Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы формирования приемов учебной деятельности
1. Психолого-педагогические основы формирования приемов учебной деятельности 17
2. Проблема формирования приемов учебной деятельности в научно-методической литературе и практике обучения математике 39
3. Содержание и структура приемов учебной деятельности в процессе решения стереометрических задач на построение... .;.66
Выводы по первой главе 119
Глава 2. Методические основы формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе решения стереометрических задач на построение
1. Система стереометрических задач на построение, обладающая свойством структурной полноты 122
2. Экспериментальное обоснование методических основ формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе решения стереометрических задач на построение 174
Выводы по второй главе 191
Заключение 194
Список литературы 200
- Психолого-педагогические основы формирования приемов учебной деятельности
- Проблема формирования приемов учебной деятельности в научно-методической литературе и практике обучения математике
- Система стереометрических задач на построение, обладающая свойством структурной полноты
Введение к работе
Математика, как учебный предмет, является составной частью процесса обучения. Поэтому основные цели обучения математике в средней школе тесно связаны и являются составной частью целей обучения вообще.
«В самом общем плане считается основной целью обучения - развитие учащегося. После такой общей формулировки возникает множество вопросов и проблем: какое место в формировании развивающейся личности занимают знания, умения и навыки по учебным предметам и по математике в частности; как понимать сам процесс развития, например, развитие мышления или общих и специальных способностей; каковы взаимосвязь процессов обучения, воспитания и развития учащихся и т.д.
В поисках ответов на эти вопросы педагоги определили многочисленные параметры общих целей обучения. К ним можно отнести:
Знакомство с основами наук - получение прочного базового образования.
Обеспечение всестороннего развития личности учащихся средствами всех учебных предметов.
Обеспечение умственного развития учащегося.
Развитие речи учащегося средствами каждого учебного предмета.
Определение оптимального набора школьных предметов.
Рассмотрение возможностей интеграции обучения за счет создания интегрированных предметов,
Необходимость широкого включения принципов политехнизма в учебно-воспитательный процесс.
Обеспечение всех форм дифференцированного обучения каждому учебному предмету.
Эстетическое воздействие средствами всего комплекса учебных дисциплин». [69, сЗ]
Перечисленные выше цели в разной степени проработаны по отношению к процессу обучения вообще и к обучению математике в частности. Однако, возникает вопрос, как построить процесс обучения, чтобы общие цели обучения были реализованы как при изучении отдельных дисциплин, так и в процессе обучения вообще.
Решение этой проблемы педагоги и психологи видят в новых подходах к процессу обучения. Ученые дидакты, психологи, методисты и многие учителя хорошо осознают, что поставленные задачи невозможно решить на основе обучения по традиционной схеме «объяснение - закрепление». Нужны новые подходы. Поэтому в течении последнего десятилетия осуществляется настойчивый поиск путей совершенствования принципов, форм, методов и приемов обучения, воспитания и развития учащихся [79,03], что приводит к изменению системы образования.
Изменения системы образования привели к созданию концепции демократизации образования, касающейся всех школьных предметов. Следовательно, основной проблемой становится дифференциация содержания обучения, которая ставит перед дидактами следующие вопросы:
какой математике учить?;
на каком уровне строгости изучать?;
как сочетать изучение различных разделов математики?;
чем должна быть «математика для всех»?;
как должно быть организовано обучение математике?;
какой должна быть роль учителя в процессе обучения математике?. Указанные проблемы следует рассматривать в аспекте демократизации и
дифференциации организационных форм работы учителя с учащимися, методов и стиля обучения, дифференциации дидактических материалов и средств, и т.д. Представляется такая гипотеза: математика остается одним из основных учебных предметов, но разные учащиеся будут изучать разную математику, либо одну и ту же математику, но в разном темпе, в зави-
симости от уровня их способностей или от заложенных в программы стандартов математической подготовки.
