Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи
1.1. Объект моделирования 12
1.2. Математическая постановка задачи 13
1.3. Единицы измерения 17
1.4. Консервативная форма уравнений 19
1.4. Система координат 21
Глава 2. Квазиодномерное приближение
2.1. Постановка задачи 24
2.2. Классификация течений 28
2.3. Первые интегралы 30
2.4. Свойства течений 35
2.5. Зависимость от параметров 47
Глава 3. Численный метод решения задачи
3.1. Разностная схема 52
3.2. Метод расчета 56
Глава 4. Результаты двумерных расчетов
4.1. Докритические течения 71
4.2. Закритические течения 76
4.3. Зависимость от параметров 84
4.4. Компрессионные течения 88
Заключение 94
Список литературы
Введение к работе
Численные исследования течений плазмы относятся к новой области фундаментальной науки - вычислительной плазмодинамике, которая включает в себя постановки задач, математические модели, вычислительные методы и алгоритмы, связанные с анализом сложных явлений физики плазмы.
Актуальность работ в данной области обусловлена множеством приложений физики плазмы к решению современных научно-технических проблем. Вычислительные модели плазменных явлений играют в них существенную роль, т.к. повышают качество и сокращают трудоемкость теоретических исследований, позволяют экономить на проведении дорогостоящих физических экспериментов, а в ряде случаев являются единственным источником информации.
Обширной областью применения вычислительной плазмодинамики являются проблемы управляемого термоядерного синтеза, в частности, задачи магнитного удержания горячей плазмы. Одной из основных является задача о Z-пинче. Пинч имеет форму плазменного шнура, располагающегося между двумя электродами, ток в котором создает азимутальное магнитное поле, призванное сжимать и удерживать плазму [1-6]. Исследованию Z-пинча посвящена одна из первых в мире работ по расчетам МГД-течений плазмы [1].
Развитием идеи пинча стали замкнутые тороидальные установки, в которых присутствует тот же шнур, но изогнутый в тор, и нет прямого контакта плазмы с электродами. Хорошо изученные неустойчивости пинча [7-11] преодолеваются усложнением структуры магнитного поля с помощью дополнительных токов, окружающих тор. Наиболее широко известными тороидальными установками являются токамак и стелларатор [7, 12] - в первом из них электрический ток протекает в основном по плазме,
вследствие чего основная роль отводится собственному магнитному полю, а во втором - поле главным образом определяется внешними проводниками. Следует упомянуть также представляющие существенный интерес магнитные ловушки "Галатеи", разработка и исследование которых продолжается в настоящее время. Они предложены А.И. Морозовым [13-15] и характеризуются тем, что токонесущие проводники погружены в плазменный объем. Вследствие этого расширяется множество геометрических конфигураций магнитного поля, и повышаются параметры удержания.
В исследовании магнитных ловушек выделяется две стадии: стадия изучения процессов формирования равновесной конфигурации течения плазмы и стадия рассмотрения ее геометрических и физических свойств в условиях равновесия. Первая из них относится к вычислительной плазмодинамике и представлена, в основном, двумерными задачами о течении плазмы как в поперечном собственном магнитном поле, так и в плоскости поля (собственного и внешнего) [16-18]. Задачи о равновесии плазмы образуют другую область исследований - вычислительную плазмостатику [17, 19,20].
Вычислительная плазмодинамика применяется также в решении задач астрофизики (например, [21, 22]). В них математическое моделирование играет особенно важную роль, т.к. часто является основным источником данных.
