Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИМ ПРИЕМАМ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 13
1.1. Проблема обучения учащихся логическим приемам мышления в научной литературе 13
1.2. Логические приемы мышления, формируемые в курсе алгебры основной школы 39
1.3. Виды задач на формирование логических приемов мышления 64
ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИМ ПРИЕМАМ МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 94
2.1. Методика обучения логическим приемам мышления при формировании алгебраических понятий 94
2.2. Методика обучения логическим приемам мышления при изучении алгебраических утверждений (теорем и правил) 111
2.3. Факультативный курс «Элементы логики в курсе алгебры основной школы» и его методическое обеспечение 133
2.4. Педагогический эксперимент 143
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 152
ЛИТЕРАТУРА 154
ПРИЛОЖЕНИЕ
- Проблема обучения учащихся логическим приемам мышления в научной литературе
- Виды задач на формирование логических приемов мышления
- Методика обучения логическим приемам мышления при формировании алгебраических понятий
Введение к работе
Среди основных целей обучения учащихся алгебре, сформулированных в концепции математического образования, объяснительных записках к учебным программам по математике и методической литературе, называются формирование системы алгебраических знаний, умений, навыков и развитие логического мышления школьников.
В научной и учебно-методической литературе формирование у школьников логических приемов мыслительной деятельности как аспект проблемы развития логического мышления рассматривается в контексте:
1) формирования математических понятий (М.Б.Волович, Я.И. Груденов, И.В. Егорченко, Т.А. Иванова, В.В. Репьев, Г.И. Саранцев, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, Н.Ф. Талызина, Г.И. Харичева и др.);
2) обучения доказательству (К.О. Ананченко, А.К. Артемов, ВМ Брадис, Г.А. Буткин, В.И. Игошин, О.Н. Журавлева, В.И. Крупич, В.Л. Минковский, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Г.И. Харичева и др.);
3) формирования приемов учебно-познавательной деятельности (И.К. Акири, О.В. Алексеева, М.Б.Волович, О.Б. Епишева, Т.А. Кондрашен кова, Г.В. Краснослабодцкая, В.И. Крупич, И.А. Лурье и др.);
4) воспитания логической культуры (К.О. Ананченко, В.Г. Болтянский, Л.Л.Гурова, Г.В.Дорофеев, М.Е. Драбкина, Н.Н.Егорова, Л.А. Латотин, Н.Н. Михайлова, И.Л. Никольская, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, А.И. Фетисов, Л.Н. Удовенко, Л.Г. Шестакова и др.);
5) реализации межпредметных связей (ЯС. Катаева, ТА Кондрашенкова, И.Л. Никольская и др.);
6) гуманитаризации математического образования (СВ. Кириллова, А.Х. Назиев, Л.М. Наумова, Г.И. Саранцев, И.М.Смирнова, В.А. Тестов, Р.А. Утеева, Л.Г. Шестакова и др.).
Отметим, что вопросы развития логического мышления в процессе обучения математике освещаются также в контексте формирования матема 4 тической речи учащихся (В.М. Брадис, И.А.Гибш, ВА Далингер, Г.В. Дорофеев, А.А. Столяр и др.), мотивации учения (С.Н. Дорофеев, М.А. Родионов, СИ. Шварцбурд и др.), организации особых видов деятельности учащихся, таких, например, как математический тренинг, самостоятельная работа (Я.С. Дубнов, В.М. Брадис, М.И. Зайкин, В.И. Колосова, ИВ. Харитонова и др.). В работах указанных направлений система математических знаний и умений как компонент содержания обучения редко выступает в качестве предметной основы формирования логических приемов мышления, большинство работ, посвященных исследуемой нами проблеме, выполнено на геометрическом материале. Их авторы полагают, что геометрическая составляющая содержания математического образования обладает большим потенциалом для развития логического мышления по сравнению с алгебраической. Однако анализ научной и учебно-методической литературы показал, что формирование логического мышления школьников в ходе изучения курса алгебры имеет ряд своих достоинств:
1) многие алгебраические понятия допускают трактовку в терминах логики с использованием ее символики, что благоприятствует усвоению логических приемов мышления (К.О. Ананченко, ИА Никольская, Г.И. Саранцев, А.С. Ярский и др);
