Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи двумерных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения 20
1.1. Постановка задачи 20
1.2. Сведение задачи сопряжения к интегральному уравнению и определение шлейфа вымываемого загрязнения 31
1.3. Представление интегрального уравнения системой алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений — разностными соотношениями 35
Глава 2. Моделирование плоскопараллельных течений к водоза борам в кусочно-однородных слоях с очагами загрязнений 39
2.1. Течение к водозабору в слое с прямолинейной границей за грязнения 39
2.2. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде .-окружности 52
2.3. Течение к водозабору в слое с прямолинейной границей загрязнения, ортогональной линии сброса 65
2.4. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде полуокружности, примыкающей к линии сброса 75
2.5. Течение к водозабору в слое с границей загрязнения, моделируемой сложной кривой класса Ляпунова 84
Глава 3. Моделирование двумерных течений к водозаборам в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения 92
3.1. Течение к водозабору в слое Р =у? (s > 0) с прямолинейной границей загрязнения, перпендикулярной сингулярной линии 92
3.2. Течение к водозабору в слое Р =ys (s > 0) с границей загрязнения в виде полуокружности с центром на сингулярной линии 105
3.3. Двумерные течения к водозабору в слое проводимости P = ys ($ > 0, s < 0) с границей загрязнения, моделируемой сложной кривой класса Ляпунова 111
3.4. Осесимметричные течения к водозабору в слоях с загрязнёнными областями 115
Заключение 132
Литература 133
Приложение
- Сведение задачи сопряжения к интегральному уравнению и определение шлейфа вымываемого загрязнения
- Представление интегрального уравнения системой алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений — разностными соотношениями
- Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде .-окружности
- Течение к водозабору в слое Р =ys (s > 0) с границей загрязнения в виде полуокружности с центром на сингулярной линии
Введение к работе
Общие запасы воды на земном шаре составляют 1386 млн. км3 [56]. Из них большая часть значительно минерализована или солёная. Объём пресных вод составляет 35 млн. км , т.е. 2,5% общего запаса воды на Земле, причём их основная часть представляет собой ледники и снежные покровы Антарктиды, использование которых в промышленности и быту крайне осложнено. Потребление же пресной воды во всём мире неуклонно возрастает. Открытые водные бассейны уже не могут удовлетворить потребности в пресной воде. Поэтому в последнее время всё более широко и интенсивно потребляются подземные воды.
Подземные воды издавна используются человеком как источники питьевой воды. Без них не получили бы освоение и развитие обширные территории Австралии, засушливые районы Африки, Азии и Америки. На использовании подземных вод основывается современное водоснабжение крупнейших городов европейской части России. Такие города, как Курск, Брянск, Тула, Рязань получают воду, главным образом, из подземных горизонтов. Сейчас всё большую и большую роль подземные воды начинают играть даже в тех районах, где ранее водоснабжение основывалось на поверхностных водах. Связано это в первую очередь с тем, что в поверхностные воды попадают загрязнённые стоки с предприятий, животноводческих ферм, возделываемых полей. Сотни рек во всех развитых в промышленном отношении странах загрязнены настолько, что не могут уже служить источниками водоснабжения. К таким рекам, частично или полностью, относятся все большие реки европейской части России — Дон, Волга, Ока, Кама. Не менее важным фактором, определяющим преимущество использования подземных вод над поверхностными, является то обстоятельство, что они значительно лучше защищены от любого вида загрязнения, не имеют механической загрязнённости и в ряде случаев не требуют специального обеззараживания.
Таким образом, важнейшая роль подземных вод в жизни человечества определяет необходимость надёжной их охраны. Если профилактические мероприятия по предупреждению загрязнения подземных вод оказались не эффективными, или они вообще не проводились, то в области фильтрации появляются участки распространения загрязнённых вод — очаги загрязнения. Источники загрязнения, из которых в подземные воды поступают загрязняющие вещества, могут быть весьма разнообразны. Это и хранилища промстоков, и участки складирования нефтепродуктов или газовой продукции и сырья химической промышленности, и многие другие участки скопления жидких и твёрдых отходов. Источниками загрязнения могут быть также загрязнённые реки, горные выработки, районы техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий. Потребление же подземных вод выдвигает важную проблему изучение условий, обеспечивающих их чистоту. Прогноз процесса загрязнения, выявление областей (очагов) загрязнения, изучение условий работы водозаборов без загрязнения и другие направления исследований относятся к числу основных гидрогеологических задач [15].
