Содержание к диссертации
Введение
1. Модели движения релятивистской магнитоактивиой плазмы в поле гравитационной волны 9
1.1 Уравнения релятивистской магнитной гидродинамики магнитоактивиой плазмы в гравитационном поле 9
1.2 Движение релятивистской магнитоактивиой плазмы в поле плоской гравитационной волны 13
1.3 Исследование локального отклика магнитоактивиой плазмы на сильную гравитационную волну 18
1.4 Анизотропные модели взаимодействия гравитационной волны с магнитоактивиой плазмой 25
1.4.1 Кинетическая модель взаимодействия гравитационной волны с анизотропной магнитоактивиой плазмой 26
1.4.2 Гидродинамическая модель взаимодействия гравитационной волны с анизотропной магнитоактивиой плазмой 41
2 Полностью самосогласованная модель магнитоактивной плазмы в плоскосимметричном гравитационном поле 47
2.1 Метрика плоско-симметрического гравитационного поля и геометрические объекты, связанные с ней 48
2.2 Алгебраические условия вмороженности магнитного поля в плазму и полностью самосогласованная модель магнитоактивиой плазмы 51
2.3 Точные стационарные решения для модели магнитоак-тивной плазмы 54
2.4 Получение линеаризованных уравнений Эйнштейна относительно точного стационарного решения с помощью пакета Maple 59
3. Самосогласованная по электромагнитному полю модель неоднородной магнитоактивной плазмы в плоскосимметричных гравитационно-волновых полях 63
3.1 Граничные условия 63
3.2 Исследование решения в слабой гравитационной волне 65
Заключение 71
Литература
- Движение релятивистской магнитоактивиой плазмы в поле плоской гравитационной волны
- Анизотропные модели взаимодействия гравитационной волны с магнитоактивиой плазмой
- Алгебраические условия вмороженности магнитного поля в плазму и полностью самосогласованная модель магнитоактивиой плазмы
- Исследование решения в слабой гравитационной волне
Введение к работе
Математические модели описания движения плазмы и плазмоподоб-ных сред в поле гравитационного излучения имеют важное значение как для самой теории гравитации, так и для экспериментальной гравитации. Дело в том, что практически любая материальная среда, представляющая рабочее тело гравитационного детектора, является плазмоподобной средой с высокой проводимостью и связанной с ней подвижностью электронов. Как известно (см., например, [27],[61]), для достаточно высокой эффективности детектирования гравитационных волн (ГВ), плазмоподобная среда должна содержать релятивистскую или близкую к релятивистской компоненту. Таким образом, с точки зрения гравитационного эксперимента, наибольший интерес представляют релятивистские плазмоподобные среды. С другой стороны, как показано в ряде работ (см., например, [И]), для достижения максимальной эффективности детектирования релятивистская плазмоподобная среда должна обладать высокой степенью анизотропии в плоскости фронта регистрируемой гравитационной волны. Сильные магнитные поля являются практически единственным инструментом создания сильной анизотропии в релятивистской плазме. Но в этом случае магнитное поле начинает "вмораживаться"в плазму вследствие ее высокой проводимости, т.е., при воздействии на плазму оно движется с плазмой как единое целое, которое и называется магнитоактивной плазмой. Таким образом, очевидна необходимость построения математической модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле ГВ. Существенными особенностями такой модели являются ее самосогласованность и нелинейность. Первая особенность является органической чертой самой плазмы, а вторая особенностью гравитационного взаимодействия. Задачей данной работы является построе-
ниє самосогласованной математической модели движения релятивистской магнитоактивной плазмы в поле плоской гравитационной волны (ПГВ). Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и четырех приложений.