2) в курсе алгебры можно проводить строгие, компактные и лаконичные доказательства, имеющие простую логическую структуру, основанную на правилах построения дедуктивных рассуждений (К.О. Ананченко, А.И. Маркушевич, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев и др.);
3) алгебраические утверждения, в отличие от геометрических, порождают у учащихся непроизвольную потребность в дедуктивном обосновании (К.О. Ананченко, С.Н. Дорофеев, Г.И. Саранцев и др.);
4) преобразование сложных алгебраических выражений является эффективным средством развития способности видеть, выражать и «обыгрывать» структуру целого, являющейся важным компонентом математической и общей интеллектуальной культуры (СР. Когаловский, Е.А. Шмелева и др.). В литературе существуют различные подходы к трактовке и типологизации логических приемов мышления, формируемых в процессе изучения математических объектов и доказательства теорем. Так, к основным логическим приемам мышления, необходимым для формирования понятий, относят элементарные операции мышления: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и обобщение, а также действия подведения объекта под понятие, выведения следствий из определения понятия (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, Е.Н. Кабанова-Меллер, В.И. Крупич, Н.А. Менчинская, Г.И. Саранцев, Н.Ф. Талызина и др.). В обучении учащихся доказательству выделяют умение доказывать, действия установления логического следования и равносильности, построения силлогизмов (Т.А. Иванова, И.Л. Никольская, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр и др.). Применение названных приемов и действий основано на выполнении логических операций над понятиями, суждениями и умозаключениями. Возникает задача - согласовать трактовку формируемых у учащихся логических приемов мышления, их содержания с разработанными в теории и методике обучения математике концепциями формирования математических понятий, изучения теоремы, обучения доказательству (О.Н. Журавлева, Г.И. Саранцев и др.). Ее решение возможно посредством применения деятельностного подхода. В методике обучения математике известны четыре его толкования. Используемый в нашем исследовании подход основывается на деятельностной природе знаний. В этом контексте его сущность заключается, по мнению Г.И. Саранцева, в выстраивании учебной деятельности, адекватной знаниям, и составляемой мотивационной сферой, различного рода действиями, способами деятельности, эвристиками, контролем и самоконтролем. В нашем исследовании принята точказрения на логические приемы мышления как способы мыслительной деятельности, выражаемые в перечне логических действий с понятиями, суждениями и умозаключениями.
Для формирования логических приемов традиционно используют различные задачи. Одни из них направлены на овладение мыслительными действиями (Г.Ю. Айзенк, И.К. Акири, В.М. Брадис, Н.Е. Кордина и др.), другие - на усвоение логических понятий (И.Л. Никольская, Н.Н. Лаврова, ВБ. Никитин, A.M. Радьков, Л.П. Стойлова и др.). В условиях сокращения учебного времени, отводимого учебным планом на изучение математики, ограничена возможность применения имеющихся средств целенаправленного обучения логическим приемам мышления в ходе усвоения содержания курса алгебры основной школы. Кроме того, анализ алгебраических задач, представленных в школьных учебниках, показал, что их использование не позволяет реализовать в полной мере логический потенциал алгебраического материала и эффективно формировать все необходимые действия, составляющие логические приемы мышления.
Таким образом, возникает необходимость в поиске новых средств формирования логических приемов и составляющих их действий в процессе обучения алгебре учащихся основной школы.
В обучении математике примерно с середины 60-х годов XX века стали применяться задачи, не требующие предъявления учителю для проверки письменного оформления решения; его правильность оценивается только по результату. Как правило, в задачах такого рода требуется выбрать правильный ответ, установить соответствие, продолжить последовательность или заполнить пропуски. Авторы методических работ (АНГалушкина,Т.Ф.Кириченко, В. И. Лукавецкий, М.П. Маланюк, М.Н. Трубецкой, П.М. Эрдниев и др.) называют их тестами, тестовыми заданиями, тестовыми упражнениями, задачами в тестовой форме и используют как синонимы.