Впервые работа водозаборных скважин с учётом естественного потока подземных вод была рассмотрена Форхгеймером [152]. Им было показано, что наличие потока подземных вод приводит к существенным изменениям фильтрационного течения к скважинам, а при работе береговых скважин вблизи поверхностного водоёма наличие естественного потока, стекающего в водоём, препятствует проникновению поверхностных вод в пласт. Форхгеймером даются условия, наложенные на дебит одиночной скважины и скважин линейного ряда, при которых не происходит подтягивания воды из загрязнённого водоёма. Опираясь на проведённые исследования [152] и моделируя скважины точечными стоками, задача об установившейся фильтрации к водозаборным скважинам в однородном пласте сводится к задаче о наложении прямолинейно-поступательного потока на систему точечных стоков. Эта задача разбирается в курсе гидродинамики [74] и для её решения применяется один из наиболее мощных средств математического анализа — аппарат теории функций комплексного переменного [35, 163, 110]. При решении задач в простейших кусочно-однородных средах используется метод подбора особых точек. Так, в работах В.П. Пилатовского [127-129], С.Д. Осятинского [102], М.И. Хмельника [155-160], М.Ф. Бариновой [5] и других, непроницаемые включения или каверны имитируются соответствующим образом подобранными особыми точками. Для кусочно-однородных сред с каноническими границами (окружностью, прямой) в работах Г.Б. Пыхачёва [138], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], В.Н. Щелкачёва [165, 166], A.M. Пирвердяна [131, 132] применяется метод изображения особых точек. Разработанный Н.Е. Жуковским [54] метод конформных отображений позволил решить большое число задач для однородного грунта. Применительно к кусочно-однородным и кусочно-неоднородным средам лишь некоторые частные задачи решены этим методом [35, 36, 139, ПО]. Используя известные решения фильтрационных задач, метод конформных отображений позволяет строить новые течения, однако, полученные результаты не всегда могут представлять практический интерес [35].
Нахождению эффективных решений задач фильтрации при частном предположении о характере течения посвящено большое число работ [139]. В них изучаются поступательные фильтрационные потоки, течения, обусловленные точечными источниками или стоками при наличии разнообразных межзональных границ. Все известные работы, посвященные граничным задачам в неоднородных средах, можно разделить на плоскопараллельные и двумерные, частным случаем последних являются осесимметричные. Проведённые рядом авторов исследования плоскопараллельных задач фильтрации можно разделить на три группы, К первой относятся фильтрационные задачи, в которых межзональные границы моделируются прямыми линиями. Этим исследованиям посвящены работы М.А. Лукомской [83], В.Н. Шелкачёва и Б.Б. Лапука [166], Г.Г. Тумашева [148], О.В. Голубевой [33-35, 139], Л.В. Костицыной [73], И.А. Чарного [162], A.M. Пирвердяна [131], Г.Б. Пыхачёва [138], А.Н.Куликова [75]. Моделирование межзональных границ окружностями рассмотрены в работах П.Я. Полу бари новой-Кочиной [134, 135], М.А. Лукомской [84], О.В. Голубевой [34, 35, 41, 139]; Н.В, Ламбина [76-79], М.А. Гусейн-Заде [48], Л.И. Костициной [72]. Для произвольных межзональных границ общие методы решения предложены Н.В. Ламбиным [76-79], В.П. Пилатовским [130]. Исследованию частных задач посвящены работы Г.Г. Тумашева [148, 149], Г.В. Голубева [29 - 32], Ш.И, Георгице [169, 170], И.А. Чарного [162, 163], О.В. Голубевой и А.Я. Шпилевого [41], В.Ф. Пивня [109, 103], М.И. Хмельника [155].
Так как реальные фильтрационные слои имеют сложную геологическую структуру, то большой интерес представляют двумерные течения в этих слоях. В работах А. Вайнштейна [174—176] разработан аппарат обобщённых осесимметричных функций. О.В. Голубевой развита теория двумерного движения идеальной жидкости в слоях на криволинейных поверхностях [35]. Г.С. Салеховым [143] и А.Г. Тукаевым [147] рассмотрена фильтрация в пластах, для которых проводимость Р удовлетворяет уравнению ДлгР -ajp = 0 (а = const). В слоях со степенным законом изменения проводимости развит метод построения решений в работах Ю.А. Гладышева [27] и Н.И. Гайдукова [26]. Для пласта с экспоненциальным законом изменения проводимости найден ряд частных решений в работах В.А. Юрисова [167]. В работах [16, 17] К.Н. Быстровым предложен способ нахождения частных решений основанный на использовании операции 1-дифференцирования и Х-интегрирования. В дальнейшем К.Н. Быстров разработал метод изучения течений в пластах с переменной проводимостью, основанный на использовании теории квазианалитических функций [18 — 21]. Изучению течений в пластах с переменной проводимостью посвящены исследования Г.Б. Пыхачёва [137, 138], P.M. Насырова [9.7, 98], Н.С. Пискунова [133], Г.Г. Вахитова [22, 23], Ф.М. Мухаметзянова [96], Т. Оровяна [171], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], О.В. Голубевой [35], В.Ф. Пивня [104, 105, 112, ИЗ, 116, 172], СЕ. Холодовского [161] и других авторов. Развивая теорию двумерных задач, в своих работах такие авторы, как И.И. Данилюк [51, 52], В.Ф, Пивень [106 -108, 111, 112], Ю.А. Гладышев [28] изучают осесимметричные течения. Эти исследования обогащают класс решённых в конечном виде трёхмерных фильтрационных задач в неоднородных и кусочно-неоднородных слоях.
