Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Состояние вопроса. постановка задачи 12
1.1. Обзор исследований посвященных решению задач теории упругости неоднородных тел 12
1.2. Понятие влагоупругости 15
1.2.1. Влажность 15
1.2.2. О задачах влагопроводности 17
1.2.3. О набухании и влиянии влажности на свойства материалов 24
1.3. Используемые модели 34
1.4. Формулировка задачи влагоупругости неоднородных тел в полярных и сферических координатах 36
ГЛАВА 2. Задачи влагопроводности 42
2.1. Стационарные задачи 43
2.1.1. Осесимметричная стационарная задача в толстостенной цилиндрической оболочке 43
2.1.2. Центральносимметричная стационарная задача в толстостенной сферической оболочке 44
2.2. Нестационарные задачи 45
2.2.1. Осесимметричная нестационарная задача в толстостенной цилиндрической оболочке 45
2.2.2. Центральносимметричная нестационарная задача в толстостенной сферической оболочке 54
ГЛАВА 3. Напряженное состояние при стесненном набухании 64
3.1. Напряженное состояние в упругих однородных оболочках 64
3.1.1. Одномерные стационарные задачи 64
3.1.2. Одномерные нестационарные задачи 67
3.1.3. Двумерные задачи 69
3.2. Напряженное состояние в упругих неоднородных оболочках 79
3.2.1. Одномерные стационарные задачи 79
3.2.2. Одномерные нестационарные задачи 80
3.2.3. Двумерные задачи 81
ГЛАВА 4. Расчет грунтового массива с отверстием 92
4.1. Цилиндрическое отверстие 92
4.1.1. Стационарная одномерная задача 93
4.1.2. Нестационарная одномерная задача 94
4.1.3. Двумерная задача 98
4.2. Сферическая полость 101
4.2.1. Стационарная одномерная задача 101
4.2.2. Нестационарная одномерная задача 103
4.2.3. Двумерная задача 107
5 Заключение 112
6 Список литературы 114
- О набухании и влиянии влажности на свойства материалов
- Центральносимметричная стационарная задача в толстостенной сферической оболочке
- Одномерные нестационарные задачи
- Нестационарная одномерная задача
О набухании и влиянии влажности на свойства материалов
Одной из важнейших областей механики деформируемого твердого тела является теория упругости неоднородных тел. Линейная теория упругости неоднородных тел с учетом влажностных воздействий базируется на соотношениях Дюгамеля-Неймана, в которых параметры, определяющие свойства материала, являются функциями координат точек тела. Основными параметрами являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона , а также связанные с ними коэффициенты Ляме X, ц и модуль объемного сжатия К, коэффициент влагопровод-ности cw и коэффициент влажностного набухания pw. Неоднородность материала может быть обусловлена причинами как конструкционного, так и технологического характера. Например, элементы конструкции могут состоять из нескольких слоев различных материалов или же находиться под воздействием неравномерных влажностных, температурных или радиационных полей.
Другие соотношения классической теории упругости, а именно уравнения равновесия и соотношения Коши, остаются без изменений. Благодаря этому уравнения совместности деформаций в напряжениях или уравнения движения в перемещениях могут быть получены аналогично тому, как это сделано в классической теории упругости [51, 82]. В середине тридцатых годов XX века были опубликованы работы С.Г. Михлина [56, 57], в которых впервые был приведен вывод уравнений плоской задачи теории упругости неоднородного тела.
Проблеме расчета неоднородных тел посвящено множество работ. Особого внимания заслуживают работы Колчина Г.Б. и Фавермана Э.А. [45, 46], содержащие подробный библиографический указатель по данному вопросу. Постановка задач теории упругости неоднородных тел широко представлена в монографиях [40, 43, 44, 51, 71]. При этом в ставшей уже классической монографии [51] рассматриваются методы решения задач с непрерывной неоднородностью, а в работе [71] рассмотрены постановка и решение задач с кусочной неоднородностью материала и тел с включениями.
Задачи теории упругости неоднородных тел, поставленные в перемещениях или напряжениях, рассматриваются в работах [40, 43, 44, 49, 51, 66, 67]. В ряде работ решение поставленных в напряжениях задач представлено с помощью введения функции напряжений [8, 34, 51, 73]. В работе [51] показано, что использование функции напряжений при произвольной неоднородности материала не приводит к упрощению решения задачи. Это связано с невозможностью сведения шести уравнений неразрывности деформаций к трем уравнениям относительно функции напряжений. Использование функции напряжений позволяет несколько упростить расчет только при специальном виде неоднородности [42, 51]. В общем случае полученные уравнения относительно функции напряжений настолько сложны, что их решение проводится численными методами [8, 34]. Уравнения в перемещениях при произвольной неоднородности материала, а также при зависимости механических характеристик от температуры приведены в работах [7, 8, 40, 51, 71] и других. Также интерес представляет и смешанная задача, решение которой сводится к шести уравнениям относительно шести неизвестных компонент тензоров перемещений и напряжений [31, 69, 70].
