Содержание к диссертации
Введение
1. Краткий анализ современного состояния методов расчета оболочек 8
1.1. Основные работы в рамках классической теории.. 8
1.2. Обзор работ приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным теориям оболочек 13
1.3. Развитие теории И.Н.Векуа. Формулировка задачи исследований 15
2. Общая теория упругих призматических оболочек 22
2.1. Определения и геометрическая модель оболочки 22
2.2. Уравнения равновесия 24
2.3. Соотношения, вытекающие из закона Гука 29
2.4. Граничные условия 31
2.5. О сопоставимости результатов расчетов 41
3. Численная реализация расчета упругих призма тических оболочек 48
3.1. Сопоставление результатов расчета с апробированными результатами, опубликованными в литературе 48
3.2. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической панели 62
3.3. Расчет геликоидальной оболочки 83
3.4. Напряженно-деформированное состояние сферической квадратной в плане оболочки 93
4. Описание прогрммы решения задач теории призматических оболочек 107
4.1. Общие принципы построения вычислительного комплекса и функциональная схема программы 107
4.2. Решение системы разностных уравнений 116
4.3. Исходные данные вычислительной системы 121
Выводы 126
- Обзор работ приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным теориям оболочек
- О сопоставимости результатов расчетов
- Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической панели
- Напряженно-деформированное состояние сферической квадратной в плане оболочки
Введение к работе
"Основные направления экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" разработаны исходя из Программы КПСС, решений ХХІУ и ХХУ съездов партии.
В области технических наук ставится задача сосредоточить усилия на решении важнейших проблем, среди которых особое место занимает развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях [79] .
В работе рассмотрен класс так называемых призматических оболочек,которые находят широкое применение в различных отраслях техники: в строительном деле, машиностроении, авиации и др. (Некоторые виды призматических оболочек изображены на рис.1.1).
Под призматической оболочкой в теории И.Н.Векуа [153 подразумевается класс упругих оболочек с произвольной формой срединной поверхности и с цилиндрической боковой поверхностью5^, для расчета которых в качестве базы параметризации принимается плоскость.
В работе понятие "призматическая оболочка" будет всюду пониматься в вышеуказанном смысле.
Актуальность проблемы. Развитие теории и методов расчета, обеспечивающее определение напряженно-деформированного состояния оболочек произвольной формы с цилиндрической боковой поверхностью, а также проведение расчета путем использования ЕС ЭВМ имеет важное практическое значение.
*^Это понятие по существу отличается от принятого в классической
теории определения (см.,например, монографию В.З.Власова!23] ), согласно которому призматической оболочкой названо упругое тело, состоящее из конечного числа прямоугольных пластинок.
Цель работы. Разработать инженерный подход для расчета упругих призматических оболочек на базе математического аппарата, свободного от геометрической гипотезы, принятой в классической теории оболочек.
Научная новизна. В диссертации на основе теории И.Н.Векуа применены для практических расчетов основные соотношения призматических оболочек в инвариантной форме, в которых уравнения равновесия приближения порядка IV = I согласованы с напряжениями, заданными на лицевых поверхностях.
Сформулированы граничные условия применительно к реальным опиранням кромок оболочки.
Затронуты вопросы сопоставимости результатов при расчете оболочек по различным расчетным моделям.
На базе комплекса программ решения задач общей теории оболочек разработанного в КИСИ, составлен пакет прикладных программ, реализующих основные соотношения призматических оболочек,представленные в работе.
Проведен расчет ряда призматических оболочек. Сделаны сопоставления полученных физических компонентов с апробированными результатами, опубликованными в литературе. Исследовано влияние изменения геометрических параметров оболочек и граничных условий на их напряженно-деформированное состояние.
Практическая ценность. Разработанный инженерный подход дает возможность на базе математического аппарата, свободного от геометрической гипотезы, исследовать напряженно-деформированное состояние оболочек произвольной формы, ограниченной с цилиндрической боковой поверхностью.
Результаты, выполненные в диссертационной работе, можно использовать при проектировании любых тонких оболочек, у которых боковые поверхности близки к цилиндрическим.
