Содержание к диссертации
Введение
1. Общая постановка задачи 9
1.1. Формальная постановка задачи синтеза 9
1.2. Обзор существующих методов решения задачи синтеза 11
1.3. Выводы 23
2. Современные методы синтеза управления нелинейными объектами 24
2.1. Аналитическое конструирование агрегированных регуляторов 24
2.2. Метод генетического программирования 26
2.3. Выводы 41
3. Исследование математической модели объекта 42
3.1. Построение математической модели спуском космического аппарата 43
3.2. Расчет параметров модели влияния атмосферы на силы, действующие на спускаемый космический аппарат 49
3.3. Исследование коридора входа в атмосферу 53
3.4. Критерии качества управления 62
3.5. Выводы 66
4. Решение задачи оптимального управления посадкой космического аппарата 67
4.1. Метод аппроксимации управления кривыми безье 68
4.2. Вычислительный эксперимент и результаты 72
4.3. Выводы 78
5. Решение задачи синтеза оптимального управления космическим аппаратом при спуске в атмосфере 79
5.1. Метод сетевого оператора для решения задачи синтеза управления 82
5.2. Выбор базисного решения 90
5.3. Алгоритм синтеза 95
5.4. Методики синтеза и вычислительный эксперимент 101
5.5. Выводы 117
Заключение 118
Литература 119
Приложение 130
- Обзор существующих методов решения задачи синтеза
- Метод генетического программирования
- Расчет параметров модели влияния атмосферы на силы, действующие на спускаемый космический аппарат
- Метод аппроксимации управления кривыми безье
Введение к работе
Одним из важнейших направлений развития автоматики на современном этапе является разработка методов интеллектуальных технологий и соответствующих инструментальных средств для решения задач управления сложными нелинейными динамическими объектами. Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена необходимостью разработки и внедрения в практику универсального метода синтеза систем управления сложными объектами.
Настоящая работа посвящена решению задачи синтеза оптимального закона управления космическим аппаратом при спуске со второй космической скоростью. Задача синтеза состоит в том, что для любого момента времени оптимальный закон управления ищется в виде функции от состояния объекта, действующей по принципу обратной связи.
Данная задача на протяжении многих лет является одной из ключевых проблем теории управления. Нужно заметить, что на сегодняшний день существует огромное количество методов решения задачи оптимального управления, учитывающих многочисленные нюансы данной области исследования. Традиционные методы оптимального управления (вариационное исчисление [5], [78] и др., принцип максимума Л.С. Понтрягина [65]) одновременно с большим количеством разработанных численных методов оптимального управления (см., например, [10], [56], [64], [72], [85], [113]) решают задачу оптимального управления как функции от времени. К тому же специфика существующих методов такова, что овладение их теоретическими основами еще не означает возможность решить с их помощью сложную техническую задачу, такую как задача управления спуском космического аппарата.
В настоящей работе ставится задача синтеза системы управления. Проблема синтеза состоит в построении функции u = u(x,t), называемой синтезируемой функцией и представляющей собой значение оптимального управления при условии, что в момент t система управления находится в точке х = х(/). Решение проблемы синтеза имеет особую актуальность именно в прикладных задачах, поскольку, имея синтезируемую функцию управления u(x,t), технически не составляет особой сложности реализовать ее в схеме с обратной связью, таким образом обеспечив оптимальных ход процесса. Тем более, что на сегодняшний день развитие техники достигло такого уровня, что воспроизвести управляющий сигнал любой сложности не составляет труда, главное, чтобы имелось математическое описание данного сигнала.
В отличие от задачи оптимального управления, методов решения задачи синтеза системы управления не очень много. Большинство известных подходов к решению задачи синтеза управления [7] - [9], [34], [46] - [52], [100] и др. основаны на использовании специальных свойств объектов и функционалов. Для произвольных функционалов и нелинейных объектов эффективного метода решения задачи синтеза управления в общем случае не известно. Это обстоятельство обуславливает актуальность настоящей работы.
Практический синтез управления осуществляется на основе двухэтапного подхода [14], [15]. Суть данного метода заключается в том, что на первом этапе строится программная траектория, как функция времени, на основе решения задачи оптимального управления. На втором этапе, строится система управления, которая обеспечивает стабилизацию объекта в окрестности полученной программной траектории. При решении задачи стабилизации часто осуществляется линеаризация математической модели объекта и используются стандартные методы синтеза регуляторов [54] для линейных систем. Такой подход не гарантирует получения оптимального управления и требует от регулятора обеспечение робастности системы управления на всем диапазоне изменения коэффициентов линеаризованной системы.
