Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ПОНЯТИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ 12
1. Необходимые предпосылки дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции 12
2. Анализ различных концепций формирования понятий 41
3. Концепция дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции 91
Выводы по первой главе 113
ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ РАБОТЫ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ 114
4. Анализ развития понятия функции в школьном курсе математики 114
5. Дифференцированные задания - как средство реализации дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции 130
6. Задачи и основные результаты эксперимента 175
Выводы по второй главе 183
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 184
ЛИТЕРАТУРА 186
ПРИЛОЖЕНИЯ 205
- Необходимые предпосылки дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции
- Анализ различных концепций формирования понятий
- Анализ развития понятия функции в школьном курсе математики
Введение к работе
Актуальность исследования. Современные преобразования, происходящие в системе общего российского и школьного математического образования, ставят перед учеными и учителями математики новые задачи, или требуют осмысления "вечных" проблем с позиций программы модернизации и приведения в соответствии с реформами целей, содержания, методов, форм и средств обучения. К основным направлениям модернизации образования, в частности, отнесены гуманитаризация и гуманизация математического образования; профильное обучение и уровневая дифференциация; информатизация и технологизация обучения. В настоящее время по каждому из указанных направлений ведутся исследования, в которых большое внимание исследователей уделено содержательному и организационному компонентам обучения, роли учителя - практика в реализации методических рекомендаций авторов программ и школьных учебников.
Как известно, эффективность обучения математике во многом определяется системой работы учителя, одним из важных компонентов которой является методика формирования основных математических понятий.
Психолого-дидактические основы формирования понятий в процессе обучения разработаны Л.С. Выготским, П.Я. Гальпериным, В.А. Кру-тецким, Н.А. Менчинской, Ж. Пиаже, М.А. Холодной, И.С. Якиманской.
Теоретическим основам формирования понятий в процессе обучения математике посвящены исследования М.Б. Воловича, Я.И. Груденова, В.А. Гусева, В.А. Далингера, О.Б. Епишевой, Т.А. Ивановой, Г.Л. Лу-канкина, Е.И. Лященко, В.М. Монахова, Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, З.И. Слепкань, Г.И. Саранцева, П.М. Эрдниева.
Методические аспекты формирования понятий в школьном курсе математики нашли отражение в работах И.В. Егорченко, А.Л. Жохова, М.И. Зайкина, Л.С.Капкаевой, Л.М. Наумовой, М.А. Родионова, А.В. Усо-
вой, Р.А. Утеевой и др.
Анализ предшествующих диссертационных работ показал, что проблема формирования понятий рассматривалась в аспекте: мыслительной деятельности (В.В. Крючкова, 1984; Е.В. Малеева, 1999); системы задач (А.А. Ундуск, 1971; О.А. Креславская, 1998; Е.Е. Тульчинская, 1999; Е.Ю. Миганова, 2000); моделирования (Л.Г. Петерсон, 1984 ); современных технических средств обучения, в частности с использованием компьютера (Конколь Хенрик, 1998; Л.А. Страбыкина, 2003); активизации познавательной деятельности и использования житейского опыта (А.С. Аскеров, 1999); логического компонента понятия (Е.К. Попова, 1990); теории деятельно-стного подхода (О.А. Бибина, 2000; И.В. Ситникова, 2000).
Следует отметить, что методика формирования научных понятий в условиях уровневой дифференциации обучения не являлась предметом специальных исследований.
К числу основных понятий современной математики относится понятие функции, которое прошло долгий исторический путь развития, прежде чем вошло в науку и в школьный курс математики. Функциональная линия с 80-х годов 20 века является одной из центральных линий курса алгебры средней школы. Она концентрирует в себе математические знания, необходимые учащимся в повседневной жизни, например: для чтения информации, представленной в виде таблиц, диаграмм и графиков; для решения практических задач. В теории и в методике обучения математике до сих пор не нашли единого подхода к определению понятия функции в курсе алгебры основной школы, которое определялось через соответствие, отображение, отношение, правило, закон, зависимость.