Движение релятивистской магнитоактивиой плазмы в поле плоской гравитационной волны
Метрика плоской гравитационной волны с поляризацией е+ описывается выражением [95]: ds2 = 2dudv - L2\e2\dx2)2 + e-W{da?)\ (1.29) где /?(и)-произвольная функция (амплитуда плоской гравитационной волны), функция L(u) (фоновый фактор плоской гравитационной волны) подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка; и = 4-( — х1) - запаздывающее, v = -j?(t + х1) -опережающее время. Абсолютному будущему соответствует область Т+ : {и 0;v 0}, абсолютному прошлому - Т : {и 0;v 0}. Метрика (1.29) допускает группу движений Q$, которой соответствует три линейно независимых вектора Киллинга: ? =«, Є=4 C=sl (1.30) (1) (2) (3) Пусть при и 0 гравитационная волна отсутствует, т.е., J0(«W= Д«)« о = 1, (1-31) плазма однородна и покоится: «lUo = vUo = v2 = vz = 0, u 0 = єо, Р\и 0 = Ро, (1-32) а однородное магнитное поле направлено в плоскости {х1,х2}: Нци о = Ho cos fi, Я2и 0 = #о sin fi, - зи о = 0, Д-и о = 0 (1.33) где О, - угол между осью 0х1 (направлением распространения плоской гравитационной волны) и направлением магнитного поля Н. Условиям (1.33) соответствует векторный потенциал: Av = Аи = А2 = 0, Лз = sin ft-z2 cos ft), (u O). (1.34)
В [61] показано, что решение уравнений магнитной гидродинамики в метрике (1.29) с начальными условиями (1.31) - (1.34) при є ф. О строго стационарно, т.е., все наблюдаемые величины являются лишь функциями запаздывающего времени и. Поэтому требуется, чтобы решение задачи наследовало симметрию метрики (1.29): Р = 0, (а =1,2,3) (1.35) для всех наблюдаемых величин Р (С - производная Ли по направле-нию ): р = р(и), є = є{и), у1 = у1(и), (1.36) Fik = Fik{u). (1.37) Кроме этого в [И] были получены следующие следствия: L2Fuv=-F23 = H0cosn, L2Fu2=Fv3 = - =HQsmQ, V2 L2 FuZ= -Fv2 = 0, (1.38) L2 FvZ= Fu2 = V2FUV cot ft, (1.39) Vй = . vv, (1.40 #o sin ft —j=Hovu sin ft + Fu3vv - Щу2 COS ft = 0. (1-41) v2 Следствием второй группы уравнений Максвелла является, как известно, закон сохранения тока. Исходя из этого в [И] было получено следующее: Fv = Fu2 = 0, (1.42) v3 = 0. (1.43) Первая группа уравнений Максвелла эквивалентна условию существования векторного потенциала Af. Fik = діАк - дкА{. (1.44) С учетом этого в [И] условие вмороженности принимает вид: —=(vviJ; -vu)smQ + v2cosQ = 0, (1-45) V2 где ф(и) - произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяющая начальному условию: Ф\и 0 = « (1.46) (1.47) (1.48) (1.49) (1.50)
Используя законы сохранения полного тензора энергии-импульса плазмы, условие наличия трех линейно независимых векторов Кил-линга и соотношение нормировки вектора скорости в [И] были определены все неизвестные функции, удовлетворяющие начальным условиям (1.32),(1.33): Д(«), 1С 2Щє + р) — = \/2(Д-1 - 1) соШ, где: A(u)DJl-a2(e2P-l), а а - безразмерный параметр, определяемый выражением: , Я? sin2 Q а1 = и 4тг(е0+Ро) Из следствий уравнений Максвелла найдем интеграл: л/їі Ш = ехр є de є + р{є) (1.51) Ъ L о
Таким образом, если задано уравнение состояния р = р(є), то с помощью (1.47), (1.48), (1.51) определяются функции vv(u),V2(u),s(u),p(u). Для определения vu(u) необходимо найти функцию ф(и), для чего необходим еще один интеграл, который легко получить из соотношения нормировки [11]: 2. /.. ___о , .. _:_гл 0+Р0 L vv(vvcosQ + —j=V2smQ.) = —. г-cosQ. (1.52) Отсюда нетрудно найти: Я2 = L І ; Используя которое получаем:
В [11] показано, что решение уравнений магнитной гидродинамики на фоне плоской гравитационной волны содержит физическую сингулярность на гиперповерхностях и = и :
Анизотропные модели взаимодействия гравитационной волны с магнитоактивиой плазмой
Примем система единиц, в которых: (с = G = h = 1). Бесстолкнови-телыюе кинетическое уравнение для 8-ми мерной функции распределения заряженных частиц сорта a, Fa(x\Vi) имеет вид [65]: dFadHa дКдНа_ [ а] = Ж + адя? ( 106) где Vi=Pi + eaAi (1.107) - обобщенный импульс частицы, а %.( . ї) = \f (Ъ - aAi) (Vj - eaAj) (1.108) - функция Гамильтона заряженной частицы.
