Одним из основных методов познания природы является опыт. С помощью опытов были установлены многие законы природы. Но не всегда целесообразно проводить опыт. Одним из наиболее плодотворных методов стохастического познания окружающей действительности является метод построения математических моделей изучаемых реальных объектов или объектов, уже описанных в других областях знаний, с целью их более глубокого изучения и решения всех возникающих в этих реальных ситуациях задач с помощью математического аппарата [63].
По мнению выдающегося математика А.Д. Мышкиса, «... главная цель изучения математики наиболее широкими слоями учащихся ... состоит в том, чтобы математику можно было применять ... Таким образом, надо изучать то, что нужно, и так, как это нужно для возможности применения математики ... Связь математики с её приложениями осуществляется с помощью математической модели ... Схематически взятое приложение математики сводится к выбору (построению) математической модели, её исследованию (решению математической задачи) и содержательному истолкованию результата этого исследования» [229]. Таким образом, осуществление профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы теснейшим образом связано с применением математического моделирования. Это было отмечено также Б.В. Гнеденко [83], С.Л. Соболевым [322], А.Н. Тихоновым [336] и др.
Через понятие математической модели раскрывается двойная связь математики с реальным миром. С одной стороны, математика служит практике по изучению и освоению объектов окружающего реального мира, с другой -сама жизнь, практика способствуют дальнейшему развитию математики. И если в какой-нибудь области знаний вне математики возникает задача, которую пытаются решить математическими методами, то, прежде всего, ведётся поиск методов для перевода этой задачи в математическую, т.е. для построения её математической модели [334]. Формирование и развитие у старшеклассников правильных представлений о характере отражения стохастикой явлений и процессов реального мира, производства, роли математического моделирования в научном познании и в практике имеют большое значение для формирования мировоззрения учащихся. И всё же, как показывает практика, при решении задач с практико-ориентированным содержанием учащимся сложно уяснить отношения между величинами в них, установить зависимость между данными и искомыми. В основе решения таких задач как раз и лежит математическое моделирование, поэтому для реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике необходимо организовать обучение элементам моделирования. В этой связи необходимо рассмотреть понятия: «модель», «моделирование», «математическая модель», «математическое моделирование». Понятие «модель» возникло в процессе опытного изучения мира человеком, а само слово «модель» произошло от латинских слов «modus», «modulus» - мера, образ, способ. Практически во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, либо вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью [384]. Большинство исследователей [191; 197; 347; 384] под «моделью» понимают мысленно представляемую или материально реализованную систему, позволяющую отображать и воспроизводить объект таким образом, что её изучение в конечном счёте даёт ранее неизвестную информацию об объекте изучения. Следует отметить, что модели используются не только в науке и технике, но и в производстве, обыденной жизни для весьма различных целей. Поэтому, говоря о педагогических целях применения моделей, целесообразно определить их в более широком смысле. При этом следует учесть, что модели всегда строятся или выбираются человеком для определённых целей, а не даны ему изначально. Наиболее рациональным определением «модели» с точек зрения педагогики и психологии математики является определение, предложенное Л.М. Фридманом: «Моделью некоторого объекта (прототипа) называется такой естественный или искусственный объект, который в определённом отношении подобен прототипу (оригиналу), используемому в качестве заместителя прототипа, и изучение которого даёт новые знания о прототипе» [368, с. 54]. Процесс выбора или построения модели некоторого объекта или явления с последующим изучением этой модели называется моделированием [368]. Научным базисом моделирования является теория аналогии, в которой основным понятием является понятие «аналогия», выражающее сходство объектов по их качественным и количественным признакам. Полученные виды объединяются абстракцией. По своему назначению аналогия выражает соответствие между сопоставляемыми объектами, между моделью и оригиналом [59]. И хотя в научной литературе отмечается связь модели с аналогией, однако аналогия не может быть моделью. Вывод по аналогии включает интерпретацию информации, полученной исследованием модели. Моделирование по своей природе является многофункциональным, так как используется самым различным образом для различных целей на различных уровнях исследования или преобразования. Среди множества всевозможных моделей особую роль играют математические модели. По Р.С. Черкасову и А.А. Столяру, «математическая модель - это приближённое описание какого-нибудь класса явлений, выраженное на языке какой-нибудь математической теории, с помощью системы алгебраических уравнений или неравенств, дифференциальных или интегральных уравнений, функций, системы геометрических предложений или других математических объектов» [212, с. 144].
