Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные уравнения статической нежнейной теории упругости 12
1.1. Основные понятия и соотношения, описывающие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды 12
1.2. Закон состояния нелинейно-упругого тела 16
1.3. Интегрирование разрешающей системы. Теория последовательных приближений 21
ГЛАВА 2. Построение нежнейной трёхмерной теории для решения задач о напряжённо-деформированном состоянии пластин 24
2.1. Постановка задачи. Получение разрешающей системы в комплексных координатах и её решение в первом приближении 24
2.2. Сведение решения трёхмерной задачи к решению двумерных краевых задач во втором приближении . 34
2.3. Удовлетворение граничным условиям на плоских гранях пластины во втором приближении 42
2.4. Вывод граничных условий для решения бигармони-ческого и метагармонических уравнений 56
2.5. Вывод основных соотношений для тонких пластин. 65
ГЛАВА 3. Нежнейная задача для пластинки с двумя круговыми упругими включениями 71
3.1. Постановка задачи. Представление комплексных потенциалов первых двух приближений . 71
3.2. Сведение решения задачи о напряжённом состоянии пластинки к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений 76
3.3. Исследование напряжённого состояния пластинки с двумя отверстиями, подкреплёнными упругими кольцами
3.4. Определение напряжённого состояния пластинки с двумя упругими ядрами
ГЛАВА 4. Двоякопериодическая задача для пластинки с круговыми отверстиями, подкреплёнными упругими кольцами 112
4.1. Постановка задачи. Общие соотношения для комплексных потенциалов 112
4.2. Получение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений 123
4.3. Влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки с упругими кольцами 133
4.4. Исследование напряжённого состояния пластинки, ослабленной периодической системой отверстий с упругими кольцами 148
Заключение 156
Литература 158
- Основные понятия и соотношения, описывающие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды
- Сведение решения трёхмерной задачи к решению двумерных краевых задач во втором приближении
- Сведение решения задачи о напряжённом состоянии пластинки к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
- Влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки с упругими кольцами
Введение к работе
В настоящее время возрос интерес учёных как в нашей стране, так и за рубежом к проблемам нелинейной теории упругости. Вызвано это, прежде всего, тем, что в различных отраслях техники, промышленности и строительства получили довольно широкое применение новые синтетические материалы на полимерной основе, имеющие довольно высокие пределы прочности, способные работать в сложных физико-химических условиях и испытывать большие деформации.
Быстро развивающемуся народному хозяйству требуется всё больше материальных ресурсов, и остро встаёт вопрос об экономном и рациональном их использовании. Поэтому важным требованием является оптимальное проектирование конструкций, и, следовательно, практика требует от науки теорий, способных более точно и полно учитывать реальные свойства материалов. Кроме того, само развитие науки всегда шло и идёт по пути обобщения и уточнения существующих теорий, отказа от тех или иных упрощающих предположений.
Линейная теория упругости, описывая поведение механических тел, основывается на следующих основных предположениях:
градиенты перемещений считаются настолько малыми, что их произведениями и квадратами можно пренебречь по сравнению с первыми степенями;
соотношения между напряжениями и деформациями выбираются линейными.
Многие материалы (цветные металлы, пластмассы, грунты, горше массивы) уже на упругой стадии своей работы не подчиняются закону Гука. Отказавшись от линейности соотношений между напряжениями и деформациями, но оставляя предположение о малости дефор-
маций, приходят к варианту физически нелинейной теории упругости.
При исследовании физически линейных материалов, имеющих высокие прочностные характеристики, значительный интерес представляют задачи о напряжённо-деформированном состоянии с учётом конечных деформаций. В этом случае приходят к геометрически нелинейным задачам.
Третий, более общий вариант нелинейной теории упругости рассматривает задачи в общей нелинейной постановке, то есть с учётом физической и геометрической нелинейности одновременно.
Первые исследования в области нелинейной теории упругости появились ещё в ХУШ веке. Это были работы Д.Вернулли и Эйлера [751 . Затем нелинейной теорией деформирования занимались А.Коши, Г.Грин, В.Сен-Венан, Г.Кирхгоф, В.Кельвин, Г.Гельмгольц, Г.Стоке, И.Фингер \>5l . Благодаря их исследованиям были заложены основы нелинейной теории упругости. Но развитие теории упругости в общей нелинейной постановке сдерживалось отсутствием технического приложения и соответствующего математического аппарата.
