Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические положения конструирования видов деятельности по обучению школьников решению задач 13
1. Анализ понятий "задача", "решение задач" как компонентов научного знания 13
2. Выявление операционного модуля в процессе решения задач 21
3. Анализ теоретических предпосылок решения задач на примере задач на построение 39
Выводы по 1 главе 64
Глава 2. Разработка и теоретичбское обоснование системы подготовки учителя к обучению школьников решению задач 66
.1 Модель деятельности учителя по обучению решению задач 66
2. Система подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач 77
2.1. Особенности системы подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач 77
2.2. Способы и средства подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач 86
Выводы по 2 главе 118
Глава 3. Эмпирическое обоснование системы подготовки учителя к обучению школьников решению задач 120
1. Предварительный эксперимент (результаты эмпирической проверки умений решать задачи) 120
2. Методика и результаты экспериментального исследования эффективности формирования систематики приемов по решению задач и основ ее проектирования 129
3. Опытно-экспериментальная работа по проверке готовности учителя к обучению школьников решению задач 163
Заключение 174
Литература 178
- Анализ понятий "задача", "решение задач" как компонентов научного знания
- Анализ теоретических предпосылок решения задач на примере задач на построение
- Система подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач
- Предварительный эксперимент (результаты эмпирической проверки умений решать задачи)
Анализ понятий "задача", "решение задач" как компонентов научного знания
За последние более чем два десятилетия в педагогике, психологии, дидактике и методике обучения математике были проведены исследования по различным проблемам теории задач. Значительный вклад в эту теорию внесли Н.Г.Алексеев, Г.А.Балл, Л.Л.Гурова, В.В.Давыдов, А.М.Матюшкин, Л.М.Фридман, М.Я.Лернер, Я.А.Микк, А.М.Сохор, М.Ганчев, Ю.М.Колягин, В.И.Крупич, Г.И.Саранцев, А.А.Столяр и др. В этих исследованиях ставятся и решаются кардинальные вопросы постановки задач и обучения математике через задачи, типологии задач.
Важное место занимает здесь общее понятие задачи и ее структуры, ибо без этого невозможно оценить сложность задачи и определить ее место в той или иной системе задач. В психолого-дидактических исследованиях имеются различные трактовки понятия задачи. Однако, независимо от того, каково исходное представление о задаче, как способ знакового предъявления задания, включающий указание на цель и условия ее достижения, или как проблемный характер задачной системы в системе "человек - задачная система", или как всякая знаковая модель проблемной ситуации теоретическим базисом предлагаемых концепций является субъективная информация, реализованная в задаче. Это означает, что содержание и возможности объективной информации задачи, а также взаимосвязь субъективной и объективной информации при этом не учитываются. В связи с этим исследователи изучают лишь внешнее строение задачи, определяя тем самым ее информационную структуру. Внутренняя структура задачи, имеющая объективную основу, и определяющая сложность задачи, стратегию ее решения и место конкретной задачи в соответствующей системе задач не исследуется. Это понятно, ток как внутренняя структура не "лежит на поверхности задачи", ее надо выявлять, а соответствующие механизмы отсутствуют, они, как правило, исследователям не известны.
С понятием задачи тесно связаны понятия сложности и трудности задач, как сложных объектов. Среди исследователей этой проблемы можно выделить три направления.
Представители первого направления (А.И.Уемов, В.С.Тюхтин, И.Я.Лернер и др.)» исследуя проблему сложности как объективную характеристику задачи, предлагают, как правило, количественные критерии ее оценки. Наиболее четко проявляется здесь алгоритмический подход к оценке сложности задачи. При этом предполагается, что сложность задачи адекватна сложности процесса ее решения.
Представители второго направления (О.К.Тихомиров, Р.А.Гиль-манов, А.П.Зенькович, В.Н.Сергеев, А.М.Сохор и др.) исследуют возможность оценки трудности задач как психолого-дидактической характеристики. Исследование этой проблемы ведется здесь, как правило, в аспекте количественной оценки трудности, полученной в процессе решения задачи. Например, трудности задачи оценивается количественно как отношение усваиваемых знаний к числу усвоенных знаний, реализованных в ходе решения задачи, или числом очков, которое приписывается задаче группой экспертов-преподавателей и группой экспертов-учащихся, с учетом особого коэффициента К числа обратного числу учащихся, решивших эту задачу. Предлагается также давать оценку трудности задачи, исходя из ее структуры, числом элементов и замкнутых контуров в структурной формуле задачи, свернутостью рассуждений (А.М.Сохор). Наиболее глубокое исследование проблемы трудности выполнено Р.А.Гильмановым, исходя из психологической картины протекания мыслительного процесса при решении задач. Трудность решения задачи определяется числом переходов по блокам схемы мышления и межэтажных переходов.
