Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ И ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА ШКОЛЬНИКОВ
1. Понятие мышления в психолого-педагогической литературе 13
2. Различные подходы к определению специфики математического мышления 20
3. Особенности познавательного интереса к математике 34
4. Психолого-дидактические основы взаимосвязи процессов развития математического мышления и формирования познавательного интереса учащихся 48
ГЛАВА II. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ ЗАДАНИЙ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ С ЦЕЛЬЮ ФОРМИРОВАНИЯ ПОЗНАВАТЕЛЬНОГО ИНТЕРЕСА И РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 7-9 КЛАССОВ
1. Развивающий потенциал исследовательских заданий по алгебре 62
2. Методика включения исследовательских заданий по алгебре в учебный процесс 80
3. Виды исследовательских заданий и приемы их составления 96
4. Результаты педагогического эксперимента 121
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 142
ЛИТЕРАТУРА 144
- Понятие мышления в психолого-педагогической литературе
- Различные подходы к определению специфики математического мышления
- Развивающий потенциал исследовательских заданий по алгебре
Введение к работе
В современном обществе происходят значительные преобразования в различных его сферах: политической, экономической, социальной, духовной. Не является исключением и образование. Одним из основополагающих принципов новой концепции школьного математического образования является его гуманитарная ориентация, то есть постановка акцента в преподавании математики на личность, на человека, выражающаяся тезисом «не ученик для математики, а математика для ученика» (Г.В. Дорофеев, [60], с. 16). Зачем же нужна ученику математика?
Еще более трехсот лет назад английский философ Д. Локк писал, что математику следует изучать «не столько для того, чтобы сделаться математиками, сколько для того, чтобы стать разумными людьми» ([114], с.235). Действительно, обучение математике обладает уникальными возможностями в плане интеллектуального развития учащихся, в формировании компонентов и качеств мышления, необходимых не только для продолжения образования и освоения новых областей знаний, но и обеспечивающих успешность профессиональной деятельности и полноценность повседневной жизни в современном обществе. В первую очередь, это развитие абстрактного и логического мышления, воспитание алгоритмической культуры, и в то же время — приобретение опыта творческой деятельности. Овладение учащимися в процессе обучения математике математическим методом мышления, включающим в себя все способы научного познания — дедукцию и индукцию, обобщение, сравнение, аналогию и т. п., способствует выработке у них математического стиля мышления, характеризуемого, прежде всего, доказательностью, критичностью, независимостью логической схемы рассуждения от его содержания, структурированностью рассуждений. Эти качества, по мнению А.Я. Хинчина, способны облагородить мыслительный стиль и в других областях знания и практической деятельности, сделать его более продуктивным орудием мысли ([203]), поэтому необходимы каждому человеку независимо от сферы его дальнейшей деятельности. «Иначе говоря, обучение математике в школе должно быть ориентировано не столько на собственно математическое образование в узком смысле слова, сколько на образование с помощью математики»; для этого необходима «переориентация методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его информационной функции...» ([60], с. 14, 13).
Современной психологией и дидактикой накоплен большой теоретический и практический опыт по исследованию и решению проблемы интеллектуального развития учащихся при обучении математике. Основу его составляют психологические закономерности умственного развития школьников в процессе обучения, раскрытые в трудах А.В. Брушлинского, Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, Е.Н. Кабановой-Меллер, З.И. Калмыковой, И.Я. Лернера, A.M. Матюшкина, Н.А. Менчинской, С.Л. Рубинштейна, И.С. Якиманской и др.
Исходя из этих закономерностей, разработаны различные психолого-педагогические направления развития математического мышления учащихся (Р. Атаханов, Л.В. Виноградова, В.А. Крутецкий, Л.К. Максимов, Н.В. Метельский, А.А. Столяр, Л.М. Фридман, СИ. Шапиро и др.). Воспитание у учащихся математического мышления, выявление и исследование его компонентов рассмотрены математиками-методистами Ю.М. Колягиным, В.И. Крупичем, Г.Л. Луканкиным, О.С. Медведевой, В.И. Мишиным, М.В. Потоцким, И.М. Смирновой, Н.А. Терешиным, СИ. Шварцбурдом и др.
Большой вклад в исследование вопросов формирования и развития математического мышления внесли математики Г. Вейль, А. Пуанкаре, Г. Штейнгауз, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин.