Внедрение результатов. Результаты диссертационной работы использованы при разработке конструкции - сферической квадратной в плане оболочки в качестве фундамента шестнадцатиэтажного крупнопанельного дома с монолитным ядром жесткости в г.Сочи, спроектированного в ТбилЗНИИЭПе.
Апробация работы. Основные материалы и результаты диссертационной работы докладывались в Грузинском политехническом институте на семинаре по теории оболочек, руководимом д.т.н.,проф. Ан.А.Лосаберидзе (Тбилиси, 1984); на П Закавказской конференции по пространственным конструкциям (Тбилиси, 1984).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в трех печатных работах.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержащих 88 страниц машинописного текста, 28 таблиц, 49 рисунков, а также списка цитированной литературы, включающего 106 наименований, и приложения.
Первая глава посвящена краткому анализу современного состояния методов расчета оболочек. Рассмотрены работы в рамках классической теории тонких пологих оболочек, в аспекте принятых основных допущений, приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным теориям оболочек, построенных без введения гипотез Кирх-гоффа-Лява. Дается обзор развития теории И.Н.Векуа [15] . Формулируется актуальная задача в данной области и обосновывается выбор темы диссертации.
Во второй главе изложена общая теория упругих призматических оболочек. В инвариантной форме даны уравнения равновесия, согласованные с напряжениями, заданными на лицевых поверхностях. Даны соотношения, вытекающие из закона Гука. Сформулированы граничные условия применительно к реальным схемам опирання кромок оболочки. Затронут вопрос о сопоставимости результатов при расчете оболочек
7 по различным расчетным моделям.
Третья глава посвящена численной реализации предлагаемого варианта теории призматических оболочек на ЕС ЭВМ.
Результаты расчета для конкретных призматических оболочек сопоставлены с апробированными решениями, построенными на основе классической теории.
Данные исследований подтвердили надежность использованного математического аппарата. В этой же главе представлены результаты расчета разных непологих оболочек типа цилиндрической панели и геликоидальных оболочек, а также сферической квадратной в плане оболочки.
Обсуждается их напряженно-деформированное состояние с учетом влияния изменения геометрических параметров и граничных условий.
В четвертой главе дается описание программы решения задач теории призматических оболочек.
Автор защищает:
Конкретные решения для оболочек различной формы, полученные на основе общей теории призматических оболочек И.Н.Векуа.
Математическую формулировку граничных условий применительно к реальным опиранням кромок оболочки.
Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек различной формы в зависимости от изменения геометрических параметров и граничных условий.
Обзор работ приведения трехмерных задач теории упругости к двумерным теориям оболочек
Внесение математических упрощений в уравнения трехмерной теории упругости было впервые проделано Пуассоном и Коши. Рассматривая равновесие пластинки, эти ученые применили разложение компонент тензора напряжений по нормали к недеформированной срединной плоскости пластинки. Коши и Пуассон получили основную систему уравнений и граничные условия краевой задачи о равнове- сии пластинки [ 521 . Дальнейшие работы в этой области проводились В. В. Basse-b [61 , F. Kraup L571 , Н.А.Кильчевским [49,50] и др. Б работе Н.А.Кильчевского [49] предлагается метод составления наиболее общей системы уравнений теории оболочек при условии приведения трехмерной задачи к двухмерной на основании наименьшего числа вспомогательных гипотез. Применяется разложение тензорных функций в ряд Тейлора. Метод составления уравнений обладает той особенностью, что становится возможным получить необходимую степень приближения при помощи однообразного алгоритма. Разложение искомых величин по ортогональным полиномам изложено в работах И.Н.Векуа [15] и Н.А.Кильчевского L50] . К этому методу родственен полуобратный метод Е.А.Рейсснера [83] .В работе А.Л.Гольденвейзера [35] этот метод рассмотрен подробно. Приведение трехмерных задач теории упругости к двухмерным теориям оболочек осуществлялось также другими методами, в частности асимптотическим методом, методом Бубнова-Галеркина, методом, связанным с теоремой о взаимности работ и др. Асимптотический метод, который впервые в Советском Союзе был применен И.Я.Штаерманом [ 106] дальнейшую разработку и развитие получил в работах И.Геккелера [303 ,В.В.Болотина [ 7] Д.И.Во-ровича [263 Д.Л.Гольденвейзера [33,34] и др. Этим методом дается приближенное определение искомых функций в форме разложения их по степени малого параметра, зависящего от толщины оболочки. Метод Бубнова-Галеркина и родственные ему способы связаны с применением общего уравнения динамики, что позволяет вести разложения искомых величин по функциям от малой координаты. Эти способы отразились в работах В.З.Власова 123] Д.М.Муштари и И.Г.Те- регулова [ 69] ,Н.А.Кильчевского [51] и др. В работе Н.А.Кильчевского [49] также представлен метод интегрирования уравнений трехмерной теории упругости, связанный с теоремой о взаимности работ и родственных ей положений. Этот подход является по существу развитием Метода Сомильяна, который основывается на интегральной теореме о взаимности работ.