Направлениями решения дифференциации программ обучения являются:
дифференциация содержания обучения;
использование традиционных форм дифференциации (на уровне школ, классов, групп учащихся или индивидуальных занятий);
дифференциация с учетом потребностей будущей профессии;
модульная структура программ обучения в старших классах.
Таким образом, происходит «переориентация методической системы обучения математике на приоритет развивающей функции обучения по отношению к его образовательной, информационной функции,., переход от экстенсивного обучения к интенсивному» (Г. В. Дорофеев). Возникает стремление к созданию методической системы обучения математике, ориентированной не только на общность тех или иных математических теорий, на логическую строгость их изложения, а также на развитие наглядно-интуитивной основы математики, ее понятий, утверждений и задач во взаимосвязи с соответствующим восприятием окружающего мира, со способами мышления учащихся.
Новое направление в философии математики требует устранения безраздельного господства формализма, глобальной дедукции, логической строгости и повышения роли интуиции, и воображения как основ математического мышления и обучения математике. Это позволило поставить образ математики в центр внимания сферы образования. Что, в свою очередь, поставило проблему математического образования школьников в число важнейших задач современной педагогической психологии, дидактики и методики преподавания математики.
Развитие и реализация в обучении современных концепций: содержания образования (В. Д. Краевский, И. Я Лернер и др.), учебной деятельности
(В. В. Давыдов, А. К. Маркова и др.), активизации учения (Н. А. Менчин-ская, Д.Б.Эльконин, М Н. Скаткин, Г. И. Щукина, Т. И. Шамова и др.), управления процессом усвоения знаний (П. Я. Гальперин, Н.Ф. Талызина и др.), проблемного подхода в обучении (А. М. Матюшкин, М. И.Махмутов и др.), развития пространственного воображения (Н. Ф. Четверухин, В. П. Покровский, И. С. Якиманская и др.), направленных на совершенствование учебного процесса, показывают, что важным средством формирования у учащихся умений самостоятельно и творчески работать является включение их в специально организованную деятельность и обучение способам этой деятельности
Решаемые современной наукой проблемы проектирования и лучшей организации человеческой деятельности, открывают перед обществом новые возможности повышения эффективности и качества труда - важнейших социально-экономических задач, ориентированных на развитие этого общества.
В работах А. Н. Леонтьева и представителей его научной школы достаточно полно и развернуто рассмотрено психологическое строение деятельности. Согласно их взглядам общая теория деятельности опирается на следующие положения:
деятельность — есть жизненный процесс человека, отличающий его от животного;
именно в деятельности человек приобретает жизненный опыт человечества;
структурными единицами деятельности являются: потребность, мотив, цель и соотносимые с ними деятельность, действия, операции;
единицы деятельности взаимопереходят друг в друга: деятельность -действия - операции и мотив - потребность - цель;
сущностными свойствами деятельности являются: целенаправленность, преобразующий характер, предметность и осознаность.
В соответствии с этим в последнее время педагоги и психологи обратились к деятельностному подходу. Идея деятель ностного подхода в психологии основана на концепции развивающего обучения, которая в свою очередь отвечает на вопрос: «Можно ли посредством обучения и воспитания сформировать у человека те или иные психологические способности или качества, которых до этого у него не было?» [73, с240],
На основе этой проблемы было создано несколько теорий, которые можно разделить на две группы. Сторонники первой группы отрицают идеи развивающего обучения, а сторонники второй группы признают определяющую роль обучения и воспитания в психологическом развитии человека и стремятся к изучению закономерностей развивающего обучения. При этом они первые обратились к философской категории деятельности, исследуя которую обнаружили, что деятельность - это теоретическая абстракция всей общечеловеческой практики, имеющей общественный характер, что только в процессе деятельности человек овладевает общественно-историческим опытом человечества, Так зародился деятельностный подход в психологии. Говоря о котором Н. Ф. Талызина пишет: «Принципиальное отличие деятель ностного подхода от всех предшествующих состоит в том, что анализу подвергается реальный процесс взаимодействия человека с миром, взятый в его целостности. Все предшествующие подходы из этой системы - деятельности - «выдергивали» отдельные элементы, и абстрагируя их от системы, анализировали сами по себе»[194, с 188].
