Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные соотношения термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях неоднородных анизотропных тел вращения
1. Постановка задачи 18
2. Основные уравнения и формулы термовязкоупругости для установившихся крутильных колебаний тел вращения 24
Глава 2. Задачи термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях кругового диска
3. Колебания вязкоупрутого диска с независящими от температуры свойствами. Постановка задачи и решение основных уравнений 29
4. О зависимости термомеханических характеристик колебательного процесса от частоты внешнего воздействия 37
5. Примеры решения несвязанных задач о колебаниях диска 41
6. Определение механических и тепловых полей при колебаниях кусочно-однородного диска 64
7. Связанная задача термовязкоупрутости для установившихся крутильных колебаний диска (метод решения) 73
8. Связанная задача термовязкоупрутости для установившихся крутильных колебаний диска (примеры числовых расчетов) 83
Глава 3. Задачи термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях кругового цилиндра
9. Колебания сплошного изотропного вязкоупрутого цилиндра при произвольном возбуждении боковой поверхности 96
10. Колебания сплошного вязкоупругого цилиндра при линейном изменении нагрузки на боковой поверхности 107
11. Определение температуры диссипативного разогрева при установившихся крутильных колебаниях сплошного вязкоупругого цилиндра 112
12. Колебания полого вязкоупругого цилиндра с присоединенной на торце массой 115
13. Крутильные колебания многослойного цилиндра произвольной нагрузкой, распределенной по боковой поверхности 130
14. Крутильные колебания составного вязкоупругого кругового цилиндра 136
15. Решение задачи термовязкоупругости о колебаниях цилиндра из материала с зависящими от температуры свойствами 140
Глава 4. Задачи термовязкоупругости при установившихся крутильных колебаниях кругового конуса
16. Определение механических полей при колебаниях цилиндрически-анизотропного конуса 158
17. Определение температуры разогрева при колебаниях конуса 166
18. Результаты числовых расчетов 170
3аключение 177
Литература 182
Приложение 194
- Основные уравнения и формулы термовязкоупругости для установившихся крутильных колебаний тел вращения
- О зависимости термомеханических характеристик колебательного процесса от частоты внешнего воздействия
- Колебания сплошного вязкоупругого цилиндра при линейном изменении нагрузки на боковой поверхности
- Определение температуры разогрева при колебаниях конуса
Основные уравнения и формулы термовязкоупругости для установившихся крутильных колебаний тел вращения
Реальные перемещения, деформации и напряжения определяются действительными частями выражений (2.1).(2.,2),(2.5). Подставляя выражения (2.5) с учетом (2.2) в уравнение движения (1.6а), получаем уравнение для определения функции LL(t,i) При сделанных в I предположениях температурное поле, возникающее в рассматриваемом теле вращения,будет осесимметричным и его можно будет определить из следующего уравнения теплопровод -ности: где ( (tyZ) - осреднённая. за цикл колебаний диссипативная функция, Лху ( =1,1) - компоненты тензора теплопроводности. Для определения максимально возможного разогрева предполагаем, что вся энергия диссипации переходит в тепло. Для рассматриваемых крутильных колебаний анизотропного тела вращения функция о, /г, г) имеет вид На поверхности могут быть заданы следующие тепловые граничные условия:. а) часть поверхности 2_\ теплоизолирована: б) часть поверхности 2_g поддерживается при заданной темпе ратуре: в) на части поверхности 2_с идёт конвективный теплообмен по закону Ньютона::. Здесь п - нормаль к боковой поверхности, oCs - соответствующий коэффициент теплообмена, 7с - температура окружающей
Таким образом, связанная задача термовязкоупругости. при установившихся вынужденных крутильных колебаниях произвольного неоднородного тела вращения с цилиндрической анизотропией рассматриваемого вида описывается связанной нелинейной системой дифференциальных уравнений (2.6),(2.8) при заданных на поверх - ности: механических (2.7) и. тепловых (2.10) граничных условиях. Полученная система уравнений несколько упростится для ортотропных и изотропных материалов. Выпишети соответствующие тел с зависящими от температуры механическими свойствами, т.е. когда 6пк= [Ті%$,ЛугЛхуМ (J, si6 Х У=г )- Для однородных вязкоупрутих материалов с независящими от температуры свойствами,, когда комплексные модули и компоненты тензора теплопроводности постоянны, полученные системы уравнений значительно упрощаются и их можно записать в виде: цилиндрический-анизотропный материал частного вида изотропный материал Отметим, что в системах (2.13)-(2.15) уравнение, для определения комплексной амплитуды тангенциального перемещения решается независимо от уравнения теплопроводности. В первой главе дана постановка связанной задачи термовязко-упругости для случая? динамического кручения произвольного неоднородного, тела вращения с цилиндрической анизотропией механических и тепловых свойств частного вида..
