Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема статуса математических объектов 13
1.1. Обсуждение вопросов о природе математических объектов в истории философии 13
1.2. Дискуссии о статусе математических объектов в философии математики 25
1.3. Социальные эстафеты как способ бытия математических объектов 46
Глава 2. Особенности онтологии математики: формы, средства и методы задания объектов в математике 62
2.1. Математический конструктор как средство задания объектов в математике 62
2.2. Формы существования математических методов 77
Глава 3. Процессы формирования интегрального исчисления как нового раздела математики 88
3.1. Презентизм и антикваризм в историко-математических исследованиях 89
3.2. Программно-предметные комплексы дисциплин и их роль в формировании исчисления 96
3.3. Рефлексивные преобразования деятельности в становлении исчисления 114
3.4. Ценностные ориентации в чистой и прикладной математике 123
3.5. Роль коллекторских программ в формировании исчисления 144
Заключение 158
Библиографический список 165-183
- Обсуждение вопросов о природе математических объектов в истории философии
- Дискуссии о статусе математических объектов в философии математики
- Математический конструктор как средство задания объектов в математике
- Презентизм и антикваризм в историко-математических исследованиях
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Вопросы о том, что собой представляют математические объекты -число, линия, треугольник, обсуждаются в философии начиная с Платона и до сих пор не имеют позитивного решения. Обычно считают, что математические объекты - это идеальные объекты, существующие в особом сверхчувственном мире. Вехи на пути решения вопросов о том, где и как существуют такие объекты - номинализм, реализм, концептуализм - в средние века, неономинализм, неореализм, а также логицизм, формализм, интуиционизм, конструктивизм в первой половине XX века. Как показывает В.В. Целищев в недавно вышедших книгах [См. Целищев В.В., 2002 и 2003], споры о том, что собой представляют математические объекты и с помощью каких познавательных способностей их можно изучать, совершенно не затихают в современной философии математики. Существование математических объектов в особом идеальном мире требует и каких-то необычных интеллектуальных способностей человека, с чем трудно согласиться рациональным умам. Утверждение Эрмита о том, что математические объекты «существуют вне нас в силу той же необходимости, как и объекты реального мира, и мы их встречаем или их открываем и изучаем точно так, как это делают физики, химики или зоологи» [Бурбаки Н., 1963, С. 29] не соответствует практике математической деятельности. Поэтому в диссертации принято два принципиальных решения - первое - автор присоединяется к начавшимся уже попыткам осознать сущность математических объектов как семиотических, т.е. как гуманитарных (связывая с математическими знаками правила оперирования с ними), и второе - нам представляется продуктивным предположение В.В. Целищева о том, что в рамках философии математики следует перейти от решения традиционных вопросов о природе математических объектов к эпистемологической ориентации этой дисциплины. Сказанное означает, что наряду с онтологическими вопросами о статусе математических объектов как
гуманитарных мы рассмотрим в диссертации вопросы теории познания -как именно возникают новые математические объекты, в частности, интеграл, какие познавательные процессы обусловливают и сопровождают возникновение интеграла и интегрального исчисления. История становления метода интегрирования, а только затем понятия интеграла, растянулась почти на две тысячи лет. В такой ситуации актуален вопрос, какие факторы с одной стороны, способствовали, а с другой - тормозили развитие данной области математики, ответа на который до сих пор не существует. Таким образом, актуальность настоящего исследования определяется как тем, что мы включаемся в обсуждение онтологических проблем (где и как существуют математические объекты), так и тем, что определенное решение о статусе математических объектов влечет за собой наш анализ теоретико-познавательных вопросов о процессах возникновения новых объектов в математике. При этом становление интегрального исчисления выступает для нас в качестве эмпирического материала для анализа гносеологических закономерностей возникновения нового в математике. Мы в этом случае следуем мысли И. Лакатоса о том, что история науки есть пробный камень методологии науки.
Степень разработанности проблемы исследования
Проблеме способа бытия математических объектов посвящена значительная философская литература. Вопрос о статусе математических объектов в разные исторические эпохи в явной или неявной форме обсуждали Демокрит, Архимед, Пифагор, Платон, Аристотель - в Античности; Августин, Фома Аквинский, И.Росцелин, П.Абеляр - в Средневековье; А.Гельвеций, Д.Дидро, Г.Лейбниц, И.Кант - в Новое время.
