Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников Лозовский, Владимир Сергеевич

Введение к работе

Актуальность темы. Стабильность технологического процесса является одним из основных критериев возможности его эффективного применения в производстве. Широкий круг прикладных задач связан с нахождением условий стабильного роста и растворения кристаллов, используемых в производстве полупроводниковых микро-, нано- и оптоэлектронных приборов. В некоторых процессах полупроводниковой микрометаллургии представлены кристаллизация и растворение одновременно. К таким процессам относится исследуемая в настоящей диссертации термомиграция или зонная перекристаллизация градиентом температуры (ЗПГТ). Метод ЗПГТ позволяет формировать на поверхности и в объеме кристалла структуры различного назначения в условиях, близких к равновесным, и при малом кристаллизационном переохлаждении в жидкой фазе. Эти достоинства метода могут использоваться на практике лишь при условии стабильности границ жидкой зоны в процессе ЗПГТ. В настоящее время условия стабильности при ЗПГТ исследованы недостаточно. Поэтому исследование условий стабильности процесса термомиграции является актуальной задачей. Сложность таких исследований обусловлена тем, что рассматриваемая задача относится к классу задач с подвижными границами (задача Стефана). В случае ЗПГТ, границ с подвижными стенками две - растворяющаяся и кристаллизующаяся. Более того, в процессе ЗПГТ эти границы вовлечены в общие массо- и теплопотоки. Перечисленные сложности - одна из причин того, что задача стабильности жидкой зоны при ЗПГТ не нашла пока достаточно корректного решения. Очевидно, что указанное решение не может быть получено аналитически и требует применения численных методов.

Предварительные исследования показали, что применение метода конечных разностей (МКР) для численного решения рассматриваемой задачи не обеспечивает необходимой точности даже в двухмерном варианте. Это обусловлено погрешностью, возникающей в нерегулярных узлах сетки и наличием изменяющихся во времени границ. Между тем для исследования стабильности процесса термомиграции необходимо использовать трехмерную модель, которая отражает эволюцию реальной формы зоны.

Для поставленной задачи оказался предпочтительным метод точечных источников (МТИ). Он относится к бессеточным методам. Применение МТИ для численного моделирования ЗПГТ приводит к сокращению вычислительных ресурсов и к существенному повышению точности приближенного решения. Однако использование МТИ не столь широко как конечно-разностных методов. Его достоинства и недостатки и области предпочтительного применения еще в полной мере не выявлены. Поэтому метод нуждается в дальнейшем развитии. Следовательно, разработка на основе МТИ двухмерных и трехмерных компьютерных моделей для задачи с подвижными границами, описывающей процессы морфологической эволюции межфазных границ при ЗПГТ, также является актуальной задачей. Это развитие метода оказалось полезным и в других случаях, в частности, для решения задачи диффузии в квазиодномерных нанообъектах, что также актуально.

Диссертационная работа выполнялась по научному направлению ЮРГТУ (НПИ) «Кристаллы и структуры для опто- и наноэлектроники» и ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы» (2010-2011 г.) в рамках госбюджетных НИР «Теоретическое и экспериментальное исследование термомиграции как метода эпитаксии и наноструктурирования полупроводников и металлов», «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках», фундаментальной НИР «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» (грант РФФИ).

Целью работы является построение компьютерной модели термомиграции плоских жидких зон в кристалле, позволяющей рассчитывать условия морфологической стабильности межфазных границ зоны для усовершенствования технологических режимов получения полупроводниковых приборных структур методом термомиграции.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

построить математическую модель процесса миграции плоской жидкой зоны в поле температурного градиента, адекватную поставленной цели, учитывающую взаимосвязанные процессы теплообмена и массопереноса в жидкой фазе и влияние различных факторов на кинетику ЗПГТ;

разработать на основе МТИ двух- и трехмерную компьютерные модели термомиграции жидкой плоской зоны в кристалле, корректно описывающие характер эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ зоны;

разработать на основе МТИ алгоритм и исследовать эффективность этого метода для решения уравнения Лапласа и уравнения диффузии;

