Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Теоретические основы методики обучения школьников приему дополнительного построения в процессе изучения планиметрии 13
1. Дополнительные построения как методическая проблема 13
2. Дополнительные построения как составная часть решения задачи 38
3. Дополнительные построения как эвристический прием 55
Выводы по главе 1 73
Глава II. Методика обучения приему дополнительного построения 75
1. Наборы задач как основное средство обучения школьников приему дополнительного построения 75
2. Этапы обучения учащихся приему дополнительного построения 95
3. Методика и основные результаты экспериментальной работы 115
Выводы по главе II 140
Заключение 142
Библиография
- Дополнительные построения как методическая проблема
- Дополнительные построения как эвристический прием
- Наборы задач как основное средство обучения школьников приему дополнительного построения
Введение к работе
В геометрии важнейшим средством активизации обучения и воспитания у школьников качеств, присущих творческой личности, является решение задач. Задачи способствуют сближению деятельности ученика с деятельностью исследователя. Рассуждение, основанное на собственном опыте, знаниях и умении преломить эти знания в зависимости от поставленной проблемы для получения верного математического результата, можно рассматривать как учебное открытие. Решение задач как метод приобретения новых знаний является наилучшим путем развития учащихся.
Умение решить задачу - это, прежде всего, умение самостоятельно провести поиск способа ее решения. И научить учащихся решать задачи значит научить их осознанному поиску решения. Проблеме обучения школьников поиску решения геометрических задач посвящено много различных научно-методических исследований (Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, Я.И. Груденов, Е.Ф. Данилова, В.В. Орлов, Д. Пойа, Ю.А. Розка, В.М. Тур-кина, Л.М. Фридман и др.). В этих работах выявляется сущность поиска решения геометрической задачи, рассматривается процесс осуществления поиска ее решения, большое внимание уделяется описанию различных приемов, используемых для поиска решения математических и, в частности, геометрических задач, поднимаются вопросы обучения поиску решения геометрических задач.
Традиционная методика преподавания геометрии уделяет большое внимание усвоению учащимися содержания предмета. При таком подходе задачи используются преимущественно для закрепления изученной темы и недостаточно для развития мышления. Приемы, способы действий, заложенные в предложенных задачах, остаются для учащихся неосмысленными и неосознанными. У школьников не вырабатываются критерии и правила, кото рыми в дальнейшем можно руководствоваться при самоопределении стратегии и тактики решения новых задач. Практика показывает, что, несмотря на большое число задач, решаемых в курсе геометрии основной школы, учащиеся испытывают трудности при самостоятельном поиске их решения.
В психолого-педагогической и методической литературе одной из основных причин механического заучивания формулировок теорем, непонимания логики построения доказательства теоремы и неумения школьников решать геометрические задачи чаще всего называют низкий уровень умения работать с чертежом (А.К. Артемов, Г.А. Владимирский, СЮ. Дивногорцева, Б.Б. Журавлев, В.И. Зыкова, Е.Н. Кабанова-Меллер, И.С. Якиманская и др.).
Чертеж широко используется в обучении геометрии. С привлечением чертежа учащиеся знакомятся с геометрическими понятиями, изучают свойства геометрических фигур, доказывают теоремы и решают задачи. Чертеж выполняет различные функции. В одних случаях он является лишь средством наглядности, в других зрительной опорой в проведении рассуждений, в третьих - источником новых знаний, справедливость которых затем доказывается логическим путем, в четвертых, основой для мыслительных операций.
Мы убедились на собственном опыте, что многие учащиеся затрудняются самостоятельно пользоваться чертеэ/сом. Они беспомощно глядят на чертеж и не видят в нем всех его особенностей, позволяющих сделать необходимые выводы. Поиск новых отношений между данными задачи по чертежу часто производится ими только с помощью наводящих вопросов учителя. Одной из причин низкого уровня умения работать с чертежом мы считаем недостаточность практических действий, связанных не только с самостоятельным выполнением чертежа, но и действий, связанных с его фактическим преобразованием.