Рассматриваемая в работе задача синтеза системы управления спуском космического аппарата в качестве критерия оптимальности использует функционал максимума перегрузки. Такой функционал имеет сложный нелинейный вид и объект управления также нелинеен, поэтому для решения задачи синтеза в данном случае не могут быть использованы известные методы.
Исследованию проблемы управления движением космического аппарата при входе в атмосферу и спуске его на поверхность Земли посвящено множество работ как российских [11], [12], [58], [59], [72] так и зарубежных [99], [115], [117] авторов. В данных работах оптимальное управление космическим аппаратом ищется как функция времени. Задача синтеза системы управления спуском космического аппарата, то есть нахождения оптимального управления как функции координат пространства состояний, ранее не решалась, что определяет актуальность настоящей работы.
В настоящей работе напрямую решается задача синтеза системы управления спуском космического аппарата. В результате разработчик должен получить управление как функцию координат пространства состояний. Прямых аналитических методов решения данной задачи не существует. Решить данную задачу в общей постановке представилось возможным с появлением таких численных методов, как генетическое программирование [66], [87], [90], [93], [104]. При решении поставленной в работе задачи используется метод генетического программирования с сетевым оператором [21], [44], который позволяет описывать произвольные математические выражения и представлять их в компьютере с помощью целочисленной матрицы, что повышает эффективность алгоритма синтеза. На основании разработанного алгоритма создан программный комплекс для синтеза систем управления рассматриваемым объектом. Таким образом, целью диссертационной работы является разработка эффективного вычислительного метода синтеза системы автоматического управления сложным нелинейным объектом. Для достижения поставленной цели было осуществлено решение следующих задач:
- обзор существующих методов и подходов решения поставленной задачи синтеза оптимального управления;
- исследование математической модели спуска космического аппарата с целью выработки первого приближения модели системы управления;
- разработка численного метода решения задачи на основе аппроксимации управления с помощью кривых Безье и его исследование;
- разработка и исследование метода сетевого оператора для решения задачи многокритериального структурно-параметрического синтеза системы управления спуском космического аппарата на основе анализа свойств модели посадки космического аппарата и последних достижений в области алгоритмизации;
- создание комплекса программ для численного решения рассматриваемой задачи и проведение экспериментального исследования задачи.
Предметом исследования является задача синтеза системы управления спуском космического аппарата.
Методологической и теоретической основой исследования послужили научные труды и практические результаты, сформулированные в исследованиях российских и зарубежных ученых в областях теории управления, системного анализа, методах оптимального управления, теории графов, теории алгоритмов.
Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке и формализации метода синтеза системы управления нелинейным объектом, его применение и исследование его возможностей для решения задачи управления сложным техническим объектом. Разработанный на базе сетевого оператора метод синтеза управления включает в себя этап решения задачи оптимального управления. В свою очередь для решения задачи оптимального управления разработан новый эффективный численный метод на основе аппроксимации кривыми Безье. Основные положения и выводы, содержащиеся в диссертации, могут быть использованы при дальнейшем развитии теории управления нелинейными объектами.
Практическая значимость исследования состоит в том, что на основании разработанных алгоритмов создан программный комплекс для синтеза систем управления. Разработанный в диссертации метод синтеза управления может быть использован при проектировании, анализе и эксплуатации различных систем сложных технических объектов. Работоспособность и эффективность метода подтверждена решением сложной технической задачи синтеза оптимального управления спуском космического аппарата. Кроме того, результаты исследования могут быть включены в учебные курсы по синтезу систем управления сложными динамическими объектами.
Апробация результатов исследования, подтверждается докладами на следующих научных конференциях и международных симпозиумах: «Надежность и качество 2007» (г. Пенза), «Космонавтика. Радиоэлектроника. Геоинформатика 2007» (г. Рязань), «Научной сессии МИФИ-2008» (г. Москва), «Интеллектуальные системы» (INTELS 2008) (г. Нижний Новгород). По теме диссертации опубликованы 7 печатных работ.
Диссертация состоит из введения, пяти основных глав, заключения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели работы, показана научная новизна результатов диссертации и дано краткое описание диссертации по главам.