Важное и объемное направление работ в вычислительной плазмодинамике связано с разработкой и исследованием плазменных ускорителей. В их основе лежит идея ускорения плазмы собственным азимутальным магнитным полем, которая принадлежит А.И. Морозову [23-28]. Она основана на принципе электромотора, где вместо системы жестких проводников ускоряется сплошная электропроводящая среда. Первоначально плазменные ускорители были ориентированы на применение в качестве
электрореактивных двигателей [24]. Впоследствии эти разработки привели к созданию так называемого квазистационарного сильноточного плазменного ускорителя (КСПУ) большой мощности с рекордными параметрами ускорения [25, 28-32]. Скорость вытекающей плазменной струи из канала может существенно превосходить скорости, достигаемые в газодинамических соплах, поскольку в кинетическую энергию здесь переходит не только тепловая, но и электрическая энергия.
Большое практическое значение плазменных ускорителей стимулировало многочисленные исследования течений плазмы в каналах, включая работы по математическому моделированию [28, 33-36]. Среди них следует выделить работы, моделирующие эффект Холла [37-41], в которых, в частности, установлено, что, если позволить плазме протекать сквозь электроды, то можно влиять на направление электрического тока в канале и, тем самым, обеспечивать его радиальное направление. Важным результатом исследований стало открытие явления компрессии в канале, в котором внутренний электрод короче внешнего [42-45]. Оно состоит в том, что за срезом внутреннего электрода вдоль оси системы образуется область сильно сжатой и нагретой плазмы с параметрами, значительно превышающими аналогичные характеристики втекающей плазмы. Это явление легло в основу создания магнито-плазменного компрессора (разновидности плазменных ускорителей).
В указанных выше работах рассматриваются, в основном, течения плазмы в собственном поперечном магнитном поле. Задачи развития теории плазменных ускорителей, их совершенствования и расширения области применения требуют исследования течений плазмы в присутствии внешнего продольного поля. Этому посвящена данная работа.
Основная цель работы - разработка математической модели и исследование течения плазмы в каналах с продольным магнитным полем.
В работе применяются аналитические и численные методы математического моделирования.
Математические модели течений плазмы строятся, в основном, на языке механики сплошной среды. Это объясняется тем, что объектом исследований является достаточно плотная горячая плазма. Основной аппарат моделирования течений плазмы - численное решение уравнений магнитной газодинамики (МГД). Конструкции плазменных установок и их элементов во многих случаях обладают симметрией (или допускают симметрию в некотором приближении), что позволяет ограничиться двумерными задачами. Процессы в канале ускорителя можно считать стационарными (не зависящими от времени), поскольку характерное "пролетное" время в канале во много раз меньше длительности разряда современных источников электропитания. Однако, непосредственное решение стационарных задач о трансзвуковых течениях, которые представляют основной интерес, связано с проблемами уравнений смешанного типа, ибо система стационарных уравнений МГД превращается из эллиптической в гиперболическую при переходе скорости среды через местную скорость быстрого магнитного звука (аналогичная ситуация - в газодинамике, [46]) По этой причине расчеты ведутся, как правило, в нестационарной модели, а стационарный режим образуется в процессе установления.
Численные методы решения МГД-задач наследуют опыт и традиции, накопленные в вычислительной гидро-, газо- и аэродинамике, развивают и дополняют их (обзор в [46]). В указанных работах предпочтение отдано явным разностным схемам ввиду их экономичности, логической простоты и возможности выполнения параллельных вычислений в многопроцессорных системах [17]. В ранних работах [35] простейшая схема типа "крест" с разностями "навстречу потоку" позволила исследовать основные свойства гладких течений в каналах. В дальнейшем, естественно, стали применяться
методы более высокого порядка точности с большим разрешением на разрывах. В таких методах используются консервативные разностные схемы. В основе многих из них лежит идея С.К. Годунова о сохранении монотонности решения при переходе с каждого слоя по времени на следующий [47]. Известны схемы Хартена, которые достигают второго порядка точности за счет нелинейных поправок и заменяют требование монотонности более слабым - требованием невозрастания полной вариации решения (TVD или TVNI) [48]. Гиперболическая система уравнений приводится в них к диагональному виду в каждой точке (что, заметим, при общем виде уравнений МГД, является излишне громоздкой техникой). В двумерных МГД-задачах с поперечным магнитным полем схема Хартена реализована в работе [49]. Имеется опыт ее применения в трехмерной задаче [50].