Рассматривая реальный учебный процесс, деятельностный подход, в дидактике дает возможность выявить основные его компоненты, т.е. структуру учебного процесса. Это позволяет исследовать каждый элемент учебного процесса, их взаимодействия. Деятельностный подход к анализу процесса обучения помогает учителю установить влияние обучения на личность ученика.
Говоря о приоритете деятель ностного подхода перед алгоритмическим подходом в обучении математике, А. А. Столяр отмечает: «Деятельност-ный подход неалгоритмичен, неавторитарен. Технология деятельностного подхода не есть предписание алгоритмического типа, строго детерминирующее, что в каком порядке делать. Наоборот, она открывает широкие возможности для творческого поиска» [193, с.6].
В соответствии с деятельностным подходом, по мнению психологов, у учащихся должны формироваться не только знания, а определенные виды деятельности, в которую знания входят как определенный элемент. При этом обучение должно быть построено так, чтобы оно учитывало зону ближайшего развития личности, т.е. необходимо ориентироваться не на имеющийся сегодня уровень развития, а на несколько более высокий, которого ученик может достичь под руководством учителя.
Поэтому сущность деятельностного подхода к обучению состоит в том, что ведущим организующим фактором является деятельность, ее приемы. Следовательно, приемы деятельности должны составлять значительную часть содержания обучения и быть предметом целенаправленного формирования [197]. Но те или иные способы (приемы) деятельности могут стать, а могут и не стать достоянием личности. В том случае, если они становятся ее достоянием, способы деятельности превращаются в умения и навыки как личное достояние человека [80].
Общеучебные умения и навыки называют образовательно-педагогическими, к ним относятся: умения учения, самообразования, самовоспитания (планировать учебную работу, осуществлять самоконтроль, основные приемы и действия учения, доводить умения до применения знаний, в том числе творческого, и включение их в систему научно-теоретического знания вплоть до системы мировоззрения личности); умения ориентироваться в целях самообразования в потоке информации и т.д.
Однако, необходимо было раскрыть сущность понятия деятельности, определить ее содержание, структуру, и на этой основе разработать конкретные виды умений и навыков для каждого предмета, а так же способы формирования этих умений и навыков.
Решая, выше изложенную проблему, психологи В. В. Давыдов, А. К. Маркова и др., разрабатывая концепцию учебной деятельности, использовали целостную структуру человеческой деятельности (мотивационно-ориентировочный, исполнительно - операционный, контрольно-оценочный). Специфическая деятельность учащихся по овладению научными понятиями и способами действий была названа учебной деятельностью учащихся, а сам подход - собственно деятельностным.
Психологи Н. А. Менчинская, Д. Н. Богоявленский, П, Я, Гальперин, Н, Ф. Талызина, Е. Н. Кабанова - Мел л ер и другие исследовали различные аспекты деятельностного подхода к процессу обучения. П. Я. Гальперин и R Ф, Талызина разработали этапы формирования умственных действий, входящие в состав учебной деятельности учащихся. При этом психологи полагают, что «умственное действие» не должно оставаться конечным звеном учебной деятельности учащихся. Проводя дальнейший анализ состава действия необходимо ответить на вопрос: «Каким приемом то или иное действие выполняется?». А для формирования у учащихся приемов учебной деятельности необходимо включить их в специально организованную деятельность.
Таким образом, одна из основных проблем, стоящая сегодня перед пси-холго-педагогической (в частности, методической) наукой - это проблема формирования у школьников приемов учебной деятельности как основной цели деятельностного подхода к процессу обучения.
Одним из условий формирования приемов учебной деятельности в обучении математике является организация их деятельности по решению задач.
