Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача математического моделирования нелинейных экологических процессов 12
1.1. Современное состояние науки в области исследования нелинейных экологических процессов 12
1.2. Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных экологических процессов 15
1.3. Нелинейные экологические процессы и асимптотическая эквивалентность 19
Глава 2. Разработка методики математического моделирования экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа 36
2.1. Методика исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа 37
2.2. Методика исследования состояния равновесия нелинейных систем двух и трех уравнений Лотки-Вольтерра 40
2.3. Методика исследования состояния равновесия систем типа реакция-адвекция-диффузия и дифференциальных уравнений параболического типа в частных производных 56
2.4. Методика исследования устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа 64
2.5. Вычислительная схема решения нелинейных систем уравнений вольтерровского типа 76
Глава 3. Математическое моделирование состояния водных объектов для оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ 84
3.1. Обобщенная модель Лотки-Вольтерра для исследования оценки
допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты 84 3.2. Исследование трехвидовой нелинейной системы дифференциальных уравнений вольтерровского типа 86
3.3. Численная реализация алгоритма расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ для многовидовой модели 92
Глава 4. Программный комплекс и результаты расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты 103
4.1. Постановка задачи оценки допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты 103
4.2. Алгоритм расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты 103
4.3. Веб - приложение для автоматизации расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты 107
4.4. Автоматизированный расчет сбросов загрязняющих веществ в водные объекты Республики Мордовия
4.4.1. Расчет сброса загрязняющих веществ в реку Мокша 114
4.4.2. Расчет сброса загрязняющих веществ в реку Лепелейка 117
Заключение 121
Список используемой литературы 122
- Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных экологических процессов
- Методика исследования состояния равновесия нелинейных систем двух и трех уравнений Лотки-Вольтерра
- Численная реализация алгоритма расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ для многовидовой модели
- Веб - приложение для автоматизации расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты
Постановка задачи исследования математических моделей нелинейных экологических процессов
В настоящее время многие реальные экологические процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. В связи с этим одной из важнейших проблем, возникающих в задачах математического моделирования, является проблема исследования устойчивости состояний равновесия и изучения асимптотических свойств решений таких экосистем.
Для описания различных процессов и исследования динамических экосистем необходим математический аппарат, связанный с нелинейными системами дифференциальных уравнений. Поэтому появляется необходимость в развитии методов исследования таких систем и создании новых эффективных методик анализа. Возникает задача качественного анализа нелинейных систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования [78, 118, 119]. Важную роль в решении этой задачи играет разработка математических методик исследования систем.
Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются методы Ляпунова, позволяющие получить строгое математическое обоснование устойчивости [10, 35, 71, 73, 82, 83, 113].
Первый метод Ляпунова применим для регулярного случая, когда характеристические показатели первого приближения для нелинейного дифференциального уравнения отличны от нуля, для дифференциального уравнения с гладкими возмущениями. В случае нулевых характеристических показателей проблема устойчивости через характеристические показатели не решается. Здесь необходима равномерность экспоненциальных оценок решений по начальной точке.
Основной трудностью при применении второго метода функций Ляпунова к задачам устойчивости является сложность построения функции Ляпунова, удовлетворяющей тем или иным требуемым условиям. В этой ситуации имеют большое значение модификации метода Ляпунова, развитие метода функций Ляпунова в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова и расширение класса используемых функций. Повышение общности и эффективности метода функций Ляпунова достигается использованием обобщенных функций Ляпунова или же вспомогательных функций, значительно отличающихся от функций Ляпунова и которые не обладают свойством невозрастания вдоль движений динамического потока. Изучением задач устойчивости различных динамических систем на базе показателей и функций Ляпунова занимались Е.А. Барбашин [10], А.П. Жабко [1–3], В.И. Зубов [36, 37], Н.Н. Красовский [44], Ж. Ла-Салль, С. Лефшец [46], В.М. Матросов [71, 72, 74], В.В. Румянцев [81,82], А.А. Шестаков [91,92] и другие исследователи [11, 60, 114, 115, 127, 134]. В диссертационной работе качественными методами исследуются нелинейные дифференциальные уравнения, описывающие экологические процессы [51].