В работах, посвященных вопросам конструирования и использования тестов в обучении математике, выделяются основные функции задач этого вида: обучающая, контролирующая и диагностическая (Т.П. Григорьева, Е.Н. Перевощикова, А.Т. Лялькина, Т.Ю. Новичкова, A.M. Радьков, В.И. Ситникова, Е.Б. Федоров и др.), причем реализация первой из них сводится к формированию предметных знаний и умений учащихся. Возникает вопрос: возможно ли использовать задачи в тестовой форме в качестве эффективного средства обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в процессе изучения курса алгебры? Ответа на него нет, в то время как применение тестовых заданий, сконструированных на основе содержания математического образования, представленного в действующих учебниках, позволяет: управлять процессом формирования запланированных знаний, умений и навыков; реализовывать индивидуальный подход к обучению; более рационально использовать учебное время за счет отсутствия письменного оформления решения.
Все сказанное выше позволяет утверждать, что, несмотря на наличие значительного числа методических исследований, посвященных развитию логического мышления обучаемых, проблема выявления условий и новых средств формирования логических приемов мышления учащихся основной школы в ходе изучения курса алгебры до настоящего времени остается нерешенной как в теоретическом, так и в практическом плане.
Итак, актуальность проблемы нашего исследования определяют возникшие противоречия между: 1) необходимостью формирования логических приемов мышления учащихся основной школы и несоответствием этой задаче содержания и средств организации учебно-познавательной деятельности школьников в процессе обучения алгебре; 2) значительным логическим потенциалом школьного курса алгебры и отсутствием научно обоснованных методических средств его реализации.
Объект исследования - процесс обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в курсе алгебры.
Предмет исследования - цели, средства и содержание обучения логическим приемам мышления учащихся основной школы в процессе изучения курса алгебры, рассматриваемые в контексте деятельностного подхода.
Цель исследования заключается в разработке теории и методики поэлементного формирования логических приемов мышления учащихся основной школы посредством адекватных заданий в процессе обучения алгебре.
Гипотеза исследования: если в основу выделения содержания логических приемов мышления положить единство специфики алгебраического материала, логических операций с понятиями, суждениями и умозаключениями, возрастных возможностей школьников подросткового возраста и соответствующих задач как средства их формирования, разработать методику обучения этим приемам и внедрить ее в практику, то это будет способствовать эффективному обучению учащихся основной школы логическим приемам мышления в процессе изучения курса алгебры.
Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:
1. Проанализировать психолого-педагогическую и методическую литературу в области обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в процессе изучения курса алгебры.
2. Выявить теоретические основы методики формирования логических приемов мышления и составляющих их действий, необходимых учащимся основной школы для усвоения системы алгебраических понятий, построения суждений и умозаключений.
3. Разработать на основе выявленных теоретических положений методику конструирования и использования задач для формирования логических приемов, адекватных алгебраическим понятиям, суждениям и умозаключениям.
4. Проверить экспериментально эффективность использования разработанной методики в процессе обучения алгебре учащихся основной школы.
Для решения сформулированных задач были использованы следующие методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, анализ школьных программ и учебных пособий, изучение и обобщение педагогического опыта работы учителей математики, эксперимент для проверки основных положений работы, статистические методы обработки его результатов.
Методологической основой исследования послужили: концепция дея-тельностного подхода, в основе которой лежит положение о деятельностной природе знаний; труды по формированию у обучаемых элементов логики; методические концепции формирования математических понятий, изучения теорем и обучения доказательству; работы по проблемам использования и конструирования тестов.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ философской, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, изучались школьные программы по математике и учебные пособия с целью разработки теоретических основ методики обучения школьников логическим приемам мышления в ходе изучения курса алгебры, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе выявлялась специфика курса алгебры основной школы, на основе чего выделялись логические приемы и составляющие их действия, адекватные изучаемым понятиям, теоремам, правилам; разрабатывались задачи, направленные на формирование выделенных логических действий, входящих в тот или иной прием мышления, а также методика их конструирования и использования на уроках алгебры.
На третьем этапе разрабатывался факультативный курс «Элементы логики в курсе алгебры основной школы», предназначенный для учащихся 9-х классов.
