Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы формирования субъекта учебной деятельности в процессе решения нестандартных задач 12
1.1. Психолого-педагогические концепции учебной деятельности 12
1.2. Интерпретации понятия «задача» и «нестандартная математическая задача» в современном научном знании 51
Глава 2. Нестандартная задача как компонент начального математического образования 75
2.1. Значение нестандартных задач В; практике преподавания начального курса математики 75
2.2. Методика работы с нестандартной задачей 87
Глава 3. Экспериментальное преподавание математики в начальной школе с использованием нестандартных задач 128
Заключение 153
Литература 156
Приложения
- Психолого-педагогические концепции учебной деятельности
- Интерпретации понятия «задача» и «нестандартная математическая задача» в современном научном знании
- Значение нестандартных задач В; практике преподавания начального курса математики
- Экспериментальное преподавание математики в начальной школе с использованием нестандартных задач
Введение к работе
Актуальность исследования. Современная школа ориентируется на создание условий для реализации гуманистической образовательной парадигмы, в большей степени способствующей формированию субъектов учения, их готовности к саморазвитию в соответствии с индивидуальными особенностями и личным опытом. В то же время сложившаяся система школьного образования, в том числе и начального, имеет ряд недостатков. Одним из них является то, что получаемые выпускником традиционной начальной школы знания, умения и навыки не гарантируют приобретения способностей создавать и преобразовывать собственную жизнедеятельность, быть ее подлинным субъектом.
Формирование и развитие субъекта учебной деятельности происходит в процессе ее реализации: потребность в данной деятельности порождает желание учиться, а овладение учебными действиями формирует умение учиться. Желание и умение учиться характеризует субъекта учебной деятельности.
Проблеме формирования субъекта учебной деятельности в процессе обучения посвящено немало исследований, рассматривающих ее в различных аспектах. Психолого-педагогические основы формирования субъекта учебной деятельности в младшем школьном возрасте разрабатывали В.В. Давыдов, В.И. Слободчиков, Г.А. Цукерман. Выявлению дидактических условий формирования субъекта учебной деятельности посвящены работы Ю.К. Бабанско-го, А.С. Границкой, А.К. Громцевой, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина и др.
Технологически модель формирования субъекта учебной деятельности разработана в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Однако реализация данной модели при обучении конкретному предмету, в частности математике, нуждается в уточнении, поскольку наметилась тенденция замены методических вопросов общепедагогическими: много внимания уделяется исследованию самой учебной деятельности, ее структуры и форм,
проблемам овладения приемами учебной и умственной деятельности, воспитанию некоторых качеств личности в процессе обучения вообще.
В меньшей степени понятие « учебная деятельность» разработано в методике, где оно имеет свою специфику, обусловленную особенностями конкретного учебного предмета. В связи с этим актуализируется ряд частных вопросов, связанных с формированием определяющих становление субъекта учебной деятельности общих учебных умений и личностных свойств в процессе обучения математике.
Их решение зависит от выбора средств, обеспечивающих:
общеинтеллектуальное развитие младших школьников;
усвоение приемов мышления и познавательной деятельности;
интерес к предмету и к учебной деятельности.
Одним из факторов формирования субъекта учебной деятельности может служить изменение предметного содержания за счет включения в программу по начальной математике компонентов, которые выходят за пределы традиционного курса и повышают возможности учащихся в освоении знаний, иллюстрируют разнообразие математических идей, красоту математических методов.
Особое внимание специалистов, занимающихся вопросами школьного математического образования, направлено на модернизацию задачного материала, так как представленные в современных учебных пособиях задачи, как правило, предполагают алгоритмический способ решения, чем значительно сужают операционное и информационное поле деятельности учащихся. Тем не менее повышается внимание методистов, учителей-практиков, авторов учебников к задачам определенного жанра, в специальной литературе обозначенных различными синонимичными терминами: проблемные, творческие, поисковые, эвристические, занимательные, т. е. задачи, способ решения которых не находится в распоряжении субъекта, - задачи нестандартные объективно или субъективно.
Педагогический опыт свидетельствует, что эффективно организованная учебная деятельность школьников в процессе решения указанных задач является важнейшим средством формирования математической культуры, таких качеств математического мышления, как гибкость, критичность, логичность, рациональность; их органическое сочетание, по Ю.М. Колягину, проявляется в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность, быть ее субъектом.
Замечено, что нестандартные задачи вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию решения как проблемную, что способствует развитию внутренней мотивации, активизирующей психические процессы, за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления учебной деятельности мыслительные операции, логические приемы и познавательные умения.
Нестандартная задача как особый вид математических упражнений является темой многих зарубежных и отечественных исследований. История вопроса уходит в глубину веков и восходит к «коллекциям проблем» египтян, греков, индийцев, китайцев, арабов. Этому вопросу посвящались работы математиков, педагогов. Особенно выделяются имена Л. Пизанского (Фибоначчи), Д. Кар дано, П. Ферма, В. Лейбница, Л. Эйлера, К. Гаусса, И. Краснополь-ского, В.И. Обреимова, Е.И. Игнатьева, Я.И. Перельмана. Современные исследования по обозначенной проблеме принадлежат перу М. Гарднера, Г.В. Поляка, Д. Пойа, Ю.М. Колягина, Л.М. Фридмана и освещают, в основном, вопросы классификации обозначенных задач и приемов их решения.