В монографии В.И.Гуляева, В.А.Бажанова, П.П.Лизунова 140] рассмотрены неклассические задачи статики, динамики и устойчивости оболочек. На основе уравнений, свободных от упрощающих геометрических, кинематических и статических гипотез классической теории, исследовано напряженно-деформированное состояние оболочек с быстро изменяющимися по пространственным координатам параметрам. Получены уточненные уравнения эластодинамики оболочек. В решении задач теории оболочек все больше употребляются средства математического анализа, что обеспечивает многогранное представление о напряженно-деформированном состоянии упругих тел, в частности оболочек. Среди тех работ, в которых предложены методы для построения теории оболочек без общепринятых допущений классической теории, должное место занимают труды И.Н.Векуа С 15,16,18] . В работе [ 15] предлагается метод расчета призматических оболочек, который был в дальнейшем обобщен и применен для построения теории тонких пологих оболочек переменной толщины [16] . Данный метод наряду с другими методами редукции трехмерных задач равновесия упругих оболочек к двумерным задачам теории оболочки был представлен И.Н.Векуа в монографии [18] Вопросам развития теории тонких пологих, упругих оболочек были посвящены ранние работы Й.Н.Векуа [12-14] ,в которых исследуются и интегрируются уравнения теории оболочек. Теория тонких или пологих оболочек строится исходя из основных уравнений равновесия в компонентах напряжений и из соотношений, вытекающих из закона Гука. В этих разрешающих уравнениях производится усреднение по координате - расстоянию от базы параметризации до определенной точки упругого тела. Для отыскания компонентов тензора напряжений и компонентов вектора смещения используются разложения по полиномам Лежандра относительно скалярной координаты 2 Разложение функции по полиномам Лежандра 1 (——) имеет вид 118] : h - полутолщина оболочки. Коэффициент J(aj1 оса) ряда (I.I) с номером К называется моментом J (ос1, ос?, г) порядка К . Для тонких или пологих оболочек принимаются допущения Если кривизны оболочки К± К2 малые величины, оболочка пологая и срединная поверхность S близка к плоскости. Когда S - плоскость К,, = Кг = О ,и условия (1.3) в точности выполняются. Для такой оболочки было введено название "призматическая". Ограничения в разложении полинома Лежандра при приближениях порядка N1 = 1 дают наиболее близкое к классической теории напряженно-деформированное состояние, при котором в каждой поперечной элементарной площадке наряду с усилием и моментом возникает пара равных противоположно направленных сил, расположенных в плоскости площадки (расщепляющая пара). В упругом теле в поперечном направлении от этих сил может образоваться расслоение оболочки вдоль срединной поверхности. Уравнения равновесия оболочки, полученные И.Н.Векуа в работе [16] ,в отличие от классических уравнений вполне совместимы с физическими граничными условиями задачи. В работе Е.И.Оболашвили [77]дано эффективное решение некоторых граничных задач для призматических оболочек. Рассматривается пластинка переменной толщины.
