Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка двумерной задачи об эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях грунта 18
1.1. Постановка задачи 18
1.2. Сведение задачи к системе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений 26
1.3. Представление основной системы уравнений алгебраическими уравнениями 30
1.4. Основная система уравнений для частных случаев 41
Глава 2. Математическое моделирование плоскопараллельного движения границы раздела жидкостей в кусочно-одно родных слоях грунта 45
2.1. Движение границы при работе скважины в однородном слое грунта 45
2,2. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-однородном слое грунта 53
2.3. Эволюция границы при работе скважины в ограниченной области фильтрации кусочно-однородного слоя грунта 60
2.4. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно-однородном слое грунта 70
2.5. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в ограниченной области фильтрации кусочно-однородного слоя грунта 77
Глава 3. Математическое моделирование двумерного движения границы раздела жидкостей в кусочно-неоднородных слоях 80
3.1. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = ys (s > 0) 80
3.2. Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = y~s{s > 0) 89
3.3. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно- неоднородном слое проводимости Р ~ ys{s > 0) 97
3.4. Эволюция границы от нагнетательной к эксплуатационной скважине в кусочно- неоднородном слое проводимости Р — y~s(s > 0) 102
Заключение 105
Литература
- Сведение задачи к системе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
- Основная система уравнений для частных случаев
- Эволюция границы при работе скважины в кусочно-однородном слое грунта
- Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = y~s{s > 0)
Введение к работе
Актуальность темы и обзор литературы. Задачи совместной фильтрации двух и более жидкостей в пористых средах привлекают внимание многих исследователей: нефтяников-промысловиков, гидромехаников и математиков. Объясняется это тем, что к таким задачам приводит эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, водозаборов, подземное захоронение жидких промышленных отходов, а также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет другую.
Как правило, грунт в котором происходит фильтрация неоднороден. В естественных условиях встречаются различные типы неоднородности пористых сред. Это протяжённые непроницаемые участки (сбросы), полости со свободной жидкостью (каверны), плохо проницаемые глинистые породы, трещиновидность среды, изменчивость свойств среды по площади и мощности (толщине) и т. д. Одними из наиболее распространённых являются неоднородности типа сброса, выклинивания, резкого перехода к пласту с другой проницаемостью [27, 33, 47, 128], а также неоднородности, связанные с изменением толщины пласта.
Неоднородности природных пластов оказывают сильное влияние на движение границы раздела жидкостей. Так на перемещение контуров нефтеносности заметно сказываются прослои с плохой проницаемостью и экраны [27, 143]. В сильно неоднородных прерывистых пластах добыча нефти может значительно снизиться вследствие неполного охвата пласта процессом вытеснения. Одной из актуальных проблем практики является изучение степени влияния неоднородности пласта на процесс фильтрационного течения. Учёт неоднородности грунтов важен также при строительстве различных гидротехнических сооружений [128], полигонов захоронения жидких промышленных отходов [38].
Изучению статических задач определения поля давления и скоростей однородной жидкости, а также дебитов скважин в неоднородных и кусочно-неоднородных средах посвящены работы многих исследователей [40, 81, 89, 130, 139]. Так в работе А.А. Аксюхина [7] приведён обзор стационарных задач фильтрации в неоднородных и кусочно-неоднородных средах. В работе М.А. Фролова [152] имеется обзор методов решения таких задач.
С точки зрения практических приложений интересны задачи, связанные с совместной фильтрацией двух и более жидкостей в од- нородных и неоднородных средах. Эти задачи являются одними из наиболее сложных в математическом отношении. Поэтому был построен ряд моделей, позволяющий исследовать этот процесс. Рассмотрим эти модели в порядке возрастания их сложности.
Наиболее простой является модель «разноцветных» жидкостей [43, 58], в которой полагают, что физические характеристики жидкостей (вязкости и плотности) одинаковы. Граница раздела жидкостей представляет собой линию «отмеченных частиц» [11, 155]. Эта модель широко используется, так как позволяет получить в конечном виде решения ряда задач о движении границы раздела жидкостей в канонических областях фильтрации.
В общем случае параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных и анизотропных слоях получены О.В. Голубевой [43,129]. Полученные уравнения применены к решению ряда двумерных задач [41, 42, 44, 45].
В однородном грунте движение границы «разноцветных» жидкостей изучали М. Маскет (М. Muskat) [175], М.Д. Миллионщиков [88], В.Н. Щелкачев [157], Б.Э. Казарновская [67], П.Я. Полубаринова— Кочина [68], Я.М. Сулейманов [137] и многие другие исследователи. Модель одножидкостной системы для оценки влияния непроницаемой границы использовали В.Н. Щелкачев [158], Ф.Г. Гасанов, Р.А. Гусейнова, P.M. Кязимова [37].
В кусочно-однородном грунте, состоящем из двух зон различной проницаемости, движение границы «разноцветных» жидкостей рассматривали Г.И. Джалалов [59], К.Н. Джалилов, С.С. Морозова [60], Р. Коллинз (R. Collins) [73]. В работе И.В. Буравлева [20] рассмотрено движение границы в кусочно-неоднородном степенном слое при наличии поступательного потока. В этих работах границей раздела однородности слоя являлась прямая линия.
Исследованию продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных слоях посвящены работы Н.П. Петрова [96], В.Ф. Пивня [98], Д.Н. Никольского [91], И.В. Буравлева [23], а также других исследователей. Используя одножидкостную модель В.Ф. Пивень [98] рассмотрел вымывание загрязнения из хранилища в неоднородном по толщине (клиновидном) слое. Для первоначальных границ хранилища в форме полуэллипса и параболы оценён очаг загрязнения. В работе А.А. Квасова [71] модель «разноцветных» жидкостей применена для определения шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных степенных слоях.
В случае, когда течение подчиняется нелинейному закону фильтрации, продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в однородных и неоднородных средах исследовалось в трудах О.В. Го-лубевой и В.Ф. Пивня [46, 97].