На четвертом этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, формулировались выводы исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что проблема обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления впервые решена на основе единства содержания этих приемов и средств их поэлементного формирования, системы изучаемых алгебраических понятий и теорем, их специфики, возрастных возможностей учащихся.
Теоретическая значимость исследования состоит в:
- выявлении факторов, определяющих совокупность логических приемов мышления учащихся основной школы в процессе изучения курса алгебры, которыми являются: традиционно выделяемые в логике формы мышления, специфика алгебраического материала, возрастные возможности школьников подросткового возраста;
- выделении видов суждений и правил построения умозаключений, являющихся базовыми курса алгебры основной школы;
- определении содержания логических приемов мышления, необходимых учащимся основной школы для построения суждений и умозаключений. В основу выявления составляющих их действий положены логические операции с суждениями, способы их образования и правила построения дедуктивных умозаключений, адекватные содержанию курса алгебры (см. с. 11-13);
- обосновании целесообразности применения тестовых заданий в качестве средства обучения выявленным логическим приемам мышления;
- определении видов задач, адекватных действиям, составляющим логические приемы мышления (см. с. 11-13).
Результаты исследования расширяют теоретические представления о средствах развития логического мышления учащихся основной школы в процессе обучения математике, о функциональном многообразии тестовых заданий.
Практическая значимость исследования заключается в разработке методики обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в процессе изучения курса алгебры, программы и содержания факультативного курса «Элементы логики в курсе алгебры основной школы», а также методических рекомендаций к конструированию и применению выделенных видов задач, используемых в качестве средства формирования логических приемов. Результаты исследования могут быть использованы при разработке учебно-методических пособий для учителей, преподавателей и студентов педвузов.
Достоверность и обоснованность результатов и выводов, полученных в ходе проведенного исследования, обеспечены опорой на современные положения теории и методики обучения математике, применением методов исследования, адекватных его целям, задачам и логике, экспериментальной проверкой выводов с использованием методов математической статистики. На защиту выносятся следующие положения:
1. В основу выделения совокупности и содержания логических приемов мышления, формируемых у учащихся основной школы в процессе изучения ими школьного курса алгебры, должно быть положено единство таких факторов, как традиционно выделяемые в логике формы мышления и правила оперирования ими; специфика алгебраического материала; возрастные возможности школьников подросткового возраста.
2. Обучение учащихся основной школы логическим приемам мышления следует осуществлять поэлементно, в единстве содержания приема и средства, ориентированного на формирование как отдельных действий, так и самих приемов.
3. В качестве средства обучения учащихся основной школы логическим приемам мышления в ходе изучения ими курса алгебры целесообразно использовать задачи с выбором ответов, на установление соответствия, с пропусками, на дополнение в сочетании с традиционными средствами. Методика" конструирования и применения задач обуславливается целями конкретного урока, спецификой формируемого понятия или изучаемой теоремы, а также" содержанием логического приема.
На защиту также выносится методика конструирования задач, адекватных формируемым логическим приемам, и апробированная программа факультативного курса для учащихся 9-х классов.
Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 18» и МОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 39» г. Саранска. Основные положения и результаты исследования докладывались на Евсевьевских чтениях, проводимых ежегодно на базе физико-математического факультета МГПИ им. М.Е. Евсевьева (1999-2005 гг.) и обсуждались на научно-методических семинарах кафедры методики преподавания математики (2000-2005 гг.), Всероссийской научной конференции «Гуманизация и гуманитаризация математического образования в школе и вузе» (Саранск, 1998 г.), II межрегиональной научной конференции «Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России» (Киров, 2001 г.), IV Международной конференции «Интеграционные аспекты в содержании и технологии образования» (Саранск, 2003 г.), I Международной конференции «Математика. Образование. Культура» (Тольятти, 2003 г.), Всероссийской научно-методической конференции «Преемственность в системе непрерывного образования (детский сад - школа - колледж — вуз)» (Орел, 2003 г.), региональных научно-методических семинарах «Актуальные проблемы педагогики и методики начального образования» (Саранск, 2004, 2005 гг.).