В диссертационных исследованиях Н.К. Амонова [8], О.А. Креславской [101], О.С Медведевой [128], С.Д- Мухаметрахимовой [143], Д.Д. Рыбдыловой [174], И.Н. Семеновой [176], Е.В. Сухоруковой [184] обоснованы приемы развития различных компонентов математического мышления: логического, абстрактного, алгоритмического, эвристического (в частности, комбинаторного) мышления; анализа, планирования и рефлексии на математическом материале. При этом развитие математического мышления связывается с решением задач как основным методом обучения и методом приобретения знаний.
Мы полагаем, что наиболее адекватным сущности математической деятельности, а значит и формированию компонентов и качеств математического мышления, является выполнение школьниками исследовательских заданий, т.е. заданий, при решении которых ученик должен пройти основные этапы процесса математического исследования, включающего в себя формулировку рассматриваемой проблемы, построение математической модели задачи, изучение и анализ данных, построение плана исследования, выдвижение гипотез, их подтверждение или опровержение, логическое оформление решения, анализ и обобщение результатов, их интерпретацию и применение.
Проблема исследовательской деятельности школьников имеет богатую историю. Идея исследовательского метода появилась в педагогике в последней трети XIX века и была сформулирована биологом А.Я. Гердом, историком М.М. Стасюлевичем в России и химиком Р.Э. Армстронгом, естествоиспытателем Т. Гексли в Великобритании. Основное внимание уделялось учебным исследованиям в естественнонаучной и гуманитарной областях (Б.В. Всесвятский [31], В.Е. Райков [170] и др.); эти направления исследовательской деятельности школьников продолжают оставаться приоритетными и на сегодняшний день (В.И. Андреев [9], А.В. Леонтович [108], И.Д. Чечель [209], а также см. сборники [80], [169]).
Включение элементов исследования в учебную деятельность используется в гимназиях и лицеях как в рамках отдельных конкретных предметов, так и в качестве общешкольной дидактической концепции (опыт подобной творческой работы некоторых школ освещен в [209], с. 100-115). Широкое распространение в отечественной и зарубежной практике получил такой вид исследовательской работы, как метод проектов (Б.Л. Вульфсон [32]; В.В. Гузеев [50]; [80]; Е.С. Полат [162]; [169]; З.И. Хусаинова [204]; И.Д. Чечель [209] и др.). По словам А.В. Леонтовича, суть учебно-исследовательской деятельности учащихся как перспективной образовательной технологии, развивающейся в настоящее время в образовательных учреждениях Москвы, состоит «в том, что в рамках различных форм образовательной работы (курс «технология», группы дополнительного образования, лагеря труда и отдыха, экспедиции) учащиеся выполняют исследовательские проекты в различных областях естественных и гуманитарных наук» ([108], с. 152). Планируемое нами выполнение учебного исследования на уроках алгебры в основной школе, в которое могли бы быть вовлечены все учащиеся класса и которое не потребовало бы дополнительных затрат учебного времени, не укладывается в обозначенные рамки.
Общие аспекты формирования различных приемов математической исследовательской работы учащихся затронуты в трудах ученых-математиков А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, Б.В. Гнеденко, В.Г. Болтянского, Л.Д. Кудрявцева, Д. Пойа и др. Однако в работах математиков-методистов учебное исследование чаще всего рассматривается либо как элемент углубленного изучения математики, либо как форма факультативной работы (Б.А. Викол [27], С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин [42], Н.К. Костюкова [100], Г.В. Токмазов [191], И.М. Челябов [207]). Что же касается основных уроков в общеобразовательной школе, то большее внимание уделяется исследовательской работе учащихся на геометрическом материале (В.А. Гусев [51], З.П. Каплан [83], Е.В. Ларькина [107], Л.М. Лоповок [115], А.Я. Цукарь [206]). Между тем, один из принципов новой концепции школьного математического образования состоит в том, чтобы при обучении математике «предпочитать эвристическое исследование доктринальному изложению» ([96], с. 15). Появление задач-исследований в учебниках по математике под редакцией Г.В. Дорофеева ([120] - [122]), исследовательские работы в учебниках по алгебре авторов К.С. Муравина, Г.К. Муравина и Г.В. Дорофеева ([5], [6]) свидетельствуют о возможности включения учебного исследования в процесс обучения математике. Однако недостаточное использование в повседневной школьной практике развивающего потенциала исследовательских заданий по алгебре определяет, на наш взгляд, целесообразность проведения дальнейшей работы в этом направлении.
