Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методология развивающего обучения в уравнениях и неравенствах с параметрами 20
1.1. Формирование теоретического типа мышления в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами 21
1.1.1. Типы мышления в содержательно-методических линиях школьного курса математики 27
1.1.2. Понятие общего решения и связанные с ним теоретические абстракции 37
1.1.3. Теоретические понятия в неравенствах с параметрами 49
1.2. Разработка общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами в процессе восхождения от абстрактного к конкретному 54
1.3. Анализ уравнений и неравенств с параметрами с позиции теории учебных задач 71
1.3.1. Учебно-практические задачи в уравнениях и неравенствах 79
1.3.2. Учебно-исследовательские задачи в алгебраических уравнениях и неравенствах 86
1.3.3. Учебно-исследовательские задачи в трансцендентных уравнениях и неравенствах 104
1.3.4. Учебно-теоретические задачи в уравнениях и неравенствах 123
Глава 2. Научно-методический анализ линии уравнений и неравенств с параметрами 140
2.1. Основные понятия уравнений и неравенств с параметрами 140
2.2. Отношение эквивалентности и методы классификации частных уравнений и неравенств 155
2.3. Контрольные и граничные значения параметра в уравнениях и неравенствах 163
2.4. Функционально графический метод решения уравнений и неравенств с параметрами
Глава 3. Технология поэтапного формирования методов решения уравнений и неравенств с параметрами 185
3.1. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения уравнений с параметрами 187
3.2. Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения неравенств с параметрами 214
3.3. Поэтапное формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами не выше n-й степени 226
3.4. Поэтапное формирование методов решения рациональных и иррациональных уравнений и неравенств с параметрами 255
3.5. Поэтапное формирование методов решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами 275
3.6. Поэтапное формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами и переменной под знаком модуля 302
Заключение 313
Литература 319
- Формирование теоретического типа мышления в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами
- Основные понятия уравнений и неравенств с параметрами
- Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения уравнений с параметрами
Введение к работе
Актуальность исследования. В дискуссиях по обновлению содержания школьного математического образования, связанных с дифференциацией образовательных учреждений, концепцией личностно-ориентированного образования, его гуманитарной направленностью, уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются как перспективная содержательно-методическая линия курса алгебры средней школы.
Нацеленные на формирование исследовательских способностей, эвристических приемов, элементов математического творчества учащихся задачи с параметрами в силу своего богатого потенциала общекультурного и развивающего характера, соответствия целям математического образования стали объектом пристального изучения многих математиков и методистов (М. И. Башмаков, В.В.Вавилов, М.А.Галицкий, А.М.Гольдман, В.Н.Голубев, Г.В.Дорофеев, Л.И.Звавич, В.К.Марков, И.И.Мельников, А.Г.Мордкович, П.С.Моденов, С.И.Новоселов, С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко, Н.Х.Розов, С.А.Тынянкин, И.Ф.Шарыгин и т. д.).
В оценках значимости для формирования математической культуры учащихся, их подготовленности к усвоению современных научных теорий уравнения и неравенства с параметрами характеризуются как миниатюрные исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и высокой техники исследования (М.И.Башмаков, В.К.Марков, С.А.Тынянкин), как наиболее сложный в логическом и техническом планах раздел элементарной математики (А.Г.Мордкович, Н.Х.Розов); решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов, востребованных в различных областях математики (Г.В.Дорофеев, С.И.Новоселов).
Также важным с позиции современных научных представлений является установленный в данном исследовании вывод: в уравнениях и неравенствах с параметрами развитые исследовательские способности, логическая культура, высокая техника вычислений вырабатываются у учащихся в рамках глобальной задачи -формирования теоретического типа мышления (В.В.Давыдов, С.Л.Рубинштейн). Кроме того, в уравнениях и неравенствах с параметрами получают свое логическое завершение основные содержательно-методические линии школьного курса математики - функциональная, уравнений и неравенств, алгоритмическая, тождественных преобразований.
В историко-генетическом плане возникновение задач с параметрами связано с потребностью в проведении научными работниками исследований процессов в зависимости от определенных параметров. Моделью будущего специалиста было обусловлено первоначальное включение в программы конкурсных испытаний ведущих вузов России уравнений и неравенств с параметрами как естественного обобщения уравнений и неравенств с переменной и предполагающих проведение исследований. Поскольку исследовательские способности востребованы во многих направлениях науки и отраслях производства, то в течение последних четырех десятилетий задачи с параметрами превратились в обязательный компонент итоговой аттестации выпускников школ, конкурсных испытаний.