В данной работе модель «разноцветных» жидкостей применена к решению новых задач и использована, как тестовая, при численном решении задач о движении жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях.
Следующей по сложности является модель «поршневого» вытеснения (модель Лейбензона-Маскета). В этой модели жидкости считаются несмешивающимися, взаимно нерастворимыми и химически не реагирующими одна с другой и с пористой средой. При этом они имеют различные физические свойства и одна жидкость полностью вытесняет другую, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой.
Для решения задач «поршневого» вытеснения используется ряд методов. Так И.А. Чарным [155] предложен приближённый метод жестких трубок тока. Суть этого подхода состоит в том, что в процессе вытеснения полагается неизменной картина линий тока, существовавшая в начальный момент времени. В каждой трубке тока течение жидкости является одномерным.
Одномерные задачи вытеснения изучены весьма полно [130]. В случае линейного и радиального течения в однородных пластах получены точные решения [155, 159]. С помощью метода жёстких трубок тока в работе [156] изучены задачи о выгоднейшей расстановке батареи скважин. Использованные в этом методе допущения проверены в работе [78] на электрогенераторе. Для оценки пределов, между которыми заключено истинное движения водо-нефтяно-го контакта И.А. Чарный использовал предельные схемы однородно-анизотропных грунтов Г.К. Михайлова [155].
В «поршневой» модели, впервые предложенной Л.С. Лейбензо-ном [83], вязкость вытесняющей жидкости считается равной нулю. При таком предположении граница раздела всё время остаётся контуром постоянного давления. В этом случае двумерная задача допускает аналитическое решение. Первые решения в такой постановке были получены в работах П.Я. Полубариновой—Кочиной [127] и Л.А. Галина [35]. Было установлено, что при стягивании контура к скважине в случае начальных границ определённого вида решение теряет однолистность и на контуре возникает точка заострения.
Аналитически исследовали задачи в постановке Лейбензона также Н.Н. Кочина и П.Я. Кочина [75-77], П.П. Куфарев и Ю.П. Виноградов [79, 80], М.Н. Тихов [140], С.Д. Ховисон (S.D. Howison) и Ю.Е. Хохлов [154, 167, 170,171], А.Н. Варченко и П.И. Этингоф [26], а также многие другие исследователи. Для этого случая С. Ричардсон (S. Richardson) получил бесконечную серию первых интегралов движения границы раздела [179].
Теоретический результат об образовании точек заострения до того, как вытесняющая жидкость попадёт в скважину, не подтвердился в экспериментах, проведённых на горизонтальном щелевом лотке П.Я. Полубариновой-^Кочиной и А.Р. Шкирич [75], В.Л. Даниловым и Ю.А. Тепловым [57]. Объясняется это явление неучётом влияния капиллярных сил и сил инерции. Устранение точки возврата при учете межфазного натяжения в модели движения вязкой жидкости в узкой щели показано В.Л. Даниловым и Э.В. Скворцовым [56]. Отметим, что в этих опытах имеет место неустойчивость движения.
В постановке Лейбензона В.А. Карпычев [70] решал задачу о продвижении границы раздела между нефтью и водой в двухслойном пласте. В кусочно-однородном пласте, состоящем из пяти зон, вытеснение нефти газом исследовано Ф.Г. Огуджалиевым и Н.М. Га-шиевым [95].
Наибольший успех в решении задач «поршневого» вытеснения одной жидкости другой был достигнут методами теории потенциала. В теории фильтрации эти методы первоначально использовали в статических задачах определения поля давления в кусочно-однородных пластах [28, 29, 34, 40, 48, 49]. Впервые потенциал простого слоя для решения обратной задачи с подвижной границей (задачи определения давления при заданном законе движения границы) применил Г.Г. Тумашев [144], получивший важное соотношение между плотностью простого слоя и нормальной скоростью движения границы.
Подход Г.Г. Тумашева был развит В.Л. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро-дифференциальных уравнений [50, 52, 165]. Подвижную границу он моделировал потенциалом простого слоя. Интегро-дифференциальное уравнение в этих работах записано относительно искомой функции, описывающей границу раздела жидкостей в каждый момент времени. Сведение задач вытеснения к интегро-дифференциальному уравнению требует некоторой предварительной работы, но даёт ряд преиму- — 8 — ществ [58]. А именно, размерность уравнений этих задач снижается на единицу и становится возможным рассмотрение бесконечных областей фильтрации, что крайне затруднительно при обычном методе сеток. Этот метод хорошо приспособлен для расчёта течений с подвижными скачками либо областями больших градиентов у искомых функций.
Однако, применение этого метода накладывает ограничения на область, ограниченную контуром питания: она должна быть звездной. В общем случае граница раздела жидкостей не является звёздной и тогда решение задачи сводится В.Л. Даниловым [55] к системе двух псевдодифференциальных уравнений первого порядка и одного квазилинейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Отметим работу Ф.К. Пирмамедова [125], в которой рассмотрено движение нескольких границ раздела фаз. Исследование задачи сводится к решению интегральных (для скорости) и дифференциальных (для координат границы) уравнений.
Для решения интегро-дифференциального уравнения движения границы раздела жидкостей предложены различные методы [58]: линеаризации, степенных рядов по времени, возмущений, графо-ана-литический, конечно-разностные. Развитый В.Л. Даниловым подход позволил решить большой круг задач вытеснения.
Так плоские задачи «поршневого» вытеснения нефти водой из однородного недеформируемого пласта постоянной мощности исследованы в работах В.Л. Данилова, В.В. Скворцова и A.M. Власова [58]. В случае, когда месторождение ограничено контуром питания, В.Л. Данилов предлагает использовать функцию Грина [52]. Это позволяет моделировать контур питания только каноническими кривыми, для которых функции Грина известны. Для учёта неоднородности пласта В.Л. Данилов предлагает использовать фундаментальное решение уравнения эллиптического типа, описывающего фильтрацию в рассматриваемом грунте [58].