В геометрии существует целый класс задач, решение которых предполагает преобразование геометрического чертежа. Например, задачи на разрезание, задачи, решаемые путем геометрических преобразований, задачи на отыскание геометрического места точек. К определенным изменениям на чертеже также приводят дополнительные построения.
При решении задач с помощью дополнительных построений учащийся, как правило, работает с чертежом, являющимся комбинацией различных фигур. В процессе выполнения таких задач необходимо проводить анализ имеющейся геометрической конфигурации с точки зрения недостаточности для решения фигур на чертеже, преобразовывать чертеж путем проведения новых линий на чертеже, и осуществлять повторный анализ, но уже новой геометрической конфигурации с целью получения окончательного решения. Следовательно, решение таких задач оказывает положительное влияние не только на развитие умения преобразовывать чертеж, но и на развитие умения читать чертеж.
Преобладание в ныне действующих учебниках задач, решаемых с помощью алгебраических приемов, приводит к сужению роли практических действий, связанных с преобразованием геометрического чертежа. Вслед за И.Ф. Шарыгиным нам кажется бесспорным, что «геометрия должна быть геометрической, а не аналитической или алгебраической...» и «главным действующим лицом геометрии должна быть фигура, а главным средством обучения - рисунок, картинка». И для пробуждения интереса к изучению геометрии и развития способностей к ней следует представить учащимся геометрию в виде, наибольшим образом соответствующим ее реальной сущности. Дополнительные построения являются одним из наиболее геометрических приемов решения геометрических задач.
Умение решить задачу с помощью дополнительного построения - это, прежде всего, умение найти необходимое для решения построение и реализовать его на чертеже. Данное умение предполагает владение соответствующим приемом1 - приемом дополнительного построения. Прием (и, следовательно, соответствующее ему умение) формируется методикой обучения.
Проблеме обучения школьников решению задач с использованием дополнительных построений посвящены различные научно-методические работы (С. Белый, А.И. Волхонский, П. Горштейн, Э.Г. Готман, Е.Ф. Данилова, Д.Ф. Изаак, Э. Капленко, И. Кушнир, Я. Суконник, Н.А. Тарасенкова, И.Ф. Шарыгин, В. Финкелынтейн и др.). В работах указанных авторов, как правило, демонстрируются решения геометрических задач с использованием различных дополнительных построений, поднимаются вопросы обучения поиску решения задач с помощью дополнительных построений, которые зачастую высказываются в виде отдельных рекомендаций. Следует сказать, что авторами особенности реализации на чертеже некоторых дополнительных построений практически не рассматриваются.
Непосредственно методике обучения школьников решению задач с помощью дополнительных построений посвящены диссертационные исследования А.Д. Герасимовой, В.Е. Куценка.
А.Д. Герасимовой разработана методика формирования и развития творческого воображения у учащихся в процессе поиска решения задач, требующих дополнительные построения. В.Е. Куценком в рамках своего исследования разработана методика обучения решению геометрических задач с помощью вспомогательной окружности. Следует сказать, что направление, связанное с использованием в решении данного дополнительного построения, в научно-методической литературе является наиболее разработанным.
Работы А.Д. Герасимовой и В.Е. Куценка заслуживают внимания. Однако наряду с достоинствами, которые, на наш взгляд, выражаются в указаниях о проведении некоторой подготовительной работы, предшествующей решению задач с использованием дополнительных построений, имеют и определенные недостатки. Ни в одном из научно-методических исследований не уделяется внимание установлению состава приема дополнительного построения.
В учебной литературе имеется достаточное число задач, решаемых с помощью дополнительных построений. Наш собственный опыт показывает, что такие задачи, как правило, вызывают трудности у решающих. Умение решать задачи с помощью дополнительных построений формируется у учащихся стихийно и, вследствие этого, не обладает широким переносом. В связи с этим мы обратились к исследованию проблемы нахождения путей эффективного формирования у учащихся умения решать задачи с использованием дополнительных построений в курсе геометрии основной школы.
Актуальность данного исследования определяется противоречием, которое заключается в том, что, с одной стороны, имеются геометрические задачи, существенной составной частью решения которых является не только выполнение чертежа, но и его преобразование, а, с другой стороны, методика целенаправленного формирования у учащихся умения решать такие задачи остается недостаточно разработанной.
