Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Процессы переноса веществ в водоемах 10
1.1. Обзор процессов распространения веществ 14
1.2. Постановка задачи 27
1.2.1. Модель гидродинамики Цимлянского водохранилища 27
1.2.2. Модель переноса взвешенного вещества 32
Глава 2. Разностные схемы для уравнения конвекции-диффузии с граничными условиями Ш-го рода 37
2.1. Основные понятия теории разностных схем 37
2.1.1. Построение конечно-разностных аналогов краевых задач математической физики 38
2.2. Обзор разностных схем решения уравнений диффузии, переноса и конвекции-диффузии 42
2.3. Противопотоковая аппроксимация трехмерной задачи переноса вещества 50
2.4. Некоторые подходы к численному решению задач водной экологии.. 53
Глава 3. Численная реализация модели и проведение вычислительных экспериментов 56
3.1. Расчет течений в южной части Цимлянского водохранилища 61
3.2. Численное исследование основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище 69
3.2.1. Исследование процесса распространения радионуклидов в случае их залпового выброса в районе ВоАЭС 70
3.2.2. Исследование процесса распространения загрязнения через береговые стоки 77
3.2.3. Исследование процесса распространения загрязнения через реку Цимла 86
3.2.4. Исследование процесса поступление вещества из створа р. Дон... 93
3.2.5. Исследование процесса распространения вещества, осевшего на всю водную поверхность Цимлянского водохранилища 99
3.3. Выводы по результатам проведенных вычислительных экспериментов 107
Глава 4. Реализация на МВС программ расчета переноса и оседания вещества в Цимлянском водохранилище 109
4.1. Программный комплекс 112
4.2. Библиотека параллельных методов Aztec 122
4.2.1. Сравнение итерационных методов решения СЛАУ из пакета Aztec 123
4.2.2. Выбор вычислительной платформы 124
Заключение 128
Литература
- Модель гидродинамики Цимлянского водохранилища
- Построение конечно-разностных аналогов краевых задач математической физики
- Численное исследование основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище
- Библиотека параллельных методов Aztec
Введение к работе
В условиях дефицита выработки электроэнергии тепловыми и гидроэлектростанциями в настоящее время существенно возрастает роль атомной энергетики. По этой причине строительство и ввод в эксплуатацию Волгодонской атомной электростанции (ВоАЭС) имел важное народнохозяйственное значение. Строительство Волгодонской АЭС началось в 1979 году, но в 1990 году было принято решение о его приостановке. Это было связано с аварией на Чернобыльской АЭС в 1986 году. Однако в 2000 году работы по строительству ВоАЭС возобновились, и 30 марта 2001 года был подключен к единой энергосистеме первый блок ВоАЭС, который произвел уже 36 млрд кВт ч для потребителей Ростовской и Волгоградской областей, Краснодарского и Ставропольского краев. В настоящее время энергосистеме юга России этого объема энергии уже недостаточно, поэтому она вынуждена сегодня получать электроэнергию из других регионов страны. В связи с этим в июне 2006 года правительством РФ принято решение о возобновлении строительства второго энергоблока. Ввод второго энергоблока мощностью 24 млн. кВт ч в сутки позволит регионам юга России самим обеспечивать себя электроэнергией.
Однако запуск в эксплуатацию атомной станции, а также ввод новых мощностей влекут за собой новые проблемы, связанные с радиационной безопасностью вокруг АЭС и прилегающей к ней зоны. В этой связи необходим прогноз последствий выброса загрязняющего вещества, с целью обеспечения первоочередными мерами по защите от загрязнения, и прежде всего радиоактивными веществами, района вблизи станции.
Актуальность данной работы определяется следующими причинами. Нужен особый контроль над содержанием и распространением основных радиоактивных и загрязняющих веществ, как в воздухе, так и в Цимлянском водохранилище в районе ВоАЭС. Для того чтобы оценить влияние выбрасываемого вещества на окружающую среду, необходимо заранее спрогнозировать поведение примесей, появление которых в атмосфере или в воде возможно в процессе работы электростанции в обычном режиме или в результате аварии. По этой причине весьма важным становится создание математической модели, которая адекватно отражает происходящие в водной среде процессы переноса загрязняющего вещества. Такая модель позволит в динамике рассмотреть процессы радиоактивного и нерадиоактивного загрязнения и, в случае необходимости, сделать прогнозы на дальнюю и ближнюю перспективы.