Вертикальное перемещение поверхности раздела двух жидкостей, имеющих различные вязкости и удельные веса, к дрене в однородном пласте изучено Э.В. Скворцовым [134]. Пространственные (осесимметричные) задачи о продвижении границы раздела воды и нефти к скважине решены Ю.С Абрамовым и P.M. Кацем [1—3], Вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин исследуется в работах Н.К. Паведникова, P.M. Каца, Р.Т. Фазлы-ева [58] и многих других исследователей. — 9 —
Задача движения границы раздела упругих жидкостей в упругих пластах с использованием тепловых потенциалов В.Л. Даниловым [52] была сведена к задаче Копій для интегро-дифференциального уравнения. В работе [54] В.Л. Данилов предлагает использовать потенциал простого и двойного слоя для решения задачи о движении границы раздела двух несмешивающихся равновязких неньютоновских жидкостей под действием массовых и поверхностных сил.
В работе А. Бегматова [13] краевые задачи нестационарной фильтрации для областей с неизвестной подвижной границей сводятся к задачам для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Приводятся результаты численного решения ряда плоских задач гидродинамической теории безнапорной фильтрации жидкости с постоянной и кусочно-постоянной плотностью на основе предлагаемого подхода. Даются точные решения соответствующих задач в линеаризованной гидродинамической постановке. Также рассмотрен ряд пространственных задач.
Моделирование процесса взаимного вытеснения вязких жидкостей в узкой щели постоянной толщины, с учетом капиллярных сил, выполнено в работах В.Л. Данилова и Э.В. Скворцова [52, 56]. Задача решалась методом нанесения на подвижную границу потенциалов простого и двойного слоя. В.Л. Даниловым и Ю.А. Тепловым [57] в ходе экспериментальных исследований найдены условия, при которых учет межфазного натяжения необходим.
Рассмотренные задачи являются прямыми задачами, в которых по заданным гидродинамическим условиям находится закон перемещения границы раздела жидкостей. Обратным задачам посвящены работы Б.А. Азимова, В.Я. Булыгина, В.Л. Данилова, В.Ю. Кима, Ю.М. Молоковича, P.M. Насырова, Ш.М. Рагимова, А.В. Рослякова, Г.С. Салехова, Г.П. Цыбульского, В.Д. Чугунова [19, 40, 52, 130]. В этих работах исследования проведены на основе моделей «разноцветных» жидкостей и «поршневого» вытеснения.
При изучении вытеснения одной жидкости другой большое значение имеет проблема устойчивости движения. Исследованием неустойчивости границы раздела двух жидкостей занимались многие исследователи. Особое место здесь занимают исследования течений в щелевом лотке Хеле—Шоу, который используется для изучения закономерностей перемещения границы раздела жидкостей в тонких пластах. Применение лотка основано на известной аналогии между уравнениями, описывающими течение в пористой среде и в узкой щели [128]. Наиболее известны работы Сафмена (Saffman) и Тейлора (Taylor) [180-182, 184] по экспериментальному и теоретическому изучению явления образования языков (fingering) в лотке Хеле—Шоу. Так при вытеснении менее вязкой жидкостью более вязкой был установлен факт неустойчивости линии раздела двух жидкостей. При этом появляются «пальцы» или «языки» менее вязкой жидкости. Течения Хеле—Шоу также рассматривались в работах С.Д. Ховисона, С. Ричардсона [168, 169, 171] и многих других исследователей [162, 172, 185]. В.Я. Булыгиы и Б.И, Плещинский [19] провели более сложные опыты в лотке, заполненном стеклянной крошкой. Установлено, что при вытеснении менее вязкой жидкостью более вязкой первоначальная граница раздела жидкостей, имеющая форму окружности, в последующие моменты времени принимает неправильную извилистую форму. То есть при вторжении менее вязкой жидкости в более вязкую имеет место образование языков вытесняющей жидкости.
Теоретически задача об устойчивости границы раздела нефти и воды изучена в трудах [9, 19, 58]. В большинстве работ для исследования устойчивости использована теория малых возмущений, широко применяемая в общей теории гидродинамической устойчивости. Так в работе [155] изучена проблема устойчивости перемещения контура нефтеносности относительно бесконечно малых возмущений, а в [164] рассмотрено влияния капиллярных сил на устойчивость границы раздела. Численному исследованию устойчивости вытеснения одной жидкости другой посвящены работы [65, 66, 94].
Экспериментальные данные свидетельствуют о том, что часть вытесняемой жидкости остаётся за фронтом вытеснения и извлекается вместе с вытесняющей жидкостью, хотя и не полностью. При вторичной разработки месторождения необходим учет неполноты вытеснения. В этом случае используются модели двухфазной (многофазной) фильтрации.
Одномерная модель фильтрации несмешивающихся жидкостей с использованием фазовых проницаемостей и в предположении несжимаемости жидкости была предложена Бакли (Buskley) и Левереттом (Leverett) [163] (модель Бакли—Леверетта). Среда считалась однородной, влиянием силы тяжести и поверхностного натяжения прене-брегалось. Было обнаружено, что даже при непрерывных начальных условиях образуется скачок насыщенности на фронте вытеснения.
Модель Бакли—Леверетта не учитывает влияния капиллярных сил. Совершенствуя её Рапопорт (Rapoport) и Лис (Leas) предложили метод их учёта [178]. Полученную модель фильтрационного течения называют моделью Рапопорта—Лиса (иногда её также называют моделью Маскета—Леверетта). Модели двухфазной фильтрации с учетом и без учета капиллярных и гравитационных сил рассмотрены в работах [9, 64, 124].