Необходимость исследования задач названного жанра в учебной деятельности определяется противоречиями, присущими современному процессу обучения. Нестандартные задачи математического характера традиционно присутствуют в различных формах внеклассной работы, при проведении аттестационных испытаний выпускников, школьных математических олимпиад. В то же время не только учащиеся, но и учителя испытывают трудности при ре-
шении задач, сколько-нибудь отличных от шаблонных. Первое противоречие выражается в необходимости использования нестандартных задач как эффективного средства формирования учебных умений и навыков субъектов и незначительной практической работе в этом направлении. Отчасти это объясняется недостаточным опытом обращения с задачами данной категории в процессе изучения математических дисциплин в учебных заведениях и в педагогической деятельности учителей, а также существованием объективных трудностей, которыми сопровождается их использование: нетехнологичность за-дачного материала, его количественная и качественная избыточность по отношению к реальным потребностям и возможностям начальной школы, предельная лаконичность рекомендаций по решению и др. Второе противоречие сложилось между трудностями объективного характера (как для учителя, так и для ученика) в практическом использовании нестандартных задач в учебном процессе и недостаточной подготовленностью дидактической базы для этого.
Многие авторы указывают на существенное влияние нестандартных математических упражнений на развитие логического мышления учеников, на воспитание интереса к предмету. Практически не изучались возможности их применения в связи с формированием общих приемов учебной работы и умственной деятельности - совокупности операционных и информационных факторов, обеспечивающих восприятие и переработку условия задачи, внутренний механизм поиска и планирования решения, осуществление корректирующего контроля. Отсутствует описание методики составления и использования системы нестандартных задач в начальном математическом образовании. Нет единой системы методических критериев оценки качества нестандартных задач, обусловленных спецификой учебной деятельности младших школьников. Третье противоречие сложившейся педагогической ситуации - между явной потребностью практики в использовании нестандартных задач и слабым методическим оснащением данного учебного процесса.
Становится очевидной актуальность проблемы исследования - разработки педагогических условий внедрения нестандартных задач в содержание начального этапа обучения математике в целях реализации развивающего потенциала данного учебного предмета.
Научная актуальность проблемы, ее практическая значимость и неразработанность определили тему исследования: «Решение нестандартных задач в начальном курсе математики как средство формирования субъекта учебной деятельности».
Объектом исследования является учебная деятельность младших школьников в процессе изучения математики, а предметом - педагогические условия использования нестандартных математических задач в качестве фактора, способствующего формированию субъекта учебной деятельности.
В основу исследования положена следующая гипотеза: если система нестандартных математических задач построена с учетом общепедагогических и методических требований, обусловленных спецификой учебной деятельности младших школьников, то она может быть эффективным средством формирования субъекта учебной деятельности.
Цель исследования - научное обоснование и опытная проверка возможности приобретения школьниками характеристик субъекта учебной деятельности посредством решения нестандартных задач в курсе математики.
Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:
Провести анализ учебной деятельности, описав цели, структуру, содержание, условия формирования и развития ее субъектов.
Обобщить сведения о развитии представлений о роли задач в математическом образовании; выявить степень разработки в дидактике и методике вопросов использования нестандартных математических задач при формировании субъекта учебной деятельности в младших классах школы.
Сформулировать критерии оценки качества нестандартных математических задач, определяющие возможность и методическую целесообраз-
ность их использования как средства воспитания специфических свойств личности младшего школьника, характеризующих субъекта учения.
Подготовить сборник нестандартных математических задач для начальной школы и разработать методические рекомендации для учителей, содержащие описание приемов работы с упражнениями указанного жанра.
Осуществить экспериментальную проверку эффективности предлагаемой методики преподавания.
Методологической основой диссертации являются психолого-педагогические теории, связанные с проблемой, в частности:
- психолого-педагогические исследования учебной деятельности
школьников (Ю.К. Бабанский, А.К. Громцева, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев,
Н.А. Менчинская, С.Л. Рубинштейн, Н. Ф. Талызина, Г.И. Щукина);
- теория возрастных особенностей учащихся (Л.С. Выготский, Д.Б.
Эльконин);
- теория учебных задач (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Л.М. Фридман).
Для решения поставленных задач и проверки исходных положений в
исследовании был использован комплекс методов теоретического и эмпирического характера с учетом специфики каждого этапа работы:
анализ психологической, педагогической, методической литературы по проблеме исследования;
изучение и обобщение опыта работы с нестандартными задачами в начальной школе при обучении математике;
разработка методики обучения решению нестандартных задач в связи с обозначенной в теме исследования целью и последующей ее коррекцией на основе практических выводов;
анализ результатов деятельности;
опрос, наблюдение, тестирование, анкетирование, анализ письменных работ учащихся;
педагогический эксперимент;
- методы математической обработки результатов эксперимента.
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заклю
чается в том, что:
впервые педагогическая концепция формирования субъектов учения рассмотрена в контексте учебной деятельности математического характера;
проведен анализ особенностей содержания, структурных компонентов, результатов учебной деятельности младших школьников с учетом специфики данного учебного предмета;
обоснована целесообразность использования нестандартных математических задач на различных этапах и в разнообразных формах обучения математике в качестве средства формирования мотивационной и операционной сферы учебной деятельности;
разработаны критерии отбора и показатели качества нестандартных задач, процесс решения которых влияет на воспитание личностных свойств, характеризующих субъекта учебной деятельности;
раскрыта связь между особенностями нестандартных задач и развитием познавательных умений и навыков учащихся;
представлены общие положения методики обучения решению нестандартных математических задач с учетом специфики учебной деятельности младших школьников;
разработанная технология использования нестандартных задач в начальном курсе математики исследована экспериментально.