Анализ диссертационных работ, посвященных методике изучения темы "Функция" в школьном курсе математики, показал, что внимание исследователей было уделено:
1. Функциональной пропедевтике и трактовке понятия функции
(В.В. Крючкова, 1984; Л.Г. Петерсон, 1984; В.А. Гуськов, 1985; А.А. Ми-хеева, 1997).
Изучению элементарных функций и их свойств (А.И. Жаворонков, 1954; В.Г. Ашкинузе, 1956; ЮЛ. Макарычев, 1964; В.А. Байдак, 1971).
Системе задач при развитии понятия функции (Е. И. Лященко, 1967; Р.А. Майер, 1972; Ю.Б. Великанов, 1982; Е.Г. Будников, 1985; О.А. Кре-славская, 1998).
Взаимосвязи функциональной и алгоритмической линий (Е.К. Попова, 1990).
Таким образом, можно констатировать, что многие вопросы методики формирования понятия функции в курсе алгебры средней школы освещены достаточно полно. Однако в связи с потребностью современного образования, нацеленного на профильную и уровневую дифференциацию обучения, с существенными изменениями программ и учебников алгебры возникает необходимость в проведении специального исследования по выявлению методических особенностей дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции.
Несмотря на имеющийся положительный опыт в методике преподавания темы "Функция" в курсе алгебры средней школы, учителя математики испытывают определенные затруднения в организации дифференцированной работы на уроке; недооценивают важность правильного восприятия учащимися понятия функции и не всегда уделяют ему должное внимание. Анализ результатов тестов, контрольных и экзаменационных работ учащихся средней школы показал, что у них недостаточно полно и правильно сформировано понятие функции.
Возникшие противоречия между: необходимостью качественного усвоения всеми учащимися понятия функции и недостаточной разработанностью методики его формирования в условиях уровневой дифференциации, учитывающей различные уровни усвоения, определяют актуальность ис-
следования по теме «Дифференцированная работа учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы».
Проблема исследования состоит в обосновании возможностей и выявлении методических особенностей дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы, направленной на его качественное усвоение и достижение каждым учащимся уровня не ниже базового, согласно Госстандарту.
Цель исследования: разработать с учетом выявленных методических особенностей концепцию дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры 7-9-х классов, направленную на качественное усвоение понятия функции и достижение каждым учащимся уровня не ниже базового, согласно Госстандарту.
Объект исследования: процесс формирования понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Предмет исследования: модель дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Гипотеза исследования: качественное усвоение понятия функции и достижение каждым учащимся уровня не ниже базового, согласно Госстандарту, повышение качества алгебраической подготовки в целом достигается, если: выявить методические особенности дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы и с учетом их разработать методику ее реализации на практике.
Для достижения поставленной цели и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи исследования:
1. Выявить необходимые предпосылки дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Проанализировать различные концепции формирования понятий и выявить методические особенности формирования понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Выделить основные этапы и определить содержание дифференцированной работы учителя математики на каждом из них при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Обобщить историю и опыт развития понятия функции в математике и в школьном курсе математики.
Разработать систему дифференцированных заданий как средство реализации методики дифференцированной работы учителя математики, направленной на формирование понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Проверить экспериментально эффективность разработанной методики дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы.
Методологическую основу исследования составили работы в области философии, психологии, дидактики, теории и методики обучения математике по рассматриваемой проблеме. В основу данного исследования положены концепции: уровневой дифференциации обучения математике в средней школе Р.А. Утеевой; формирования математических понятий Г.И. Саранцева; формирования понятия функции в курсе алгебры основной школы А.Г. Мордковича.
В исследовании применялись следующие методы: анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, диссертаций, школьных программ, учебников, учебных пособий по математике для учащихся средней школы; анкетирование учителей и учащихся; изучение и обобщение школьной практики; анализ собственного опыта работы в школе; проведение эксперимента по проверке основных положений исследования.
