Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 13
1.1. Вероятностно-статистические представления, их роль и значение как важного компонента школьного математического образования 1 4
1.2. Философский аспект формирования вероятностно-статистических представлений 30
1.3. Психолого-педагогический аспект формирования вероятностно-статистических представлений 40
1.4. Роль задач в формировании вероятностно-статистических представлений 50
ГЛАВА II. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ АЛГЕБРЕ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 65
2.1. Анализ учебников и учебных пособий с целью установления возможности их использования для формирования вероятностно-статистических представлений 65
2.2. Средства и методы обучения, способствующие формированию вероятностно-статистических представлений 76
2.3. Методические особенности формирования вероятностно-статистических представлений в обучении алгебре 105
2.4. Организация и результаты педагогического эксперимента 121
Заключение 133
Библиографический список 135
Приложения 151
- Вероятностно-статистические представления, их роль и значение как важного компонента школьного математического образования
- Анализ учебников и учебных пособий с целью установления возможности их использования для формирования вероятностно-статистических представлений
- Методические особенности формирования вероятностно-статистических представлений в обучении алгебре
Введение к работе
На ушедший XX век пришлось бурное развитие и внедрение теории вероятностей, математической статистики и их приложений в различные области научной и практической деятельности человека, которое продолжается и в настоящее время. Оказалось, что вероятностно-статистические представления, методы, с точки зрения современной науки, являются наиболее эффективными средствами познания и моделирования природных и социальных явлений, процессов, объектов и их характеристик.
Современное естествознание исходит из представлений, согласно которым все явления природы носят статистический характер, а ее законы могут получить достаточно полную и точную формулировку только в терминах теории вероятностей. Астрономия использует эти идеи в исследовании распределения материи в пространстве, потоков космических частиц, распределения во времени и на поверхности Солнца пятен и т.д. Биология привлекает вероятностные идеи для изучения передачи возбуждения, устройства памяти, передачи наследственных свойств, расселения животных на территории, взаимоотношений хищника и жертвы и т.д. Статистические методы успешно используются в исторических исследованиях, в археологии, для расшифровки надписей на древних языках.
Содержание школьного математического образования, как известно, отражает содержание и уровень развития современной математической науки и выражает общественную потребность в подготовке подрастающего поколения на необходимом математическом уровне.
В 1989 году ETS (Educational Testing Service) провело второе исследование по сравнительной оценке математической подготовки учащихся - ІАЕР-П (International Assessment of Educational Progress), в котором впервые принял участие бывший СССР. В тест была включена тема «Анализ данных, статистика и вероятность», которая не изучалась в нашей школе. По этой теме «учащиеся из СССР справились с заданиями на достаточно высоком уровне (76%). Это
4 в значительной степени объясняется тем, что задания были несложными, практически все они могли быть выполнены с помощью здравого смысла. Однако в силу того, что в других странах этому материалу уделяется специальное внимание, результат наших школьников оказался шестым-седьмым» [94, с. 43].
Мы полагаем, что результаты данного исследования хорошо показывают потенциальные возможности наших школьников в усвоении вероятностно-статистического содержания, которое в настоящее время вводится в обязательный курс школьной математики.
Вызывает недоумение тот факт, что история становления и развития теории вероятностей насчитывает несколько столетий, а в отечественное образование в курс математики средней общеобразовательной школы только сейчас вводится вероятностно-статистическая содержательная линия, и это несмотря на то, что теория вероятностей по праву считается русской наукой, так как основные и общие результаты получены отечественными учеными П.Л. Чебышевым, А.А. Марковым, A.M. Ляпуновым, А.Я. Хинчиным, А.Н. Колмогоровым и др.
Мысль о введении элементов теории вероятностей в школьное образование была высказана еще ее основателем Пьером Лапласом. В 1814 году он писал, что «... нет науки более достойной наших размышлений, и было бы полезно ввести ее в систему народного образования»[75, с. 12]. Лаплас для разработки созданной им теории ввел производящие функции и широко применял преобразование, носящее сегодня его имя, привел в систему выводы Б. Паскаля, П. Ферма, Я. Бернулли, усовершенствовал методы доказательства, развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наиверо-ятнейшие значения измеренных величин и степень достоверности этих подсчетов.
Необходимость введения вероятностно-статистического содержания в отечественное школьное образование обусловлена их образовательной и мировоззренческой ценностью, что неоднократно подчеркивалось отечественными учеными и педагогами. Академик Б.В. Гнеденко, подчеркивая значимость теории вероятностей и математической статистики, обращал внимание на то, что
5 «важно в детстве или ранней юности знакомить будущих граждан со статистическими концепциями, как с большим разделом науки, позволяющим шире подходить к разысканию закономерностей в явлениях природы» [50, с. 58].
Исследованию различных сторон вопроса обучения вероятностно-статистическому содержанию в средней школе посвящены диссертации Л.О. Бычковой [22], Н.Н. Авдеевой [1], Л.М. Кабеховой [75], А.Я. Дограшвили [62], К.Н. Курындиной [96], В.Д. Селютина [162], А. Плоцки [139], СИ. Воробьевой [36], В.В. Фирсова [185], Д.В. Маневича [102] и других авторов. В этих и ряде других исследований рассматриваются: формирование статистических представлений и мышления; факультативные занятия как форма обучения элементам теории вероятностей и математической статистики; формирование умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач; обоснование необходимости введения сквозной вероятностно-статистической линии в школьную математику, начиная с младших классов и до конца школьного обучения и др.