При неодномерном течении система уравнений двухфазной фильтрации настолько сложна, что получено очень мало точных решений [58]. Для приближённого расчёта двумерных и пространственных течений предложен метод неизменных трубок тока [130]. Первые численные расчёты неодномерных задач были выполнены Дугласом (Douglas), Писмэном (Peaceman) и Рэчфордом (Rachford) [166]. Для расчёта многомерных фильтрационных течений по моделям Бакли— Леверетта и Рапопорта—Лиса получили распространение методы, основанные на различных способах конечно-разностной аппроксимации исходной системы нелинейных уравнений в частных производных. В последнее время численному решению задач двухфазной фильтрации посвящены работы [39, 72, 74, 138]. Проблема сопряжения моделей Бакли—Леверетта и Маскета—Леверетта исследована в [17, 90, 138]. Корректность математических моделей двухфазной фильтрации для задач в точной нелинейной постановке изучена в [4].
Уравнения течения неоднородных жидкостей в общих предположениях были даны М. Маскетом и М. Мересом (М. Meres) [176], рассмотревших изотермические процессы при наличии трёх фаз (вода, жидкость, газ), находящихся в фазовом равновесии. Система настолько сложна, что решения могут быть получены, как правило, только численными методами. Модели, основанные на уравнениях Маскета—Мереса, принято называть моделями черной нефти (black oil model). Классические модели многофазной фильтрации рассмотрены в работах [5, 12, 16, 86, 126].
Исследованию нелинейных и неравновесных эффектов в процессе фильтрации в реологически сложных средах посвящена монография [153]. В работе рассматривается широкий класс феноменологических моделей применительно к системам нефтедобычи, включая моделирование течений неньютоновских жидкостей, неравновесную двухфазную фильтрацию в неоднородных средах, течения газированной жидкости в условиях неравновестности, проявления релаксационных свойств флюидов. Изучена математическая модель — 12 — двухфазной фильтрации в средах с «двойной пористостью» (трещиновато-пористых средах), которая впервые предложена в работах Г.И. Баренблатта, Ю.П. Желтова и И.Н. Кочиной [9]. В работе Э.В. Скворцова [135] рассмотрено взаимное вытеснение аномальных жидкостей.
В вопросах подземной гидромеханики существенными являются упругие свойства жидкостей и породы [61]. Для учета этих свойств были созданы модели упругого и упруго-водонапорного режимов пластов [155, 159, 175]. В трудах Г.И. Баренблатта и А.П. Крылова [9] была предложена модель упруго-пластичного режима пласта. В последнее время в [6] разработана и исследована математическая модель, описывающая фильтрацию многофазной жидкости в деформируемом карбонатном коллекторе. В работе [160] изучена двумерная двухфазная фильтрация в деформируемой трещиновато-пористой среде.
В работе В.Л. Данилова и P.M. Каца [58] для расчёта двухфазных течений применён метод интегральных уравнений. Для приближённого решения многомерных задач разработан метод зональной линеаризации. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтрация вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно использовать рассуждения, применимые в случае «поршневой» модели. Установлена связь между решением задачи взаимного вытеснения по схеме Лей-бензона—Маскета и решением задачи двухфазной фильтрации по схеме Бакли—Леверетта. Это позволяет рассматривать решения задач при поршневой схеме вытеснения как решения соответствующих задач двухфазной фильтрации при однозонной аппроксимации [53].
В данной работе для решения задач о движении границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородных слоях используется метод интегральных уравнений. Использование теории потенциала для линейных задач фильтрации позволяет перейти от двумерных (трёхмерных) дифференциальных уравнений к сингулярным и гиперсингулярным интегральным уравнениям, записанным на кривых (поверхностях). Такой подход понижает размерность уравнений и сокращает объём вычислений. Это один из основных методов приближённого решения линейных задач для эллиптических уравнений. Построению численных методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений посвящены рабо- — 13- ты СМ. Белоцерковского, И.К. Лифанова, Ю.В. Ганделя [24, 36, 63, 84, 85] и многих других исследователей. Применение интегральных уравнений в краевых задачах электродинамики детально изучено в работе В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [62]. Рассмотрены кусочно-постоянные слоистые среды при дифракции на телах, неоднородные среды с кусочно-постоянным распределением лроводимостей.
В последнее время метод интегральных уравнений широко применяется при решении задач теории фильтрации. В работах В.Ф. Пивня, И.К. Лифанова, А.А. Аксюхипа, А.А. Квасова, М.А. Фролова и С.Л. Ставцева [7, 8, 71, 101-111, 136, 152, 174, 177] с его помощью исследованы двумерные и трёхмерные задачи сопряжения в неоднородных пластах. Рассмотрены случаи кусочно-неоднородных пластов с проводимостью характеризуемой степенной, гармонической и метагармонической функциями. Границы сопряжения и контур питания представляют собой кусочно-гладкие кривые класса Ляпунова.
Отметим работы В.Ф. Пивня, И.К. Лифанова и Д.Н. Никольского [92, 106, 173], в которых рассмотрено движение граница раздела жидкостей различной вязкости при работе в однородных и неоднородных (степенных) слоях системы скважин. Вытеснение одной жидкости другой считается «поршневым». Исследование задачи сводится к решению системы интегральных уравнений и соотношений для определения поля давления, а также дифференциальных уравнений движения границы. Полученная система уравнений решается численно на основе методов дискретных особенностей [14, 24, 63, 84]. Изучено влияние неоднородности слоев, границ области фильтрации и первоначальной формы границы раздела жидкостей, расположения скважин на продвижение границы, а также на дебиты скважин и распределение на них давления. В работе [93] Д.Н. Никольским рассмотрена трёхмерная задача стягивания первоначально плоской границы к эксплуатационной скважине.
В ряде работ В.Ф. Пивня и И.В. Буравлёва поставлена и исследована задача об эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-неоднородном слое при наличии массовой силы [21, 22, 109, 110]. Исследование задачи сводится к решению интегральных и дифференциальных уравнений или интегральных и интегро-дифференциальных уравнений при начальных условиях. Изложенные в указанных работах идеи решения задач сопряжения методом интегральных уравнений используются в данной работе.
