Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы реализации прикладной направленности школьного курса математики 14
1. Прикладная направленность обучения математике в школе 15
2. Прикладные задачи: определение, классификация и функции 27
3. Принципы построения цепочки прикладных задач в курсе алгебры основной школы 44
4. Методическая концепция применения прикладных задач в процессе обучения математике в школе 53
Выводы по I главе 69
Глава II. Методика включения прикладных задач в процесс изучения курса алгебры основной школы
1. Методика использования прикладных задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы 73
2. Методика обучения решению прикладных задач в курсе алгебры основной школы 98
3. Организация эксперимента и анализ его результатов 122
Выводы по II главе 133
Заключение 13 4
Литература 139
Приложения 155
- Прикладная направленность обучения математике в школе
- Прикладные задачи: определение, классификация и функции
- Методика использования прикладных задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы
Введение к работе
В настоящее время быстро расширяется область применения математики как в научной, так и в практической деятельности человека. Являясь в недалеком прошлом одной из основ естествознания и техники, математика стала
]
проникать и в области традиционно «нематематические» - в управление государством, биологию, лингвистику, медицину и др. Научно-техническая революция во всех областях человеческой деятельности предъявляет новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования, требуя дальнейшего повышения уровня общенаучной подготовки работников практически во всех отраслях деятельности государства. Это ставит перед современной школой, выпускники которой постоянно пополняют ряды работников производства, новые задачи совершенствования образования и подготовки школьников к практической деятельности.
Решение этих задач требует повышения уровня теоретической подготовки школьников, усиления практической и прикладной направленности обучения вообще и обучения математике в частности.
Реализация прикладной направленности обучения математике в школе требует, чтобы при преподавании математики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умения применять теорию для решения прикладных задач, выполнения различных практических и лабораторных работ. Изучая математику, учащиеся должны усвоить и оценить ее прикладные возможности и получить основные навыки в приложении математики на практике.
Фактически проблеме прикладной направленности обучения математике в научно-методической литературе постоянно уделяется значительное внимание. Так, в условиях советского периода на ранних этапах развития методической мысли проблема прикладной направленности находила свое отражение в реализации так называемого принципа политехнизма в обучении математике. Этот период богат теоретическими разработками таких ученых-методистов
как: П.Р.Атутов, А.А.Бесчинская, ВТ .Болтянский, Б.В.Гнеденко, М.Н.Скаткин и др. Их усилия были направлены на осмысление ключевых понятий, составляющих существо принципа политехнизма, решение проблем научно-обоснованного отбора содержания и методов обучения, выявление оптималь-;|рых условий реализации политехнического образования.
В разное время проблемой прикладной направленности обучения матема-jpuce интересовались как математики, так и методисты: А.Ахлимирзаев, С.С.Варданян, Г.М.Возняк, Г.ДХлейзер, В.А.Гусев, Г.В.Дорофеев, Ю.МКолягин, Г.ЛЛуканкин, Н.А.Терешин, В.В.Фирсов, Ю.Ф.Фоминых и др. В своих работах исследователи предлагают различные трактовки понятий, составляющих аппарат проблемы прикладной направленности обучения математике, и на этой основе разрабатывают различные методические подходы к работе с созданным ими содержанием.
Для того, чтобы осуществить решение проблем, поставленных на современном этапе развития отечественной школы, необходимо дать качественное базовое образование всем учащимся, не зависимо от того, какой путь профессиональной подготовки они выберут для себя в дальнейшем. Полноценному базовому образованию могут способствовать различные факторы. Прежде всего, необходимо соответствующим образом организовать учебную деятельность учащихся, активизируя познавательную деятельность каждого школьника в процессе обучения всем учебным предметам и, в частности, алгебре.
Проблема прикладной направленности изучения школьной алгебры в определенной мере затронута в диссертационных исследованиях Е.В.Величко, Л.М.Коротковой, М.В.Крутихиной, Т.Н.Мираковой, М.Мирзоахмедова, Е.В.Сухоруковой, М.В.Ткачевой, М.ИЯкутовой и др. Авторы этих работ выявили особую специфику школьного курса алгебры, исследовали те или иные факторы, способствующие повышению качества обучения алгебре в основной 1школе и, в частности, усилению ее прикладной направленности.