Практическая значимость исследования состоит в том, что предложено содержание и методика преподавания, реализующего идею формирования и развития субъектов учебной деятельности в процессе решения нестандартных математических задач в начальной школе. Создан сборник нестандартных задач соответствующего младшему школьному возрасту уровня трудности. Представленный дидактический материал может найти применение в педагогической деятельности преподавателей вузов и педколледжей, веду-
щих занятия по теоретическим основам начального курса математики и методике его преподавания, а также учителей и студентов факультета начальных классов.
Достоверность и обоснованность результатов исследования достигается методологией; разносторонним теоретическим анализом проблемы; применением комплекса методов, адекватных природе исследуемого предмета; результатами педагогического эксперимента, подтверждающего на качественном уровне справедливость основных положений диссертации; положительной оценкой разработанной методики учителями начальных классов.
Апробация и внедрение в практику результатов исследования осуществлялось в ходе экспериментальной работы автора на базе школы-гимназии № 17, школы № 100 г. Перми; при проведении занятий с учителями начальных классов г. Перми и Пермской области в режиме функционирования курсов повышения квалификации при Пермском государственном педагогическом университете.
Основные положения и результаты исследований докладывались и обсуждались:
- на Всероссийской научно-практической конференции «Формирова
ние гуманитарной среды и внеучебная работа в вузе, техникуме, школе»
(Пермский государственный технический университет, 1999 г.);
на 52 Всероссийской научной конференции «Проблемы и перспективы развития методики обучения математики» (Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, 1999 г.);
на региональной научно-практической конференции «Региональный подход в экологическом образовании периода детства» (Уральский государственный педагогический университет, 1999 г.);
на XVIII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Содержание и методы обучения матема-
тике в школе и вузе на рубеже столетий: исторический и методологический аспекты» (Брянский государственный педагогический университет, 1999 г.);
на Пермской конференции «История физико-математических наук» (Пермский государственный университет, 1999 г.);
на 53 Всероссийской научной конференции «Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования» (Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, 2000
г.);
на 54 Всероссийской научной конференции «Проблемы реформирования школьного математического образования» (Российский государственный педагогический университет им. А.И. Герцена, 2001 г.);
на научных конференциях преподавателей Пермского государственного педагогического университета (1997 - 2001 гг.);
на заседаниях кафедры математики школы № 100 г. Перми и кафедры начального обучения лицея № 4 г. Перми (1999 - 2001 гг.).
- на XI научно-практической конференции ПОИПКРО « Актуальные
проблемы начального образования» (Пермь, 2001 г.).
Основное содержание исследования представлено в 8 публикациях. На защиту выносятся:
теоретическая концепция использования нестандартных задач в начальном курсе математики в качестве средства формирования субъектных свойств младших школьников;
организационно-методические основы преподавания начального курса математики с систематическим использованием нестандартных задач;
- экспериментальное исследование разработанной методики.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений и библиографического списка. Общий объем диссертации составляет 183 страницы, из них 155 - основной текст, 16 - список литературы, насчитывающий 199 наименований, 12 - приложения.
Психолого-педагогические концепции учебной деятельности
Одно из центральных понятий данной работы - «субъект» - категория философии. Философский энциклопедический словарь сообщает: субъект -автор действий, носитель предметно-практической деятельности и познания, источник активности, направленной на объект. Термин «субъект» употреблялся в философии в различных смыслах. Например, Аристотель придавал этому слову два значения: индивидуального бытия и неоформленной субстанции (материи). Средневековая схоластика рассматривала субъект как нечто реальное, существующее в самих вещах, тогда как объект существует лишь в интеллекте. Современная трактовка обозначенного понятия берет начало у Р. Декарта, где резкое противопоставление субъекта и объекта выступило исходным пунктом познания. Следующий шаг был сделан И. Кантом, который рассматривал субъекта деятельности не как созерцающего действительность, а как создающего формы предметного мира, раскрыл существенные законы внутренней организации субъекта, делающие возможным достижение необходимого знания. По идее И. Фихте, субъект воплощает самостоятельность.
Диалектический материализм радикально расширяет понимание субъекта, непосредственно связывая его с категорией практики. Здесь субъект -носитель предметно-практической деятельности, а не одного лишь познания. «Субъект - это система, способная к выбору, к принятию решения на основе внутренних ценностей, смыслов» [167, с. 44].
Психологи и педагоги вкладывают в понятие субъекта продуктивную самостоятельность, активность человека. Мера субъектности индивида характеризуется, прежде всего, преобладающим механизмом, опосредующим его активность: подражанием, заражением, переносом, репрезентацией. Субъект-ностъ, т.е. самостоятельность действий человека, имеет разные сферы проявления: самостоятельное исполнение; поиск лучших по сравнению с находящимися в распоряжении субъекта способов решения задач; совершенствование своих возможностей; исследование ситуации (от метода «проб и ошибок» до планомерного изучения); постановка целей; переоценка ценностей и др.
Субъектность, понимаемая в данном смысле, определяет отношение человека к выполняемой деятельности, а именно:
- готовность к выполнению предписаний (сама деятельность в этом случае воспринимается как набор действий);
- активность в исполнении деятельности, в решении ряда задач;
- стремление стать субъектом деятельности (сам формулирует задачу, побуждает себя к ее решению и определяет пути достижения конечных результатов решения) или субъектом отношения (сам определяет свое отношение к задаче, делает ее личностно значимой) [198].