Таким образом, из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы задачи о движении границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях с произвольной границей смены однородности слоя и области фильтрации в случае первоначально произвольной подвижной границы.
Целью работы является построение и исследование новых математических моделей эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. На основе этих моделей изучить влияние неоднородности слоев, различия вязкостей и границы области фильтрации на движение границы раздела жидкостей.
Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:
Построены и исследованы новые двумерные математические модели эволюции границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных степенных слоях. Область фильтрации может быть ограничена непроницаемыми и эквипотенциальными линиями. Граница раздела жидкостей различной вязкости, границы сопряжения слоев и области фильтрации моделируются кривыми класса Ляпунова.
Поставлена двумерная задача о нахождении поля скоростей и движения границы раздела жидкостей. Впервые эта задача формулируется для поля скоростей, что позволяет её свести к эволюционной задаче для системы интегральных и инте-гро-дифференциальных уравнений. При решении используется вихревой слой. Это понижает сингулярность полученных интегральных уравнений и учитывает условие на бесконечности. Если необходимо найти только положение подвижной границы, то можно опустить этап определения поля скоростей в пласте.
Получены в конечном виде решения новых задач о движении границы раздела «разноцветных» жидкостей в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта. Эти решения использованы как тестовые.
Исследовано влияние различия вязкостей, неоднородности грунта, границ сопряжения слоев и границ области фильтрации, а также положения скважин на эволюцию границы раздела жидкостей.
Отметим, что предложенные модели могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и используемые в работе.
Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоев. Решены конкретные задачи, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры, захоронении жидких промышленных отходов. Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях для нахождения условий работы водозаборов без загрязнения.
Для модели «разноцветных» жидкостей и канонических границ сопряжения слоев и области фильтрации найдены формулы для определения времени достижения границ области фильтрации и времени заводнения (загрязнения) эксплуатационных скважин. В случае двумерного движения жидкостей различных вязкостен эти величины найдены численно.
Исследовано влияние на эволюцию границы раздела жидкостей различия вязкостен, границы сопряжения слоев, степени неоднородности слоя и границ области фильтрации. Это позволило указать критерии использования более простых моделей движения жидкостей вместо сложных численных расчетов.
Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата и подтверждена сопоставлением полученных в ней результатов с известными результатами, найденными на основе более простых моделей.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).
По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики», ежегодных научных конференциях Орловского госуниверситета (1999 — 2004 г.г.) [117, 122, 150], XI Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (МДОЗМФ — 2003) (Харьков-Херсон, 2003 г.) [119]. Также результаты работы были представлены в виде докладов на конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели» (Челябинск, 2002 г.) [116], Восьмой и Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых учёных (Екатеринбург, 2002 г.; Екатеринбург-Красноярск, 2003 г.) [147, 151], VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002 г.) [114], Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, 2002 г.) [148], IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Красноярск, 2003 г.) [149], Международной конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2004 г.) [123], Международной научной конференции «Интегральные уравнения и приложения в физике, механике и медицине» (Кишинёв, 2004 г.). Часть результатов докладывалась и опубликована в Трудах IX, X, XI Международных симпозиумов и Трудах Международных школ-семинаров МДОЗМФ [113, 115, 118-121, 146].
На защиту выносятся: построенные и исследованные новые математические модели двумерного движения границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунта.
Структура и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы, пяти приложений и 137 иллюстраций. Общий объём работы составляет 191 страницу. Библиография содержит 185 наименований.
Сведение задачи к системе интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
Полагаем, что кривые Г, Tt, Li, Li в любой момент времени можно моделировать кривыми класса Ляпунова [32]. Следуя В.Ф. Пив-ню [104, 108] будем искать скорость возмущения V(M, і) в виде потенциала вихревого слоя, непрерывно распределённого с плотностью g(N,t) на границе Г, f(N,t) на границе Г(, hi(N,t) на границе L\ и h,2{N, t) на границе L2: V(M,t) = Jg{N,t)V(M,N)deN+ ff(N,t)V(M7N)diN+ 1.2.1) + J2 hi(N,t)V(M,N)deN, MeD,
Здесь плотности g(N}і), /(iV,і), hi(N,t) и /i2(-N,) удовлетворяют условию Гёльдера [84]. Функция V(M,JV) = ib(Af,JV)/.K"(.rV), VB(M, N) —скорость в точке М от нормированного вихря, расположенного в точке N, N — дуговая координата точки N . Циркуляция вихря на единицу проводимости слоя равна —1. Из уравнений (1.1.10) следует, что эта скорость выражается через функцию тока вихря $B{M,N) по формуле VB(M,N) = Н{М) дФв(М,ІУ)г ЭФв(М,ДГ) J дум дхм (1.2.2) где г и j — орты координатных осей Ох и Оу. Вид функции 4I-Q(M, N) для исследуемых в работе законов изменения проводимости приведён в Приложении 5. При наличии в области фильтрации D сингулярной линии LQ скорость VB(M, N) удовлетворяет граничным условиям (1.1.16) и (1.1.17).