Представители третьего направления (А.М.Матюшкин, Г.А.Балл, В.П.Мизинцев, В.Оконь, К.С.Богушевский, И.Ганчев, Ю.М.Колягин, А.А.Столяр и др.) в своих исследованиях сопоставляют характеристики задачи, как сложного объекта, с позиции ее сложности и трудности. Устанавливается взаимосвязь этих характеристик, предлагается как количественная, так и качественная оценка сложности и трудности задачи. Здесь также оценка сложности задачи определяется, как правило, сложностью процесса ее решения.
Выполненный анализ позволяет сделать вывод о том, что общим для всех исследований характеристик сложности и трудности задачи является обращение исследователей к внешней (информационной) структуре задачи. Внутренняя структура задачи, как объективная характеристика, не исследуется. В связи с этим сложность и трудность задачи определяются, как правило, через процесс ее решения. Это не позволяет выявить закономерные взаимосвязи между сложностью и трудностью процесса ее решения, а также между сложностью и трудностью задачи.
Разработка проблем теории задач непосредственно связана с развитием и реализацией в обучении современных психологических концепций: содержания образования (В.В.Краевский, И.Я.Лернер), теории деятельности (С.Л.Рубинштейн, Л.С.Выготский, Л.Н.Леонтьев), учебной деятельности (Л.С.Выготский, Д.Б.Эльконин, В.В.Давыдов, А.К.Маркова), активизаций учения (Н.А.Менчинская, М.Н.Скаткин, Т.И.Шамава), управление процессом усвоения знаний (П.Я.Гальперин, Н.Ф.Талызина), проблемного подхода в обучении (А.М.Матюшкин, М.И.Махмутов, И.Я.Лернер), направленных на совершенствование процесса обучения. Она дает непосредственный выход, с одной стороны, на необходимость формирования в сознании учащихся системного подхода как обобщенного приема познавательной деятельности и, с другой стороны, на необходимость формирования у учащихся системы знаний, как отражения системы учебного материала и способов деятельности.
Анализ теоретических предпосылок решения задач на примере задач на построение
Под применением на уровне формирования умения объяснять готовые решения понимаем возможность становления обобщенных умений аргументации выполнения этапов решения и действий на каждом этапе
Применение на уровне формирования исследовательских умений понимаем как возможность становления действий - анализ, синтез, доказательство, обобщение, оценка и др.
Применение на уровне осмысления методологических знаний позволяет раскрыть сущность знаний о задаче и процессе ее решения.
Применение на уровне осмысления структурных видов учебной деятельности раскрывает понятие "деятельность", "виды деятельности" , положения о соответствии деятельности и знания.
Применение на уровне аргументации позволяет раскрыть инструментарий поиска вариантов решения.
Структура и содержание готовности учителя к обучению решению задач определяет структуру и содержание системы подготовки учителя к обучению школьников решению задач. Она включает в себя следующие компоненты:
1. Формирование знаний о содержании и организации деятельности учителя по обучению школьников решению задач.
2. Формирование знаний, умений и навыков, необходимых для решения задач и обучения решению задач: формирование мировоззренческих, специально-научных (предметных) и психолого-педагогических знаний, направленных на понимание понятий "задача", "решение задачи", то есть знаний о компонентах научного знания; формирование основ проектирования эвристических приемов для решения задач (приема установления взаимосвязей между объектами условия, заключения и их структурными элементами, приема выбора адекватного метода решения задач и его реализации; приема осуществления доказательств; формирования исследовательских умений при решении задач).
3. Формирование личностных качеств (интеллигентность и общая культура, творческая инициатива и увлеченность, организаторские способности, доброжелательность и чуткость, порядочность и честность, требовательность, самообладание и выдержка, самокритичность, способность воспринимать критику, оптимизм и чувство юмора) и профессиональных качеств ( знание преподаваемого предмета, владение методикой преподавания, мастерство педагогического общения, педагогическая компетентность, психологическая культура, учет возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, способности заинтересовать учащихся и вовлечь их в разнообразную деятельность, умение эффективно применять как индивидуальные, так и коллективные формы и методы воспитания работы, умение эффективно и корректно оценивать учащихся, способности к самообразованию и творческому саморазвитию, умение эффективно работать с родителями, авторитет учителя).
Построенная система максимально приближена к содержанию профессионально-педагогической подготовки учителя и реализуется в рамках учебно-воспитательного процесса вуза при соответствующей организации содержания учебных предметов.