Учебная деятельность в литературе по психологии
Поясним смысл атрибутивной конструкции «субъект учебной деятельности». Формирование и развитие субъекта учебной деятельности происходит в процессе ее становления: младший школьник постепенно превращается в учащегося, то есть в человека, изменяющего и совершенствующего себя при осуществлении учебной деятельности. Приобретение потребности в данной деятельности способствует возникновению желания учиться, а овладение учебными действиями формирует умение учиться. «Желание и умение учиться характеризует субъекта учебной деятельности» [34, с. 238].
Проблема субъектности учебной деятельности поставлена Д.Б. Элько-ниным, механизмы его становления рассмотрены В.В. Давыдовым, В.И. Сло-бодчиковым, Г.А. Цукерман. В данном контексте под субъектностью понимается способность самостоятельно строить и преобразовывать собственную жизнедеятельность, которая позволяет человеку самоопределяться в жизненном мире, включаться в существующие и творить новые виды деятельности и формы общения с другими людьми. По мнению Е.Н. Кабановой-Меллер, общим показателем сформированности субъекта учебной деятельности служит усвоенность приемов учебной работы, которая проявляется в способности учащегося рассказать, из каких действий состоит учебная деятельность, и перенести прием в новую учебную (и жизненную) ситуацию, а также умение находить новые приемы решения проблемных задач [63].
Г.А. Цукерман, исследуя проблемы становления субъекта учебной деятельности в младшем школьном возрасте, отмечает, что его характеризуют: умение самостоятельно учиться и желание совершать учебную деятельность; развитые интеллектуальные способности (речь, мышление, память, внимание, воображение); владение навыками общения и сотрудничества [182].
Таким образом, точка зрения ученых, занимающихся проблемами обучения и развития, по обозначенному вопросу следующая. Позиция субъекта учения предполагает обучение ребенка выбору цели и планированию деятельности, ее организации, регулированию, контролю, самоанализу и оценке результатов деятельности. Субъект готов к поиску решения новых проблем, творческому преобразованию действительности, к самостоятельному переносу знаний и умений в новую ситуацию, комбинированию различных способов деятельности, к построению различных вариантов решения проблем.
Перечисленные качества могут быть сформированы лишь в процессе различных видов деятельности и форм общения, которые изменяются с возрастом человека. В школьном возрасте у детей формируются и развиваются новые (по сравнению с дошкольниками) виды деятельности и связанные с ни-ми способности. Важную роль в школе начинает играть учебная деятельность, специально организованная учителями в форме целенаправленного обучения и обеспечивающая умственное развитие учащихся.
Теория учебной деятельности и ее субъектности исследована в психологии, педагогике, методике. В последней она имеет специфику, обусловленную особенностями конкретного учебного предмета. Сущность данного понятия коренится в философско-логическом понимании категории «деятельность», которая:
- определяет специфику общественно-исторического бытия людей;
- существует лишь в системе общественно-производственных отношений, возникающих независимо от воли и сознания людей;
- является формой исторического и культурного творчества, в процессе которой формируется личность человека - реализатора этой деятельности;
Представление о деятельности как созидании, практическом преобразовании человеком объективного мира, творении общественных отношений и самого себя, сложилось в отечественной психологии в школе Л.С. Выготского, А.Р. Лурия, С.Л. Рубинштейна и оформилось в трудах А.Н. Леонтьева [83;84].
Одной из существенных характеристик деятельности является ее структура. А.Н. Леонтьевым предложено следующее представление о структуре деятельности.
К определенной деятельности субъекта побуждает совокупность мотивов, образующих мотивацию данной деятельности. Однако ее характер определяется наиболее значимым, доминирующим мотивом. За каждым компонентом мотивации стоит определенная потребность, состояние человека, отражающее его нужду в чем-либо или в ком-либо, выступающее как источник субъектной активности, его существования и развития.
Мотив, т.е. то, ради чего совершается данная деятельность, субъективно может осознаваться смутно или вовсе не осознаваться, но то, чего субъект хочет достичь в результате этой деятельности или ее отдельных действий, субъект, как правило, осознает. Этот предвидимый, намечаемый результат есть главная цель деятельности, которая расчленяется на ряд частных целей, возникающих и удовлетворяемых по мере осуществления действий, составляющих данную деятельность. Соотнесение каждой цели с конкретными условиями ее удовлетворения образует задачи, возникающие по мере реализации деятельности и подлежащие решению в целях достижения ожидаемого эффекта выполняемой деятельности.
Решение каждой задачи требует от субъекта совершения действий посредством выполнения операций, выбор которых зависит от характера действий, особенностей условий их осуществления и возможностей субъекта - его опыта, знаний, умений и навыков, т.е. операции образуют средство осуществления действий и выполнения намеченной цели.
Как эффект применения субъектом операций к определенным объектам, входящим в условие осуществления деятельности, возникают прямые ее результаты, соответствующие осознанной цели деятельности и непосредственно удовлетворяющие вызвавшую эту деятельность потребность, и побочные, состоящие в развитии самого субъекта деятельности и его способностей.
Модель учебной деятельности устроена так же. Отличие ее от моделей других деятельностей - в специфике и содержании потребностей и мотивов, вызывающих и направляющих эту деятельность и соответствующих этим мотивам целей, задач, действий и операций. Кроме этого, целенаправленная учебная деятельность имеет прямым и главным результатом изменение самого субъекта, которое заключается «в овладении определенными способами действия, а не в изменении предметов, с которыми действует субъект» [34, с. 152], т.е. прямой и побочный результаты деятельности совпадают, что является необходимым условием отнесения деятельности субъекта к учебной. В противном случае действия учащегося не образуют учебной деятельности, а, как подчеркивал А.Н. Леоньтьев, реализуют иную деятельность [83, с. 572]. Продукты учебной деятельности существуют постольку, поскольку существует сам субъект. Рассмотрение продуктов учебной деятельности безотносительно к субъекту, по мнению автора, лишено смысла, ибо «результат учебной деятельности — это сам субъект, точнее, определенные изменения в нем» [34, с. 12].