создать пакет прикладных программ и исследовать с его помощью стабильность межфазных границ и зоны в целом при ее термомиграции в кристалле в широком диапазоне изменений физических параметров процесса;

подтвердить адекватность разработанной математической модели реальному процессу термомиграции сравнением численных результатов с результатами аналитических решений в предельных случаях, а также с экспериментальными данными;

сформулировать практические рекомендации по оптимизации условий, обеспечивающих стабильное движение плоских жидких зон при ЗПГТ;

продемонстрировать эффективность разработанных алгоритмов применения МТИ к численному решению диффузионных задач (на примере диффузии в квазиодномерный нанообъект).

Научная новизна работы

1. 1. Создана новая математическая модель миграции плоской жидкой зоны, учитывающая взаимодействие ее межфазных границ и влияние различных факторов, определяющих кинетику ЗПГТ, отличающаяся от известных использованием стационарных уравнений.

   2. Создан алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в разработанную математическую модель процесса термомиграции (с использованием МТИ), положенный в основу пакета прикладных программ, позволяющих исследовать морфологическую стабильность зоны при ЗПГТ (свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ № 2010614286).

   3. Впервые рассчитаны с учетом взаимодействия межфазных границ зависимости скорости морфологической эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ жидкой зоны от всех технологически значимых факторов проведения ЗПГТ.

   4. Обнаружен эффект индуцированного возмущения - возникновение и эволюция возмущения на одной межфазной границе порождает возмущение на второй границе (даже при условии, если вторая граница, в отсутствии воздействия первой, стабильна). Масштаб этого эффекта возрастает с уменьшением толщины жидкой зоны. Предшествующие теории этот эффект не прогнозируют из-за их недостаточной корректности.

   5. Выявлены два характерных этапа эволюции возмущения межфазной границы. На первом этапе любое произвольно заданное начальное возмущение трансформируется к виду, адекватному концентрационно-температурным условиям проведения ЗПГТ. На втором этапе непосредственно проявляется сам исследуемый процесс эволюции рассматриваемого возмущения. В предшествующих теориях эти этапы не выявляются из-за их недостаточной корректности.

   6. Созданы математическая модель и комплекс специализированных программ (свидетельство гос. регистрации программы для ЭВМ №2010614316) для исследования диффузии в квазиодномерных нанообъектах на основе совместного использования метода МТИ и МКР. Выявлены характерные особенности взаимосвязи быстрой поверхностной и медленной объемной диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Рассчитана диффузия атомов вольфрама в углеродный нановискер; вычислены поверхностный и объемный коэффициенты диффузии указанных атомов.

   Основные результаты, выносимые на защиту

   1. 6. 1. Математическая модель миграции плоской жидкой зоны в поле температурного градиента на основе стационарных уравнений, учитывающая процессы теплообмена и массопереноса в используемой сэндвич-композиции, а также - взаимодействие межфазных границ.

         2. Алгоритм численного решения дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель процесса термомиграции (с использованием МТИ), положенный в основу пакета прикладных программ, позволяющих исследовать морфологическую стабильность зоны при ЗПГТ.

         3. Результаты исследования стабильности плоской зоны при термомиграции, полученные с помощью двух- и трехмерной компьютерных моделей. Зависимости скорости морфологической эволюции растворяющейся и кристаллизующейся границ жидкой зоны от параметров, влияющих на процесс ЗПГТ.

         4. Эффект индуцированного возмущения - возникновение возмущения на одной межфазной границе порождает возмущение на противоположной границе даже при условии, если противоположная граница в отсутствии первой стабильна.

         5. Два характерных этапа эволюции возмущения межфазной границы, обнаруженные при исследовании стабильности плоских зон. На первом (более коротком) произвольно заданное начальное возмущение «адаптируется» (за счёт процессов самоорганизации) к виду, адекватному условиям проведения ЗПГТ. На втором этапе происходит изменение возмущения (за счёт исследуемого процесса эволюции морфологической неустойчивости границы).