Предлагаемые на вступительных испытаниях уравнения и неравенства с параметрами, обеспечивая конкурсный отбор, интенсивно усложняются, становятся уникальными по постановке, используемым методам исследования. В результате углубляется разрыв между уровнем реальной подготовки выпускников общеобразовательных учреждений и требованиями комплексной подготовки, сочетающей репродуктивные действия с эвристическими, творческими, необходимой для успешного выполнения конкурсных задач с параметрами. На преодоление такого разрыва направлены многочисленные пособия, руководства справочного и методического характера, разъясняющие способы решения таких заданий:
- в учебных пособиях М.И.Башмакова, В.В.Вавилова, В.М.Говорова, В.А.Гусева, Г.В.Дорофеева, В.Б.Лидского, И.И.Мельникова, П.С.Моденова, А.Г.Мордковича, Ю.В.Нестеренко, С.Н.Олехника, П.И.Пасиченко, А.И.Пинского, М.К.Потапова, Н.Х.Розова, М.И.Сканави, А.Г.Цыпкина уравнения и неравенства с параметрами рассматриваются в рамках большого спектра конкурсных заданий;
- пособия В.В.Амелькина, В.Л.Рабцевича, П.И.Горнштейна, В.Б.Полонского, М.С.Якира, П.Д.Кухарчика, В.С.Федосенко, А.И.Азарова, В.К.Маркова, Е.М.Родионова, С.А.Тьшянкина предусматривают определенную классификацию и решение только задач с параметрами, связанных с конкурсными испытаниями;
- в учебных пособиях В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордковича, Е.Е.Вересовой, Н.С.Денисовой, Т.Н.Поляковой для студентов, пособии Г.АЛстребинецкого для учителей вводятся начальные понятия уравнений и неравенств с параметрами, изучаются методы решения конкретных задач с параметрами;
- в пособиях для учащихся Н.Я.Виленкина и др., М.Л.Галицкого, А.М.Гольдмана, В.Н.Голубева, Л.И.Звавича, И.Ф.Шарыгина задачи с параметрами рассматриваются в рамках углубленного изучения школьного курса математики, факультативного курса;
- в многочисленных методических пособиях для учащихся, студентов, учителей исследуются различные аспекты изучения рассматриваемого класса задач.
Таким образом, в учебных пособиях, справочно-методической литературе, обширной серии публикаций выделяются две тенденции непрерывного развития содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами, направленных на совершенствование математической культуры учащихся как в процессе непосредственно школьного математического образования, так и на пути их подготовки к конкурсным испытаниям в высшее учебное заведение:
1. Разработка конкурсных задач с параметрами, новых и по содержанию, и попостановке задач, и по средствам логических рассуждений, используемых в процессеих решения. Усложнение задач конкурсного характера вне реальных математических моделей привело к состоянию, которое Н.Х.Розов оценивает как «гипертрофированное увлечение формально-техническими процедурами иискусственными конструкциями». Такая тенденция усложнения конкурсных задач, вызывающих, по замечанию Г.В.Дорофеева, даже у учителей математики как минимум робость, разделяется далеко не всеми учеными:
- в спектре разрабатываемых вузами способов решения задач с параметрами отсутствуют явление переноса; воспроизводимость как процесса, так и результата;
- в процессе решения объектом внимания учащихся являются вычислительные процедуры, а не мыслительная деятельность, посредством которой осуществляется отбор и использование математических фактов;
- «высокие» математические действия носят сугубо конкретный характер, неспособствуют формированию обобщенного, понятийного мышления.
2. Создание органически вписанной в школьный курс математики методическойсистемы - «линии уравнений и неравенств с параметрами» (А.Г.Мордкович),включающей отбор содержания задач с параметрами, обеспечивающей развитие конкретных способностей учащихся, разработку технологии обучения, направленной на формирование теоретического типа мышления. Указанная система, сущность содержания которой составляет развитие учащихся установлением общих закономерностей исследования уравнений и неравенств с одной и несколькими переменными, в своем развитии из сферы теоретических дискуссий перешла в сферу научно-методических разработок ученых, практику работы каждого учителя математики:
- уравнения и неравенства не выше первой и второй степеней как с одним, так и с двумя параметрами составляют обширный класс задач «Сборника заданий для проведения письменного экзамена по математике в девятых классах общеобразовательных школ России»;
- если в учебниках «Алгебра и начала анализа» А.Н.Колмогорова и др., М.И.Башмакова, Ш.А.Алимова, Ю.М.Колягина внимание к уравнениям и неравенствам с параметрами весьма незначительно, то в учебниках нового поколения (А.Г.Мордкович) методический принцип ориентации в каждом году обучения «на конкретную модель реальной действительности» получает свое завершение в исследовании уравнений и неравенств с параметрами для соответствующей функции, обобщающем решении таких задач в специальных разделах;
- уравнения и неравенства с параметрами являются обязательным компонентом «Дополнительных глав к школьному учебнику 8 класса», «Дополнительных глав к школьному учебнику 9 класса» под редакцией Г.В.Дорофеева, факультативных курсов по математике для 10, 11 классов В.Н.Голубева, И.Ф.Шарыгина, учебного пособия для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики «Алгебра и математический анализ для 11 класса» Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда и соответствующего ему пособия для учителя М.А.Галицкого и др.;
- проектом «Стандарта среднего математического образования», разработанноголабораторией математического образования Института общеобразовательной школыпредусмотрено изучение программного материала, дающего возможность усвоения учащимися основной школы решения уравнений с параметрами, сводящихся к линейным и квадратным, а в старшей школе - к усвоению общей схемы решенияуравнений, неравенств, систем с параметрами. Включение в школьный курс математики уравнений и неравенств с параметрами через обязательные результаты обучения в виде заданий итоговой аттестации учащихся неполной и полной средней школы, требование проекта стандарта среднего математического образования, через учебные и методические пособия для учащихся породило в методике обучения математики, практике работы учителей математики немало проблем:
- в отсутствие системного изложения данного класса задач в учебниках алгебры и начал анализа планируемые результаты обучения не достигаются;
- в условиях не разработанности содержания уравнений и неравенств с параметрами не установлены их место в структуре математического знания, взаимосвязь с основными линиями школьного курса алгебры;
- учителя математики в условиях реализуемого справочно-методическими пособиями информационно-объяснительного подхода к решению задач с параметрами сами не владеют общими методами решения уравнений и неравенств, указанными в стандарте и т. д.
