Содержание к диссертации
Введение
1. Модификация метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких пространственных идеально проводящих тел и особенности ее использования 22
1.1. Формулировка задачи и метод ее решения 22
1.2. Решение системы линейных алгебраических уравнений 30
1.3. Описание компьютерной программы 32
1.4. Влияние положения вспомогательных поверхностей на точность решения задачи рассеяния 44
1.5. Влияние плотности размещения диполей и точек коллокации на точность решения задачи рассеяния 51
1.6. Влияние волновых размеров рассеивателей на точность решения задачи 55
1.7. Сравнение результатов расчета характеристик рассеяния с результатами других авторов 60
1.8. Основные результаты 64
2. Модификация метода вспомогательных источников для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих тонкие проводники 66
2.1. Формулировка задачи и метод ее решения 67
2.2. Описание компьютерной программы 79
2.3. Исследование влияния взаимного расположения концевых точек элементов тока и точек коллокации на точность решения задачи и сходимость итерационного процесса 83
2.4. Влияние чисел элементов тока и точек коллокации на точность решения задачи 90
2.5. Исследование зависимости нормы невязки граничных условий от длины проводника 92
2.6. Сравнение точности решений задачи рассеяния плоской волны на тонком цилиндрическом проводнике, полученных с помощью различных модификаций метода вспомогательных источников 96
2.7. Сравнение результатов расчета распределений осевого тока с
распределениями физического тока на поверхности
проводников 99
2.8. Основные результаты 102
3. Применение разработанных численных методов для анализахарактеристик рассеяния структур из конечного числа трехмерных идеально проводящих тел 104
3.1. Влияние электромагнитного взаимодействия объемных рассеивателей на характеристики рассеянного поля 104
3.2. Влияние неосесимметричности рассеивателей на бистатические сечения рассеяния образованных ими структур 120
3.3. Влияние объемных тел на распределение тока вдоль проводника 128
3.4. Влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния объемных тел 132
3.5. Основные результаты 137
Заключение 139
Литература 141
Приложение 150
- Решение системы линейных алгебраических уравнений
- Описание компьютерной программы
- Влияние электромагнитного взаимодействия объемных рассеивателей на характеристики рассеянного поля
Введение к работе
Задачи рассеяния электромагнитного поля на структурах, состоящих из нескольких идеально проводящих тел, возникают при решении многих научно-технических проблем. Это проблемы электромагнитной совместимости, радиопеленгации, снижения радиолокационной заметности, дистанционного зондирования и другие.
Спецификой электромагнитных процессов в структурах из нескольких тел является то, что вторичные токи на каждом из тел структуры наводятся не только первичным (возбуждающим) электромагнитным полем, но и полем вторичных токов всех соседних тел, т.е. вторичные токи всех тел структуры оказываются взаимосвязанными. Это обстоятельство существенно усложняет решение соответствующих задач рассеяния, особенно в том случае, если размеры каждого из тел структуры сравнимы с длиной волны возбуждающего поля (резонансная частотная область), а расстояние между телами структуры много меньше длины волны. В этом случае совокупность тел структуры необходимо рассматривать как единое целое и решать граничную задачу для всей совокупности тел. Если тела структуры являются идеально проводящими, эта граничная задача формулируется следующим образом: при заданном стороннем возбуждении найти решение уравнений Максвелла, удовлетворяющее граничным условиям идеальной проводимости на поверхностях всех тел структуры, условиям излучения на бесконечности, а также имеющее определенное поведение в окрестности разрывов геометрических параметров тел (при наличии таковых).
В принципе, для моделирования электромагнитного рассеяния на обсуждаемых структурах могут быть использованы такие наиболее широко распространенные численные методы как конечные методы, основанные на решении краевых задач в дифференциальной форме, и методы интегральных уравнений. Решению задач дифракции с помощью конечных методов посвящены работы авторов: Сильвестер П. П., Мей К. К., Волакис Ж. Л., Вебб Д. П., Митра Р. и др. Применению метода интегральных уравнений для решения задач электромагнитного рассеяния посвящены работы авторов: Ильинский А. С, Кравцов В. В., Свешников А. Г., Васильев Е. Н., Хижняк Н. А., Захаров Е. В., Пименов Ю. В., Дмитриев В. И., Колтон Д., Кресс Р. и др.