Проблема формирования приемов учебной деятельности учащихся по решению задач (в частности, советы, рекомендации и приемы решения математических задач) нашли свое отражение в исследованиях Д. Пойа, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, Г. И. Саранцева, Л. М. Фридмана, Г. Д. Балка, В. Г. Болтянского и других, а так же в диссертационных исследованиях Б. А. Абремского, О. Б. Епишевой, Ю. А. Розки, Л. О. Дени-щевой, В. Ю. Гуревича, В. П. Хмель, Н. С. Новичковой и других.
Так в работах Д. Пойа, Ю. М Колягина, В. И. Крупича, Г. И. Саранцева, Л. М. Фридмана и других рассматриваются проблемы обучения математике через задачи, типология задач. Разрабатываются общие и частные приемы решения задач.
В исследованиях А. К. Артемова, Г. Д. Балка, В. Г. Болтянского, Я.И.Груднева рассматривается применение эвристических приемов при решении задач. Представители данного направления исследуют в основном процесс решения эвристических задач.
В исследованиях Л. О. Деншцевой, Б. А. Абремского, М. В. Воловича, Н. С. Новичковой, И. Ф. Протасова и других, рассматриваются приемы работы с теоретическим материалом и приемы решения школьных математических задач. Например, в исследовании Б. А. Абремского рассматривается проблема формирования приемов решения планиметрических задач на вычисление. Выявление и конструирование этих приемов проводится на заключительном этапе, на основе анализа теоретического материала, необходимого для решения задач,
Роль исследований в решении проблемы обучения учащихся решению математических задач велика. Однако, с точки зрения деятельностного подхода, в этих работах рассматривается операционный компонент учебной деятельности и мало внимания уделяется мотивационно-ориентировочному и контрольно-оценочному компонентам учебной деятельности.
Проблема формирования приемов учебной деятельности по решению задач (с учетом всех компонентов учебной деятельности) рассмотрена в диссертационных исследованиях О. Б. Епишевой, К. А. Загородных, К. О. Одинамадова, СЕ. Царевой и других.
Так в исследованиях С. Е. Царевой и К. А. Загородных выявляются приемы учебной деятельности учащихся по решению текстовых задач в 4-5 классах. В исследованиях О. Б. Епишевой и К. О. Одинамадова рассматриваются приемы решения алгебраических задач.
Проблема формирования приемов учебной деятельности учащихся по решению геометрических задач (в частности стереометрических задач на построение), ориентированных на реализацию деятельностного подхода, исследована еще недостаточно,
Системы задач служат основными средствами формирования приемов учебной деятельности учащихся по решению задач. Анализ методических работ показал, что в настоящий момент системы школьных математических задач строятся без учета знаний о задаче, как сложном объекте, о ее внешнем и внутреннем строении. Вместе с тем, в исследованиях, посвященных задачам, широкое рассмотрение нашел деятельностный подход (Ю. М. Колягин, В. И, Крупич, Г. И. Саранцев). Однако, основное внимание уделяется внешней (информационной) структуре задачи (Ю. М. Колягин, Л. М Фридман, Ф. А. Эсаулов). Проблеме, связанной с изучением внутренней структуры задачи, посвящены работы В. И, Крупича.
Рассмотрение задачи с точки зрения ее структуры позволяет решить вопрос о взаимосвязи сложности и трудности задачи и на этой основе строить систему задач, обладающую свойством структурной полноты, как необходимого условия развивающего обучения.
Таким образом, недостаточная разработанность проблемы осуществления деятельностного подхода в процессе обучения учащихся решению геометрических задач (неразработанность системы приемов учебной дея-
тельности учащихся по решению стереометрических задач на построение, отсутствие в школьных учебниках систем задач, обладающих свойством структурной полноты, как средства формирования этих приемов), определили тему настоящего исследования.
Все выше сказанное обуславливает актуальность проблемы исследования: выявление возможностей деятельностного подхода в процессе обучения учащихся решению учебных задач, обладающих свойством структурной полноты.
Цель исследования: разработка системы приемов учебной деятельности учащихся по решению геометрических задач на построение, ориентированных на реализацию деятельностного подхода, а так же систем геометрических задач на построение, обладающих свойством структурной полноты, направленных на формирование приемов учебной деятельности учащихся.