Применяя метод малого параметра, в работе В.С.Жгенти [46] решены некоторые граничные задачи для одного класса призматических оболочек пластин переменной толщины, меняющейся по закону: В работе А.Р.Хволеса[99,100] строятся общие представления решений равновесия призматических оболочек для двух конкретных случаев изменений толщины. Эти задачи были поставлены И.Н.Векуа в 116] . Рассматривается призматическая оболочка-пластинка переменной толщины: Приближение берется порядка N =0 (для безмоментного случая). Исследуются решения граничных задач. В работе Д.Г.Антидзе,Т.С.Вашакмадзе, К.К.Пурцеладзе 13] для пластинки переменной толщины приближения N=0 рассмотрена задача Дирихле. Предложены две вариационно-разностные схемы. В работе О.П.Комурджишвили и Г.С.Табидзе [551 предлагается разностный метод расчета призматической оболочки на прямоугольном плане. Предложены три итерационные схемы. Работа Д.Г.Гордезиани, Е.Г.Евсеева, О.П.Комурджишвили L38] посвящена исследованию и приближенному решению краевых задач для призматических и цилиндрических оболочек для уравнений теории тонких упругих оболочек И.Н.Векуа. Исследованы вопросы разрешимости и единственности краевых задач в теории L163 . Доказывается сходимость в зависимости от номера приближения и толщины оболочки в случае призматических оболочек - для пластин постоянной толщины. Получены численные результаты, которые сравниваются с решениями, полученными непосредственно из трехмерной теории упругости. Теоретические предпосылки о сравнительно высокой точности варианта LI7] для призматических оболочек подтверждаются и численными экспериментами, которые в случае призматических оболочек для различного вида краевых задач вариантов [16,17] сравнивались с другими известными результатами, а также решениями трехмерных задач и показали хорошие алгоритмические качества и точность методов [16,17] . Исследование сходимости приближенных алгоритмов опиралось на неравенство Корна, полученное в 137] . Построение и исследования конечно-разностных аналогов для задач 115,16] представлены в работе Д.Г.Гордезиани [36] . Проведенные численные эксперименты подтвердили теоретические предпосылки относительно точности теории [15,16] и построенных дискретных схем.
О сопоставимости результатов расчетов
В классической теории оболочек граничные условия в основном пишутся для точек срединной поверхности на границе. При конструировании шарнирной опоры (как подвижной, так и неподвижной) расположение шарнира у кромки оболочки не всегда на уровне срединной поверхности, вследствие чего получается несоответствие с теоретической расчетной схемой. В зависимости от того, на каком уровне по толщине оболочки расположена шарнирная опора, напряженно-деформированное состояние упругого тела будет меняться. С увеличением толщины упругой оболочки оказываемое влияние расположения шарнирной опоры на напряженное состояние оболочки возрастает. Поэтому требуется уделять должное внимание реализации данной расчетной модели упругого тела на практике с целью достижения соответствия теоретической расчетной схемы с реальной конструкции оболочки. Из формул (2.44),(2.45),(2.46) видно, насколько меняются силовые факторы в точках упругого тела по толщине оболочки. На рис.2.5 иллюстрированы реальные схемы опирання кромок оболочки. Для наглядности можно рассмотреть случаи (6),(в),(г) из рис.2.5, откуда следует, что если шарнирно неподвижные опоры расположены вдоль линии нижней лицевой поверхности на границе ооолочки (рис.2.5,6), (оболочка подвергается вертикальной нагрузке), точки 6 и С боковой поверхности оболочки, лежащие вместе с точкой А на одной прямой,в отличие от точки А ,где рас- положен шарнир, переходят в новое расположение 8 и С .Этим деформациям (перемещениям) соответствует некоторое напряженное состояние оболочки.