Нужно отметить, что как конечным методам, так и методам интегральных уравнений присущ ряд недостатков, затрудняющих их применение к решению задач рассеяния на рассматриваемых структурах. Для конечных методов - это необходимость искусственного ограничения рассматриваемой области, ошибки в расчетах рассеянных полей, обусловленные искусственной границей и пространственной дискретизацией задачи, чрезвычайно высокие размерности получающихся систем линейных алгебраических уравнений. Методы интегральных уравнений исключают необходимость искусст-
венного ограничения внешней области и снижают размерность пространства, в котором находится решение. Однако применение их к рассматриваемым структурам также является весьма громоздким. Даже в простейшем случае, когда граничные условия удовлетворяются методом коллокаций, а для представления токов на поверхностях тел используется кусочно-постоянная аппроксимация, решение задачи рассеяния на структуре из нескольких тел сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка, элементы матрицы которой определятся двумерными интегралами от ядер исходных интегральных уравнений. Кроме того, по отношению к полю в дальней зоне этап определения токов на поверхностях тел является промежуточным; для нахождения характеристик рассеяния необходимо вычисление интегралов от функций, содержащих поверхностный ток.
Анализ опубликованных работ, касающихся рассеяния электромагнитных волн в резонансной области частот на структурах из нескольких идеально проводящих тел, показывает, что в этих работах, как правило, рассматриваются структуры, состоящие из осесимметричных тел, тонких проводников и плоских проводящих экранов. Не обнаружено ни одной работы, в которой были бы приведены конкретные численные результаты, касающиеся рассеяния электромагнитных волн на структурах, удовлетворяющих следующим двум условиям: 1) расстояние между телами структуры много меньше длины волны возбуждающего поля; 2) одно или несколько пространственных тел структуры не обладает симметрией вращения (является неосемметричным). В связи с постоянным появлением подобного рода задач являются актуальными разработка численных методов для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, удовлетворяющих сформулированным выше условиям, а также исследование характеристик рассеяния конкретных структур.
В последние годы для моделирования электромагнитного рассеяния в резонансном частотном диапазоне все более широкое распространение находит метод вспомогательных источников. Основоположником этого метода является Купрадзе В. Д. В дальнейшем, метод вспомогательных источников был развит и применялся к двумерным и трехмерным задачам рассеяния авторами: Свешников А. Г., Еремин Ю. А., Кюркчан А. Г., Зарид-зе Р. С, Дмитренко А. Г. и др. За рубежом большой вклад в развитие метода внесли авторы: Ясуура К., Икуно X., Левиатан И., Хафнер X. и др.
Суть метода вспомогательных источников заключается в том, что рассеянное поле в исследуемой области строится в виде линейной комбинации полей элементарных источников (точечных источников, диполей, мультиполей и др.), расположенных вне этой области и излучающих в безграничную однородную среду с параметрами исследуемой области. Такая конструкция удовлетворяет в рассматриваемой области системе дифференциальных уравнений задачи (волновому уравнению, уравнениям Максвелла)
и условиям излучения на бесконечности. Коэффициенты линейной комбинации определяются путем удовлетворения граничным условиям в некоторой норме.
Метод вспомогательных источников избегает проблем, свойственных конечным методам, связанных с необходимостью ограничения и дискретизации рассматриваемого пространства, а также проблем, свойственных методу поверхностных интегральных уравнений, связанных с необходимостью вычисления двумерных интегралов при формировании матрицы системы линейных алгебраических уравнений и расчете характеристик рассеяния. По этим причинам представляется целесообразным использовать именно его для моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из нескольких неосесимметричных тел. Дополнительным аргументом в пользу такого выбора является накопленный ранее опыт использования метода вспомогательных источников для моделирования рассеяния на одиночных неосесимметричных телах.
Целью диссертации является разработка модификаций метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния в резонансной частотной области на структурах, состоящих из нескольких неосесимметричных идеально проводящих тел.
В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:
Обобщение варианта метода вспомогательных источников, разработанного ранее для одиночного тела, для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких пространственных неосесимметричных идеально проводящих тел.
Развитие модификации метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих пространственные тела и тонкие проводники.
Реализация разработанных модификаций метода вспомогательных источников в виде компьютерной программы и ее применение для анализа характеристик рассеяния конкретных структур, в особенности с целью выявления закономерностей процессов рассеяния, обусловленных существенным взаимодействием рассеивателей и отклонением их форм от осесимметрич-ной.
Модификация метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из нескольких пространственных неосесимметричных идеально проводящих тел.
Модификация метода вспомогательных источников для математического моделирования электромагнитного рассеяния на структурах из не-
скольких пространственных неосесимметричных идеально проводящих тел и тонких проводников.
3. Установленные с помощью разработанных модификаций метода вспомогательных источников закономерности процессов рассеяния, обусловленные взаимодействием рассеивателей и отклонением их форм от осе-симметричной.