Объект исследования: учебная деятельность учащихся при обучении решению стереометрических задач на построение.
Предмет исследования: процесс формирования приемов учебной деятельности учащихся при обучении решению учебных задач на построение по теме «Прямая и плоскость», обладающих свойством структурной полноты и его теоретическое обоснование.
Суть основной идеи нашего исследования заключается в том, что невозможно достичь эффективных результатов при обучении учащихся решению задач, если этот процесс проходит безотносительно к их учебной деятельности, содержащей в себе все компоненты человеческой деятельности.
В ходе исследования была выдвинута гипотеза исследования: целенаправленное обучение учащихся приемам учебной деятельности при решении стереометрических задач на построение по теме «Прямая и плоскость», обладающих свойством структурной полноты, позволит повысить
уровень сформированности приемов учебной деятельности и качество знаний учащихся о способах деятельности.
Для решения поставленной проблемы и проверки сформированности гипотезы были решены следующие задачи исследования:
1. Раскрыть психолого-педагогические основы деятельностного подхода в обучении математике.
2. Выявить систему приемов учебной деятельности учащихся по реше
нию стереометрических задач на построение.
3. Выделить требования к системе учебных задач, направленных на
формирование приемов учебной деятельности учащихся по решению сте
реометрических задач на построение.
4. Разработать системы учебных задач на построение по теме «Прямая и
плоскость», обладающих свойством структурной полноты.
5. Раскрыть содержание и методику экспериментального обучения.
Методологической основой исследования является диалектико-
материалистическая, в частности, психологическая трактовка понятия деятельности.
Теоретической основой исследования является концепция учебной деятельности (собственно-деятельностный подход), разработанная В.В.Давыдовым, Л.К.Марковой и другими.
Для решения поставленных задач исследования применялись следующие методы: изучение и анализ психологической, дидактической и методической литературы по вопросам, относящимся к объекту исследования; изучение и анализ состояния используемой проблемы в школьной практике (наблюдение за процессом обучения по математике, анкетирование учителей и учащихся); теоретическое исследование проблемы; педагогический эксперимент и обработка результатов эксперимента.
Новизна исследования состоит в том, что в нем:
выделена система приемов учебной деятельности учащихся по решению стереометрических задач на построение, ориентированных на реализацию деятельностного подхода;
выявлены основные требования к системе учебных задач, направленных на формирование выделенной системы приемов учебной деятельности и построены системы учебных задач (сборник) на построение по теме «Прямая и плоскость», обладающих свойством структурной полноты;
разработаны механизмы выявления степени проблемносте стереометрических задач на построение и приемы выявления внутренней структуры стереометрических задач на построение, которые служат основными средствами при систематизации задач;
разработана методика обучения учащихся решению учебных задач на построение по теме «Прямая и плоскость» на основе формирования приемов учебной деятельности.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанные в диссертации теоретические положения и практические рекомендации по формированию приемов учебной деятельности учащихся по решению стереометрических задач на построение могут быть использованы учителями математики в их практической деятельности для повышения качества и эффективности обучения. Результаты исследования так же могут быть использованы при разработке программ, задачников и учебников геометрии средней школы.
На защиту выносятся:
Система приемов учебной деятельности учащихся по решению стереометрических задач на построение, ориентированных на реализацию деятельностного подхода.
Механизм выявления степени проблемности и приемы выявления внутренней структуры стереометрических задач на построение.
Требования к системе учебных задач, направленных на формирование приемов учебной деятельности.
Системы учебных задач (сборник) на построение по теме «Прямая и плоскость», обладающих свойством структурной полноты.
Методика обучения учащихся решению учебных задач на построение по теме «Прямая и плоскость», на основе формирования приемов учебной деятельности.