Цель исследования: разработать вариант методики обучения приему дополнительного построения при изучении геометрии в 7-9 классах.
Объектом исследования выступает процесс обучения решению геометрических задач.
Предметом исследования выступает процесс обучения решению задач с использованием дополнительных построений.
В силу того, что решение задач с помощью дополнительных построений оказывает положительное влияние на развитие умения читать, преобразовывать чертеж, то сформированность умения решать такие задачи позволит учащемуся более грамотно и уверенно работать с геометрическим чертежом. Естественно предположить, что это будет способствовать более успешному решению школьниками различных задач в курсе геометрии основной школы, поскольку умение работать с чертежом является важным для решения любой геометрической задачи.
В обучении школьников решению геометрических задач методической наукой накоплен положительный опыт, в частности, связанный с формированием приемов поиска - анализ условия и анализ требования задачи. Представляется, что в случае конкретизации и уточнения этих приемов путем вве дения действий, составляющих прием дополнительного построения, в процессе формирования умения решать задачи с помощью дополнительных построений имеется возможность повлиять на более успешное решение школьниками различных геометрических задач, поскольку прием анализа является достаточно универсальным - в большей или меньшей степени он используется при решении любой задачи.
В связи с высказанными соображениями была сформулирована следующая гипотеза исследования: если установить состав приема дополнительного построения, разработать наборы задач, методику работы с ними и на этой основе сформировать у учащихся соответствующее умение, то это будет способствовать более успешному решению школьниками задач в курсе геометрии основной школы.
Для решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:
1. Определить виды различных дополнительных построений, особенности их реализации; установить место и значение задач, решаемых с помощью дополнительных построений, в учебных пособиях для учащихся 7-9 классов.
2. Изучить существующие методики обучения учащихся решению задач с использованием дополнительных построений.
3. Установить состав приема дополнительного построения.
4. Выявить требования к наборам задач, служащим основным средством обучения школьников приему дополнительного построения.
5. Разработать наборы задач и методику работы с ними на уроках геометрии в 7-9 классах.
6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики.
В ходе исследования использовались различные методы: S анализ математической, психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования; педагогическое наблюдение; S беседы с учителями по проблеме исследования; педагогический эксперимент с последующей качественной и количественной обработкой его результатов.
Исследование проводилось с 2002 по 2006 гг. и включало в себя следующие этапы.
На первом этапе (2002-2003 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической и методической литературы, содержания современных школьных учебников, содержания материалов вступительных экзаменов в ВУЗы и олимпиад. Были изучены ведущие идеи в обучении поиску решения геометрических задач, определены виды различных дополнительных построений, особенности их реализации, изучены существующие методики обучения решению задач с помощью дополнительных построений. Был подобран материал для проведения констатирующего эксперимента. Итогом работы на этом этапе стала разработка теоретической базы исследования, проведение констатирующего эксперимента.
На втором этапе (2003-2004 гг.) в рамках поискового эксперимента определялись принципы конструирования наборов геометрических задач, служащих основным средством обучения школьников приему дополнительного построения, и методика работы с ними. Результатом этого этапа стала разработка набора задач, решаемых с помощью дополнительных построений, и методических основ работы с ними.
На третьем этапе (2004-2006 гг.) по разработанным материалам осуществлялся обучающий эксперимент для проверки достоверности выдвинутой гипотезы. Была проведена количественная и качественная обработка материалов эксперимента, сформулированы общие выводы.
Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что:
1) описаны отдельные особенности реализации дополнительного построения отрезка и прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже;
2) определен состав приема дополнительного построения.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что:
1) выделены требования к наборам задач, служащим основным средством обучения учащихся приему дополнительного построения;
2) разработаны основные положения методики обучения приему дополнительного построения в курсе геометрии 7-9 классов.