В своем исследовании мы опираемся на сформулированное С.Л. Рубинштейном положение о том, что «основным способом существования психического является его существование в качестве процесса или деятельности» ([173], с.25). При этом любой мыслительный процесс, благодаря которому человек включается в познавательную деятельность, начинается и осуществляется в силу определенных причин — побуждений, мотивов и т.д. Тем самым процессуальный аспект мышления оказывается тесно связанным с его личностным аспектом, и прежде всего — с мотивационным. Негативное отношение школьника к математике препятствует развитию его математического мышления. Среди положительных мотивов учения ведущая роль принадлежит любознательности и интересу, поэтому проблему развития математического мышления учащихся мы рассматриваем во взаимосвязи с педагогической проблемой формирования познавательного интереса к математике.
Изучению познавательных интересов учащихся, поиску эффективных путей их формирования посвящены работы многих психологов и педагогов; в их числе — Л.И. Божович, А.К. Дусавицкий, В.А. Крутецкий, А.К. Маркова, Н.В. Метельский, Н.Г. Морозова, С.Л. Соловейчик, Г.И. Щукина, Л.М. Фридман.
М.Д. Боярский [24], Л.П. Кибардина [86], П.С. Коркина [99], А.В. Кухарь [106], В.Ф. Моргун [137], О.В. Тараканова [186] в своих диссертационных исследованиях осветили различные аспекты проблемы формирования познавательного интереса к математике. Однако отмечаемое многими педагогами падение интереса к учению, с одной стороны, а с другой — наличие учащихся, жаждущих удовлетворить свой интерес к математике, свидетельствует о том, что проблема эта по-прежнему актуальна. Более того, давняя идея «учения с увлечением» приобретает сегодня новый смысл, потому что школа, перестав быть единственным «окном», через которое ученик открывает мир, «должна повысить свою конкурентоспособность по сравнению с другими, внешне привлекательными, но зачастую пустыми и даже вредными компонентами окружающей образовательной среды» ([47], с. 19).
Все вышесказанное определяет актуальность нашего исследования.
Проблему исследования составляет необходимость разрешения противоречия между потребностью современной школы в дидактических средствах, активизирующих развитие математического мышления учащихся и повышающих познавательный интерес к математике, и недостаточной обеспеченностью этими средствами процесса обучения алгебре в общеобразовательной школе.
Объектом исследования являются процессы развития математического мышления и формирования познавательного интереса школьников.
Предмет исследования — использование исследовательских заданий по алгебре для развития математического мышления и формирования познавательного интереса учащихся основной школы.
Цель исследования заключается в выявлении и научном обосновании возможностей использования исследовательских заданий по алгебре для развития математического мышления учащихся 7-9 классов на основе формирования у них познавательного интереса к математике.
Поиск решения проблемы основывается на гипотезе о том, что развитие математического мышления учащихся основной школы и формирование у них познавательного интереса к математике - взаимосвязанные процессы, и эффективным средством, активизирующим эти процессы, является целенаправленное и систематическое использование на уроках алгебры исследовательских заданий.
В соответствии с проблемой, объектом, предметом, целью и гипотезой определены следующие задачи исследования:
1. Конкретизировать содержание проблемы формирования математического мышления и познавательного интереса учащихся в рамках современной концепции обучения математике.
2. Изучить психолого-педагогические и дидактические условия развития математического мышления и познавательного интереса школьников.
3. Выявить возможности использования исследовательских заданий по алгебре для развития математического мышления и формирования познавательного интереса учащихся.
4. Разработать методику включения исследовательских заданий в учебный процесс, реализующую развивающий потенциал этих заданий.
5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методики. Для исследования проблемы и решения поставленных задач нами были использованы следующие методы исследования:
- изучение и анализ психолого-педагогической, научно-методической и математической литературы по теме исследования;
- беседы с учителями, анкетирование учителей и учащихся, анализ ученических работ;
- наблюдение за процессом преподавания математики в средней школе;
- анализ и обобщение опыта работы учителей и собственного опыта преподавания алгебры и геометрии в средней школе;
- проведение педагогического эксперимента с целью проверки эффективности разработанной методики.