Философия математики, по мнению В.В. Целищева, есть часть философии, и в ней отражаются все те тенденции, которые свойственны
всей философии. «Философия даже относительно элементарных ветвей математики — это такая дисциплина, в которой ясно фокусируются теории о природе языка, знания, указания и истины. Стало очевидно, что традиционная философия математики столкнулась с дилеммами, обусловленными современной теорией познания, и, стало быть, мы имеем дело с эпистемологическим уклоном в философии математики» [Целищев В.В., 2002, С. 37]. Для рассмотрения особенностей математических объектов большое значение имеет литература как по фундаменталистской, так и по нефундаменталистской философии математики. Классическая литература по философии математики может быть отнесена к фундаменталистскому направлению, в рамках которого вопросы механизмов развития математики, как правило, не затрагиваются. В настоящем исследовании важны те работы фундаменталистской философии математики, где ставятся вопросы о сущности математики, о способе бытия ее объектов. Это классические работы по обоснованию математики Б.Рассела, Уайтхеда, Д.Гильберта, о математических структурах - Н.Бурбаки, исследования о природе математического знания Г.И. Рузавина, А.К. Сухотина, Е.А. Беляева, Н.А. Киселевой и др.
Нефундаменталистская философия математики начала
формироваться в середине 60-х годов прошлого столетия под влиянием работ Т.Куна, М .Полани. В семидесятые годы толчком к ее развитию в западных академических кругах послужила дискуссия о применимости идей Т.Куна к изучению развития математики. Нефундаменталистская философия математики была нацелена не на изучение сущности математики или оснований математического знания, а на исследование тех норм и образцов, которым действительно следуют математики, на поиск реальных путей развития математического знания. Основная задача нефундаментализма - поиск общих схем, поиск закономерностей развития математики. К нефундаменталистскому направлению относятся работы таких отечественных и зарубежных авторов, как А.Г.Барабашев,
В.В.Мадер, Б.С.Грязнов, И.С.Кузнецова, В.В.Целищев, П.Мэдди, Х.Филд, П.Бенацерраф и др. На стыке фундаменталистского и нефундаменталистского подходов написаны работы В.Я.Перминова.
В рамках нефундаменталистского направления большое значение приобретают исследования развития математики в широком социокультурном контексте. Адекватная картина этого развития оказывается невозможной без учета влияния разнообразных социокультурных факторов. Исследования по истории математики последних десятилетий убедительно показывают, что развитие математики не несет в себе черты предопределенности и может существенно задаваться переменчивым культурным окружением.
Акцент на гуманитарное и социокультурное познание математики представлен в работах Д.У.Гиббса, В.П.Хавина, Р.Коллинза, Н.С.Розова, М.А.Розова, А.Г. Барабашева, А.А. Григоряна, Л.С.Сычевой, Р.К.Кадыржанова и др. В.П.Хавин утверждает, что математические объекты не могут иметь независимого существования вне рамок математического языка. Как бы не решался вопрос о статусе математических объектов, сами эти объекты доступны только через язык математики.
В 80-е годы XX века М.А. Розов предложил решение вопроса о способе бытия математических объектов в рамках теории социальных эстафет. По его мнению, «математические объекты не зависят от индивидуального человеческого сознания, ибо они в своем бытии обусловлены всем контекстом культуры, всей практикой человечества и противостоят отдельному человеку или целому поколению как явление не менее объективное, чем язык. Но, будучи явлением культуры, они и развиваются не по законам естественнонаучных объектов, а вместе с культурой и по ее законам» [Розов М.А., 1985, С.25]. Анализ научного знания в рамках теории социальных эстафет исследуется в работах М.А.Розова, С.С.Розовой, Н.И. Кузнецовой, Л.С.Сычевой, СБ.
Шапошника, М.Ю. Веркутиса и других. Для достижения цели настоящего исследования актуальны работы по историографии математики А.П.Юшкевича, К.А. Рыбникова, В.С.Малаковского, В.В.Прасосова, В.К.Петросяна и др. Те или иные аспекты истории развития и становления дифференциально-интегрального исчисления разрабатывали Н.Н.Лузин, В.А.Никифоровский, Л.С.Фрейман, В.П.Хавин, Н.И.Симонов и др. Диссертация опирается также на анализ работ собственно исследователей и создателей математического анализа - Архимеда, И.Кеплера, Р.Декарта, Г.Лейбница и др.
Цель и задачи исследования
Цель исследования - изучить вопросы о способе бытия математических объектов и выявить процессы их формирования на базе использования теории социальных эстафет.
Для реализации этой цели предполагается решить следующие задачи:
проанализировать философские дискуссии о статусе математических объектов, выявить причины, обусловливающие непреходящую дискуссионность темы;
выявить онтологическую сущность математических объектов в рамках теории социальных эстафет;
проанализировать факторы возникновения интегрального исчисления как новой системы правил оперирования со знаками, для чего рассмотреть:
а) роль предметных наук в становлении новых разделов
математики;
б) роль рефлексивных преобразований в возникновении новых
объектов математики в условиях неведения;
в) влияние программ систематизации знаний (коллекторских программ) и ценностных ориентации фундаментальной и прикладной науки на формирование интегрального исчисления.