Однако в школе вероятностно-статистические знания не должны преподноситься в виде готовой теории. Следует постепенно, от представлений посредством наблюдений, экспериментов, обобщений, подводить учащихся к понятию и свойствам математической вероятности. И в этом плане следует отметить работу В.Д. Селютина, в которой впервые процесс формирования статистических представлений рассматривается поэтапно.
В средних школах Англии, Венгрии, Польши, Франции, США, Южной Кореи, Китая вероятностно-статистический материал представлен достаточно широко и развернуто (доля этого содержания в программах составляет 15-20%). Л.О. Бычкова и В.Д. Селютин на страницах журнала «Математика в школе» отмечают: «Анализ известных нам подходов к изучению элементов теории вероятностей и статистики в средних школах различных стран позволяет сделать следующие выводы: в подавляющем большинстве стран этот материал начинает изучаться в начальной школе; на протяжении всех лет обучения учащиеся знакомятся с вероятностно-статистическими подходами к анализу эмпириче-
ских данных, причем большую роль в этом играют задачи прикладного характера, анализ реальных ситуаций; в процессе обучения много времени отводится задачам, требующим от учащихся работы в маленьких группах, самостоятельного сбора данных, обобщение результатов работы групп, проведения самостоятельных работ, исследований практического характера, постановки экспериментов, проведения небольших лабораторных работ, подготовки долгосрочных курсовых заданий — все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его тесной связью с практической деятельностью; изучение стохастики как бы распадается на вероятностную и статистическую составляющие, тесно связанные между собой, во многих странах они дополнены большим фрагментом комбинаторики» [23, с. 10].
Сложившаяся к настоящему времени методика обучения элементам комбинаторики и теории вероятностей (на кружковых и факультативных занятиях, а также в школах и классах с углубленным изучением математики) такова, что при обучении используются преимущественно задачи, решение которых опирается на классический подход к определению вероятности. В диссертационных исследованиях В.В. Фирсова [185], А. Плоцки [139] и некоторых других обосновано положение о том, что решение учащимися задач в классической схеме не способно обеспечить формирование прочных статистических представлений: «Обучение теории вероятностей, основанное преимущественно на изучении вероятностной модели, не может привести к достижению целей обучения» [185, с. 19].
Несмотря на разнообразие аспектов указанных исследований в стороне остался ряд вопросов:
установление связей между новой вероятностно-статистической линией и традиционными содержательными линиями школьной математики;
разработка содержания обучения при поэтапном формировании вероятностно-статистических представлений;
разработка методики обучения вероятностно-статистическому содержанию, адекватной возрастным особенностям средних школьников;
7 - установление преемственности между школьным математическим образованием в области теории вероятностей и математической статистики и профессиональной деятельностью выпускников школы.
В «Учебных стандартах школ России» о новой вероятностно-статистической линии (включенной в образовательный стандарт основного общего образования по математике [130]) говорится, что в ней «можно выделить три взаимосвязанные стороны, каждая из которых в той или иной мере должна проявляться на всех ступенях школы: подготовка в области комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных задач, логического развития учащихся и формирования важного вида практически ориентированной математической деятельности; формирование умений, связанных со сбором, представлением, анализом и интерпретацией данных; формирование представлений о вероятности случайных событий и умений решать вероятностные задачи» [181, с. 29].
В настоящее время в связи с введением в школьный курс математики новой вероятностно-статистической линии, включенной в учебники под редакцией Г.В. Дорофеева, особенно актуально стоит вопрос о формировании вероятностно-статистических представлений (ВСП) как существенного компонента математической культуры и научного мировоззрения учащихся, как фундамента дальнейшего обучения теории вероятностей и математической статистики на формальном уровне.
Все сказанное выше обусловливает актуальность настоящего исследования.
В связи с этим возникла проблема исследования, которая заключается в разрешении противоречия между декларируемыми целями современного школьного математического образования в области вероятностно-статистической подготовки и отсутствием средств достижения этих целей, соответствующих возрастным особенностям учащихся 5-9 классов.
Объектом исследования является процесс обучения учащихся математике в 5-6 классах и алгебре в 7-9 классах.
Предметом исследования является формирование ВСП у учащихся в курсе алгебры основной школы.
Изложенное выше послужило основанием для формулировки темы нашего исследования, цель которого - разработка содержания и методики формирования ВСП у учащихся основной школы.
В своем исследовании мы исходили из следующей гипотезы: обучение алгебре через систему задач с комбинаторным и вероятностно-статистическим содержанием, сконструированную с учетом психологических особенностей учащихся среднего школьного возраста, особенностей овладения вероятностно-статистическим содержанием и этапов формирования ВСП, обеспечит:
формирование простейших представлений вероятностно-статистического и комбинаторного характера и умений их применять при анализе ситуаций, носящих характер случайности;
повышение уровня логического мышления учащихся.
Для решения выдвинутой проблемы и проверки гипотезы потребовалось решить следующие частные задачи:
выявить и обосновать роль и место комбинаторики, элементов теории вероятностей и математической статистики в курсе математики основной школы;
разработать систему задач сюжетно-практического характера с вероятностно-статистическим содержанием, позволяющую формировать ВСП у учащихся основной школы;
на основе теоретического анализа научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме исследования выявить и сформулировать методические условия формирования ВСП у школьников;
экспериментально проверить доступность и эффективность разработанной методики и задач, направленных на формирование ВСП.