В многочисленных работах, посвященных приложениям строительной механики, также приводятся формулировки задач теории упругости неоднородных тел, среди которых следует отметить работы [18, 19, 25, 30, 58], где приведены расчеты некоторых специальных конструкций.
Основная трудность решения задач теории упругости неоднородных тел заключается в решении систем дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Чтобы обойти это затруднение, можно свести задачу теории упругости неоднородных тел к уже изученным задачам для однородного тела. Одним из наиболее известных методов является метод сопряжения [71], в соответствии с которым сплошное тело с непрерывной неоднородностью заменяется его дискретным аналогом с кусочно-постоянной неоднородностью каждого слоя. При этом возникает необходимость удовлетворять условиям идеального термомеханического контакта на границе слоев [31, 68, 71]. В некоторых случаях производится предельный переход от кусочно-однородного тела к телу с непрерывной неоднородностью [62, 63, 86]. Применение обобщенных функций также является эффективным методом [48, 71, 72]. Для расчета неоднородных тел во всех вышеперечисленных работах применялись известные аналитические решения классической теории упругости. Для этого необходимо либо описывать неоднородность заранее выбранными специальными функциями [8, 17, 20, 23, 40, 51, 75], либо использовать метод последовательных приближений [24, 34, 43, 47, 49, 51, 58]. Однако этот метод в значительной степени утрачивает свои достоинства, если аналитическое решение вспомогательной однородной задачи неизвестно или связано со значительными трудностями.
Одним из основных методов решения уравнений в частных производных является метод разделения переменных, применение которого позволяет понизить размерность рассматриваемых уравнении. Так, например, представление искомого решения и внешних воздействий в виде рядов Фурье по азимутальному углу позволяет свести решение трехмерной задачи теории упругости к ряду задач осе-симметричной деформации тел вращения [21, 39, 74]. Однако по отношению к задачам теории упругости неоднородных тел применение метода разделения переменных ограничено. Это связано с тем, что разделение переменных возможно лишь в случае одномерной неоднородности материала (например, зависимость коэффициентов Ляме только от радиуса цилиндра) и согласованных граничных условий [7, 8, 16, 31, 32, 69, 70]. Несмотря на данные ограничения, эффективность метода разделения переменных исключительно высока, так как позволяет сводить решение пространственных задач для одномерно-неоднородных тел к решению ряда краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, для решения которых известны высокоэффективные алгоритмы и программы расчета на ЭВМ [26, 27, 60, 61, 87].
Центральносимметричная стационарная задача в толстостенной сферической оболочке
В иностранной литературе подробно изучается вопрос о влиянии влажности на механические свойства древесины [95, 96, 97, 98].
В работе [96] весьма обширно описано о влиянии влажности на упругие свойства древесины южной сосны. В [96] показано, как меняются предел прочности, модуль упругости, коэффициент Пуассона и другие свойства древесины не только в зависимости от влажности, но и при различной ориентации древесного волокна.
По результатам работы [97] разработаны аналитические модели в виде линейных зависимостей, адекватно описывающие поведение модулей упругости в диапазоне влажности от 12 % до 30 %.
В статье [98] изучается изменение механических свойств дугласии в зависимости от влажности. Также в этой работе затрагиваются вопросы усадки и прочности древесины при сушке.
В работе [95] изучена реакция модуля упругости красной сосны на совокупность изменений температуры от -40 до 40 С и влажности от 0 % до 118,3 %. В результате были разработаны аналитические модели, соответствующие разным диапазонам температур. Грунты
Грунты являются многокомпонентными средами, состоящими из крупных и мелких частиц, а также пор, заполненных водой и воздухом. (рисунок 1.4).
Увеличение влажности и набухание могут быть вызваны инфильтрацией поверхностных вод (атмосферных осадков) или протечками из водопровода и канализации. Набухание обычно связано не столько с присоединением воды к поверхности глинистых частиц, сколько с ее присоединением к внутренним связям внутри кристаллической решетки глинистых минералов.
На набухание косвенное влияние оказывают величина доли мелких глинистых частиц в грунте, концентрация растворенных в поровой воде веществ и другие. Подробно эти факторы описаны в [77].
