Содержание к диссертации
Введение
Глава I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОНЯТИЙ 18
1. Содержание процесса определения понятий ... 18
-
0 различных смыслах понятия "определение" 18
-
Специфика процесса определения понятий
в курсе алгебры восьмилетней школы 19
-
Критерии строгости определений в школьном курсе математики 30
-
Познавательные функции определений 35
2. Психолого-дидактические основы процесса определения понятий 41
-
Место процесса определения в формировании у учащихся математических понятий... 41
-
Проблема овладения логическим приемом определения понятий 50
-
Процесс определения как предмет специального внимания учителя 55
-
Логический прием определения как предмет специального усвоения учащимися 66
Глава П. МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОНЯТИЙ 74
1. Система методического обеспечения процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы 74
-
Основные принципы методического обеспечения процесса определения понятий 74
-
Содержание знаний о понятиях и их определениях, методы их введения и изучения 78
-
Язык учебного предмета "алгебра" и определения 89
-
Система требований к заданиям, обучающим учащихся процессу определения понятий (на материале курса алгебры восьмилетней школы) 100
2. Методические особенности уроков введения и определения понятий в теме "Основные поня тия" 106
3. Методические вопросы процесса определения понятий в теме "Многочлены" 127
3.1. Принципы и подходы к определению понятий к теме "Многочлены" 128
3.2. Содержание и методика экспериментальной работы по теме "Многочлены" 135
4. Задачи, организация и этапы педагогического эксперимента 147
ЗА К Л Ю Ч Е Н И Е 167
ЛИТЕРАТУРА 170
ПРИЛОЖЕНИЕ 190
- Содержание процесса определения понятий
- Психолого-дидактические основы процесса определения понятий
- Система методического обеспечения процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы
- Методические особенности уроков введения и определения понятий в теме "Основные поня тия"
- Методические вопросы процесса определения понятий в теме "Многочлены"
class1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОНЯТИЙ class1
Содержание процесса определения понятий
Природа операции определения, познавательные функции определений включаются в предмет исследования философской науки -теории определений. В самом широком методологическом смысле она трактует определение как мыслительный прием, с помощью которого стремятся "... отличать, отыскивать, строить интересующие нас предметы,..отыскивать, уточнять, разъяснять значение знаковых выражений в том или ином языке, или расширять язык за счет введения нового выражения,..а также формировать значение вновь вводимого термина" (52,с.5,с.100). Безусловно отмеченные процедуры наблюдаются и в развитии школьного курса математики. Введение, определение объектов изучения может проходить несколько уровней познания: обращение к материальным прообразам (остенсивный уровень), характеристика существенных свойств объекта (дескриптивный уровень), сообщение правил обращения с объектами (операционально-практический уровень).
Психолого-дидактические основы процесса определения понятий
Одна из важнейших задач советской школы заключается в обеспечении усвоения школьниками системы научных знаний. К основным элементам этой системы, как показывает ее логико-генетический анализ, относятся научные факты, понятия, законы, теории, практические приложения теоретических знаний. Логический каркас научных систем и теорий составляют понятия. Процесс формирования понятий у учащихся имеет свои закономерности, которые обусловлены особенностями развития понятий в научном познании и основными закономерностями процесса усвоения понятий учащимися.
Поставив задачу обучения учащихся мыслительной деятельности в процессе определения понятий, валено убедиться, что она (мыслительная деятельность) занимает достойное место в формировании у учащихся понятий. Последнее обосновывает общепедагогическую значимость выделенной проблематики. С этой целью мы проделаем следующую работу.
1. Проанализируем соотношение процесса определения понятий с их развитием в научном познании (методологическое обоснование).
2. Проведем сравнительный анализ известных психолого-дидактических оценок роли определения в формировании у учащихся понятий.
3. Выясним, как влияет содержание математической деятельности на реализацию в школьной практике процесса определения математических понятий.
4. Выделим этапы процесса определения понятий, его уровни в общей картине формирования у учащихся математических понятий (психолого-дидактическое обоснование).