Обладая известным преимуществом, отмеченные аналитические методы решения граничных задач весьма «чувствительны» к изменению области фильтрации. При сложных формах её границ применение этих методов связано со значительными (часто непреодолимыми) трудностями. Поэтому, разрабатываются и усовершенствуются , обладающие большей универсальностью, приближённые методы решения граничных задач. Так, в аэродинамике широкое распространение получил метод дискретных особенностей [80-82, 49, 68, 145]. К интегральным уравнениям сводятся и решаются численными методами краевые задачи электродинамики [70, 54, 25]. В неоднородных фильтрационных слоях грунта В.Ф. Пивнем и его учениками задачи сопряжения исследуются численными методами [115—123, 101, 153, 67, 60, 63].
Богатый опыт, накопленный в решении граничных задач, является прочной основой для дальнейших исследований в области подземной гидродинамики. В силу отмеченной актуальной проблемы защиты подземных вод от загрязнения насущной задаче об эксплуатации водозаборов в слоях (пластах грунта), содержащих очаги загрязнения, посвящены работы [11 — 15, 36 — 40, 42-46, 85, 87-91, 93-95, 99, 140, 141, 150, 154]. Большой вклад в развитие указанного направления исследования в гидродинамике сделан такими учёными, как В.М. Гольбергом, Е.Л. Минкиным, О.В. Голубевой, Ф.М. Бочевером, А.Е. Орадовской, И.Г. Бобковой, И.С. Муродовым и другими. Для обоснования качества отбираемых эксплуатационными скважинами подземных вод в работах В.М. Гольберга [42-44] исследуется структура фильтрационного потока к совершенным скважинам с учётом потока подземных вод. Определению зон санитарной охраны водозаборов посвящены труды Е.Л. Минкина [88, 89]. Критерии работы берегового водозабора без загрязнения для различных частных случаев рассмотрены И.Г. Бобковой [7 - 9], А.Н. Куликовым [75] В.Д. Бабушкиным [4] О.В. Голубевой и И.С. Муродовым [39]. Максимальный дебит скважины, работающей вблизи водного бассейна с границей в виде окружности, рассчитан в работе [10]. Фильтрационные течения в пласте-полосе с непроницаемыми границами изучены В.М. Гольбергом [44], в полосе между двумя водоёмами — А.В. Романовым [142], С.Ф. Аверьяновым [1]. В.М. Шестаковым рассматриваются две принципиально различные постановки задачи оценки условий загрязнения подземных вод [164]. В первой постановке оцениваются условия загрязнения водозабора подземных вод за счёт подтягивания воды из известного очага загрязнения. Во второй — оценивается характер распространения загрязнения в подземных водах (при фильтрации из бассейнов промстоков и при закачке промстоков в подземные водоносные горизонты).
В первой постановке, при изучении возможностей загрязнения водозабора, прежде всего оценивается область захвата подземных вод водозабором, из которой вода может поступать в эксплуатационные скважины. В пределах этой области устанавливается зона санитарной охраны водозабора [88], территория на которой ограничивается хозяйственное использование земли требованием предотвращения загрязнения подземных вод. Область захвата определяется как область, в которой линии тока направлены к водозаборным скважинам. Эта область ограничена, так называемой, нейтральной линией тока. Расчёт области захвата обычно производится в условиях стационарного или квазистационарного режима (см. работы [164, 88, 11, 44]).
Во второй постановке, при изучении распространения загрязнения, искусственно подаваемого в водоносные слои грунта или находящегося в них в виде захоронения (могильника), оценивается развитие его области во времени. Причем ставится условие, чтобы это загрязнение не могло достигнуть мест возможного использоэания воды.
Систематические исследования и решение конкретных задач о течениях к скважине в сложных гидрогеологических условиях и определение условий работы скважины без загрязнения, проведено О.В. Голубевой. В её работе [36] изучены задачи о течениях к скважине в условиях поступательного потока грунтовых вод в слоях с "различными границами загрязнённого бассейна. Здесь же указаны общие математические методы решения задач о загрязнении скважины. В работах [7, 10, 36, 39, 75, 139] поставлены и решены задачи об определении критического дебита водозабора, работающего в слое с очагами загрязнения, моделируемыми каноническими кривыми (прямой, окружностью). С счётом особенностей рассмотренных задач (задачи обладают симметрией или в качестве очага загрязнения рассмотрен бассейн со свободной жидкостью) удаётся предсказать характер области захвата водозабора, а следовательно — использовать простой критерий для определения критического дебита: критическая точка течения расположена на границе загрязнения.