Практическая значимость исследования:
1) выполнена группировка различных видов дополнительных построений, в результате чего выделены три вида построений - отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, и окружность;
2) установлен состав приема дополнительного построения;
3) созданы наборы задач, направленные на обучение учащихся приему дополнительного построения;
4) разработана методика обучения приему дополнительного построения в процессе изучения каждой темы курса геометрии 7-9 классов. Разработанная методика может быть использована в условиях основной школы без перестройки учебных планов и программы, она ориентирована на любой из действующих учебников, ее внедрение не требует дополнительного времени.
Рекомендации об использовании результатов диссертационного исследования. Материалы могут быть использованы учителями средней школы при обучении геометрии в 7-9 классах, а также преподавателями педагогических ВУЗов, ведущими курсы методики преподавания математики.
Достоверность результатов исследования обеспечивают:
теоретический анализ проблемы;
выбор методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам;
качественная и количественная интерпретация результатов эксперимента, подтвердившая гипотезу исследования; S воспроизводимость результатов исследования.
На защиту выносится следующее: 1. Состав приема дополнительного построения.
2. Требования к наборам задач и основные положения методики обучения учащихся приему дополнительного построения.
Апробация результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в Университетском лицее, школах № 14, 34, 43 (г. Петрозаводск). Основные теоретические и практические положения исследования, результаты эксперимента докладывались и обсуждались на научных конференциях «Герценовские чтения» в Российском государственном педагогическом университете им. А.И. Герцена (Санкт-Петербург, 2004, 2005 гг.), на научно-практических конференциях Карельского государственного педагогического университета (Петрозаводск, 2003 -2005 гг.), на семинаре аспирантов и преподавателей физико-математического факультета и факультета начального образования КГПУ (2004 г.), на методических семинарах кафедры геометрии и методики преподавания математики КГПУ (2003 - 2005 гг.), на городском методическом семинаре учителей математики г. Петрозаводска (2005, 2006 гг.), на методическом семинаре кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (2006 г.).
По теме диссертационного исследования имеются 5 публикаций:
1) Ustinkova Т. The complementary constructions as a component of geometry problem s solution II Mathematics and Science Education in the North-East of Europe: History, Traditions & Contemporary Issues. Proceedings of the Sixth Inter-Karelian Conference Sortavala, Russia 11-14 September, 2003 - Joensuu: University Press, 2003. - p. 151 - 154. (0,22 п. л.)
2) Устинкова T.B. Дополнительные построения как составная часть решения задачи // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «57-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - с. 187 - 190. (0,25 п. л.)
3) Устинкова Т.В. Методика обучения школьников выполнению дополнительных построений // Актуальные проблемы обучения математике в школе и ВУЗе. Сборник научных трудов, выпуск 2. - Нижневартовск:
4) Устинкова Т.В. Использование дополнительных построений при доказательстве теорем курса геометрии 7-го класса // Проблемы теории и практики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию «58-е Герценовские чтения» / Под ред. В.В. Орлова. - СПб: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - с. 154 — 156. (0,13 п. л.)
5) Устинкова Т.В. Формирование умения выбирать дополнительные построения для решения геометрической задачи // Болонский процесс в математическом и естественнонаучном педагогическом образовании: тенденции, перспективы, проблемы. Сборник статей международной конференции 9-11 сентября 2005, Петрозаводск. - Петрозаводск: Изд-во КГПУ, 2005. - с. 268 - 274. (0,38 п. л.)
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 2 глав (6 параграфов), заключения и библиографии. Работа изложена на 155 страницах машинописного текста, иллюстрирована 16 таблицами, 7 схемами и 4 диаграммами. Список литературы содержит 165 источников.
Дополнительные построения как методическая проблема
Основным видом деятельности учащихся, в процессе которой усваивается система математических знаний, умений и навыков, является решение задач. Обучение решению задач является одной из важнейших составляющих практики преподавания, так как задачи используются не только в качестве основного средства для усвоения математических понятий, но и как материал, способствующий развитию математического мышления и творческой активности учащихся.