Методологические основы исследования составляют теория психического как процесса; основы теории учебной деятельности и теории общего развития в обучении; теория проблемного обучения; парадигма личностно ориентированного образования; концепция гуманитарного непрерывного математического образования, а также работы ученых математиков, раскрывающие значение математического образования для интеллектуального развития личности.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что в диссертации проведен анализ различных подходов к определению специфики математического мышления, исследованы психолого-дидактические основы взаимосвязи процессов развития математического мышления и познавательного интереса школьников, определен развивающий потенциал исследовательских заданий и на основе этого разработаны общие положения методики развития математического мышления учащихся и формирования у них познавательного интереса к математике посредством включения в процесс изучения алгебры исследовательских заданий.
Научная новизна состоит в том, что:
1. Раскрыта специфика взаимосвязи процессов развития математического мышления учащихся и формирования познавательного интереса к математике: познавательный интерес стимулирует развитие математического мышления, являясь одним из его мотивов, а развитие математического мышления создает интеллектуальную базу для формирования познавательного интереса к математике и является необходимым условием его превращения в теоретический интерес.
2. Определено влияние этапов решения исследовательского задания по алгебре на развитие компонентов математического мышления и формирование познавательного интереса к различным аспектам математической деятельности.
3. Выделены учебно-исследовательские умения, необходимые для успешного выполнения исследовательских заданий по алгебре и являющиеся показателями развития операционной структуры математического мышления.
4. Разработана различные варианты организации учебных исследований на уроках алгебры, различающиеся формой работы, местом в учебном процессе, степенью самостоятельности учащихся при их выполнении, а также структурой исследовательских заданий, содержанием в них исследовательских компонентов.
Практическая значимость проведенного исследования состоит в том, что разработанная методика включения исследовательских заданий в процесс обучения алгебре, ориентированная на развитие математического мышления учащихся и формирование у них познавательного интереса к математике, и приемы составления исследовательских заданий могут быть использованы в практической деятельности учителей общеобразовательных школ, а также служить основой для создания методических материалов, реализующих развивающую функцию обучения математике.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в процессе преподавания алгебры в средних общеобразовательных школах № 1937 и № 1738 ЮВАО г. Москвы, проведения лекционных занятий на математическом факультете МПГУ в курсах «Психолого-педагогические основы обучения математике» (2000, 2001 гг.) и «Педагогика» (2001 г.), в форме отчетов по научно-исследовательской работе на заседаниях кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания МГПУ, выступлений на заседаниях методического объединения учителей математики школ № 1937 и № 1738. Основные положения и результаты исследования докладывались на ежегодных конференциях «Дни науки в МГПУ» (2000 - 2002 гг.), на научно-методической конференции «Стимулирование познавательной деятельности студентов и школьников» (г. Москва, 2002 г.).
Основные этапы исследования. Исследование проводилось в три этапа.
Первый этап исследования (1997-1999 гг.) состоял в изучении теоретических основ проблемы, а также оценке ее состояния на основе анализа литературы, учебных пособий, опыта учителей. На этом этапе происходило изучение психолого-дидактических основ проблемы развития математического мышления учащихся и формирования их познавательных интересов; разработка общего плана исследования, его методологического аппарата, определение сущности проблемы исследования; изучение опыта проведения учебных исследований на уроках математики; разработка плана и содержания педагогического эксперимента.
Второй этап исследования (1999-2001 гг.) включал в себя уточнение конкретных задач исследования; создание банка исследовательских заданий; разработку методических условий использования исследовательских заданий на уроках алгебры с целью развития математического мышления и познавательного интереса учащихся; проведение поискового эксперимента и основной части формирующего эксперимента; разработку критериев проверки эффективности используемой методической системы; подготовку публикаций и основную апробацию результатов исследования
На третьем этапе исследования (2001-2002 гг.) был продолжен формирующий эксперимент; проведено определение влияния разработанной методики на развитие различных компонентов и качеств математического мышления и формирование познавательного интереса к математике; разработаны практические рекомендации по созданию и использованию исследовательских заданий на уроках алгебры в средней школе.
На защиту выносятся:
1. Теоретическое обоснование взаимосвязи процессов развития математического мышления и формирования познавательного интереса учащихся к математике.
2. Теоретическое и экспериментальное обоснование целесообразности и возможности реализации этих процессов посредством включения в обучение алгебре в 7-9 классах исследовательских заданий.