Развитие понятия в научном познании - сложный и противоречивый процесс. О трудности его характеристики говорит наличие многочисленных дефиниций понятия. Наиболее употребительной в логике является трактовка понятия, как мысли, представляющей "собой обобщение предметов и явлений какого-либо класса по определенным (общим для данных предметов и в совокупности специфичным для них) признакам (свойствам, качествам,отношениям к другим предметам)" (35, с.НО). Это специфически словесная форма познания, отражающая предметы не как нечто нерасчлененное целое, а как нечто характеризующееся определенной совокупностью свойств. В конкретных науках слову "понятие" чаще придается смысл "системы знаний общих свойств и отношений предметов некоторого класса, обобщенных...по таким...их признакам, из которых в соответствии с законами причинных или иных связей логически выводимы все известные общие свойства"(35,с.ИЗ). В математике под понятием в указанном смысле подразумевается следующая система знаний определение понятия и совокупность теорем,выражающих общие свойства понятия, выводимые из указанных признаков. Отмеченные две трактовки понятия,(а в книге Е.К.Войшвилло (35) их указано по крайней мере пять) как никакие другие выражают мысль К.Маркса о двух этапах в познании некоторого целого:во-первых, анализ целого,выявление некоторых определяющих свойств,то есть движение "от конкретного, данного в представлении, ко все более и более тощим абстракциям,., к простейшим определениям...полное представление испараяется до степени абстрактного определения" таков итог - 43 -первого этапа. Содержанием второго этапа является мысленное воспроизведение, синтез целого "как богатой совокупности с многочисленными определениями и отношениями...абстрактные определения ведут к воспроизведению конкретного посредством мышления". Понятие как форма мысли становится и формой мыслительной деятельности. Указанная аналитико-синтетическая функция понятия непосредственно связывает ее с другой формой мыслительной деятельности, имя которой "процесс определения". О близости этих форм, в частности, говорит известный в логике факт отождествления понятия с выделяющими суждениями (его определениями), фиксирующими логические координаты понятия (35),с.107). Таким образом, процесс определения выступает как общий прием формирования понятий в научном познании.
class2 МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРОЦЕССА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПОНЯТИЙ class2
Система методического обеспечения процесса определения понятий в курсе алгебры восьмилетней школы
В методической литературе известен опыт освещения принципиальных вопросов, относящихся к логической сущности понятия, к структуре определений математических понятий и к методике школьного изложения определений. Однако для полного и обстоятельного решения проблемы школьных определений в математике, в частности в курсе алгебры, целесообразно выяснить цель, содержание и объем методического оснащения процесса определения понятий.
С учетом принятой нами трактовки процесса определения понятий (см. с.40 ), а также его психолого-дидактических основ (см. 2, глава I) уточним, прежде всего, некоторые термины.
I. Под методическим обеспечением процесса определения понятий мы понимаем комплекс методических средств, направленных на овладение учащимися мыслительной деятельностью, имя которой "процесс определения понятий", а именно на:
1) раскрытие содержания изучаемых понятий, анализ логической структуры понятия, построение объектов изучения;
2) усвоение терминологического словаря предметного языка,
- 75 -его структуры;
3) организацию изучаемой информации в дедуктивно оформленную систему понятий;
4) овладение операциональной стороной формируемой познавательной деятельности.
Место и содержание этой работы раскрываются также в следующих принципах.
П. Работа над определением понятий - длительный процесс, включающий в себя несколько этапов формирования понятий (см. с.49 ). Она должна вестись при изучении любого раздела математики на протяжении всего ее курса.
Ш. Овладение этим процессом учащимися нельзя сводить к простому заучиванию ими некоторой фразы. Полноценность его определяется следующими знаниями, умениями.
1. Знание объема понятия:
а) умение привести примеры явлений, относящихся к опреде
ляемому понятию;
б) умение выделять существенные свойства объектов, отвлекаясь от несущественных (второстепенных);
в) умение делать сравнение, противопоставление, находить общие свойства, черты различия.
2. Знание содержания понятия:
а) умение выделять существенные свойства понятия;
б) понимать значение каждого из существенных свойств;
в) умение собрать в единство существенные свойства понятия;
г) умение верно формулировать определяющее предложение понятия;
- 76 д) умение выделять в определении определяемое понятие и определяющее выражение (основные или ранее определенные понятия);
е) умение указывать по определению понятия его род и видовое отличие;
ж) умение критически отнестись к неточным вариантам определяющего предложения;
з) умение привести контрпримеры; и) умение, руководствуясь конструктивным описанием, создавать соответствующие модели;
к) умение распознавать понятие по его определению. 3. Умение логически организовывать изучаемый материал:
а) умение воспользоваться законом обратного отношения между содержанием и объемом понятия;
б) умение установить отношение подчинения, соподчинения, равнозначности между понятиями;
в) умение осуществить деление понятия (его классификацию);
г) умение выявлять необходимые свойства понятия;
д) умение проверять достаточные свойства понятия;
е) знание сущности дедуктивного метода математики:
ж) умение осуществить элиминацию терминов (сведение понятий к основным или ранее определенным);
з) умение заменить определяемый термин определяющим выражением;
к) умение использовать определение в качестве основания для логического вывода;
и) умение конструировать признаки и устанавливать равносильность их с распознаваемым понятием;
й) знание основных (исходных) понятий математической теории в конкретных изложениях.