Скорость возмущения (1.2,1) удовлетворяет условию на бесконеч-ности (1.1.29). Непрерывно продолжим V(M, і) на границы Г, 1\, Li, L i и получим ее предельные значения (см. Приложение 5): V±{M,t) = V{Mit)± M, МєГ; (1.2.3) V±{M)t) = V{M,t)± rM, MeTt; (1.2.4) F+(M,i) (M,i) + fM, M&Li; (1.2.5) 9+(M,t) = 9{Mtt) + h2 m, MeL2. (1.2.6) В формулах (1.2.3)-(1.2.6) под V(M,i) понимается прямое значение скорости возмущения (1.2.1) на соответствующей границе [24, 36, 84]. Ф
Нормальные составляющие предельных значений скорости возмущения на границах Г и Г\ непрерывны. Подставляя (1.2.3)-(1.2.6) в граничные условия (1.1.23)-(1.1.28) получаем систему интегральных уравнений: g{M,t) - 2XkVT{M,t) = 2\kvQT{M,t), М Є Г; (1.2.7) f{Mtt) - 2A yr(M,f) = 2XitvQr{M1t)1 M Є Ft; (1.2.8) Vn(M,t) =-v0n(Mtt)t Mela; (1.2.9) ЬвіМЛ + Vr{M,t) = -v0T{M,t), M Є L2; (1.2.10) где VT(M,t) = V{M,t) TM И Vn(M,t) = V(M,t) - nM — касательная и нормальная составляющая прямого значения скорости возмущения на соответствующей границе. Уравнения (1.2.7), (1.2.8) и (1.2.10) представляют собой неоднородные интегральные уравнения второго рода типа Фредгольма, а уравнение (1.2.9) —неоднородное сингулярное интегральное уравнение первого рода (см. Приложение 5).
В случае, когда проницаемость грунта в области 1 равна нулю (&2 = 0, А ; = 1) из граничного условия (1.1.23 ) на Г получаем неоднородное сингулярное интегральное уравнение первого рода: Vn{M,t) = -vQn{M,t), Me Г, (fc2=0). (1.2.7 ) Это уравнение аналогично уравнению (1.2.9) на непроницаемой границе L\. Граничное условие (1.1.12") приводит к уравнению (1.2.7) при Afc = — 1. Из условий (1.1.24 ) и (1.1.24") на подвижной границе Tt получаются интегральные уравнения, которые аналогичны (1.2.8) при Ам = 1 и Ам = —1.
Подставляя предельные значения (1.2.4) в (1.1.30) получим уравнение движения границы Ft: = й(М, ) + У(М,і), Me Ttt (1.2.11) где V(M, t) —прямое значение скорости возмущения на границе IV Для нахождения скорости возмущения V(M, t) необходимо решить систему уравнений (1.2.7)-(1.2.10) относительно плотности вихревого слоя на контуре С. Вычислив интеграл (1.2.1) получаем искомую скорость. Положение границы Г( находим при решении дифференциального уравнения (1.2.11) при начальном условии (1.1.19). Так как уравнение (1.2.8) записано на подвижной границе, то уравнения (1.2.1), (1.2.7)-(1.2.11) следует решать совместно.
Основная система уравнений для частных случаев
Решение поставленной задачи упрощается, если граница сопряжения Г и границы области фильтрации Ь\ и La имеют канонический вид (прямая, окружность). В этом случае иногда удаётся выбрать невозмущённое поле скоростей щ(М7і) и скорость вихря VB(M,N) таким образом, что граничные условия (1.1.12) на границе Г, условие (1.1.14) на границе L\ и (или) (1.1.15) на Ьч выполняются. В этом случае следует положить g(M,t) = 0, h\{M,t) — О и (или) Іі2{М,і) — 0. Тогда необходимость в уравнениях (1.2.15)— (1.2.17) отпадает. Интегро-дифференциальное уравнение движения границы Yt принимает вид: - 2А„ j jL TNV(M,N)dtN - щ{М,і), М є IV (1.4.1)
Заметим, что при отсутствии границы Г (Afe = 0) и границ области фильтрации Li и 1 2 интегро-дифференциальное уравнение движения границы Г\ имеет тот же вид (1.4.1). В указанных случаях нахождение положения границы Г( в любой момент времени сводится к эволюционной задаче для интегро-дифференциального уравнения (1.4.1) при начальном условии (1,1.19) [115].
Полученные таким образом решения используются как тестовые при исследовании задач с произвольной границей сопряжения Г. Они также позволяют оценить точность решения поставленной задачи.
Основная система уравнений для модели «разноцветных» жидкостей и её интегрирование для канонических границ
При рассмотрении движения границы раздела «разноцветных» жидкостей основная система упрощается. В этом случае следует положить А = 0. При отсутствии границ L\ и L2 (или в случае их канонического вида) основная система уравнений (1.2.14)-(1.2.17) примет вид: drM dt г jg{Nit)V{M,N)dlN=v0{M,t), М в Г,; (1 4 2) g{M,t) - 2\Jg{N,t)VT(M,N)deN = 2\kv0T(M}t), М Є Г; (1АЗ) г fg{N,t)Vn(M,N)deN -von(M,t)y (к2 = 0), МєГ. (L4 г
Решая полученную систему при начальном условии (1.1.19) находим положение границы Г в последующие моменты времени.
В случае стационарной фильтрации (мощности источников и стоков не изменяются с течением времени) невозмущёшюе поле скоростей VQ зависит только от координат точки М, а уравнения (1.4.2), (1.4.3) и (1.4.3 ) примут вид: drM dt г Jg(N)V(M,N)deN=v0(M), М eTt; (1А4) д(М) - 2\kJg(N)VT(M, N)dN = 2\kv0r(M), М Є Г; (L4 5) г Jg(N)Vn(M,N)dN = -v0n{M), {к2 = 0), М Г. (ы ъ ) Тогда уравнение (1.4.5) или (1.4.5 ) можно решать независимо от Ч (1.4.4). Находя из уравнения (1.4.5) или (1.4.5 ) плотность д(М)у по ложение границы Ft получим решая дифференциальное уравнение (1.4.4) при начальном условии (1.1.19).