3. Методические рекомендации к составлению исследовательских заданий по алгебре и включению их в учебный процесс.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Понятие мышления в психолого-педагогической литературе
Для того, чтобы конкретизировать содержание проблемы развития математического мышления, что является первой задачей нашего исследования, мы сначала обратимся к психолого-педагогической литературе, посвященной изучению мышления как процесса познания в ходе обучения и воспитания, выявлению его индивидуальных особенностей, побудительных мотивов и механизмов протекания.
Д. Дьюи пишет, что «мышлением» называют как вообще «все, что взбредет на ум», так и «активное, настойчивое и внимательное рассмотрение какого бы то ни было мнения, или предполагаемой формы знания, или оснований, на которых оно покоится, и анализ дальнейших выводов, к которым оно приводит» ([73], с. 15); последнее он называет рефлективным мышлением (мышлением «в самом лучшем виде»). Мы возьмем за основу энциклопедическое определение мышления, трактующее его как опосредованное (восприятием других объектов, связанных с изучаемым) и обобщенное (то есть позволяющее выявить среди изучаемого общее и существенное) познание человеком предметов и явлений объективной действительности, выходящее за пределы чувственного познания ([153], с.899).
Изучение работ П.П. Блонского [17], А.В. Брушлинского [25], Л.С. Выготского [33], [34], В.В. Давыдова [52], [53], [54], К. Дункера [69], Д. Дьюи [73], А.З. Зака [74], Е.Н. Кабановой-Меллер [81], З.И. Калмыковой [82], А.Н. Лука [117], A.M. Матюшкина [125], Н.А. Менчинской [129], С.Л. Рубинштейна [174], O.K. Тихомирова [190], Л.М. Фридмана [199], И.С. Якиманской [220] позволило выделить следующие основные положения теории мышления, на которые будет опираться наше исследование.
Мышление рассматривается психологами как познавательная деятельность, результатом которой является усвоение или формирование знаний о внутренних свойствах объектов и связях между ними. Знание выступает не только как конечный результат мышления, но и как его отправная точка и как средство процессов мышления и обучения. При этом знания не всегда служат опорой мышления, они могут и тормозить его. Опираясь на прошлый опыт, мышление обеспечивает переработку информации и получение новой, не заданной в исходной ситуации, то есть не сводится к функционированию уже готовых знаний. Поэтому объективным критерием мышления является его продуктивность, искание и открытие существенно нового по отношению к предшествующим стадиям мышления и всей жизни данного индивида.
Мышление возникает из проблемной ситуации и направленно на ее разрешение. По образному выражению Д. Дьюи, «мышление начинается в положении, которое достаточно ясно может быть названо положением на распутье, положение двойственное, представляющее дилемму, предлагающее альтернативу... Проблема устанавливает цель мысли, а цель контролирует процесс мышления» ([73], с. 20-21). Психологическая структура проблемной ситуации включает познавательную потребность, побуждающую человека к интеллектуальной деятельности, неизвестное знание или способ деятельности и интеллектуальные возможности человека, включающие его творческие способности и прошлый опыт.
Основными мыслительными операциями являются анализ, синтез, абстрагирование и обобщение. Анализ — это мысленное расчленение объекта на части с целью установления его свойств и особенностей, взаимосвязей этих частей объекта; синтез — мысленное воссоединение отдельных элементов или частей в единое целое (при решении математических задач синтез может использоваться также в форме движения от данных к искомым фактам, а анализ - от искомых к данным задачи, см. [22], с.8). Абстрагирование Е.Н. Кабанова-Меллер рассматривает как процесс выделения существенных сторон в решении задачи при разном отношении к несущественным обстоятельствам. В зависимости от этого абстракция может быть изолирующей (полное отвлечение рассматриваемого элемента от остальных), подчеркивающей (данный элемент хотя и выходит на передний план, но полностью не отделен от остальных) и расчленяющей (происходит сознательное расчленение существенного и несущественного и их противопоставление) ([81], с.48-58). Наконец, обобщение — это мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих свойств или отношений. Существует два типа обобщения: содержательное (теоретическое), заключающееся в выделении общего как существенного свойства, и формальное (эмпирическое) — выделение общего как сходного. Эмпирическое обобщение устанавливает формальные родо-видовые зависимости в различных классификациях. Теоретическое обобщение обнаруживает и прослеживает реальные взаимосвязи всеобщего с особенным и единичным и совершается не путем сопоставления признаков (индуктивное обобщение), а путем анализа сущности изучаемых предметов. Ведущим звеном мыслительной деятельности, основным механизмом мышления является анализ через синтез, то есть изучение познаваемого объекта через включение его в новые связи и отношения, позволяющие раскрывать различные его качества и свойства, вычленение и анализ условий задачи через соотнесение их между собой и с требованиями. Закономерности мыслительных процессов в их взаимоотношениях друг с другом являются основными внутренними закономерностями мышления.
