Содержание к диссертации
Введение
1. Проблема оптимального управления нелинейными электромеханическими объектами 19
1.1. Структура силового электропривода 20
1.2. Математическое описание электромеханических систем 22
1.2.1. Силовой привод с двигателем постоянного тока 24
1.2.2. Электропривод с асинхронным двигателем 26
1.2.3. Электропривод с вентильным двигателем 28
1.3. Нелинейности электромеханических следящих систем 33
1.4. Обобщенное математическое описание электромеханических систем и задача управления 36
1.5. Методы синтеза и анализа оптимальных систем 44
1.6. Принцип построения оптимальных систем управления с низкой чувствительностью к параметрическим и внешним возмущениям 62
1.7. Допустимые воздействия на оптимальные системы с разрывным управлением 66
1.8. Постановка задачи аналитического конструирования оптимальных по точности быстродействующих регуляторов 69
2. Теоретические основы синтеза оптимальных по точности быстродействующих систем управления 72
2.1. Основное функциональное уравнение для функций переключения оптимальных регуляторов 72
2.2. Особое управление в нелинейных системах, оптимальных относительно функции переключения 74
2.3. Критерий оптимальности релейных систем 90
2.4. Свойства основного функционального уравнения и функций переключения оптимальных регуляторов 93
2.5. Устойчивость оптимальных режимов 110
2.6. Количество интервалов управлений в релейных системах 117
2.7. Способы синтеза функций переключения оптимальных регуляторов 137
2.8. Аналитическое конструирование аттракторов
в задаче синтеза агрегированных регуляторов 149
2.9. Выводы и предложения 157
3. Синтез функций переключения оптимальных регуляторов 163
3.1. Синтез функций переключения в системах второго порядка 163
3.2. Синтез функций переключения в системах третьего порядка . 198
3.3. Синтез функций переключения в системах высокого порядка.. 212
3.4. Выводы и предложения 221
4. Синтез функций переключения регуляторов электропривода постоянного тока, оптимальных по критерию обобщенной работы 223
4.1. Анализ метода синтеза оптимальных систем управления по критерию обобщенной работы 223
4.2. Постановка задачи 235
4.3. Расход сигнала управления в задаче аналитического конструирования оптимальных регуляторов 238
4.4. Алгоритмический синтез функций переключения систем управления нелинейными объектами 242
4.5. Алгоритмический синтез функций переключения систем управления при ограничении фазовых координат 256
4.5.1. Относительные единицы и уравнения возмущенного движения 258
4.5.2. Алгоритмический синтез функции переключения регулятора тока 261
4.5.3. Алгоритмический синтез функции переключения регулятора скорости 263
4.5.4. Алгоритмический синтез функции переключения регуляторов положения позиционных и следящих систем 265
4.5.5. Структурная реализация релейных систем оптимального управления в различных фазовых пространствах 269
4.6. Выводы и предложения 274
5. Оптимальные по точности быстродействующие управления при ограничении фазовых координат 277
5.1. Постановка задачи 277
5.2. Учет ограничений в быстродействующих системах 282
5.3. Синтез управляющих воздействий в системах второго порядка 284
5.4. Синтез управляющих воздействий в системах третьего порядка 288
5.5. Синтез управляющих воздействий в системах высокого порядка 290
5.5.1. Синтез быстродействующего регулятора тока 292
5.5.2. Синтез быстродействующего регулятора скорости 298
5.5.3. Синтез быстродействующих регуляторов положения позиционных и следящих систем 306
5.5.4. Структурная реализация релейных быстродействующих систем квазиоптимального управления 311
5.6. Выводы и предложения 314
6. Синтез и исследование оптимального следящего привода радиолокационного координатора 316
6.1. Описание РЛС как объекта управления 316
6.2. Проблема аналитического синтеза оптимального управления следящим приводом с люфтом 324
6.3. Аналитический синтез оптимального управления на примере следящего привода второго порядка 331
6.4. Влияние люфта на работу следящего привода высокого порядка 336
6.5. Постановка задачи аналитического конструирования регуляторов для замкнутых систем произвольного порядка с люфтом 340
6.6. Решение задачи аналитического конструирования регуляторов для замкнутых нелинейных систем произвольного порядка с люфтом 342
6.7. Особенности решения задачи синтеза следящего электропривода, оптимального по критерию быстродействия в зоне люфта 347
6.8. Пример аналитического конструирования регуляторов для нелинейных следящих систем высокого порядка с люфтом 349
6.9. Разработка адаптивного оптимального регулятора в следящей системе с люфтом 356
6.10. Выводы и предложения 363
Заключение 365
Список литературы 370
Приложения 394
- Математическое описание электромеханических систем
- Основное функциональное уравнение для функций переключения оптимальных регуляторов
- Синтез функций переключения в системах второго порядка
- Анализ метода синтеза оптимальных систем управления по критерию обобщенной работы
Введение к работе
Подавляющее большинство производственных машин и аппаратов, а также объектов спецтехники оснащается электрическими приводами (ЭП), являющимися силовыми элементами замкнутых электромеханических систем (ЭМС). Ядром большого числа исполнительных механизмов в различных отраслях производства является управляемые ЭМС с разнообразными электрическими двигателями (постоянного тока, асинхронными, синхронными, вентильными, линейными). Интенсификация производства, повышение качества выпускаемой продукции на основе внедрения передовых технологий, современных машин и механизмов ведет к ужесточению требований к электроприводу, на который возлагается задача осуществления сложных перемещений рабочих органов механизмов по заданным траекториям с предельными точностью и быстродействием. Указанные перемещения могут быть произведены только под контролем соответствующих систем управления (СУ).