Объект исследования - математическое знание, в частности, математические объекты и математические теории.
Предмет исследования - способы бытия математических объектов и процессы формирования новых математических объектов, главным образом - интеграла и интегрального исчисления как нового раздела математики.
Теоретической и методологической основой исследования
являются общие принципы и нормы научного рационального философского мышления. Наиболее значимыми для настоящей работы являются следующие общефилософские научные принципы: принцип культурно-исторической обусловленности знания; принцип системности, основой которого является целостное отображение исследуемой системы, междисциплинарный синтез, использование различных методов анализа, каждый из которых способствует раскрытию определенных сторон изучаемого объекта; принцип понятийного и концептуального конструктивизма. В качестве средства анализа использованы представления М.А. Розова о социальных куматоидах как онтологии гуманитарного познания.
Научная новизна исследования заключается в том, что впервые изучены процессы формирования новых математических объектов как становление новых традиций и правил оперирования со знаками (знаки, соответственно, тоже новые), что потребовало разработки как онтологических, так и гносеологических аспектов темы.
Ни в философии прошлого, ни в современной философии математики не получено общепринятое решение вопроса о статусе математических объектов. Непреходящая дискуссионность этих вопросов обусловлена тем, что не решен вопрос о способе бытия математических объектов - о том, где и как существуют математические знаки, что они обозначают.
Следует различать вопрос о способе бытия математических объектов, т.е. о способе их существования, который достаточно редко обсуждается, и вопрос, который постоянно возникает в дискуссиях (в частности, в интуиционизме) - какие математические объекты существуют, имеет ли смысл, например, говорить о существовании таких объектов, относительно которых доказаны только теоремы существования, но способ нахождения которых не известен,.
Приняв во внимание дилемму Бинацеррафа («если математика представляет собой исследование объективных идеальных сущностей и если когнитивные способности человека позволяют ему познавать только чувственные объекты, то как он может познавать математические объекты?»), диссертант присоединился к относительно новой традиции -осознавать математические объекты как род гуманитарных объектов, а именно - как социальные куматоиды.
4. Утверждение о том, что математические объекты - это
социальные куматоиды, означает, что они представляют собой
совокупность исторически сложившихся правил оперирования со знаками,
фиксирующими количественные стороны реальности. Математические
объекты - это семиотические объекты культуры, имеющие, как и все
объекты культуры, особую онтологическую природу - программ,
реализующихся на постоянно сменяющемся материале. В отличие от
знаков обыденного языка особенность математических знаков состоит в
том, что они представляют собой оперативные системы или -
конструктор, - систему исходных элементов, связанных определенными
операциями, позволяющими создавать из исходных новые объекты. В таком случае ответить на вопрос о появлении новых объектов в математике - значит выяснить, какие причины или факторы приводят к возникновению того или иного конструктора.
5.Выявлены следующие процессы, обусловливающие формирование интегрального исчисления как нового конструктора (новой программы или новой системы правил):
а) взаимодействие традиционных математических дисциплин и
предметных наук, составляющих программно-предметный комплекс наук,
в рамках которого дисциплины выделенных групп взаимно обслуживают
друг друга - предметные дисциплины поставляют математике задачи, а
она, в свою очередь, - разрабатывает методы их решения. Только в рамках
комплекса дисциплины получают свое обоснование и завершение.
б) рефлексивные преобразования деятельности - переход от
решения задач на вычисление площадей, объемов, проведения
касательных, к задачам на создание исчисления, обоснования
существенно новых процедур - интегрирования и дифференцирования. В
результате рефлексивного переосмысления интегралы и дифференциалы
превращаются из средства решения предметных задач в объект
исследования и обоснования;
в) функционирование коллекторской программы, которая
организует знание вокруг новых референтов - интеграла, дифференциала.
Нужно было освободить знание о новых математических объектах от
подчинения предметным задачам и представить исчисление в чистом
виде. Это важно потому, что ценности прикладной науки (а именно так
выглядело при своем возникновении знание об интегралах) и ценности
фундаментальной - различны. Прикладной науке важно, чтобы метод
«работал», фундаментальная же наука стремится к знанию о новых
объектах, к тому, чтобы ввести их в математику по канонам этой науки,
тогда как сначала существование интегралов было оправдано тем, что с их помощью можно было вычислять площади и объемы.