2.2. Способы и средства подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач
Анализ методической и психолого-педагогической литературы показал, что в методике целесообразно рассматривать задачу как объект мыслительной деятельности, содержащий требование некоторого практического преобразования и нахождения средств, позволяющих раскрыть связи (отношения) между известными (условиями и требованиями) и неизвестными ее элементами; решение задачи на построение как мыслительную деятельность - изыскание скрытых данных, базирующееся на одном из основных свойств мышления - открывать новые признаки объекта через включение его в новые связи.
Для конструирования указанного вида деятельности, согласно положениям деятельностного подхода, необходимо выделить обобщенный состав деятельности, составляющие его действия и ориентировочную основу их выполнения.
Анализ научной литературы, раскрывающей основные положения теории учебных задач позволил сконструировать операционный модуль (условную единицу, определяющую совокупность умственных действий) как необходимую дидактическую категорию, помогающую выявить действия приемов, обеспечивающих деятельность решения задач.
Система подготовки будущего учителя математики к обучению школьников решению задач
Определяя структуру действий приема установления взаимосвязей деятельностного и логического происхождения между объектами условия и требования, их структурными элементами деятельности и ориентировочную основу выполнения указанных действий мы обратились к следующим категориям: отношение, связь, виды взаимосвязей.
Отношение характеризует взаимозависимость элементов определенной системы [195, с.470]. Категория "отношение" многообразна: пространственные и временные, причинно-следственные, отношения части и целого, формы и содержания, внешнего и внутреннего и т.д. Ориентировочная основа для нахождения отношений естественно зависит от наличия знаний, во-первых, предметной области, в которой раскрываются отношения, а во-вторых, от наличия знаний о самих отношениях, о связях, поскольку любой объект может быть понят и определен лишь в системе отношений и взаимодействий с другими окружающими явлениями, их частями, сторонами и свойствами.
Категория "связь" характеризует "взаимообусловленность существования явлений, разделенных в пространстве и (или) во времени" [195, с.598]. Различают связи конструктивные (жесткие, когда данное явление связано с другими с помощью какой-то конструкции); порождения (когда одно явление выступает как причина (часть) другого); преобразования (когда одно явление получается путем математического преобразования другого); функциональные (когда один математический объект задается функционально через другой) и др.
Нахождение связей объектов условия и требования включает в себя процесс нахождения взаимосвязей логического и деятельностно-го происхождения.
Для наличия логических взаимосвязей должно быть: а) исходное понятие, которое встречается в описании анализируемого объекта; определение этого понятия; существенные признаки этого определения; б) неизвестное явление, формально описываемое с помощью данного понятия и других; в) распространение признаков на неизвестное явление, не относящееся к данному понятию. В данном исследовании логические взаимосвязи построены между объектами с помощью логических понятий - необходимость, достаточность, необходимость и достаточность. Умение устанавливать логические взаимосвязи между объектами условия и требования обосновывает рассмотрение задачи на построение как эквивалента теоремы существования.
Для наличия деятельностных взаимосвязей должно быть: а) возможность рассмотрения явлений как компонентов деятельности, причем общественно фиксированных; б) принятие одного явления за предшествующий компонент, а другого - за последующий; в) возможность связи последующего компонента с предыдущим способом уподобления. Раскроем указанные взаимосвязи.
В любой деятельности, как известно, в качестве основных компонентов выделены: образец конечного продукта (сознательная цель) - то, что требуется получить или установить; предмет действия -то, что требуется преобразовать или исследовать для достижения цели; орудия действия - теоретические или физические средства, которые необходимы для исследования предмета или его преобразования; операции - этапы и способы исследования или преобразования предмета; продукт деятельности - то, что реально получено [803-Цель и предмет как компоненты деятельности всегда известны, орудия, операции, продукт неизвестны. Для отыскания неизвестных используется принцип уподобления: по количеству, взаимосвязи, содержанию неизвестные элемент уподобляются известным.