На качественно новую ступень в своём развитии поднимается нелинейная теория упругости в связи с появлением в 1937 году работы F.U.Mu'z.aaaKxj-o.cL tiOil, в которой он сформулировал основные соотношения нелинейной теории упругости с помощью тензорного аппарата и общих криволинейных координат. Это привело к обзорным соотношениям теории и компактным формулировкам многих проблем. Им же был построен закон деформирования теории упругости второго порядка .
Большой вклад в развитие основ нелинейной теории упругости внесли также работы итальянских механиков во главе с А.Синьорини. >атьи A.SLan.oLru- [104 ] и G-. G^i-oPi ti08l посвящены качественному
исследованию уравнений нелинейной теории и их решений.F.Stopettt. [1051 для случая, когда поверхностные и объёмные силы содержат в качестве множителя параметр _ , доказал теорему существования и единственности решения системы уравнений нелинейной теории упругости и показал, что это решение можно представить в виде абсолютно сходящегося степенного ряда по с ненулевым радиусом сходимости .
Первые публикации по нелинейной теории упругости в СССР от
носятся к тридцатым годам [24,67, 751 . Дальнейшему её развитию
в нашей стране способствовало появление публикаций по общим воп
росам теории [10, 25, А9,50,51,64,65,84, 85] . Эти рабо
ты, обсуждающие широкий круг вопросов, определили направление
отечественных исследований по нелинейной теории упругости.
Различные аспекты нелинейной теории упругости рассматривались в работах М.А.Бабаева и И.А.Цурпала [6] , И.И.Гольденблата [12Л , В.Г.Громова и Л.А.Толоконникова [17], А.Н.Гузя и Ю.Н.Немита [19] , А.Н.Гузя, Г.Н.Савина и И.А.Цурпала [201 , А.А.Ильюши-яа126], Я.Ф.Каюка[29], А.С.Космодамианского [44] , В.А.Ломакина [55] А.И.Лурье [57] , Б.Е.Победри[68] , Ю.Н.Работнова[72] , Г.Н.Савина[74], Г.С.Тарасьева и Л.А.Толоконникова [82] , Л.П.Хорошуна [89], И.А.Цурпала [90] , К.Ф.Черныха [92], Н.А.Шульги [94,95] і других.
Подробные обзоры работ по нелинейной теории упругости содержатся в статьях и монографиях А.А.Амандосова и И.3.Шаги-Султана -21 , С.А.Амбарцумяна [3] , К.З.Галимова [11] , А.Грина и Дж. Ідкинса [ 16] , Г.Дойла и Дж.Эриксена[23] , А.А.Ильюшина[26] , '.Каудерера [2.8І , В.В.Новожилова, Л.А.Толоконникова и К.Ф.Черныха :66] , Г.Н.Савина и Ю.И.Койфмана[75] , Л.И.Седова[79] , И.А.Цур-іала и Г.Г.Кулиева [91] .
Во многих ответственных элементах конструкций и при строительстве подземных сооружений часто нарушается сплошность среды -наличием пазов, смотровых щелей, тоннелей, отверстий, полостей. Это обусловлено конструктивными, технологическими, экономическими, эстетическими и другими потребностями. В непосредственной близости от различного рода отверстий возникают дополнительные напряжения, которые иногда в несколько раз превышают напряжения в сплошной среде. Поэтому проблема прочности при концентрации напряжений является чрезвычайно важной для решения задач инженерной практики.
При решении большинства задач указанного типа весьма плодотворными оказались методы, основанные на использовании аппарата теории функций комплексного переменного. Методы, разработанные Г.В.Колосовым[37] и Н.И.%схелишвили [581 , дали возможность рассматривать широкие классы задач и способствовали развитию исследований по концентрации напряжений. Обзор работ, относящихся к этому направлению, дан в статьях 143,761 и монографии [451 .
Основной целью проектирования конструктивных элементов с отверстиями является устранение концентрации напряжений около отверстий. Снижение концентрации возле отверстий достигается путём подкрепления их упругими элементами, которые, составляя небольшую по весу часть конструкции, существенно влияют на её прочность и жёсткость. В работах И.Г.Арамановича [5] , Д.В.Вайнберга[?] , А.С.Космодамианского [42] , Г.Н.Савина и В.И.Тульчия[77]и других в линейной постановке рассматривается класс задач об упругом равновесии таких пластинок.