Особенности школьного курса алгебры таковы, что в нем выделяются лишь содержательные линии курса (число, тождественные преобразования,
> 5
уравнения и неравенства, функции), которые в той или иной мере теоретиче
ски обосновываются. Вместе с тем, школьный курс алгебры потенциально бо
гат количеством практического материала, требующего от учащихся уверен
ного владения умениями решать различного рода уравнения и неравенства,
^выполнять преобразования рациональных и тригонометрических выражений,
строить и читать графики функций и т.п.
(ф I Поэтому реализация прикладной направленности обучения алгебре долж-
на определенным образом быть целенаправленно заложенной и в его методическом обеспечении.
Согласно А.М.Пышкало, под методическим обеспечением понимается совокупность методов, средств и организационных форм обучения.
Важную роль в обучении математике играют задачи. В традиционной методике решение задач рассматривается преимущественно как средство закрепления теоретического материала. Однако для современной методики обучения математике все более значимым становится дальнейшее расширение дидактических функций задач. Так, отмечается переход к позиции «обучение математике через задачи».
В исследованиях Ю.М.Колягина, А.А.Столяра, Л.М.Фридмана и др. было
установлено, что при систематическом изучении нового материала через зада
чи обеспечивается сознательное, прочное усвоение знаний, формируется пра
вильное отражение изучаемых фактов в сознании школьников, создаются ус-
ловия для перехода знаний в действия.
{щ Анализ школьных математических задач и деятельности учащихся при их
решении позволил выделить особо класс прикладных задач. Это обусловлено рядом причин:
1. Они представляют собой модели реальных жизненных ситуаций, окру- жающих школьника, и при обучении их решению можно опереться на опыт 'ученика и тем самым мотивировать процесс познания, стимулировать обуче-|ние математике в школе.
2, Они формируют владение математическим языком для общения с людьми, для познания и описания окружающего мира, для умения переформулировать утверждения, для раскрытия формального содержания математических понятия прикладными примерами, т.е. повышают уровень математической культуры школьников.
Поэтому в качестве средства реализации прикладной направленности обучения математике мы выбрали цепочки прикладных задач.
Имеются различные трактовки понятия прикладной задачи:
как задача, требующая перевода с естественного языка на математический (С.С.Варданян, Г.М.Возняк и др.);
как задача, близкая к задачам, возникающим на практике, по своей постановке и методам решения (Г.ММорозов и др.);
как задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами (Н.А.Терешин и др.).
Мы в своем исследовании под термином «прикладная задача» понимаем такую задачу, которая показывает применение математической теории в практических ситуациях. В содержании или в ходе решения прикладных задач должно быть показано применение некоторой теории или аппарата во внема-тематических ситуациях.
В психолого-педагогической и методической литературе вопросам методики обучения школьников решению прикладных задач уделяется большое внимание. Признавая и высоко оценивая научную и практическую значимость работ по проблеме обучения решению прикладных задач, можно вместе с тем отметить, что ряд ее аспектов нуждается в дальнейшей разработке.
Констатирующий эксперимент показал, что значительная часть школьников испытывает трудности при решении прикладных задач и не проявляет интереса к этому виду деятельности. Такое положение можно объяснить рядом причин.
1. Проведенный анализ школьных учебников позволил выделить следующие их недостатки:
мало задач из области литературы, искусства, спорта, из жизни родной школы, города;
практически отсутствуют задачи, позволяющие ставить проблему (прикладные задачи с недостающими, лишними и противоречивыми данными);
преобладает словесная форма представления прикладных задач.
Изучение результатов обучения (анализ контрольных работ, анализ решения прикладных задач абитуриентами, посещение уроков в школах и собственный опыт работы в школе) позволяет говорить о том, что школьники не достигают необходимого уровня умений решать прикладные задачи, что обусловлено, в основном, несовершенством методики обучения решению этого вида задач, в частности, тем, что учебно-познавательная деятельность при решении прикладных задач направляется, главным образом, на получение ответа.