На первом этапе исследования (1998-2000 гг.) осуществлялись изучение и анализ литературы по теме исследования; проводился констатирую-
щий эксперимент. На втором этапе (2000-2001 гг.) разрабатывались основные положения концепции дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы; содержание базового, продвинутого и высокого уровней; требования к системе дифференцированных заданий; проводился поисковый эксперимент. На третьем этапе (2000-2003 гг.) был проведен обучающий эксперимент, проанализированы результаты исследования, сформулированы выводы.
Научная новизна выполненного исследования заключается в том, что в нем впервые решена проблема обоснования возможностей и выявления методических особенностей дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы путем соотнесения каждому этапу формирования понятия соответствующих мыслительных действий учащихся и уровней дифференциации. Теоретическая значимость работы состоит в том, что в ней:
выявлены необходимые предпосылки дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции;
определены исходные положения концепции дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы;
построена модель дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции и выявлены условия ее реализации на практике;
разработаны требования к системе дифференцированных заданий как средству реализации построенной модели.
Практическая значимость работы определяется тем, что разработанная в ней модель дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы вооружает учителя конкретной эффективной методикой. Методические рекомендации, сформулированные в диссертации; содержание трех уровней
дифференциации (перечень знаний и умений на каждом уровне; система дифференцированных заданий); аналитическая и историческая справка о развитии понятия функции в математике и в школьном курсе математики могут быть учтены при написании учебно-методических пособий для учителя.
Апробация результатов исследования осуществлялась путем выступлений на методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики ТГУ (2000, 2002, 2003); кафедры методики преподавания математики МГПИ (Саранск, 2003); на заседаниях методобъединений учителей школ N 10, 24, 29, 54, 93 г. Тольятти (2000-2003); на научно-практических конференциях Тольяттинского политехнического колледжа (2000-2001); Тольяттинского филиала Самарского государственного педагогического университета (2000 - 2003); на VII межрегион, науч. - практ. конф. препод, школ, инновац. учеб. завед. и вузов (Иркутск, 2000); на межрегион, науч. конф. (Киров, 2001); на регион, науч. - практ. конф. (Арзамас, 2002); на Всеросс. науч. конф. (Саранск, 2002); на Всеросс. науч. конф. и Межд. науч. конф. (Тольятти, 2003).
Внедрение результатов исследования в практику: методические рекомендации автора используются сотрудниками методического центра «Педагогический поиск», учителями ряда школ г. Тольятти, преподавателями и студентами ТГУ на практических занятиях по теории и методике обучения математике, в период педпрактики в школе, при написании курсовых и дипломных работ.
Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов и рекомендаций, сформулированных в работе, обеспечиваются: опорой на результаты современных исследователей по теории и методике обучения математике; адекватностью разнообразных методов исследования ее целям и задачам и подтверждаются результатами проведенного эксперимента.
По теме исследования имеется 8 публикаций.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Модель дифференцированной работы учителя математики при
формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы содер
жит: А. Этапы формирования понятий. Б. Мыслительные действия учащих
ся, соответствующие этапам. В. Уровни дифференциации (базовый, про
двинутый, высокий).
2. Содержание каждого уровня дифференциации должно включать:
в 7 классе: 1) функциональную пропедевтику учащихся основной школы; 2) формирование представлений о понятии функции как математической модели реальных процессов (равномерной зависимости); 3) формирование понятия функции как математической модели реальных процессов;
в 8 классе: 1) формирование представлений о понятии функции как математической модели реальных процессов (обратно пропорциональной зависимости); 2) формирование понятия функции как математической модели реальных процессов;
- в 9 классе: 1) формирование представлений о понятии функции как математической модели реальных процессов (равноускоренной зависимости); 2) формирование понятия функции как математической модели реальных процессов; 3) формирование понятия функции как правила соответствия.