В рамках варианта нелинейной теории упругости, предложенной А.Грином и Дж.Адкинсом [16] , были решены задачи о концентрации напряжений как возле свободных отверстий [36,47,741 , так и
возле подкреплённых абсолютно жёсткими кольцами [47] и тонким;, упругим стержнем [7ЛІ .
Следует отметить, что большинство расчётов на прочность многосвязных пластин основывается на введении гипотезы о двумерном напряжённо-деформированном состоянии. Такая постановка прием-
в лема в тех случаях, когда конструкция изготаливается с соответствующим запасом прочности. Повышение требований к экономичности и надёжности конструкций приводит к необходимости учёта пространственного характера их напряжённо-деформированного состояния. В последнее время появилось большое число работ, авторы которых подходят к решению задач с позиций трёхмерной теории упругости.
Существенным моментом в этих исследованиях явилось построение асимптотических методов [8] , Ll5] . И.И.Воровичем и его учениками на основании однородных решений А.И.Лурье был предложен вариант асимптотической теории для исследования напряжённо-деформированного состояния пластин средней толщины tl f 91 Дальнейшее развитие асимптотический метод И.И.Воровича получил в работах А.С.Космодамианского, В.Н.Ложкина и Ю.В.Мысовского при рассмотрении многосвязных пластин [5] .
Обзор работ по трёхмерным задачам помещён в статьях И.И.Воровича [8] , В.К.Прокопова t?i] , А.С.Космодамианского [43] .
В работах А.С.Космодамианского и М.Д.Гремалюка[46], З.И.Ко-сенко [Ъ8~[, Ю.Н.Немиша [61] излагаются методы решения пространственных задач теории упругости для пластин, изготовленных из физически нелинейного материала.
Построению теории изгиба пластин с учётом физической и геометрической нелинейности посвящены работы С.М.Клойзнера и А.С.Космодамианского [35] , Л.А.Толоконникова и Н.М.Матченко [88] -
Целью данной диссертационной работы является:
построение разрешающих уравнений и разработка метода решения трёхмерных задач о напряжённом состоянии многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно их срединной плоскости, в общей нелинейной постановке;
получение основных соотношений общей нелинейной теории упругости для решения двумерных граничных задач;
исследование влияния нелинейности (физической и геометрической) на распределение напряжений в многосвязных кусочно-однородных пластинках на основе решения ряда конкретных задач.
Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и содержит 112 страниц машинописного текста, 27 рисунков, 18 таблиц и библиографический список, включающий 108 наименований.
В первой главе приведены основные соотношения, характеризующие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды, закон состояния нелинейно-упругого тела. За основу принимается вариант общей нелинейной теории упругости, разработанный А.Грином, Дж. Дцкинсом [161 . Получена разрешающая система уравнений нелинейной теории упругости в перемещениях - квадратичный аналог уравнений Навье-Ламе. Разрешающая система представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений и интегрируется с помощью метода последовательных приближений. Этот метод позволяет свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, причём первое приближение представляет собой классическую линейную задачу. Во втором приближении решение задачи сводится к интегрированию неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Во второй главе построена общая нелинейная трёхмерная теория для многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно срединной плоскости. С помощью метода однородных решений задача
приводится к нахождению в каждом приближении бигармонической функции F и метагармонических функций В и ^к , являющихся решением уравнения Гельмгольца. При получении граничных условий для этих функций использована идея метода Бубнова-Галёркина. Здесь осуществлено требование ортогональности невязок, получаемых при подстановке в граничные условия однородных решений, к выбранной базисной системе функций. Это позволило получить граничные условия для определения искомых функций в виде бесконеч- -ной системы функциональных уравнений. Здесь же, исходя из трёхмерной нелинейной теории, в качестве частного случая получены соотношения для плоской задачи. В работах [16,7^1 эти соотношения получены иным путём.
Третья глава посвящена решению нелинейной задачи для пластинки с двумя круговыми упругими кольцами (ядрами). Задача сведена к решению в каждом приближении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов искомых комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Исследовано влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки в зависимости от вида загружения, соотношения жёстко-стей пластинки и включений, расстояний между отверстиями, а также толщины подкрепляющих колец.