Анализ становления и развертывания выделенных тенденций показывает, что при всех различиях целей включения задач с параметрами, уровня их сложности, используемых аналитических и графических способов решения, в пособиях, научно-методических работах имеется ряд общих характеристик, определяющих сложившийся уровень развития содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами.
1. В оценках ведущими учеными развивающего потенциала уравнений и неравенств с параметрами отмечаются большие возможности задач в развитии исследовательских способностей учащихся, формировании их логической культуры, проектировании эвристических способов учебной деятельности, однако не устанавливается тип мышления, в рамках которого осуществляется подлинное формирование отмеченных способностей.
2. По всем разделам школьного курса алгебры разработан широкий спектр уравнений, неравенств, их систем с параметрами как учебного, так и конкурсного характера, связанных с разнообразными способами мыслительной деятельности учащихся. Вместе с тем неверная трактовка задач с параметрами значительной частью авторов, опора на интуитивную систему понятий, весьма неполную и противоречивую, существенно ограничивают набор задач с параметрами, приводят к ориентации на частные способы решения, вне общих закономерностей. Как правило, в пособиях, публикациях предполагается, что в ходе решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами у учащихся будет сформирован метод решения задач определенного класса, то есть восхождение от конкретного к абстрактному рассматривается как закономерный путь развития познания.
3. Если в графических методах решения, восходящих к работам Г. В. Дорофеева, А. Г. Мордковича, С. И. Новоселова, уравнения с параметром исследуется как бесконечные совокупности частных уравнений с соответствующими графиками, то в отсутствие аналитических способов классификации уравнение (неравенство) с параметром рассматривается чаще всего как отдельный неделимый объект изучения, в исследовании которого акцент делается не столько на методы классификации, неизвестные в общем случае, сколько на поиск тех эвристических действий, которые составляют сущность данного конкретного примера.
4. Как правило, в научно-методических работах каждое уравнение или неравенство с параметром рассматривается обособленно, лишь в рамках сравнения с другими изолированными примерами, вне понятийной формы знания, формируя эмпирический тип мышления. Фактически в процессе исследования конкретных примеров с использованием форм эвристической, творческой деятельности на обширный класс задач с параметрами осуществлен перенос эмпирического типа мышления, реализуемого линией уравнений и неравенств.
Используемый в литературе экстенсивный подход привел к увеличению примеров, имеющих самостоятельную ценность, но затрудняющих ориентацию учащихся в обширном спектре нетривиальных параметрических задач. При таком подходе переориентация методической системы на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции, как основной задаче перестройки школьного математического образования (Г. В. Дорофеев) не происходит.
Развивающая функция обучения в содержании «линии параметров» не получила полного осмысления и соответствующей реализации по причинам, характеризующим технологический подход к проектированию и конструированию учебной деятельности. - не выделена главная цель - формирование теоретического типа мышления установлением общих способов предметных действий, становящихся в процессе интериоризации способами мышления учащихся, структурированная в каждом классе уравнений и неравенств с параметрами в виде системы конкретных промежуточных целей, имеющих диагностический характер;
- не обеспечена воспроизводим ость учебного процесса как последовательной смены материализованных действий учащихся по исследованию конкретных уравнений и неравенств с параметрами понятийной внешней речью по составлению ориентировочной основы действий и переходом к свернутым формам внутренней речи;
- не обеспечена воспроизводим ость результата в виде умственной формы полной ориентировочной основы деятельности по исследованию уравнений и неравенств с параметрами каждого вида школьного курса алгебры.
Таким образом, актуальность диссертационного исследования определяется тем, что в отсутствие методологической основы не установлена иерархия целей внедрения уравнений и неравенств с параметрами в содержание курса математики средней школы, не определено их место в структуре математического знания, неверная трактовка задач с параметрами и связанной с ними системы понятий не позволяет установить общие закономерности в способах их решения, вместо стройной системы методов решения каждого класса уравнений и неравенств с параметрами справочные и методические пособия предлагают множество способов решения конкретных примеров, существующая система задач с параметрами не полностью реализует их развивающий потенциал.
Даже с учетом сложившейся тенденции расширения спектра уравнений и неравенств с параметрами, включаемых в содержание школьного курса математики в качестве обязательных компонентов усвоения учащимися, рассматриваемый класс задач пока не составляет отдельной содержательно-методической линии. Ее развертывание как важной методической проблемы не осуществлено, в основном, по двум причинам:
1) не установлена система методологических положений, позволяющих в полной мере оценить развивающий характер уравнений и неравенств, направленных на формирование теоретического типа мышления;
и
2) отсутствует система понятий, в терминах которой может быть реализована развивающая функция задач с параметрами в виде общих методов решения, сочетающих исполнительские действия алгоритмического характера с эвристическими, творческими.