В главе 1 представленая общая математическая постановка задачи синтеза системы управления нелинейным динамическим объектом с критериями качества, сформулированными в виде функционалов произвольного вида. Представлен анализ основных подходов к решению задачи синтеза, существующих на сегодняшний день.
В главе 2 рассматриваются современные направления развития науки в рамках решения задачи синтеза управления. Дается качественное описание таких современных подходов, как аналитическое конструирование агрегированных регуляторов и метода генетического программирования.
В главе 3 приводится математическая постановка практической задачи синтеза системы управления спуском космического аппарата. Показано, что задача заключается в многокритериальном структурно-параметрическом синтезе системы управления нелинейным объектом с критериями качества в виде двух функционалов общего вида.
В четвертой главе приведено описание разработанного численного метода построения оптимального закона управления на основе аппроксимации методом кривых Безье. Приведено теоретическое описание метода и результаты вычислительного эксперимента, полученные на основе разработанного комплекса программ.
В пятой главе описан новый метод синтеза системы управления на базе сетевого оператора. Изложены теоретические основы метода, представлен разработанный алгоритм, изложены принципы построения базисного решения, приведены методики вычислительного эксперимента и его результаты.
В заключении приводятся основные результаты диссертации.
Работа содержит 134 страницы, включая список литературы из 122 наименований, 50 иллюстраций и шесть таблиц.
Обзор существующих методов решения задачи синтеза
Задача синтеза оптимального управления на протяжении многих лет является одной из ключевых проблем теории управления. Выделившись в отдельную область науки еще в середине 50-х годов 20-ого столетия, математическая теория оптимального управления аккумулировала в себе основные достижения классического вариационного исчисления [5], [78] и др., принципа максимума Л.С. Понтрягина [65], градиентных методов оптимизации [1], методов оптимизации нелинейных случайных процессов [43] и т. д. Одновременно с чисто теоретическими исследованиями очень велико количество работ по разработке численных методов решения задач оптимального управления (см., например, [10], [56], [64], [72], [85], [113]). И по настоящий день продолжаются исследования и появляются новые вычислительные методы для решения задач оптимального управления. Специфика существующих методов и их математическое содержание таковы, что овладение их теоретическими основами еще не означает возможность решить с их помощью сложную техническую задачу, такую как задача управления спуском космического аппарата.
Важность создания «физической теории управления» была озвучена в работе А.А. Красовского [38]. «Физическую теорию управления» Красовский А.А. определяет как «теорию управления, которая базируется на фундаменте физических законов , учете ресурсов и приоритетах реального мира. Отличие физической теории управления от абстрактно-математической начинается с математических моделей и критериев систем и процессов управления. Эти модели должны учитывать законы сохранения, другие законы природы и технологии. Физическая теория строится так, чтобы заложенные в математических моделях и критериях реальные факторы и ограничения фигурировали и в конечных результатах, определяя границы возможного и невозможного в управлении». Таким образом, поставленная Красовским А.А. проблема «поиска общих объективных законов процессов управления» требует создания принципиально новых методов физической теории управления.
Большинство известных подходов [1], [17], [25], [29], [39], [42], [45], [52], [53], [72] к решению проблем управления космическими аппаратами связаны с построением программных управлений, оптимальных по различным критериям, но не решающих проблему синтеза в общей постановке. Анализ этих подходов применительно к проблеме управления спуском космического аппарата обусловил необходимость построения общего метода синтеза оптимальных систем управления, которые используют информацию о поведении объекта.
Дальнейшее развитие вычислительных методов требует четкого представления о том, что уже сделано, а что еще не удается сделать, и ради чего еще требуется приложить усилия при создании нового метода.
Первым шагом в решении поставленной задачи синтеза управления, как функции координат пространства состояния объекта u = и(х), стало создание Р. Беллманом [9] метода динамического программирования. Согласно данному методу структура оптимального управления определяется путем решения уравнения Беллмана для непрерывных детерминированных систем [1] [6], [8], [61], которое является достаточным условием минимума функционала (1.2).
Как видно из (1.5), для того, чтобы получить управление в виде функции координат пространства состояний необходимо решить уравнение Беллмана в частных производных, что приводит в общем случае к значительным трудностям вычислительного характера. И только в некоторых частных случаях, например, для линейной системы и квадратичного критерия оптимальности удается получить решение в общем виде.