Построение математической модели и проведение на ней вычислительного эксперимента дают возможность оценить последствия реализации проектов, связанных с воздействием на природную среду, в том числе при возникновении всевозможных кризисных и экстремальных ситуаций. В настоящее время существует модель «Basin» для прогнозирования поведения радионуклидов в конкретном водоеме. Данная модель применялась для расчета последствий нормативного и аварийного загрязнения радионуклидами водоема-охладителя ВоАЭС. Модель «Basin» относится к классу камерных моделей и требует ряд допущений: радиоактивные вещества, внесенные в водоем, распределяются по всему объему водной массы мгновенно и равномерно; механизмы переноса радионуклидов в водоеме описываются реакциями первого порядка с постоянными коэффициентами; динамические факторы (течения) на величину диффузионного коэффициента массообмена радионуклидов не влияют; предполагается, что донные отложения, участвующие в процессах обмена, являются средой с изотропными сорбционными и водно-физическими свойствами. В процессах взаимодействия с водой главную роль играет эффективный слой донных отложений, мощность которого определяется экспериментально.
Целью диссертации является разработка, численная и программная реализация математической модели, описывающей процессы распространения и оседания загрязняющего вещества в южной части Цимлянском водохранилище. Данную модель можно использовать при разработке методологии анализа риска радиоактивным загрязнением акватории южной части Цимлянского водохранилища.
Для достижения поставленной цели необходима разработка и программная реализация математической модели южной части Цимлянского водохранилища для исследования: залпового выброса загрязнения из трубы АЭС на водную поверхность водохранилища; поступления загрязнения в водохранилище через береговую линию; поступления загрязнения с притоками малых рек, например, р.Цимла; поступления загрязнения из створа р. Дон; поступления загрязнения через всю водную поверхность.
Объектом исследования являются процессы распространения загрязняющего вещества в водоемах, в частности в Цимлянском водохранилище, включающие конвективно-диффузионный перенос, взмучивание и оседание взвешенного вещества.
Методы исследования основаны на основных положениях теории операторно-разностных схем, а также опираются на результаты вычислительного эксперимента.
Научная новизна. Цимлянское водохранилище до настоящего времени не имело ни математической модели гидродинамики, ни модели процессов переноса и распространения вещества. Проведенные на представленной математической модели вычислительные эксперименты, а также анализ полученных результатов позволил получить оценку последствий возможных выбросов загрязняющих веществ, в том числе радионуклидов, в Цимлянское водохранилище.
Достоверность. Представленные в диссертации результаты имеют математическое обоснование. Проведенные численные эксперименты хорошо согласуются с натурными данными.
Практическая значимость. Созданный программный комплекс, реализующий математическую модель распространения радионуклидного загрязнения в водоеме, может быть использован Гидрометеоцентром и МЧС для численного моделирования и прогноза изменений полей загрязняющих веществ во внутренних водоемах, для исследования процессов оседания веществ. Разработанная программа позволяет пользователям с различным опытом работы с компьютером производить необходимые расчеты независимо от конфигурации рабочего места.
Апробация работы. Полученные результаты были представлены на следующих конференциях: XI Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования"; Дюрсо, 2005 XVI Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам", посвященная памяти К.И.Бабенко, Дюрсо, 2006.
Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования», июнь 2006 г., Владикавказ VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2006), 26 июня - 1 июля 2006 г., С.-Петербург;
Международной конференции «Тихонов и современная математика», Москва, 2006 XXXV школе семинаре «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования», 10-15 сентября 2007, г. Ростов-на-Дону
В полном объеме диссертационная работа докладывалась на научном семинаре «Методы решения краевых задач» лаборатории вычислительного эксперимента ЮГИНФО ЮФУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, в том числе 9 в соавторстве. Из них 2 статьи в российских реферируемых журналах, 4 статьи в сборниках трудов и 6 в тезисах докладов всероссийских и международных конференций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы 135 страниц, содержит 66 рисунков, 12 диаграмм, 5 таблиц. Список литературы содержит 73 наименования.