Поставленная задача сведена к решению связанной существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных, второго порядка с переменными коэффициентами эллиптического типа для определения комплексной амплитуды тангенциального перемещения Ufa) (2.6) и температуры разогрева Т(%) (2.8). Для функций U и 7" на граничной поверхности сформулированы краевые условия (2.7),(2.10), которые охватывают многие возможные случаи механических и тепловых, граничных условий. Для вязкоупругих материалов, обладающих свойствами, ортотро-пии и изотропии,, а также для материалов с постоянными термомеханическими свойствами записаны упрощённые варианты (2.11)-(2.15) основной системы уравнений.
О зависимости термомеханических характеристик колебательного процесса от частоты внешнего воздействия
Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы в виде некоторого тела с моментом инерции 1 , прикрепленного к стержню (рис.4). Пусть это тело под действием заданного крутящего момента r\si/zCt)t совершает установившиеся вынужденные крутильные колебания с частотой СО . Запишем формулы 10б7 Для оп ределения угла поворота системы без сопротивления:. Для сравнения, рассмотрим систему с бесконечным числом степеней свободы в виде сплошного диска радиуса пг , на цилиндрической поверхности которого задано периодическое крутящее усилие с час-тотой 0J и амплитудой LQI . Выпишем выражения для тангенциального перемещения упругого [29] и вязкоупругого (формула (3.17)) дисков. Здесь X-iJlefttRz., X- /f/G vfti, fi- - упругий модуль сдвига, G - G+cG = G& - комплексный модуль сдвига, О - плотность материала. Известно, что в упругих системах, когда частота внешнего возмущения совпадает с собственной частотой колебаний, имеет место явление резонанса, при котором кинематические характеристики принимают бесконечно большие значения. Это справедливо и для системы с одной степенью свободы (формула (4.1) при СО-р ) и для системы с бесконечным числом степеней свободы (формула (4.3) при Оїр&ЛпІ6 /j f?z , где - корни уравнения Jz(x)= 0).
Такие частоты внешнего возмущения будем называть резонансными. Анализ формулы (4.2) показывает, что при вынужденных колебаниях системы с вязким трением, когда частота внешнего возмущения CJ-Jp -2/1 f амплитуда колебаний достигает максимального конечного значения. Такую частоту назовем критической и обозначим СОКР . Чем меньше величина вязкого трения, тем ближе СОкр к резонансной частоте соответствующей упругой системы, тем большее значение получает амплитуда колебаний. Аналогичный вывод можно сделать и для колебаний вязкоупругой системы с бесконечным числом степеней свободы, анализируя формулу (4.4). В этом случае критическая частота колебаний вязкоупру-гого диска СО/ер близка к резонансной частоте соответствующего упругого диска с модулем сдвига, равным действительной части комплексного модуля сдвига вязкоупругого диска [б5,Пб] . Решения (3.15), (3.17) и выражение для диссипативной функции (З.П) поз-волякхфредположить, что критические явления имеют место не только для амплитуды тангенциального перемещения, но и для амплитуды напряжения и для температуры разогрева. При этом у каждой термомеханической характеристики имеется своя критическая частота, которая очень близка к резонансной частоте соответствующей упругой системы.
И чем меньше тангенс утла механических потерь ш.д = 6JOf 9 тем ближе OJcp к СОрез Для большинства вязкоупругнх материалов О мало, поэтому с достаточной степенью точности можно считать, что при колебаниях вязкоупрзггих тел СОреь является приближенной критической частотой для всех компонент напряженно-деформированного состояния и для температуры разогрева. Знание критических частот имеет важное значение при эксплуатации элементов конструкций, подверженных длительному циклическому воздействию. В этом параграфе приводятся решения ряда конкретных несвязанных задач термовязкоупругости для установившихся крутильных колебаний сплошных и полых дисков. Предполагается, что плоские поверхности диска теплоизолированы, т.е. cL- О,
Колебания сплошного вязкоупругого цилиндра при линейном изменении нагрузки на боковой поверхности
Рассмотрим крутильные колебания сплошного изотропного вязкоупрутого цилиндра (рис. 33), один конец которого жестко заделан, на другом задан периодический во времени с частотой СО крутящий момент, а на боковой поверхности распределенная крутящая нагрузка, меняющаяся по линейному закону вдоль осевой координаты и с частотой U) во времени. Решение сформулированной задачи можно получить воспользовавшись формулами девятого параграфа. В данном параграфе мы получим более простое решение. Для определения компонент напряженно-деформированного состояния в точках цилиндра следут решить уравнение (9.1) с граничными условиями: Во втором параграфе было получено уравнение теплопроводности для определения температуры разогрева при установившихся крутильных колебаниях вязкоупругих тел вращения. Это уравнение для однородного изотропного цилиндра в безразмерных координатах О" т и z/ ( R - радиус, - длина цилиндра) принимает вид: В предыдущих параграфах данной главы получены выражения для комплексной амплитуды тангенциального перемещения при различных механических условиях на боковой поверхности и торцах цилиндра. Для всех рассмотренных случаев функция Щп ) представляется в формег Тогда, учитывая (II.2), уравнение теплопроводности (II.I) можно переписать в виде для диссипативной функции 9% f) будем иметь Функцию ftfaf) представим в форме: Неизвестные постоянные Cm (sn= 0,1,2,,.,.) определяются из граничных, условий для температуры на боковой поверхности цилиндра.. Предположим, что на боковой поверхности цилиндра заданы условия конвективного теплообмена с окружающей средой температуры Too Тогда неизвестные постоянные определятся из условия где Ха - теплопроводность материала цилиндра, cCs - коэффициент теплообмена.