Доминирующим на протяжении последних 40 лет развития теории управления стало направление «АКОР» (аналитическое конструирование оптимальных регуляторов), основанное A.M. Летовым [46] - [52] и Р. Калманом [100], а затем получившее свое развитие в работах А.А. Красовского [39], М.М. Атанса и П. Фалба [6], В.Н. Афанасьева [7], [8] и других исследователей. Вообще говоря, первые важные результаты в решении задачи о регуляторе были получены еще в 40-50-х годах XX века в работах В.В. Солодовникова, Б.Н. Петрова, А.А. Фельдбаума и ряда других ученых [54], [63], [69], [73]. Задача сводилась к выбору структуры и параметров корректирующих устройств и ее решение основывалось на частотных и корневых методах. Практическая ценность данных подходов объясняется их физической ясностью, связанных с использованием первичных показателей качества систем (времени переходных процессов, перерегулировании и т.д.), однако все они, в основном, ориентированы на линейные объекты и в них велика доля ручных методов расчета и интуитивного чутья разработчика. Указанные трудности особенно усиливаются при синтезе управления многомерных и многосвязньгх линейных и тем более нелинейных систем. Развитие теории АКОР позволило сделать значительный шаг вперед в решении поставленной задачи синтеза управления. Задача АКОР состоит в синтезе оптимальных регуляторов для линейных многомерных и многосвязных систем, которые обеспечивают на траекториях движения объекта минимум выбранного критерия качества.
Метод генетического программирования
Сейчас большое внимание ученых и разработчиков уделяется новому методу АКАР (аналитическое конструирование агрегированных регуляторов), сформулированному А.А. Колесниковым [33], [34] в контексте синергетической теории управления [32], [35]. Метод базируется на принципе инвариантных многообразий, описывающих состояние исходной динамической системы, которое удовлетворяет технической цели управления. Следуя определениям А.А. Колесникова, желаемые инвариантные многообразия - это состояния динамической системы, которые удовлетворяют технической цели управления и одновременно являются наиболее естественными состояниями самого объекта. Привлекательной особенностью метода АКАР является отсутствие необходимости задавать знакоопределенные целевые функционалы и включение информации о желаемых динамических состояниях объекта непосредственно в целевую функцию.
Достижение объектом цели управления определяется свойством атрактивности [95] целевых многообразий. Таким образом, задача синтеза регулятора в методе АКАР состоит в решении двухэтапной задачи. Сначала в зависимости от физической сути задачи строят инвариантное многообразие ф(х) = 0, размерность которого меньше размерности исходной системы.
Затем из системы дифференциальных уравнений Тф + ф = 0 для агрегированных переменных находят управление и(ф(х)), которое переводит систему из начального состояния х(0) в окрестность заданного инвариантного многообразия ф(х) = 0 и удерживает систему в окрестности этого многообразия, обеспечивая свойство атрактивности. Таким образом, в подходе АКАР к синтезу управления целью функционирования систем, в отличие от теории автоматического регулирования и теории оптимального управления, является не только выполнение требований к характеру переходного процесса (перевода системы в окрестность инвариантного многообразия), но и обеспечение желаемого поведения системы на аттракторе.
Поскольку данный метод является разработкой отечественных ученых, в публикациях зарубежных авторов он не встречается. В зарубежной литературе идейно близким к методу АКАР является метод «погружения и инвариантности» (immersion and invariance) представленный в работе [1]. Задачи отыскания подходящего инвариантного многообразия и построения управления, приводящего систему к данному аттрактивному многообразию, пока не решены в [1]. Кроме того, аттрактивность и инвариантность целевого многообразия вводятся в качестве предположений. При этом приводятся доказательства достаточности данных предположений для решения задачи стабилизации заданного положения равновесия. Таким образом, оба метода в некотором смысле дополняют друг друга. Метод АКАР решает задачу конструирования нелинейных оптимальных регуляторов, а метод инвариантного погружения обосновывает достаточность этого решения для асимптотической стабилизации положения равновесия на целевом многообразии.
Несмотря на принципиальную обоснованность метода АКАР, заметим, что в работах [32], [33], [34], [35] по его исследованию не указано, как задать инвариантные многообразия в общем случае для сложных объектов управления. Приводятся лишь примеры и некоторые свойства. Таким образом, открытой остается проблема выбора инвариантных многообразий. Кроме того, как видно из исследуемых задач, данный подход успешно применяется в основном для задач стабилизации, где форма инвариантного многообразия очевидна. К тому же, при решении нелинейного уравнения, описывающего связь управления с агрегированными переменными, необходимо учитывать ограничения на управление.