Проблема развертывания содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, интегрирующей основные линии курса алгебры средней школы, реализующей методические принципы теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, направленной на формирование теоретического типа мышления и выстроенной в соответствии с теорией поэтапного формирования П. Я. Гальперина и Н. Ф. Талызиной, определила тему диссертационного исследования «Технология развивающего обучения в курсе алгебры средней школы».
Цель исследования - на методологической основе деятельностной теории учения разработать теоретическое обоснование, систему математических понятий и методов, технологию обучения учащихся решению уравнений и неравенств с параметрами.
Объект исследования - содержание математического образования в общеобразовательных учебных заведениях.
Предмет исследования - содержательно-методическая линия уравнений и неравенств с параметрами как методическая система, интегрирующая основные линии школьного курса математики (функциональную, уравнений и неравенств, алгоритмическую, тождественных преобразований, числовую).
Гипотеза исследования включает в себя следующий комплекс предположений. Включение уравнений и неравенств с параметрами и становление методической системы с позиции целей и содержания математического образования будут обоснованы, если:
- в качестве основного научного метода исследования системы выступит теория развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова;
- системное развитие исследовательских способностей, проектирование эвристических способов решения задач с параметрами осуществится в рамках формирования теоретического типа мьппления;
- в процессе анализа содержания задач с параметрами произойдет переход от интуитивных понятий и основанных на них эмпирических способов решения к единой системе понятий, обосновывающей используемые средства классификации, общие методы решения уравнений и неравенств данного вида;
— в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрамиполучат свое логическое завершение функциональная линия, также направленная натеоретический тип мышления, алгоритмическая линия - введением в учебнуюдеятельность алгоритмических схем с определенными действиями продуктивного характера, линии уравнений и неравенств, тождественных преобразований;
- организация учебной деятельности учащихся будет осуществляться в рамках технологии поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина,Н.Ф.Талызиной, формирования теоретического типа мьппления посредством построения учащимися логических структур общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами.
Проблема, цель, предмет и гипотеза диссертационного исследования определили задачи исследования:
1. Проанализировав учебно-методическую литературу и другие публикации, направленные на исследование уравнений и неравенств с параметрами, оценить значимость задач с параметрами в реализации целей математического образования, становлении математической культуры учащихся, установить общие тенденции их развития, используемые в процессе решения способы учебной деятельности.
2. Развертывание содержания и методов исследования уравнений и неравенств с параметрами осуществить в учебной деятельности, главным содержанием которой является формирование теоретического типа мьппления.
3. Разработку исследования содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами провести на базе методологических принципов теории развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова - восхождения от абстрактного к конкретному, обобщения и абстрагирования существенных отношений, их моделирования внутри конкретной целостности, теории учебных задач.
4. Для реализации положений теории развивающего обучения в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами ввести систему понятий, математических утверждений, фактов, определяемую фундаментальными математическими понятиями и методами. 5. На основе введенной системы понятий восхождением от абстрактного к конкретному установить общую систему учебных действий в решении произвольных уравнений и неравенств с параметрами, в теории учебных задач - системы учебных действий по решению уравнений и неравенств школьного курса математики.
6. Главная же задача состоит в том, чтобы «принципы диалектического мьппления преломить и выразить в технологии развертывания учебного материала, в способах формирования понятий у школьников, в средствах организации их собственной мыслительной деятельности». (В.В.Давыдов)
Методологической основой исследования являются:
- психолого-педагогические аспекты философских понятий деятельности (ее общей структуры, психологического строения, соотношения коллективной и индивидуальной деятельности), сознания, категорий абстрактного и конкретного, явления и сущности, принципов эмпирического и теоретического;
- современные психолого-педагогические концепции учебной деятельности, личностно-ориентированного обучения, технологического подхода к обучению;
- ведущие принципы современной системы образования, в том числе гуманизации, гуманитаризации, учета уровня развития и индивидуально-психологических особенностей личности.
Теоретические основы исследования составляют:
- психолого-педагогическая теория о связи психического развития учащихся с их обучением и воспитанием (П.П.Блонской, Л.С.Выготский, П.Я.Гальперин, В.В.Давыдов, А.В.Запорожец, Г.С.Костюк, А.Н.Леонтьев, А.Р.Лурия, А.И.Мещеряков, Н.А.Менчинская, Ж.Пиаже, С.Л.Рубинштейн, Д.Б.Эльконин);
- современные теории содержания образования (Ю.К.Бабанский, В.П.Беспалько, Б.С.Гершунский, Л.Б.Ительсон);
- теория развивающего обучения (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов, А.Н.Леонтьев, Л.В.Занков, А.В.Запорожец, А.Р.Лурия, В.В.Репкин, Н.В.Репкина, С.Л.Рубинштейн, Г.А.Цукерман, Д.Б.Эльконин, И.С.Якиманская, Е.Н.Кабанова-Меллер);
- теория поэтапного формирования умственных действий (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина, Н.С.Пантина, И.А.Володарская, М.Я.Микулинская, И.П.Калошина, Л.И.Айдарова); - концептуальные положения методики обучения математике (Н.Я.Виленкин, В.А.Гусев, М.И.Башмаков, Г.В.Дорофеев, Ю.М.Колягин, Г.Л.Луканкин, А.Г.Мордкович, Г.И.Саранцев, Л.М.Фридман);
- концепции системного (В.С.Ильин, В.В.Краевский, А.Н.Леонтьев, Б.Ф.Ломов), деятельностного (А.Н.Леонтьев, А.К.Маркова, А.В.Петровский, Н.Ф.Талызина, Г.И.Щукина), личностного (В.А.Сластенин, И.С.Якиманская),
- технологического (В.П.Беспалько, В.М.Монахов, Г.К.Селевко) подходов;
- логико-психологический анализ школьных учебных задач (Г.А.Балл, В.В.Давыдов, Ю.М.Колягин, В.В.Репкин, Л.М.Фридман);
- концептуальные положения о содержании, методах исследования уравнений и неравенств с параметрами (М.И.Башмаков, В.В.Вавилов, М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Г.В.Дорофеев, Л.И.Звавич, И.И.Мельников, А.Г.Мордкович, П.С.Моденов, С.И.Новоселов, С.Н.Олехник, М.К.Потапов, Н.Х.Розов, И.Ф.Шарыгин).