Теоретическая и практическая значимость исследования
Теоретическое значение работы определяется, прежде всего, проведенным в ней философско-методологическим анализом актуальной проблемы способа бытия математического объекта. Работа имеет теоретический характер, и полученные в ней результаты могут представлять интерес для философов, математиков и всех, кто интересуется философией математики и процессами ее становления и развития. Результаты проведенной работы могут быть использованы для дальнейшего гносеологического анализа вопросов о способе бытия математических объектов и механизмах их формирования.
Практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что полученные в нем результаты могут быть использованы при преподавании философии и методологии науки, теории познания, истории математической науки, а также в процессе дальнейшего совершенствования программ и тематических планов учебных дисциплин естественно-гуманитарного цикла.
Апробация работы
Результаты исследований, выполненных по теме диссертации, обсуждались на семинаре по эпистемологии и философии науки на кафедре философии НГУ и опубликованы в сборнике научных статей семинара «Гносеологический анализ представлений о реальности в науке»; также обсуждались на кафедре философии НГПУ и опубликованы в аспирантском сборнике Новосибирского государственного педагогического университета, составленном по материалам научных исследований аспирантов, соискателей, докторантов.
Отдельные аспекты диссертационного исследования представлялись на ежегодной международной студенческой конференции Новосибирского государственного университета «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2001, 2004); обсуждались на региональной научной конференции молодых ученых Сибири в области гуманитарных и социальных наук «Перспективы гуманитарных и социальных исследований в ХХІв.» в институте философии и права СО РАН (Новосибирск, 2003); в рамках международного конгресса «Образование и наука в XXI веке: проблемы интеграции и правового регулирования» (21-25 ноября 2003г.) и опубликованы в серии трудов научного методического центра философии образования НГПУ «Философия образования» (Новосибирск, 2004); использовались в курсе лекций и семинарских занятий по философии для студентов естественно-географического факультета НГПУ, а также в разработке электронного учебно-методического пособия по философии для студентов НГПУ и отражены в сборнике научных работ студентов, аспирантов и преподавателей естественно-географического факультета НГПУ. Диссертация обсуждалась на кафедре философии и социальных наук Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф.Решетнева.
Структура работы
Цель и задачи исследования определили структуру работы, которая состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка использованной литературы, включающего 217 наименований.
Обсуждение вопросов о природе математических объектов в истории философии
Для построения научной онтологии в любой области науки необходимо предварительно ответить на вопрос о природе изучаемого явления, о способе его бытия. Тем не менее, проблема способа бытия объектов исследования не может быть причислена к широко обсуждаемым ни среди самих ученых, ни среди философов науки. В естественных науках она либо решалась почти незаметно и на фоне других острых проблем не осмысливалась как очень значительная, либо, если и привлекала внимание ученых, то не надолго и, как правило, без четкой формулировки в общем виде. Это связано с глубокой укорененностью этой проблемы в традициях философии, с ее предельной категориальной базой в форме опоры на самую фундаментальную философскую категорию бытия. Рассмотрим подходы философов к проблеме определения способа бытия объекта в целом, математического объекта - в частности, в исторической последовательности их возникновения.
В эпоху Евклида математические объекты воспринимались как идеализированные, более точные и совершенные образы реальных вещей.
Платон считал, что математические объекты неизменны, вечны и существуют в некотором независимом, сверхчувственном мире идей. Платон показал, что при доказательстве теоремы геометр делает чертеж, но говорит вовсе не о том, что он начертил, а о чем-то другом. Вот как это звучит в «Государстве»: «Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили» [Платон. Государство. / Пер. с древнегреч.; Общ.ред. А.Ф.Лосева, В.Ф.Асмуса, А.А.Тахо-Годи., 1999, С.293].
Древнегреческий геометр, который, доказывая теорему, чертит что-то на песке или на восковой дощечке, делает отсюда выводы, и никто при этом не говорит, что изображенный квадрат — это вовсе не квадрат, ибо стороны его не равны, а углы не прямые. Почему же никто не возражает? Да потому, что Платон совершенно прав: речь идет вовсе не о чертеже, а о каком-то другом объекте, и все это интуитивно понимают. Это сейчас все кажется просто, но нужно было быть великим мыслителем, чтобы впервые это осознать на уровне глобального открытия - геометр строит свои утверждения не относительно реальных чертежей, а применительно к чему-то другому. Обьино в этих случаях и говорят об идеальных объектах - об идеальном квадрате или об идеальном треугольнике и т.д. Б.Рассел подтверждает данное наблюдение: «Когда математик доказывает свою теорему о треугольниках, то он говорит не о какой-либо конкретной фигуре где-то нарисованной, он говорит о том, что существует в его голове» [Рассел Б., 1998, С.50]. Рассел совершенно прав в первой части своего высказывания. Но существует ли треугольник вообще в «голове» математика? Если он существует в голове, то почему то, что существует в голове одного математика, совпадает с тем, что видит другой. Если же идеальный треугольник существует не в «голове» ученого, то где?