Более экономичны разностные схемы с коррекцией потоков (FCT) [51-54]. Немонотонность решения, связанная со стремлением повысить точность, компенсируется в них относительно простым нелинейным механизмом ограничения той же полной вариации. Сравнительный анализ методов TVD и FCT в решении осесиммтричной МГД задачи приведен в [55], а расчеты течений методом FCT - в [33].
Указанные методы разработаны, исследованы и проверены их создателями на примерах одномерных задач, где убедительно показаны их достоинства. Однако, чтобы применить их в дву- и более многомерных задачах, приходится вводить "расщепление" по направлениям, т.е. разбивать расчет каждого следующего слоя по времени на серии одномерных - по каждой из пространственных координат. Это снижает упомянутые достоинства схем и ограничивает возможности эффективного распараллеливания алгоритма. Отсюда возникает интерес к "полностью многомерным" явным разностным схемам, которые позволяют избежать расщепления по направлениям. Здесь следует упомянуть метод свободных
точек [3], созданный В.Ф. Дьяченко для решения двумерной МГД-задачи. Ввиду логической сложности он не получил широкого распространения, но в работе [5] был воспроизведен в решении той же задачи и сопоставлен с двумя более современными - поточно-векторным расщеплением (FVS) [56] и кусочно-параболическим методом (РРМ) [57] в эйлеровых координатах. Заметим, что оба они опираются на идею монотонности и поэтому могут быть отнесены к схемам годуновского типа. Схема С.К. Годунова [47] автоматически обобщается до полностью многомерной, если задачу о распаде произвольного разрыва решить на каждой грани расчетной ячейки. Для МГД-уравнений нельзя указать эффективный алгоритм ее решения, поэтому здесь схема, вообще говоря, неприменима. Однако, в простейшем случае поперечного магнитного поля в [77] найден способ приближенного решения задачи о распаде МГД-разрыва при двух частных показателях адиабаты.
В данной работе применяется метод численного моделирования, основанный на разностном алгоритме Залесака [58], который, с одной стороны, сохраняет относительно простую логику метода FCT, а с другой, в отличие от него, является полностью многомерным.
Основная задача работы - исследование влияния внешнего продольного поля на течение плазмы. Некоторые вопросы на эту тему поставлены и обсуждены в обзоре [59], где, в частности, обращено внимание на существование двух принципиально различных видов течений: докритических, в которых альфвеновская скорость, соответствующая продольному полю, меньше скорости плазмы, и закритических - с противоположным неравенством. Особенности стационарного течения в приэлектродной зоне с частичным протеканием плазмы через поверхности анода и катода исследованы А.Н. Козловым в МГД-модели с учетом эффекта Холла в приближении плавного канала [41]. В его же статье [60] рассмотрены отдельные аспекты влияния продольного поля на течение
плазмы при небольшой величине поля и сильном разрядном токе (с учетом конечной проводимости).
Кратко, содержание работы следующее.
В первой главе работы определяется постановка двумерной МГД-задачи о течении плазмы в канале плазменного ускорителя с продольным магнитным полем. Приводится система МГД-уравнений, описывающая течение плотной горячей плазмы, в общем случае, с конечной проводимостью. Определяются область решения, граничные и начальные условия. Выбираются единицы измерения физических величин, описывающих процесс, определяются параметры задачи и их физический смысл.
Во второй главе представлено аналитическое решение задачи в квазиодномерном приближении. Выводится система МГД-уравнений, путем преобразования двумерных уравнений к квазиодномерному виду. Проводится анализ качественных закономерностей и классификация стационарных течений. Излагается метод аналитического решения задачи. Полученные решения, соответствующие возможным типам течений, приводятся в виде графиков основных физических величин, указываются их особенности и отличия.