На современном этапе проектирования систем управления достижению предельных показателей точности и быстродействия функционирования электропривода постоянного или переменного токов препятствуют следующие их особенности как объектов управления (ОУ). Как правило, вращающий момент двигателя передается нагрузке посредством редуктора с относительно большим передаточным отношением. В результате ограниченной точности обработки и сборки зубчатых колес редукторы всегда имеют определенный люфт, который в совокупности с "сухим" трением оказывает существенное влияние на плавность и точность движения нагрузки. Наличие люфта в исполнительном механизме при высоких требованиях к быстродействию и динамической точности может привести к нарушению устойчивости замкнутой системы и в некоторых случаях к возникновению автоколебаний. При синтезе алгоритмов оптимального управления регуляторов необходимо учитывать как нелинейность характеристик двигателей постоянного и в большей степени переменного тока, так и нестабильность параметров указанных характеристик в процессе функционирования ЭМС, а также действие большого числа дестабилизирующих, возмущающих факторов, информация о которых является, как правило, неполной. Примерами таких ЭМС являются: приводы наведения вооружения зенитных установок, электроприводы антенн радиолокационных станций, работающих в условиях флуктуации моментов нагрузки, моментов трения, шумов в сигнале управления и нестабильности параметров систем и, в частности, случайных изменений предельной величины люфта редуктора в процессе его эксплуатации.
При проектировании систем управления ЭМС, как правило, используются линейные модели динамики ЭП и методы теории автоматического управления (ТАУ), которые являются простыми, но далеко не всегда позволяющими обеспечить желаемые быстродействие, точность и заданную степень устойчивости функционирования привода и протекания технологических процессов в условиях действия возмущений значительной амплитуды. Многие же задачи оптимального управления, формулируемые для реальных объектов без учета нелинейности характеристик и наличия возмущающих факторов, не имеют прикладного значения. Вследствие все более расширяющегося на практике применения нелинейных систем (НС) возникает необходимость развития методов их анализа и синтеза.
Существующие методы ТАУ решения задачи синтеза НС можно разделить на две основные группы: частотные и временные, а синтезируемое управление, в свою очередь, может быть программным (в виде функции времени и начального состояния) или с обратной связью (как функция текущего состояния и времени). Отметим, что при наличии возмущающих факторов программное управление имеет сравнительно узкую область приложений, а проблема синтеза управлений в виде обратной связи является весьма актуальной.
Частотные методы синтеза НС, использующие преобразование Фурье, широко отражены в монографиях А.А. Вавилова, Е.Е. Попова, Ю.С. Попкова, К.А. Пупкова. Развитие временных методов синтеза связано с именами A.M. Летова, A.M. Ляпунова, Р. Беллмана, Р. Калмана, а наиболее существенные результаты в этом направлении достигнуты для линейных объектов, в том числе методом аналитического конструирования регуляторов. Значительный интерес вызывают методы синтеза регуляторов для НС на основе функций Ляпунова. Но, если для линейных объектов выбор функций Ляпунова не представляет принципиальных затруднений, то для НС - составляет уже предмет самостоятельной задачи. Широкие возможности для синтеза систем управления открываются с позиций обратных задач динамики, а также принципа симметрии, с использованием которых могут быть разработаны также алгоритмы управления движением НС.
Из современной теории нелинейной динамики и теории оптимизации известно, что именно в классе нелинейных моделей и управлений можно добиться существенного повышения качества динамических и установившихся процессов в ЭМС, в том числе в отношении их точности и быстродействия. В известном уникальном справочнике [87] по ТАУ, подготовленным группой отечественных ученых под руководством А.А. Красовского синтез оптимальных управлений нелинейными объектами отнесен к основной проблеме современной ТАУ (СТАУ). Однако, как отмечает А.А. Колесников в своей широко известной монографии "Синергетическая теория управления" [81] "...ситуация в этой области приняла в настоящее время угрожающий и, по всем признакам, кризисный характер". Авторы справочника [87] отмечают, что "...в развитии СТАУ с точки зрения практики далеко не все обстоит благополучно. Классическую ТАУ в основном создавали инженеры для инженеров. СТАУ создают в основном математики для инженеров и во все большей мере математики для математиков. Последнее с точки зрения практики вызывает определенное беспокойство... Главное негативное влияние на практическое внедрение методов СТАУ оказывает масса оторванных от практических потребностей и возможностей работ и даже направлений, интересных в математическом отношении, но бесплодных в отношении современных приложений". А.А. Колесников отмечает "Другими словами, в СТАУ "математическое содержание" во многом подавляет физическое начало, которое фактически отсутствует в самой формулировке основной задачи управления и, что особенно важно, в подходах к ее решению. И только в последнее время в работе академика А.А. Красовского [90] была поставлена проблема создания "физической теории управления"...".
Из сказанного следует актуальность разработки прикладной теории и методов исследования нелинейных систем управления объектами.