По теме исследования имеется 13 публикаций.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Проблема обучения учащихся логическим приемам мышления в научной литературе
Проблема обучения логическим приемам мышления школьников исследовалась в различных аспектах как психологами, так и методистами. В отечественной науке ее решению особое внимание уделяли психологи первой половины прошлого столетия. Так, в исследованиях Г.А. Буткана, Е.Н. Кабановой-Меллер, Н.А. Менчинской, Н.Ф. Талызиной и др. раскрываются основные положения проблемы формирования логических приемов мыслительной деятельности, основанные на теории поэтапного формирования умственных действий (П.Я. Гальперина). Этой группой психологов была разработана методика управления процессом обучения логическим приемам мышления путем их поэтапного формирования: представление действий в материальной форме, перевод в громкоречевую форму, преобразование во внутреннюю (умственную) форму. При этом их методика была реализована на геометрическом содержании.
Ценность психологических исследований того времени (20 - 50 гг. ХХв.) заключается в том, что их авторами была продемонстрирована значимость логического компонента мышления в учебно-познавательной деятельности учащихся и экспериментально доказана возможность его формирования.
В настоящее время, освещая вопросы, связанные с развитием логического мышления школьников, как психологи, так и методисты указывают на необходимость и целесообразность формирования логических приемов мышления в процессе обучения математике [33, 167, 178 и др.]. Во-первых, они играют важную роль и в процессе усвоения учащимися формируемых понятий, и в ходе изучения теорем и доказательств, и при решении задач. А.Я. Хинчин по этому поводу отмечал, что «в математическом рассуждении логическая схема становится определяющим ... моментом мышления, так, что мыслящий все время имеет ее перед глазами и сообразно с нею выбирает и направляет последовательные этапы рассуждения» [192, с. 141]. Однако, как отмечается в методической литературе, учащиеся при усвоении содержания школьного курса математики в силу недостаточности логической подготовки допускают большое число логических ошибок. К их числу большинство исследователей относят такие, как замена существенного свойства изучаемого понятии несущественным и, наоборот, неверное установление логического следования в ходе аргументации или обоснования, неправильное построение выводов и другие.
Во-вторых, само содержание школьного курса математики построено в соответствии с логическими законами, на основе логических правил, усвоение которых позволит учащимся не только избежать перечисленных ошибок, но и способствует эффективному овладению предметным материалом.
Какие же приемы мышления называются логическими? С целью определения содержания понятия «логические приемы» проведем анализ логической, психологической и научно-методической литературы.
Мышление, согласно ряду авторов работ по логике, начинается с того момента, когда, опираясь на чувственные данные, мы выделяем и отражаем соответствующие предметы и их связи в форме понятий и суждений [45]. В учебной логической литературе форма мысли и форма мышления отождествляются и определяются как структура мысли. Однако Е.К. Войшвилло разделяет эти понятия: мысль отождествляется с понятием, суждением и умозаключением, которые образуют некоторую целостность как форму способности человека, называемую умом, а как нечто процессуальное - мышлением [45]. Поэтому Е.К. Войшвилло понятия и суждения называет логическими средствами абстрактного мышления, а логические операции с ними - процессом мышления.
В логическом словаре Н.И. Кондакова логические приемы мышления определяются как «способ мыслительной деятельности, дающий возможность приходить к новому, более глубокому и всестороннему знанию на основании соответствующей обработки (сопоставление, расчленение, соединение, выведение) уже имеющихся суждений и понятий» [113]. При этом автор к логическим приемам мышления прежде всего относит сравнение, анализ, синтез, абстрагирование и обобщение, в более широком смысле логическими приемами он называет также определение понятия, деление объема понятия, указание, объяснение, описание, различение [113].
Известно, что логика мыслительной деятельности характеризуется умениями выполнять определенные умственные операции. Исследуя сущность умственных операций, Н.А. Менчинская и Д.Н. Богоявленский [24, 122] мыслительную деятельность рассматривают как многоуровневое явление, состоящее из нескольких «пластов» - знания, навыки и умения. Знание -это содержание поверхностного пласта, более глубокий пласт — это приемы деятельности или умения выполнять умственные операции. На первом этапе учебной деятельности умственные операции вливаются в процесс восприятия учебного материала. На следующем этапе в умственных операциях осуществляется собственно мыслительная деятельность, результатом которой, согласно Н.А. Менчинской, является «овладение интеллектуальными умениями - умениями особого рода, относящимися к успешному выполнению умственных операций» [122, с. 46].