Процедура получения уравнений дрейфового приближения на основе бесстолкновительных кинетических уравнений (1.106) была разработана в [29]. Согласно [65], трансформируем эту процедуру на случай первоначально анизотропного распределения. Заметим также, что в случае О, ф 7г/2 результаты [29] неправильны, так как используют в качестве интеграла движения Тъ, который является интегралом лишь в случае Q = 7г/2. Об этом говорилось в цитированной выше работе [и]. Рассмотрим случай, когда гравитационная волна распространяется перпендикулярно направлению магнитного поля О, = 7г/2 и будем искать решения кинетического уравнения, не зависящие от переменных v, х2, xz. В соответствие с [29] введем единичный времениподобный вектор Vх: « V2 = V3 = 0 , "» = Vf- = Va (L109) и преобразуем кинетические уравнения в систему отсчета, движущуюся со скоростью Vх: Vv = vu{V4 + Vi) Vu = vv{V4-Vi). (1.110) Якобиан этого преобразования равен единице: v J і 4Н=і- (1-и!) В результате получим уравнение: dFa VviVi + Vi) ди r, s( dFa „ dFa\ еН„ dFa \ [(А- УЯ + (В"1) !] «W ( + Щ) = 0, (1.112) где: 2 є2? ф Н2 = --duA3dvAz = НІф Є— (1.113) инвариант электромагнитного поля (квадрат напряженности магнитного поля в системе отсчета, движущейся со скоростью Vі). На фронте плоской гравитационной волны решение (1.112) должно удовлетворять начальному условию, соответствующему однородной анизотропной бестоковой плазме: Fa(x\Vi)\u = fa(pl,pl)S(Ha - l-m2a), (1.114) где fa - произвольная функция своих аргументов и введены обозначения: р\ = р\ + р\, Р\\ = -Р2 (1.115) Кинетическое уравнение (1.112) имеет 3 точных интеграла: Ua{x\ Vi) = 2Ша = COnst і ?2 = const, Vz = const. (1.116) Для полного решения задачи необходим еще один независимый интеграл. Дрейфовое приближение кщ Будем решать это уравнение в дрейфовом приближении, когда лар моровская частота каждого сорта заряженных частиц: Ua = — (1.117) та гораздо больше характерной частоты, а;, гравитационной волны: А = 1. (1.118) В нулевом порядке по параметру Л (1.112) принимает вид: Hwr0 (L119) Л « т.е., в дрейфовом приближении Fa не зависит явно от V\. Таким образом, в дрейфовом приближении кроме указанных точных интегралов кинетическое уравнение имеет еще дрейфовые (приближенные) интегралы [29]: VA « const, и « const. (1.120)
Соответствующее дрейфовому приближению решение кинетического уравнения, переходящее в отсутствие гравитационной волны в анизотропное и бестоковое, можно записать в виде: Fa = fa (Vi - Vl Vl и) 8(Ha - \ml), (1.121) где fa - произвольная функция своих аргументов. В частности, можно выбрать: fa =1 [tfCPl - П - а) + VP ] (L122) где /1(м), /i±(u) - произвольные функции своих аргументов. Таким образом, в системе отсчета (1.110), движущейся со скоростью vl, дрейфовое решение локально совпадает с невозмущенным распределением (1.114).
Подставляя найденную функцию распределения нулевого дрейфового приближения (1.121) в кинетическое уравнение (1.112), легко получить поправку первого дрейфового приближения, 8Fa Л-1, к функции распределения, определенную с точностью до аддитивного члена, являющегося произвольной функцией указанных дрейфовых интегралов (см. [29]). Однако, точным следствиями бесстолкновитель-ного кинетического уравнения (1.112) являются законы сохранения числа каждого сорта частиц и полного тензора энергии - импульса плазмы и электромагнитного поля [66]. Эти законы налагают определенные ограничения на указанный аддитивный член и приводят к дифференциальным уравнениям на функции Ц\\{и) и fi±(u).
Вследствие свойств симметрии оказывается, что поправка первого порядка к функции распределения дает вклад лишь в компоненту щ вектора плотности потока числа частиц и компоненты Т"3 и Т„3 тензора энергии-импульса частиц. Однако, компонента щ(и, v) не влияет на уравнение непрерывности, в уравнение же переноса полного тензора энергии-импульса для компоненты і = 3 входят лишь указанные две компоненты тензора энергии-импульса частиц; которые не входят в остальные уравнения переноса. С другой стороны дрейфовый ток, определяемый первой поправкой к функции распределения, можно получить как следствие законов сохранения энергии-импульса и уравнений Максвелла, не прибегая к решению кинетического уравнения (см. [11]). В результате оказывается, что система уравнений переноса и уравнений Максвелла распадается на две подсистемы, из которой одна, определяемая функцией нулевого дрейфового приближения, является автономной и замкнутой и полностью определяет функции ф(и), f-i\\{u), /i±(u). Поправка первого дрейфового приближения к функции распределения не влияет на уравнения магнитной гидродинамики.