Таким образом, в подавляющем большинстве известных работ при изучении течений и определении условий, исключающих возможность подтягивания загрязнения к эксплуатационной скважине проводились для загрязнённых или засоленных водоёмов. Расчёты предельно допустимого дебита водозабора, работающего без загрязнения в основном проводились для слоев постоянной проводимости и границ загрязнения в виде прямых, окружностей. При этом, в задачах об определении предельно допустимого дебита водозабора не рассматривались вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Известны работы [109], в которых определены вымываемые только поступательным потоком грунтовых вод шлейфы из очагов загрязнения, ограниченных кривыми второго порядка. Другая, важная в практическом отношении задача об определении зон санитарной охраны водозаборов решена в предположении однородности грунта. Естественные же фильтрационные слои имеют сложную структуру, да и границами загрязнения в общем случае являются произвольные кривые, которые лишь в грубом приближении можно считать прямыми и окружностями. К тому же, в фильтрационном слое могут находиться очаги загрязнения, проводимость которых конечна и отличается от проводимости соприкасающегося с ним грунта. Границами очагов загрязнения в общем случае являются произвольные кривые. В частности такие очаги загрязнения появляются в районах техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий.
Таким образом, в известных трудах не исследованы задачи о работе эксплуатационных скважин без загрязнения в неоднородных слоях при наличии в них произвольных границ загрязнения и в этих условиях не рассмотрены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы, В связи с этим, в сложном по геологической структуре фильтрационном слое поставим задачу об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение и исследование этой задачи, помимо самого шлейфа, позволяет найти условия при которых водозабор не j загрязняется (указать расположение водозабора в области фильтрации, его критический (предельно допустимый) дебит), а в случае загрязнения водозабора — определить относительное загрязнение вод в водозаборе (коэффициент загрязнения водозабора).
Целью работы является построение и исследование новых математических моделей двумерных течений к водозаборам в неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения, исследование вымываемых загрязнённых шлейфов, определение условий работы водозаборов без загрязнения, а в случае загрязнения — коэффициента загрязнения водозабора.
Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:
1. Построены и изучены новые математические модели двумерных течений к водозаборам, работающим без загрязнения в сложных по геологической структуре слоях. Проводимость слоев моделируется степенной функцией координат, а границы загрязнения — кривыми класса Ляпунова.
2. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение этой задачи позволяет указать условия, при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора и его критический де 10
бит), а в случае загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.
3. Для канонических границ (прямая, окружность) получены в конечном виде новые решения задач об определении шлейфа вымываемого загрязнения, найден критический дебит водозабора, работающего без загрязнения. Эти решения используются в качестве тестовых при численных расчётах задач в случае сложных границ загрязнения.
4. Для сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование шлейфа вымываемого загрязнения сводится к решению интегрального уравнения второго рода типа Фредгольма. Для его решения используется метод дискретных особенностей (МДО). Этот метод позволил значительно расширил класс исследуемых задач и рассмотреть очаги загрязнения, ограниченные кусочно-ляпу но вскими кривыми.
5. Построены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Указаны условия, при которых водозаборы, расположенные в кусочно-неоднородных слоях работают без загрязнения: найдены их местоположения в слое и критические дебиты. Исследовано влияние различных параметров фильтрационного течения на размеры вымываемых шлейфов загрязнения, на предельно допустимый дебит водозабора.
Сведение задачи к интегральному уравнению и применение МДО позволили значительно расширить класс решаемых задач. Построенные и исследованные модели граничных задач двумерных фильтрационных течений могут быть применены к другим физическим процессам, описываемыми аналогичными уравнениями.
Практическая значимость работы. В работе построен и изучен широкий класс новых двумерных (в том числе осесимметричных) моделей фильтрационных течений. Эти модели применены к расчёту конкретных природных слоев (пластов), содержащих очаги загрязнения и имеющие сложную геологическую структуру.
Найден вымываемый шлейф загрязнения, указаны условия работы водозаборов без загрязнения, определены области захвата эксплуатационных скважин (зоны их санитарной охраны). Исследованы влияния на размеры вымываемых шлейфов и на предельно допустимую мощность работающего без загрязнения водозабора неоднородности слоя, формы, размера и проницаемости очагов загрязнения, удалённости водозабора от загрязнённой области. Исследовано влияние симметрии задачи на предельно допустимый дебит водозабора. Результаты этих исследований позволили определить условия, при которых вместо сложных численных расчётов на основе интегральных уравнений, можно использовать простые (в ряде случаев известные) формулы для нахождения предельно допустимого дебита.
Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях, в частности, для определения зон санитарной охраны водозаборов и расчёта их предельно допустимых дебитов.
Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью проведённых математических исследований, подтверждена сопоставлением полученных аналитических и численных решений конкретных задач с известными результатами, которые являются частными случаями полученных решений.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров, профессор U.K. Ли фанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).
По мере получения основные результаты работы докладывалась на семинарах «Проблемы гидродинамики» в ОГУ (1999 - 2003 г.), ежегодных конференциях преподавателей ОГУ (1997-2003 г.), на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОрёлГТУ, 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2000 г.), на X Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (посёлок Лазурное Херсонской области, XI ПИ, 2001 г.), на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», (г. Казань, Казанский гос. техн. ун-т, 2002 г.).