Обычно при решении прикладных задач учителя стараются как можно быстрее перейти к уравнению, неравенству и т.д., сосредотачивая все внимание на решении уравнения, неравенства, т.е. на техническом процессе. Творческий же процесс, по мнению А.Г.Мордковича, происходит на этапе формализации, когда тщательно изучается условие задачи, создается математическая модель реальной ситуации.
Необоснованно мало времени уделяется последнему этапу решения задачи, где проводится принципиальная и смысловая проверка полученного результата. В связи с этим школьники или совсем забывают о смысловой проверке, когда необходимо проверить полученное решение на предмет соотнесения с исходной ситуацией, или подменяют ее проверкой правильности решения математической задачи.
Для преодоления указанных недостатков целесообразно процесс обучения решению прикладных задач в основной школе разбить на две ступени. На каждой ступени обучения следует создать, согласно теории обучения В.Л.Гусева, специально разработанные цепочки задач и методических заданий к ним.
1 .Подготовительная ступень.
В 5-6 классах осуществляется решение простейших прикладных задач, встречающихся в жизни. На данной ступени формируются у учащихся умения анализировать задачу, составлять различные модели на этапе поиска решения задачи, применять различные методы решения, получать различные разрешающие модели. Модели, используемые на этой ступени, должны быть простыми, чтобы не отвлекать учащихся от процесса решения задачи и выступать средством для решения прикладных задач. Без обучения решению прикладных задач невозможно эффективно использовать их как средство обучения математике.
2.Ступень овладения основными элементами решения прикладных задач с помощью математического моделирования.
При существующей методике обучения решению прикладных задач и современных учебниках эта ступень совпадает с 7-9 классами. На этой ступени необходимо систематизировать и обобщить знания по структуре прикладных задач и этапах работы с ними, обучить школьников сознательному выполнению каждого из этапов решения прикладной задачи, особенно этапов формализации и интерпретации. На этой ступени прикладные задачи могут выступать как эффективное средство изучения математической теории.
Мы в своем исследовании занимались, в основном, второй ступенью процесса обучения решению прикладных задач в курсе алгебры основной школы, рассматривая их как средство изучения математической теории и развития умения решать задачи. Исходя из этого, мы условно выделили две группы прикладных задач.
К I группе задач отнесем задачи, основные функции которых связаны с формированием понятия.
К таким задачам могут быть отнесены:
-задачи, связанные с актуализацией знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия;
-задачи на выделение существенных признаков понятия;
-задачи на распознавание формируемого понятия;
-задачи на установление свойств понятия;
-задачи на применение понятия,
П группу составляют задачи, позволяющие организовать деятельность учащихся на этапе исследования полученного решения, что, в свою очередь, способствует развитию умения решать прикладные задачи.
К этой группе задач мы отнесли:
-задачи с недостающими и скрытыми данными;
-задачи с лишними данными;
-задачи с противоречивыми данными;
-задачи с нетрадиционным вопросом, задачи с нераскрытым вопросом;
-задачи, допускающие неоднозначное решение, не имеющие решения.
Таким образом, необходимость включения прикладных задач в процесс обучения, недостаточная разработанность вопросов, связанных с использованием прикладных задач при изучении конкретных содержательных линий в курсе алгебры основной школы и ряд других указанных выше причин определяют актуальность нашего исследования.
Тема диссертационного исследования соответствует задачам современной школьной математики, которые заключаются в том, чтобы обеспечить каждого учащегося максимально возможным для него уровнем математической культуры, и на этой основе развивать потребности и способности учащихся к творческому познанию мира.
Таким образом, проблема исследования заключается в разрешении противоречия между недостатками традиционных подходов к обучению учащихся решению прикладных задач и имеющимися возможностями в использовании прикладных задач как средства реализации прикладной направленности в курсе алгебры основной школы.
Основной целью исследования является разработка методики обучения школьников решению прикладных задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы.
Объект исследования: процесс обучения школьников содержанию курса алгебры основной школы, обеспечивающий всестороннее развитие учащихся, приобщение их к практической жизни и к выполнению прикладных исследований.