Настоящая диссертация посвящена разработке прикладной теории систем оптимального управления, прикладных методов анализа, синтеза и оптимизации автоматических систем. Необходимость разработки указанных методов возникла при решении ряда задач синтеза высокоточных следящих приводов. Однако рассматриваемые в работе теоретические проблемы характерны не только для данных систем. Они являются общими и весьма актуальны для СТАУ.
Теоретически исчерпывающее решение задачи управления нелинейными объектами в условиях действия координатных возмущений дает идея построения систем, устойчивых при неограниченном увеличении коэффициента усиления. Свойствами устойчивости при неограниченном увеличении коэффициента усиления обладают системы, синтезированные с применением квадратичных функционалов качества и ограничении на управляющий сигнал, при этом искомый регулятор трансформируется в релейный, а критерий качества принимает вид, не зависящий от управляющего сигнала. Такой интегральный квадратичный функционал обеспечивает наиболее быстрые переходные процессы отработки рассогласования между действительным значением регулируемой переменной и ее предписанным значением, так как экстремалью такого функционала является единичная ступенчатая функция.
Особенностью замкнутых релейных систем является возможность возникновения скользящих режимов, характеризующихся тем, что при среднем значении сигнала на входе, равном нулю, релейный регулятор под действием обратных связей переключается с высокой частотой из одного устойчивого состояния в другое. При этом среднее значение сигнала на выходе по абсолютной величине меньше максимального, соответствующего одному из устойчивых состояний, а релейная система в скользящем режиме эквивалентна линейной системе с бесконечно большим коэффициентом усиления. Такие системы обладают рядом замечательных свойств. Прежде всего, это свойства инвариантности по отношению к внешним возмущениям, а также инвариантности по отношению к изменениям параметров объекта, а это - центральная задача, решаемая в теории автоматического управления. Существенно, что в отличие от непрерывных систем с не измеряемыми возмущениями, в которых условия инвариантности предполагают использование бесконечно больших коэффициентов усиления, в релейных (разрывных) системах эквивалентный эффект достигается с помощью конечных управляющих воздействий. Следствием реализации в системе бесконечно большого коэффициента усиления является снижение установившейся ошибки и повышение точности до оптимального значения. Таким образом, синтез релейных регуляторов, работающих в скользящем режиме, является одним из перспективных путей создания высококачественных по точности систем управления.
С другой стороны известно, что оптимальные по быстродействию управления также являются разрывными. Оказалось, что оптимальные по быстродействию системы, в свою очередь, также обладают целым рядом замечательных свойств, таких как минимальное время переходных процессов, обеспечивающее повышение производительности промышленного оборудования; максимально возможная область асимптотической устойчивости системы, позволяющей снизить расход энергии на управление; естественный учет ограничения на управление и координаты, улучшающее условия безопасности функционирования объектов.
Таким образом, для автоматических систем, от которых требуется обеспечение высокой точности и отработки перемещения за минимально возможное время, достаточно универсальным и эффективным для решения целой совокупности задач управления сложными динамическими объектами является класс систем с разрывными управляющими воздействиями.
Разрывность управления приводит к тому, что правая часть дифференциальных уравнений движения в системе также претерпевает разрывы. Если их преднамеренно организовать на некоторых поверхностях в пространстве состояний, то в системе могут возникать движения по кускам фазовых траекторий, что характерно для оптимальных по быстродействию систем, или движения в скользящем режиме, что характерно для систем, оптимальных по точности. Одна из задач, рассматриваемых в данной работе - объединить достоинства систем оптимальных по быстродействию (при больших ошибках - рассогласованиях между входным воздействием и выходным сигналом) с достоинствами систем оптимальных по точности (при малых ошибках).
Здесь необходимо сказать еще об одном чисто техническом аспекте применения систем с разрывными управлениями. В настоящее время с целью повышения быстродействия все чаще и чаще используются электрические безынерционные исполнительные устройства, построенные на базе силовых электронных элементов, которые могут функционировать исключительно в ключевом режиме. Поэтому, даже если применяются непрерывные алгоритмы, управляющее воздействие будет сформировано в виде высокочастотного разрывного сигнала, средняя составляющая которого равна желаемому непрерывному управлению. В такой ситуации представляется более естественным использовать алгоритмы, заранее ориентированные на разрывный характер управляющих воздействий.
Охарактеризуем проблемы, с которыми придется столкнуться при попытке воспользоваться свойствами разрывных управляющих воздействий для построения систем автоматического управления электромеханическими объектами (ЭМО), рассмотренными в разделе 1, где проводится анализ математических моделей ЭМО различных типов. Особенность рассматриваемых ЭМО состоит в том, что обобщенное математическое описание систем типа "управляемый преобразователь - двигатель" содержит нелинейности полиномиального вида. Кроме того, в следящих системах с электромеханическими исполнительными механизмами обязательно наличие редуктора, который обладает нелинейностью типа "люфт", а если учесть, что практически любые сигналы имеют конечные максимальные значения (зону ограничения или насыщения), то становится понятным, что системы рассматриваемого класса существенно нелинейны.
Таким образом, для ЭМО, представленных указанными моделями, возникла необходимость решения задачи аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) по интегральному критерию, в том числе и по критерию быстродействия. Решение указанной задачи, являющейся нелинейной многомерной задачей Летова - Калмана, как показал анализ существующих работ, представляет серьезную теоретическую проблему, а с учетом широкого распространения электромеханических объектов и практически важную проблему.