В случае канонических границ сопряжения Г (или отсутствия этих границ) полученная система уравнений примет вид: = flb(M,t), МєГг. (1.4.6)
Решение системы дифференциальных уравнений (1.4.6) может быть р упрощено. Так при квазистационарном течении жидкости [43] невоз мущённое поле скоростей можно представить как «о(М, ) = д( )«5(М), (1.4.7) где q(t), VQ(M) —известные функции. Линии тока и линии равного потенциала этого течения не зависят от времени. Учитывая (1.4.7) система уравнений (1.4.6) в координатной форме примет вид: =q(tHx{M), =?( К,(М), МГ . (1-4.8) m Первым интегралом системы (1.4.8) является семейство линий тока: ф{х,у) ф{ха,у0) = ф0. (1.4.9) Из (1.4.9) находим ж и у: х = х(ф0,у), у = у{фо,х). (1.4.10) Используя (1.4.10) разделяем переменные в (1.4.8). Интегрируя полученные уравнения и учитывая, что при t = 0 х = XQ, у = уо3 имеем [43]
Эволюция границы при работе скважины в кусочно-однородном слое грунта
В работе [92] аналогичный результат получен для двумерных течений в неоднородных слоях. Эти выводы также распространяются на пространственные течения. Они справедливы и при двухфазной фильтрации по Бакли-Леверетту, но теряют силу при действии таких факторов, как различие объёмных весов жидкостей и капиллярные силы [58]. Очевидно, что границы раздела инвариантны и в условиях кусочно-неоднородных пластов. Свойство инвариантности может быть, в частности, использовано для пересчёта решений, полученных для постоянных дебитов или перепадов давлений, на случай других постоянных либо переменных во времени граничных условий.
Сопоставление с известными результатами
Исследуем работу эксплуатационной скважины в однородном грунте. Задачу о стягивании границы раздела жидкостей различной вязкости (контура нефтеносности) к скважине рассматривали многие исследователи [58, 92, 130]. Поэтому можно сравнить полученные результаты с найденными ранее другими методами.
Пусть граница раздела жидкостей Го представляет собой окружность радиуса RQ. Уравнение границы Го в декартовой системе координат х1 -f (у — RQ)2 = RQ. Скважина расположена эксцентрично окружности на расстоянии d от границы Го (случай центрального расположения скважины рассмотрен выше). Для определённости положим, что координаты скважины XQ — 0, г/о — d. Её контур представляет собой окружность малого радиуса Rc с центром в точке расположения стока. Скв алейна работает с постоянным дебитом q 0. Вытесняющая жидкость прорывается к стоку по кратчайшему расстоянию вдоль оси Оу. Первой скважины достигнет точка границы Го, находящаяся в начале координат. Для модели «разноцветных» жидкостей найдём время прорыва Т к скважине. Так пологая в формуле (2.1.6) До — d, Rt — Rc и учитывая, что q 0, Rc -С d получим Т = їЦ І » Zg (д„ = 0). (2.1.15)
Выберем в качестве характерного размера d, а в качестве характерного времени — время (2.1.15). В этом случае д = 7г. Полагаем Ro — 2d, Rc = 0,001с/. Для исследуемой задачи зависимость времени Т от параметра Ад представлена в таблице 2.1.9. Видим, что с уменьшением А время Т увеличивается. Также в этой таблице дано сопоставление полученных результатов с уже известными. Так TD обозначены значения времени заводнения, приведённые в работе В.Л. Данилова и P.M. Каца [58], a TN — в работе Д.Н. Никольско Т го [92]. Параметр r)DiN) = 100% характеризует расхожде JD(W) ниє результатов. Видим, что rjD 10%, a r)N 6%.
Динамика движения границы по направлению прорыва показана на рис. 2,1.3. Здесь р — расстояние от границы Tt до скважины. Штриховой линией показаны зависимости, полученные в работе В.Л. Данилова и P.M. Каца, тонкой —в работе Д.Н. Никольского, а толстой — предлагаемым в работе методом. Видим, что наибольшее различие наблюдается вблизи скважины, что связано с резким изменением скорости течения по мере приближения к скважине.
В работе [58] приведены результаты эксперимента Ю.А. Теплова по стягиванию границы раздела жидкостей в щелевом лотке. Так на рис. 2.1.4 даны фотографии стягивания масляного пятна, окружённого воздухом к эксцентричной скважине. В этом случае, ввиду малой вязкости воздуха имеет место случай Лейбензона, то есть параметр Ад = 1. На рис. 2.1.5 показаны положения границы, стягивающейся к аналогично фотографиям расположенной скважине при \ц = 1. Видим, что численно найденные положения границы Г4 повторяют движение границы, найденное экспериментально.
Изучим работу нагнетательной скважины постоянного дебита q в кусочно-однородном слое постоянной толщины. Отметим, что случай работы скважины с переменным дебитом можно свести к рассматриваемому используя принцип инвариантности границы раздела. Считаем, что область фильтрации неограничена (границы XQJ Ъ LI отсутствуют). Рассмотрим различные виды границы сопряжения слоев: прямую, окружность, эллипсы. Прямолинейная граница раздела однородности грунта
Пусть граница сопряжения слоев Г представляет собой прямую (кривая 1 на рис. 2.2.1). Считаем, что скважина находится на характерном расстоянии d от границы Г. В рассматриваемом случае наличие границы сопряжения слоев можно учесть аналитически, если воспользоваться фильтрационной теоремой о прямой [43]. Свяжем ось Оу декартовой системы координат с границей Г, а ось Ох проведём через точку расположения скважины.
Эволюция границы при работе скважины в кусочно-неоднородном слое проводимости Р = y~s{s > 0)
Рассмотрим случай изменения по степенному закону толщины слоя. На рис. 3.1.1 показана эволюция границы 1\ в слое Н = у2 при Ajt = 0,5 и Ам = 0,5, а на рис. 3.1.2 при А& = —0,5 и Ам = 0,5. Сравним эти рисунки с рис. 2.3.2 и рис. 2,3.3, полученными в слое постоянной проводимости Р = 1, ограниченном непроницаемой линией L\. Видим, что нагнетаемая жидкость сильнее растекается вдоль сингулярной линии LQI. Это связано с тем, что при у 1 толщина слоя Я 1, а при у 1 толщина слоя Н 1. Поэтому нагнетаемая жидкость более медленно движется в направлении увеличения толщины слоя (вдоль оси Оу). Как и в рассмотренных ранее случаях в менее проницаемой области 7 движение нагнетаемой жидкости замедляется, а в более проницаемой области D% жидкость вязкости / 2 движется быстрее чем в области D\.