Кроме того, основные результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20-23 мая 1996 г.); на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г.Красноярск, 25-30 августа 1997г.); на «VII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука» (Украина, Киев, 1998 г.); на международных конференциях: «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12- 16 октября 1998 г.), «Modern approaches to flows in porous media» (г.Москва, 6-8 сентября 1999 г.), «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17—19 ноября 1999 г.). Публикации, Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [58 - 67,120 - 126,173].
На защиту выносятся: постановка новой задачи об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных слоях; полученные в конечном виде новые решения для границ загрязнения в виде прямой и окружности; решение на основе интегрального уравнения поставленной задачи в случае сложных границ очага загрязнения; разработанная схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора; найденные: зоны санитарной охраны водозабора, условия работы водозаборов без загрязнения, коэффициенты загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значение; исследованные зависимости размеров и формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины предельно допустимого дебита водозабора от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора, симметрии задачи.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография содержит 176 наименований. Общий объём работы составляет 200 страниц.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведён обзор литературы по теме исследования. Указана цель работы, её новизна, теоретическая и практическая значимость, достоверность полученных результатов, их апробация. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
Сведение задачи сопряжения к интегральному уравнению и определение шлейфа вымываемого загрязнения
Исследуя форму шлейфа вымываемого загрязнения при различных значениях дебита водозабора q, определяется критический дебит q . В некоторых, наиболее простых схемах фильтрации (в кусочно-однородной среде одиночная эксплуатационная скважина работает в поступательном потоке грунтовых вод близи прямолинейной или круговой границы загрязнения [139]), подтягиваемой к водозабору части шлейфа G t не образуется, если критическая точка течения z є D\ или, в предельном случае — попадает на границу загрязнения Г. Тогда, нахождение q , согласно [115], состоит в совместном решении задачи сопряжения (1.1.10), (1.1.21)-(1.1.24) и уравнений (1.1.27), (1.1.12). Отметим, что в этом случае неизвестным является входящий в (1.1.19) дебит q - q . В работах [60, 63] предложенным методом рассчитан критический дебит водозабора когда границы загрязнения моделируются ляпуновскими и кусочно-ляпуновскими кривыми, обладающими симметрией относительно линии, параллельной направлению скорости поступательного потока и проходящей через точку z0 забоя водозабора. В более сложных схемах фильтрации (даже при наличии одной границы загрязнения Л, но произвольно ориентированной относительно направления скорости поступательного потока грунтовых вод и одиночной эксплуатационной скважины, положение которой в слое не связано с той или иной симметрией течения) условие не подтягивания загрязнения к водозабору является довольно сложным. Поэтому определение критического дебита водозабора осуществим в ходе проведения численного эксперимента. Суть его заключается в том, что для фиксированного дебита водозабора решаем задачу сопряжения (1.1.10), (1.1.21)-(1.1.24). Далее, определяем шлейф вымываемого загрязнения Gt и анализируем, попадает ли он в водозабор или нет. Варьируя входящим в (1.1.19) параметром q и решая задачу определения шлейфа G tf находим такое значение дебита водозабора д , при котором он не загрязняется, а при q — q + Aq (Aq — малая величина, равная требуемой точности определения дебита водозабора) — в эксплуатационную скважину попадает загрязнённая жидкость. Значение q и есть найденный в ходе проведения численного эксперимента критический дебит водозабора. Таким образом, определение критического (предельно допустимого) дебита водозабора можно осуществить по следующей схеме численного эксперимента:
1. Для заданных: комплексного потенциала (1.1.19) и границы загрязнения (1.1.12)—решить задачу об определении вымываемого шлейфа G\.
2. Провести контроль: попадает или нет вымываемое загрязнение в водозабор.
3. Если в водозабор не попадает загрязнённая жидкость, то его мощность увеличить на малую величину. Если же шлейф вымываемого загрязнения попадает в водозабор, то мощность водозабора требуется уменьшить.
4. Повторять численный эксперимент для новых значений дебита q до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность в определении критического дебита.
Определение коэффициента загрязнения водозабора
В случае, если водозабор работает с дебитом q q , то в него спустя некоторый промежуток времени, определяемый в результате исследования эволюции подвижной границы Г\ шлейфа загрязнения G t, попадает прошедшая через область D2 загрязнённая жидкость. В этих условиях важно оценить степень загрязнения эксплуатационной скважины. Последнее позволит выбрать такой режим её эксплуатации (подобрать её дебит), при котором она работает с допустимой нормой загрязнения.
Степень загрязнения водозабора характеризуется относительным загрязнением вод в водозаборе [139]. Введём в рассмотрение коэффициент загрязнения водозабора р, равный относительному загрязнению вод в водозаборе. Тогда, где ЛЯ— количество загрязнённой жидкости в водозаборе, Я— суммарный дебит водозабора. Для определения ДЯ необходимо вычислить поток жидкости через кривую уо, являющуюся общей частью границы загрязнения Г и той части шлейфа вымываемого загрязнения, которая попадает в водозабор ( о—кривая z3zb рис. 1.1,3 или 2 рис. 1.1.4, или zxz2 рис. 1.1.5). Обозначая ип нормальную составляющую скорости на /о. имеем после интегрирования, находим где 2] и z2 — начальная и конечная точки кривой /о- Согласно (1.1.32), расход жидкости через уь не зависит от формы этой кривой и определяется только значениями функции тока в её крайних точках.