Повышение температуры грунта вызывает усиление набухания или приводит к набуханию грунтов, не набухающих при естественных температурах. Дополнительное увлажнение в результате строительства зданий и сооружений в их основаниях возникает всегда из-за так называемого «эффекта экранирования» ос нования под сооружением в результате нарушения процессов естественной аэрации основания.
Мергель – это осадочная горная порода, содержащая большое количество глинистых и коллоидных частиц, вследствие чего обладающая относительно высокой влагопроводностью. Механические свойства мергеля существенно меняются в зависимости от влажности, что подробно описано в работе [52]. В таблице 1 представлены некоторые свойства мергеля в естественных условиях.
Для мергеля увеличение степени увлажнения существенно снижает предел прочности. Так, при увеличении влажности образцов с 3,77 % до 15,5 % предел прочности уменьшается в 10 раз с 26,36 до 2,70 МПа. Зависимость уменьшения прочности мергеля от степени его увлажнения носит линейный характер.
Предел прочности на растяжение также снижается с увеличением влажности в среднем с 2,19 (при влажности 3,77 %) до 0,26 МПа (при влажности 15,5 %).
Существенное влияние влажность оказывает на деформационные показатели мергеля (таблица 1.2). С возрастанием влажности образца секущий модуль деформации уменьшается в 21 раз, касательный модуль деформации — в 17 раз, а модуль упругости, определяемый по разгрузочной ветви диаграммы деформирования, снижается в 24 раза.
Относительные продольные деформации, соответствующие пределу упругости и пределу прочности, с увеличением влажности возрастают: упругая и разрушающая деформация возрастают в 2,5 и 2,3 раза соответственно [52].
Неоднородность, вызванная влажностью, имеет большое значение для тех материалов, которые сильно набухают при изменении влажности. К таким материалам относятся, например, лессовые, торфяные и глиняные грунты. Торфы обладают высокой способностью к набуханию и усадке при изменении влажности. В естественном состоянии торф содержит 86 – 95 % воды. При высыхании торфов наблюдается значительная усадка, величина которой определяется начальной влажностью, степенью разложения и др. факторами. В зависимости от влажности величина объемной усадки составляет от 15 – 20 до 65 – 75 %. В естественных условиях при значительных величинах усадки в торфяной залежи могут образоваться трещины усыхания.
Торфяные образования в естественных условиях обладают чрезвычайно низкой способностью к набуханию, что объясняется их практически полной водо-насыщенностью. При высыхании и последующем увлажнении величина набухания торфа может быть значительной. Однако в процессе этого набухания объем и влажность торфа никогда не достигнут первоначальных величин, поскольку торф при высушивании необратимо изменяется.
Одномерные нестационарные задачи
Мергель – это осадочная горная порода, содержащая большое количество глинистых и коллоидных частиц, вследствие чего обладающая относительно высокой влагопроводностью. Механические свойства мергеля существенно меняются в зависимости от влажности, что подробно описано в работе [52]. В таблице 1 представлены некоторые свойства мергеля в естественных условиях.
Для мергеля увеличение степени увлажнения существенно снижает предел прочности. Так, при увеличении влажности образцов с 3,77 % до 15,5 % предел прочности уменьшается в 10 раз с 26,36 до 2,70 МПа. Зависимость уменьшения прочности мергеля от степени его увлажнения носит линейный характер.
Предел прочности на растяжение также снижается с увеличением влажности в среднем с 2,19 (при влажности 3,77 %) до 0,26 МПа (при влажности 15,5 %).
Существенное влияние влажность оказывает на деформационные показатели мергеля (таблица 1.2). С возрастанием влажности образца секущий модуль деформации уменьшается в 21 раз, касательный модуль деформации — в 17 раз, а модуль упругости, определяемый по разгрузочной ветви диаграммы деформирования, снижается в 24 раза.
Относительные продольные деформации, соответствующие пределу упругости и пределу прочности, с увеличением влажности возрастают: упругая и разрушающая деформация возрастают в 2,5 и 2,3 раза соответственно [52].
Неоднородность, вызванная влажностью, имеет большое значение для тех материалов, которые сильно набухают при изменении влажности. К таким материалам относятся, например, лессовые, торфяные и глиняные грунты. Торфы обладают высокой способностью к набуханию и усадке при изменении влажности. В естественном состоянии торф содержит 86 – 95 % воды. При высыхании торфов наблюдается значительная усадка, величина которой определяется начальной влажностью, степенью разложения и др. факторами. В зависимости от влажности величина объемной усадки составляет от 15 – 20 до 65 – 75 %. В естественных условиях при значительных величинах усадки в торфяной залежи могут образоваться трещины усыхания.