Содержание работы
Во введении изложены основные цели и задачи диссертации, показаны их актуальность и практическая значимость, дано краткое содержание работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена обзору литературы и постановке задачи. В первом разделе описываются процессы переноса и распределения веществ в водоемах. Приведены существующие модели переноса радионуклидов, взвешенного вещества, а также процесса оседания примесей и образования донных отложений. Дается описание процессов, участвующих в распространении радионуклидов.
Во втором разделе главы приводится постановка задачи. Математическая модель процесса переноса вещества имеет две составляющие: первая описывает гидродинамику, а вторая -непосредственное распределение концентрации вещества при уже определенном поле скоростей.
Для определения поля скоростей течения воды была использована методика [50]. Основная идея данной модели - разбиение всей расчетной области на мелководный слой и глубоководную область. Движение воды в мелководном слое описывается уравнениями мелкой воды, а движение в глубоководной области - системой, состоящей из трехмерных уравнений количества движения и уравнения неразрывности, к которым добавляется уравнение гидростатического давления.
Модель переноса взвешенных частиц описывается трехмерным уравнением конвекции-диффузии. Граничные условия задают поток только на дне, где возможно оседание или отрыв частиц, а также на участках боковой границы, где возможно поступление вещества со стоками рек. На других участках границы предполагается отсутствие потока. Толщина донного осадка задается уравнением деформации основания.
Во второй главе изложены основные понятия теории разностных схем.
В первом разделе описывается построение конечно-разностных аналогов краевых задач, даются определения основных понятий теории разностных схем, приводятся различные типы конечно-разностных схем.
Во втором разделе приведен краткий обзор разностных схем решения уравнения переноса.
В третьем разделе подробно описывается конечно-разностная схема трехмерной задачи конвекции-диффузии с противопотокой аппроксимацией конвективных членов. Приведенная схема используется в дальнейших расчетах. В конце раздела приведено краткое описание некоторых методов решения систем линейных алгебраических уравнений.
В третьей главе приводятся основные результаты вычислительных экспериментов на построенной модели, дается краткое описание гидрологии Цимлянского водохранилища.
В первом разделе приводятся результаты расчета полей течения при различных ветровых ситуациях. Численно установлено, что при одном и том же направлении ветра возможны два совершенно разных типа течения. Первый тип носит характер поступательного по всей акватории движения жидкости без образования каких-либо зон циркуляции. Такое течение возникает в первые часы действия ветра. Второй тип течения возникает при продолжительном действии ветра. Течение имеет много циркуляционных зон и носит установившийся характер. Дальнейшие расчеты переноса и оседания вещества проводились с учетом этих двух типов течения.
Во втором разделе приводятся результаты численного исследования основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище: залповый выброс загрязнения из трубы АЭС на водную поверхность водохранилища; поступление вещества в водохранилище через береговую линию; поступление загрязнения через р.Цимла; поступление загрязнения из створа р. Дон. поступление вещества через всю водную поверхность;
В третьем разделе приведены основные выводы по результатам проведенных вычислительных экспериментов. В частности, установлено, что для течений второго типа, когда существует множество циркуляционных зон, распределение концентрации вещества и донного осадка от направления действия ветра зависит не так сильно, как для течений первого типа. Кроме того, с учетом среднегодовой розы ветров наиболее ожидаемыми районами накопления взвешенного вещества и донного осадка являются акватория порта Волгодонск, район плотины ГЭС и Терновская балка. Исследовав динамику процесса накопления и удаления взвеси в фиксированной точке водохранилища, установлено, что накопление вещества происходит гораздо быстрее его удаления.