Представление интегрального уравнения системой алгебраических уравнений и дифференциальных уравнений — разностными соотношениями
Следуя работе [81], применим метод дискретных особенностей к решению уравнения (1.2.3), Для этого, кривую /"разобьем по естественному параметру І (I е [0, у], где у — длина кривой Г) на достаточно большое число и равных отрезков. Отметим, что контур /"разбивается так, чтобы он обходился по часовой стрелке. Получим множество точек = - + щ (J = 1, 2, ...,«), отстоящих друг от друга на шаг разбиения h — yln. Для достаточно большого числа разбиений п, интегральное уравнение (1.2.3) сводится с помощью квадратурной формулы прямоугольников [100] к системе уравнений:
Таким образом, имеем п линейных алгебраических уравнений относительно и неизвестных gj (/= і, 2, ..., ri). Систему (1.3.1) решаем методом Гаусса [2].
Отметим, что метод дискретных особенностей расширяет класс решаемых задач, так как позволяет исследовать задачи с границами загряз нения, моделируемыми кривыми кусочно-ляпуновского класса. При этом, граница Г разбивается таким образом, чтобы точки разбиения (/ = 1, 2, ..., п\ не попадали в точки стыковки ляпуновских кусков. Построение линий тока
Наиболее просто удаётся строить линии тока, когда функция тока комплексного потенциала (1.1.18) представлена в простом аналитическом виде. Тогда, переходя в (1.2.6) от интеграла к сумме, уравнение линии тока, проходящей через заданную точку zr принимает вид:
Для широкого класса слоев, проводимость которых моделируется степенной функцией координаты точки z, функцию тока комплексного потенциала (1.1.18) не удаётся представить в простом аналитическом виде [112, 114]. Тогда необходимо решать дифференциальное уравнение (1,2.8). Подобно тому, как от интеграла в (1.2.6) перешли к сумме и записали уравнение (1.3.2), преобразуем интегралы, входящие в (1.2.8). Тогда, определение линии тока, проходящей через заданную точку zr, может быть сведено к решению обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка:
Основная задача, связанная с уравнением (1.3.3), известна как задача Коши: найти решение уравнения (1.3.3) в виде функции у =/(х), проходящей через заданную точку (;с(0); У0)). Существование и единственность решения уравнения (1.3.3) обеспечиваются теоремой Пикара [55]. Тогда решение уравнения (1.2.8) будет существовать и при этом будет единственным в области выколотой особыми точками фильтрационного течения (точки забоя скважины, критические точки течения, точки, соответствующие дискретным особенностям, Которыми моделируется сложная граница загрязнения IS). В классическом анализе разработано немало приёмов нахождения решений дифференциальных уравнений через элементарные (или специальные) функции. Между тем, [55] весьма часто при решении практических задач эти методы оказываются либо совсем бесполезными, либо их применение связано с недопустимыми затратами усилий и времени. Так, сложность уравнения (L3.3) побуждает применить численные методы для его решения. Наиболее эффективным из них [55], в данном случае, является метод Рунге-Кутта по схеме четвёртого порядка точности. Применим его для нахождения решения уравнения (1.3.3) на интервале [а; Ь] и удовлетворяющего условиям:
Если строится линия тока, проходящая через критическую точку (или точку, принадлежащую границе сопряжения Г, совпадающей с одной из точек дискретных особенностей, моделирующих Г) и расположенная левее этой точки, то Ъ = х , a = const Ъ. Если строим линию тока расположенную правее критической точки, то а = х , b = const а. В силу отмеченной Теореме Пикара, начальные условия (1.3.4) необходимо изменить. Сместимся из критической точки вверх по потоку на малую величину є (» 10 6). В связи с этим, в (1.3.4) х(0) = д + є,У0) -у + е.
Разобьём интервал [а; Ь\ на достаточно большое число равных отрезков hx. Получим точки Х\ х{0); Хг\ х3; ...; v Согласно [55], для определения соответствующих значений уг\ у з; --.; J-V (у і =У ) точек ZJ = XJ + iyj (/ = 1,2,..., /J), через которые проходит искомая линия тока, имеем n — число дискретных особенностей, моделирующих границу сопряжения Г. Плавно соединив найденные точки zj (J = 1, 2, ..., //), построим искомую линию тока. Отметим, что метод Рунге-Кутта по схеме четвёртого по рядка точности, даёт на шаге погрешность пропорциональную пятой степени шага. Поэтому, выбирая достаточно малое значение шага разбиения (hx -10" l(b-а)) отрезка [а} Ь]} имеем высокую точность решения уравнения (1.3.3). Представление дифференциальных уравнений разностными соотношениями
Выделяя в уравнении (1.2.9) действительную и мнимую части, сводим его к системе двух дифференциальных уравнений, которые решаем численно методом ломаных Эйлера [86].