Развитие мышления и способности к математической деятельности осуществляется в ходе самостоятельных размышлений учащихся над задачами. И современные цели образования декларируют ориентацию процесса обучения на самостоятельный поиск необходимой информации. Однако в школьном курсе геометрии довольно много внимания уделяется последовательному изложению доказательств теорем, аккуратному и грамотному оформлению решений задач, логическому обоснованию различных этапов решения или доказательства. А сам процесс поиска решения задачи или способа доказательства теоремы, процесс открытия новых математических фактов рассматривается значительно реже. Школьнику так и остается неясным, с помощью каких же соображений удалось открыть ту или иную теорему, как удалось догадаться о способе решения той или иной задачи. При таком подходе не уделяется достаточное внимание организации учащихся с установкой на их собственную интеллектуальную активность, направленную на открытие новых геометрических фактов, решение новых для него задач.
Из их множества мы выбрали для исследования задачи, решаемые с использованием дополнительных построений2. Суть решения таких задач заключается в том, что исходный чертеж, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, изменяется, преобразуется, а именно дополняется новыми элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.
Дополнительные построения занимают достойное место среди различных приемов решения геометрических задач. Данный вывод можно сделать, во-первых, на основании анализа материалов вступительных экзаменов в ВУЗы и олимпиад различного уровня («Математика в школе», «Квант», 2000-2002 г.г.).
Количество планиметрических задач, решаемых с использованием дополнительных построений (ДП), предлагаемых на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах различного уровня, приведено в таблице 1 (с. 15).
Из таблицы 1 следует, что примерно каждая шестая задача из всех планиметрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в ВУЗы или олимпиадах, решается с использованием дополнительных построений.
Во-вторых, этот же вывод можно сделать на основании анализа учебной литературы3. В учебниках геометрии практически половина теорем доказывается с использованием дополнительных построений. Подавляющее большинство из них можно не сообщать учащимся в готовом виде. Многие ученики могут самостоятельно установить факт, свести его к другим, ранее установленным, то есть дать его логическое доказательство.
Психологами установлено, что знание осваивается школьником в процессе специально организованной деятельности, когда ученик работает не только под руководством учителя, но и большую долю действий выполняет самостоятельно. Самостоятельное доказательство теорем с помощью дополнительных построений не только дает экономию учебного времени, что позволяет изучать следующий программный материал, но и дает возможность ученику реализовать себя в познавательной деятельности при открытии новых геометрических фактов. Именно такая деятельность оказывается более значимой для формирования личности и уровня развития учащегося, чем те конкретные математические знания, которые он получил в готовом виде.
Необходимость в целенаправленном обучении учащихся решению задач с помощью дополнительных построений обусловлена не только возможностью учащихся самостоятельно доказывать теоремы с использованием новых линий на чертеже. Решение таких задач является одним из средств развития у учащихся умения работать с чертежом.
1) умение выполнять чертеж в соответствии с условием задачи;
2) умение читать чертеж;
3) умение преобразовывать чертеж.
С целью формирования и развития указанных умений необходимо вооружить учащихся рядом приемов, через овладение которыми и будет проявляться сформированность данных умений. Под умением преобразовывать чертеоїс мы понимаем владение приемом дополнительного построения, состав которого раскрывается в 3 настоящей главы.
Умение читать чертеоїс, заметить в нем множество соотношений является одним из основополагающих моментов в процессе решения геометрических задач. Среди всего многообразия различных приемов чтения чертежа, выделяемых в научно-методической литературе (А.К. Артемов, Г.А. Владимирский, В.А. Далингер, А.Т. Зверева, В.И. Зыкова, Е.Н. Кабанова-Меллер, М.В. Коробкова и др.), приведем наиболее обобщенные из них, владение которыми предполагает умение читать чертеж:
1) подвести объекты, представленные чертежом, под понятие (распознать геометрические фигуры);
2) вывести непосредственные следствия из данных условия (установить различные отношения и связи между геометрическими фигурами);
3) выделить (вычленить) геометрические фигуры в составе чертежа.