Методологические основы исследования составляют: философские положения об отражении и о случайном (И.Т. Фролов);теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина, М.Б. Волович).
9 Для решения поставленных частных задач использовались следующие методы исследования:
теоретический анализ научно-методической и психолого-педагогической литературы по проблеме исследования;
содержательный анализ учебников и учебных пособий по математике, содержащих элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики;
анкетирование, беседы с учителями и учащимися, наблюдение за ходом учебного процесса;
педагогический эксперимент, статистическая обработка полученных данных.
Научная новизна исследования состоит в том, что в основу разработки содержания и методики формирования у учащихся ВСП положена теория поэтапного формирования умственных действий, учитывающая индивидуальные и возрастные особенности учащихся и обеспечивающая развитие мировоззренческих представлений, соответствующих распространенности в действительности не только необходимости, но и случайности.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
обоснована роль элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики как важного компонента курса математики основной школы;
сформулированы требования к системе задач, направленной на формирование ВСП и выявлены классификации задач с комбинаторным и вероятностно-статистическим содержанием;
выделены этапы формирования ВСП, которые позволяют проследить трансформацию ВСП обучаемых от представлений, сформированных на первом этапе (5-7 класс) и являющихся результатом индивидуальных наблюдений и действий с материальными объектами, до второго этапа (8-9 класс), на котором они обобщаются, систематизируются и выступают как инструменты анализа и решения задач.
10 Практическая значимость исследования заключается в том, что:
разработана система задач, направленная на формирование ВСП в курсе алгебры основной школы;
разработана методика формирования ВСП, обеспечивающая пропедевтику обучения вероятностно-статистическому содержанию на формальном уровне;
разработанная методика и дидактические материалы могут быть использованы авторами учебных пособий и учебников для учащихся; учителями математики общеобразовательных школ, гимназий, лицеев; студентами педагогических вузов при изучении курса «Теория и методика обучения математике»; на курсах повышения квалификации учителей математики.
На защиту выносятся следующие положения:
реализация полифункциональных возможностей вероятностно-статистической содержательно-методической линии, которая в отличие от линий, строящихся на основе классического детерминизма, позволяет знакомить учащихся с идеями дискретной математики; способами сбора, обработки и интерпретации статистической информации; с закономерностями мира случайных событий;
ключевыми требованиями к системе задач с комбинаторным и вероятностно-статистическим содержанием являются: обеспечение поэтапного формирования ВСП; реализация внутрипредметных связей курса алгебры основной школы; уровневая дифференциация; наличие обобщенных, обратных, аналогичных задач и задач с неполным или избыточным условием;
использование разноуровневой системы сюжетно-практических задач с комбинаторным и вероятностно-статистическим содержанием, учитывающей поэтапное формирование ВСП и внутрипредметные связи курса алгебры основной школы, обеспечит пропедевтику формирования ВСП у учащихся как основы для обучения формальному курсу теории вероятностей и математической статистики в старших классах.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором и обсуждались на I Межвузовской конференции по информатике «Проблемы преподавания информатики в XXI веке» (2000, г.Куйбышев); на II Всероссийском геометрическом семинаре (2001, г. Псков); на III Сибирских методических чтениях (1999, г. Омск); на V научно-практической конференции негосударственных образовательных учреждений «Опытно-экспериментальная работа как условие повышения качества обучения»; на заседаниях кафедры теории и методики обучения математике ОмГПУ (1999-2002).
По теме диссертационного исследования имеются 4 публикации.
Экспериментальная проверка теоретических положений диссертации проводилась в 1997-2002 гг. на базе общеобразовательных школ №157, №28, №47, №123 г.Омска.
Эксперимент проводился в три этапа: 1) констатирующий; 2) поисковый; 3) обучающий. На констатирующем этапе (1997/98 - 1998/99 уч.гг.) автором диссертации: выявлялся уровень сформированности ВСП у учащихся 5-6 классов, проводились анкетирование и беседы с учителями средних школ города Омска, анализировались учебники и учебные пособия, содержащие комбинаторный и вероятностно-статистический материал, т.д.
На поисковом этапе (1999/00 - 2000/01 уч.гг.) на основании материалов и выводов поискового и констатирующего этапа был разработан курс «Комбинаторика и вероятность» для учащихся 6-7 классов основной школы. Основной задачей на этом этапе являлась разработка методики формирования ВСП, создание учебного пособия содержащего комбинаторные и вероятностные задачи, и проверка возможности использования данного пособия, а также некоторых средств и материалов обучения на третьем этапе эксперимента.
На третьем обучающем этапе (2001/02 уч.гг) учителям средних школ г. Омска были предложены задачи сюжетно-практического характера с комби-
12 наторным и вероятностно-статистическим содержанием, раздаточный материал и инструкции, которые должны были предложить и организовать их выполнение учащимися всего класса на уроках алгебры. До и после обучающего эксперимента школьникам были предложены 2 теста и анкета, а в середине каждой четверти контрольные срезы. Использование статистических методов (метод знаков, критерий Макнамары) позволило подтвердить гипотезу нашего исследования. На данном этапе оформлялись материалы и окончательно уточнялись теоретические положения диссертационного исследования, а также составлялся автореферат диссертации.