В ходе разработки и исследования модификаций метода вспомогательных источников применялись теория дифференциальных уравнений в частных производных, аппарат теории матриц, метод сопряженных градиентов.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается теоремами единственности решения задач рассеяния и проверяется контролем точности по критерию невязки граничных условий, а также совпадением полученных результатов в частных случаях с результатами других авторов, полученными иными методами.
Осуществлено обобщение математической модели рассеяния электромагнитного поля, построенной с помощью модификации метода вспомогательных источников, разработанной ранее для одиночного пространственного идеально проводящего тела, на случай из нескольких пространственных идеально проводящих рассеивателей.
Предложена модификация метода вспомогательных источников для решения задач электромагнитного рассеяния на структурах, содержащих тонкие проводники, в коттрой для моделирования рассеянного тонкими проводниками поля используются вспомогательные источники в виде осевых токов.
Путем математического моделирования исследовано влияние электромагнитного взаимодействия между телами, а также отклонения форм рассеивателей от осесимметричной на бистатические сечения рассеяния.
Исследовано влияние объемных рассеивателей на распределение тока вдоль тонких проводников, а также влияние тонких проводников на бистатические сечения рассеяния.
На единой теоретической основе разработаны две модификации метода вспомогательных источников для моделирования в резонансном частотном диапазоне электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из нескольких неосесимметричных идеально проводящих тел.
Полученные модификации метода вспомогательных источников позволяют получить характеристики рассеяния широкого класса структур,
состоящих из нескольких близко расположенных идеально проводящих тел, ограниченных гладкими поверхностями, и тонких проводников.
Путем моделирования электромагнитного рассеяния с учетом и без учета взаимодействия тел, установлены интервалы расстояний и направлений наблюдения, в которых можно пренебречь взаимодействием рассеивате-лей.
Результаты исследований влияния отклонений формы рассеивате-лей от осесимметричной на величины бистатических сечений рассеяния позволяют оценить возможные ошибки в расчетах сечений рассеяния при замене рассеивателя его осесимметричным аналогом.
Результаты анализа влияния объемного тела на распределение тока вдоль тонкого проводника, расположенного вблизи тела, представляют интерес для специалистов, занимающихся разработкой вибраторных антенн, предназначенных для работы вблизи объектов различной формы.
Результаты исследований влияния тонкого проводника на бистати-ческие сечения рассеяния объемных тел позволяют оценить изменения сечений рассеяния тел, которые возникают при размещении вблизи них проволочных антенн.
Результаты исследований по теме диссертации были представлены и получили высокую оценку специалистов на:
1. Всероссийской конференции "Излучение и рассеяние электромаг
нитных волн" (г. Таганрог, 18-23 июня 2001 г.);
2. Всероссийской научной конференции "Физика радиоволн" (г.
Томск, 23-28 сентября 2002 г.);
3. Международной конференции "Современные проблемы физики и
высокие технологии", посвященной 125-летию ТГУ, 75-летию СФТИ и 50-
летию РФФ ТГУ (г. Томск, 29 сентября 2003 г.).
Теоретические основы изложенных в диссертации модификаций метода вспомогательных источников разработаны соискателем совместно с научным руководителем. Компьютерные программы разработаны и реализованы соискателем самостоятельно. Все приведенные в диссертации численные результаты также получены соискателем самостоятельно; научному руководителю принадлежит только определение направлений численных исследований.
СТРУКТУРА РАБОТЫ
Решение системы линейных алгебраических уравнений
Как показано в предыдущем разделе, решение рассматриваемой задачи предлагаемым методом сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений (1.11). Однако решение систем данного типа представляет трудности. Дело в том, что система (1.11) относится к классу плохо обусловленных систем. Проведенные ранее исследования [101] показывают, что даже при очень небольшом числе диполей и точек коллокации (JV=Z,»30) число обусловленности системы (1.11) может иметь величину порядка 103. При увеличении N и L число обусловленности быстро возрастает. В работе [101] показано, что для решения таких систем традиционные методы, например метод Гаусса, непригодны - они обычно дают нефизическое решение. Там же показано, что наиболее приемлемым и эффективным методом решения систем типа (1.11) является сведение задачи решения системы к эквивалентной задаче минимизации функционала невязки системы, решаемой затем итерационным методом сопряженных градиентов. В данном случае этот функционал имеет вид
В качестве схемы реализации метода сопряженных градиентов выбрана схема, приведенная в [23]. Она выглядит следующим образом.
Описание компьютерной программы
С целью создания единой программы, объединяющей обе разработанные модификации, в ранее разработанную компьютерную программу, описание которой приведено в разделе 1.3 главы 1, были внесены некоторые изменения, касающиеся наличия в структуре тонких проводников.