Апробация и внедрение результатов исследования. Исследование проблемы формирования приемов учебной деятельности учащихся в процессе решения стереометрических задач на построение, осуществлялось с 1994 по 2000 годы в три этапа:
изучение и теоретический анализ практического состояния и обучения решению стереометрических задач на построение в школе, курсов ПРМЗ (геометрия), спецкурсов МПМ; программ по математике общеобразовательных школ различных типов; анализ теоретического материала учебников геометрии; изучение и теоретический анализ литературы по проблеме исследования;
выделение приемов поиска решения стереометрической задачи на построение, выявление требований, предъявляемых к системе учебных задач, направленных на формирование у учащихся этих приемов; разработка механизмов определения степени проблемности и внутренней структуры стереометрической задачи на построение;
3) подготовка задач обучающего и контролирующего эксперимента;
проведение эксперимента; проверка эффективности разработанной мето
дики; теоретическое обобщение полученных результатов.
Внедрение результатов исследования осуществлялось:
-путем проведения уроков геометрии в X классах, кружковых и факультативных занятий;
-путем выступления автора на научно-методических семинарах, итоговых научных конференциях кафедры методики преподавания математики и математического анализа, и кафедры алгебры и геометрии Приднестровского Государственного университета им.Т.Г.Шевченко, на международных научно-практических конференциях «Математическое образование: современное состояние и перспективы» (г.Могилев, 1999 год), «Математические методы в образовании, науке и промышленности» (г.Тирасполь, 1999 год), «VIII Беларусская математическая конференция» (Минск 2000 год);
-путем ведения спецсеминара со студентами физико-математического факультатива Приднестровского Государственного университета им. Т.Г.Шевченко;
-путем публикации методических пособий, статей, тезисов, докладов.
Материалы диссертации использовались в практике учителей старших классов Приднестровья.
По теме исследования опубликовано 6 работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Психолого-педагогические основы формирования приемов учебной деятельности
Понятие деятельности - одно из основных в современной психологии. А. Н. Леонтьев определял деятельность как молярную единицу «жизни телесного материального субъекта. В более узком смысле - писал он, - т.е. на психологическом уровне, это единица жизни, опосредованной психическим отражением,., это не реакция и не совокупность реакций, а система, имеющая строение, свои внутренние переходы и превращения, свое развитие». [124]. Таким образом, деятельность - процесс активности человека, характеризуемый предметом (на что направлен данный процесс), потребностью и мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями. Предмет деятельности - то, на что направлен процесс (создание продукта деятельности, приобретение знаний, саморазвитие). Потребность в деятельности - это основной исгочник активности человека, его нужда в предмете деятельности. Форма проявления потребности - мотив - это то, что побуждает человека к деятельности, связано с удовлетворением определенной потребности. Цель деятельности - ее направленность на определенный результат. Без умения ставить цели и достигать их потребности и мотивы остаются нереализованными. Цели деятельности определяют выбор действий, условия достижения цели - выбор операций (способов выполнения действий). В каждом выполняемом человеком действии различают результат этого действия и общий способ, с помощью которого выполняется данное действие. Если усилия человека направлены на овладение общими способами действий, то его деятельность становится целенаправленной.
Управление процессом обучения через обработку макроструктуры деятельности учащихся составляет сущность деятельностного подхода в дидактических и методических исследованиях.
Под учебной деятельностью Д. Б. Эльконин, В. В. Давыдов и др. понимают деятельность учащихся по приобретению теоретических знаний о предмете изучения на основе его преобразования, экспериментирования с ним. Усвоение знаний в этом случае носит творческий характер. Содержание учебной деятельности составляют как теоретические знания, так и приемы, способы деятельности, т.е. соответствующие им умения и навыки. Следовательно, реализация учебной деятельности осуществляется посредством выполнения учащимися соответствующих действий.
Условиями правильной организации учебной деятельности являются: потребности самих учащихся осуществлять творческое преобразование учебного материала с целью овладения новыми знаниями; постановка учебной задачи, стимулирующей эту потребность; внимание учителя к полноценному выполнению учащимися учебных действий по решению учебной задачи. Таким образом, учитель обучает в соответствии с требованиями учебной деятельности (методом решения школьниками учебных задач), если, опираясь на потребность и готовность школьников к овладению теоретическими знаниями, умеет поставить перед ними на конкретном материале задачу и решить ее с учащимися.