Развивая концепцию формирования интеллектуальных умений, Е.Н. Кабанова-Меллер определяет их в системе понятий «прием учебной работы» и «прием умственной деятельности». Прием умственной деятельности исследователь трактует как способ, которым умственная деятельность выполняется учащимся, и который может быть объективно выражен в виде перечня действий, входящих в состав приема. Автор рассматривает умение как составную часть приема, систему закрепленных, развернутых, правильных действий [84].
Виды задач на формирование логических приемов мышления
Во втором параграфе были выделены логические приемы мышления и составляющие их действия, которым целесообразно обучать учащихся основной школы в процессе изучения ими курса алгебры, с учетом специфики алгебраического материала и возрастных возможностей школьников.
В.А. Крутецкий, говоря о мыслительных операциях, отмечает, что «было бы весьма целесообразно специально в школе обучать умениям, которые ... приобретаются школьниками, так сказать, между прочим, в процессе решения задач. Причем обучать следует на специальных и своевременно подобранных задачах» [105].
В первом параграфе обосновано, что в качестве таких задач, направленных на поэлементное формирование логических приемов мышления, необходимо применять задания в тестовой форме (с выбором ответов, на установление соответствия, с пропусками и на дополнение), которые в методике преподавания математики традиционно выступают как диагностико-дидактические средства.
В этом параграфе выясним, какие виды таких задач следует использо 65 вать для формирования отдельных логических действий, составляющих выделенные логические приемы мышления.
Определим содержание тестовых заданий, направленных на формирование логических приемов мышления, используемых при работе с понятием. Логический прием по определению понятия состоит из действий: выявление существенных свойств объектов, выделение достаточных свойств (признаков) объекта, сопоставление выявленных свойств объектов.
В психологии отмечается, что существенные свойства понятия усваиваются в ходе варьирования несущественных его свойств (Н.А. Менчинская [122]), а также при выполнении упражнений на распознавание понятия, признаки которого даны не в полном объеме (Н.Ф. Талызина [179]). Например: «Можно ли сказать, что функция не является четной, если она нечетная?». В данном случае однозначно ответить нельзя, т.к. если функция не является четной, это не означает, что она обязательно нечетная.
Выделение существенных свойств понятия, согласно концепции формирования понятия Г.И. Саранцева, осуществляется в ходе выполнения упражнений практического характера, на применение ранее изученных понятий, на построение объектов, удовлетворяющих указанным свойствам. Учитывая процесс образования понятия, описанный во втором параграфе, перечисленные виды упражнений должны содержать такие объекты, одни из которых обладают существенными свойствами формируемого понятия, а другие - нет, или все данные объекты обладают этими свойствами. То есть в тестовых заданиях следует приводить несколько объектов, характеризующихся одним свойством (задания на соответствие, на продолжение последовательности объектов) или один объект, характеризующийся несколькими свойствами (задания с выбором ответов). При этом эти свойства могут задаваться как явно, так и неявно.
Таким образом, упражнения на выделение существенных свойств формируемого понятия можно сформулировать в виде тестовых заданий с выбором ответов, на установление соответствия или на продолжение последовательности. Объекты, которые приводятся в этих задач, должны явно или неявно (через свойства других объектов) обладать существенными свойствами формируемого понятия. Следует отметить, что тестовые задания на соответствие и на продолжение последовательности по своей сути уже направлены на выполнение логических операций. Так, для того, чтобы продолжить последовательность математических объектов, необходимо проанализировать объекты этой последовательности, т.е. выделить свойства ее объектов, найти среди них общие или различные и сопоставить их. Чтобы установить соответствие между математическими объектами, следует также исследовать свойства приведенных объектов. Заметим, что в подобных заданиях свойства объектов задаются неявно. Приведем примеры заданий, направленных на формирование умения находить существенные неявно заданные свойства алгебраических объектов.