Предмет исследования: цепочки прикладных задач и методика их ис
пользования при изучении курса алгебры основной школы.
(* В основу нашего исследования положена следующая гипотеза: если про-
цесс обучения решению прикладных задач организовать на основе специально подобранных цепочек задач и заданий к ним, то это позволит учащимся на качественно ином уровне осваивать математическое содержание курса алгебры основной школы и осуществлять перенос этих знаний и умений в другие научные области.
Для решения проблемы исследования и проверки выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:
1. Определить содержание и взаимосвязь понятий «прикладная направ
ив*
ленность обучения математике» и «прикладная задача».
Выявить и охарактеризовать типы задач, которые могут быть использованы для осуществления прикладной направленности обучения математике, уточнить их функции.
Определить методические требования и построить педагогически целесообразные цепочки прикладных задач для использования их при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы.
^ 4. Разработать методику использования цепочек прикладных задач при
изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы.
5. Экспериментально проверить целесообразность и эффективность разработанной методики обучения математике с использованием наборов прикладных задач.
В ходе исследования использовались различные методы:
( 11
изучение и анализ психолого-педагогической, методической, историко-научной и математической литературы по проблеме исследования;
анализ содержания программ и учебников алгебры основной школы;
наблюдение за деятельностью учащихся и учителей при изучении математики с использованием прикладных задач;
- беседы с учителями и учащимися по проблеме исследования;
to - анкетирование учителей и учащихся;
организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего экспериментов;
количественная и качественная обработка и интерпретация экспериментальных данных.
Также учитывался личный опыт работы в школе в качестве учителя математики.
Эксперимент проводился в 1993-1998 гг. в 5-9 классах школ №35, 36 и «Ксения» ^Архангельска, школы №4 г.Нарьян-Мара. В экспериментальной проверке было задействовано около 300 учащихся.
На первом этапе (1993-1995 гг.) осуществлялся анализ литературы, по
священной различным аспектам поставленной проблемы. Теоретический ана
лиз литературы, данные, полученные в ходе констатирующего эксперимента,
послужили основанием для формулирования цели и задач исследования и
формулировки рабочей гипотезы. Итогом работы на этом этапе стала разра
ботка теоретической концепции исследования и предварительных требований
щ к прикладной задаче и цепочкам прикладных задач.
На втором этапе (1995-1997 гг.) в ходе поискового эксперимента разработаны цепочки прикладных задач и конкретные методы их использования при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы. Одновременно с этим корректировались некоторые требования к отбору прикладных задач.
(Ч 12
На третьем этапе (1997-1998 гг.) был проведен формирующий эксперимент, полученные теоретические и экспериментальные результаты были обобщены и сделаны выводы.
Научная новизна данного исследования состоит в следующем:
- сформулированы требования к прикладной задаче, методические требо
вания к цепочкам прикладных задач;
(і* - выделены основные положения методики использования прикладных
задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы;
- разработаны цепочки прикладных задач, способствующих более качест
венному усвоению курса алгебры основной школы.
Практическая значимость состоит в разработке конкретной методики использования прикладных задач в курсе алгебры основной школы. Результаты исследования могут быть использованы учителями математики, методистами институтов усовершенствования учителей, студентами математических факультетов институтов и университетов.
и)0
Апробация результатов по теме научного исследования осуществлялась в виде докладов на:
-методических семинарах аспирантов Поморского государственного университета имени М.В.Ломоносова (1993-1997 гг.);
-методических семинарах кафедры методики преподавания математики ПГУ им.М.В.Ломоносова (1994-1997 гг.);
- Герценовских чтениях (г. Санкт-Петербург) (19% г.);
(щ - Ломоносовских чтениях (г.Архангельск) (1996,1997,1998 гг.);
-семинарах учителей математики Архангельской области «Прикладная направленность школьного курса математики» (1997-1998гг.).
Основные положения и результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях:
l.O прикладной направленности изучения математики в профильных школах // Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. Тезисы докладов ХУ Всероссийского семинара преподавателей мате-
матики педвузов, посвященного 200-летию РГПУ им .А.И.Герцена. - С.Петербург: Образование, 1996.-СЛ21-122.