Разработкой и исследованием математических моделей взаимодействующих популяций занимались В. Вольтерра [21], А. Лотки [120, 121], В.А. Костицын [40] и другие исследователи [8, 9, 13, 31, 79, 80].
Для двумерных систем имеется хорошо разработанная теория и метод фазовой плоскости является основным орудием получения аналитических результатов. Однако в случае большего числа измерений (трех и более) математическая задача сложна, и часто каждый случай должен быть исследован отдельно. Фазовый анализ для трех или более измерений намного труднее и обычно может быть использован только в некоторых конкретных случаях. Иногда системы более высокой размерности могут быть сведены к двумерным с достаточным практическим обоснованием.
Анализ с помощью фазовой плоскости является важным методом при исследовании систем взаимодействующих сообществ, сводящихся к двум уравнениям первого порядка. Такой анализ в случае большего числа измерений разработан заметно хуже, хотя во многих случаях (особенно в случае трех измерений) он может оказаться полезным. Исчерпывающие описания методов фазовой плоскости изложены в работах Сансоне и Конти [127] и Минорского [122].
Проблема устойчивости состояний равновесия систем популяционной динамики и свойства моделей, описываемых системами двух дифференциальных уравнений, исследованы в работах А.Д. Базыкина [9], Д.О. Логофета, Ю.М. Свирежева [85, 86], Ю.А. Пыха [125, 126] и многих других авторов [99, 131]. Многомерные модели динамики популяций на основе метода функций Ляпунова изучались в работах Ю.А. Пыха [77] и других математиков [127, 136], на основе индексно-дивергентного метода – в работах [34, 70].
Качественные свойства и устойчивость для моделей, учитывающих конкуренцию и миграцию видов изучены в работе [135].
Методы асимптотического интегрирования возмущенных дифференциальных уравнений, зависящих от малого параметра, рассмотрены в работах [22, 24, 101, 102]. Значение этих методов определяется хотя бы тем, что метод усреднения является их частным случаем. Однако главная трудность применения этих методов связана с получением оценок для производных по начальной точке и параметру от решения некоторых вспомогательных уравнений.
Несмотря на возросшее число применений, методы изучения устойчивости нелинейных систем остаются недостаточно развитыми, и дополнительный математический аппарат требует дальнейшей разработки. Эффективный метод исследования динамических процессов систем представляет собой обобщение метода функций Ляпунова и является, таким образом, актуальным направлением в теории нелинейных систем.
В настоящей работе нелинейные дифференциальные уравнения исследуются следующим образом. Для исходного уравнения строится уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Далее через эталонную функцию сравниваются решения двух этих уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции сравнения дает возможность для решения самых различных задач качественной теории дифференциальных уравнений, исследования поведения решений дифференциальных уравнений и, что самое важное, позволяет решать задачи теории устойчивости в критических случаях [23, 24, 27, 28, 48]. Методики разработаны с использованием метода сравнения. Развитие теории, метода сравнения с эталонной функцией и их приложений отражено в работах его учеников Т.Ф. Мамедовой [26, 67, 69], Е.Н. Артемьевой [6], В.А. Белоглазовой, С.М. Мурюмина [25], Е.А. Черноивановой [29]. В работах обобщаются известные методы решения задач об устойчивости по линейному приближению, в первую очередь за счет общности эталонных функций сравнения. В методе Ляпунова, касающемся применения характеристических показателей, эти функции являются экспонентами. Однако в качестве уравнения сравнения здесь используются не только линейные однородные дифференциальные уравнения. Все это способствует решению классических и новых задач, в том числе прикладных. Решаются задачи для систем двух и более нелинейных дифференциальных уравнений [62].
Методика исследования состояния равновесия нелинейных систем двух и трех уравнений Лотки-Вольтерра
Данное утверждение может быть применено для исследования любых математических моделей, если она сводится к дифференциальному уравнению типа (1.3.19). Так, например, она может быть применена к исследованию поведения решений дифференциальных уравнений в экологии.