Третья глава содержит обоснование и описание метода численного решения двумерной МГД-задачи в криволинейных координатах. Излагаются этапы метода, основанного на двумерной разностной схеме Залесака. Рассматриваются вопросы согласования разностных дифференциальных операторов.
В четвертой главе анализируются результаты расчетов двумерных МГД-течений во внешнем продольном магнитном поле и их связь с решениями в квазиодномерном приближении. Исследуется зависимость свойств течений от величины внешнего магнитного поля и разрядного тока, рассматриваются основные закономерности. Приводятся результаты
численного исследования влияния продольного магнитного поля на компрессионные течения плазмы в канале с укороченным центральным электродом.
В работе получены следующие основные результаты.
Разработана двумерная осесимметричная МГД-модель течения плазмы в каналах в присутствии внешнего продольного магнитного поля.
Сформулирована и аналитически решена в квазиодномерном (гидравлическом) приближении МГД-задача о течении плазмы в каналах с продольным магнитным полем. Проведена классификация стационарных течений, где выделены докритические и закритические течения (по отношению скорости плазмы к продольной альфвеновской скорости), дозвуковые, сверхзвуковые и трансзвуковые (по отношению скорости к быстрой и медленной скоростям магнитного звука). Установлены основные свойства и особенности течений выделенных типов. Показано, что закритические течения качественно отличаются от докритических перераспределением энергий (кинетической, тепловой и магнитной).
Разработан и реализован полностью двумерный (не требующий расщепления по направлениям) численный метод решения МГД-задач в предположении осевой симметрии (на основе разностного алгоритма Залесака).
С использованием созданной вычислительной модели получены характеристики и определены закономерности двумерных стационарных течений плазмы во внешнем продольном магнитном поле. Установлено, в частности, что увеличение продольного поля приводит сначала к перераспределению плазмы в сторону внешнего электрода, а затем к возникновению областей течений закритического типа. Определено, что продольное магнитное поле ослабляет компрессию течений на оси канала за срезом центрального электрода.
Основная часть работы выполнена в период с 2002 по 2006 год. Результаты работы докладывались и обсуждались на Научных сессиях МИФИ (2003, 2005 и 2006 гг.), Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006 г.), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" МИФИ, а также на семинаре им. К.И. Бабенко Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН.
Всего по теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, две из них в реферируемых журналах - "Известия АН. Механика жидкости и газа", "Журнал вычислительной математики и математической физики", остальные - в сборниках трудов научных конференций.
Автор выражает глубокую благодарность профессору Брушлинскому К.В. за общее и научное руководство, помощь и понимание.
Автор благодарен заведующему кафедрой "Прикладная математика" МИФИ Кудряшову Н.А. за внимание и поддержку и признателен сотрудникам МИФИ и ИПМ, принявшим участие в обсуждении результатов работы.
Математическая постановка задачи
Динамика сплошной электропроводящей среды описывается системой уравнений магнитной гидродинамики: дР dt V-(p-v) = 0; iJ + (v.V / = -Vp + ±[,H]; \ot J С p дН dt Ot J (7 v,3 J = [V,[v,H]] (1.1) р = (у-\)рЄ = 2кпТ; p-mm\ j = —[У»Н1 4л При записи уравнений использованы традиционные в магнитной гидродинамике обозначения: р- плотность плазмы, Т - температура плазмы, V - вектор скорости плазмы, р -давление, Є - внутренняя (тепловая) энергия, Н - вектор напряженности магнитного поля, j - плотность электрического тока. Предполагается осевая симметрия, т.е. д/д(р = 0 в цилиндрических координатах (r, ,z). Геометрия нижнего и верхнего электродов задается двумя функциями от координаты z: rx[z) и r2(z) соответственно. Постановка задачи в области, соответствующей форме канала на рис. 1.1, включает граничные и начальные условия.