В процессе эксперимента апробировались задачи сюжетно-практического характера и методика формирования ВСП при обучении математике в основной школе. Его результаты позволили заключить об эффективности методики и задач как средстве формирования ВСП у школьников 5-9 классов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, библиографического списка, состоящего из 201 источника, и 4 приложений.
Вероятностно-статистические представления, их роль и значение как важного компонента школьного математического образования
В справочной и психолого-педагогической литературе встречаются разнообразные толкования и определения понятия «представление». В «Словаре русского языка» представления определяются как «воспроизведение в сознании ранее пережитых восприятий» или как «знания, понимание чего-нибудь» [131, с. 529]. В словаре по психологии представления определяются как «образы предметов, сцен и событий, возникающие на основе их припоминания или же продуктивного воображения» [147, с. 290]. В психологии и философии «термин «представление» в строгом смысле применяется к воскрешаемым в уме живым образам. Однако часто даже в самих этих науках и особенно в широком обиходе он употребляется также применительно к общим положениям-знаниям: «представления о жизни», «представления о добре», ...» [159, с. 141]. В связи с общностью и абстрактностью представлений Д.А. Жданов замечает, что «представлениям-образам ранее непосредственно воспринимавшихся предметов и явлений в практике современного мышления все больше отводится сфера только «домашнего обихода» ... ибо современная наука все более глубоко и настойчиво проникает в такие области материального мира, которые все менее доступны непосредственно живому созерцанию» [70, с. 60]. Таким образом, исходя из анализа справочной и психолого-педагогической литературы, а также учитывая различный уровень общности представлений и их содержание, мы выделяем три основных вида представлений:
- представления-образы;
- представления-абстракции;
- представления-положения.
Учитывая характер математики как науки, математические представления следует отнести ко второму виду (хотя не исключаются математические представления первого и третьего вида). «При определении некоторых абстрактных понятий не всегда требуется непосредственная опора на конкретно-чувственные образы. Например, при формировании понятий «вектор», «степень с рациональным показателем», а в некоторых случаях реальный образ невозможен (понятие «скалярное произведение векторов»), но и здесь есть опора на обобщенные образы-символы» [39, с. 32].
Поскольку ВСП являются разновидностью математических представлений, то им должны быть присущи все существенные признаки математических представлений. «При математическом познании восприятие и ощущение имеют специфические особенности. При рассмотрении конкретного объекта математика интересуют не все его стороны и характеристики, а только формы и отношения. Они становятся определяющими и ориентирующими факторами содержания ощущений и восприятий. Именно они в дальнейшем отражаются в других формах математического познания» [39, с. 22].
Итак, при рассмотрении конкретного объекта сквозь призму теоретико-вероятностных идей человека интересуют не все его свойства и характеристики, а только те внешние условия и внутренние свойства объекта, которые определяют вероятностный характер его поведения. Например: монета - объект; подбрасывание монеты - испытание; внутренние свойства - симметричность, однородность; внешние условия - повторяемость, непредсказуемость исходов. Содержание ВСП включает в себя эти условия и свойства, закономерности их взаимодействия. Поэтому, ВСП нельзя определять только психологически.
Опираясь на работы Б.В. Гнеденко [47-50] и А.Н. Колмогорова [80-85] -основоположников отечественной школы теории вероятностей, вероятностно-статистические представления можно охарактеризовать как:
- современное средство познания и моделирования природной и социальной действительности;
- содержательную основу дискретной математики как фундамента теории информации;
- синтетическое и гибкое единство элементов содержания таких разделов математической науки как комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика;
- продукт функционирования репрезентативно-когнитивных структур мозга, образовавшихся в деятельности человека в вероятностно организованном мире;
- систематизирующий элемент общеинтеллектуальной и профессиональной культуры будущих выпускников школы.
Основываясь на результатах анализа научно-методической литературы, посвященной обучению элементам теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики в средней школе и вузе, мы выделяем следующие основные компоненты, составляющие содержание ВСП:
- комбинаторный компонент;
- вероятностный компонент;
- статистический компонент.
Под ВСП мы понимаем совокупность основ комбинаторного, вероятностного, статистического содержания, формирование которых должно осуществляться поэтапно, и выделяем следующие три этапа формирования ВСП: I. Ознакомление учащихся с простейшими примерами, объектами, играми комбинаторного, вероятностного или статистического характера;
II. Абстрагирование, обобщение и систематизация представлений, накопленных учащимися на первом этапе;
III. Изучение комбинаторного и вероятностно-статистического содержания на формальном уровне.
Содержание математической науки и, в частности, теории вероятностей находит соответствующее отражение в математике как школьном предмете. Математика как язык и как инструмент познания, который широко и активно применяется в разнообразных областях теории и практики, является одним из важных компонентов общечеловеческой культуры и продолжает интенсивно развиваться. Поэтому важной задачей становится отбор из общего достаточно большого объема математических знаний, накопленных человечеством к настоящему времени, содержания школьного курса математики, а именно ведущих и вспомогательных знаний, которые будут способствовать более эффективному усвоению ведущих знаний. Вероятностно-статистическое содержание стало весьма актуальным уже с XIX века, но его присутствие в программах российских учебных заведений было эпизодическим.