Интерпретации понятия «задача» и «нестандартная математическая задача» в современном научном знании
Рассматриваемое понятие является одним из фундаментальных в психологии, в кибернетике, в любой из наук естественно-математического цикла, в теории обучения и воспитания. В литературе, посвященной указанным отраслям знания, понятие это имеет разнообразные трактовки, поскольку в силу специфики той или иной научной дисциплины исследуются различные аспекты данного объекта.
В самом общем значении задача трактуется как поставленная цель, которую необходимо достигнуть; как вопрос, требующий разрешения на основании определенных знаний и логических умозаключений [168, с. 346]. Так, в «Словаре русского языка» СИ. Ожегова под «задачей» понимается «то, что требует исполнения, разрешения», либо «упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления». Такое объяснение в целом совпадает с житейскими ассоциациями на слово «задача», выясненными в ходе проведения опроса представителей различных социальных групп.
С философской точки зрения задача - это знание о незнании, возникающее в противоречии между субъектом и объектом, «проблема может возникнуть при контакте пассивного характера объекта и субъекта. Задача предполагает побуждение к активизации такого контакта, образовавшуюся внутри или возникшую извне потребность субъекта к устранению обнаруженного им противоречия» [68, с. 46].
В психологической литературе наиболее распространено употребление этого термина применительно к категории деятельности субъекта и условий ее протекания. Как пишет А.Н. Леонтьев, задача - это «цель, данная в определенных условиях» [83, с. 300].
Понятия «задача» и «проблемная ситуация» имеют много общего. Однако в большинстве исследований они не отождествляются. Например, Л.М. Фридман считает понятие проблемной ситуации исходным [171]. А.Н. Леонтьев не связывает явно проблемную ситуацию с задачей, однако отмечает, что к возникновению последней приводит осознание субъектом проблемности некоторой ситуации и указание к ее разрешению. Аналогичная точка зрения отражена и в характеристике задачи, предложенной В.Н. Пушкиным: «Задача - это результат определенного этапа мыслительной деятельности человека. Постановка, формулировка задачи зависит от того, как была проанализирована проблемная ситуация» [134, с. 64].
По мнению Л.М. Фридмана, различия между понятием «задача» и «проблемная ситуация» объясняются тем, что последняя существует реально, а задача является абстрактной моделью реальной ситуации, изложенной на каком-либо языке и поэтому проблемная ситуация всегда богаче содержанием, чем задача, которая отражает лишь некоторые ее стороны. Для каждой проблемной ситуации существует одна или несколько задач, которые могут отличаться друг от друга как совокупностью представленных в них свойств ситуации, так и языком, на котором она выражена. Л.М. Фридман определяет задачу как «всякую знаковую модель проблемной ситуации» [171, с. 54 - 55].
Той же точки зрения придерживается С.Л. Рубинштейн, считая основной формой проявления задачи ее речевую формулировку [138], а также A.M. Матюшкин, указывая, что в проблемной ситуации необходимо «найти новые ранее неизвестные знания или способы действия» [97, с. 193], тогда как задача есть «способ знакового проявления задания одним человеком другому (самому себе), включающий указания на цель и условия ее достижения» [97, с. 189].
Ю.М. Колягин утверждает, что «проблемная ситуация порождает задачу не сама по себе, а при активном участии субъекта, который усматривает в некоторой ситуации проблемный характер» [68, с. 39]. Каждая задача становится задачей по существу лишь тогда, когда субъект «принимает» эту задачу, то есть начинает работать над ее решением. Под задачей правильнее понимать не внешнюю ситуацию, а «ситуацию для субъекта» [15, с. 76]. Ту же мысль высказывает К.А. Славская. Задача в психологическом смысле слова, отмечает она, есть не только объективная исходная ситуация, «это прежде всего задача, встающая для человека» [149, с. 211].
Особенно широко пользуются термином «задача» при характеристике процессов мышления. В связи с этим весьма распространено понимание задачи как ситуации, в которой субъект для достижения стоящей перед ним цели должен выяснить неизвестное на основе использования его связей с известным [34, с. 77]. К.А. Славская замечает, что задачу можно рассматривать как некоторую особую форму познания действительности, выступающую как объект, детерминирующий процесс мышления человека [149, с. 211].
В кибернетике понятие «задача» связывают с поиском, с возникновением необходимости выбора одной из альтернатив или выбора определенной реакции, соответствующей заданной цели. Для психологов, занимающихся проблемами создания искусственного разума, характерен подход, согласно которому каждая задача представляет собой логически организованную (со стороны ее внутренней структуры) ситуацию, в которой субъекту необходимо установить определенную последовательность операций, составляющих решение задачи. К. Томашевский пишет, что «задача - это предъявляемое требование достичь поставленной цели упорядоченным действием» [161, с. 46]. Однако такая трактовка рассматриваемого понятия подходит лишь для задач, решение которых поддается алгоритмизации.
Еще раз предоставим слово Л.М.Фридману. В понятии «задача» им выделены следующие составные части: - предметная область, которая состоит из одного или нескольких фиксированных объектов (предметов) или множеств; - предикаты, связывающие между собой объекты этой области. По своей структуре любая задача состоит из трех частей: - условия задачи, представленного в высказывательной форме; - объекта задачи, т.е. какого-либо элемента предметной области или предиката; - цели задачи, состоящей в нахождении значения объекта задачи, обращающего условие в верное высказывание [171].