Предполагается дозвуковой режим втекания плазмы, т.е. V Cf. В качестве граничных условий при z = О задаются распределения (по радиусу) всех искомых величин, кроме одной, например, скорости vr, а именно, Г v,=0; vr=v2r; #,=#/, Физический смысл третьего условия: полный электрический ток от источника питания предполагается известным, постоянным и втекающим в систему через левый торец центрального электрода. Отсюда Н0 - 211 cra, где /- величина тока, а г0 - характерное значение радиуса на входе. Во входном сечении ток имеет строго радиальное направление, то есть с дНг J: - = (). 2=0 Ал: гдг
Постоянная величина внешнего магнитного поля Н2 на входе -простейший способ его задания. Поле может порождаться, например, соленоидом вокруг канала или круговым проводником очень большого радиуса. Предполагается, что втекающая плазма не вращается (V = 0), а вращение в канале вызвано взаимодействием радиального тока jr с продольным полем Hz. Два последних условия означают, что направления скорости плазмы и внешнего поля согласованы с естественными координатными линиями r(z).
На выходе из канала ожидается сверхзвуковое течение V Сг, и поэтому задача не содержит граничных условий на правой границе Z-L. Рассмотрим условия на верхней и нижней границе расчетной области. Они соответствуют электродам, которые предполагаются непроницаемыми для плазмы и эквипотенциальными vn=0, Ег=0, (1.2) где Е - напряженность электрического поля, тип- касательное и нормальное к электроду направления в плоскости (р = const. Так как нормальная компонента поля непрерывна на границе, а электроды непроницаемы для магнитного поля (в силу эквипотенциальности), то имеет место еще одно граничное условие Нп=0. (1.3)
Отметим, что, вообще говоря, второе условие (1.2) и (1.3) эквивалентны. В случае бесконечно проводящей плазмы (с = оо), последнее следует из закона Ома. В постановку задачи условия (1.2), (1.3) включены в виде следующих соотношений на границах: v =v г, Н =Нг г z z Г Z Z где г = наклон линий г = rx (z) и г = r2 (z) К ОСИ Z. dz
Из второго условия (1.2) для плазмы с конечной проводимостью ( т ooj появляется дополнительное условие на электродах. Оно следует из закона Ома для конечно проводящей среды с о который для тангенциальной компоненты электрического поля имеет вид v Я і Er = - + . с а При сг оо, в силу условий (1.2) и (1.3), из него следует, что дН г Л Л=— - = ). (1.4) гдп
Начальные данные в задаче могут быть достаточно произвольными, поскольку наибольший интерес для изучения представляют стационарные течения (которые могут быть получены установлением в процессе решения нестационарной задачи). Необходимо лишь обеспечить начальный разгон плазмы вдоль канала, для чего достаточно, например, задать при t - О давление р и азимутальное поле Н монотонно убывающими функциями z, согласованными с граничными условиями. Продольное поле (Н2,Нг) должно удовлетворять уравнению Максвелла V Н = 0. Кроме того, в начальный момент времени -
Классификация течений
Анализ уравнений (2.4) позволяет определить основные качественные характеристики течений в присутствии внешнего продольного магнитного поля [62].
Правые части уравнений, в отличие от аналогичных уравнений для течения плазмы только в поперечном магнитном поле (и уравнений газодинамики), имеют особенности при и = С2 и и2 =Cf. Это приводит к тому, что их гладкие решения описывают либо дозвуковые, либо сверхзвуковые (по отношению к каждой из скоростей магнитного звука Cs и Cf) течения.