В 1858 году ученый совет Михайловского артиллерийского училища, в котором в течение ряда лет преподавал М.В. Остроградский, постановил «организовать чтение необязательных курсов для развития научной инициативы слушателей и для расширения их кругозора. Уже осенью того же года Остроградский ввел необязательный курс теории вероятностей» [46, с. 5]. Во второй половине XIX века элементы теории вероятностей и статистики, а также их приложения на материале азартных игр, лотерей и простейших страховых операций встречаются в русских учебниках по алгебре таких авторов, как Н.Г. Щеглов, К.Д. Краевич, В.Г. Фридман.
Сам вопрос об «усилении роли ведущих знаний в школьном курсе математики» возник в 1908 году на IV Международном математическом конгрессе в Риме в работе международной комиссии по реформе математического образования под председательством Ф. Клейна, известного педагога и математика.
Первый и второй Всероссийские съезды преподавателей математики, проведенные в России в начале XX века, дали чрезвычайно важный и ценный материал для прогрессивного развития методики математики и послужили толчком, который активизировал процесс введения элементов теории вероятностей в школьные математические программы.
Анализ учебников и учебных пособий с целью установления возможности их использования для формирования вероятностно-статистических представлений
Эффективность достижения общих и конкретных целей обучения зависит не только от методов и форм обучения, а главным образом обусловливается особенностями применяемых учащимися и учителями учебных пособий, учебников, задачников.
В отечественной средней общеобразовательной школе комбинаторный и вероятностно-статистический материал традиционно излагался на факультативных и внеклассных занятиях, поэтому широкое распространение получили разнообразные, как по уровню содержания, так и по тематике, пособия, которые рассчитаны именно на такие формы организации обучения.
В настоящее время в связи с назревшей необходимостью ознакомления школьников с комплексом вероятностно-статистических представлений в школьный курс математики вводится новая вероятностно-статистическая содержательная линия, задачи которой не могут быть решены на основе старых учебников и учебных пособий. Как следствие этого разрабатываются и готовятся к изданию в самое ближайшее время комплекты новых учебников по математике известных авторов, таких как Ш.А. Алимов, А.Г. Мордкович и др., и уже издан комплект учебников «Математика» под редакцией Г.В. Дорофеева для 5-9 классов средних общеобразовательных учебных заведений, содержащий сквозную вероятностно-статистическую линию.
Поскольку комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика имеют внутрипредметные (логические) связи на уровне математики как науки, постольку большинство имеющихся пособий для младших школьников, старшеклассников и студентов включают комбинаторные и вероятностно-статистические сведения в разнообразных сочетаниях (комбинаторика; комбинаторика и вероятность; вероятность и статистика). Например, комплект учебников [106-110] содержит комбинаторный, вероятностный и статистический материал, а пособие [100] содержит теоретико-множественный, вероятностный и комбинаторный материал и не содержит статистический. Однако отличия имеются и в уровне излагаемого содержания: в [100] материал развертывается на формальном уровне и сопровождается задачами для его закрепления, которые формулируются и решаются с помощью специальных (теоретико-множественных, комбинаторных, вероятностных) математических символов и формул, а в учебниках [106-110] материал излагается индуктивно и сопровождается задачами, которые формулируются и решаются с помощью представлений и понятий, известных учащимся из их повседневной жизни, или с помощью методов, самостоятельно открываемых учащимися в процессе анализа, сравнения, эксперимента или решения этих задач; необходимая математическая или иная символика вводится постепенно.
Материалы, имеющие непосредственное отношение к обучению комбинаторному и вероятностно-статистическому содержанию, можно условно разделить на виды (рис. 11). Для более полного анализа пособий, содержащих задачи, следует указать некоторые требования, позволяющие судить о возможностях использования некоторой конкретной совокупности задач для формирования ВСП. На основе перечисленных выше теоретических положений, компонентов и этапов формирования ВСП сформулируем следующие требования:
1) в формулировках задач в развернутом виде должно быть представлено комбинаторное, вероятностное и статистическое содержание;
2) задачи должны обеспечивать как накопление единичных фактов и примеров ситуаций комбинаторного и вероятностно-статистического характера, так и их обобщение и систематизацию;
3) наряду с задачами с традиционным и житейским содержанием должны быть представлены задачи реализующие внутрипредметные связи;
4) задачи должны обеспечивать активизацию и стимуляцию познавательной деятельности учащихся, т.е. задачи должны требовать споров, игр, рассуждений, выдвижения и проверки гипотез, моделирования, обсуждений;
5) задачи должны обеспечивать возможность дифференцированного и индивидуального темпа и уровня обучения учащихся;
6) задачи должны обеспечивать овладение учащимися деятельностью, адекватной содержанию, то есть задачи, требующие проведения аналогий, обратных операций, обобщений, учета всех условий, а также специфических комбинаторных, вероятностных и статистических умений.
Чтобы использовать совокупность задач из конкретного пособия, недостаточно бывает изменить формулировки задач, символику и терминологию, фабулу, необходимо поменять количество задач конкретных видов, последовательность задач, разбить их на уровни, соответствующие методике обучения и психологическим особенностям учащихся, вооружить последних более адекватными условиям и задачам обучения средствами их решения чем те, которые предлагал использовать составитель исходной системы задач.
Если в совокупности задач нет таких, которые удовлетворяют требованиям 2) и 4), то совокупность не пригодна для формирования ВСП на перовом и втором этапе. Если в совокупности задач отсутствуют такие, которые отвечают требованию 3), то эту совокупность целесообразно использовать после внесения дополнительных задач с соответствующим содержанием.