Анализ проблемы АКОР начинается с изучения проблем математического плана. Разрывные динамические системы не рассматриваются в классической теории дифференциальных уравнений и требуют привлечения специальных методов для исследования их поведения. В результате применения современной прикладной теории управления для сложных объектов задача АКОР получила существенное развитие. Методы АКОР являются формализованными, их отличает аналитичность и логическая завершенность. Однако применение методов АКОР даже для линейных объектов высокой размерности наталкивается на немалые трудности, связанные с численным решением нелинейных уравнений типа уравнений Рикатти. Кроме того, до сих пор не разрешен важный вопрос о целесообразности выбора весовых коэффициентов квадратичных критериев, что при практическом применении ставит под сомнение "оптимальность" получаемых управлений. Эти обстоятельства послужили поводом для критики методов АКОР, основанных на постулировании квадратичных критериев качества. Выбор этого функционала относится к одному из основных этапов процедуры синтеза системы управления. Основоположник теории АКОР A.M. Летов подчеркивал, что "... когда мы научимся решать проблему выбора, конструирование систем управления будет выполняться на строго научной основе". (Колесников, Гельфгат)
Синтез нелинейных систем методами АКОР сопряжен со значительными математическими трудностями, связанными с отсутствием, за редким исключением, общих аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений. Так например, применение метода динамического программирования Р. Беллмана предполагает решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которое практически осуществимо для объектов не выше третьего порядка. Применение принципа максимума А.А. Понтрягина приводит к необходимости решать нелинейную двухточечную краевую задачу. Для объектов высокого порядка применяется метод синтеза А.А. Красовского по критерию обобщенной работы, но и его использование встречает определенные трудности при синтезе управлений нелинейными объектами, например, в системах с люфтом. Синергетическая теория управления А.А. Колесникова носит "эвристический" характер и не решает проблемы быстродействующих управлений.
Поэтому проблема разработки методов синтеза нелинейных систем с заданными показателями качества, функционирующими в условиях неопределенности, представляет особый научный и практический интерес и является центральной не только в теории ЭМС, но и в современной теории оптимального управления.
Принятая в диссертации концепция, основанная на введении в рассмотрение функций переключения оптимальных регуляторов, позволяет, с одной стороны, выяснить свойства функций переключения и, с другой стороны, - указать класс систем, для которых оптимальные управления могут быть выписаны однозначно. Для такого класса и рассматриваются далее различные методы построения систем автоматического управления.
В разделе 2 излагаются теоретические основы предлагаемого подхода синтеза оптимальных релейных алгоритмов управления. Как уже отмечалось выше, при построении систем управления мы будем ориентироваться на преднамеренное введение разрывных управлений, обеспечивающих в зависимости от желаемых характеристик системы на каждом интервале движения либо отсутствие скользящих режимов (оптимальность по быстродействию), либо наличие скользящих режимов (оптимальность по точности) вдоль пересечения поверхностей, на которых претерпевают разрывы компоненты вектора управления. Очевидно, что для реализации такого подхода необходимо иметь условия возникновения режимов скольжения, сравнительно редко рассматриваемые в литературе или режимов быстродействия, которые в известной нам литературе не рассматривались. С математической точки зрения задача сводится к определению области притяжения к многообразию пересечения поверхностей разрыва. Предлагаемые решения сформулированы в терминах теории оптимального управления и получены в результате обобщения классических положений (теоремы А.А. Фельдбаума, А.А. Красовского) на разрывные системы, когда речь идет не об отдельных движениях, а о множестве траекторий из некоторой области на поверхностях разрыва.
Завершается раздел 2 предложенными и разработанными методами синтеза функций переключения и оптимальных управлений.
Большое внимание в работе уделяется разработке простых, инженерных методов синтеза систем управления, оптимальных как по критерию быстродействия, так и по критерию обобщенной работы, которые составляют раздел 3. На основе таких фундаментальных понятий, как функция и поверхность переключения, скорость проникновения поверхности переключения, устойчивость систем дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями рассмотрены примеры задач оптимизации различных объектов: нелинейного, осциллирующего, многомерного осциллирующего (с двумя управлениями), третьего, четвертого и пятого порядков. Все примеры раздела выбирались из условия возможности сравнения получаемых решений с известными из литературы. Рассмотренные примеры показывают, что разработан новый инженерный метод решения относительно сложных задач оптимального управления, причем с помощью предлагаемой прикладной теории легко проверить любое управление на оптимальность с помощью доказанных достаточных условий.
Несмотря на различие целей управления в рассматриваемых задачах и подходов к их решению, все процедуры синтеза построены по единому принципу: декомпозиция исходной системы на независимые подсистемы меньшей размерности и создание в завершающей фазе процесса управления движения в скользящем режиме с желаемыми свойствами. Приведенные в разделе 2 методы исследования разрывных динамических систем служат математической основой для реализации этого принципа. Целью разделов 4 и 5 является не только изложение и развитие результатов в области построения систем с разрывными управлениями, но и представление их в тесной взаимосвязи с основными концепциями, проблемами и методами современной теории управления.