Представляющие наибольший интерес трансзвуковые течения (с монотонным изменением скорости вдоль канала и переходом через любую из звуковых скоростей) существуют, когда любой из множителей в знаменателях уравнений может обратиться в нуль лишь одновременно с числителем. Это может произойти в нескольких случаях. Во-первых, когда dS знаменатель обратится в нуль одновременно с производной —. Во-вторых, dz когда одновременно с обращением в нуль знаменателя первого из уравнений #V (2.4) справедливо соотношение С2т\и2 — С2А)Л — = 0, обращающее в Р нуль его числитель. Однако при и2 = C2f или и2 = С2 это соотношение не выполнено, так как выражение в его левой части преобразуется к следующему виду
Таким образом, переход через скорость звука может произойти только в минимальном сечении канала. Альфвеновская скорость СА связана с еще одним специфическим свойством уравнений (2.4). Из первого и второго уравнений несложно получить следующее соотношение:
Отсюда видно, что, если разность [и2 -С2) обратится в нуль хоть в одной точке, то она равна нулю тождественно по z, т.к. ее производная пропорциональна ей самой. При этом плотность плазмы постоянна (см. второе уравнение (2.4)). Тип течения, соответствующий решению системы (2.3) при и = СА называется критическим. Его основная особенность -постоянство плотности вдоль оси канала. В случае обратного Р Р неравенства произведем оценку правой части уравнения, для этого сравним квадраты составляющих ее слагаемых. Получаем ( н2 н2Л с V Р ) -АС: н2 ( н2 нл2 р с; + р Н2Н2 отсюда следует, что С2 С\. Аналогично доказывается неравенство С2 С\. Таким образом, для любой точки канала выполнены неравенства Cs СА Cf. Это означает, что докритические течения могут быть дозвуковыми, сверхзвуковыми или трансзвуковыми только по отношению к Cf, а закритические - по отношению к Cs. Очевидно, что в отсутствие продольного поля [Нz =0) все течения - докритические. Константа С,, таким образом, равна значению скорости на входе, которое либо задается, либо определяется в процессе решения задачи в зависимости от типа искомого решения и соответствующих ему граничных условий. Константа Сі равна заданной величине продольного магнитного потока (относительно характерного поперечного магнитного поля). Значения всех остальных констант определяются через известные величины и константы С,, С2 с учетом граничных условий: Исключением из него всех величин кроме р (с помощью уравнений (2.9)) и некоторых алгебраических преобразований получено одно алгебраическое уравнение, которое определяет плотность р, как функцию от S\z) (т.е. от z) и параметров задачи С, и С2: F(p)=F (p)+Fl(p) = -- (2.10) где ,wv U 2(r-l) 2(r-l) J Уравнение (2.10) обобщает аналогичное уравнение для задачи без продольного поля [к = 0, F, (р) = 0) [63]. Функция p{z), являющаяся решением уравнения (2.10), вместе с формулами (2.9) полностью описывает квазиодномерное стационарное МГД-течение в случае бесконечной проводимости плазмы. Один из способов решения уравнения (2.10) можно представить следующим образом: - строится график функции (р); - определяются координаты р точек пересечения графика функции а для каждого 2S2{z) F(p) И горизонтальной прямой с ординатой значения ZG[0,ZJ; множество значений р, поставленных в соответствие каждой точке ZG[0,L], определяют искомую функцию p(z) - решение уравнения (2.10). Функция F{p) имеет полюс второго порядка при p — XJk1, соответствующий критическому значению плотности рсг (рис. 2.1).
Метод расчета
Ввиду консервативности данной разностной схемы естественно применить ее к системе уравнений в консервативной форме, а именно, к системе (1.8). Уравнение полной энергии в этой системе записано не в строго консервативной форме. Использование в численных расчетах этого уравнения в консервативном виде может вызывать большую ошибку определения температуры при (3 1, а в некоторых случаях возможно появление в расчетах ее отрицательных значений.