Для реализации целей и задач исследования применялись как теоретические методы (теоретический анализ и синтез, содержательное обобщение, восхождение от абстрактного к конкретному, классификация, аналогия, моделирование, содержательный и логико-исторический анализ научно-методической литературы по проблеме исследования, научно-методический анализ используемой в исследованиях системы понятий и методов), так и эмпирические (констатирующий и формирующий эксперименты при обучении решению задач с параметрами учащихся общеобразовательных учреждений, студентов педвузов, учителей математики, наблюдение, тестирование, метод экспертных оценок).
Основные этапы исследования. Исследование проводилось с 1993 года по 2000 год в несколько этапов:
- I этап (1993-1995гг.) - организация поискового эксперимента в совокупности фактов и методических приемов исследуемой области, разработка понятийной базы линии уравнений и неравенств, доказательство классификационных теорем, проектирование задач с заранее заданными свойствами;
- II этап (1995-1998гг.) - создание методологической основы содержательно методической линии уравнений и неравенств с параметрами - поиск генетически исходной содержательной абстракции и ее развертывание в процессе восхождения от абстрактного к конкретному, выделение состава учебной деятельности при исследовании уравнений и неравенств с позиции теории учебных задач;
— III этап (1998-2000гг) - проектирование и разработка технологии развивающего обучения - создание в рамках теории поэтапного формирования умственных действий П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной условий для первоначального усвоения базовых понятий предметной области исследования и последующее самостоятельное построение учащимися логической структуры, полной ориентировочной основы деятельности при решении уравнений и неравенств с параметрами.
Научная новизна исследования определяется следующим.
1. В целях реализации требований стандарта среднего математического образования, формирования у учащихся теоретического типа мышления осуществлено значительное расширение содержательно-методической линии уравнений и неравенств школьного курса алгебры в тесной связи с функциональной, алгоритмической линиями, линией тождественных преобразований.
2. Восхождением от абстрактного к конкретному, обобщением и абстрагированием существенных отношений, их моделированием внутри конкретной целостности в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами реализованы методологические принципы теории развивающего обучения Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова, направленные на установление учащимися понятийной формы общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида, развитие адекватных способов учебной деятельности.
3. Методологические положения деятельностной теории учения П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной выступают основой проектирования и разработки технологии поэтапного формирования методов решения уравнений и неравенств с параметрами, обеспечивающей самостоятельное выделение учащимися базовых понятий в конкретных видах уравнений и неравенств, овладение ими способами классификации, разработку и реализацию методов решения стандартных уравнений и неравенств.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в нем: - обоснованы сущность понятий уравнений и неравенств с параметрами, их решения, определено место и взаимосвязь «линии параметров» в общей структуре содержательно-методических линий школьного курса математики;
- установлены понятия общих решений, типов частных уравнений и неравенств, граничных значений параметров, позволяющие выделить систему учебных действий, являющихся общими для всех уравнений и неравенств с параметрами;
- выделены структуры учебных задач общего, данного и конкретного вида в качестве закономерных этапов формирования внутреннего плана учебной деятельности учащихся при решении конкретных уравнений и неравенств с параметрами;
- определен операционный состав учебных действий общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами школьного типа (не выше n-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля) как учебных задач развивающего обучения;
- спроектирована технология поэтапного формирования общих методов решения всех видов уравнений и неравенств с параметрами на пути от материализованных действий через построение логических структур и этапы громкой речи к свернутым формам внутреннего плана;
- разработанная методическая система рассматривается как модель теории развивающего обучения, подтверждающая универсальность ее концептуальных положений.
Практическая значимость исследования:
- разработанная и апробированная целостная методическая система обеспечивает не только усвоение учащимися общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами в соответствии с нормативными требованиями, проектом стандарта, но и формирует у них теоретический тип мышления;
- установленные в исследовании общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами, конкретные примеры, составленные для усвоения методов, подготовлены для их включения в учебные и методические пособия, практику работы учителей математики;
- реализация теории развивающего обучения, технологии поэтапного формирования действий составляет основу для проведения спецкурсов в педагогических вузах, пример для использования современных психолого-педагогических теорий и в других областях школьного образования. Достоверность полученных результатов обоснована научными деятельностными теориями, используемыми в качестве методов исследования и обучения учащихся, методическим и математическим аппаратом, адекватным целям, предмету и задачам исследования, многолетней практикой использования разработанной технологии в учебных занятиях с учащимися, студентами, учителями математики.