Психолого-педагогические особенности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы
При решении методических задач довольно часто возникает необходимость представления полученных результатов в некотором обобщающем виде, системно отражающем выявленные свойства или характеристики. Одной из таких систем является разработанная в настоящем исследовании методическая система обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы.
Система (от греч. сгиотгща - целое, составленное из частей, соединение) - «объединение некоторого разнообразия в единое и чётко расчленённое целое, элементы которого по отношению к целому и другим частям занимают соответствующие им места» [360, с. 415].
Вопросам разработки и реализации системного подхода в педагогике посвящены исследования Ю.К. Бабанского [24-25], А.Г.Кузнецовой [170], Н.В.Кузьминой [172], С.К.Никулина [236], П.И. Пидкасистого [252], В.А. Сластёнина [253], А.В. Тутолмина [345] и др.
К примеру, В.П. Беспалько под педагогической (в частности, методической) системой понимает «совокупность взаимосвязанных средств, методов и процессов, необходимых для создания организованного, целенаправленного и преднамеренного педагогического влияния на формирование личности с заданными качествами» [34]. Методические системы математического образования исследовались в работах Л.И. Боженковой [40], Е.А. Бунимовича [50], О.Б.Епишевой [112], Г.Л. Луканкина [184], А.Г. Мордковича [223], Е.А. Перминова [256], С.А. Самсоновой [305], В.И. Снегуровой [320] и др. Вслед за Н.Е. Кузнецовой и М.А. Шаталовым, под методической системой будем понимать «единство и взаимосвязь её цели и задач, содержания, деятельности субъектов, дидактико-методического комплекса, образовательных результатов и управления качеством обучения» [171, с. 14]. Согласно исследованиям Н.В. Кузьминой, методическая система обучения состоит из следующих компонентов: цель, содержание, формы, методы и средства обучения, каждый из которых приобретает определённую методическую функцию [172]. Первым и наиболее общим признаком любой системы, в частности методической, является то, что она состоит из некоторой совокупности взаимосвязанных компонентов - минимальных единиц, имеющих предел делимости в её границах, обладающих функциональной и структурной специфичностью, интегративностью. Вторым признаком системы является то, что каждый её компонент выполняет свою функцию только в том случае, если он взаимодействует с другими элементами данной системы. Способ, связывающий компоненты друг с другом, а также определяющий характер их связей, называют структурой [319]. К признакам методической системы обучения относят: 1) полноту её компонентов, способствующих достижению основной цели; 2) взаимосвязь компонентов и их зависимость; 3) присутствие ведущей идеи, необходимой для объединения компонентов (в нашем случае такой идеей является реализация профессионально-прикладной направленности); 4) появление у компонентов системы общих качеств [171]. Методическая система обучения стохастике в профильных классах должна удовлетворять ряду требований. Во-первых, она должна быть диагностичной, т.е. устанавливать соответствие целей результатам. В процессе обучения стохастике учащихся профильных классов должна быть достигнута основная цель, в которой определено, что ЗУНы старшеклассника должны соответствовать требованиям нормативных документов (программе), обеспечивающих подготовку выпускника к дальнейшему обучению по окончании школы. Во-вторых, система должна быть воспроизводимой, т.е. в одинаковой степени востребованной независимо от квалификации и опыта работы учителя математики. В-третьих, система должна быть гибкой, т.е. поддаваться изменениям, преобразованиям, применяться в различных условиях, иметь возможности для наполнения новыми методическими приёмами. Для проектирования методической системы нами использовались следующие методологические подходы: системный, личпостно-деятельпостный, иптегративный. Системный подход позволил нам представить всё содержание стохастики, изучаемой в профильных классах, как сложную систему, направленную на его усвоение в деятельности. Личностно-деятелъностный подход предполагает то, что каждый блок основного содержания нашего видения школьной стохастики охватывает определённый состав действий как учителя, так и учеников. Он предусматривает