Итак, применим изложенный выше разностный метод к системе консервативных уравнений (1.8), которую можно представить в виде м+Ш+«№ш ялу). (з,} ot oz ду Здесь U - вектор-функция, определяемая следующим образом XJ = \prR, purR, pvrR, pwrR, psrR, ЯД H/R, HrR), F и G - вектор-функции, имеющие вид F(U) = Ui/ + f,G(U)=(Uv,+g)/ , вектор Q содержит правые части уравнений (1.8) (с учетом переноса в правую часть неконсервативного слагаемого уравнения энергии) Q = {0, 0, (pw2+P-Hl)R, {-pvw + HHr)R,
Для того чтобы потоки величин F и G имели одинаковую размерность, последнее слагаемое в левой части уравнений системы (3.8) удобно записать в виде производной по г, исходя из того, что dr = Rdy при z — const и R\z) не зависит от у. Теперь каждое уравнение из (3.8) может быть представлено в виде шш+т+т=ж,гЛ ,3.9) dt dz дг Здесь U\z,r,t) и Q[z,r,t) - соответствующие компоненты одноименных векторов, а F(U) и G(U) имеют вид F(U) = Uu + f, G(u) = Uvy+g. Отсюда следует, что основная часть потоков F и G - перенос величины U в направлении координатных линий со скоростями и и V .
Численное решение этих уравнений рассматривается на разностной сетке размером L х М, где L - количество точек в направлении оси z, а М - в направлении г (рис. 3.2). В точках первого типа, условно обозначенных на рисунке "кружками", вычисляются значения Ulm, ав точках второго типа обозначенных "крестами" - разностные потоки величин F и G. У А -К— ! (1,т) і ! ! - z Рис. 3.2. Ячейка расчетной сетки
Применим к уравнениям вида (3.9) три этапа разностного метода. На первом из них для расчета грубого варианта решения UL используется обобщенный на двумерный случай диффузионный этап метода FCT. А именно, роль потоков Ф 1/2л, и Ф] т теперь играют транспортно диффузионные потоки Ф м/2т Ф/и+ш определяемые с помощью простой монотонной схемы первого порядка: фш =ф + ф ф =F" Ф" =-ud(U" -U" У МП,т М/2,т /-1/2,/ /+1/2,т л М12,т /+1/2,т Л \У /+1,т /,га/ ф" =ф + ф ф =G" Ф =-ud(U" -U" ) /,т+1/2 l/n+m /.т-1/2 / n+I/2 /,т+1/2 /,т+1/2 Л 2 \w /,т+1 /,т /
Они используются в расчетах решения низкого порядка точности U =U Utd -U" Фш -Фш Фш -Ф" At Az Аг Неконсервативное слагаемое уравнения энергии переносится в правую часть и аппроксимируется центральными разностями РіЛ 2Az 2 Аг (3.11)
Разностную схему (3.10) можно интерпретировать как полученную интегро-интерполяционным методом [70, 71]. Для этого дифференциальное уравнение интегрируется по элементарной ячейке расчетной сетки и приводится к интегральной форме, соответствующей законам сохранения. После этого входящие в уравнение интегралы заменяются приближенными разностным выражениями. Очевидно, что полученная разностная схема будет заведомо консервативной.