Рассматриваемая задача спуска космического аппарата имеет сложный функционал, обеспечивающий минимизацию максимального значения перегрузки, и построение инвариантного многообразия не очевидно. К тому же, при решении нелинейного уравнения, описывающего связь управления с агрегированными переменными, необходимо учитывать ограничения на управление. Без учета этих ограничений решение данного уравнения не корректно. Метод АКАР для решения задачи синтеза спуска космического аппарата трудно реализуем.
Расчет параметров модели влияния атмосферы на силы, действующие на спускаемый космический аппарат
Как отмечалось во второй главе, посвященной обзору существующих методов синтеза управления нелинейными объектами, при выборе структуры и параметров постулируемых критериев оптимальности важно не отрываться от физической сущности исследуемых процессов.
Методы расчета и средства, привлекаемые к анализу законов движения, зависят от того, какова цель расчета.
В представленной работе рассматривается задача спуска космического аппарата в атмосфере Земли. Под спуском на поверхность Земли понимаем проведение всех операций, связанных с организацией подхода космического аппарата к плотным слоям атмосферы, безопасным прохождением атмосферы и мягкой и точной посадкой в заданном районе. В [58] выделяются три этапа возвращения космического аппарата на Землю. Сначала путем сообщения небольшого корректирующего или тормозного импульса космический аппарат переводится на траекторию, пересекающую плотные слои атмосферы. В процессе движения в атмосфере происходит пассивное гашение скорости за счет сил сопротивления атмосферы, затем при сближении космического аппарата с поверхностью планеты следует активное или пассивное гашение остаточной скорости. Говоря о спуске космического аппарата, имеется в виду прежде всего второй участок основного аэродинамического торможения, который в значительной степени определяет основные особенности рассматриваемой в диссертации проблемы синтеза. Именно здесь космический аппарат подвергнется интенсивному воздействию механических и тепловых факторов.
Физическая сущность происходящих в процессе спуска процессов достаточно ясна: в результате того, что воздушная среда препятствует движению космического аппарата, возникают аэродинамические силы сопротивления. Скорость космического аппарата гасится, но при этом космический аппарат нагревается. Кроме того, наличие сил торможения приводит к возникновению перегрузок, действующих на космический аппарат, величины которых тем больше, чем интенсивнее происходит гашение скорости.
Задача защиты космического аппарата от чрезмерного нагревания, решается за счет применения специального теплозащитного покрытия и поэтому в данной работе не рассматривается. Снижение же уровня перегрузок, действующих на космический аппарат в процессе спуска, является одним из основных требований. Чрезвычайно высокие перегрузки при спуске могут привести к разрушению космического аппарата или нарушению нормальной работы аппаратуры.
Таким образом, цель синтеза управления спуском космического аппарата с одной стороны - обеспечение минимального значения перегрузки, а с другой, — достижение минимального отклонения точки приземления от заданного терминального состояния. условия, обеспечивающего попадание космического аппарата в точку посадки.
Вопросы управления продольным движением космического аппарата при входе в атмосферу исследовались в работах как российских [11], [12], [58], [59], [72], так и зарубежных [115], [117], [99] авторов. В работе [16] анализируются возможности построения систем управления при различных автономных измерительных средствах. В статье также рассматриваются вопросы определения начальных условий и учета их в процессе управления. В работе [67] изложен алгоритм определения условий входа в атмосферу и расчета начальных условий для интегрирования системы навигационных уравнений. В [58], [115] решается задача управления дальностью, то есть управление космическим аппаратом осуществляется на основе прогнозирования конечной дальности. В [12], [117] управление основано на отслеживании заранее выбранной номинальной траектории. В [11], [72] задача сводится к решению последовательности стандартных задач минимизации вспомогательных функционалов. В [58], [117] описан базовый подход, применяемый при проектировании систем управления спуском космических аппаратов. В начале спуска, когда отсутствует управление продольной дальностью полета, спускаемый аппарат движется с постоянным скоростным углом крена. При достижении продольной перегрузкой заданного значения начинается участок спуска с управлением дальностью, при этом на основе прогноза движения космического аппарата отыскивается попадающая в заданный район траектория. Специальный алгоритм управления вырабатывает командное значение угла крена, обеспечивающее движение аппарата по траектории, близкой к спрогнозированной. Значение перегрузки при этом учитывается как фазовое ограничение типа неравенства, которое должно выполняться с определенной степенью вероятности.