3. Инвариантное ядро при формировании понятия функции на базовом
уровне в курсе алгебры основной школы составляют: а) понятие функции
как определенной зависимости (математической модели реальной ситуа
ции); б) область определения, область значения; в) способы задания функ
ции (графический, аналитический, табличный).
Инвариантное ядро при формировании понятия функции на продвинутом и высоком уровнях в курсе алгебры основной школы составляют: а) функциональная символика у = f(x); б) расширение понятия функции до понятия кусочной функции.
На защиту также выносятся методика дифференцированной работы учителя математики и система дифференцированных заданий, направленные на формирование понятия функции и его качественное усвоение в курсе алгебры основной школы.
Структура диссертации: диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений. Основное содержание изложено на 185 страницах машинописного текста. Список литературы включает 199 наименований. В тексте диссертации имеются рисунки (46), таблицы (42), схемы (6).
Необходимые предпосылки дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции
Для того, чтобы определить наиболее оптимальные пути дифференцированной работы учителя математики при формировании понятия функции в курсе алгебры основной школы и разработать соответствующую методику, мы провели комплексное изучение уровня фактического состояния знаний и умений учащихся основной школы (на базе школ № 10, 24, 29, 54, 93 г. Тольятти), слушателей подготовительного отделения Тольяттинского политехнического колледжа и слушателей подготовительного отделения Тольяттинского Государственного института Сервиса по функциональной пропедевтике. Для этого был разработан и проведен констатирующий эксперимент, в ходе которого предполагалось выявить следующее: 1) уровень усвоения координатного метода; 2) состояние формирования понятия функции; 3) уровень знаний и умений по функциональным зависимостям.
Исследование было проведено в 2000/2001 уч.г. В нем приняли участие 1112 учеников, среди которых: учащихся средних школ - 1038 человек: 7 класс- 331 ученик, 8 класс - 363 ученика, 9 класс - 344 ученика; 74 человека - слушатели подготовительного отделения Тольяттинского политехнического колледжа, 25 человек - слушатели подготовительного отделения Поволжского Государственного института Сервиса г. Тольятти.
Констатирующему эксперименту предшествовал детальный анализ проблемы по таким направлениям, как: степень теоретической и практической разработки проблемы в научно-методической литературе; содержание программы по математике, а также учебников алгебры для 7-9-х классов средней школы по формированию понятия функции и его возможности для организации дифференцированной работы учителя математики; опыт работы учителей математики по осуществлению уровневой дифференциации и дифференцированного подхода к учащимся и методика преподавания темы «Функция»; уровень фактического состояния знаний и умений учащихся по теме «Функция».
Основными методами исследования на данном этапе явились: изучение научно-методической литературы, диссертационных исследований; анализ школьных учебников алгебры разных авторов; обобщение передового педагогического опыта; наблюдения уроков математики; тестирование учащихся; анализ результатов контрольных, экзаменационных работ.
Содержание диагностической работы
Даны пять понятий: начало координат, оси перпендикулярны, единичный отрезок, направление, угол. Необходимо одно из них вычеркнуть, а для остальных четырех подобрать обобщающее понятие.
Диагностическая работа была составлена в одном варианте. Время, отводимое учащимся на выполнение работы - 40 минут. Общее количество заданий - 18. Задания № 1-3, 5, 7-13 оцениваются 1 баллом, № 4, 6, 14-2 баллами, № 15, 16-3 баллами, № 17, 18 - 4 баллами. Основная цель диагностируемой работы - выявление знаний и умений учащихся 7-9-ых классов, указанных в таблице 1 и распределение учащихся по типологическим группам А, В, С, Д (по типологии Р.А. Утеевой). К группе А будем относить учащихся, набравших 25-31 балл, к группе В - 18-24 балла, к группе С - 10-17 баллов, к группе Д - менее 10 баллов. Оценка работы ученика проводилась на основании результатов выполнения всех 18 заданий. Выполнение каждого задания оценивалось с помощью шкалы: «верно», «неверно». При верном выполнении 2/3 от общего числа заданий считаем, что ученик справился с работой.