На защиту выносятся:
1. Концепция содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, интегрирующей в себе основные линии школьного курса математики, включающая развернутое обоснование учебной деятельности, направленной на формирование теоретического типа мышления, разработку понятийной базы в единстве с фундаментальными математическими понятиями, создание технологии развивающего обучения на полной ориентировочной основе умственных действий, логической структуре обобщенных методов решения уравнений и неравенств.
2. Теоретическое обоснование содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами, главным системообразующим методом которого является теория развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давьщова, включающее определение и конкретизацию основной цели исследуемой линии, двухступенчатую структуру восхождения от исходной абстракции к конкретному, систему учебных действий методов решения с соответствующим операционным составом, рассматриваемую в контексте теории учебных задач - от учебно-практических до учебно-теоретических.
3. Математическое обеспечение теоретических исследований содержания и методов решения уравнений и неравенств с параметрами, охватывающее систему понятий общих решений, отношений эквивалентности, типов частных уравнений и неравенств, областей однотипности, контрольных и граничных значений параметров, в терминах которой осуществляется исследование класса задач, создается обобщенная громкоречевая форма учебных действий.
4. Технология поэтапного формирования умственной формы учебных действий общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами данного вида (не выше п-й степени, рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, с переменной под знаком модуля), обеспечивающая выделение системы диагностируемых промежуточных целей, воспроизводимость учебного процесса последовательной сменой материализованных действий внешнеречевыми и переходом к свернутой внутренней речи, воспроизводимость результата в виде умственной формы полной ориентировочной основы деятельности.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Результаты исследования опубликованы в 35 работах, в том числе монографиях «Элементы теории и общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами», получившей гриф УМО по педобразованию РФ, и «Модель развивающего обучения в курсе алгебры средней школы», пособии для учителя «Методы решения уравнений и неравенств с параметрами», учебно-методических пособиях для учащихся, статьях в журнале «Математика в школе», межвузовских сборниках, материалах международных, федеральных и региональных конференций, Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов под руководством профессора А.Г.Мордковича.
Апробация исследований проведена на международной конференции в Минске (1998г.), международной научно-практической конференции в Самаре (1999г.), федеральной научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (1997г.) Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов в Санкт-Петербурге (1996г.), Новгороде (1997г.), Калуге (1998г.), Брянске (1999г.), Герценовских чтениях в Санкт-Петербурге (1996, 1998, 1999г.)
По материалам исследования с 1993 года автор проводит учебные занятия с учащимися гимназии № 1 Брянска, Брянского городского лицея, средних школ № 39, 51, 60, 62 Брянска, нескольких районных центров, читает лекции учителям математики Брянска и области в рамках городского методического семинара и БИПКРО, разрабатывает обязательные и специальные курсы студентам БГПУ, руководит выполнением выпускных работ.
Структура диссертации.
Диссертационное исследование состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, 335 страниц, 25 таблиц.
Во введении обоснованы актуальность и степень разработанности темы исследования, раскрывается его проблема, цель, объект и предмет исследования, рабочая гипотеза, задачи, этапы работы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, основные положения выносимые на защиту. В первой главе «Методология развивающего обучения в уравнениях и неравенствах с параметрами» на основе теории развивающего обучения Д.Б.Эльконина и В.В.Давыдова исследуются учебная деятельность по проектированию общих методов решения произвольных уравнений и неравенств с параметрами, уравнений и неравенств данного вида. В теории учебных задач устанавливаются последовательность учебных действий методов решения, их операционный состав, психологическая структура деятельности.
Во второй главе «Научно-методический анализ линии уравнений и неравенств с параметрами» дается математическое обоснование используемых в первой главе понятий и классификационных результатов - во взаимной связи с фундаментальными понятиями школьного курса математики и как их естественное углубление. В терминах введенной системы понятий в первой главе выделяются последовательности аналитических, графических учебных действий общих методов решения и в третьей главе у учащихся в обобщенном виде формируется внутренний план деятельности.
В третьей главе «Технология поэтапного формирования методов решения уравнений и неравенств с параметрами» разрабатывается технология обучения учащихся общим методам решения уравнений и неравенств с параметрами по третьему типу учения в классификации П. Я. Гальперина, Н. Ф. Талызиной. В структуре технологических модулей организуется учебный процесс по формированию умственного плана полной ориентировочной основы деятельности через исследование конкретных примеров, принимаемых учащимися как учебная задача, построение логической структуры метода, поэтапный переход от материализованных действий к понятийной внешней речи и затем к свернутым формам внутренней речи.
В заключении подводятся итоги исследования поставленных задач, подтверждается гипотеза исследования, достигается цель исследования.
Формирование теоретического типа мышления в содержательно-методической линии уравнений и неравенств с параметрами
Задачи с параметрами, как самостоятельный объект изучения, возникли из практики конкурсных экзаменов. Анализируя причины их возникновения, В.К.Марков выделяет функцию контроля готовности будущего научного работника к научным исследованиям: "Теоретическое изучение физических процессов часто приводит к более или менее сложным уравнениям и неравенствам, содержащим параметры, и необходимой частью решения таких задач является исследование характера процесса в зависимости от значений параметров".