В четвертом разделе основные положения новой прикладной теории синтеза управлений применяются для поиска управлений электроприводами (в том числе и нелинейными), оптимальных по критерию, близкому к критерию обобщенной работы, а также с учетом ограничений фазовых координат объекта. В основу метода положены: принцип декомпозиции задачи на подзадачи синтеза регуляторов отдельных координат, требующих ограничения; принцип подчиненного управления; разработанный метод АКОР без учета ограничения фазовых координат. Предлагаемый метод АКОР не требует использования каких-либо дополнительных, в том числе и численных, методов решения и позволяет аналитически проводить структурный и параметрический синтез оптимального управления в том числе нейтральных и нелинейных систем. Объем аналитических преобразований по предлагаемому методу существенно меньше, чем по методу А.А. Красовского для линейных систем. Впервые рассматривается метод АКОР с минимальным значением "расхода сигнала управления". Закон оптимального управления получается в результате простого сведения дифференциальных уравнений объекта к одному функциональному уравнению. Однако его применение ограничено устойчивыми объектами.
В пятом разделе рассматривается проблема разработки прикладных методов оптимизации систем управления объектами по критерию быстродействия и с учетом ограничений, накладываемых на фазовые координаты, которая в общем виде является чрезвычайно сложной. Она требует разработки ряда специальных аналитических процедур, а также развития реалистичных подходов к выбору структуры и параметров управляющих устройств, удобных для практических целей. В отличие от задач быстродействия в классической постановке, когда оптимальное управление не всегда носит релейный характер, в предлагаемом методе оптимальное управление остается всегда релейным, что обеспечивается скользящим режимом движения фазовой точки по границе области с эквивалентным непрерывным управлением.
Шестой раздел посвящен разработке и исследованию конкретной прецизионной электромеханической следящей системы для управления антенной радиолокационной станции миллиметрового диапазона радиоволн. Характерной особенностью таких систем является наличие люфта в исполнительном механизме. Предлагаемый метод АКОР следящей системы с люфтом позволяет проектировать системы управления исполнительными механизмами любой сложности и любого типа, причем следящая система может работать по заданному критерию оптимальности, в том числе и по быстродействию. Сконструированная следящая система ведет себя практически как безлюфтовая, а ее динамические характеристики определяются характеристиками системы без учета звена типа "люфт".
Исследования, проводимые по теме диссертации, выполнялись при финансовой помощи Министерства науки, высшей школы и технической политики РФ по программе "Университеты России", гранту № 01.9.80 005085 "Теория синтеза высокоточных следящих приводов антенн радиолокационных станций миллиметрового диапазона радиоволн", полученному в конкурсе проектов по фундаментальным исследованиям в области теории управления.
Автор диссертации считает своим долгом выразить глубокую благодарность своим соавторам многих научных работ д.т.н., проф. Сухинину Борису Владимировичу и д.т.н., доц. Ловчакову Владимиру Ивановичу за консультации, существенно обогатившие содержание диссертационной работы.
Математическое описание электромеханических систем
Создание современного высокопроизводительного технологического оборудования как технической основы повышения эффективности и интенсификации производства невозможно рассматривать отдельно от проблемы совершенствования систем управления электроприводами. Проектирование силового привода относится к одной из самых важных проблем, от успеха решения которой зависит качество и эффективность работы промышленного оборудования. В то же время при проектировании систем управления электроприводами необходимо учитывать информацию о характерных особенностях промышленного оборудования и технологии, в которой электропривод является самостоятельной подсистемой нижнего уровня, гарантирующей вышестоящему уровню выполнение выработанных им команд. Однако гарантированное выполнение этих команд электроприводом в условиях дестабилизирующих факторов среды становится проблематичным [148].
К наиболее сложным в этом отношении системам, характеризующимся наличием упругих звеньев и люфтов, переменными моментами нагрузки и инерции, широким диапазоном изменения рабочих скоростей, относятся кинематические органы промышленных роботов и манипуляторов [16]. На электроприводы этих устройств действуют внешние нагрузочные моменты, изменяющиеся в широких пределах. Это могут быть моменты как внешних сил, действующих на исполнительный орган, так и неуравновешенных сил веса исполнительного органа и перемещаемой нагрузки, т.е. сил, величина которых в процессе работы изменяется довольно сложным образом.
По количеству и характеру одновременно действующих дестабилизирующих факторов следует особо выделить следящие ЭП силовых систем управления типовыми стабилизаторами и антенн радиолокационных станций (РЛС) автоматического сопровождения и управления, а также некоторых астрономических инструментов [2, 25]. РЛС, работающие в миллиметровом диапазоне, позволяют успешно решать задачи слежения за наземными объектами в любое время года и суток в сложных метеоусловиях и при пыледымовых помехах на дальности до 10 км. Они находят применение как в спецтехнике, так и объектах гражданского назначения.
В последние годы в связи с бурным развитием полупроводниковой техники все большее развитие получают электромеханические системы типа "управляемый преобразователь - двигатель", причем в качестве двигателя используются как двигатели постоянного тока, так и двигатели переменного тока: асинхронные и синхронные. В зависимости от типа управляемого преобразователя, системы управления преобразователем и типа двигателя изменяются статические и динамические характеристики электропривода, а электромеханическая система может приобретать ряд дополнительных свойств, отличных от свойств используемого двигателя. Примером может служить вентильный двигатель (бесколлекторный двигатель постоянного тока) на основе синхронного или асинхронного двигателя.