Формирование умения осуществлять анализ компонентов деятельности в решении задач подробно представлено в работе [81]. В состав приема установления взаимосвязей деятельностного и логического происхождения между объектами условия и требования и их структурными элементами входят следующие действия: 1. Распознать задачу, ее вид и предметную область. 2. Оформить информацию, заключенную в задаче так, чтобы она хорошо воспринималась в целом (в виде схемы, геометрического образа, чертежа-наброска); выделить данное (объект-условие) и искомое (объект-требование). 3. Выявить логическую взаимосвязь между математическими объектами условия и требования задачи: - установить наличие логической взаимосвязи - необходимости и достаточности между выделенными объектами: а) установить в объекте-условие метрические и угловые элементы; - 97 б) указать элементы (определяющие) искомой фигуры, которые позволяют сразу осуществить построение и установить среди них известные и неизвестные. - найти и устранить лишние элементы объекта-условие в формулировке задачи; - переформулировать задачу. 4. Осуществить выбор адекватного метода решения. Замечание 1: выбор адекватного метода решения задач на построение в силу богатого математического содержания ориентировочной основы сконструирован в самостоятельный прием. 5. Составить план построения. Замечание 2: действия 1-5 дают возможность приступить к выполнению построения; если действия 1-5 не раскрывают путь решения, то состав действий данного приема продолжается.
Предварительный эксперимент (результаты эмпирической проверки умений решать задачи)
Для формирования приемов деятельности решения задач на построение разработаны задания (приведем некоторые из них). Задания для формирования умения рассматривать задачи на построение как компонент научного знания, в структуре которого содержится операционный модуль в виде совокупности мыслительных действий и умения использовать его в педагогической практике. 1. На формирование каких мыслительных операций направлены следующие задачи: 1) дайте определение треугольника (четырехугольника, параллелограмма, трапеции и т.п.); 2) как называется прямая, выходящая из вершины треугольника и делящая противоположную сторону пополам? 3) что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности? 4) опишите построение середины данного отрезка; 5) установите, всякий ли треугольник со сторонами 10см и 13см можно поместить на тетрадном листе; 6) составьте задачи, данные которых определяют только форму фигуры; 7) составьте задачи на построение, данные которых определяют фигуру; ...? 2. При построении треугольника по двум сторонам и медиане к третьей стороне у учащихся возникли трудности. Как их снять, не подсказывая решения? 3. Задачи каких блоков можно создать на основе задач: 1) докажите теорему о сумме внутренних углов треугольника, 2) разделите отрезок пополам; 3) постройте квадрат, зная, что его площадь равна 16 см ; 4) дайте различные определения параллелограмма; 5) постройте параллелограмм по двум диагоналям и стороне;... - 136 4. Какие задачи способствуют выработке навыка "при решении использовать все имеющиеся математические знания"? 5. Составьте задачи на сообщение данного. Определите их место на уроке, при изучении определенной темы.
Задания для формирования приема установления взаимосвязей между структурными элементами искомого объекта:
1. Оформите информацию заключенную в следующих предложениях в математической форме (в виде формул, чертежей-набросков, графиков, таблиц): построить прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы с другим катетом; построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне; построить параллелогррамм по двум диагоналям и высоте.
2. Перечислите и опишите данные, искомые элементы, содержащиеся в следующих формулировках задач: построить треугольник по основанию, высоте и боковой стороне; построить треугольник по двум углам и периметру; на данной прямой найти такую точку, чтобы расстояния от данной точки и другой данной прямой находились в данном отношении; построить трапецию по одному ее углу, двум диагоналям и средней линии; построить по четырем сторонам четырехугольник ABCD, зная, что его диагональ АС делит угол А пополам.
3. Сопоставьте данные в задаче "Построить треугольник по углу и двум высотам, опущенным на стороны данного угла" элементы с элементами, определяющими искомую фигуру.
4. Переформулируйте задачу "Построить треугольник по основанию, медиане к боковой стороне и радиусу описанного круга", если известно, что искомым элементом является точка (вершина В).
5. Воспроизведите понятия всех геометрических объектов, представленных в формулировке задачи "Построить треугольник по основанию, медиане к боковой стороне и радиусу описанного круга".
Замечание. Задания по включению элементов в новые связи, используя подведение под компоненты деятельности, по введению дополнительных элементов использовались из работ [79, 80).
Задания для формирования приема "выбор адекватного метода решения", приема "построение" и приема "исследование" подробно представлены во второй главе. Задания для формирования приема "доказательство" подробно представлены в монографии [81]. Кроме заданий нами созданы учебные карты. Учебные карты содержат: цель, которую нужно достигнуть; ориентировочные признаки - теоретические положения, с помощью которых может быть достигнута цель; состав действий - перечень и последовательность действий, выполнение которых приводит к цели. Приведем протокол решения задачи "Постройте треугольник по стороне, высоте к ней, медиане к одной из двух сторон" с использованием всей систематики приемов. Испытуемый Л.С. - студент математического факультета Мордовского государственного университета. Условие задачи: "Постройте треугольник по стороне, высоте к ней, медиане к одной из двух сторон". Протокол решения (этап громкоречевого действия, где обучаемый записывает выполняемые действия).