В четвёртой главе в общей нелинейной постановке решена задача о напряжённом состоянии пластинки с двоякопериодической системой круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами. Как и в предыдущей главе задачи сводятся к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Проведены численные исследования влияния нелинейности на напряжённое состояние пластины в зависимости от физических и геометрических факторов. В качестве частного случая рассмотрена нелинейная задача для пластинки с пе-
риодической системой подкреплённых круговых отверстий.
Для численной реализации алгоритмов задач составлены комплексы программ на языках "АКД-Днепр-21" и "ФОРТРАН". Полученные результаты представлены в виде таблиц и графиков.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.
Основное содержание диссертации изложено в работах С31,32, 33,39, 40,4ІІ и апробировано на отчётных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета, г.Донецк, на объединённых семинарах кафедры теории упругости и вычислительной математики, кафедры теоретической и прикладной механики Донецкого государственного университета и отдела математических проблем упругости и пластичности Института прикладной математики и механики АН УССР, г.Донецк,на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений", г.Донецк (1983г.), на семинаре отдела электроупругости Института механики АН УССР, г.Киев (1984г.).
Диссертационная работа была выполнена при постоянном и внимательном отношении к ней моего учителя - А.С.Космодамианского, за что считаю своим приятным долгом выразить ему глубокую благодарность.
Основные понятия и соотношения, описывающие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды
Следует отметить, что большинство расчётов на прочность многосвязных пластин основывается на введении гипотезы о двумерном напряжённо-деформированном состоянии. Такая постановка прием в лема в тех случаях, когда конструкция изготаливается с соответствующим запасом прочности. Повышение требований к экономичности и надёжности конструкций приводит к необходимости учёта пространственного характера их напряжённо-деформированного состояния. В последнее время появилось большое число работ, авторы которых подходят к решению задач с позиций трёхмерной теории упругости.
Существенным моментом в этих исследованиях явилось построение асимптотических методов [8] , Ll5] . И.И.Воровичем и его учениками на основании однородных решений А.И.Лурье был предложен вариант асимптотической теории для исследования напряжённо-деформированного состояния пластин средней толщины tl f 91 Дальнейшее развитие асимптотический метод И.И.Воровича получил в работах А.С.Космодамианского, В.Н.Ложкина и Ю.В.Мысовского при рассмотрении многосвязных пластин [5] .
Обзор работ по трёхмерным задачам помещён в статьях И.И.Воровича [8] , В.К.Прокопова t?i] , А.С.Космодамианского [43] .
В работах А.С.Космодамианского и М.Д.Гремалюка[46], З.И.Ко-сенко [Ъ8 [, Ю.Н.Немиша [61] излагаются методы решения пространственных задач теории упругости для пластин, изготовленных из физически нелинейного материала.
Построению теории изгиба пластин с учётом физической и геометрической нелинейности посвящены работы С.М.Клойзнера и А.С.Космодамианского [35] , Л.А.Толоконникова и Н.М.Матченко [88] Целью данной диссертационной работы является: - построение разрешающих уравнений и разработка метода решения трёхмерных задач о напряжённом состоянии многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно их срединной плоскости, в общей нелинейной постановке; - получение основных соотношений общей нелинейной теории упругости для решения двумерных граничных задач; - исследование влияния нелинейности (физической и геометрической) на распределение напряжений в многосвязных кусочно-однородных пластинках на основе решения ряда конкретных задач. Работа состоит из введения, четырёх глав, заключения и содержит 112 страниц машинописного текста, 27 рисунков, 18 таблиц и библиографический список, включающий 108 наименований. В первой главе приведены основные соотношения, характеризующие напряжённо-деформированное состояние сплошной среды, закон состояния нелинейно-упругого тела. За основу принимается вариант общей нелинейной теории упругости, разработанный А.Грином, Дж. Дцкинсом [161 . Получена разрешающая система уравнений нелинейной теории упругости в перемещениях - квадратичный аналог уравнений Навье-Ламе. Разрешающая система представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений и интегрируется с помощью метода последовательных приближений. Этот метод позволяет свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, причём первое приближение представляет собой классическую линейную задачу. Во втором приближении решение задачи сводится к интегрированию неоднородной системы дифференциальных уравнений.