         6. Практические рекомендации по оптимизации условий проведения ЗПГТ с использованием плоских зон. Эти рекомендации основаны на полученных в работе зависимостях морфологической устойчивости межфазных границ от различных технологически значимых параметров ЗПГТ.

         7. Математическая модель и пакет программ для исследования диффузии в квазиодномерных нанообъектах на основе совместного использования метода МТИ и МКР. Характерные особенности взаимосвязи быстрой поверхностной и медленной объемной диффузии в квазиодномерном нанообъекте. Описание диффузии атомов вольфрама в углеродный нановискер; результаты вычисления коэффициентов поверхностной и объемной диффузии указанных атомов.

         Методы исследования. Моделирование ЗПГТ основывалось на общепризнанных фундаментальных теоретических представлениях этого процесса и методах математической физики. Для исследования стабильности межфазных границ плоских зон при термомиграции в кристалле использовалось численное моделирование рассматриваемых процессов на основе МТИ. Для проверки корректности численных решений (поставленной задачи) использовалось сравнение с результатами аналитических решений (в предельных случаях), а также сравнение с результатами натурных экспериментов.

         Достоверность полученных результатов подтверждается:

         1. их взаимной согласованностью и согласованностью с аналогичными литературными данными;

         2. их соответствием общенаучным представлениям в рассматриваемой области;

         3. их совпадением с результатами аналитических решений в предельных случаях;

         4. их соответствием результатам экспериментальных исследований.

         Практическая значимость работы обусловлена универсальностью разработанного на основе МТИ пакета программ, позволяющего исследовать морфологическую устойчивость жидких зон при ЗПГТ в широком диапазоне изменений технологически значимых параметров процесса термомиграции, и, следовательно, минимизировать время отработки режимов ЗПГТ, а также оптимизировать процесс диффузионной модификации углеродных наноострий для атомно-силовой микроскопии (АСМ). Разработанные численные модели решения уравнения Лапласа и уравнения диффузии, могут быть легко использованы для решения сходных задач с подвижными границами.

         На предложенный пакет программ получены 2 свидетельства гос. регистрации программы для ЭВМ.

         Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались и получили положительные отзывы на следующих конференциях и семинарах: XII, XIII национальная конференция по росту кристаллов (НКРК-2006, НКРК-2008, Москва, ИК РАН); VII международная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (ВНЦ РАН, Волгодонск, 2009 г.); VI Международная научно-практическая конференция «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2006); IV Российской конференции с международным участием «Кремний-2007» (МИСиС, Москва, 2007); 55 и 56-я научно-техническая конференция профессорско- преподавательского состава, научных работников, аспирантов и студентов (ЮРГТУ (НПИ), Новочеркасск, 2006, 2007); VI, VII, VIII Международный семинар «Физико- математическое моделирование систем» (Воронеж, 2009, 2010, 2011); Двустороннее научно-образовательное сотрудничество вузов России и Китая: IV Российско- Китайская конференция (МИСиС, Москва, 2010); IV Всероссийская студенческая научно-техническая конференция «Прикладная информатика и математическое моделирование» (МГУП, Москва, 2010 г.).

         Результаты работы внедрены в технологию производства тиристоров с использованием процесса ЗПГТ в ООО «Элемент-преобразователь», г. Запорожье, Украина. Результаты работы и разработанные пакеты программ использовались при выполнении следующих НИР: «Теория и экспериментальные исследования диффузии в нанообъектах» (грант РФФИ, № 08-08-00886-а), «Разработка теоретических основ методов формирования эпитаксиальных структур и наноструктурированных систем в процессе термомиграции жидкофазных и вакуумных микроразмерных ростовых зон