Теория учебной деятельности включает в себя три звена: мотивационно-ориентировочное (постановка учебной задачи), исполнительно-операционное (учебные действия для решения учебной задачи) и контрольно-оценочное. Основным содержанием учебной деятельности являются общие способы действий (алгоритмы, приемы) по решению достаточно широких классов задач, когда деятельность учащихся направлена на овладение этими общими способами.
Проблема формирования приемов учебной деятельности в научно-методической литературе и практике обучения математике
Рассматривая вопрос о формировании приемов учебной деятельности в научно-методической литературе, выделим следующие направления:
1) разработка различных советов, рекомендаций, указаний, вопросов, правил и т.д. для решения математических задач;
2) выявление приемов для решения и составления математических задач;
3) выявление приемов учебной деятельности учащихся по решению математических задач.
Остановимся на каждом, из перечисленных выше, направлений.
Представители первого направления Д. Пойа, Ю. М. Колягин, Л. М. Фридман и другие предлагают различные рекомендации, советы в процессе решения задач.
При анализе условия и требования задачи Д. Пойа предлагает обращаться к ученикам со следующими вопросами: Что гласит задача? Что дано? Что нужно найти? Определено ли неизвестное данными задачи? Или недостаточны, или чрезмерны? Нельзя ли сформулировать задачу иначе? Нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением? Или с задачей, решающейся проще? Решающейся сразу? [160].
Отвечая на вопрос: Как же научиться решать задачи? Л. М. Фридман предлагает следующее:
- во- первых, надо научиться анализировать сами задачи.
Это значит, что нужно уметь расчленять задачу на элементарные условия и фсбования. Л в каждом злемеїпарном условии видеть объект и его характеристику, если же объектов в условии несколько, то выявить их отношение (связь). Нужно так же установить характер каждого требования (вопроса) и тем самым определить вид задачи;
во- вторых, надо хорошо понять, что решение любой задачи есть последовательное применение каких-то знаний (главным образом математических) к условиям данной задачи, получение тем самым из этих условий следствий (промежуточных решений) до тех пор, пока не получим такие следствия, которые являются ответами на требования (вопросы) задачи.
А для того, чтобы получать эти следствия, надо хорошо знать и помнить все знания (определения, правила, формулы, теоремы и т.д.) из курса математики. Без этих знаний решать задачи невозможно;
- в- третьих, надо уметь использовать основные методы решения задач. А их всего лишь три: разбиение задачи на подзадачи, преобразование (моделирование) задачи и метод вспомогательных элементов.
Получив задачу, проанализировав ее, построив ее схематическую запись (если надо), дальше надо действовать, как правило в таком порядке:
1. Если можно разбить сложную задачу на более простые подзадачи.
При этом в ряде случаев это разбиение можно производить последова тельно, вычленяя из данной задачи ее подзадачи одна за другой.
2. Если же разбить сложную задачу на подзадачи не удается, то надо, если можно, преобразовать ее в более простой, более знакомый вид. Для этого можно использовать различные приемы: тождественные пре образования заданных выражений, замену переменных (неизвестных), раз личные замены объектов задачи другими более знакомыми или более удобными объектами и т. д.
Самый простой прием заключается в том, что сопоставляя между собой условия задачи, делают такие выводы, которые позволяют преобразовать задачу в более простой вид.
3. Если же разбить задачу на подзадачи или преобразовать ее в более простой вид непосредственно не удается, то надо попытаться ввести какие либо вспомогательные элементы, с тем чтобы получить задачу, которую или можно разбить на подзадачи, или же преобразовать в более простой вид [208, с 179].