Во второй главе построена общая нелинейная трёхмерная теория для многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно срединной плоскости. С помощью метода однородных решений задача приводится к нахождению в каждом приближении бигармонической функции F и метагармонических функций В и к , являющихся решением уравнения Гельмгольца. При получении граничных условий для этих функций использована идея метода Бубнова-Галёркина. Здесь осуществлено требование ортогональности невязок, получаемых при подстановке в граничные условия однородных решений, к выбранной базисной системе функций. Это позволило получить граничные условия для определения искомых функций в виде бесконеч- -ной системы функциональных уравнений. Здесь же, исходя из трёхмерной нелинейной теории, в качестве частного случая получены соотношения для плоской задачи. В работах [16,7 1 эти соотношения получены иным путём.
Третья глава посвящена решению нелинейной задачи для пластинки с двумя круговыми упругими кольцами (ядрами). Задача сведена к решению в каждом приближении бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов искомых комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили. Исследовано влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки в зависимости от вида загружения, соотношения жёстко-стей пластинки и включений, расстояний между отверстиями, а также толщины подкрепляющих колец.
В четвёртой главе в общей нелинейной постановке решена задача о напряжённом состоянии пластинки с двоякопериодической системой круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами. Как и в предыдущей главе задачи сводятся к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Проведены численные исследования влияния нелинейности на напряжённое состояние пластины в зависимости от физических и геометрических факторов. В качестве частного случая рассмотрена нелинейная задача для пластинки с периодической системой подкреплённых круговых отверстий.
Для численной реализации алгоритмов задач составлены комплексы программ на языках "АКД-Днепр-21" и "ФОРТРАН". Полученные результаты представлены в виде таблиц и графиков.
Сведение решения трёхмерной задачи к решению двумерных краевых задач во втором приближении
Пунктирной линией на рисунках изображено распределение напряжений в линейной постановке, сплошной - распределение напряжений с учётом нелинейных эффектов второго порядка. Эпюры построены для случая, когда 6/R=l,5 , p/R =0,5 . Отношение интенсивности нагрузки к модулю сдвига пластинки взято равным 0,1.
В табл.1-6 приведены значения максимальных напряжений на контуре спая 1 для различных расстояний между отверстиями, разной ширины и жёсткости подкрепляющих колец во всех рассмотренных случаях загружения пластинки. Здесь для каждой точки приведено по два значения для напряжений. Первые значения характеризуют величины, найденные по линейной теории, а вторые дают поправку, вносимую нелинейной теорией. В линейной теории все значения приведены с точностью до интенсивности нагрузки, а поправки нелинейной теории - с точностью до квадрата интенсивности нагрузки, делённой на модуль сдвига пластинки. В случае одноосного напряжённого состояния для отношений модулей сдвига пластинки и колец JU-/JIL0=2 и JIL/JUO=0,5 приведены напряжения бе , являющиеся максимальными, а для ja/jao=0,02.- максимальные напряжения 6 . В случае внутреннего нормального давления для Д/і о 2. приведены напряжения бе , а для J11// ,, =0,5 и ju./jU-Q=0,02 _ напряжения б .
Как показал анализ численных результатов, в случае одноосного растяжения пластинки с упругими кольцами как вдоль, так и поперёк линии центров отверстий, учёт нелинейных эффектов второго порядка приводит к снижению концентрации напряжений в пластинке. При сближении отверстий и увеличении внутреннего радиуса колец учёт нелинейных эффектов приводит к более равномерному распределению напряжений во всех рассмотренных для данной нагрузки вариантах.
В случае действия на внутренних контурах колец равномерного нормального давления концентрация напряжений с учётом нелинейных поправок снижается при отношении модулей сдвига пластинки и колец JLL/JU. =2. и возрастает при отношении ju-/U-o=0,5 и -0,02. . При этом сближение отверстий и уменьшение толщины подкрепляющих колец приводит к уменьшению влияния нелинейных эффектов, когда JUL/AJLQ Z И к увеличению этого влияния, когда ja/ju. 0,5 и jU./ju_o=0,0 .
Полученные результаты свидетельствуют также о том, что для пластинки из полистирола с двумя упругими подкрепляющими кольцами большее влияние на концентрацию напряжений оказывают нелинейные эффекты второго порядка в случае одноосного растяжения, когда нелинейные поправки изменяют концентрацию напряжений на 15-25%. В случае внутреннего нормального давления, приложенного к внутренним контурам колец, эти поправки оказывают меньшее влияние и составляют 7-15% от значений напряжений, даваемых линейной теорией.