В общем случае система управления силовыми электроприводами включает в себя двигатель Д, питающийся от управляемого преобразователя П и приводящий в движение посредством кинематической связи КС исполнительный орган ИО (рис. 1.1). Выходной координатой электропривода часто бывает скорость или перемещение исполнительного органа, что при жесткой кинематической связи соответствует скорости и углу поворота двигателя. Преобразователь, двигатель, кинематическая связь и исполнительный орган составляют силовую часть электропривода ЭП и являются объектом управления ОУ в системе автоматического управления.
В качестве ЭП в системах могут использоваться разнообразные типы приводов постоянного и переменного тока. В процессе работы на электропривод действуют возмущения в виде изменений напряжения питания преобразователя, изменений момента нагрузки на двигатель, кинематическую связь и исполнительный орган и т. д. В результате действия возмущений появляется отклонение выходной координаты от заданного значения Xz. Величины выходной и, если необходимо, других координат электропривода измеряются с помощью измерительно-преобразовательного устройства ИПУ. Выходной сигнал ИПУ сравнивается схемой сравнения СС с заданным значением и результат сравнения подается на регулятор Р. Регулятор и ИПУ составляют систему управления, которая, воздействуя на электропривод, обеспечивает желаемый характер изменения координат силового привода.
Замкнутые системы автоматического управления САУ должны обеспечивать необходимые законы изменения переменных состояния ОУ в переходных режимах, например, разгон и торможение электродвигателя с постоянным ускорением, либо стабилизацию этих переменных на необходимом уровне с требуемой точностью. Для реализации заданных законов изменения управляемой переменной и компенсации влияния различных возмущающих воздействий на ОУ подается управляющее воздействие, вырабатываемое управляющим устройством или регулятором. Управляющее воздействие формируется регулятором на основании алгоритмов, определяемых целью управления. Решение компромиссной задачи обеспечения заданной статической точности САУ при требуемом качестве процесса управления достигается введением специальных корректирующих устройств, изменяющих динамику системы в нужном направлении. Во многом решение этой задачи зависит от типа применяемого в системе привода, типа электрической машины и ее математической модели.
Основное функциональное уравнение для функций переключения оптимальных регуляторов
При синтезе оптимальных по точности систем на координату управления накладывается ограничение и 1 и она не вводится в минимизируемый функционал (1.21). Такой критерий оптимальности для системы (1.15) приводит к так называемым вырожденным оптимальным задачам [45, 55, 64, 95, 124, 211, 212]. При решении данных задач методом принципа максимума возникает управление, которое из принципа максимума не определяется. Такое управление называется особым, а соответствующая ему траектория движения - особой траекторией. Подчеркнем, что в отличие от невырожденных задач, решение которых методами Лагранжа -Понтрягина [95] приводит в конечном счете к многократному решению регулярной задачи Коши, в данном случае ситуация значительно усложняется возможностью ветвления решения задачи Коши и необходимостью исследования каждой ветви, поскольку вырожденный режим имеет множество точек переключения, а также необычным характером сопряжения участков с различным вырождением [43, 230]. Это позволило автору книги [95] определенно сказать, что "в настоящее время проблема поиска вырожденных решений по методу Лагранжа - Понтрягина в общем случае даже в принципе не решена. Ослабление дифференциальной связи (в случае вырожденности) принципиально должно упрощать задачу. Это наводит на мысль, что проблема особых (вырожденных) управлений в методе Лагранжа - Понтрягина вызвана не столько существом задачи, сколько данным аппаратом ее исследования".
Принципиально метод Беллмана можно распространить на случай вырожденных и скользящих режимов без изменений, если только он вообще применим. Одним из возможных подходов к исследованию вырожденных режимов является метод кратных максимумов [95], который состоит во введении в рассмотрение произвольной скалярной функции (п + 1) переменной (p(t,X), которая определена и непрерывна на прямом произведении Т х X и имеет непрерывные частные производные при всех t, X, за исключением, может быть, конечного числа сечений ТхХ при фиксированных t є А. Задавая способ отыскания этой функции, по существу задают метод решения задачи оптимального управления, основанные на принципе максимума Л.С. Понтрягина и принципе оптимальности Р. Беллмана. Процедуры решения могут быть истолкованы как некоторые способы задания функции (р. Произвол в выборе функции ф может быть использован для построения наиболее удобного для данной задачи метода, учитывающего специфику задачи. Однако, как сказано в [95]: "уравнение кратных максимумов получается уравнением в частных производных и как всякое уравнение в частных производных, задает поле углов ю и функцию с точностью до произвольной функции ф меньшего на единицу числа переменных. При дальнейшем выборе ф этого произвола может "хватить" лишь на то, чтобы обеспечить попадание элемента линии нулевой близости ... в плоскость соответствующего угла o)(t,X(t)). Условие попадания внутрь этого угла проверяется апостериори. Для систем с ограниченными производными это условие может не выполняться и не будет, как правило, выполняться в граничных точках, так как функция X(t) может быть разрывной: ее значения на (t0,tx) находятся из одних условий, а в точках - из других. В этом состоит определенная ограниченность метода кратных максимумов...". В серии работ [229, 234] для решения вырожденных задач используется аппарат сингулярно-возмущенных систем. Идея состоит в регуляризации задачи [212], которая предполагает введение в функционал (1.21) малого штрафа за управление (отсюда и название - системы с "дешевым управлением") с последующим стремлением параметра д. К нулю. В результате получается линейное управление с коэффициентами, обратно пропорциональными \х, и движение в оптимальной системе разделяют на быструю и медленную составляющие, причем траектории медленного движения находятся на некотором многообразии меньшей размерности. При устремлении д или R к нулю все компоненты управления или некоторые их комбинации можно "бесплатно" неограниченно увеличивать и получить релейный закон управления [211]. Получающиеся в этом случае законы управления являются сложными [99] и в общем случае определяют переменную структуру системы, когда на отдельных участках фазовых траекторий имеет место различный закон управления. Введение в рассмотрение функций переключения оптимальных регуляторов позволяет достаточно просто решить проблему особых (вырожденных, сингулярных) управлений в релейных системах, не прибегая к аппарату сингулярно-возмущенных систем или другим методам и, в частности, к исследованию условий общности положения [124 - 126]. При дальнейшем изложении принятой концепции существования функций переключения оптимальных регуляторов и их свойств будет показано, что особые управления в релейных системах получаются в результате определения оптимальных управлений в скользящих режимах. Известно [126], что в задачах оптимального быстродействия особых управлений не существует, точнее особое управление возникает в конце переходного процесса, в новом установившемся, и опять таки скользящем режиме, когда среднее значение сигнала управления на выходе релейного регулятора равно нулю за счет высокой частоты переключения реле, зависящей от инерционных свойств объекта и всегда практически присутствующей не идеальности характеристики реле.