включение в содержание стохастики активного его изучения, использование элементов исследовательской деятельности, обращение к проблемному и эвристическому раскрытию учебного материала. Это определило усиление методологической составляющей содержания, а также разработку методического аппарата его усвоения. Применение инте-гративного подхода значительно увеличивает объём содержания обучения, что не может не входить в противоречие с ограниченностью учебного времени, отводимого на изучение стохастики в 10-11 классах. Поэтому при конструировании содержания мы стремились к его минимизации [402]. В основу проектирования и реализации методической системы обучения стохастике, кроме общедидактических и общеметодических принципов, которые нашли своё отражение в методических работах по математике: научности, фундаментальности, интеграции, дифференциации, гуманизации и гуманитаризации, преемственности, доступности, непрерывности [147; 184; 221; 223; 286; 307], были положены принципы, объединённые в две группы: а) общие принципы построения и реализации методической системы обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы; б) принципы отбора содержания стохастической линии в профильных классах общеобразовательной школы. Остановимся подробнее на рассмотрении первой группы принципов (принципы второй группы будут обоснованы в п. 3.5). Принцип комплексности и связности. Формирование у учащихся профильных классов компетенций в области стохастики, необходимых для их применения в реальной жизни, будущей профессиональной деятельности, связано с усвоением старшеклассниками определённого учебного содержания. Результативность осуществления данного процесса зависит от ряда факторов, одним из которых (если не основным) является применение учителем адекватных форм, методов и средств обучения. Каждый фактор нацелен на усвоение учебного содержания определённого вида, а следовательно, и на достижение своей цели. Таким образом, уместно рассматривать методическую систему обучения стохастике в профильных классах как единое целое, представляющее собой некоторый комплекс, элементы которого взаимосвязаны. В этой связи, говоря о комплексности применительно к методической системе обучения стохастике в профильных классах, будем иметь в виду необходимость определения не только цели обучения стохастике, но и адекватного ей содержания, а также соответствующих форм, методов и средств обучения.
Методические рекомендации по изучению статистических гипотез в профильных классах
В процессе всей своей жизни человек часто сталкивается с событиями и явлениями, исход которых заранее не определён. Такие ситуации характерны для прикладных областей математики. Например, школьник не знает, какие именно вопросы задаст учитель-экзаменатор, служащий - сколько времени у него займёт дорога на работу завтра (через неделю, месяц и даже год), инвестор - окупятся ли его инвестиции, страховщик - причину и размер выплаты страхового вознаграждения. Вместе со случайными явлениями в реальном мире существуют детерминированные, то есть события, результат которых определён однозначно. Школьников необходимо убедить в том, что без знакомства с некоторыми стохастическими представлениями нельзя понять: - почему у чернокожего отца и белой матери ребенок может родиться и мулатом, и белым, и чернокожим; - почему в человеческой популяции всегда будет сохраняться определённый процент низкорослых и высокорослых людей, так же как и процент «слабоумных» и «гениев» [92]. В любой химической реакции тоже присутствуют стохастические законы, поскольку единичная «встреча» двух молекул реагирующих веществ лишь с определённой вероятностью приводит к их химическому взаимодействию. «Случайность как проявление необходимости» - диалектическая формула, выражающая сущность методологической основы теории вероятностей. Глубокое проникновение в смысл этой формулы даёт ключ к пониманию идей и методов стохастики. Вероятностная составляющая стохастической линии ориентирована на построение вероятностных моделей простых ситуаций. Она обеспечивает понимание того, что анализ многих явлений может быть осуществлён не только экспериментальным путём, но и исходя из некоторых теоретических соображений до проведения эксперимента. Старшеклассники овладевают методом математического моделирования случайных явлений и процессов.