Различные подходы к определению специфики математического мышления
Обратимся сначала к анализу особенностей математических объектов. Сформулированное Ф. Энгельсом определение математики как науки о пространственных формах и количественных отношениях, совершенно отделенных от их содержания ([219], с.33), по мнению А.Н. Колмогорова, применимо и на современном этапе развития математики, если расширить понимание терминов «количественные отношения» и «пространственные формы», включив в них отношения между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, все разнообразие форм пространств любого числа измерений и т.п. (см. [89]). Б.В. Гнеденко к количественным изменениям и пространственным формам добавляет еще «логические связи между явлениями и их характеристиками» ([44], с.48). Е.А. Беляев, Н.А. Киселева и В.Я. Перминов, анализируя особенности развития математического знания, приходят к такому выводу: «математическая теория есть лишь знаковая модель для тех или иных отношений, устанавливаемых опытными (содержательными) науками... Таким образом, математика - это искусственный язык по отношению к определенной содержательной области, который ввиду характера своей внутренней организации позволяет получить достаточно далекие и строгие следствия из соответствующей системы содержательных утверждений» ([16], с.8, 13). М.М. Постников считает, что математика — наука о схемах моделей окружающего мира, изучающая «все возможные — хотя бы мысленно -схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т. д. и т. п.» ([163], с.85).
В каждом из приведенных определений математики подчеркивается предельно абстрактный характер математических объектов, их отвлеченность от конкретных свойств материальных предметов. Об этом же писал А. Пуанкаре: «математики изучают не предметы, а лишь отношения между ними; поэтому для них безразлично, будут ли одни предметы замещены другими, лишь бы только не менялись их отношения. Для них не важно материальное содержание; их интересует только форма» ([167], с.26). По мнению Л.М. Фридмана, этой особенностью объектов математики и обусловлена специфика математического мышления. Поэтому он предлагает такое определение: «математическое мышление — это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранялись заданные между ними отношения» ([199], с.165).
Хотя математика как учебный предмет и построена на базе математической науки, данное определение математического мышления трудно использовать в применении к процессу обучения школьников математике. Л.М. Фридман, вслед за А.А. Столяром и П.-Х. ван Хиле, определяет уровень развития математического мышления уровнем общности, абстракции и строгости обоснования изучаемого материала. Известно, что школьный курс геометрии, а тем более алгебры, не обладают достаточным проявлением этих признаков, чтобы можно было говорить о сформированности у учащихся общеобразовательных школ математического мышления в указанном понимании. Кроме этого, как писал П.П. Блонский, «за развитием абстрактного мышления, при неправильном воспитании его, может следовать развитие формального мышления. Утрированное же развитие формального мышления ведет к тому же, к чему ведет и утрированное развитие словесно-книжного мышления: получается огромный отрыв от конкретного мира мысли, поднявшейся в мир абстракций настолько высоко от этого конкретного мира, что она уже рискует упустить его из виду и забыть его» ([17], с.24-25). Поэтому, хотя рассматриваемое определение и правомерно с научной точки зрения, с дидактической точки зрения мы считаем его использование нецелесообразным.
Специфичность математической науки с точки зрения применяемых методов отражена в трактовке математики как области человеческого знания, в которой изучаются математические структуры (Н. Бурбаки). Ж. Пиаже считал, что «если проследить до самых истоков психологическое развитие арифметических и геометрических операций в сознании ребенка и особенно операций логических, ...то вновь находят все этапы — вначале фундаментальные тенденции к организации целого или системы, вне которой элементы не имеют ни значения, ни вообще существования, а затем распределение этих систем совокупностей по трем типам, которые в точности соответствуют структурам алгебраическим, структурам порядка и топологии»; поэтому он пришел к заключению, что «ум непосредственно ориентирован на организацию определенных операторных структур, изоморфных таким же или некоторым частям математических структур» ([157], с.13, 28). И.Я. Каплунович и Т.А. Петухова, развивая теорию Пиаже, присоединяют к названным трем структурам математического мышления еще две: метрическую, позволяющую вычленить в объектах и их компонентах количественные величины и отношения, и проективную, обеспечивающую пространственное восприятие математического объекта или его изображения ([85]). По их мнению, эти структуры пересекаются и находятся в определенной иерархии по степени значимости; ведущая подструктура определяет индивидуальные особенности математического мышления школьников.