2.Коллективный способ обучения // Тезисы докладов Ломоносовских чтений. - Архангельск: Изд-во ПМПУ, 1996. - С.181-182.
З.Роль прикладной задачи в обучении математике // Математика, прикладная математика и проблемы их преподавания. Межвузовский сборник научных трудов. - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1996. - С.67-71.
4.К вопросу формирования умений учащихся при решении прикладных задач // Математическое образование: традиции и современность (средняя и высшая педагогическая школа). Тезисы докладов федеральной научно-практической конференции. - Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 1997. - С.58-59.
5.0 прикладной направленности обучения математике в средней школе // Тезисы докладов Ломоносовских чтений. - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1997. -С.228-229.
6.К вопросу о прикладной направленности обучения математике // Лично-стно-ориентированный подход при обучении математике (содержательный и процессуальный аспекты). Тезисы докладов Герценовских чтений. - С.Петербург: Образование, 1998. - С.70.
7.К вопросу методики обучения решению задач прикладного характера // Тезисы докладов Ломоносовских чтений. - Архангельск: Изд-во ПГУ, 1998. — С.270-271.
На защиту выносятся:
Методика использования прикладных задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы.
Построение цепочек прикладных задач, как эффективного средства более качественного усвоения учащимися математической теории в курсе алгебры основной школы.
Прикладная направленность обучения математике в школе
Проблема прикладной направленности школьного курса математики относится к числу тех, которые, вероятно, всегда будут существовать в мето дической науке. Это является отражением дуального характера математики, обусловленного особенностями ее исторического развития и значимостью этой науки для прогресса общества.
В течение длительного времени целевые установки в преподавании математики в нашей стране определялись «социальным заказом общества» без учета целей личностного развития конкретного ребенка. В основном они понимались как «а) сообщение (приобретение) определенной системы математических фактов и идей; б) научение (овладение) определенными математическими умениями и навыками; в) развитие математического мышления» [88]. Гумани-зация образования, его ориентация на формирование подрастающего человека как интеллектуальной личности требует гармоничного сочетания целей, которые преследует конкретный человек и общество в целом.
Цель, которую ставит общество перед школой - обеспечить такую математическую подготовку, при которой каждое новое поколение людей будет способно осуществлять на современном и перспективном уровне научно-технический прогресс во всех областях применимости математических знаний. Цель человека при получении образования состоит в раскрытии своего внутреннего потенциала, достижении высокого уровня духовного, нравственного и интеллектуального развития. Осуществление этой цели позволит человеку занять в обществе положение, дающее возможность максимально реализовать свои возможности и обеспечивающее одновременно адекватную оценку своего труда, уважение со стороны общества к его личности как к самостоятельной ценности. Таким образом, максимальное раскрытие творческих способностей является благом одновременно и для общества, и для человека. Гуманизация школьного математического образования предполагает, что общество берет обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям.
По словам академика А. Д.Александрова, цель среднего образования состоит в том, чтобы «дать человеку основные практически нужные знания и развить его личность, развить духовно - в умственном и нравственном отношении (последнее и есть самое главное)». Два параметра - эрудиция человека как совокупность конкретных знаний и его умственное развитие - характеризуют интеллектуальный уровень личности. Однако объем знаний, которые человек может усвоить в период школьного обучения, ограничен. Постоянное увеличение объема новой информации резко сокращает долю знаний, получаемых человеком в школе, по отношению к информации, необходимой ему для полноценной деятельности. В этих условиях на первый план выступает задача интеллектуального развития, включающего, в частности, способность чег .г ловека к приобретению новых знаний, к самостоятельному поиску и усвоению новой информации. В этой связи главная цель обучения математике, как нам представляется, состоит в развитии таких свойств интеллекта, как математическая интуиция, пространственное, логическое, наглядно-действенное (практическое) мышление, владение математическим языком, а также развитие средствами математики качеств личности, необходимых человеку в обществе: настойчивости, целеустремленности, самостоятельности, критичности мышления, потребности и способности непрерывно и целенаправленно расширять и углублять свои знания.