Дополнительные построения как эвристический прием
Под эвристической деятельностью учащихся в процессе обучения мы понимаем «во-первых, деятельность, приводящую к решению познавательной задачи в результате применения новых способов деятельности или путем сознательного переноса уже известных приемов в качественно новые условия, и, во-вторых, деятельность по самостоятельному установлению различных связей и отношений, выводов и обобщений, сделанных в результате догадки, «озарения», «инсайта» и т.д.» ([154], с. 55). Эвристическая деятельность максимально проявляется на этапе поиска решения задачи. Это главный и наиболее сложный этап в процессе решения. Целью поиска является отыскание плана, идеи решения задач, которые, в конечном счете, приводят к получению нужного результата. Прием дополнительного построения в этом случае служит средством поиска решения задачи, выхода из проблемной ситуации. Настоящий параграф посвящен раскрытию логики поиска решения задачи с помощью дополнительных построений.
В этом параграфе:
1) рассмотрим стратегию поиска решения задач с помощью дополнительных построений;
2) выделим действия в составе приема дополнительного построения.
3.1. Анализ научно-методической литературы (1) показал, что учащемуся, который приступает к решению задачи с помощью дополнительных построений, рекомендуется, как правило, запоминать, что на чертеже выгодно иметь новые фигуры (зачастую треугольники) и для их получения можно выполнить дополнительные построения, связанные с определенной геометрической конфигурацией.
Несомненно, решение задачи с помощью дополнительных построений основывается на всесторонней изученности первоначального чертеоіса. Но логика поиска решения, на наш взгляд, в большинстве случаев может быть иной, отличной от запоминания. Известно, что поиск решения любой задачи может осуществляться по следующим направлениям:
1) продвижение от данных к искомому (синтетический способ рассуждений) - из данных делается один вывод, затем другой, из них логически следует третий и т.д., а в конце цепочки выводов получается то, что требовалось узнать или доказать;
2) продвижение от искомых к данным (аналитический способ рассуждений) -решение задачи с конца, от требования к условию (в большей или в меньшей степени используется при решении любой задачи).
Наиболее общим и плодотворным является аналитико-синтетический процесс, когда в рассуждении совершается попеременное движение с двух сторон: то от данных в направлении искомого, то от искомого к данным. На каком-то шаге устанавливается связь этих двух процессов - находится недостающий элемент, отношение - и задача оказывается решенной.
Для демонстрации вышесказанного рассмотрим в качестве примеров следующие задачи.
Задача №12. Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30, равен половине гипотенузы (свойство прямоугольного треугольника).
Решение любой задачи начинается с анализа требования. Проанализируем требование задачи №12 - установить равенство отрезков АС и ВС/2. Другими словами, необходимо доказать, что в отрезке ВС укладывается ровно два отрезка, равных АС, то есть ВС=2АС=АС+АС.
Наборы задач как основное средство обучения школьников приему дополнительного построения
Прием дополнительного построения, состав которого раскрыт в 3 предыдущей главы, представляется последовательностью умственных (осуществление поиска необходимого для решения дополнительного построения) и практических (реализация найденного построения) действий. Следовательно, приступая к решению задачи с помощью дополнительных построений, ученик должен:
S уметь анализировать требование задачи; S уметь анализировать условие задачи;
Узнать виды дополнительных построений, различные способы их реализации и уметь выполнять построения на геометрическом чертеже.
Наличие у учащихся указанных умений мы считаем необходимым условием для успешного решения задач с помощью дополнительных построений.
В связи с этим в процесс обучения школьников приему дополнительного построения необходимо включить, во-первых, задачи, решение которых в дальнейшем (при решении задач с помощью дополнительных построений) позволит учащемуся правильно выполнить анализ требования и анализ условия задачи, что будет способствовать появлению у учащихся догадки о целесообразности использования новых линий на чертеже. Во-вторых, задачи, в результате решения которых у учащихся формируется знание (и соответствующее этому знанию умение) о различных видах построений, с помощью которых можно разбить или достроить исходную фигуру, способах их реализации (2, глава I). Решение таких задач должно предшествовать решению задач с помощью дополнительных построений.