В случае расположения шарнирно неподвижной опоры на уровне срединной поверхности оболочки (рис.2.5,в) точки А и С переходят в новое расположение А1 и С . Точка В неподвижна. Напряженное состояние оболочки в данном случае будет отличаться от напряженного состояния указанного выше варианта. Когда шарнирно неподвижная опора стоит в точке С (вдоль линии верхней лицевой поверхности оболочки, рис.2.5,г),перемещениям подвергаются точки А и В (они переходят в новое расположение - соответственно А и В ). Напряженное состояние оболочки в этом случае будет отличаться от напряженных состояний предыдущих вариантов и, как отмечалось выше, с увеличением толщины оболочки оказываемое влияние расположения шарнирной опоры на напряженно-деформированное состояние упругого тела становится существенным. Таким образом, выражения (2.44),(2.45) и (2.46) используются при записи граничных условий для различных реальных схем опирання кромок оболочки, в результате чего всегда обеспечено соответствие теоретической расчетной схемы опирання кромок оболочки практической расчетной схеме. 2.5. О сопоставимости результатов расчетов Если пренебречь несовпадением боковых поверхностей оболочки общего вида и призматической, то в обоих случаях можно говорить об одном и том же трехмерном теле, заданным образом закрепленном и нагруженном. Следовательно, его напряженно-деформированное состояние, установленное расчетом, не должно существенно зависеть от выбора параметризации (срединной поверхности или плоскости). Иными словами, результаты расчетов по общей теории оболочек и по обсуждаемой модели должны отличаться несущественно. 3 Но в произвольной оболочке скалярная координата X откладывается вдоль нормали П к базе параметризации, не совпадающей, вообще говоря, с ортом К . Поэтому пределы, в которых изменя- ется X , отличны от пределов изменения = . Отсюда следует, что отличны будут и расчетные толщины.
Для получения зависимости между расчетными толщинами рассмотрим в декартовой системе координат ( се , у ,2 ) некоторую поверхность S (рис.2.4), отнесенную к гауссовым параметрам ( х , СО ), область определения о) которых лежит в плоскости ( ого у ). Радиус - вектор произвольной точки М ( ее1 , ее ) на S обозначим через Ф = V ( X , ее ). Далее рассмотрим еще поверхность о , радиус-вектор которой где h n = h п (X,ос )- произвольная скалярная функция; П -орт нормали ков точке М . Наметим на S точку Р ( х , х2 ) с аппликатой 3 =f лежащей на одной вертикали с точкой М . Ее радиус-вектор С другой стороны, положение точки Р можно определить вектором восстанов- лена нормаль с ортом п Сравнивая (2.48) и (2.49) найдем Подставляя Г в форме где ос , у и 2 - декартовы координаты точки М , из (2.51) получим В цилиндрической системе координат (p, \3 )ac=pcoS 0 , u=jDSinS , 2=2- уравнения (2.51) эквивалентны системе Предполагая, что уравнение поверхности S и функции hn задано, из уравнений (2.52) найдем I . Полагая в полученном для -f выражении последовательно hn=hco и hn=h(2) (функции h и h считаются заданными), получим уравнения для п и п ,по которым согласно (2.9) вычислим расчетные геометрические характеристики призматической оболочки h и h . Решение уравнений (2.52) в общем случае получить трудно даже с помощью ЭВМ, поэтому, учитывая, что обсуждаемый вопрос относится к категории тестовых задач, ограничимся двумя простейшими примерами на оболочках постоянной толщины hn = const.
Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической панели
Рассматривались задачи для пластинки,цилиндрической и прямоугольной в плане пологой оболочки и геликоидальной оболочки (рис.3.1 а,б,в,г). Для квадратной в плане, защемленной по контуру пластинки (рис.3.1а)сравномерно распределенной нагрузкой CJ, максимальный прогиб определяется по формуле из книги Д.В.Вайнберга [9] где 8 - толщина пластинки ( О = 0,01 м) ; а - ширина пластинки ( СЬ = 0,40 м); Q, - равномерно распределенная нагрузка ( О = 10 Н/м ). Приняты следующие характеристики материала пластинки: Л = І,І8.І0ПН/м2; JU = 0,78.ЮПН/м2; V = 0,3. В таблице І.І дано сравнение величины максимального прогиба,полученной по теории призматических оболочек при разной густоте ко-нечноразностной сетки,с точным решением из книги Д.В.Вайнберга. Как видно из таблицы І.І (Приложение I), расхождение по максимальным прогибам оказалось незначительным . При конечноразностных сетках 5x5, 9x9 и 17x17 полученные максимальные прогибы отличаются от аналогичных решений [9] соответственно на 2,0$, 1,6% и 2,9$. Для прямоугольной в плане цилиндрической панели (рис.3.10) (по короткой стороне граничные условия - скользящий шарнир,по длинной стороне - свободный край) перемещения, определенные из статьи Cowper G.R. LindBerg G. М. and OBson М.М.[5б], сравнивали с результатами расчета для того же упругого тела, полученными по теории призматических оболочек. Для данной цилиндрической панели геометрические параметры следующие: L = 15,24м; L±= 9,796м; h = 7,62- 10 2м (толщина оболочки). Характеристики материала оболочки: h = 0; jU = I,03«I0I( Н/м2; V = 0. На оболочку действует равномерно распределенная нагрузка С =4,29 кПа. Сравнение результатов (прогибов) по цилиндрической оболочке дано в таблице 1.2, в которой приведены также перемещения,определенные по методу конечных элементов. Расхождение по максимальным прогибам от точного решения при наличии конечноразностной сетки 17x17 составило 7,6%. Для прямоугольной в плане пологой оболочки (рис.3.1в) прогибы (при различных соотношениях геометрических размеров в плане оболочки и стрелы подъема с толщиной оболочки), полученные А.А. Назаровым [72] .сравнивали с соответствующими компонентами, полученными по теории призматических оболочек.
Для данной оболочки приняты следующие параметры: а = 2м; 6 = 1(05)м; h = 0,01м (толщина оболочки) j/h = 1,5,10,20, где f - наибольший подъем оболочки. Характеристики материала оболочки: V =0,3; Е =210 ГПа. Результаты приведены в таблице 1.3. Как видно из таблицы 1.3, максимальный прогиб при наличии соотношений - = і и 31 = і, где а и о — размеры в пласі h не пластины; -f - наибольший подъем оболочки; h - толщина оболочки, полученная по теории призматических оболочек,отличается от соответствующего результата, взятого из книги Назарова А.А., на 7,69%. Такое расхождение можно считать в рамках допускаемости. С целью сопоставления результатов не только по перемещениям, но и по напряжениям, проведен расчет геликоидальной оболочки по теории тонких оболочек (база параметризации-срединная поверхность) и по теории призматических оболочек. Геометрические параметры для геликоидальной оболочки следующие: рн = 0,40м; рк = 0,60м; 9Н = 0; QK = 1,57; С = 0,06м. Приняты следующие характеристики материала оболочки: Я= 0,121153,8.1012Н/м2; JJ =0,80769- 10ПН/м2; V = 0,3. На оболочку действует равномерно распределенная нагрузка Q = = Ю5Н/м2. На рис.3.2 даны изолинии прогибов, полученные соответственно по теории тонких оболочек и по теории призматических оболочек. Результаты прогибов приведены в табл.1.4 (см.Приложение I). Для удобства чтения специалистам инженерного профиля обозначения физических компонентов,использованные в математической теории оболочек И.Н.Векуа, будем представлять в терминологии, установленной в теории оболочек. Обозначения бР , б/ , б3Р , б/\ б, б , т , % , % , rDM , Xм ,ТМ будут соответствовать нормальным (6. , б0 » ) и касательным ( ТЗ , Т331 , Х32 ) напряжениям, вызванным от усилий ( Р ) и моментов ( М ). В таблицах I.5-І.14 Приложения приведены сравнения величин напряжений по определенным сечениям в ячейках сетки для геликоидальной оболочки. Эпюры напряжений даны на рис.3.3. Сравнение соответствующих физических компонентов показало, что для геликоидальной оболочки по максимальным прогибам расхождение достигает 8-9$. По максимальным напряжениям, вызванным от усилий и моментов, расхождение составляет соответственно 5-6$. Напряженное состояние геликоидальной оболочки таково, что для данного конкретного случая по величине преобладают нормаль- ные напряжения с переменным знаком, вызванные от усилий и моментов ( бдр , б2м ) на площадках с нормалью по направлению со координатной линии. Полученные результаты расчета мало отличаются от соответствующих точных (или на основе классической теории) решений. Так как математический аппарат не накладывает никаких ограничений на пологость оболочки, становится возможным проводить расчет непологих упругих оболочек произвольной формы, у которых боковая поверхность цилиндрическая. 3.2. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрической панели На основе вычислительной программы были получены результаты расчета для конкретных оболочек (см. 3.1),которые мало отличаются от соответствующих апробированных решений.