Развивающий потенциал исследовательских заданий по алгебре
Как известно, любое качество мышления нуждается для своего формирования в постановке специальных задач, требующих использования данного качества. Для развития математического мышления (его интуитивных и логических компонентов, алгоритмических и эвристических составляющих, умения оперировать с математическими абстракциями, таких качеств, как доказательность и критичность) учащиеся должны быть вовлечены в деятельность, моделирующую процесс подлинного математического исследования.
Научное исследование - это систематическое и целенаправленное изучение объектов, в котором используются средства и методы науки и которое завершается формулированием знаний об изучаемых объектов ([43]). Специфика математического исследования состоит, прежде всего, в оперировании отвлеченными, идеализированными понятиями и объектами и в возможности логического доказательства истинности математических утверждений. Это в полной мере свойственно исследованию на алгебраическом материале, в котором в качестве конкретной опоры абстрактных алгебраических понятий и мыслительных операций также выступают абстракции — числа и арифметические операции, а доказательство справедливости установленных свойств или закономерностей производится путем формальных преобразований.
Пользуясь буквенными обозначениями, алгебра изучает общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений. Как писал Н.Г. Чеботарев, «историческая задача алгебры заключается в том, что она служила и служит колыбелью для вновь возникающих идей и методов, которые впоследствии проникают в другие отделы математики и нередко начинают играть в них доминирующую роль» ([144], с.34). Поэтому школьный курс алгебры должен убедительно продемонстрировать учащимся, что применение алгебраического аппарата возможно всюду, где приходится иметь дело с операциями, аналогичными сложению и умножению чисел. Вооружение учащихся доступными алгебраическими методами успешнее всего может происходить в процессе выполнения ими учебных исследований по «открытию» этих методов.
Учебным исследованием называется такая организация учебной работы, при которой учащиеся знакомятся с научными методами получения знаний и, осваивая доступные им элементы этих методов, овладевают умением самостоятельно добывать новые знания, планировать поиск и открывать новую для себя зависимость или закономерность ([102]). В отличие от научного исследования, главной целью которого является изменение действительности через получение новых знаний об объекте исследования, учебное исследование направлено на изменение в самом ученике путем создания качественно новых для него ценностей, важных для формирования личности как общественного субъекта. Реализуется учебное исследование через выполнение учебно-исследовательских задач.
Под задачей в психологии понимается единство цели действия и условий его достижения; по определению А.Н. Леонтьева, «задача - это и есть цель, данная в определенных условиях» ([110], с. 107). Понятие учебной задачи впервые в отечественной литературе появилось в психологических работах, связанных с разработкой концепции учебной деятельности (Д.Б. Эльконин). Именно в них было отмечено, что существенным результатом решения учебной задачи выступают изменения, происходящие в самом субъекте, а не в материале, с которым он имеет дело. В.В. Давыдов рассматривает учебную задачу как один из основных структурных компонентов учебной деятельности, направленной на формирование у школьников научно-теоретического мышления. Он понимает под учебной задачу, при решении которой школьник ищет и находит общий способ (или принцип) подхода ко многим частным задачам определенного класса, которые в последующем решаются школьником как бы «с хода» и сразу правильно ([53]). Ее можно рассматривать как аналог задачи «в ведущем частном случае», решение которой включает в себя решение задачи в общем случае (Д. Пойа, [160], с.43). Решается учебная задача посредством системы учебных действий:
- принятие от учителя или самостоятельная постановка учебной задачи;
- преобразование условий задачи с целью обнаружения всеобщего отношения изучаемого объекта;
- моделирование выделенного отношения в предметной, графической и буквенной формах;
- преобразование модели отношения для изучения его свойств в «чистом виде»;
- построение системы частных задач, решаемых общим способом;
- контроль за выполнением предыдущих действий;
- оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи ([54], с. 159-160).