Торфяные образования в естественных условиях обладают чрезвычайно низкой способностью к набуханию, что объясняется их практически полной водо-насыщенностью. При высыхании и последующем увлажнении величина набухания торфа может быть значительной. Однако в процессе этого набухания объем и влажность торфа никогда не достигнут первоначальных величин, поскольку торф при высушивании необратимо изменяется.
Зависимость деформаций набухания глинистого грунта при увеличении влажности может быть выражена линейной зависимостью (рисунок 1.5)
Для протерозойских суглинков pw =1,15. Аналогичная зависимость может быть построена и для процесса усадки набухающих грунтов при высыхании:
В зонах грунтовых массивов, где градиенты влажности достаточно велики, часто возникают явления высокой концентрации напряжений.
При сильном набухании может произойти вспучивание грунтов на поверхности, что часто сопровождается повреждением дорожного полотна, подземных коммуникаций, а также фундаментов, что может привести к обрушению зданий и сооружений.
Причинами сильного набухания грунтов могут служить подтопления вследствие выпадения чрезмерного количества осадков, повреждения труб водопроводов и др.
Глиняные грунты имеют высокую значимость в сфере строительства, так как очень часто именно они служат основанием для различных зданий и сооружений. Таким образом, решение задач определения напряженно-деформированного состояния в массиве из глинистого грунта под воздействием влаги является актуальным.
Для того, чтобы определить напряженное состояние, возникшее в результате стесненного набухания, сперва необходимо решить задачу об определении поля влажности. Если развитие процесса влагопроводности во времени не представляет интереса, то решается стационарная задача влагопроводности. При этом задача механики также будет являться стационарной. Если же рассматривается нестационарная задача влагопроводности, то задача механики будет являться квазистационарной. Это означает, что для каждого момента времени будет решаться стационарная задача о распределении напряжений. Такой подход оправдан тем, что процессы влагопереноса, рассматриваемые в работе, протекают весьма медленно и поэтому инерционными составляющими дифференциальных уравнений движения можно пренебречь. Таким образом, дифференциальные уравнения движения вырождаются в дифференциальные уравнения равновесия, характерные для стационарных задач.
При разрыве трубопровода можно рассматривать множество моделей проникновения влаги в грунт. Если между трубой и грунтом существует зазор, то влага сначала распределится вдоль трубы, а затем начнет проникать в грунт. В этом случае следует рассматривать осесимметричную задачу, которая в простейшем случае является одномерной. Если зазора нет, то влажность будет распределяться по закону центральной симметрии.
В зависимости от постановки задачи источник влаги в задаче механики рассматривается как цилиндрическое отверстие или сферическая полость. Соответственно внешняя граница рассматриваемого тела представляет цилиндрическую или сферическую поверхность. При расчете полей напряжений следует обсудить влияние на них веса грунта [5, 6]. Если отверстие или полость расположены на такой глубине, что внешняя поверхность рассматриваемого массива не пересекает дневной поверхности, то геометрически задача будет обладать осевой симметрией. Но нормальные и касательные нагрузки р и q, приложенные к внешней поверхности, не будут являться симметричными. Это обусловлено различным вертикальным давлением в верхней и нижней точках (рисунок 1.8, а), находящихся на разной глубине, а также наличием бокового отпора, определяемого коэффициентом v/(l-v) и приводящего к уменьшению горизонтального давления в левой и правой точках по сравнению с вертикальным. Равнодействующая внешнего давления уравновешивается весом вырезанного объема, т.е. задачу следует решать с учетом объемных сил, равных удельному весу грунта.
Упрощением расчетной схемы (рисунок 1.8, а) является случай, когда вырезаемый массив с полостью расположен на достаточной глубине, чтобы можно было положить а«Ъ«Н. В этом случае равнодействующую внешнего давления можно приравнять к нулю, что позволяет пренебречь собственным весом вырезаемого массива. Чтобы получить схему, представленную на (рисунок 1.8, б), также следует ввести предположение о несжимаемости материала или не учитывать коэффициент бокового отпора.
Нестационарная одномерная задача
В пп. 3.1.2 говорилось о том, что нестационарная задача не может быть решена аналитически даже в однородном случае из-за сложного вида правой части уравнения (3.17). Поэтому нестационарная задача о набухании полого цилиндра решена численно как для однородного, так и для неоднородного материала.