Характеризуя задачи с параметрами как "миниатюрные исследовательские задачи", требующие обширных знаний из различных разделов школьной программы, В.К.Марков отмечает, что "решение таких задач требует от абитуриентов высокой логической культуры и высокой техники исследования".2
Г.В.Дорофеев обращает внимание на необходимость разработки методов обучения учащихся решению задач с параметрами и указьгоает, что "решение уравнений и неравенств с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале"/
С.А.Тынянкин также подчеркивает, что "задачи с параметрами являются наиболее сложным в логическом и техническом планах разделом элементарной математики ... . В очень сильном смысле эти задачи есть индикатор общего владения абитуриентом техникой и логикой математики".
А.Г.Мордкович оценивает задачи с параметрами как один из труднейших разделов школьного курса математики, в котором, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости.
В справочных пособиях, посвященных уравнениям и неравенствам с параметрами, в большей степени подчеркивается их диагностическая и прогностическая ценность -"умение абитуриентов решать такие задачи ... безусловно, означает, что этот молодой человек экзамен по математике сдаст на высокий балл и в случае поступления в вуз сможет обучаться в нем без проблем".
В исследованиях содержания и методов решения задач с параметрами авторы выделяют ряд требований к математической подготовке учащихся:
— обширность знаний из различных разделов школьной математики (свойств элементарных футасций, способов преобразований уравнений и неравенств, анализ и построение различных графиков и т.д.), применяемых как в типовых, так и нестандартных условиях;
- исследовательские умения, связанные с выделением областей однотипности и использованием различных методов решения уравнения или неравенства на выделенных областях;
— развитая логическая культура, позволяющая в умственном плане проводить анализ задачи, осуществлять планирование учебных действий с использованием рефлексии, синтезировать результаты исследований в виде обобщенного способа деятельности;
- высокая техника исследования, сочетающая мастерство исполнительских действий алгоритмического характера с определенными навыками эвристической и творческой деятельности.
Перечень требований к учащимся, наиболее адекватно моделирующих способы умственной деятельности, используемые в современных математических теориях, не следует понимать формально. Суть в том, что в процессе целенаправленного обучения решению уравнений и неравенств с параметрами осуществляется формирование и исследовательских умений, и логической культуры, и продуктивных способов умственной деятельности.
Другим, более важным, аспектом указанных требований является положение о том, что рассматриваемые в единстве комплексные математические знания и систематизирующие их исследовательские действия определяют и могут быть
реализованы только в условиях типа мьппления, который называется теоретическим (В.В.Давыдов), научным, отвлеченным (С.Л.Рубинштейн).
Согласно В.В.Давыдову "дальнейшее совершенствование образования, приведение его в соответствие с научно-техническими достижениями века предполагает изменение типа мьппления, проектируемого системой обучения. Новой "моделью" должно стать диалектическое, теоретическое мышление".
Таким образом, уравнения и неравенства с параметрами через систему формируемых ими способов умственных действий оказываются связанными с теоретическим типом мьппления. С позиций теории развивающего обучения В.В.Давьщова и Д.Б.Эльконина поставим задачу исследования соотношения теоретического типа мьппления и общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами. В решении поставленной задачи выделим следующие ее аспекты:
- изучение типов мьппления, формируемых в различных разделах школьного курса математики и, в частности, в процессе реализации линии уравнений и неравенств с переменной;
- исследование способов умственной деятельности, формируемых в справочной литературе по уравнениям и неравенствам с параметрами;
- разработку общих методов решения уравнений и неравенств с параметрами на методологической основе теории развивающего обучения.
В педагогической психологии выделены два типа мьппления - эмпирический и теоретический, при этом "особенности процесса обобщения в единстве с процессами абстрагирования и образования понятий характеризуют тип всей мыслительной деятельности человека".
Основные понятия уравнений и неравенств с параметрами
В определении предмета исследования следующее описание задач с параметрами является характерным для многих справочных и учебно-методических пособий: «Под
задачами с параметрами понимаются задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условия величин, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными; эти величины называются параметрами и могут принимать, вообще говоря, произвольные значения...»
Аналогичный взгляд на параметры изложен в книге П.И.Горнштейна, В.Б.Полонского, М.И.Якира «Задачи с параметрами»: «...параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет общаться с параметром как с числом, а во-вторых - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью.»2
Интуитивное описание уравнений и неравенств с параметрами используется как базовое в учебно—методической литературе. Так, Г.А.Ястребинецкий в пособии «Уравнения и неравенства, содержащие параметры» дает следующую формулировку: переменные а, Ь, с,..., к, которые при решении уравнения f(a,b,c,...,k,x) = p(a,b,c,...,k,x) считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры. В таком описании форма обозначения символа является отличительным признаком переменной или параметра.
Формальное разделение параметров и переменной из справочных пособий перекочевало в многочисленные пособия для учащихся, методические приемы решения уравнений и неравенств в которых базируются на понятиях вида: если в уравнении или неравенстве некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим4
Продолжением указанной линии является включение Ю.Н.Макарычевым и Н.Г.Миндюк в учебное пособие «Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса» отдельной главы «Уравнения с параметрами», в которой понятие уравнения с параметром вводится на примерах, описательно и с формальных позиций: «В уравнении Зх = 108-и буквой х обозначено неизвестное число, а буква п выполняет роль известного числа (хотя об п мы можем сказать лишь то, что п -натуральное число). Букву п в полученном уравнении называют параметром, а само уравнение - уравнением с параметром.»