На рис. 3,1.3 показана эволюция границы 1\ в слое Н — у4 при \к = 0,5 иА = 0,5, а на рис. 3.1.4 при А = —0,5 и Ам = 0,5. Сравнивая их с рис. 3.1.1 и рис. 3.1.2 замечаем, что нагнетаемая жидкость более медленно распространяется от скважины. Это связано с более резким изменением толщины слоя. Влияние границы сопряжения Г аналогично рассмотренным выше случаям.
Изучим влияние различия вяз костей жидкостей на движение границы Г4. На рис. 3.1.9 показана зависимость времени достижения границы сопряжения слоев Тг от параметра А для значений параметра Aft = 0;±0,5;—1 в слое, толщина которого Н у2. При Afc = — 1 (область 2 моделирует бассейн со свободной жидкостью) с увеличением вязкости нагнетаемой жидкости (ростом параметра Ам) время Тг увеличивается. При А& 0 (область Z?2 менее проницаема, чем область D\) с ростом параметра Ад время Тг уменьшается. При А — 1 время Тг стремится к 0,9 практически для всех значений параметра А&. На рис. 3.1.10 показана зависимость времени Тг от параметра А для тех же значений параметра Aft в слое, толщина которого Н = у4. Видим, что для всех значений параметра А& с ростом вязкости нагнетаемой жидкости время Тт уменьшается. При А —V 1 время Тг стремится к единице практически для всех значений параметра Aft. Сравнивая рис. 3.1.9 и рис. 3.1.10 замечаем, что с увеличением степени слоя время Тг увеличивается для всех значений параметров А& и А .
Исследуем влияние границы сопряжения и неоднородности слоев на время Тг. На рис. 3.1.11 показана зависимость времени Тг от параметра Aft для различных значений параметра s. При расчётах использовалась модель «разноцветных» жидкостей (А = 0). Кривой s = 0 соответствует слой постоянной проводимости Р — 1, ограниченный непроницаемой границей L\ (см. 2.3). Видим, что с увеличением степени слоя время Тг возрастает для всех значений параметра Aft. При Afc —ь 1 (непроницаемая область D2) время Тг — со.
Влияние изменение проницаемости слоя на движение границы
Рассмотрим случай изменения по степенному закону проницаемости слоя. На рис. 3.1.5 показана эволюция границы Г\ в слое К — у2 при Ajt = 0,5 и Ам = 0,5, а на рис. 3.1.6 при Aft = —0,5 и Ам = 0,5. Сравним эти рисунки с рис. 3.1.1 и рис. 3.1.2, полученными в слое переменной толщины Н = у2. Видим, что в рассматриваемом случае нагнетаемая жидкость преимущественно движется вдоль направления увеличения проницаемости слоя (вдоль оси Оу). Это связано с тем, что вблизи сингулярной линии Х01 (у - 0) проницаемость слоя уменьшается до нуля. При удалении от LQI (у - со) проницаемость увеличивается и стремится к бесконечности. Поэтому нагнетаемая жидкость медленно движется к сингулярной линии. Как и в рассмотренных ранее случаях в менее проницаемой области Di движение нагнетаемой жидкости замедляется. Когда же область Do более проницаема, то жидкость вязкости /л 2 движется в ней быстрее, чем в области D\.
На рис. 3.1.7 показана эволюция границы Г( в слое К = уА при \к = 0,5 и Х 0,5, а на рис. 3.1.8 при А = —0,5 и Лр = 0,5. Сравнивая их с рис. 3.1.5 и рис. 3.1.6 замечаем, что нагнетаемая жидкость сильнее движется в направлении увеличения проницаемости слоя. Это связано с более резким изменением проводимости слоя. Влияние границы сопряжения слоев Г аналогично выше рассмотренным случаям.
Исследуем влияние различия вязкостей жидкостей на движение границы IV На рис. 3.1.12 показана зависимость времени достижения границы сопряжения слоев Тг от параметра Л для значений параметра Л = 0; ±0,5; —1 в слое, проницаемость которого К — у2. При Afc 0 (область DQ. более проницаема) с увеличением вязкости нагнетаемой жидкости (ростом параметра А ) время Тг увеличивается. При А 0 с ростом параметра А время Тг уменьшается. При А —У 1 время Тг стремится к единице практически для всех значений параметра Xk. На рис. 3.1.13 показана зависимость времени Тг от параметра Ая для тех же значений параметра Ajt в слое, проницаемость которого К = t/4. Видим, что при Xk — — 1 (область 2?2 моделирует бассейн со свободной жидкостью) с ростом вязкости нагнетаемой жидкости время Тг увеличивается. При А 0 с ростом параметра А время Тг уменьшается. При А - 1 время Тг стремится к единице практически для всех значений параметра А&. Сравнивая рис. 3.1.12 и рис. 3.1.13 замечаем, что с увеличением степени слоя время Тг увеличивается для всех значений параметров Afc и Ад. Аналогичная ситуация имеет место при изменении толщины слоя.
Исследуем влияние границы сопряжения и неоднородности слоев на время Тг. На рис. 3.1.14 показана зависимость времени Тт от параметра А& для различных значений параметра s. При расчётах использовалась модель «разноцветных» жидкостей (Ам — 0). Кривой 5 = 0 соответствует слой постоянной проводимости Р — 1, ограниченный непроницаемой границей L\ (см. 2.3). Как и в случае изменения толщины слоя (см. рис. 3.1.11) видим, что с увеличением степени слоя время Тг возрастает для всех значений параметра А&. При А —У 1 (непроницаемая область 1) время Тг —У оо. В рассматриваемом случае изменение параметра s оказывает меньшее влияние на время ТГ1 чем это было при изменении толщины слоя.