Реализация развивающего потенциала математики возможна лишь на базе изучения учебного материала. С учетом естественной необходимости приобретения учащимися определенного объема конкретных научных знаний сформулируем и другие цели обучения математике в школе:
- формирование правильных представлений о природе математики, о сущности и происхождении математических абстракций как идеализированных объектов окружающего мира, об использовании методов математики в качестве средств описания и исследования действительности и ее закономерностей;
- овладение комплексом математических знании и умений, необходимых: а) для повседневной жизни и профессиональной деятельности; б) для изучения на современном уровне предметов естественно-научных и гуманитарных циклов; в) для продолжения изучения математики в любой из форм системы непрерывного образования;
-формирование средствами математики научной картины мира.
Прикладные задачи: определение, классификация и функции
Как показал анализ имеющихся в литературе различных подходов к определению понятия «задача», некоторые авторы в трактовку этого понятия включают не только генетическое происхождение или составные части, но и форму представления условия задачи.
Так, в соответствии с подходом, предложенным А.М.Матюшкиным, Л.М.Фридманом, в основу понятия «задача» кладется ее знаковое выражение. Согласно А.М.Матюшкину, задача представляет собой «способ знакового представления задания одним человеком другому (или самому себе), включающий указания на цель и условия ее достижения» [ 106, с. 189].
Л.М.Фридман определяет задачу как «всякую знаковую модель проблемной ситуации». Он четко различает понятие задачи и проблемной ситуации по следующим признакам: 1) проблемная ситуация существует реально, вне зависимости от какого-то языка, а задача всегда связана с языком, на котором она излагается; 2) проблемная ситуация всегда богаче содержанием, чем задача, ибо задача - это модель ситуации, отражающая лишь некоторые ее стороны; 3) для любой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них свойств ситуации, так и языком, на котором задача выражена.
Согласно В.Н.Пушкину, задача - это результат мыслительной деятельности человека. Постановка формулировки задачи зависит от того, как была проанализирована проблемная ситуация.
Весьма обстоятельное исследование по анализу различных трактовок понятия «задача» было проведено Г.А.Баллом. Он отмечает, что понятие «задача» употребляется в психологической литературе для обозначения трех различных категорий, а именно: 1) как категория цели действия субъекта, требования, поставленного перед субъектом; 2) как категория ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) как категория словесной (или знаковой) формулировки этой ситуации.
Представление о задаче как о некоторой взаимодействующей системе имеется в работе Я.А.Пономарева. Он исследует задачу в чисто психологическом аспекте. Поэтому многие характерные черты этой системы, в частности, характеристика самой ситуации, входящей в систему, и характеристика взаимодействия задачи и решающего ее субъекта остаются за рамками его исследований.
Представление о задаче как об особой форме взаимодействия человека и проблемной ситуации достаточно ярко отражено в работах А.В.Брушлинского, который характеризует проблемную ситуацию тем, что при взаимодействии с ней человека возникают новые цели, а старые, прежние средства и способы деятельности недостаточны (хотя и необходимы) для их достижения. Задача, по его мнению, возникает в результате анализа проблемной ситуации (когда начинает работать мышление) и проявляется в предварительном, приближенном расчленении известного и искомого. В ходе осознания человеком задачи возникает детерминация мыслительной деятельности, благодаря которой условие и цель задачи выделяются более четко, обогащаются новыми данными, необходимыми для ее решения. Установление связей и соотношений между известными и искомыми дает возможность осуществить это решение.