Течение к водозабору в слое с границей загрязнения в виде .-окружности
Пусть загрязнение занимает ограниченную часть области фильтрации и вне её расположена работающая в условиях поступательного потока эксплуатационная скважина. Моделируем границу загрязнения окружно стью радиуса а. С учётом вида границы загрязнения Г, целесообразно выбрать полярную систему координат. Свяжем её полюс с центром окружности, а полярную ось направим против вектора скорости потока в точке, удалённой от Г на значительное расстояние по сравнению с а. В выбранной системе координат уравнения (1ЛЛ2) границы загрязнения Г принимает вид: Течение в однородной среде {к\ =к2 \) к работающей в условиях поступательного потока грунтовых вод эксплуатационной скважине опишем комплексным потенциалом вида [35, 139]: При наличии границы загрязнения Г, заданной уравнениями (2.2.1), течение в областях А (г а) и / (г а) опишем комплексными потенциалами (ІЛЛІ). Согласно фильтрационной теореме об окружности [35] и формулы (2.2,2), решение задачи сопряжения (1Л ЛО), (1Л ЛЗ) имеет вид: Отметим, что течение к водозабору, расположенному ниже оси Ох, совпадающей с полярной осью, является зеркальным относительно оси Ох изображением течения к водозабору, расположенному симметрично относительно Ох (выше оси Ох). В случае, если эксплуатационная скважина расположена на оси абсцисс, то в силу (2.2.3), ось Ох является линией тока. Тогда, при 6$ = я в водозабор попадает вымываемое из области 2 загрязнение.
Таким образом, в дальнейшем считаем, что вц = є [0; ті). Определение положения критической точки Координаты критической точки г» ищем из уравнения (1.1.27), В силу (2.2.3) для областей D\ (г а) и Дг (г а) оно принимает вид: Учтём, что ZQ Є DI (ГО а). Тогда, в силу (2.2.9), ордината водозабора удовлетворяет условию: х0 уа -у0 . А так как, входящий в условие (2.2.8) дебит q не отрицателен, то Таким образом, точка z є -C UT, а её координаты определяются по формулам (2.2.6), если: 1) для координат водозабора имеют место неравенства (2.2.9), (2.2.10); 2) дебит водозабора удовлетворяет условию (2.2.8). Координаты точки z є D\ найдём из уравнения (2.2.4). Оно может быть сведено к уравнению четвёртой степени относительно комплексной переменной z = х + г у . Решение последнего связано с громоздкими вычислениями. Рассмотрим частные случаи уравнения (2.2.4). Пусть д = 0. Тогда уравнение (2.2.4) принимает вид: z 2 - Ла2 = 0. Откуда
Так, как \Я\ 1, а для D\ z а, то при q = 0 в рассматриваемой области критических точек нет. Лишь в пределе, когда z попадает на Г, то Последнее согласуется с результатами известных трудов [35, 74]. ПУСТЬ а « гп (размеры очага загрязнения малы по сравнению с расстоянием до водозабора). Полагая А«0, уравнение (2.2.4) принимает вид: Таким образом, в отсутствии области 2 или при малых размерах очага загрязнения (а « 0), критическая точка течения находится на прямой, параллельной вектору скорости поступательного потока и проходящей через тоску ZQ. В общем случае, решение уравнения (2,2,4) связано с отмеченными выше трудностями, а так как конечной целью исследования является определение (построение) шлейфа вымываемого загрязнения, то поиск критической точки в области D\ целесообразно осуществить численными методами. Для этого уравнение (2.2.4) представим в соответствующем виде. Так, выделяя в нём действительную и мнимую части, запишем систему двух уравнений относительно неизвестных х , у . Физический смысл последних уравнений состоит в том, что проекции на декартовы оси координат скорости фильтрации в критической точке г равны нулю. Как уже отмечалось, при решении задачи целесообразно использовать полярную систему координат. Тогда, перейдя к проекциям скорости в полярной системе, для определения координат г , в критической точки г Д, имеем
Течение к водозабору в слое Р =ys (s > 0) с границей загрязнения в виде полуокружности с центром на сингулярной линии
Отметим, что в рассматриваемом частном случае z є D\, если дебит водозабора д тшх (\ — Л). В противном случае, при # = ;шх0/(1 - А), z» Г, а при у яихо/(1 - Л) критическая точка, в силу проведённых выше исследований положения точки z є DzVr, находится в области 2 и ее" координата рассчитывается по формуле (2.3.11), где берётся знак минус и полагается уо = 0. Таким образом, при уц = 0 и q O в области фильтрации D имеется только одна критическая точка. Подчеркнём, что полученные результаты согласуются с исследованиями, проведёнными в 2.1.