Разработка методов решения уравнений с параметрами на базе их интуитивного описания имеет ряд недостатков, не позволяющих в должной мере раскрыть развивающий потенциал таких задач. Во-первых, в отсутствие точных определений невозможно проведение доказательных исследований, установление взаимных связей задач с параметрами с фундаментальными математическими понятиями и методами. Во-вторых, закрепление за параметрами одних символов, а за переменной - других символов приводит к тому, что несущественные признаки понятия берутся в качестве характеристических и вместо выявления сущности уравнений с параметрами, общих методов их решения каждое уравнение превращается в препятствие, вызывающее по справедливому замечанию Г.В.Дорофеева даже у учителей как минимум робость. В-третьих, ввиду неразработанности понятийной базы поиск общих методов исследования принципиально невозможен. Об этом свидетельствует практика конкурсных испытаний, где весьма заметна бедность многих заданий, составленных с учетом лишь частных закономерностей, подогнанных под конкретный методический прием.
Принципиально иной взгляд на понятия уравнений и неравенств с параметрами предложен А.Г.Мордковичем. Согласно А.Г.Мордковичу уравнение F(a, х) = 0 с двумя переменными а и х называется уравнением с параметром а и переменной х если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множества решить уравнение относительно х. В данном понятии особенно важными являются следующие факты:
- это уравнение с двумя переменными;
- поставлена задача поиска решений уравнения для каждого значения параметра а. В соответствии с поставленной задачей в качестве параметра может выступать любая из переменных, независимо от их обозначения.
Ориентировочная основа учебной деятельности в процессе решения уравнений с параметрами
Анализу уравнений и неравенств с параметрами, изучению методов их решения посвящена обширная учебно-методическая литература [5], [138], [181], [208], [220] многочисленные статьи в периодической печати [93], [119], [121], [162], [216]. В каждой из работ авторы предлагают объединенные по определенному признаку примеры конкретных уравнений, неравенств с параметрами вместе с разбором методов их решения. С учетом бесконечного многообразия примеров основная цель работ - усвоение методов решения уравнений и неравенств предлагаемых видов. Явно формулируемая или лишь интуитивно понимаемая указанная цель может быть достигнута при соблюдении следующих условий:
а) для каждого уравнения и неравенства с параметром определен соответствующий класс задач с их четко очерченными характеристиками;
б) метод решения уравнения (неравенства) основан на общих закономерностях исследования задач данного класса с учетом индивидуальных, специфических свойств;
в) в процессе исследования уравнения (неравенства) либо в ходе последующего анализа выполненных учебных действий обеспечен перенос метода решения на другие задачи данного класса, то есть учебные действия метода обобщены, носят понятийную форму. Принципиальными моментами усвоения метода решения уравнений и неравенств определенного класса является понимание авторами категорий конкретного и абстрактного и обусловленный им тип мьппления. В работах А.Г.Мордковича [175-177], Г.В.Дорофеева [96], [98], [101], [102], В.В.Вавилова, И.И.Мельникова, С.Н.Олехника [14] прослеживаются попытки реализации теоретического типа мьппления в виде общих методов рассуждений, исследовании уравнений и неравенств с параметрами внутри конкретной целостности, использовании восхождения от абстрактного к конкретному. Однако господствующий в учебно-методических работах эмпирический тип мьппления связывает понятие конкретного с видом отдельных чувственно воспринимаемых уравнений и неравенств наряду с другими, также обособленно рассматриваемыми уравнениями и неравенствами. Абстрагированием сходных, формально общих свойств уравнений и неравенств с параметром выделяются их определенные классы. Естественным результатом эмпирического подхода является попытка установления метода решения задач выделенного класса на примере нескольких его представителей, то есть рассмотрение восхождения от конкретного к абстрактному в качестве закономерного пути познания. "Но отдельное явление, - подчеркивает А.Н.Шимина, - не может быть понято само из себя, а только будучи соотнесенным со всей целостной конкретностью, внутри которой оно существует, составляя необходимое звено ее функционирования".
Невозможность отражения в формах созерцания конкретной целостности в классе уравнений и неравенств с параметрами проявилась в том, что несмотря на многочисленные примеры с оригинальными условиями и блестящими эвристическими способами их решения система понятий оказалась неразвитой, осталась на интуитивном уровне. В отсутствие понятийных средств эмпирически установленные учебные действия по исследованию уравнения не поддаются обобщению и, как следствие, их перенос на другие уравнения оказывается ограниченным.
Формирование понятийных средств исследования уравнений и неравенств с параметрами в логике теоретического типа мышления требует иной организации познавательной деятельности учащихся, иных механизмов формирования понятий по сравнению с механизмом образования эмпирических понятий, то есть перестройки как содержания линии уравнений и неравенств с параметрами, так и методов ее изучения.
Разработанная в процессе восхождения от абстрактного к конкретному система понятий, основанные на ней учебные действия по решению уравнений и неравенств данного вида позволяет организовать такую деятельность ученика, "при которой он участвовал бы в акте производства знаний, знакомился бы не просто с результатом научного познания, но владел бы самими способами их достижения, то есть владел бы истиной не только как итогом, но истиной как процессом, пониманием тех путей, которые привели к ней".