Алгебраическая структура моментов функции распределения Возвращаясь в исходную систему отсчета с помощью (1.110), введем проекции вектора импульса:
Алгебраические условия вмороженности магнитного поля в плазму и полностью самосогласованная модель магнитоактивиой плазмы
Нетрудно убедиться в том, что тензор Максвелла, определяемый указанным векторным потенциалом, автоматически удовлетворяет соотношениям (1.133), а вектор скорости (1.109) — условиям вморо-женности (1.136). Поэтому вследствие законов сохранения тензора энергии-импульса (1.135), которые является точным следствием кинетических уравнений, в нашем случае также должны выполняться соотношения (1.137) - (1.140). Изотропный вектор Киллинга дает один точный интеграл уравнений (1.135): L2T% = const. (1.141) Таким образом, с учетом (1.109) и (1.128) а также начальных условий получим из (1.141): L\e + PJ = ф (е + Р±)А(и). (1.142) где введена так называемая управляющая функция GMS W (см. [11]): А(и) = 1 - а2(е2/? - 1) (1Л43) и безразмерный параметр GMSW: 4тг(є + pL) Далее можно показать, что следствие (1.140) превращается в тождество, а (1.139) дает: е + (1пЯ)/(Р-Р1)-і 1іі (5 + = 0. (1.145)
Других независимых соотношений уравнения сохранения тензора энергии-импульса и уравнения Максвелла не дают. Недостающие уравнения получаются из законов сохранения числа частиц, которые также является точным следствием кинетических уравнении: n\i = L 2 (L2nvv) = 0 = na(u)L2 = у/ф na . (1.146) Таким образом, получаем систему уравнений (1.142), (1.145), (1.146) для определения трех неизвестных скалярных функций: ф, /ІЦ, /xj_.
Необходимо лишь получить явные выражения скаляров: п, є, Р\\, Р± через указанные (1 + 2п) скаляров, где п - число сортов частиц.
Заметим, что в плазме имеется, по крайней мере, два сорта заря женных частиц (в интересующем нас случае это электроны и протоны). Таким образом, имеется два сорта скаляров /ІЦ и /і±, каждую пару которых связывает один закон сохранения числа частиц данного сорта (1.146). В уравнения же (1.142), (1.145) входят суммарные компоненты давления и плотность энергии. Вследствие изначальной электронейтральности плазмы и (1.146) получаем соотношение между локальными концентрациями электронов и протонов [29]: пе(и) = пр(и). (1.147)
Вычисление моментов функции распределения Для вычисления указанных скалярных функций нужно вычислить моменты функции распределения (1.126). Проще всего это сделать, воспользовавшись формулами (1.127), (1.128) в сопутствующей системе отсчета согласно формулам (1.110), используя свойство (1.111) этого преобразования и вводя сферические координаты в пространстве
Заметим, что все приведенные выражения (1,153) - (1,155) имеют конечные пределы при р% — ц\ = 0. Из (1.153) - (1.155) можно получить следствие:
Заметим также, что в случае щ\ ц± логарифмические функции в найденных моментах необходимо заменить на функции arcsin.
Плотность энергии и давление ультрарелятивистской плазмы
Известные модели магнитосфер пульсаров (см., например, [21]) приводят к очень высоким значениям кинетической энергии электронов и протонов (до 1018ev). Таким образом, гравимагнитная ударная волна, по - видимому, всегда реализуется в ультрарелятивистской плазме.
В ультрарелятивистской плазме масса покоя частиц не влияет на макроскопические моменты в дрейфовом приближении, поэтому можно полагать: Тогда нетрудно убедиться, что уравнения (1.142) и (1.152) имеют одинаковые решения: л3 = Vf- (1-166) Этот факт имеет принципиальную важность, так как он обеспечивает микроскопическое обоснование уравнений релятивистской магнитной гидродинамики [11]. Действительно, если бы уравнения (1.142) и (1.152) имели независимые следствия, это означало бы, что изначальная изотропия бесстолкновительной плазмы нарушается гравитационной волной, т.е., уравнения релятивистской магнитной гидродинамики были бы непригодны для описания бесстолкновительной плазмы.