В четвертой главе дается краткое описание высокопроизводительных вычислительных систем, используемых для расчетов, а также библиотеки параллельных методов Aztec. Описывается программа, реализующая предложенную трехмерную математическую модель переноса и оседания загрязняющего вещества в водоеме, а также дается описание тех данных, которые необходимо ввести. Приводится сравнение по времени счета различных вычислительных платформ и методов решения СЛАУ.
В заключении приводятся основные выводы по проделанной работе.
К защите представлены следующие результаты:
Построена и откалибрована трехмерная математическая модель процесса переноса и оседания загрязняющего вещества в южной части Цимлянского водохранилища.
Составлен программный комплекс расчета гидродинамических параметров течения, распределения концентрации взвешенного вещества и величины донного осадка, реализованный на высокопроизводительных вычислительных системах.
Получены и проанализированы результаты вычислительных экспериментов по исследованию процессов переноса и оседания загрязняющего вещества в южной части Цимлянского водохранилища.
Модель гидродинамики Цимлянского водохранилища
В целом рельеф ложа водохранилища весьма изменчив. Это связано с тем, что акватория водоема занимает не только площадь русла и поймы Дона, но и большую часть надпойменных террас. Поэтому в пределах одного и того же участка глубины заметно изменяются в зависимости от распределения различных элементов рельефа на дне водохранилища. Так в отдельных районах глубина может достигать 20-25 метров (старое русло Дона), и в то же время в районе Волгодонска и устья реки Цимла глубина составляет 0,5 -2 м (Рис. 1.1). В настоящее время на зоны мелководья (до 6 м глубины) приходится свыше 12-15% всей его площади.
Основными видами течений в приплотинный акватории являются ветровое и компенсационное. Стоковые течения на этом участке хорошо выражены только на расстоянии приблизительно трех километров от ГЭС [9].
Преобладающие ветры (северо-восточные, восточные и западные, юго-западные) в значительной степени обусловливают движение водных масс водоема. Глубина проникновения ветрового течения и мелководных береговых районах (8-Ю м) может распространятся до дна. В более удаленных от берега районах граница раздела ветрового и компенсационного течений проходит на глубине 4-5 м. Максимальные скорости обнаруживаются на глубине 4-6 м. Максимальные скорости компенсационных течений сосредоточены на границе раздела. Средние скорости ветровых и компенсационных течении составляют соответственно 3-8 см/сек (максимум 35-40 см/сек), и 2-4 см/сек (максимум 8-Ю см/сек). При продолжительности ветра 4-5 часов наблюдается устойчивая схема циркуляции водных масс [9,47].
В прибрежной части водохранилища от х. Харсеев до порта г. Волгодонска (район размещения АЭС), ветровое течение проникает до дна в зоне шириной до 5-6,5 км от уреза воды.
Так как исследуемая область содержит как глубоководные районы, так и мелководье, при расчете гидродинамики применим метод [50].
С помощью секущей плоскости Р проведем декомпозицию пространственной области моделирования (водной толщи водоема) на два слоя - верхний I и нижний II. Слой I -это все мелководье и верхняя часть глубоководного слоя, слой II - это нижняя часть глубоководного слоя (Рис. 1.2).
Предполагается, что на движение воды в слое I влияет ветер, а движение в слое II инициируется как градиентами давления, так и движением слоя I.
Систему координат выберем следующим образом. Плоскость XOY совместим с невозмущенной поверхностью водоема Р0, ось 02 направим вверх.
Движение воды в рассматриваемом водоеме описывается системой, состоящей из уравнений количества движения и уравнения неразрывности среды [25]:
В (1.5)-(1.7) и (1.8) и, v, w - компоненты скорости; х, у, z, t -пространственные переменные и время соответственно; С, - возмущение уровня воды; ра - атмосферное давление; Q-коэффициент Кориолиса; v vz - коэффициенты горизонтальной и вертикальной вязкости соответственно; р- плотность воды; g = 9.%Mlc2 - ускорение силы тяжести.