Система стереометрических задач на построение, обладающая свойством структурной полноты
Степень проблемности задачи определяет ее информационная структура, рассматривающая задачу как замкнутую систему S = {А, С, R, D, В} (все компоненты которой взаимосвязаны и дополняют друг друга), где
А - условие (условия) задачи, т.е. данные и отношения между ними;
В - требование задачи, т.е. искомое (искомые) и отношения между ними;
С - базис решения задачи, т.е. теоретическая и практическая основа, необходимая для обоснования решения;
D - способ, определяющий процесс решения задачи, т.е. способ действия по преобразованию условий (условия) задачи для нахождения искомого;
R - основное отношение в системе отношений между данными и искомыми.
В настоящее время еще неизвестен критерий, определяющий степень проблемности любой задачи. Однако, анализ информационной структуры, позволяет установить, какими компонентами определяется в задаче объективная исходная проблемная ситуация, преобразование которой в соответствующую стационарную ситуацию образует решение задачи. Для задач на построение таким компонентом является «способ действия» (D) - алгоритм (прием) или последовательность алгоритмов (приемов) решения задачи.
Рассмотрим механизм определения степени проблемности стереометрических задач на построение.
В третьем параграфе было установлено, что последовательное применение приемов: принятие учебной задачи, поиска решения учебной задачи, формирования общего способа решения учебной задачи; позволяет получить план решения предметной задачи, состоящий из основных шагов построения в порядке их выполнения. При этом элементы замкнутой системы S={A, С, R, D, В} могут быть определены, следующим образом:
1) А={А[, А2, Аз, Ад , Ri }, где Ai - условие задачи, Аг - зависимости между данными, Аз - возможные конфигурации данных, А4 - возможные конкретные группы данных, Ri - отношения между данными;
2) В={В, В2, В3, R2, Яз }, где В і - искомые задачи, В2 - зависимости между искомыми, В3 - зависимости между данными и искомыми, Кг - отношения между искомыми, R3 - отношения между данными и искомыми;
3) C={Ct!, C2,...Cu R4}, где Сі - теоретические (или) практические положения, необходимые для отыскания решения предложенной задачи (эти же положения используются в дальнейшем для проверки и обоснования данного решения), RJ - отношения между элементами каждого из множеств Сі (i=l, 2, ...1), при этом множество R4 содержит функциональное (основное) отношение R;
4) RERJ , где R - основное отношение, выделенное из множества отношений между данными и искомыми;
5) D={D, D2, ... Djc}, где Di -шаги построения (і=1, 2 ,.,k).
Анализ задач на построение показал, что решение задач на построение может быть сведено к одному из трех вариантов:
1) решение задачи сводится к задачам I - IV, названным в исследовании непосредственно разрешимыми, то есть, в этом случае элементами множества D являются задачи I-IV;
2) решение задачи сводится к ранее решенным задачам и (или) к задачам I-IV, т.е. среди элементов множества D появляются ранее решенные задачи, происходит укрупнение шагов построения, что позволяет соблюдать основные принципы системного подхода;
3) решение задачи сводится к решению нескольких задач, выделенных при анализе условия задачи, это происходит в тех случаях, когда в условии задачи не указаны или указаны лишь частично отношения между данными (элементы множества Ri либо неизвестны, либо известны лишь частично). Данная задача, тогда, разбивается на подзадачи, решение каждой из которых позволяет построить искомую фигуру. В этом случае решение каждой из подзадач сводится либо к виду I), либо к виду 2), а элементы множества D сами являются множествами.
Выше изложенное позволяет выделить следующие типы задач:
1) задачи решаемые непосредственно (первая степень проблемности);
2) задачи, решение которых сводится к решению некоторой последовательности задач первого типа и (или) ранее решенным задачам (вторая степень проблемности);
3) задачи для решения которых необходимо рассмотрение всех возможных случаев взаимного расположения элементов данных в условии задачи (третья степень проблемности).
Примеры классификации задач рассмотрим в пункте 1.2.
Разработанный механизм определения степени проблемности стереометрической задачи на построение позволяет разбить множество задач на классы по степени проблемности и основному отношению. Однако, он не позволяет упорядочить задачи внутри каждого класса, а, значит, построить системы задач, удовлетворяющие принципам системного подхода.