- 77 -Требование осознанности в обучении определению понятий обязывает сделать предметом сознания учащихся знания о логическом смысле определения, его назначении, правилах, его роли в дедуктивной организации информации. Эти знания относятся к разряду знаний о знаниях - методологическим знаниям. Таким образом, налицо следующий принцип.
IV. Выбор комплекса методологических сведений об определении понятий, способов их включения в содержание образования и методов обучения этим знаниям обуславливается задачами системного усвоения знаний, формирования научного мировоззрения, подготовки к самообразованию.
Обучение определению понятий мы рассматриваем как обучение познавательной деятельности, в характере которой можно выделить по крайней мере два вида: исследовательская деятельность, направленная на анализ предметного языка и анализ в нем понятий, и речевая - в которой учащиеся должны использовать результат этого анализа, язык, как средство для решения тех или других коммуникативных задач.
V. Характеристика языка (структуры и словаря) учебного предмета (алгебра 6-8), выяснение роли в нем определений понятий и их видов, а также за дача воспитания на этой основе культуры математической речи служат методической обработке формируемой деятельности.
Выше (см. с. 55 ) отмечалось, что выявление объективного состава познавательной деятельности только открывает ее формирование. Не менее важным шагом является разработка системы заданий, реализующей требования к организации познавательной деятельности.
- 78 УІ. Логическая структура каждого из заданий должна непосредственно способствовать формированию того или иного умения, а в своей совокупности данные задания дают возможность целостной организации формируемой познавательной деятельности учащихся - процесса определения понятий. Детальная реализация принципов ІУ-УІ будет дана в следующих пунктах параграфа.
Методические особенности уроков введения и определения понятий в теме "Основные поня тия
Тема "Основные понятия"открывает изучение нового для уча - 107 щихся б класса учебного предмета "алгебра". Эта тема, как и все последующие, призвана продолжить изучение курса математики 4-5 классов. Важнейшей особенностью этой темы является то, что в ней вводятся понятия, которые являются узловыми для всей школьной алгебры; в этой главе в значительной степени формируется язык школьной алгебры. Поэтому степень усваиваемости школьниками понятий, формируемых в данной теме, существенным образом предопределяет успех и в изучении всех других алгебраических понятий.
Материалы констатирующего эксперимента, проведенного нами, убедительно говорят, что учащиеся выпускных (8,10) классов в большинстве своем не могут ответить на вопрос: "Назовите основные понятия, которые изучаются в курсе алгебры". Понятия, работающие в курсе алгебры, не отдифференцированы ими.
Для того, чтобы разобраться в причинах такого явления и выработать методические рекомендации, предупреждающие ошибки "межпонятийной генерализации", мы предприняли логико-дидактический анализ темы "Основные понятия" (8).
Составим перечень понятий, рассматриваемых в данной теме, хотя мы безусловно согласны с тем, что "практически в одном и том же отрезке учебного материала можно выделить различное число понятий" (19,0.58). Нам удобно будет каждое понятие занумеровать парой чисел.
1.0 - выражение
1.1 - числовое выражение
1.2 - числовое значение выражения
1.3 - (числовое) выражение не имеет смысла
1.4 - (числовое) выражение имеет смысл
1.5 - переменная
1.6 - выражение с переменными
1.7 - значение переменной
1.8 - значение выражения с переменными
1.9 - область определения выражения с переменными 1.10- пара (чисел)
2.0 - предложение
2.1 - высказывание
2.1 - истинное высказывание
2.2 - предложение с переменными
2.3 - уравнение с одной переменной
2.4 - корень уравнения
2.5 - решить уравнение
2.6 - линейное уравнение
2.7 - неравенство с одной переменной
2.8 - решение неравенства
2.9 - решить неравенство
2.10- числовой отрезок
2.11- открытый числовой отрезок
2.12- числовой отрезок, открытый справа
2.13- числовой отрезок, открытый слева
2.14- числовой луч
2.15- открытый числовой луч
2.16- числовая прямая
2.17- числовой промежуток М - множество
Действующий учебник (8) по данной теме содержит свыше тридцати понятий. Условно мы их разбили на четыре группы, для удобства дальнейшей работы занумеровали.