Утверждение позволяет анализировать структурную устойчивость моделей экологических процессов по части переменных и делать выводы об их устойчивости на основе совокупности свойств устойчивости подсистем и природе их взаимодействия [49, 51].
Выводы к первой главе. Результаты первой главы представлены на конференциях и опубликованы в работах [48, 50, 53].
1. Обоснована актуальность применения метода эталонной функции сравнения для исследования системы нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа. Рассматривая задачи об устойчивости решений таких систем, даже регулярный случай, когда все характеристические показатели отличны от нуля, либо отрицательны, не гарантирует устойчивость тривиального решения, но применяя метод, разработанный Е.В. Воскресенским, за счет подбора эталонной функции сравнения, нерегулярный случай, то есть когда характеристические показатели первого приближения равны нулю, сводится к определенному выводу.
2. Поставлена задача моделирования экологических процессов и предложен подход к ее решению на основе метода сравнения. Для исследования устойчивости экосистем и расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ предлагается математическая модель экологической системы в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа.
3. Приведены определения покомпонентной асимптотической эквивалентности, асимптотической эквивалентности по Левинсону, Немыцкому и Брауеру.
4. Рассмотрен метод эталонной функции сравнения, получены необходимые и достаточные условия устойчивости уравнений вольтерровского типа по части переменных. Определен критерий оценки функционального состояния экосистемы в целом, так и отдельных ее компонентов, основанный на методе сравнения по части переменных. Глава 2. Разработка методики математического моделирования экологических процессов, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений вольтерровского типа
В настоящее время получила развитие задача об устойчивости, в том числе устойчивости по отношению к части переменных, возникающая в прикладных проблемах [1-3, 6, 15-18, 61, 67]. Одной из таких проблем является устойчивость решений по части переменных в исследовании уравнений Лотки-Вольтерра, когда достаточно обеспечить устойчивость лишь части переменных.
Наиболее распространенными методами исследования устойчивости нелинейных систем являются методы Ляпунова, позволяющие получить строгое математическое обоснование устойчивости [10, 35, 71, 73, 82, 83, 113, 137].
Изучением задач устойчивости различных динамических систем на базе показателей и функций Ляпунова занимались Е.А. Барбашин [10], А.П. Жабко [1-3], В.И. Зубов [36, 37], Н.Н. Красовский [44], Ж. Ла-Салль, С. Лефшец [46], В.М. Матросов [71, 72, 74], В.В. Румянцев [81, 82], А.А. Шестаков [91, 92] и другие исследователи [11, 60, 114, 115, 127, 134].
Разработкой и исследованием математических моделей взаимодействующих популяций занимались В. Вольтерра [21], А. Лотки [120, 121], В.А Костицын [40] и другие исследователи [8, 9, 13, 31, 79, 80].
Проблема устойчивости состояний равновесия систем популяционной динамики и свойства моделей, описываемых системами двух обыкновенных дифференциальных уравнений, исследованы в работах А.Д. Базыкина [9], Д.О. Логофета, Ю.М. Свирежева [85, 86], Ю.А. Пыха [125, 126] и многих других авторов [99, 131]. Многомерные модели динамики популяций на основе метода функций Ляпунова изучались в работах Ю.А. Пыха [77] и других математиков [123, 127, 128, 135, 136], на основе индексно-дивергентного метода – в работах [34, 70].
Постановка задачи об устойчивости относительно части переменных принадлежит А.М. Ляпунову [58]. Однако он не занимался исследованием указанной задачи. В последующий период в рамках поставленной задачи были получены существенные результаты, основным методом исследования является метод функций Ляпунова.
На сегодняшний день существует необходимость в систематизации применения теории устойчивости к исследованию задач устойчивости относительно части переменных в прикладных задачах экологии.
В настоящeй работе асимптотические методы получаются следующим образом [48, 66-68]. Для исследуемого уравнения строится уравнение сравнения. Предполагается, что поведение решения уравнения сравнения известно. Затем через эталонную функцию сравнения сравниваются решения этих двух уравнений. Удачный подбор уравнения сравнения и эталонной функции дает возможность для решения самых различных задач качественной теории дифференциальных уравнений и исследования асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений.