Ввиду того что использован математический аппарат, свободный от геометрической гипотезы,принятой в классической теории, провели расчет оболочек, у которых стрела подъема выходит за рамки пологости [103] . В данном параграфе приводим результаты расчета цилиндричес- кой панели, направляющая которой описывается по закону cos ее . Оболочка защемлена по контуру (рис.3.4,а).База параметризации S цилиндрической панели в декартной системе координат ос , у , описывается параметрическими уравнениями системы расстояние до срединной поверхности равняется величине стрелы подъема. Когда У = У кромки оболочки, h = О Всего решено восемь задач. На рис. 3.47-320 даны прогибы цилиндрической панели при равномерно распределенной нагрузке, действующей на оболочку (для разных значений а , 8 , J и 2h -геометрических параметров). Характеристики материала цилиндрической панели приняты: Я =0,4403-1012} JA =0,8547.10ПН/м2; V = 0,17. На оболочку действует равномерно распределенная нагрузка: Q, = Эпюры напряжений, вызванные от мембранных усилий и моментов по сечениям 1-І и П-П, представлены на рис.3.5-3.16. Исследование влияния изменения геометрических параметров цилиндрической панели на ее напряженно-деформированное состояние показало следующее. В задаче существенное значение имеет нормальное моментное напряжение б (по сравнению с остальными компонентами напряже-ний). По направлению ос и ее координатной линии в ячейках сетки оно представляется соответственно с переменным знаком в сечении 1-І, а в сечении П-П всюду положительным. С увеличением толщины цилиндрической панели (вместо 0,15 м на 0,30 м) при тех же геометрических параметрах а , D и J нормальные моментные напряжения б" и 6g сокращаются трижды. Сокращаются также все остальные компоненты напряжений. Эпюры напряжений становятся более гладкими. Увеличение стрелы подъема цилиндрической панели (вместо -Р = 3,75 м на J = 7,5 м) вызвало незначительное уменьшение нормальных напряжений у кромки оболочки и некоторое увеличение на гребне упругого тела.
Напряженно-деформированное состояние сферической квадратной в плане оболочки
База параметризации S сферической квадратной в плане оболочки (рис.3.273 описывается параметрическими уравнениями где С - расстояние от центра оболочки до плоскости S базы параметризации. Для данной оболочки где C=-(R-f) , R - радиус сферической оболочки; J - стрела подъема оболочки. Для данного упругого тела решены две задачи: сферическая квадратная в плане панель с шарнирным опиранием и с жестким защемлением под действием равномерно распределенной нагрузки Q, = 2,5«Ю3Н/м . Геометрические параметры сферической квадратной в плане оболочки: X =0,4403. ЮПн/м2; JX =0,8547.10Пн/м2; V = 0,17. На рисунках 3.28-3.37 представлены эпюры нормальных напряжений 6f , бар , б м , бгм и прогибов UL3 . Напряженно-деформированное состояние сферической квадратной в плане панели таково. При шарнирном опираний в оболочке преобладают нормальные напряжения от мембранных усилий б" и 6gp .которые возрастают в ячейках сетки у кромки оболочки соответственно вдоль координатных линий ос и со (рис.3.28-3.29). Моментные напряжения б± и бд также увеличиваются вдоль координатных линий и убывают резко до нуля у кромки оболочки (рис.3.30-3.31). Касательные напряжения t 1Q и Ь1е достигают максимальных значений в ячейках сетки,отдаленных от ее и оо координатных линий, расположенных по диагональной линии в плане оболочки. Значения касательных напряжений Ъ , % в ячейках сетки по сечениям 1-І, П-П и Ш-Ш приведены в табл. 2.II. При жестком защемлении все физические компоненты напряжений и перемещений значительно малы, однако характер изменения напря- Р жений таков, что О уменьшается в ячейках сетки, отдаленных от со координатной линии (рис.3.32), а О - соответственно от- деленных от ее координатной линии. Моментные напряжения О и D достигают максимальных значений у кромок оболочки, парал- лельных соответственно ее и координатным линиям. Эпюры моментных напряжений б и )2 по сечениям 1-І, П-П и Ш-Ш даны на рис. 3.34-3.35. Касательные напряжения сократились значительно.