К задачникам можно отнести [19, 26, 27, 32, 71, 100, 122, 138], к лекциям, научно-популярным изданиям можно отнести [45, 91, 151, 176], [41, 46, 92, 194, 195], к учебникам [24, 25, 106-111, 121, 138], к методическим статьям [5, 8, 10, 23, 44, 49, 59, 76, 137, 140, 156, 169], к методическим пособиям [43, 60, 103], к программам и материалам для факультативных и внеклассных занятий [9, 12, 52, 65, 78, 79, 80, 100, 119, 124, 126, 127, 138, 153, 182, 192, 193].
Из перечисленных пособий оставим только те, которые по уровню изложения материала отвечают первому и второму этапу формирования ВСП, то есть те, которые содержат мало формул, ориентированы на индуктивное и поэтапное изложение содержания, опираются на индивидуальный внеучебный опыт познания и деятельности обучаемых и т.п., а именно: [14; 19; 24-27; 43; 71; 106-111].
Приведем примеры задач из этих пособий, а также укажем роль задач указанных видов.
Задача 1 (№302 [106]). Ниже перечислены события. Оцените возможность их наступления, используя для этого слова: достоверное (или очевидное) событие; возможное (или вероятное) событие; невозможное (или невероятное) событие; очень возможное (очень вероятное) событие; маловозможное (маловероятное) событие.
а) Завтра будет хорошая погода.
б) Тебя пригласят в гости.
в) В январе в городе пройдет снег.
г) В 12ч ночи в городе идет дождь, а через 24 ч будет светить солнце.
д) На день рождения тебе подарят говорящего крокодила.
е) На день рождения тебе подарят собаку.
ж) Ты получишь «пять» за контрольную работу по математике.
з) Круглая отличница получит двойку. и) Сорванный цветок погибнет.
к) Тебя пригласят сниматься в кино.
л) Камень, брошенный в воду, утонет.
м) Ты выиграешь 3 млн. в лотерее.
н) Ты выходишь на улицу, а навстречу идет слон.
о) Ты купил мороженное и выбросил его в урну.
п) Следующий год будет високосным.
р) Завтра тебя пригласят лететь на Сатурн.
с) Тебя пригласят лететь на Луну.
т) Новая электролампочка не загорится.
у) Тебя изберут президентом США.
ф) Когда ты станешь взрослым, тебя изберут президентом России.
х) Выпадет желтый снег.
Задачи, аналогичные этой, способствуют формированию и развитию умения учитывать условия наблюдения события при отнесении его к тому или иному виду (достоверное, невозможное, случайное), так как отнесение большинства из этих событий к конкретному виду весьма условно. Для того, чтобы сделать суждение о событии л) полезно сначала уточнить, из чего сделан камень (пористая порода может и не утонуть); для события н) следует уточнить местожительство учащегося (живет рядом с зоопарком или цирком либо нет); для события т) следует уточнить, есть ли в электрической цепи напряжение (ведь событие состоит не в том исправна ли лампочка); для события в) имеет значение географическая широта и т.п.
Например, почти все учащиеся, которым мы предлагали отнести к тому или иному виду событие «Ваш день рождения - 19 октября» отнесли его к случайным, хотя это не так; не учтено условие, важное для решения, а именно то, что речь идет о конкретном ученике, для которого это событие либо достоверно, либо невозможно. Поэтому для того, чтобы учащиеся осознали и усвоили тот факт, что не имеет смысла говорить о возможности наступления конкретного события, если не известны условия, необходимо организовать качественное совместное обсуждение условий учащимися класса при решении задач, аналогичных указанной.
Задача 2 (№208 [14]). Проведите испытания с бросанием кнопки от 10 до 300 раз с шагом 10. Результаты занесите в таблицу. Изобразите результаты в виде графика: Ось Ох - число испытаний, ось Оу - относительная частота появления острия.
Задачи, аналогичные этой, обеспечивают формирование: представлений о конкретном генераторе случайного; умений строить графики по координатам; умений регистрировать исходы эксперимента со случайными исходами; представления об устойчивости относительной частоты случайного события.
Задача 3 (№5 [27, с. 76]). Ты бросаешь на стол три одинаковые монеты. Тебя интересует только количество монет, упавших одинаково. Сколько исходов следует в таком случае рассматривать? ... Какие именно? ...
Вместо точек в задачах, аналогичных данной, требуется указать ответ. Кроме этих задач пособие [27] содержит пустые строки для рисунков, схем, ответов, пустые таблицы для регистрации результатов испытаний, что создает предпосылки для формирования воображения, познавательной самостоятельности, умения рассуждать, аргументировать свой ответ. Несмотря на то, что задачи не распределены на уровни, они имеют огромный обучающий потенциал, так как каждая последующая задача использует результаты, которые получили учащиеся при решении предыдущей задачи.
Задача 4 (№195 [71]). Составьте из цифр 2, 3, 4 и 5 всевозможные пары обыкновенных дробей. Выберите среди них пары дробей, абсолютная величина разности которых наименьшая, и пары дробей, абсолютная величина разности которых наибольшая.