Согласно Платону математические объекты существуют вне и независимо от человеческого сознания. Больше того, они существуют не в материальном мире, а в мире идеальных сущностей.
Наиболее отчетливо платонистская тенденция проявляется в теории множеств Кантора, где вводятся не только— бесконечные множества различной мощности, но сами эти множества рассматриваются как некие самостоятельные сущности, принадлежащие к особому идеальному миру. Именно о таком абсолютном платонизме, постулирующем существование самостоятельного мира идеальных объектов, который содержит все абстрактные понятия и отношения математики, стали говорить Кантор и его последователи.
Аристотель признает объективный характер математических объектов в противовес своему учителю Платону. Он не помещает их в какой-то особый мир идей, как это делал Платон, а считает существующими в особом смысле в реальном мире. Большой заслугой Аристотеля является именно выяснение специфики математического существования [См.: Рузавин Г.И., 1968].
Аристотель ставит вопрос о том, как могут существовать «математические предметы», выделяя два варианта ответа: эти предметы могут существовать либо в чувственно воспринимаемом, либо - отдельно от чувственного мира: «Если же существуют математические предметы, то необходимо, чтобы они либо находились в чувственно воспринимаемом, как утверждают некоторые, либо существовали отдельно от чувственно воспринимаемого; а если они не существуют ни тем, ни другим образом, то они либо вообще не существуют, либо существуют иным способом. В последнем случае, таким образом, спор у нас будет не о том, существуют ли они, а о том, каким образом они существуют» [Аристотель. Метафизика., 1976, С.321].
Математические объекты, по мысли Аристотеля, не могут, как отдельные предметы, находиться в чувственных вещах. С другой стороны, они не могут существовать и обособленно от реальных тел. «...Если принимать, что математические предметы существуют как некоторые отдельные реальности, то приходишь в столкновение и с истиной и с обычными взглядами на то, как обстоит дело» [Аристотель. Метафизика., 1976, С.220]. Аристотель считал, что простейшие, первичные истины, характеризующие эти понятия (т.е. аксиомы) могут непосредственно усматриваться и поэтому являются априорными. Относительно всего остального научного знания он утверждал, что оно должно выводиться дедуктивным путем из первичных посылок. Но концепция Аристотеля не могла объяснить возникновения более сложных абстракций, полученных путем далеко идущих обобщений. Таким образом, математические объекты выделяются из мира нашего опыта в «чистом» виде с помощью абстракции.
Дискуссии о статусе математических объектов в философии математики
Начиная с работ Фреге, Уайтхеда и Рассела, можно говорить о философии математики как специальной философской дисциплине, обсуждающей широкий круг проблем, куда входят не только вопросы о статусе математических объектов, но вопросы о специфике математики как науки, о том, каковы стимулы и механизмы ее формирования, инициированная книгой Т. Куна проблема - есть ли научные революции в математике и т.д. Философия математики - не единственный раздел философского знания, посвященный обсуждению проблем конкретных наук, таковы и философские вопросы физики, биологии, социально-гуманитарных наук и т.д.
В современной онтологии математики существует множество направлений, дискутирующих о статусе математических объектов, и, в той или иной степени противостоящих платонизму. Работающий математик, по мнению В.В. Целищева, вообще не осознает специфичность своих философских взглядов, потому что они естественны и просты. Однако это простота кажущаяся [Целищев В.В., 2003, С.31]. В настоящем параграфе рассмотрим наиболее актуальные для настоящего исследования позиции.
Начиная с 50 — 6 0-х годов XX в., когда были исчерпаны ресурсы традиционных подходов к пониманию оснований математики, философия математики оказалась в глубоком кризисе. И хотя традиционное преподнесение проблем этой области философских исследований опиралось (да и опирается сейчас) на три великих направления (логицизм, формализм, инутиционизм), существует глубокий скепсис относительно возможностей самой дисциплины. И, тем не менее, по мнению ряда авторитетных исследователей, философия математики как дисциплина выжила, поскольку старые проблемы были заменены новыми [Maddy Р., 1991, Р. 155 — 164.] Большинство работающих математиков стоит на позиции платонизма и считает, что математические объекты существуют. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что «при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями» [Целищев В.В., 2002, С.32].