Подставляя (1.166) в уравнение (1.145), получим известные решения [И] для изотропной ультрарелятивистской плазмы:
Исследование решения в слабой гравитационной волне
Поведение магнитного поля соответствующее решению (3.23) представлено на рис.3.1:
Для проверки применимости линейного приближения, подставляя найденное решение в правую часть уравнения (3.18), получим: дтг + рд„г = Ф(и,у), (3.24) Л «о где Ф(и, v) представляет собой очень громоздкое выражение. Нетрудно, однако, видеть, что подкоренное выражение —duZodvZo может становится отрицательным на некоторой поверхности S(u, v) (анализ выражения показывает, что именно 6UZQ меняет знак). Это означает, что вблизи данной поверхности линейное решение уравнения (3.23) становится непригодным. Полагая, что амплитуда гравитационной волны /3 всюду мала: 0(и) « 1 (3.25) и разлагая подкоренное выражение в правой части уравнения (3.24) в ряд по малости /3, получим уравнение этой поверхности: E(«,v): (v-u)P + P+l = 0. (3.26) Отсюда видно, что эта поверхность находится при достаточно больших значениях переменной (v — и) = 2х, т.е. далеко от границы: 1 (3.27) $ф} \v — и\t где 0Q - амплитуда гравитационной волны, а ш - ее частота. Вблизи же поверхности (w,v) : 1+ /?{«-«) -а«1, (3.28) откуда, положив 0{и) — /Зо(1 — coswu), получим уравнение поверхности T,(u,v), разрешенное в явном виде относительно запаздывающего времени:
Области, в которых выполняется соотношение (3.29), представляют собой узкие параболы, вершины которых практически плоские и лежат вблизи прямой и — v + а {а — const). Качественное поведение изображено на рис.3.2:
Области нарушения линейного приближения урамиепия (3.22) Детальное изображение вершины одной из парабол показано на рис.3.3: 10.74 V 10.6 і 10.600018 у 10.600046 Рис. 3.3: График зависимости v(u) внутри одной из областей, показанных на рис.3.2 Вдали же от этой поверхности уравнение (3.24) интегрируется, и мы получаем поправку первого порядка: пи Zl = (v- и) е Р( + 2 / С cosh(/3(w)) du, (3.30) Jo где ги С= / Ф{и)е?{и) du. (3.31) Jo
Поскольку найти аналитическое решение уравнения (3.18) не удается, а прямое применение численных методов сталкивается со значительными трудностями, связанными с большими значениями производных вблизи особых точек, то для численного решения уравнения (3.18) применяем метод симметричного отражения, аппроксимируя поведение решения вблизи особой точки симметричной параболой.
В Приложении 4 приведена программа для практической реализации этого метода в пакете символьной математики Maple 8.
Сравнивая полученное численное решение уравнения (3.18) вблизи особых точек с аналитическим решением (3.23) уравнения (3.22), приходим к выводу о том, что, несмотря на указанные выше трудности, эти решения практически совпадают. Графическая иллюстрация приведена на рис.3.4 и рис.3.5:
Сравнение численного (точки) и аналитического решения (плоскость - вид сбоку) внутри области, показанной на рис.3.2. На трехмерном графике вдоль осей координат отложены: в горизонтальной плоскости - delta_u=u-10.60003205, delta_v=v-10.6100320505329; вдоль вертикальной оси - Z(u,v). «(« lojdMalil) ч5 - 1 -v logldtllo.v) Рис. 3.5: Сравнение численного и аналитического решения внутри области, показанной на рис.3.2 в логарифмическом масштабе.
На рис.3.6 показана качественная картина поведения квадрата напряженности магнитного поля вблизи особой точки. Рис. 3.6: Зависимость напряженности магнитного поля от запаздывающего времени, рассчитанная относительно решения (3.23)
В итоге учет нелинейности уравнения (3.18) вблизи особых1 точек сводится, в основном, к обрезанию нижней области (Я2 0) графика на рис.3.1 и образованию плато функции Я2 вблизи нуля. Аналогичное поведение магнитоактивной плазмы в нелинейной области было установлено также в работе [18].
Заметим, что в слабой гравитационной волне (/3 «С 1) выполняется условие dvZo « 1, с учетом которого уравнение (3.18) можно привести к виду квазилинейного уравнения первого порядка в частных производных: ди р Р 3/2 + 4a2dv p = , (3.32) где ip = -duZ. Нетрудно получить формальное общее решение этого уравнения, однако поскольку не удается найти это решение в явном виде, постольку не удается определить и функцию Z(u,v), удовлетворяющую указанным начальным и граничным условиям.