Анализ различных концепций формирования понятий
Как показала практика работы в школе, проблему формирования математических понятий нельзя назвать решенной. Тем более что сложившуюся методику формирования математических понятий многие учителя считают несовершенной. Поэтому необходимо искать более эффективные методические подходы формирования математических понятий, которые будут способствовать развитию личности каждого ребенка.
Разработка методической концепции дифференцированной работы учителя математики при формирования математических понятий в школе невозможна без предварительного анализа концепций формирования понятий в методической и педагогической литературе, в связи с этим возникает необходимость выяснить сущность понятия и его основных характеристик с позиций других наук, в которых оно также изучается.
В логике понятие рассматривается как мысль, в которой обобщаются предметы некоторого класса по определенным и в совокупности специфическим для них признакам [35, с. 181], также как мысль, отражающую отличительные свойства предмета и отношения между ними [162, с. 51], как знание и умение словесного выражения определенных необходимых и вместе с тем достаточных условий для однозначного определения данной вещи [160, с. 24].
По мнению Г.И. Саранцева, если исследовать динамику развития вышеуказанных взглядов на понятие в логике, то можно увидеть, как изменялось представление о нем с течением времени (схема 1). Изучение данной динамики, как утверждает автор, «способствует правильной расстановке акцентов в обучении школьников понятиям» [156, с. 65].
Это позволяет сделать вывод о том, что в работах логиков относительно термина «понятие» отражены идеи выяснения вопросов о сущности предметов, об образовании понятий, а также об установлении смысла употребляемых слов и предложений.
Как утверждает Г.И. Саранцев [156, с. 95-96], в результате анализа логических теорий можно выделить три основных варианта образования понятий:
1. Процесс конструирования понятий представляет собой поиск такого количества необходимых условий, которое было бы достаточно для однозначного определения требуемого класса объектов. В рассматриваемом варианте содержание понятия отождествляется с его определением.
2. Понятие представляет собой логическую функцию, заданную на множестве суждений и принимающую значения «истинно» или «ложно». Образование понятий протекает как поиск его необходимых условий. В этом случае единицей содержания понятия является отдельное необходимое условие, значит содержание понятия не совпадает с его определением.
3. Содержание понятия представляет собой сообщаемую им (семантическую) информацию. В этом случае единицей содержания информации являются исключаемые (понятием) из универсума классы объектов, то есть из множества объектов, в терминах которых определяется рассматриваемое понятие.
Будем придерживаться подхода Г.И. Саранцева к тому, что «формирование математических понятий в школе не вписывается ни в одну из описанных выше логических концепций. Но элементы каждой из них присутствуют в практике обучения математике. Такое положение можно объяснить тем, что логические концепции сами по себе не исчерпывают всех составляющих процесса формирования понятия. Они не могут объяснить учителю, каковы этапы формирования понятия, какие умственные действия адекватны каждому этапу» [156, с. 97].
Анализ развития понятия функции в школьном курсе математики
Функциональная линия не сразу была признана одной из основных содержательно - методических линий школьного курса математики. Хотя в исследованиях 60-х годов 20-го века уже были экспериментальные данные о том, что «более широкое и целеустремленное использование в курсе математики геометрического представления функциональной зависимости дает возможность , усилить взаимосвязь между школьными предметами; привить учащимся прочные навыки в построении и исследовании графиков функций; применять графики для иллюстрации ряда теоретических и практических вопросов при изучении математики и смежных дисциплин. Вместе с тем с несомненностью удалось установить, что предоставление такого места изучению и использованию графиков в значительной мере содействовало оживлению работы учащихся на уроке, повышению их интереса к предмету и работоспособности и в связи с этим их подготовке в области математики» [73, с. 42].