Э.Бет выделял следующие моменты, склоняющие в пользу платонистской концепции: 1 естественный мир меняется, математические понятия неизменны, следовательно, они не являются отражением внешнего мира; 2) в то время как естественные науки в своём развитии зависимы от нашего восприятия внешнего мира, от его изменения, математика развивается автономно (хотя этот момент является весьма спорным); 3) элемент случайности в процедурах эмпирических наук приводит к постоянному сомнению, но то, что однажды доказано в математике, остаётся неопровержимым [Цит. по Кузнецовой И.С., 1984, СП ]. Однако, всё это лишь психологическое объяснение платонистской концепции, а отнюдь не её обоснование. Все три пункта можно пытаться объяснять и без опоры на платонизм.
С точки зрения философии, платонизм «отягощен массой неприятных аспектов». Прежде всего, как считает В.В. Целищев и мы согласимся с ним, весьма проблематично понятие существования в нематериальном мире. Б. Рассел следующим образом обосновывает свою точку зрения. «Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир... Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым... Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувств, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например, числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут быть в свою очередь истолкованы как мысли Бога» [Рассел Б., 1997, С.51]. Именно их этих посылок выросли философские представления о природе математики, известные под названием «платонизм».
Платонизм в области математики утверждает существование другого, нематериального, мира, населенного математическими объектами. «Возникают вопросы о том, где находится этот мир, как войти в соприкосновение с ним, как может наш язык указывать на объекты этого мира, если они не являются чувственно воспринимаемыми объектами. Платонисты настаивают на том, что люди имеют внечувственное осознание математических структур, называемое часто интуицией математика, и что при помощи интуиции мы входим в контакт с математическими сущностями» [Целищев В.В., 2002, С.32]. Но для «натуралистически настроенного ума», который считает, что любые познанные структуры объективного мира должны иметь естественное происхождение, возникает вопрос, в какой степени для объяснения природы математики необходим платонизм.
В своей монографии «Философия математики», В.В. Целищев приводит возражения против платонизма, которые основаны на том, что «платонизм есть результат склонности математиков к вневременным и внепространственным сущностям, что идет вразрез с естественными науками, где изучаются сущности, находящиеся в пространстве и во времени». Возражений против этого тезиса нет, даже наоборот это подтверждение нашей позиции, что математика больше гуманитарная наука, и трудности возникающие в гуманитарных науках при выделении объекта исследования (знания или знака) находят свое отражение и в математике.
Противников у платонизма много, так, например А. Сломан считает, что вопрос о существовании математического объекта беспочвенен. «Мы все знаем, что означает существование единорогов, или вполне разумный вопрос о существовании простого числа между двумя заданными целыми числами. Но нет смысла спрашивать, существуют ли все целые числа, или существуют ли они независимо от нас, и все дело в том, что понятие существования весьма плохо определено» [Цит. по: Barrow J., 1992, P. 273].
Математический конструктор как средство задания объектов в математике
В настоящем параграфе выявим особенности математической системы знания как науки с «конструктором» для чего сначала определим понятие «конструктор» и рассмотрим отличие наук с «конструктором» от описательных наук.
Науки с «конструктором» отличаются от описательных наук. Их существенная особенность состоит в том, что они исследуют явления путем мысленного конструирования, т. е. путем построения таких моделей, которые содержат в себе возможность трансформации, перестройки. Работая в рамках науки с конструктором, исследователь осуществляет движение как бы в двух плоскостях, постоянно согласовывая их друг с другом. Конструкторские представления — это генератор гипотез. Они направляют на поиск новых фактов и, кроме этого, при столкновении с новыми явлениями задают особую процедуру объяснения, состоящую в том, что исследователь мысленно конструирует явления-модели в пределах тех возможностей, которые предоставляет ему исходный «конструктор». Понятие «конструктор» предложено М.А.Розовым, который поясняет его следующим образом: «Специфика атомно-молекулярных представлений в том, что они не являются статичными по своему содержанию: это не представление о некоторой статике, а, скорее, принципы мысленного конструирования, теоретический «конструктор», в рамках которого мы можем строить различные модельные ситуации. Это будет более ясно из следующего сопоставления: зафиксировав физические или химические свойства какого-либо вещества, мы не получаем никаких возможностей спонтанного движения в рамках полученных представлений, но установив, из каких именно атомов это вещество состоит, мы можем сразу же попытаться различным образом комбинировать эти атомы в соответствии с их свойствами, предполагая наличие различных структур и проверяя это в дальнейшем путем наблюдения или эксперимента. Иными словами, в атомно-молекулярных представлениях в отличие, например, от представлений атрибутивных или классификационных содержится явно выраженный инженерно-конструкторский элемент» [Розов М. А., 1977, С. 12].