Для дифференциального уравнения (3.9) интегрирование производится следующим образом dt \\Udzdr +\\ — + — \lzdr = \\Qdzdr. ydz дг J Применив к этому уравнению формулу Грина tt(W+ \kdr=l{Fdr-Gdz), \dz dr J получаем следующую аппроксимационную формулу J],d _ 77" _ы Л _ +(фш д _фш д \_ А , 1,т V /+l/2,m /+1/2.М М/2,га М/2,т/ -(-Ф Дг + Ф? 1/2Az) = Q" . \ /,т+1/2 /,т-1/2 / 2-4,т /,га Здесь /и - площадь ячейки расчетной сетки: «S = Ar,Az. Разделив обе части разностного уравнения на Slm и полагая, что Аґ, = ArlV2 = Агмп, легко получить уравнение (3.10). Данным методом можно получить ту же разностную схему (ЗЛО), если интегрировать уравнения (1.7) непосредственно в координатах (z, г) по криволинейной расчетной области, т.е не переходя к координатам [z,y). Коэффициенты диффузии ці и ju2 в общем случае могут зависеть от точки \1,т) и быть отличными друг от друга. Они определяются требованием "монотонности" схемы. Условия "монотонности" получены, как обычно, для линейного аналога уравнения (3.9) с постоянными коэффициентами
Закритические течения
При исследовании влияния более сильного продольного поля на свойства течений обратимся к представленной в главе 2 классификации возможных течений плазмы. Для двумерных течений ее можно рассматривать применительно к трубкам тока, образованным траекториями движения плазмы. В соответствии с ранее полученными результатами, тип течения, устанавливающийся вдоль траектории, зависит от параметра Н2 к2 = ——. Ввиду того, что характерная величина продольного поля Н 0 "о постоянна, значение параметра к2, и, следовательно, тип течения определяются начальной скоростью и0. Так как последняя в свою очередь зависит от координаты г, то тип течения плазмы для каждой траектории может быть различным. Это означает, что двумерные течения в общем случае являются совокупностью течений различных типов. Ниже показано, что существуют варианты , включающие течения не только различных типов (до-, сверх- и трансзвуковых), но и разных режимов (закритических и докритических).
При значениях параметра Нг0 1 и определенных ранее граничных условиях в канале сохраняется докритический трансзвуковой режим течения. Однако качественная картина течения с ростом продольного поля начинает меняться. При значениях Н20 близких к единице расчеты показали, что становится почти постоянной. Это видно из рис. 4.3, где представлена зависимость распределения плотности плазмы от значений параметра Нг0 при r = r2\z). Кроме того, скорость течения вдоль внешнего электрода становится близкой к альфвеновской (критической) скорости звука. Согласно результатам главы 2, эти обстоятельства говорят о возникновении областей критических течений. Они начинают проявляться вдоль плотность плазмы вдоль траекторий движения у внешнего электрода внешнего электрода по нескольким причинам. Во-первых, ввиду того, что плотность плазмы возрастает в направлении оси г, ее скорость в этом направлении убывает. Таким образом, у внешнего электрода скорость течения будет минимальной и станет равной критической в первую очередь. Во-вторых, в этой области выше величина продольного поля Нг. Следует отметить, что диапазон значений параметра Hz0, при которых течение имеет докритический режим, может быть различным и зависит от значения параметра ft (раздел 4.3).
При значениях Hz0 несколько больше единицы область критических течений перемещается к центру канала, а вдоль внешнего электрода образуются течения закритического типа. Это объясняется тем, что дальнейший рост продольного поля приводит к усилению вращения плазмы, она сильнее прижимается к внешнему электроду, вследствие чего, ее скорость уменьшается и становится меньше критической. Характеристики течения при Нг0 =1.2 представлены на рис. 4.4. Его основное отличие от рассмотренных ранее течений - комбинация двух качественно различных режимов течения - докритического и закритического. Закритический режим в этом случае соответствует типу 6 (рис. 2.2) (сверхзвуковому относительно скорости медленного магнитного звука), и устанавливается вдоль внешнего электрода. Он характеризуется монотонным возрастанием плотности во входной части канала и убыванием за минимальным сечением (рис. 4.4 а). Скорость имеет такую же качественную зависимость, а ее величина меньше альфвеновской скорости звука. Кроме того, в этой области меняет направление электрический ток (рис. 4.4 б). Вблизи центрального электрода сохраняется докритический трансзвуковой тип течений.
При значениях параметра //г0 1.2, произвести расчет течения в прежней постановке задачи не удается. Это связано с тем, что в канале в данном случае устанавливается полностью закритический режим течения, который требует изменений в задании дополнительных граничных условий. В представленных ниже расчетах они были подсказаны характеристиками течений, полученными аналитически в квазиодномерном приближении (глава 2).