         в кристаллах» (тем. план ЮРГТУ (НПИ), г/б 13.08), «Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей формирования и модификации квазиодномерных наноструктур на основе углерода и полупроводниковых материалов в ультратонких кристаллизационных ячейках» (тем. план ЮРГТУ (НПИ), г/б 12.10), «Теоретическое и экспериментальное исследование термомиграции как метода эпитаксии и нано- структурированния полупроводников и металлов» (тем. план ЮРГТУ (НПИ), г/б 01.11), «Разработка научных основ метода получения нанослоев и структур ZnO в ультратонких ростовых ячейках» (гос. контракт № 02.513.11.3349). Алгоритмы, комплекс программ, разработанные в диссертации, а также, развиваемый численный метод (метод точечных источников), используются в учебном процессе на физико- математическом факультете и факультете автоматики и управления ФГБОУ ВПО ЮРГТУ (НПИ) в курсах «Математическое моделирование процесса изготовления полупроводниковых структур», «Методы математического моделирования», «Численные методы в решении физических задач», нефтегазопромышленном факультете ФГБОУ ВПО ДГТУ в курсах «Дополнительные главы по математике», «Уравнения математической физики», «Численные методы».

         Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 21 работа. Из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 3 свидетельства о гос. регистрации программ для ЭВМ, 6 публикаций в сборниках трудов международных и Всероссийских конференций.

         Личный вклад автора

         В диссертационной работе лично автором выполнено следующее.

         4. 7. Построена численная трехмерная модель термомиграции плоской жидкой зоны в кристалле на основе метода точечных источников.

            8. Построена двухмерная численная модель процесса термомиграции плоской жидкой зоны в кристалле на основе метода интегрированных источников.

            9. Разработаны алгоритмы и программы для всех расчётов, выполненных в диссертации.

            10. Разработана методика проведения вычислительного эксперимента, с помощью предложенной численной модели на основе МТИ.

            11. Исследовано влияние параметров ЗПГТ на морфологическую устойчивость процесса термомиграции жидких включений плоской формы. Дана физическая интерпретация полученных зависимостей.

            12. Исследована морфологическая устойчивость процесса термомиграции плоских зон для случаев нелинейной зависимости скорости кристаллизации (растворения) межфазных границ от пересыщения (недосыщения) на этих границах.

            13. Разработана численная модель диффузии в квазиодномерных нанообъектах, описана и интерпретирована диффузия атомов вольфрама из подложки в углеродный нановискер, произведено сравнение с экспериментом и получена оценка объёмного и поверхностного коэффициентов диффузии. Экспериментальные исследования диффузии в углеродных нановискерах для АСМ проведены В.А. Ирхой.

            Совместно с руководителем работы поставлена цель диссертационного исследования и сформулированы его задачи.

            Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, общих выводов, списка литературы и 5 приложений. Общий объем работы 185 страниц, в тексте содержится 47 рисунков и 8 таблиц.

            Похожие диссертации на Моделирование эволюции межфазных границ при термомиграции жидкой зоны в кристалле методом точечных источников

            Метод точечных источников поля для компьютерного моделирования физических полей в задачах с подвижными границамиКнязев, Сергей Юрьевич

            

            Моделирование электромагнитного рассеяния на нескольких идеально проводящих телах методом вспомогательных источниковКолчин Валерий Анатольевич

            Моделирование потенциальных полей в кусочно-однородных средах методом точечных источниковЩербаков, Антон Андреевич

            

            Математическое моделирование эволюции двумерной границы раздела жидкостей различной вязкости в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях грунтаФедяев Юрий Сергеевич

            

            Исследование математической модели оптических антенн методом дискретных источниковБарышев, Александр Вячеславович

            

            Методы и алгоритмы исследования оптимизационных моделей распределения источников теплаОсипов Олег Васильевич

            

            Численное моделирование распространения примесей от источников загрязнения с учетом рельефа местности Микрюков Алексей Викторович

            

            Математическое моделирование загрязнения городского воздуха источниками антропогенной и биогенной эмиссииБарт, Андрей Андреевич

            

            Математическое моделирование оценки точности определения координат источника радиоизлучения системой космического радиомониторинга с учетом состояния ионосферыГусева Людмила Леонидовна

            Моделирование движения полидисперсной среды вблизи импульсного источникаХарченко Алексей Васильевич