В табл.2.12 приведены касательные напряжения % , ь по сечениям 1-І, П-П, Ш-Ш. Прогибы в оболочке значительно преобладают над перемещениями U,, и UQ .В случае защемления контура оболочки прогиб достигает максимального значения в ее центре (рис.3.37). Когда оболочка шарнирно оперта, максимальный прогиб возникает на расстоянии U СХ от центра оболочки ( CL - полуширина оболочки, с соответствующими компонентами, полученными при разных граничных условиях задач (шарнирное опирание и жесткое защемление кромок сферической квадратной в плане оболочки) оказалось, что максимальные нормальные напряжения б , б2 , 6Q t 6 t б , б при жестком защемлении уменьшаются в 17 раз по сравнению с таковыми, полученными при шарнирном опираний. Касательные напряжения сокращаются более, чем в 10-кратном, а максимальный прогиб - более, чем в 20-кратном размере. Таким образом, в одном и том же упругом теле - в сферической панели - характер распределения напряжений и значения прогибов существенно зависят от видов опирання кромок оболочки, что соответствует решению аналогичных задач, исходя из классической теории оболочек. Анализ полученных результатов на примерах расчета отдельных упругих тел-оболочек, установление влияния изменения геометрических параметров и граничных условий на напряженно-деформированное состояние конструкции позволяет определить более рациональную форму оболочки, способную эффективно воспринимать заданное реальное нагружение и обусловливать заданную несущую способность. Как отмечалось выше, программа составлена на базе комплекса программ решений задач общей теории оболочек,разработанного в киси. Блоки,имеющие общее назначение, взяты без изменения. Подпрограммы реализующие соотношения призматических оболочек, составлены диссертантом и подключены к существующему комплексу. Исключительная трудность краевых задач для уравнений в частных производных, описывающих деформации призматической оболочки общего вида, приводит к необходимости привлекать все доступные средства быстро развивающейся вычислительной техники. Настоящий период характеризуется использованием в строительной механике вычислительных машин третьего поколения, обладающих развитой системой внешних устройств и высоким быстродействием.
Для компактности построения и общности результатов используется тензорный аппарат. Тензорное представление геометрических и механических характеристик исследуемых объектов в произвольных криволинейных координатах значительно расширяет круг задач,не увеличивая объема входной информации. При решении задач теории оболочек оказалось целесообразным совместное использование модификации метода конечных разностей [39] и аппарата тензорного анализа, позволяющего описывать в общем виде геометрию поверхности и оболочки. Такой подход, как отмечалось выше (глава 3, 3.1), допускает возможность выбора про- извольного очертания сетки, ее густоты и оказывается эффективным для описания оболочек сложной конфигурации. Срединная поверхность S исследуемой оболочки в декартовой системе координат ос , у , 2 описывается параметрическими уравнениями где х , х - криволинейные координаты на плоскости эскэ у . Считается, что функции (4.1) имеют производные по Xі , Xs до третьего порядка. Граничные линии срединной поверхности совпадают с координатными линиями, образуя криволинейный четырехугольник на поверхности S . Возмущение оболочки характеризуется внешним силовым воздействием. Поля напряжений и перемещений описываются соотношениями (2.13, 2.16, 2.20) теории призматических оболочек. В линейной постановке материал оболочки считается упругим. Коэффициенты первой и второй квадратичных форм вычисляются на основе уравнений недсформированной поверхности. Вследствие аппроксимации непрерывной граничной задачи дискретной конечно-разностной моделью дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, для решения которой используется компактная схема блочного метода Гаусса [93] . Процедура определения параметров 11,,,112,113 .характеризующих возмущенное состояние оболочки, представлена в виде функциональной схемы на рис.4.1.