Конструктор возникает тогда, когда формируется опосредованное эмпирическое исследование. Например, в теории электричества непосредственно имеют дело с притяжением и отталкиванием наэлектризованных тел, с лейденской банкой, электрическими цепями, а вопросы ставят об электрическом истечении, токе, поле. Истечения, ток, поле нигде не даны исследователям непосредственно эмпирически. Тот объект, который физик имеет возможность наблюдать не совпадает с объектом, который он исследует. Физик не может «скопировать» свой объект с «натуры», как, скажем, географ, ибо та «натура», с которой имеют дело в эксперименте, является не объектом исследования, а только материалом, где объект себя проявляет. Чтобы физическое исследование могло осуществляться, необходимо построить представление об электрическом токе, поле и тому подобных объектах, которые, оставаясь «за кадром», составляют тем не менее подлинный объект исследования физика. Создав модель тока или поля, физик представляет интересующее его явление в рамках соответствующего конструктора и благодаря этому получает возможность исследования [Сычева Л.С., 1984, С.46-47].
Наука с конструктором хочет понять некоторый мир, стоящий «за кадром», за эмпирией, но знание об этом мире без описания эмпирии, приведший к тем или иным результатам, превращается в чисто формальную игру, а в случае математизированных наук с конструктором -в чистую математику» [Сычева Л.С., 1984, С.56].
Математический конструктор отличается от атомно-молекулярного, прежде всего тем, что элементы первого - знаки, объединенные системой правил в оперативные системы, тогда как элементы второго - некая картина - атом - это что-то вроде шариков, только очень маленьких, движущихся по законам механики. Второй случай важен именно для наук типа физики, химии, генетики, где имеет место опосредованное эмпирическое исследование, где наблюдаемые явления - распространение тепла, света и т.п. нужно вывести из поведения атомов и молекул. Наличие в математике оперативных систем означает, что существуют правила преобразования одних знаков и знаковых выражений в другие, скажем. Если где-то встретилось выражение, представляющее собой неполный квадрат суммы двух величин, то можно преобразовать это выражение, добавив недостающий член и вычтя его - значение выражения не изменится, но исходное выражение будет преобразовано в новое, скорее всего - в более компактное. Вычисление интегралов обычно состоит в том, чтобы преобразовать подынтегральное выражение к табличному виду. Доказательство теорем в геометрии невозможно осуществить без достраивания чертежей и т.д.
В математике, как и вообще в семиотике, можно выделить знаки двух типов 1) знаки-пиктограммы, где сама форма знаков определяет многие операции с ними; 2) обычные знаки, где их форма совершенно не «подсказывает», как можно с ними действовать. Знаки первого типа в математике - геометрические чертежи, некоторые числа римской системы счисления, система счисления майя, где числа обозначаются количеством точек от 1 до 10, знаковая символика теории графов. Знаки алгебры, математического анализа и большинства других систем — знаки второго типа, их большинство. Математические знаки - это род нормативных систем.
Одним из примеров демонстрации мира нормативных систем может служить известная игра - шахматы. Как играть в неё, описано во многих учебных пособиях. Роли фигур заданы четкими правилами, а если ввести новое правило (пешка рубит не только в сторону, но и прямо), то это будут уже не шахматы, а другая игра.
Р.Л.Гудстейн, сопоставляя арифметику с шахматами, пишет, что «шахматный король — это одна из ролей, которую фигура играет в шахматной партии,— роль фигуры, а не сама фигура. Точно так же различные роли, которые цифры играют в языке - это и есть числа. Арифметические правила, аналогично шахматным правилам, формулируются в терминах дозволенных преобразований числовых знаков» [Гудстейн Р. Л., 1961, С.22].
Используя аналогию шахмат и математических объектов, М.А. Розов показывает, что и шахматы и числа и другие подобные объекты существуют как нормативные системы. Шахматные фигуры можно сделать из дерева или из пластмассы, цифры можно писать карандашом на бумаге или вырезать на камне... Материал не имеет значения, все определяют правила «ходов», которые и задают роли. Приведенную точку зрения не трудно обобщить, ибо большинство окружающих нас предметов тоже выполняют определенные роли в нашей жизни и практической деятельности, роли, которые отнюдь не заданы однозначно самим материалом этих вещей, но предполагают наличие некоторых правил, обычаев, традиций. Шахматы — это не вещи, не «забавные фигурки», а эстафеты, точнее, шахматы получают определенность только в рамках эстафет. Таким же образом и числа — это не «закорючки», а роли этих «закорючек», т.е. числа с их правилами сложения, умножения и т.п. воспроизводят себя только как нормативная система.
Презентизм и антикваризм в историко-математических исследованиях
При анализе исторических документов, в том числе и при изложении истории математики, приходится сталкиваться с трудностями, которые можно определить как презентизм и антикваризм. В настоящем параграфе рассмотрим эти трудности зафиксируем, с какой позиции мы будем рассматривать процесс становления интегрального и дифференциального исчисления.