1.0 - выражение, I.I - одночлен, 1.2 - одночлен стандартного вида, 1.2.0 - коэффициент одночлена, 1.3 - многочлен, 1.3.0 - члены многочлена, I.3.I - подобные члены, 1.4 - многочлен стандартного вида, 1.4.0 - старший член многочлена с одной переменной, I.4.I - степень многочлена с одной переменной, 1.4.2 - расположенные многочлены, 1.5 - двучлен, 1.6 - трехчлен, 1.7 - рациональное выражение, 1.7.0 - дробь, 1.8 - целое выражение.
2.0 - тождество (на множестве), 2.0.1 - тождественное равенство выражений (на множестве), 2.1 - формулы сокращенного умножения.
3.0 - преобразование, 3.1 - тождественное преобразование выражений на множестве, 3.2 - приведение одночлена к стандартному виду, 3.3 - приведение подобных членов, 3.4 - разложение многочлена на множители, 3.5 - вынесение общего множителя.
4.0 - действие (операция) над многочленами, 4.1 - сумма многочленов, 4,2 - разность многочленов, 4.3 - произведение
Справедливо замечание, сделанное на с.107.одночлена на многочлен, 4.4 - произведение многочленов.
Перечень понятий данной темы в основе своей традиционен и стабилен. Учебники (51,22,14) наряду с вышеупомянутыми понятиями содержат и другие в количестве соответственно 7,10,3. Действующий учебник (8) активно использует способ введения новых понятий посредством оператора "такие" (примеры объектов - имя понятия; из тридцати выделенных нами понятий таким путем вводятся одиннадцать (36%), в то же время в учебниках (51,22,14) соответственно 3%, 2,5%, 12%). Выделенные понятия естественным образом распадаются на два класса: ведущие понятия и сопутствующие им. Ведущими понятиями в I группе являются I.I, 1.2, 1.3, 1.4; в группе П - 2.0, 2.0.1; в группе Ш - 3.1; в группе ІУ -4.1, 4.2, 4.3, 4.4. В действующем учебнике (8) только понятия "тождественное равенство выражений на множестве", "тождество на множестве" и "тождественное преобразование выражений на множестве" имеют четкие формулировки их определяющих предложений. Понятия групп I и ІУ в учебном тексте имеют определения контекстуального типа, причем для понятий 1.4, 4.1-4.4 оно дано в форме правила алгоритмического плана. Заметим, что поскольку в учебнике (8) изучение операций над многочленами пронизывает идея тождественного преобразования, то фактически в учебнике говорится не о сумме, разности, произведении многочленов, а об их тождественных преобразованиях. В группу сопутствующих понятий попадают базовые понятия курса, в этой теме они считаются известными (1.0, 4.0); понятия интуитивно ясные, ибо они отражают характер практического действия: "преобразование", "приведение", "формула"; наконец, понятия, связанные непосредственно с ведущими, раскрывающие их внешние характеристики - 1.2.0, 1.3.0, 1.4.0-1.4.2. Некоторые из последних понятий в действующем учебнике (8) имеют выделенные в тексте четкие формулировки дефини - 130 -ций. Отмеченные определения сводят данные понятия к понятиям: "одночлен", "одночлен стандартного вида", "многочлен", "многочлен стандартного вида". Последние же не имеют выделенных в учебнике дефиниций, хотя их контекстуальные определения содержат все необходимые и в своей совокупности достаточные определяющие свойства, причем для понятий многочлена (одночлена) стандартного вида они алгоритмически заданы. Практически такие же формулировки в учебниках (14,22) выделены как определения либо курсивом или полужирным шрифтом (14), либо даже словом "определение" (22). В учебнике В.Л.Гончарова акцентируется внимание фактически на тех же определяющих свойствах понятий "одночлен" и "многочлен". Однако есть и принципиальные отличия в определениях во всех анализируемых учебниках. Именно, в учебниках (8,14,22) специально отмечено в тексте, что одночлен является многочленом, но только в учебнике (22) это замечание выделено курсивом, в то же время в учебнике (51) специально подчеркивается, что одночлен не является многочленом. Наконец, в учебниках (8,14,22) говорится, что число, переменная (буква) или их степени - также одночлены. Мы обращаем внимание на эти особенности в силу следующих моментов.