Оценивая определение задачи и описание её компонентов, данные Л.М. Фридманом, и сравнивая с предыдущими, отметим, что здесь не уделено должного внимания роли субъекта, перед которым задача поставлена.
Близко примыкает к обозначенной трактовке понятия «задача» понимание её логической структуры А.А. Столяром: «Любая проблемная ситуация и любая задача возникает в какой-то «предметной области». Эта предметная область характеризуется множествами с установленными в них предикатами (выражающими свойства элементов этих множеств или отношения между ними): (AJ, А2...Аг, PI, Р2 ...Рп). Любая ситуация в предметной области описывается с помощью некоторой формулы, составленной из исходных предикатов Р и логических операций: U(P1, Р2...Рп). Под задачей понимается требование отыскания области истинности {(XI, X2...XR)/Xi Ai(K=i<=R), U(P1, Р2...Рп)}» [155, с. 146].
Указанная схема применима для некоторых традиционных задач школьного курса математики, за исключением задач на доказательство, т.е. ее нельзя признать универсальной, подходящей для всех объектов, составляющих понятие «задача».
Ю.М. Колягин подходит к характеристике задачи, используя понятие системы, определяя ее как нечто целое, абстрактное и реальное, состоящее из взаимозависимых частей: элементов некоторого множества, их свойств и отношений между ними. Наличие потребности, выраженной в форме специального целевого задания, и возможности в установлении неизвестных данному человеку каких-либо компонентов системы, проблемный характер которой зафиксирован, свидетельствует о том, что последнее становится задачей для данного субъекта. Автор отмечает, что «задача существует независимо от того, действует ли человек в направлении ее решения или нет, необходимо лишь осознание субъектом проблемности задачной системы и наличие целевого указания (или субъективной потребности) к ее преобразованию» [68, с. 51].
Ю.М. Колягин в математической задаче выделяет такие компоненты:
- начальное состояние (условие задачи);
- конечное состояние (заключение задачи);
- решение (преобразование условия для нахождения искомого);
- базис решения (его теоретическое обоснование), считая математическими все задачи, в которых переход от начального состояния к конечному осуществляется математическими средствами. К этой группе автор относит и чисто математические задачи, все компоненты которых являются математическими объектами, и прикладные математические задачи, решаемые математическим аппаратом [108, с. 148].
Поскольку тема настоящей работы связана с деятельностью младших школьников в процессе изучения математики, обратимся к характеристике обозначенного понятия с учетом отмеченной специфики. В начальном курсе математики термин «задача» обычно используется в различных атрибутивных конструкциях - «практическая задача», «арифметическая задача», «текстовая задача», «сюжетная задача», «математическая задача». Так, в «Методике начального обучения» под редакцией А.А. Столяра и В.Л. Дрозда под текстовыми арифметическими задачами подразумеваются «задачи, имеющие житейское, физическое содержание и решаемые с помощью арифметических действий» [106, с. 158].
М.А. Байтова считает задачей жизненную ситуацию, связанную с числами и разрешимую счетом или арифметическими действиями [107]. Л.П. Стойлова и A.M. Пышкало называют текстовой задачей описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие отношений между ее компонентами. Она состоит из условия, в котором сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними, и вопроса (требования), содержащего указание на то, что надо найти, и выраженного предложением в повелительной или вопросительной форме [153, с. 43 - 44].
Значение нестандартных задач В; практике преподавания начального курса математики
Обращение к изучению данного вида задач не случайно: личный опыт автора в организации обучения с использованием нестандартных задач свидетельствует об их существенном влиянии на воспитание качеств математического мышления, таких как гибкость, критичность, активность, целенаправленность, логичность, рациональность, функциональность. Их сочетание и дает возможность осуществлять творческую деятельность, быть ее субъектом. Мы отмечали [142 - 148], что задачи названного жанра вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию решения как проблемную, что способствует развитию внутренней мотивации, которая активизирует психические процессы (память, восприятие, мышление), за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления математической деятельности мыслительные операции, логические приемы и познавательные умения. Таким образом, процесс решения нестандартных математических задач содействует возникновению интереса к предмету и усвоению общих учебных умений, в связи с чем создаются условия для формирования субъектов учебной деятельности.
Внимание специалистов к нестандартным задачам определяется тем, что:
1. В их сюжетах находят отражение практические ситуации, знакомые ребенку, поэтому в рассуждениях он может опираться на свой жизненный опыт.
2. Задачи данной категории позволяют школьнику убедиться в прикладном характере математических методов, которыми он овладевает на уроках математики.
3. При их решении формируются общеучебные умения, необходимые для решения любой математической задачи, и навыки ориентировки в сложной ситуации, что позволяет считать нестандартные задачи мощным инструментом развития человеческого интеллекта.
4. Для решения нестандартных задач учащимся необходимо приложить определенные усилия, проявить волю, настойчивость, целеустремленность. Необычность приемов решения прививает вкус к самостоятельным исследованиям, к проявлению изобретательности, пробуждает положительные эмоции как в процессе решения задач, так и при достижении результата.
Однако опыт свидетельствует о том, что идея воспитания познавательного интереса и самостоятельности, нравственных качеств личности и творческих задатков процессом внедрения нестандартных задач в учебную деятельность младших школьников может быть успешно реализована лишь тогда, когда у них возник интерес к данной задаче, устойчивая потребность решить ее.