Таким образом, используемые методы построения оптимального управления рассматриваемой нелинейной системы, описывающей движение космического аппарата на этапе спуска, основаны на методах синтеза управления для линейных систем, применяемым к уравнениям в вариациях в окрестности опорной траектории. В настоящей работе напрямую решается задача синтеза системы управления спуском космического аппарата. В результате разработчик должен получить управление как функцию координат пространства состояний.
Метод аппроксимации управления кривыми безье
Для поиска решения задачи (5.1) - (5.8) используем генетический алгоритм [18], [44], [96] с применением метода сетевого оператора, предложенного А.И. Дивеевым [20], [21]. Генетический алгоритм содержит конечную популяцию (набор) объектов с различными значениями внутренних параметров и производит операции отбора (селекции), скрещивания (обмена) и мутаций с объектами в зависимости от численного значения функции цели каждого объекта. Генетическим материалом является набор внутренних параметров объекта, полностью определяющих его строение и поведение. Обмен генетическим материалом двух объектов (репродукция) приводит к образованию нового объекта с новыми значениями внутренних параметров и образуется популяция нового поколения. В процессе смены поколений происходит поиск глобального оптимума.
Развитием метода генетического алгоритма для автоматического создания программ является представленный в работах Дж. Козы [104] и его учеников метод генетического программирования, позволяющий получить с помощыо компьютера аналитические решения различных математических задач. Автоматическое написание программ подразумевает создание такой программы, которая могла бы создавать другие программы без детального описания алгоритма, используя только набор требований и условий. В генетическом программировании для универсального описания программы и ее кодировки используется польская запись [22]. Польская запись представляет собой строку символов, описывающих операторы и операнды. Множество польских записей может описывать множество функциональных зависимостей. Отметим, что генетическое программирование обладает существенными недостатками: a) используемая структура данных, польская запись, требует проведения лексического анализа при каждом расчете, что является неэффективным с вычислительной точки зрения; b) количество переменных в выражении увеличивается с каждым использованием переменной в аналитической зависимости, т.е. увеличивается количество листьев на дереве, которое представляет польскую запись; c) несмотря на то, что разная длинна польской записи дает преимущество в разнообразии функциональных зависимостей, она создает трудности при поиске решения с помощью генетического алгоритма. Однако, так как генетическое программирование обеспечивает поиск решения на множестве функциональных зависимостей, то остановим свой выбор на нем в качестве базового подхода для решения поставленной задачи синтеза оптимального управления спуском космического аппарата. А для преодоления указанных ограничений а) - с) классического метода генетического программирования используем метод сетевого оператора, разработанный А.И. Дивеевым [20], [21]. Сетевой оператор представляет собой ориентированный граф, который описывает математическое выражение [19], [21]. На дугах графа заданы номера унарных операций, а в узлах графа номера бинарных операций. Значения переменных и параметров размещаются в узлах-источниках графа. Результаты вычислений математических выражений помещаются в узлах-строках. В работе [21] показано, что по сетевому оператору с помощью несложного алгоритма можно правильно вычислить математическое выражение. Генетический алгоритм осуществляет адаптивный поиск сетевых операторов в пространстве возможных решений, которые принадлежат множеству Парето-оптимальных решений, и векторы значений параметров. Таким образом, для разработки метода решения поставленной задачи синтеза оптимальной программы управления космическим аппаратом на этапе посадки в атмосфере необходимо: a) выбрать эффективную с вычислительной точки зрения структуру для представления функциональных зависимостей; b) обеспечить возможность выбора оптимальных значений параметров в каждой функциональной зависимости; c) обеспечить возможность построения множества Парето оптимальных решений с помощью генетического алгоритма. Для реализации вычислительных алгоритмов в работе используем метод сетевого оператора [21], позволяющий в наиболее удобной для поиска на компьютере форме представлять функциональные зависимости. При реализации методов генетического программирования возможно использование и других структур данных, а именно, в виде деревьев или строк польской записи. Но как отмечалось в обзоре, использование данных структур требует неэкономичных вычислений, связанных с работой с динамической памятью для деревьев или лексическим анализом строк для польской записи. В этой связи для задач, связанных с поиском функциональной зависимости n = g(x), где х - вектор состояния, х = [хі...хи] , возможно использование более эффективного с точки зрения вычислений метода сетевых операторов, разработанного А.И. Дивеевым.