В случае, когда отверстия подкреплены упругими ядрами, решение задачи упрощается. Комплексные потенциалы, характеризующие напряжённое состояние ядра, впаянного в правое отверстие, должны быть голоморфны внутри единичного круга с центром в точке Ъ- , следовательно, их можно выбрать в виде
Заменяя в указанных уравнениях . и Ж0 на -1 , D на А , а постоянные к г, K Q, К , К ъ на кг , k2(J , k3, Кіо , получим две группы уравнений, которые нужно добавить к уравнениям (3.32) и (3.33). В полученной системе величины с "нуликами", стоящие в правой части отличаются от аналогичных величин системы (3.22)-(3.25) ввиду отличия представлений (3.10) и (3.31). Так как численные исследования проводились для линейно упругого ядра, то все эти величины нужно положить равными нулю и в первом, и во втором приближении.
В табл.7-9 даны значения напряжений для точек контура спая L. в зависимости от жёсткости подкрепляющих ядер и расстояний между ними в случае растяжения пластинки усилиями интенсивности р , направленными вдоль линии центров ядер. Здесь для каждой точки приведено по два значения, первое из которых соответствует линейной теории, а второе характеризует влияние нелинейных эффектов второго порядка. Так же, как и в 3.3Sпервое значение приводится с точностью до интенсивности нагрузки, а второе - с точностью до квадрата интенсивности нагрузки, делённой на модуль сдвига.
Сведение решения задачи о напряжённом состоянии пластинки к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений
Численные исследования были проведены в случае всестороннего растяжения пластинки усилиями интенсивностир , при одноосном её растяжении усилиями интенсивностио , направленными вдоль оси ординат, а также в случае, когда контуры подкрепляющих колец подвержены действию равномерного нормального давления интенсивности р .
Рассматривалась квадратная двоякопериодическая решётка, для которой основные периоды принимались равными oo1=t , со2=іЛ . При этом расстояние между центрами отверстий изменялось от 4R до ,2R . Вычисления проводились для пластинки из полистирола. Упругое кольцо, жёсткость которого варьировалась, считалось линейно-упругим. Внутренний радиус кольца р менялся от 0,OlR до 0,9R в случае растяжения пластинки на бесконечности и от 0,3R до 0,9R в случае действия внутреннего нормального давления.
На рис.13-21 приведены эпюры распределения максимальных напряжений по контуру спая L кольца основного отверстия для различных случаев загружения пластинки. При этом рис.13,16,19 дают представление о распределении напряжений в пластинке, изготовленной из более жёсткого материала по сравнению с материалом кольца (jLL/ja0=2 ).
Рис.14,17,20 характеризуют распределение максимальных напряжений в случае, когда кольца изготовлены из более жёсткого материала (JLL/JLL =0,5). Рис. 16,18,21 относятся к случаю подкрепления отверстий весьма жёсткими кольцами. На этих рисунках пунктирная линия соответствует линейной теории, а сплошная - нелинейной, при этом отношение интенсивности нагрузки к модулю сдвига равно 0,1.
Таблицы 13-18 устанавливают изменение максимальных напряжений в зависимости от расстояний между отверстиями и ширины подкрепляющих колец для рассмотренных загружений пластинки. При этом в случае растяжения пластинки для отношений /U-/jii0=2 и JLL/JU.0=0,5 приведены напряжения 0G , а дляJIL/AJL =0,02. - напряжения 0„ ; в случае действия внутренних усилий на контурах колец для отношений JU-//U- =2. приведены значения напряжений б
Влияние нелинейных эффектов второго порядка на напряжённое состояние пластинки с упругими кольцами
Как показал анализ численных результатов, в случае всестороннего растяжения пластинки, изготовленной из более жёсткого материала по сравнению с материалом кольца (ji-/ja0=2) учёт нелинейных эффектов второго порядка приводит к увеличению концентрации напряжений. Если же пластинка изготовлена из менее жёсткого материала (jU-/ju.o = 0,5 ), то учёт нелинейных эффектов приводит к зниженню максимальных напряжений. Сближение отверстий приводит в этих двух случаях к уменьшению влияния нелинейных эффектов на максимальные напряжения. В случае, когда подкрепляющие кольца являются весьма жёсткими (ju./jao=0,02), максимальные напряжения с учётом нелинейной поправки возрастают. При сближении отверстий и увеличении внутреннего радиуса колец нелинейные поправки увеличиваются. Уменьшение ширины колец в случаях менее жёсткого подкрепления приводит к уменьшению влияния нелинейных эффектов, когда U_/ru=0,5 и к увеличению их, когда J /j o" В случае одноосного растяжения учёт нелинейных эффектов второго порядка приводит к снижению концентрации напряжений в пластинке. При сближении отверстий и увеличении внутреннего радиуса колец учёт нелинейных эффектов приводит к более равномерному распределению напряжений во всех рассмотренных случаях.