Чтобы выяснить возможные пути ответа на вопрос задачи, решаемой с помощью дополнительных построений, и выявить информацию, которая непосредственно не задана условием такой задачи, необходимо знать, что:
1) отрезки (углы) можно складывать (вычитать) алгебраически, зная их величины;
2) отрезки (углы) можно складывать (вычитать) геометрически, выполняя построение;
3) отрезки (углы) можно сравнивать логическим путем, а именно:
S равные отрезки (углы) можно искать в равных треугольниках, в равнобедренном треугольнике, в окружности;
S равные углы можно искать при параллельных прямых и секущей;
S сравнить сумму отрезков (углов) с некоторым отрезком (углом) можно, уложив первые отрезки (углы) в последний;
S узнать большую (меньшую) сторону треугольника можно, используя известные соотношения между сторонами и углами треугольника, неравенство треугольника;
S отношение отрезков (длину отрезка) можно определить из подобия треугольников и т.д.
Другими словами, необходимо знать различные способы выполнения действий над отрезками (углами) и уметь их исполнять. Знание (и соответствующее этому знанию умение) о том, что отрезки (углы) можно складывать (вычитать) не только алгебраически, но и геометрически в дальнейшем при решении задач с использованием дополнительных построений позволит ученикам правильно выполнить анализ формулировки задачи и догадаться об использовании новых линий на первоначальном чертеже. Знание (и соответствующее этому знанию умение) о том, что отрезки (углы) можно сравнивать логическим путем, используя различные геометрические факты, в дальнейшем позволит ученикам правильно выполнить анализ требования задачи, что также способствует появлению у учащихся догадки об использовании дополнительных построений для решения задачи. Формирование перечисленных знаний и умений возможно, если в задачах будут представлены различные способы выполнения действий над отрезками (углами).
Вышеизложенное фактически представляет собой систематизацию основных геометрических положений, необходимость проведения которой в рамках подготовительной работы, предшествующей решению задач с помощью дополнительных построений, отмечает А.Д. Герасимова (42).
Для реализации идеи иметь на чертеже новые фигуры, ученик должен знать:
S виды построений, с помощью которых можно разбить или достроить исходную геометрическую конфигурацию (а именно: отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, окружность), S различные способы их реализации, и уметь выполнять построения на геометрическом чертеже.
Чтобы решение задач с помощью дополнительных построений было успешным, ученики должны предварительно приобрести опыт в построении геометрических фигур с помощью отрезка, прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже, и окружности. При этом получение таких фигур должно являться как результатом разбиения исходной геометрической конфигурации, так и результатом ее достраивания. Последнее учащимся дается труднее. «Изменения внутри контура воспринимаются учениками значительно проще, чем те, которые связаны с выходом за ее пределы... Если в задаче ему [приему дополнения фигуры до новой] нет альтернативы, задача часто остается нерешенной» ([140], с. 33). Об этом свидетельствуют и наши наблюдения.
В.Е. Куценок в своем исследовании (96) отмечает целесообразность проведения подготовительной работы, направленной на формирование у учащихся умения достраивать исходную геометрическую конфигурацию путем построения окружности. Предложение автора основывается на трудностях учащихся, которые обусловлены не догадкой об использовании в решении дополнительного построения, а самим построением вспомогательной фигуры.
То, что в некоторых случаях (связанных не только с построением окружности) наибольшую трудность у учащихся вызывает реализация найденного построения, показывает и наша практика. Например, при решении задач на нахождение отношения отрезков, учащиеся высказывают идею использовать в решении подобные треугольники и предлагают для их получения воспользоваться прямой, параллельной одной из имеющихся на чертеже. При реализации найденного дополнительного построения у учеников возникают трудности, связанные с различными возможностями построения новой линии на чертеже.
Идея В.Е. Куценка о предоставлении возможности ученикам перед решением задач с помощью дополнительных построений, что называется, «набить руку» в построении новых фигур (окружности) на геометрическом чертеже, заслуживает внимания. Мы полагаем целесообразным развитие предложения автора на другие виды дополнительных построений - отрезок и прямую, параллельную одной из имеющихся на чертеже. Формирование умения разбивать и достраивать геометрическую конфигурацию путем различных построений будет возможным, если в задачах будут представлены различные операции преобразования геометрического чертежа (как разбиение, так и достраивание), различные виды построений (отрезок, прямая, параллельная одной из имеющихся на чертеже, окружность), различные способы их реализации на геометрическом чертеже.