В блоке 1 программы добавлена возможность задания параметров для тела, имеющего форму тонкого цилиндрического проводника. Для задания положения тонкого проводника в пространстве нужно указать две точки -начало и конец осевой линии рассеивателя; проводники предполагаются прямолинейными.
В блоке 2 программы добавлено определение положения точек коллокации на поверхности тонких проводников, вычисление координат концевых точек элементов тока, а также определение тангенциального направления, по которому ставится граничное условие на поверхности проводника. Как и в случае совокупности пространственных рассеивателей, эти величины первоначально определяются в локальной системе координат, связанной с отдельным проводником, а затем осуществляется переход в единую систему координат.
Для отдельного проводника локальная система координат вводится таким образом, чтобы ось z совпадала с осью проводника (см. рис. 2.3). В этой системе алгоритм выбора координат точек коллокации как на цилиндрической части проводника, так и на скругленных торцах совпадает с алгоритмом выбора координат точек коллокации на поверхности цилиндрического проводника с эллипсоидальными торцами, при этом для тонких проводников всегда предполагается, что Ь9=4. Таким образом, общее число точек коллокации на поверхности проводника L = A(LZ + 2LQ), где Lz - число сечений z=const, LQ - число точек коллокации в сечении p=const на торцах проводника.
Влияние электромагнитного взаимодействия объемных рассеивателей на характеристики рассеянного поля
В данном разделе исследовано влияние электромагнитного взаимодействия объемных рассеивателей на характеристики рассеянного поля. Исследования подобного рода представляют большой интерес прежде всего потому, что позволяют установить величины расстояний между рассей вате лями при которых взаимодействием рассеивателей можно пренебречь и, следовательно, рассматривать рассеянное поле как суперпозицию полей, рассеянных каждым рассеивателем в отсутствие других рассеивателей. Такой подход к решению задач рассеяния для систем тел существенно проще, чем решение задачи в полной электродинамической постановке, потому что по-существу сводит решение задачи для систем тел к решению задачи для одного рассеивателя. Кроме того, представляет интерес определение направлений рассеяния, для которых влияние взаимодействия рассеивателей минимально (если таковые имеются).
В качестве исследуемой характеристики рассеяния выбраны бистатические сечения рассеяния.
Методика исследований заключалась в сравнении бистатических сечений рассеяния, рассчитанных предложенным в диссертации методом, с бистатическими сечениями рассеяния, полученными путем суперпозиции полей рассеяния каждого рассеивателя в отсутствии других рассеивателей структуры. Естественно предположить, что электромагнитное взаимодействие должно уменьшаться с увеличением расстояния между рассеивателями. Проведенные численные эксперименты, результаты которых представлены в данном разделе, позволяют оценить зависимость электромагнитного взаимодействия от расстояния между рассеивателями.
Были исследованы три различные структуры рассеивающих тел. Геометрии исследованных структур показаны на рис. 3.1, 3.6 и 3.11.
Первая структура (рис. 3.1) состоит двух различных трехосных эллипсоидов. Первый эллипсоид имеет длины полуосей равные кеа\=\.0, кеЬ]=1.5, кеС\=2.0 и центр размещенный в начале декартовой системы координат. Полуоси второго эллипсоида равны кеа2=2.0, кеЬг=\,5, кесг \Х), и его центр расположен на оси л:. Структура возбуждается линейно поляризованной плоской волной, распространяющейся вдоль оси z, с вектором EQ, ориентированным вдоль оси х. Параметры метода для каждого эллипсоида
выбраны одинаковыми: N9i Nv2-l NQ]=NQ2=12, Іфі=іф2=28, LQI=LQ2 12. Коэффициенты подобия для вспомогательных поверхностей для каждого рассеивателя были выбраны также одинаковыми: КЄг\=КЄг2=0.6.
На рис. 3.2-3.5 представлены бистатические сечения рассеяния данной структуры в -плоскости (плоскость векторов ке и Ё0), полученные для случаев, когда наименьшее расстояние Д/ между поверхностями рассеивателей составляло 0.01 Я,, 0ЛХ, 0.5Х и 1.0Х соответственно. Кривая 1 на рис. 3.2-3.5 -бистатическое сечение рассеяния, полученное с учетом взаимодействия тел. Кривая 2 - бистатическое сечение, полученное путем суперпозиции полей рассеяния, полученных для каждого рассеивателя в отдельности. При проведении численных экспериментов невязка граничных условий менялась от25%(Д=0.0а)до12%(Д=1.0А,).