Считаем, что слой I достаточно мелкий (значения возможных возмущений уровня воды и глубины слоя близки), а и и v не зависят от z. Следуя [5], проинтегрируем систему (1.5)-(1.7) по вертикали от -h(x,y) до C,{x,y,t), где h(x,y) - нижняя поверхность слоя І. В результате получим уравнения мелкой воды: тЬх,тЬу - проекции на оси ОХ и OY сипы трения жидкости о дно (или нижний слой воды). Эти величины зависят от скорости ветра WB =WX;WA и течения WT = {us;vs} и определяются так [48]: h=r\wB\wB,zb=p\wT\wT, где WB = JWX2 + W2, WT = yju2s + v1, /?- коэффициент трения слоя I жидкости о дно (или нижний слой воды); у - коэффициент трения ветра о слой I.
На границах подобластей I и II скорости предполагаются известными. На дне для слоя II и вдоль береговой линии для слоя I они равны нулю (u = 0,v = 0,w = 0,us =0,vs = 0). В местах втекания или вытекания воды они равны соответствующим значениям u = ul,v = vl,w = 0,us=usl,vs=vsl. На границе с атмосферой задается сила трения ветра о поверхность водоема, которая выносится в правую часть уравнений (1.9), (1.10). На поверхности слоя II ставятся условия u = us, v = vs, w = 0. В качестве начальных данных можно задавать какое-либо известное распределение скоростей u = u, us = us, v = v, vs=vs, w = w, C = C или считать эти скорости нулевыми. Алгоритм решения задачи следующий: на каждом временном шаге сначала вычисляются перепад уровня и поле скоростей из системы (1.9)-(1.10). затем вычисляется градиент давления из (1.8), потом определяется поле скоростей из системы (1.5)-(1.7).
Построение конечно-разностных аналогов краевых задач математической физики
Пусть в ограниченной области Q из R" с границей Г требуется найти решение у = у(х) нестационарного дифференциального уравнения с граничными условиями и начальными условиями rh — + Ly = f{x,t), x,teQxQt, dt ly = (p(x,t), x,teTxQt, (2.1) у = и(х,0), х,уєПх{0}, Q, =Q,u{0}. где Q = QuT, L,l - линейные операторы, действующий в Н, yeY, /eF и среФ. Здесь У,Р,Ф -пространства с областями определения элементов в Q,Q и Г соответственно.
Для замены области непрерывного изменения аргумента Q областью дискретного его изменения, пространство R" разобьем на элементарные ячейки {х = (хх,х2,...,хп): klht xl (k,+\)hl, / = 1,2,...,w, k(eZ}, множество вершин которых называется сеткой, а сами вершины называются узлами сетки. Обозначим через QA = QAurA объединение элементарных ячеек (вместе с их границами) таких, что они и их границы принадлежат U = QuT. Множество узлов сетки Qh(zQ называются внутренними. Множество ГА =Qh/Qh является границей области Qh и составлено из граничных узлов. Остальные точки области называются приграничными. Величина А,. называется шагом сетки по переменной xt. Если / = const, то сетка по х, называется равномерной. В дальнейшем ограничимся рассмотрением равномерной сетки.
Функции, областью определения которых является сетка, называются сеточными функциями и обозначаются yh,fh,(ph,-- Значение сеточной функции yh в узле (хк ,хк ,...,хк ), где xk=kixhl обозначают у , (в і Z tt I к і Л пространстве i?3, например, yijk).
Запишем наиболее часто встречающиеся разностные аппроксимации производных функций в одномерном случае: у. . - у._х . у- = — — - - левая разностная производная; h У \ У- ух = - -1 — - правая разностная производная; h Ум j-У,-и у0 = - центральная разностная производная. х 2h Левая и правая производные аппроксимируют первую производную функции с первым порядком, а центральная - со вторым.
Следующий разностный оператор аппроксимирует вторую производную со вторым порядком аппроксимации. Ух х Ух Ух і 2 П
Заменяя дифференциальные операторы L и / разностными Lh и lh в задаче (2.1), получим дифференциальное уравнение по времени и разностное по пространственным переменным —!L + Lhyh=fh(x,t), x,teQxQt, hyh= Ph(x t) x,terxQn (2.2) yh =uh(x,0), х,уєПх{0}, Q,=Q,u{0}. где Lh,lh - линейные операторы, действующие в Hh и зависящие от шага сетки h, yheYh, fheFh, %еФг Здесь Yh,Fh,Oh - пространства сеточных функций из Hh с областями определения элементов в QA, QA и ГА соответственно.