Синтез функций переключения в системах второго порядка
Теоретические основы синтеза систем управления позволили автору сформулировать и доказать утверждение о количестве интервалов управлений Uj =-sign(ij/i). Показано, что утверждение о количестве интервалов управлений позволяет определять оптимальные управления по разнообразным критериям (быстродействия, квадратичным, модульным и их различным комбинациям) для класса систем с линейным вхождением управления. Утверждение о количестве интервалов управлений Uj =-sign(\/j) обобщено для многомерных быстродействующих систем, для систем с конечным временем управления и с теоретически бесконечным временем управления. 4. В основе теории синтеза оптимальных по точности быстродействующих систем управления и утверждения о количестве интервалов управлений Uj =-sign(\/j) лежат фундаментальные понятия оптимальных релейных систем: поверхность переключения (функция переключения), скорость проникновения поверхности переключения, устойчивость, динамическое сжатие-расширение фазового потока, декомпозиция. 5. Разработанные теоретические основы синтеза оптимальных по точности быстродействующих систем управления позволяют отказаться от утомительной процедуры выбора весовых коэффициентов в критерии качества. Показано, что все многообразие критериев (быстродействия, квадратичного, модульного и их различные комбинации) для релейных систем эквивалентны одному критерию обобщенной работы с различным значением "расхода сигнала управления". 6. Разработанные теоретические основы синтеза оптимальных по точности быстродействующих систем управления позволяют отказаться от самого критерия качества. Предложено многокритериальный функционал качества заменить одним коэффициентом X = f(Х)/ф(Х). Проведено исследование влияния коэффициента X на основные характеристики переходного процесса: устойчивость, количество интервалов, время переходного процесса, наличие или отсутствие скользящих режимов на каждом интервале. Показано, что при X = О переходный процесс будет иметь всего два интервала и теоретически бесконечное время. Если на каждом интервале X О, то время переходного процесса конечно, причем с увеличением X до единицы время переходного процесса уменьшается и при X = 1 переходный процесс становится оптимальным по быстродействию (квазиоптимальным для осциллирующих объектов). 7. Развитый с помощью теоретических основ синтеза оптимальных по точности быстродействующих систем управления математический аппарат исследования разрывных динамических систем позволяет формализовать методы анализа и синтеза разнородных по типам объектов и критериям функционирования (в том числе и по критерию быстродействия) систем управления. С единой позиции, базирующейся на введенном в рассмотрение основном функциональном уравнении относительно функции переключения оптимального управления, изложены теоретические принципы построения одномерных и многомерных, 160 линейных и нелинейных, осциллирующих и не осциллирующих, низкой и высокой размерности систем с разрывными управлениями. 8. В основе математического аппарата исследования и синтеза разрывных оптимальных по точности быстродействующих динамических систем управления лежат обоснованные автором свойства функционального уравнения и функций переключения оптимальных регуляторов. Показано, что в зависимости от соотношения слагаемых в правой части основного функционального уравнения относительно функции переключения ij/(X) = f (X, U ) + ф(Х) и можно получить оптимальные управления, соответствующие разнообразным критериям качества, в том числе и оптимальные по быстродействию. 9. Исследованные свойства функционального уравнения и функций переключения оптимальных регуляторов позволили автору решить проблему особых (вырожденных, сингулярных) управлений, возникающих в релейных системах. Показано, что предложенные теоретические основы синтеза систем управления позволяют отказаться от трудоемкой процедуры поиска особых управлений и, в частности, от исследования условий общности положения. При использовании принципа декомпозиции и утверждения о количестве интервалов управлений и; = -sign(\/i) особые управления получаются автоматически в результате определения оптимальных управлений в скользящих режимах. 10. Проведено исследование и получены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости в целом релейных систем относительно поверхности переключения \/(Х) = 0 на каждом интервале движения в соответствии с утверждением о количестве интервалов управлений Uj =-sign(\/j). Показано, что для асимптотической устойчивости в целом по Ляпунову релейной системы относительно положения равновесия необходимо и достаточно выполнения условия f(X,U ) (p(X) при ф(Х) 0 в моменты смены интервалов. Для практического применения рекомендовано воспользоваться более простым в реализации условием: f(X,U ) ф(Х) при ф(Х) 0 на каждом интервале движения системы. При плавном изменении коэффициента X от нуля до единицы асимптотическая устойчивости в целом по Ляпунову плавно повышается от минимальной величины при X = О до максимальной при X = 1, причем наибольшее значение производной функции Ляпунова точно в два раза больше наименьшего значения. 