Данная задача является примером комбинаторной задачи реализующей внутрипредметные связи. Однако наряду с задачами, в которых требуется подсчитать или составить варианты из геометрических фигур, тел, спичек и т.п. в этом сборнике имеются в наличии не совсем комбинаторные задачи. Например, задача, в которой требуется переложить две спички, чтобы из одного имени получить дру 71 roe. Несмотря на то, что эти задачи стоят в стороне от традиционного комбинаторного материала, они на наш взгляд полезны для развития комбинаторных (вариативных) умений вообще, о чем и сообщает автор в предисловии книги.
Задача 5 (№377 [24]). 1) В вазе лежит 1 красное яблоко и 3 зеленых. Представь, что ты не глядя берешь одно яблоко. Какое событие более вероятно:
а) у тебя красное яблоко? б) у тебя зеленое яблоко? Во сколько раз одно из этих
событий вероятнее другого?
2) Каким числом ты бы предложил обозначить вероятность того, что у тебя в руках красное яблоко? Зеленое яблоко? Почему?
3) Сравни свои рассуждения с такими. Всего в вазе 4 яблока, значит, одно из них можно выбрать четырьмя способами. Среди яблок одно красное, поэтому событие «выбрано красное яблоко» происходит в одной из четырех случаев. Следовательно, вероятность того, что выбрано красное яблоко, логично считать равной 1/4.
4) Проведи похожие рассуждения и найди вероятность того, что выбрано зеленое яблоко.
5) Сложи обе эти вероятности. Ты получил вероятность достоверного события? Чем это можно объяснить?
Методические особенности формирования вероятностно-статистических представлений в обучении алгебре
В развитии различных областей научного знания принято выделять три этапа: 1) возникновение в результате эмпирических наблюдений некоторой идеи; 2) отыскание закономерностей, формирование терминологии и систематизация содержания; 3) сведение открытых закономерностей в теорию, взаимоувязывание различных областей знания с новым знанием на уровне теории [139]. Поэтому в формировании ВСП в школе мы выделяем соответствующие этапы:
I. Этап ознакомления учащихся с примерами объектов, явлений, ситуаций и их свойствами (5-7 класс);
II. Этап систематизации и обобщения представлений, накопленных учащимися на первом этапе (8-9 класс);
III. Этап обучения на формальном уровне (10-11 класс).
Перечислим элементы содержания компонентов ВСП, указанных в параграфе 1.1 диссертации, которые целесообразно формировать в курсе математики основной школы: комбинаторный компонент ВСП:
- конечное множество элементов с заданными свойствами, варианты и их виды;
- комбинаторные задачи и ее виды;
- способы решения комбинаторных задач: основные правила комбинаторики, формулы числа перестановок, размещений и сочетаний;
а вероятностный компонент ВСП:
- события и сравнение возможностей их наступления;
- эксперименты со случайными исходами;
- вероятность и ее виды;
о статистический компонент ВСП:
- статистические данные и их представление;
- статистические характеристики;
- статистические исследования: принятие решений с помощью статистических характеристик.
Обучение содержанию каждого компонента ВСП на каждом этапе характеризуется применением соответствующих средств и методов обучения, содержанием и уровнем трудности решаемых учащимися задач и т.п. Этапы формирования ВСП по классам основной школы представлены таблицей, в которой знак «-» означает, что в данном классе на данном этапе ВСП не формируются, а знак «+» - формируется.
ВСП, сформированные на первом и втором этапе, являются основой при обучении теории вероятностей и математической статистики как дедуктивных теорий в старших классах средней школы или ВУЗе. До 10 класса обучение теории вероятностей на дедуктивном уровне является нежелательным, так как до этого момента учащимся необходимо приобрести эмпирический багаж о случайных событиях и случайности и опыт его осмысления, которые в будущем позволят учащимся сознательно усваивать вероятностно-статистические понятия и положения.
В основе психологического механизма формирования представлений лежит отражательная функция сознания. Однако, функционирование механизма формирования психических образов является необходимым, но не достаточным для целенаправленного формирования ВСП условием. Для этого следует в обучении обеспечивать выполнение следующих условий:
- наблюдение за объектом, имеющим вероятностно-статистический характер, сопровождается словесным пояснением учителя, который должен всеми доступными средствами и методами довести до сознания учащихся тот факт, что поведение этого объекта и появление того или иного его состояния с некоторой (большей или меньшей) степенью возможности зависит от свойств этого объекта и от комплекса условий, в которых этот объект наблюдается;
- для повышения точности и полноты ВСП следует организовывать выполнение учащимися сходных в чем-либо наблюдений, экспериментов, решение аналогичных задач;
- ВСП изучаются во взаимосвязи с понятиями арифметики, алгебры и геометрии (множество, число, цифра, дробь, отношение, проценты, уравнение, операции, фигура, длина, график, площадь и т.д.);
- формирование ВСП осуществляется в ходе собственной практической деятельности учащихся по открытию фактов, свойств, объектов в процессе решения задач с комбинаторным и вероятностно-статистическим содержанием;
- ВСП используются учащимися в повседневной деятельности и предшествуют формальному содержанию комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, излагаемому в старших классах средней школы или ВУЗе;
- повышение качества формируемых в курсе математики ВСП можно обеспечить привлечением элементов содержания учебных предметов естественно научного профиля.
Рассмотрим основные особенности нашей методики формирования ВСП:
- использование моделей и моделирования в качестве средства накопления и систематизации ВСП;
- применение задач с элементами содержания традиционных линий школьного курса математики;
- применение задач сюжетно-практического содержания;
- пропедевтика формирования вероятностно-статистическому содержанию в 5-9 классах основной школы.