Методика обучения логическим приемам мышления при формировании алгебраических понятий
Во втором параграфе первой главы были выделены логические приемы мышления и составляющие их действия, используемые при работе с алгебраическими понятиями. Формирование этих приемов, согласно деятельност-ному подходу, осуществляется посредством усвоения адекватных им действий в ходе выполнения соответствующих тестовых заданий. В третьем параграфе той же главы определены виды этих заданий, в основе выполнения которых лежат выделенные логические действия (см. схему 1). Ранее отмечалось, что для формирования этих действий целесообразно использовать тестовые задания с выбором ответов, на установление соответствия, на дополнение или продолжение последовательности объектов и с пропусками.
В данном параграфе, кроме описания методики обучения логическим приемам, представлены методические аспекты конструирования тестовых заданий определенных видов, направленных на формирование логических приемов мышления, а также раскрыты условия их применения в процессе изучения системы алгебраических понятий.
Итак, во втором параграфе были выделены следующие логические приемы, необходимые в процессе образования понятий:
1. Прием «определение понятия» включает в себя следующие действия:
1) выявление существенных свойств объектов;
2) выделение из них достаточных свойств (признаков понятия);
3) сопоставление выявленных свойств объектов.
2. Прием «нахождение отношения между объемами понятий» состоит из действий:
1) нахождение общих свойств объектов; 2) нахождение различных свойств объектов и абстрагирование от них;
3) сопоставление выявленных свойств объектов.
3. Прием «классификация понятий» включает следующие действия:
1) выделение существенных и различных свойств объекта;
2) сопоставление выявленных свойств объекта
3) нахождение основания классификации.
Ранее отмечалось, что процесс формирования математических понятий, представленный в работах Г.И. Саранцева, реализуется посредством применения упражнений, соответствующих выделенным им этапам. Основу ряда этапов составляют определенные логические действия. Так, на этапе выделения существенных свойств формируемого алгебраического понятия учащиеся выделяют такие его свойства, которые позволяли бы отличать его от других алгебраических объектов. На этапе построения определения понятия ученики устанавливают, какие из найденных свойств являются достаточными. Далее следует построить утверждение (определение), в котором отражена логическая связь между достаточными свойствами. Для этого необходимо отработать у учащихся умения оперировать суждениями с логическими операциями «конъюнкция», «дизъюнкция» и «отрицание». Эти умения адекватны логическим действиям, составляющим логические приемы мышления, которые используются при построении суждений. На этапах установления связей с другими понятиями и применения понятий у учащихся целесообразно отрабатывать умения, адекватные действиям, входящим в состав логических приемов, необходимых для построения умозаключений. С точки зрения логики, в ходе реализации этих этапов и происходит образование понятия как формы мышления учащихся.
В первой главе также было замечено, что формирование того или иного приема отвечает специфике изучения системы алгебраических понятий с учетом методических целей урока. Рассмотрим, как осуществляется обучение логическим приемам мышления при формировании конкретного понятия. При этом следует выяснить, какие понятия курса школьной алгебры важно изучать в системе ранее изученных понятий.
Например, при изучении понятия «одночлен», на этапе выделения существенных свойств понятия необходимо усвоить такие его свойства, как: быть произведением, компонентами которого являются числа или переменные и их степени. Данное понятие следует рассматривать в системе таких алгебраических понятий, как «числовое выражение», «выражение с переменными», «произведение, алгебраическая сумма и частное чисел и переменных», «степень», «подобный одночлен», «степень одночлена», «одночлен стандартного вида». Для того чтобы учащиеся научились находить свойства одночлена, позволяющие выделять это понятие из множества известных выражений с переменными, можно предложить им тестовые задания с выбором ответов и на установление соответствия. Приведем примеры таких заданий.
Любой одночлен - это:
A. Выражение с переменными.
Б. Произведение двух выражений.
B. Выражение с переменной х.
Г. Произведение чисел.
Д. Произведение чисел, переменных и их степеней.
В варианты ответов к этому заданию включены понятия, в системе с которыми целесообразно формировать понятие «одночлен». В приведенном примере свойства одночлена заданы явно. Варианты ответов содержат как существенные (А, Д) и несущественные (В, Г), так и неопределенные (Б).