В 1974г. на XIV Международном Конгрессе историков науки в Токио, а также в 1975г. на страницах «Архива историй точных наук», выступил С.Унгуру с призывом о необходимости переписать заново историю древнегреческой математики. По его мнению, она до сих пор писалась не историками, а математиками, которые в своих реконструкциях исходили из того, что математика в своей сущности неизменна, хотя сущность эта «в разные эпохи выступает в разных одеждах», и, поэтому при изложении истории они свободно употребляли идеи и методы современной математики. Такой подход С.Унгуру квалифицировал как исторически несостоятельный, отрывающий содержание математического знания от исторически обусловленной формы. «Величайший грех» современной историографии древнегреческой математики он усмотрел в концепции «геометрической алгебры», введенной Г.Цейтеном, с тех пор ставшей общим местом в любом сочинении по истории древнегреческой математики. Никакой геометрической алгебры у греков не было, и быть не могло. Реконструкция древнегреческой математики, как «геометрической алгебры», полностью искажает действительную картину, навязывает грекам несвойственный им алгебраический строй математического мышления и препятствует попыткам понять античную математическую мысль как таковую [Кузнецова Н.И., 1996, С.341]. Призыв С.Унгуру был услышан. В настоящее время целый ряд историков математики заняты полным переосмыслением древнегреческой математической традиции. Они считают совершенно неправомерным традиционный подход к источникам с позиций математических представлений XIX—XX вв. и пытаются восстановить их «истинный» смысл в контексте античной культуры.
«Презентизм» и «антикваризм» — это специфические термины, в которых научное сообщество историков культуры зафиксировало две основные целевые установки, и в рамках которых совершается любое историко-культурологическое исследование. Презентизм — стремление рассказать о прошлом языком современности. Антикваризм — желание восстановить картины прошлого во всей их внутренней целостности, безо всяких отсылок к современности [Кузнецова Н.И., 1996, С.343]. Оба подхода имеют своих приверженцев, которые основную часть времени мирно сосуществуют в пространстве историко-математического исследования, но иногда вступают в ожесточенные дискуссии. Дискуссии эти становятся тем острее, чем отдаленнее по времени отстоит от современности изучаемый источник, чем сильнее отличается контекст его создания от представлений математики сегодняшнего дня.
Каким же образом эти установки определяют реальный ход исторической реконструкции и само прочтение исторических источников? Возможен ли рациональный выбор одного из этих методологических подходов к анализу прошлого? Один из известнейших английских историков философии Робин Джордж Коллингвуд (1889—1943) посвятил немало сил тому, чтобы показать, сколь непродуктивна презентистская позиция в понимании мышления прошлых эпох. Объясняя свои взгляды, Р. Коллингвуд писал: «Вы никогда не сможете узнать смысл сказанного человеком с помощью простого изучения устных или письменных высказываний, им сделанных, даже если он писал или говорил, полностью владея языком и с совершенно честными намерениями. Чтобы найти этот смысл, мы должны также знать, каков был вопрос (вопрос, возникший в его собственном сознании и, по его предположению, в нашем), на который написанное или сказанное им должно послужить ответом» [Цит. по: Кузнецова Н.И., 1996, С.341].
Трудность историка, по мнению Н.И.Кузнецовой, состоит в том, что «вопрос» коренится в историческом прошлом, которое нам не дано, а «ответ» - перед нами, теперь и сейчас. Однако же и антикваризм в чистом виде, не очень подходит для историко-научных исследований. Реализуем ли вообще последовательно антикваристский подход? Возможно ли при изучении, скажем, евклидовых «Начал», напрочь отрешиться от современных представлений и встать на точку зрения современника Евклида? Н.И.Кузнецова показывает, что очевидно — нет. Прежде всего, практически отсутствует материал для «погружения» исследователя: сохранившийся контекст почти полностью совпадает с текстом самих «Начал». Но, даже, если бы мы имели достаточное количество материала для восстановления контекста, все же перед историком науки возникает другая трудность, носящая более принципиальный характер. Дело в том, что погружение в контекст потребовало бы от нас полного отрешения от «лишних» знаний, приобретенных еще в школе, ибо такие знания, помимо нашей воли, в значительной мере предопределяют наше понимание предмета.
![Топология Бытия [Электронный ресурс] : Исходные основания и способы пространственно-временного структурирования Бытия](/i/i/4294/220831.png "Топология Бытия [Электронный ресурс] : Исходные основания и способы пространственно-временного структурирования Бытия Котелевский, Дмитрий Владимирович")