Согласно теории разностных схем [21] разностная задача (2.2) аппроксимирует дифференциальную задачу (2.1) с порядком к 0, если существуют положительные константы &,, к2, Мх, М2, не зависящие от \h\ и такие, что ?Lhyh-fh?l. Mx\h\h, ?кУь- РьК М2Ъ и к = minik kj).
Численное исследование основных случаев поступления загрязняющего вещества в Цимлянское водохранилище
Радионуклиды в водных экосистемах определенным образом распределяются между водой, донными осадками и биомассой. Уровень активности радионуклидов самый высокий в биомассе, большой - в грунте и наименьший - в воде. По результатам модельных экспериментов [18] радионуклиды по характеру распределения в объектах экосистемы разделены на 4 группы: гидротропы (преимущественно остающиеся в воде); эвритропы (распределяющиеся достаточно равномерно по объектам); педотропы (преимущественно накапливающиеся в грунте) и биотропы (преимущественно концентрирующиеся в биомассе).
Поступление минерального вещества в водохранилище складывается из взвешенной (90%) составляющей и влекомых донных наносов (10%) [33]. Так как количество взвешенного вещества значительно преобладает над влекомыми наносами, то при численном исследовании процесса распространения загрязняющего вещества рассматриваться будет только взвешенная его составляющая. Из радионуклидов во взвешенном состоянии находится стронций-90, который относятся к эвритропам.
При моделировании поступления вещества в водохранилище и его последующего распространения предполагалось, что в начальный момент вещество на дне отсутствует, а само дно не размывается. Это делалось для более четкого отслеживания поведения самого выброшенного вещества. Так как на данном этапе исследования количественная верификация предлагаемой модели по натурным данным затруднено, количество выброшенного вещества, концентрация взвеси и величина донного осадка измерялись в условных единицах.
Исследование процесса распространения радионуклидов в случае их ралпового выброса в районе ВоАЭС (
Оседание на водную поверхность пылевого пятна, выброшенного из труб ВоАЭС, возможно при действии ветров южного или восточного направлений. Поэтому при исследовании процесса распространения радионуклидов брались поля скоростей, полученные при указанных ветровых ситуациях.
В случае течения I типа выброшенное вещество переносится к плотине ГЭС и в акваторию порта Волгодонск при восточном ветре (Рис. 3.15) и к правому берегу в район створа р. Дон при южном ветре, оставляя южную часть Приплотинного плеса чистой (Рис. 3.16).
Распределение донного осадка для течений I типа подобно распределению взвешенного вещества. При южном ветре наибольшее накопление осадка наблюдается в районе створа р.Дон (Рис. 3.18). При восточном ветре значительное количество взвеси оседает в районе порта Волгодонск, плотины Цимлянской ГЭС и г. Цимлянск (Рис. 3.19).
В случае течения II типа на распределение выпадающего осадка существенное влияние оказывают циркуляционные зоны. При действии восточного ветра наибольшее накопление осадка происходит в центральной части Приплотинного плеса, уменьшаясь при приближении к плотине ГЭС (Рис. 3.20), и лишь малая часть оседает в районе створа р.Дон. При южном ветре осевшее вещество представляет разрозненные области, расположенные в центральной части плеса (Рис. 3.21).
На (Диагр. 2) представлены данные по общему количеству осевшего вещества для различных ветровых ситуаций. Для течений I типа количество осевшего вещества имеет существенное отличие при действии ветра южного и восточного направлений. При течениях II типа направление ветра на количество осевшего вещества оказывает незначительное влияние.