В случае, когда внутренние контуры колец подвержены действию равномерного нормального давления, концентрация напряжений с учётом нелинейных эффектов снижается при отношении JU-/jm0 = 2. и возрастает, когда jU./jao=0,5 и JLL/JLL =0,02. При этом сближение отверстий и уменьшение толщины подкрепляющих колец приводит к уменьшению влияния нелинейных эффектов, когда пластинка жёстче кольца, и к увеличению этого влияния, когда кольцо жёстче пластинки.
Для отношения интенсивности нагрузки к модулю сдвига пластинки, равного 0,1, величина нелинейной поправки составляет: для всестороннего растяжения - 3-5$, для одноосного растяжения -5-22$, для внутреннего нормального давления - 10-20$. Следует отметить, что концентрация напряжений с учётом нелинейных эффектов второго порядка существенно зависит от величины внешней нагрузки.
Как частный случай двоякопериодической задачи была рассмотрена задача о напряжённом состоянии пластинки, ослабленной периодической системой отверстий, расположенных вдоль оси ОХ. В этом случае в выражении для Р=т.аь1+асс 2 с02 следует устремить к бесконечности. Практически, выбирая oC -iOR 9 с достаточной степенью точности получаем решение периодической задачи. На рис.22-27 представлены эпюры распределения максимальных напряжений в пластинке с бесконечным рядом подкреплённых круговых этверстий для различных случаев её загружения. При этом, когда пластинка изготовлена из более жёсткого материала приводятся напряжения Q , а в случае, когда кольца являются более жёсткими, -в напряжения 6 . Анализируя полученные численные результаты для периодической зистемы включений и сравнивая их с результатами, полученными для двоякопериодической системы включений, приходим к следующим выводам. Характер влияния нелинейных эффектов второго порядка на сонцентрацию напряжений в пластинке с периодической системой под-среплённых круговых отверстий такой же, как в случае двоякопериодической задачи. Величины нелинейных поправок изменяются. При всестороннем растяжении такой пластинки величины нелинейных поправок меняются незначительно. В случае одноосного напряжённого состояния величины нелинейных поправок увеличиваются на 8-12$ по сравнению с поправками, полученными в двоякопериодической задаче. Эти поправки приводят к более равномерному распределению напряжений в пластинке. Когда внутренние контуры колец периодической системы отверстий подвержены действию равномерного нормального давления, для пластинки, изготовленной из более жёсткого материала по сравнению с материалом колец, нелинейные поправки снижают максимальные напряжения на 15-25%. В случае подкрепления отверстий более жёсткими кольцами учёт нелинейных эффектов второго порядка приводит к увеличению значений максимальных напряжений на 15-2. Основные результаты приведенных в диссертации исследований сводятся к следующему: 1. Построены разрешающие уравнения статической нелинейной теории упругости в трёхмерной постановке в комплексных переменных. 2. Разработан метод решения трёхмерных задач нелинейной теории упругости для многосвязных пластин, загруженных симметрично относительно их срединной плоскости. 3. В виде частного случая трёхмерной задачи получены основные соотношения для решения двумерных граничных задач нелинейной теории упругости. 4. Решены новые задачи о напряжённом состоянии тонких многосвязных пластин с конечным и бесконечным числом круговых отверстий, подкреплённых упругими кольцами (ядрами) в нелинейной постановке . 5.Использованы эффективные методы, позволяющие свести решение плоской нелинейной задачи теории упругости для многосвязных областей к решению бесконечных систем алгебраических уравнений. 6. Для численной реализации задач разработаны алгоритмы и составлены комплексы программ для ЭВМ. Это дало возможность получить результаты с высокой степенью точности и детально исследовать влияние нелинейных эффектов второго порядка на концентрацию напряжений в пластинке с упругими включениями для различных случаев её загружения. При этом варьировалась жёсткость включений, расстояние между ними и ширина колец.