В общем случае, Когдау$Ф 0, уравнение (2.3.18) сводится к уравнению четвёртой степени относительно координаты z». Решение последнего связано с громоздкими вычислениями что побуждает применить численные методы. Выделяя в (2.3.18) действительную и мнимую части, имеем систему двух уравнений относительно искомых координат критической точки. Решая последнюю численными методами [55, 57], на рис. 2.3.2 и рис. 2.3.3 представлены зависимости абсциссы и ординаты точки z от дебита водозабора. На рис. 2.3.1 представлены соответствующие траектории движения критической точки при изменении дебита водозабора. Достоверность численных расчётов проверена сопоставлением случая у0 = 0 с формулой (2.3.19), а так же — сопоставлением предельных значений, когда z стремится к Г из областей Dv и 2 (Для области D2Ur имеется аналитическое решение (2.3.11), если имеет место условие (2.3.13) и решение (2.3.12), если — (2.3.14)). Отметим, что проведённый численный эксперимент для водозабора, удовлетворяющего условию (2.3.14), подтверждает сделанное в конце исследования положения точки z є D2XJF предположение о том, что вторая критическая точка в случае превышения дебита водозабора значения (2.3.7) попадает в область D\,
Обобщая проведённые исследования местоположения критической точки, заключаем, что при о Ои достаточно малой мощности эксплуатационной скважины точка z единственна и находится вблизи точки ZQ. ДЛЯ больших значений дебита q критическая точка располагается дальше от точки zo и ближе к линии сброса L, а при некотором значении дебита q - qi, точка г попадает на L. Если q qL, то в области фильтрации имеются две критические точки. При этом, z i и z 2 расположены на линии сброса. Расстояние между этими точками увеличивается с ростом дебита водозабора. Отметим, что максимальное значение мощности водозабора qi при котором в области фильтрации D имеется лишь одна критическая точка, зависит от координат водозабора. Так, если имеет место условие (2.3.14), то qi определяется по формуле (2.3.17) и г є D2. Если для координаты водозабора имеет место условию (2.3.13), то г Db a qL удовлетворяет уравнению (2.3,18), гдег+ —х . Отметим, что из уравнения (2.3.18) определялись координаты точки z є D\. Эти исследования позволяют найти и значение дебита q Так, на рис. 2.3.2 ему соответствует то значение мощности эксплуатационной скважины, при которой соответствующий график начинает "ветвиться", а на рис. 2.3.3 — когда график "пересекает" ось абсцисс.
Проведённые исследования положения критической точки Z и точки zm є Г (m = 1, 2) для различных значений координат и дебита водозабора, позволяют указать условия появления и задать стационарные границы шлейфов Gt. Так, если координата точки z0 удовлетворяет условию (2.3.5), то единственно возможная точка Z\ появляется при мощности эксплуатационной скважины, рассчитанной по формуле (2,3,7). При этом, точка z\ совпадает с критической точкой. При больших значениях дебита водозабора эта критическая точка, оставаясь на L, попадает в область 2, а точка z\ имеет координаты (2.3.4), где необходимо выбрать знак плюс. Таким обра зом, при значениях д больших чем (2.3.7), из области D% вымывается попадающий в водозабор шлейф загрязнения Gt. Он заключён между границами Г, L и линиями тока ZiZ0, z 2Z0. Отметим, что если координата $Q водозабора удовлетворяет условию (2.3.5) и дебит q меньше (2.3.7), то вымываемого шлейфа загрязнения Gt не образуется. Расчёты и численный эксперимент показали, что для водозабора, удовлетворяющего условию (2.3.6), ордината критической точки z меньше ординаты точки z0 и для конкретного дебита q шлейфы вымываемых загрязнений похожи на подробно исследованные в 2.1. Так, если мощность эксплуатационной скважины не превышает величины (2.3.8), то линии тока, проходящие через любую точку границы загрязнения пересекают Г лишь единожды и шлейфа Gt не образуется. При больших значениях д, но не превышающих д } вымываемое из 2 загрязнение в водозабор не попадает, а заключено в области D\ между границей Г и линией тока, проходящей через точку z\ (координаты точки z\ определяются по формуле (2.3.4), где выбирается знак "+"). Если мощность эксплуатационной скважины больше q , но не превышает значения при котором критическая точка z покидает область D\ (z є Г), то шлейф вымываемого загрязнения Gt при неограниченном возрастании времени t, с одной стороны ограничен Г, а. с другой — линиями тока: Z[ZQ, z za. Отметим, что в этом случае в водозабор будет попадать загрязнённая жидкость, прошедшая через область 1. При больших значениях дебита q форма шлейфа Gt зависит от числа точек zm є Г. Так, если на /"имеются две точки z\ и Z2, то шлейф Gx при t -У с» заключен между Г и линиями тока, исходящими из этих точек. Если же на Г одна точка гь то при неограниченном возрастании времени, шлейф вымываемого из D загрязнения ограничен частью Г (заключённой между точкой zj и началом координат), линией сброса и линиями тока, проведёнными по направлению фильтрационного потока из точек z\ и z %.
Подвижную границу Гх шлейфа вымываемого загрязнения в любой момент времени t О, ищем в ходе решения при начальных условиях вида (2.1.27) системы дифференциальных уравнений, следующих из (1.1.17) при учёте (1.1.11), (2.3.3).