11. На основе подхода, базирующегося на принципе декомпозиции, утверждения о количестве интервалов управлений ut =-sign(\/i) и непосредственного использования функционального уравнения, составляемого по уравнениям объекта, разработаны эффективные инженерные методы аналитического конструирования оптимальных интегральных многообразий (функций переключения) и оптимальных управлений. Несмотря на то, что этот подход требует минимальных сведений из области обыкновенных дифференциальных уравнений высшей математики, он предполагает преодоление "проклятия размерности" Беллмана и позволяет с точки зрения практического применения распространить метод динамического программирования и метод синтеза по критерию обобщенной работы А.А. Красовского с помощью синергетической теории управления А.А. Колесникова на нелинейные объекты более высоких порядков. Проведены исследования по применению данного подхода для решения задач оптимального быстродействия линейных и нелинейных объектов высокоточных систем. Так например, для наиболее простого метода с точки зрения получения закона оптимального управления, в том числе и по критерию быстродействия необходимо и достаточно сведений об одной самой старшей (ближе всех по структурной схеме расположенной к входному воздействию) координаты объекта.
Анализ метода синтеза оптимальных систем управления по критерию обобщенной работы
Отметим, что для реализации оптимального управления (3.126) - (3.129) необходимо иметь информацию всего лишь о двух координатах системы: х5 и х4. Если функциональное уравнение четвертого интервала записать в виде \/4 =sign(x5) + x5, то для этого интервала функция переключения может быть записана так: \/4 = х9 +с4 +х5, где x9=sign(x5). И тогда для реализации оптимального управления необходимо и достаточно иметь информацию только лишь об одной координате х5.
Рассмотренные примеры показывают, что разработан новый инженерный способ решения относительно сложных задач оптимального управления, а приведенные свойства систематизируют известные авторам представления об оптимальных процессах в электроприводах следящих радиолокаторов с разрывным управлением. При этом появляется возможность заранее планировать и выбирать скользящие режимы или их отсутствие на каждом этапе движения системы по мере уменьшения размерности пространства состояний объекта регулирования и получать аналитически соответствующий закон управления, оптимальный по точности и одновременно с высоким быстродействием. 1. На основании разработанных во втором разделе методов аналитического конструирования релейных регуляторов предложены и рассмотрены на разнообразных конкретных примерах различные методики синтеза функций переключения оптимальных законов управления. Разработанные методы и методики носят аналитический характер, однако они не требуют решения дифференциальных уравнений в частных производных или двухточечной краевой задачи или определения фазовых траекторий методом фазовой плоскости и выгодно отличаются от известных методов простотой применения (на уровне инженерных требований). 2. Предложена инженерная методика проверки любого известного управления на оптимальность, например, по быстродействию. Становится возможным проверять получаемые решения с точки зрения устойчивости и быстродействия переходных процессов. Для применения методики необходим минимум сведений: математическое описание объекта и закон управления, претендующий на оптимальность. 3. Эффективность применения методов и методик доказана путем сравнения получаемых оптимальных управлений с известными решениями. Показано, что переходные процессы рассматриваемых объектов от полученных управлений и от известных из литературы практически полностью совпадают. 4. Точные аналитические методы и методики основаны на возможности аналитического интегрирования функциональных уравнений с учетом уравнения объекта для определения функций переключения на каждом интервале движения. Показано, что точные законы оптимального управления достаточно громоздки, особенно оптимальные по быстродействию, и их определение часто наталкивается на трудности математического плана, связанные с аналитическим интегрированием функциональных уравнений. 5. Приближенные методы и методики основаны на интегрировании в общем случае (п-1) функционального уравнения самой системой оптимального управления. Точность приближения зависит от точности определения средствами вычислительной техники в общем случае (п-1) констант интегрирования функциональных уравнений и может быть сделана сколь угодно высокой. Показано, что переходные процессы от приближенных и точного законов оптимального управления практически одинаковы, однако структура приближенного закона управления часто бывает проще, чем точного. 6. Предложено определять несколько приближенных оптимальных управлений для одного и того же объекта, используя те или иные свойства функционального уравнения и функции переключения, с целью выбора наиболее приемлемого по условиям поставленной задачи закона оптимального управления (например, с точки зрения быстродействия, практической реализации, наличие или отсутствие скользящих режимов и т.д.). 7. При поиске оптимального быстродействующего управления рекомендовано стремиться к получению управляющего устройства, содержащего два блока обратных связей: линейных ОС и нелинейной ОС, причем блок линейных ОС получать точно таким же, как и при проектировании системы управления по критерию обобщенной работы А. А. Красовского по отношению к выходной координате. Это позволяет в конце переходного процесса, оптимального по быстродействию перейти к управлению, оптимальному по критерию обобщенной работы и в этом случае можно не беспокоиться о точности изготовления блока нелинейной ОС.