Подставив (П.12) в (II.13) и определив CofCm(m= 1,2,3,...), получим окончательное выражение для температуры: /-/ Если ois - 0, то из (II.14) получается решение задачи с условием, что на боковой поверхности цилиндра поддерживается постоянная температура Too Рассмотрим полый вязкоупругий цилиндр длины и (рис. 34). Внутренний и внешний радиусы цилиндра соответственно равны R/ и Rz . Пусть боковые поверхности цилиндра свободны от нагрузки, на одном торце приложено периодическое крутящее возмущение, линейно меняющееся по радиальной координате .с частотой СО во времени, а на другом имеется присоединенная масса, момент инерции которой относительно оси 2 равен 2м . Решение уравнения (9.1)» определяющее комплексную амплитуду тангенциального перемещения,, в рассматриваемой задаче необходимо подчинить следующим граничным условиям: при = =Ri/Rz и - / При у = I, = 0 условие (12.2) соответствует задаче о колебаниях цилиндра с заданной на торце распределенной крутящей нагрузкой амплитуды Ь U, при V = 0, = I - заданным тангенциальным перемещением амплитуды Чтобы условие (I2.S) было корректным, требуется предположить, что тангенциальное перемещение является линейной функцией радиальной координаты, т.е. Тогда граничные условия на боковых поверхностях цилиндра бу дут удовлетворяться тождественно. Для функции (ц)получаем урав нение с краевыми условиями Подставляя (12.8)-(12.9) в граничные условия (12.6), (12.7) и разделяя действительные и мнимые части, получим систему четырех алгебраических уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов 2/, йг., 2з» &V
Определение температуры разогрева при колебаниях конуса
Полученное решение позволяет определить компоненты напряженно-деформированного состояния и температуру разогрева в любой точке сплошного или полого многослойного вязкоупругого цилиндра при заданном возбуждении боковой поверхности. Критические частоты в рассматриваемом случае являются корнями уравнения где Ат- определитель системы линейных алгебраических уравнений (13.9), в котором вместо комплексных модулей сдвига &п подстав-лены их действительные части 71= (/2-=1,2,..,-,/ ). Для определения Сдкгі следует воспользоваться формулой (6.12). Пусть дан сплошной круговой цилиндр радиуса , состоящий из д/ последовательно соединенных частей, изготовленных из изотропных вязкоупругих материалов с независящими от температуры свойствами и жестко скрепленных между собой (рис» 41). Будем предполагать, что на одном торце цилиндра задано тангенциальное перемещение, а на другом приложена крутящая нагрузка, произвольно меняющиеся: по радиальной координате и по гармоническому закону с частотой 0J во времени. Считаем, что.боковая поверхность цилиндра свободна от нагружения и на ней поддерживается температура TQpsCOnst .
Предполагаем,, что на торцах цилиндра заданы ус-ливия конвективного теплообмена по закону Ньютона с окружающей средой температурыТогг& пщ Z-0 иЬ при z = у , а соединения частей удовлетворяют условиям идеального теплового контакта. Для определения механических и тепловых полей в рассматрива емом цилиндре следует получить решения уравнений (I3.I), (13.2) (в которых надо положить пы =R, -L.M) для каждой из областей - 138 - Для определения неизвестных постоянных Aj/l г Bin г / /Z»bzH3 (14.2), (14.3) получаем системы линейных алгебраических уравнений: Для определения критических частот в данном случае необходимо воспользоваться определителем системы линейных алгебраических уравнений (14,6) и формулами (6.12), (6.13), в которых следует заменить Ны на вы . В качестве примера рассмотрим задачу о колебаниях сплошного составного цилиндра радиуса R - 0,1 м, состоящего из двух частей. Часть, для которой О = Ъ 0,25м выполнена из ЭД-6МА, а для которой 25/y «5M - из ІВ/ІДА. Торец Ъ = 0 жестко заделан, а на другом приложено распределенное колебательное касательное усилие, линейно меняющееся по радиусу и с частотой CJ во времени. Чтобы получить решение, сформулированной задачи, в формулах настоящего параграфа следует принять: N = 2, IfiMtO. J /fl S» В этом случае, функции j = 0 и = 0, функции Ufjfjfr, Т/в будут линейно меняться по радиальной координате, а температура - по квадратичному закону.