Также, как и в главе 2, в качестве результатов решения здесь представлены приближения с различным количеством фундаментальных функций решения (2.73). При решении использовался солвер pdepe, предназначенный для решения эллиптических и параболических уравнений относительно одной пространственной координаты. Листинг расчета приведен в Приложении 5. При этом интервал интегрирования разбивается на заранее неизвестное число шагов, так как сетка модифицируется солвером в процессе решения. В дальнейшем осуществляется переход от существующей сетки к постоянной с помощью интерполяционного сплайна Эрмита. Абсолютная точность невязки решения была выбрана 10 6.
Анализируя распределение напряжений, представленное на рисунках 4.16 - 4.21, можно сделать вывод, что для адекватного приближения к точному решению необходимо использовать большое количество членов ряда решения задачи влагопроводности (2.73), так как ряд медленно сходится. Наибольшее расхождение точного решения и приближений к нему наблюдаются в начальные моменты времени, когда вклад в решение задачи влагопроводности фундаментальных функций наиболее велик.
На рисунках 4.22 и 4.23 приведено распределение напряжений вдоль радиуса в различные моменты времени при /тах = 100.
Задача о полом шаре, представленная в пп. 3.1.3, была решена аналитически. При решении неоднородной задачи использовался солвер bvp4c, предназначенный для решения краевых задач и основанный на трехэтапной формуле Лобат 107 то. Листинг расчета приведен в Приложении 6. Интервалы интегрирования в каждой подзадаче разбивались на неизвестное число непостоянных шагов, так как сетки модифицируются солвером в процессе решения. В дальнейшем был осуществлен переход от сеток, созданных солвером к единой постоянной сетке с помощью интерполяционного сплайна Эрмита. Абсолютная точность невязки решений была выбрана 10"6.
При рассмотрении кривых нормальных напряжений для различных значений угла 0 можно заметить, что они практически совпадают друг с другом (рисунки 4.24 - 4.26). Особенно это заметно при рассмотрении функций се и сф.
Отсюда можно заключить, что собственный вес и несимметричный отпор грунта слабо влияют на напряженное состояние массива по сравнению с напряжениями, вызванными набуханием. Напряжения хЛ имеют пренебрежительно малые значения по сравнению с
Отношение максимального по модулю значения радиальных напряжений, вызванных стесненным набуханием (р = 2,02), к значению максимальных напряжений, вызванных собственным весом грунта (р = Ю), равно = 12,38.
Из всего этого можно сделать вывод о том, что с небольшой погрешностью эта задача может быть рассмотрена как центральносимметричная, т.е. без учета удельного веса грунта и с осесимметричным отпором грунта, что соответствует схеме, представленной на рисунке 1.8, б.
В диссертации было изучено влияние неоднородности материала, обусловленной влажностным воздействием, на толстостенные оболочки в виде полых цилиндров и шаров. Основное внимание было уделено учету в расчетах экспериментально обоснованных зависимостей физико-механических характеристик материала от влажности.
С целью исследования напряженно-деформированного состояния набухающих толстостенных оболочек в настоящей диссертационной работе решены следующие задачи: разработана методика решения задач влагоупругости с учетом неоднородности материала; определены аналитические решения для стационарного и нестационарного влажностных полей внутри полых цилиндрической и сферической оболочек; проведены расчеты набухающего глинистого массива с учетом и без учета неоднородности материала: для цилиндрических и сферических моделей с учетом стационарного влажностного поля; для цилиндрических и сферических моделей с учетом нестационарного влажностного поля; для цилиндрических и сферических моделей с учетом массовых сил и несимметричного отпора грунта;
Для оценки влияния влажности на физико-механические свойства материалов в настоящей работе выполнены два вида расчетов: с учетом и без учета зависимости модуля упругости от влажности.
На основании полученных результатов в настоящей работе можно сделать следующие выводы: при решении нестационарных задач влагоупругости для получения резуль тата, адекватно описывающего напряженно-деформируемое состояние 112 набухающих толстостенных оболочек, следует использовать по крайней мере 100 фундаментальных функций решения задачи влагопроводности; на основании решения двумерных задач можно заключить, что для глинистого грунта при его набухании приведение расчетной схемы задачи к одномерной не повлечет за собой больших погрешностей. Это вызвано тем, что напряжения, вызванные набуханием, в 8 - 12 раз превышают напряжения, вызванные несимметричным отпором грунта; учет неоднородности, обусловленной изменением деформационных свойств тел под влиянием неравномерного распределения в них влажности, приводит к существенному изменению напряженного состояния тел по сравнению с расчетом однородных тел. В частности, в глинистых грунтах на фоне заметного снижения пиков сжимающих напряжений наиболее опасные максимальные растягивающие напряжения для цилиндрической модели увеличиваются на 53 %, а для сферической - на 38 %.
Похожие диссертации на Влагоупругость неоднородных толстостенных оболочек