Цимлянское водохранилище в 30-км зоне РоАЭС практически не имеет притоков, поэтому смыв радионуклидов с подстилающей поверхности в этой зоне будет иметь место лишь по временным водотокам (балкам) в периоды ливневых и сезонных паводков. Такие водотоки располагаются в районе акватории порта г. Волгодонск, с южной и северной сторон ВоАЭС, а также имеются две балки на правом берегу Приплотинного плеса водохранилища (Рис. 3.1)
При действии северного ветра вещество, поступившее во время смыва с берегов в водохранилище, удерживается в районе порта Волгодонска и немного у плотины ГЭС (Рис. 3.22), а при действии восточного ветра вещество удерживается еще и в районе Терновской балки (Рис. 3.23).
Библиотека параллельных методов Aztec
Для реализации возможностей, которые предоставляют многопроцессорные системы, необходимо использование параллельных подпрограмм, предназначенных для решения стандартных задач численных методов. Библиотеки такого рода разрабатываются ведущими специалистами в области численных методов и параллельного программирования и широко используются для решения реальных прикладных задач. На всех многопроцессорных системах суперкомпьютерного центра Южного Федерального Университета установлена одна из таких библиотек параллельных подпрограмм - Aztec. Программы, использующие этот пакет, могут выполняться на любой вычислительной системе без каких либо модификаций.
Пакет параллельных подпрограмм Aztec разработан в исследовательской лаборатории параллельных вычислений Сандии (США) для решения больших систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами Ах = Ь, где А - задаваемая пользователем разреженная матрица пхп,Ь- задаваемый пользователем вектор длины п, х - вектор длины п, который должен быть вычислен.
Aztec включает в себя процедуры, реализующие ряд итерационных методов Крылова: метод сопряженных градиентов (CG), обобщенный метод минимальных невязок (GMRES), квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS), метод квазиминимальных невязок (TFQMR), метод бисопряженных градиентов (BiCGSTAB) со стабилизацией.
Все методы используются совместно с различными переобуславливателями (полиномиальный метод и метод декомпозиции областей, использующий как прямой метод LU, так и неполное LU разложение в подобластях). Хотя матрица А может быть общего вида, пакет ориентирован на матрицы, возникающие при конечно-разностной аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных.
На задаче распространения и оседания вещества был проведен ряд расчетов на одном процессоре вычислительного кластера INFINI(3,4rni) по выявлению наиболее эффективного для данной задачи метода из пакета Aztec. Для всех методов расчеты проводились для 100 временных шагов при прочих одинаковых условиях. Существенного различия во времени счета нет, однако меньшее время было затрачено при применении метода BiSGStab (Диагр. 11). Можно предполагать, что для большего числа временных шагов, этот метод будет наиболее предпочтительным.
Расчет на одном узле кластера INFINI с производительностью процессора 3,4Ггц является более предпочтительным, т.к. затрачивает значительно меньшее время.
Увеличение числа процессоров при расчетах на платформе LINUX (2,4 Ггц) хотя и улучшило время счета (см. Таблица 5), но оно все равно оставалось хуже, чем для 1 процессора INFINI (3,4 Ггц).
Проведенные вычислительные эксперименты на построенной математической модели процесса распространения загрязняющего вещества в южной части Цимлянского водохранилища, позволяют оценить последствия выброса загрязняющего вещества, включая радионуклиды, в окружающую среду. От того, каким образом и в каком месте произойдет попадание загрязнения в Цимлянское водохранилище, зависит характер последствий. Вычислительные эксперименты показали, что наиболее вероятными районами загрязнения являются акватория Волгодонского порта, районы г. Цимлянска и Терновской балки. Представленная модель позволяет определить характер загрязнения (взвесь или донный осадок), а в зависимости от количества поступающего в водохранилище вещества еще и степень его загрязнения.
Результаты проведенных расчетов удовлетворительно согласуются с натурными данными, с результатами, полученными ранее другими авторами, и не противоречат наблюдаемым в водоемах процессам.
В рамках представленного диссертационного исследования был создан программный комплекс, реализующий предложенную математическую модель на высокопроизводительных вычислительных системах. Для решаемой задачи проведен краткий анализ выбора той или иной вычислительной системы, количества заказываемых узлов, а также метода решения СЛАУ из библиотеки параллельных программ Aztec.