Использование моделей и моделирования в качестве средства формирования начальных ВСП и их систематизации предполагает постепенное вовлечение учащихся в процесс экспериментирования, изучения (сравнения), конструирования моделей некоторых ситуаций.
Рассмотрим примеры.
Учащимся предлагаются задачи, в которых для получения ответа требуется выполнить ряд действий (провести эксперимент, выдвинуть предположение и т.п.), то есть учащийся должен добыть нужную информацию в процессе решения задачи.
Задача 1 (№123 [14]). В мешке 16 шаров: 4 красных, 7 синих и 5 зеленых. Сколько шаров достаточно взять не глядя из мешка, чтобы перечисленные ниже события были достоверными? А - Среди извлеченных шаров есть красный шар; В - Среди извлеченных шаров есть синий шар; С - Среди извлеченных шаров есть синий и зеленый; D - Среди извлеченных шаров есть два зеленых; Е - Среди извлеченных шаров есть три разных.
Задача 2 (№139 [14]). Какое событие из перечисленных ниже в испытании с одинаковым бросанием кубика: более возможно; менее возможно? Объясните.
10. - Выпало одно очко;
11. - Выпало меньше 5 очков;
12. - Выпало простое число очков; 13.- Выпало четное число очков.
Задача 3 (№1240 [107]). При бросании игрального кубика возможны 6 исходов. Как вы думаете, сколько примерно раз из 1000 бросаний кубика выпадает 1 очко? Проверьте ваше предположение, проведя в классе следующий эксперимент. Разбейтесь на 10 групп. Каждая группа должна 100 раз бросить кубик и подсчитать, сколько раз выпадает 1 очко. Результаты всех групп просуммируйте. Сравните ответ, полученный экспериментально, с вашим предположением.
Задача 4 (№1244 [107]). Сколько раз из ста при одновременном подбрасывании двух кнопок обе кнопки упадут на кружок? Проведите эксперименты.
Решая подобные задачи, учащиеся учатся проводить эксперименты со случайными исходами, фиксировать результаты испытаний, сравнивать возможности. Кроме того, они приходят к представлению о генераторе случайного (это предмет, в результате действий с которым можно получить случайный исход; причем возможности появления того или иного исхода зависят от свойств предмета).
После решения достаточно разнообразных задач на экспериментирование учащиеся подводятся к представлениям о частоте случайного события и ее свойствах, а выполняя анализ и сравнение решенных задач и экспериментов приходят к выводу о существовании трех типов генераторов случайного (урны, рулетки, кости). Над задачами проводится работа по классификации: задача А и задача В похожи (аналогичны), так как в них используется один (тип) генератор случайного, то есть генератор случайного начинает рассматриваться как некоторая модель задачной ситуации или эксперимента.
Логическим продолжением этой работы становится моделирование одних генераторов случайного (а значит и тех ситуаций, которые они порождают) другими генераторами.
Задача 5. Чем можно заменить монету при решении спорного вопроса между двумя школьниками?
Решая эту задачу, учащиеся должны осуществить выбор из известных им генераторов таких, которые обладают аналогичными свойствами: имеют два возможных исхода; исходы эксперимента с генератором равновозможные. Следовательно, монету можно заменить игральным кубиком (четное или нечетное число очков), вертушкой (поле разделено пополам и окрашено в разные цвета), мешком с четным числом шаров (половина шаров белого цвета, а другая черного), колодой карт (черная или красная масть) и т.п. Именно такое моделирование создает условия для формирования вероятностной интуиции, так как учащийся начинает смотреть на случайное сквозь усвоенные модели.
Далее целесообразно решать задачи, в которых нужно найти способ заменить (смоделировать) несколько различных ситуаций (генераторов случайного) одним генератором случайного. Решением таких задач служит применение таблицы случайных чисел, которая рассматривается как модель моделей.
Например, таблица случайных чисел (табл. 11) позволяет заменить (смоделировать) ситуации задач 1-5, то есть заменяет мешок с шарами; кубик, две кнопки, монету, которые раньше учащиеся также рассматривали как модели. Если учесть, что вероятность для кнопки упасть острием вниз приблизительно равна 0,45, то число 7086 таблицы можно рассматривать как результат бросания двух кнопок: 70 - «Кнопка упала на кружок», 86 - «Кнопка упала на кружок», так как оба двузначных числа больше 45. Для задачи 1 учащиеся могут получить выводы: событию «Извлечен шар красного цвета» соответствует число таблицы меньшее 2500; событию «Извлечен шар синего цвета» — число большее либо равное 2500 и меньшее 6875; событию «Извлечен шар зеленого цвета» - число большее либо равное 6875. Аналогично для остальных задач.
Эксперимент с реальным объектом заменяется чтением чисел таблицы случайных чисел.
Таким образом, правильнее говорить не о моделировании эксперимента или задачной ситуации, а о моделировании вероятностного пространства задачи, то есть тот или иной генератор случайного или таблица случайных чисел несет в себе информацию о возможных исходах и их вероятностях моделируемой ситуации. Учащиеся получают возможность, решая задачу, применить обоснование или способ решения, аналогичный способу решения предыдущей задачи, так как вероятностные пространства в этих задачах могут быть смоделированы одним и тем же генератором случайного. Усматривая такое общее в различных задачах, школьники могут осуществлять перенос метода решения из одной ситуации в другую.