Методика исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений вольтерровского типа Постановка задачи. Исследуется одна из основных задач системной динамики - оценка устойчивости состояния равновесия нелинейных систем вольтерровского типа.
Ставится задача изучения процессов изменения состояний систем, описываемых нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями, методом сравнения Е.В. Воскресенского [23, 49, 50].
Численная реализация алгоритма расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ для многовидовой модели
Структура и условия обитания популяций играют важную роль в динамике численности и распространении видов. Также важно взаимодействие между популяциями. Можно полагать перемещения особей случайными - броуновское движение, и описывать их с помощью уравнений диффузии. Предполагается, что скорость перемещения особей определенного вида пропорциональна градиенту концентрации особей этого вида (закон Фика). Однако, кроме случайных перемещений, присутствует направленное движение - положительный или отрицательный таксис. В этом случае скорость перемещения определяется не только концентрацией данного вида, но и градиентом важного для данного вида фактора -например, пищи или света. Для системы вольтерровского типа в роли пищи выступают жертвы. Скорость перемещения хищника определяется градиентом концентрации жертвы. Следовательно, коэффициент диффузии одной переменной системы зависит от концентрации другой переменной. В этом случае говорят о кросс-диффузии. Часто перемещения связаны с направленным движением среды, в которой находятся особи. Зависимость ускорения движения хищников от градиента плотности жертв проявляется, когда движение определяется поведенческими реакциями, и формирование скоплений особей воспроизводства популяции. Все эти явления могут быть описаны с помощью уравнений в частных производных. Рассмотрим моделирование пространственной динамики сообщества хищник-жертва, основанное на модели реакция-адвекция-диффузия. Взаимодействие популяций хищников и жертв будем рассматривать на одномерном ареале [0,L]. В соответствии с предположением о пропорциональности ускорения движений популяции хищника градиенту плотности популяции жертв поведение популяции хищников имеет вид: движения популяции хищников, к - коэффициент поисковой активности популяции хищника (характеризует его чувствительность к неоднородности распределения плотности популяции жертв), Sv - коэффициент диффузии скорости. Диффузионный член в (2.3.1) интерпретируется как результат социального поведения особей популяции хищников и жертв (стайные эффекты выравнивают величины и направления скоростей находящихся рядом хищников) [110].
Модель «хищник-жертва» описываемая системой уравнений в частных производных типа реакция - адвекция - диффузия имеет вид [100, 112]: здесь х2 (х, t) - численность популяции хищников, 5 , 5 - коэффициенты диффузии популяций жертв и хищников соответственно, г - темп естественного прироста популяции жертв. Все параметры системы (2.3.2) являются положительными константами.
Пусть границы местообитания популяций хищников и жертв непроницаемы, то есть как диффузионные, так и адекватные потоки особей через границы отсутствуют:
Такая постановка граничных условий допускает естественную экологическую интерпретацию, а именно пространственную изолированность популяций.
Рассмотрим пространственно-однородные режимы модели (2.3.2), (2.3.3), которые соответствуют точечной модели взаимодействия двух сообществ [127]: Точка (40;12) – положение равновесия системы (2.3.5). Сделаем замену переменных и перейдем к исследованию нулевого решения соответствующего первого линейного приближения, которое имеет вид:
Здесь x1, x2 – плотности популяций жертв и хищников, предполагается, что все параметры постоянны и неотрицательны; c – скорость увеличения количества жертв, s – скорость естественного увеличения числа потребителей (хищников), d – скорость естественного уменьшения числа потребителей (хищников), D1, D2 – соответствующие коэффициенты диффузии. Поведение переменных в каждой точке пространства определяется двумя типами процессов: взаимодействием компонент и их пространственным перемещением.