Традиционно считается, что интересы младших школьников обусловлены занимательностью: привлекают внимание уроки с игровыми моментами, с преобладанием эмоционального материала. Занимательность обычно создается приключениями, неожиданными событиями, которые часто отвлекают от сути. Все неожиданное, броское вызывает детское любопытство, желание посмотреть, скорее даже рассмотреть, но только с внешней стороны, не вникая в существо вопроса. Эти чувства связаны с положительными эмоциями, но внимание быстро угасает, если не возбуждается желание идти дальше, понять природу события.
Присущие нестандартным задачам занимательность, яркость, необычность изложения и хода решения позволяют, на наш взгляд, преобразовать любопытство на более высокую стадию развития, поскольку являются «пусковым механизмом» детской любознательности. Удивление учащихся может быть направлено на весь спектр приемов, возможных способов решения задач, на их многообразие. Так на основе формирования и развития интереса к решению задач данного типа можно поддержать возникший у школьников интерес к изучению учебного предмета, к учебной деятельности и к ее результатам.
Использованию в практике преподавания нестандартных математических задач предшествует большая подготовительная работа по их отбору. Поэтому необходимо сформулировать требования, на основе которых осуществляется отбор задач.
Эффективность обучения математике во многом обусловлена полнотой реализации возможных функций каждой конкретной задачи. Очевидно, что ценность задачи тем выше, чем больше функций может быть реализовано в процессе ее решения. В соответствии с основными целями математического образования (развитие, обучение, воспитание) ведущими функциями задач в обучении принято считать развивающие, обучающие и воспитывающие. Среди психологических аспектов роли математических задач, в том числе и нестандартных, выделяют их влияние:
- на приобретение способности учащихся осуществлять математическую деятельность;
- на формирование мышления обучаемых: они развивают их самостоятельность, активность, умение наблюдать, сравнивать, абстрагировать, анализировать и т.д.;
- на воспитание у школьников интереса к предмету и представления о математике как науке и ее отношении к действительности.
Обучающие функции нестандартных задач направлены на формирование системы математических знаний, умений и навыков, в особенной степени навыков моделирования, формализации, рационализации, интерпретации полученных результатов. Трудно переоценить воспитательное значение учебной деятельности школьников, проявляющееся при решении нестандартных задач. Именно здесь учащийся учится творчески мыслить, активно применять полученные знания, демонстрируя при этом определенные интеллектуальные, эмоциональные, волевые качества. Отмеченное позволяет обозначить некоторые особенности «хорошей задачи».
1. Задача, предъявляемая младшему школьнику, должна быть интересной и значимой для ученика, должна вызвать его желание к исследованию за счет:
- элемента новизны или занимательности в фабуле задачи как благоприятного фактора возбуждения интереса учеников к математике и мотивирования их интеллектуального труда;
- реальности описываемой в задаче ситуации, числовых данных, постановки вопросов и полученного решения, близости жизненному опыту ребенка;
- неожиданного, оригинального решения, требующего применения известных методов в необычных условиях, рационализации и упрощения уже известного приема, поиска выхода из противоречия, обобщения известных понятий и операций, что имеет для ученика смысл, связанный с внутренними механизмами самой математики.
2. Вторая особенность «хорошей задачи» касается проблемы приспособления трудностей решения к возможностям учащихся начальных классов.Младший школьник должен не только хотеть, но и быть в состоянии решить предложенную задачу. Разочарование детей слишком трудными математическими вопросами является одной из причин торможения их развития. Нерешенная задача отрицательно влияет на воспитание интереса к математике. Поэтому очень важно, особенно на начальном этапе обучения предмету, чтобы поставленные перед школьниками нестандартные задачи были ими успешно решены.
В этой связи, внедренные в содержание начального математического образования нестандартные задачи должны:
- соответствовать по объему элементов и по сложности их отношений уровню теоретических знаний и практическому опыту учащихся в целях обеспечения возможности самостоятельного их решения или хотя бы его понимания, «прочувствования»;
- иметь преимущественно лаконичные формулировки;
- допускать практическое решение (необходимым условием этого является наличие небольших числовых данных), а также разные варианты решения и способы проверки его правильности.
В то же время решение задачи не должно быть слишком легким, тривиальным, основанным на догадках, не требующих ни знаний, ни навыков практических действий.
Экспериментальное преподавание математики в начальной школе с использованием нестандартных задач
К концу второго года обучения в начальной школе у участников эксперимента был сделан промежуточный контрольный срез с целью проверки результативности экспериментальной работы.
Инструментом исследования процессуальной сферы учебной деятельности как основы становления ее субъектов явился специально созданный тест, количественно интерпретирующий степень владения учебными умениями, характерными для данной ступени обучения математике (прил. 4).
В пункте 2.1 нами сформулированы 4 группы умений, специфичных для учебной математической деятельности младших школьников. Далее экспериментально проверено влияние процесса решения нестандартных математических задач на уровень сформированности следующих учебных умений: - умение проверять принадлежность конкретного текста к группе задач по ряду существенных признаков; - умение математизировать жизненные явления, описанные в задаче; - умение соотносить данные элементы с искомыми; - умение переводить символическое или графическое толкование задачи на язык обыкновенного текста; - умение расчленять задачу на подзадачи; - умение устанавливать полноту и непротиворечивость данных задачи; - умение устанавливать соответствие плана решения краткой записи условия задачи; - умение выбирать подходящий способ действия; - умение выполнять прикидку ответа; - умение исследовать возможные частные и особые случаи решения.