В разные исторические периоды развития функциональной линии существовали различные подходы к определению понятия функции в школьных учебниках алгебры. Рассмотрим исторический путь развития понятия функции в школьном курсе математики.
Проанализировав статьи из журнала «Математика в школе» [39, 63, 78, 88, 99, 132, 137, 171], работы Н.М. Рогановского [152] и А.А. Столяра [169], исследования Гонсалеса Абреу Хосе Мануэля [51], А.А. Михеевой [119], Л.Г. Петерсон [141], Е.К. Поповой [143], А.А. Ундуска [179] и другие работы, мы выделили следующие этапы развития понятия функции в школьном курсе математики:
1) появление мысли о важности и необходимости включения понятия функции в школьный курс алгебры, осуществляемой при составлении учебников Д.М. Перевощикова, А.Н. Тихомадрицкого и С.А. Маркова (первая половина 19 века).
Понятие функции с начала и по 50-е годы 19 в. вводилось как средство более научного обоснования некоторых установившихся разделов курса алгебры, особенно, учения об уравнениях. Понятие функции в учебниках данного времени отождествлялось либо с выражением, связанным с переменными величинами, либо с выражением, связанным с количеством переменной величины, либо с результатом действий над определенной величиной; а именно в этих учебниках можно было увидеть следующие определения понятия функции: А. «Функцией переменной величины называется выражение, состоящее из сей переменной, соединенной с постоянными величинами» (Н.И. Фусс «Начальные основания чистой математики», 1813 г.). Б. «Выражение, составленное из какого-нибудь количества, соединенного с другими так, что с переменою его величины переменяется величина и самого выражения, называется функциею сего количества» (Д.М. Перевощиков «Гимназический курс чистой математики», 1837 г.; понятие функции введено ввиду обобщения формулы бинома Ньютона в дробные и отрицательные показатели). В. «Выраэюения, изменяющие численное свое значение вместе с изменением значения переменных, в них входящих, называются функциями этих переменных» (А.Н. Тихомадрицкий «Начальная алгебра», 1855 г.; понятие функции введено ввиду изучения уравнений). Г. «Если над какою-нибудь величиною х произведены какие-либо действия, то полученный результат называется функциею х» (С.А. Марков «Курс алгебры, составленный по гимназической программе С. Марковым», 1864 г.; понятие функции введено ввиду изучения уравнений). Таким образом, в 1-ой половине 19 в. понятие функции связывали с ее аналитическим выражением, то есть давали по Эйлеру.
2) развитие В.Н. Шкларевичем идеи проникновения функциональной зависимости в школьный курс алгебры (намеченной в учебниках С.А. Маркова, Д.М. Перевощикова, А.Н. Тихомадрицкого), а именно: раскрытие общеобразовательной и практической значимости понятия функции и ее графического изображения; составление системы упражнений с их подробными методическими указаниями.
Данные идеи в области методики преподавания алгебры обсуждали такие математики, как СП. Виноградов, В.Е. Сердобинский, В.П. Ше-реметевский, П.А. Шифф, СИ. Шохор-Троцкий и другие, кроме того в печати и в педагогических кругах рассматривались проекты, связанные с вопросом введения понятия функции, которые «были похоронены в недрах министерства» (60-е годы 19 века).
3) попытка отойти в курсе алгебры средней школы от точки зрения Эйлера на понятие функции, нашедшее свое отражение и в учебниках 70-х годов 19 века А.П. Киселева, С. Сластникова, И.И. Сомова. Приблизить понятие функции к современному, в духе Н.И. Лобачевского (то есть понимание функции как соответствия между числами), удалось в учебнике М.Е. Медяника «Низшая алгебра» (Тамбов, 1879 г.), здесь давалось следующее определение понятия функции: «Когда переменные количества х и у связаны между собой таким образом, что с изменением, например, х изменяется и у, то говорят, что у есть функция х».