Изучая математику основной школы, учащиеся работали с такими понятиями, как: «опыт», «событие» (первое фундаментальное понятие теории вероятностей), «случайное событие», «достоверное событие», «невозможное событие», «зависимые (независимые) события», «совместные (несовместные) события», «противоположные события».
Учащимся следует напомнить, что под «опытом» («испытанием», «экспериментом») понимается реализация определённого комплекса условий, в результате которого происходят или не происходят определённые события (факты). При этом комплекс условий включает в себя случайные факторы, реализация которых в каждом испытании приводит к неоднозначности исхода испытания. Например, испытание - подбрасывание игрального кубика, реакция образования синтетического каучука с различным числом мономеров и т.д.
Все события, появляющиеся в результате опыта, обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, ..., как множества. И с данными обозначениями учащиеся знакомы из курса математики основной школы.
Следует напомнить, что понятие «случайное событие» принципиально отличается от тех понятий, с которыми привыкли иметь дело школьники. До этого предметом изучения были вполне определённые и точно заданные объекты. Теперь же учащиеся должны привыкнуть к тому, что изучаемые объекты - случайные события - не обязательно могут иметь место. Например, при бросании игральной кости может выпасть или не выпасть пять очков. В подобных задачах нельзя дать определённый ответ, а можно дать лишь его качественную характеристику («может быть», «вероятно»).
Далее учащимся необходимо напомнить, что простейшие неразложимые результаты опыта называются «элементарными событиями» (обозначаются a, b, с, ...), а события, которые строятся на их основе - «сложными». С понятием «элементарное событие» тесно связано понятие «пространство элементарных событий», под которым понимается множество всех элементарных событий, связанных с конкретным опытом (обозначается Q = {а, Ь, с,...} ). Не менее важным понятием, необходимым для рассмотрения
ряда важных утверждений теории вероятностей, является понятие «полная группа событий». Учащимся сообщают, что несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны (любые два события из группы несовместны), и в результате опыта одно из них обязательно происходит.
Примером, иллюстрирующим сказанное, может служить следующая задача. Задача. Опыт проводится с двумя лисами - одна рыжей окраски, другая - серебристой. Установить, какие будут получены гибриды во втором поколении (скрещивание - моногибридное). Решение. Известно, что L — ген, определяющий рыжую окраску лис (доминантный признак), а / - ген, определяющий серебристую окраску (рецессивный признак). Согласно первому закону Менделя, в первом поколении все особи будут иметь генетический состав Ы (рыжие по окраске). Во втором поколении, согласно второму закону, произойдёт расщепление. Например, событие А={во втором поколении лиса рыжей окраски} -сложное, так как может быть составлено из элементарных событий: А = {а;Ь;с},а событие 5= {во втором поколении лиса серебристой окраски} -элементарное, так как представлено одним элементарным событием: В = \d]. Следует отметить, что понятия «элементарное событие», «событие», «пространство элементарных событий» являются первоначальными понятиями теории вероятностей.
Учащимся необходимо напомнить, что предметом теории вероятностей является познание массовых случайных явлений, которые в принципе могут быть осуществлены неограниченное число раз, причём в неизменных условиях. Пример тому - подбрасывание монеты, обследование изделия на годность и др. Любое случайное событие, наступление которого возможно в такого рода опытах, называется массовым или статистическим. При том массовые случайные события следует отличать от единичных, исключительных, уникальных, обладающих той особенностью, что опыт, с которым связаны эти события, принципиально невоспроизводим. Например, событие Х={10 марта 1954 года в Липецке шёл дождь} является в этом случае исключительным, так как воспроизвести наступление указанного дня невозможно. В то же время событием /={10 марта в Липецке шёл дождь} (без упоминания о годе) является, несомненно, массовым: ведь наблюдать погоду в Липецке 10 марта можно в течение многих лет.
Похожие диссертации на Методическая система обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