Чтобы проверка гипотезы стала возможной, уровень этих умений должен подлежать измерению. Простейший вариант предусматривает распределение школьников, участвующих в эксперименте, по трем уровням развития умений решать задачи.
Низкий - восприятие задачи осуществляется учеником поверхностно, неполно. При этом он вычленяет разрозненные данные, внешние, зачастую несущественные элементы условия задачи. Ученик не может и не пытается предвидеть ход ее решения. Не поняв содержание условия и требования задачи, он уже приступает к ее решению, которое чаще всего оказывается беспорядочным манипулированием числовыми данными.
Средний - восприятие задачи сопровождается анализом ее условия и выделением требований. Ученик стремится понять задачу, дифференцирует данные и искомое, но способен при этом установить между ними лишь отдельные связи, что затрудняет предвидение последующего хода решения задачи. Чем разветвленнее эта сеть, тем вероятнее ошибочное решение.
Высокий - на основе глубокого, всестороннего анализа условия задачи ученик выделяет комплекс взаимосвязей между данными и искомым, владеет способами перевода заданной ситуации на язык математических отношений и зависимостей, используя для этих целей различные вспомогательные модели (схемы, таблицы, символы, графы и т.п.), что позволяет осуществлять ему целостный акт процесса решения задачи: его планирование, реализацию, проверку правильности.
Для интерпретации полученных результатов опишем факторы, проявляющиеся при выполнении заданий теста (прил. 4), и охарактеризуем балльную степень их проявления.
Задание I
Проверяется умение определять принадлежность конкретного текста к группе задач на основе теоретических знаний о ее признаках и структуре. балл — за каждый верно обозначенный пункт.
Проверяется умение анализировать условие задачи, выявлять отношения, в которых находятся ее компоненты, и соотносить данные элементы с возможными искомыми.
1 балл — за каждый верно обозначенный пункт.
Проверяется умение переводить символическое или графическое толкование задачи на язык обыкновенного текста, устанавливать соответствие плана решения краткой записи условия задачи, исследовать возможные частные и особые случаи ее решения.
На выполнение заданий теста выделялось одинаковое (продолжительностью в академический час) для обеих групп время. Отметим, что все участники контрольного среза на момент его проведения имели опыт работы с тестами, поэтому вероятность получения результатов, не соответствующих реальному состоянию знаний, умений и навыков учащихся, незначительна. Школьникам перед началом работы было сообщено, что каждое задание оценивается в баллах и за отведенное время желательно набрать максимальное количество баллов (21), при этом последовательность выполнения может быть произвольной. Кроме этого, в инструкции к тесту было сказано, что учащиеся могут не подписывать свои работы. Это было сделано для того, чтобы исключить у учащихся боязнь негативной оценки при возможных ошибках и обеспечить свободное выражение их мысли.
Анализ результатов теста показал, что отношение к выполнению заданий у членов экспериментальной и контрольной групп было различным. Так, при общей установке на анонимность работы 79% учащихся экспериментальной группы подписали свои листы, в контрольной группе был обнаружен только один подписанный лист (3,4%). При выполнении заданий теста учащиеся первой группы были более раскрепощены, уверены в своих силах, заинтересованы в процессе и результате; здесь зафиксировано лишь два отказа от выполнения заданий. В контрольной группе подобное действие совершалось 18 раз. Общее количество баллов, набранных участниками экспериментальной группы, - 344; контрольной - 261 (при одинаковом числе испытуемых); средние баллы составили соответственно 11,86 и 9.
Сравним результаты выполнения школьниками каждого задания теста.
1. Это задание учащиеся экспериментальной группы выполнили значительно лучше (таб. 5). Здесь не зафиксировано ни одного отказа от его выполнения; 6 человек получили максимально возможное количество баллов (5); средний балл - 3,03. В то время как 3 члена контрольной группы предпочли не выполнять данное задание, один испытуемый не смог набрать ни одного балла, и никто не справился с этим заданием полностью. Очевидно учащиеся контрольной группы хуже знакомы с теорией задач, они недостаточно владеют знаниями о структуре задачи, ее компонентах, существенных признаках. Однако характер ошибок, допущенных при выполнении этого задания членами обеих групп, имеет много общего: младшие школьники испытывают трудности при отнесении какого-либо текста к группе задач в случае отсутствия вопросительного предложения в его требовании (текст 3) или числовых данных в условии (текст 6), наличия лишних элементов (текст 7), нетипичной структуры текста (тексты 2, 9).
2. В этом задании прослеживается тенденция, отмеченная в предыдущем пункте. Средний балльный показатель результатов в экспериментальной группе составил 3,55 против 2,79 - в контрольной (таб. 6). Все учащиеся первой группы приступали к выполнению задания, однако в полном объеме реализовать задуманное автором удалось только одному человеку (он получил 7 баллов), остальные выполнили задание несколько хуже, набрав меньшее количество баллов. В контрольной группе два ученика не приняли участия в выполнении данного задания; максимальное количество баллов удалось набрать одному испытуемому. Анализ работ показывает, что подавляющее большинство учащихся допустили ошибки в первой части задания, согласившись с вариантом ответа А (вместо правильного Б). При выполнении третьей части этого блока заданий многие проигнорировали возможность выбора вариантов А и Г, что свидетельствует о склонности учащихся применять математические операции для получения ответа на вопрос задачи, несмотря на то, что в данном случае в выполнении действий не было необходимости.
Похожие диссертации на Решение нестандартных задач в начальном курсе математики как средство формирования субъекта учебной деятельности