В процессе обучения математике часто используется проблемный метод, который характеризуется тем, что знания в значительной своей части не передаются учащимся в готовом виде, а приобретаются ими в процессе самостоятельной познавательной деятельности. Выбор именно этого метода связан с тем, что формирование любых потребностей, в частности потребности в учебной деятельности, познавательных интересов, возможно лишь в процессе самой деятельности. Сколько бы ученик ни слышал о необходимости учебной деятельности, о его долге и обязанностях, о важности для него самого и его жизни этой деятельности, и как бы он хорошо не осознал справедливость этих слов, но если он не включился в эту деятельность, то никаких мотивов к учебной деятельности у него, как правило, не возникает, тем более не формируется устойчивый познавательный интерес к этой деятельности. Чтобы мотивы возникли, укрепились и развились, ученик должен начать действовать, и тогда, если сама эта деятельность вызовет у него интерес, если в процессе ее он будет испытывать яркие положительные эмоции удовлетворения, радости, азарта и др., то можно ожидать, что у него постепенно возникнут потребности в такой деятельности, а значит, и сформируется устойчивый познавательный интерес к ней. Как отмечает С.Л.Рубинштейн: «Наслаждение, которое доставляет нам процесс труда, - это в основном наслаждение, связанное с преодолением трудностей, т.е. с достижением частичных результатов, с приближением к результату, который является конечной целью деятельности, с движением по направлению к нему. Таким образом, чувства, связанные по преимуществу с ходом деятельности, хотя и отличны, но неотрывны от чувств, связанных с ее исходом...».
Если оставить в стороне многочисленные различия в деталях построения модели общего понятия задачи, присущие различным исследованиям, и постараться выявить общие, то проведенный обзор различных характеристик этого понятия свидетельствует о следующем основном положении: понятие «задача» является понятием, которое отражает определенное взаимоотношение субъекта с внешним миром (объектом).
Методика использования прикладных задач при изучении функциональной линии в курсе алгебры основной школы
Как правило, функции в школьном курсе математики задаются формулами. Поэтому следует говорить, что мы изучаем функции при всех значениях аргумента, при которых эта формула имеет смысл. Таким образом, естественная область определения функции (или область существования) определяется самим законом (формулой), задающим функцию.
Прикладные задачи на первом этапе их решения требуют составления математической формулы, а значит область определения функции задается условиями или смыслом задачи, т.е. областью определения функции может быть любая часть области существования функции, или они могут полностью совпадать.
Таким образом, можно выделить два типа прикладных задач при изучении данного понятия:
1). Найти область определения по формуле, являющейся моделью реального процесса, причем возможны две ситуации:
а) область определения формулы «совпадает» с ее содержательным смыслом;
б) область определения формулы не совпадает с ним.
2). Составить формулы, исходя из условий реальной действительности, и найти множество значений величин.
Проиллюстрируем сказанное примерами:
1. Для функции у = 2— область существования (- оо;-н»), а область ее оп ределения в задаче о пути при равноускоренном падении есть
Рассмотрим теперь прикладные задачи, в которых требуется сначала составить функцию, а затем уже найти ее область определения.
2. На складе было 500 тонн угля. Ежедневно стали увозить по 30 тонн уг ля. Выразите формулой зависимость количества угля у (в тоннах), находяще гося на складе, от времени х (в днях).Сколько угля будет на складе через 2, 4, 10 дней?
Решение: Если пройдет х дней, то количество у т угля на складе будет выражаться формулой у = 500 - 30 .
Однако следует отметить, что хотя с точки зрения математика переменная х может принимать любые значения; но в реальной ситуации задачи переменная х может принимать только целые значения от 0 до 16. Если х=16, то у=20. Значит, на семнадцатый день вывезти со склада 30 тонн угля не удастся, т.к. там всего осталось 20 тонн. Процесс вывоза угля придется прекратить, или изменить.
3. Турист проехал на автобусе 15 км от города Котласа до города Коряж мы, а затем продолжил движение из Коряжмы в том же направлении, но уже пешком, со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от города Котласа будет турист через 2 часа ходьбы, через 4 часа ходьбы, через 5 часов ходьбы?
Математической моделью ситуации будет функция = 15 + 4х, где х ч -время ходьбы, у км - расстояние от города Котласа до туриста. С помощью этой модели отвечаем на поставленные вопросы задачи.
В этой задаче независимая переменная х теоретически может принимать любое неотрицательное значение, но практически турист не может шагать с постоянной скоростью без сна и отдыха сколько угодно времени. Значит, в задаче необходимо сделать разумные ограничения на х, например, 0 х 6 (т.е. турист идет не более 6 часов). Естественно, что в этой задаче ограничения на х могут быть н другие, но в разумных пределах из реальной жизни, используя подготовленность и выносливость туриста.