Решения системы (2.3.8) были исследованы в работе [108]. Рассмотрение колебаний малой амплитуды показало, что система уравнений Вольтерра хищник-жертва для двух популяций в ограниченном ареале имеет периодические пространственно однородные решения, т.е. в такой замкнутой системе наличие миграции не приводит к качественно новым эффектам. Если же ареал не является ограниченным, в системе могут возникать решения в виде движущихся волн.
Методика исследования устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа
Задача заключается в изучении процессов изменения состояния экологических систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, методом сравнения Е.В. Воскресенского [23, 49, 50], а именно, исследование устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа.
Методика исследования устойчивости решений при постоянно действующих возмущениях в части уравнений систем вольтерровского типа решения поставленной задачи включает две части:
Веб - приложение для автоматизации расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ в водные объекты
Таким образом, условия 2-7 выполняются. Так как система уравнений (3.2.4) асимптотически устойчива по переменной y2, то тривиальное решение системы уравнений (3.2.2) обладает этим же свойством по переменной x2. Следовательно, концентрация нитритов в воде не превышает нормы сброса загрязняющих веществ в реку, а концентрация нефтепродуктов -превышает, что соответствует второму сценарию взаимодействия и иллюстрируется следующим графиком:
График решений системы (3.2.2) В целях достижения нормативов допустимых сбросов и достижения норм предельно допустимых концентраций в контрольном створе реки Мокша разработаны и утверждены мероприятия по достижению норм нормативов допустимых сбросов при сбросе в водный объект, а также утвержден и согласован график мониторинга проб природной и сточной воды для ОАО «Орбита», при сбросе в реку Мокша. 3.3. Численная реализация алгоритма расчета допустимых сбросов загрязняющих веществ для многовидовой модели Рассмотрим нелинейную систему дифференциальных уравнений Лотки-Вольтерра, описывающую динамику взаимодействия двух загрязняющих веществ и водной биомассы. предельно допустимая концентрация i-го загрязняющего вещества в воде соответственно, концентрация вещества в воде, выше которой вода непригодна для одного или нескольких видов водопользования. Предельно допустимые концентрации определяются исходя из Перечня нормативов качества воды водных объектов рыбохозяйственного значения, в том числе нормативов предельно допустимых концентраций вредных веществ в водах водных объектов рыбохозяйственного значения (приказ Федерального агентства по рыболовству от 12 января 2010 года № 20); ki - коэффициенты неконсервативности (скорости разрушения) по нефтепродуктам и нитритам соответственно, зависящий от характера веществ. Значения коэффициентов неконсервативности принимаются по данным натурных наблюдений или по справочным данным и пересчитываются в зависимости от температуры и скорости течения реки; q - расчетный расход воды в водотоке в фоновом створе; - коэффициент извилистости (отношение расстояния до контрольного створа по фарватеру к расстоянию по прямой); - коэффициент, зависящий от места выпуска сточных вод; s - емкость среды; b - продолжительность пробега воды от места выпуска сточных вод до расчетного створа (коэффициент смещения, характеризующий долю расхода воды в реке, которая смешивается со сточными водами); nw - коэффициент шероховатости (шероховатость ложа реки). Величина численно характеризующая сопротивление, оказываемое руслом протекающему потоку, интегральная характеристика гидравлических сопротивлений. Точное определение коэффициентов местных сопротивлений затруднительно, поэтому коэффициент шероховатости целесообразно определять по таблице М. Ф. Срибного (классификации естественных русел и нормы сопротивления движению по данным М.Ф. Срибного).
Гидрологические характеристики реки Мокша представлены государственным учреждением «Мордовский республиканский центр по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды».
Нормативы допустимых концентраций вредных веществ в водных объектах и сточных водах устанавливаются исходя из условий целевого использования водного объекта. Река Мокша объект рыбохозяйственного назначения 2 категории, поэтому нормы предельно допустимых сбросов устанавливаются по «Перечню предельно допустимых концентраций и ориентировочно безопасных условий воздействия вредных веществ для воды рыбохозяйственных водоемов».
Похожие диссертации на Математическое моделирование и оценка нелинейной динамики состояния загрязнения экосистемы водного объекта
