Содержание к диссертации
Введение
Различные подходы при моделировании процесса консолидации двухфазных сред
1.1. Лабораторные и натурные испытания двухфазных грунтов, остаточные поровые давления
1.2. Применение моделей деформируемого твердого тела к грунтам
1.3. Применение моделей жидкости и газа к грунтам 22
1.4. Модель фильтрационной консолидации, ее модификации
1.5. Кинематическая модель, основанная на двух новых вариантах закона уплотнения двухфазного грунта
1.6. Кинематическая модель НДС двухфазного образца с учетом времени
1.7. Экспериментальное определение параметров кинематической модели
1.8. Выводы по главе 50
Пространственная модель, учитывающая остаточные поровые давления
2.1. Гипотезы, отражающие вклад жидкой фазы 53
2.2. Введение слагаемых, учитывающих жидкую фазу в уравнениях Ляме по окончанию процесса консолидации
2.3. Вязкоупругий вариант обобщенных уравнений Ляме, описывающих процесс консолидации
2.4. Решение вязкоупругой задачи в два этапа 79
2.5. Применение метода ломаных для приближенного перехода от решения в изображениях к оригиналу 82
2.6. Выводы по главе 99
Работа деформации в двухфазном теле 101
3.1. Приращение элементарной работы внешних сил, действующих на элемент двухфазного тела 101
3.2. Связь между работой внешних и внутренних сил 107
3.3. Удельная энергия деформации двухфазного тела 110
3.4. Свойства удельной энергии деформации 115
3.5. Выводы по главе 129
Исследование свойств обобщенного оператора Ляме 130
4.1. Положительная определенность оператора 130
4.2. Обобщение теорем о взаимности работ и Клапейрона 134
4.3. Обобщенное решение краевой задачи 138
4.4. Выводы по главе 140
Фундаментальное решение задачи о действии погонной нагрузки на двухфазную полуплоскость 141
5.1. Задача Фламана для однофазной упругой полуплоскости 141
5.2. Разложение решения Фламана на две фазы 144
5.3. Перемещения частиц скелета грунта и поровой воды 153
5.4. Переход к декартовой системе координат 159
5.5. Графическое представление расчетных формул 160
5.6. Применения фундаментального решения 164
5.7. Изменение напряжений во времени при действии равномерно распределенной нагрузки 170
5.8. Сопоставление решений по двум моделям 177
5.9. Сопоставление теоретического прогноза по кинематической модели с результатами лабораторных экспериментов 182
10. Сопоставление теоретического прогноза с 187 результатами натурного эксперимента
11. Выводы по главе 191 Приближенное фундаментальное решение задачи 194 Буссинеска для двухфазного полупространства
1. Решение Буссинеска 194
2. Обобщение решения Буссинеска на случай двух фаз 199
3. Примеры использования фундаментального решения 210
4. Зависимость от времени напряжений в двухфазном полупространстве 216
5. Выводы по главе 223
Заключение 224
- Применение моделей жидкости и газа к грунтам
- Введение слагаемых, учитывающих жидкую фазу в уравнениях Ляме по окончанию процесса консолидации
- Связь между работой внешних и внутренних сил
- Разложение решения Фламана на две фазы
Введение к работе
Актуальность проблемы. Объектом исследования является двухфазная среда (водонасыщенный грунт), поведение которой под нагрузкой описывается с позиций нового варианта механики деформируемого твердого тела, позволяющего описать несущую способность поровой жидкости. Применение результатов этих исследований позволяет учесть влияние жидкой фазы на разгрузку твердой фазы. В результате можно достаточно точно рассчитать деформации грунтовых оснований под действием нагрузки от сооружений, что обуславливает принятие безопасных, экономичных решений и развитие новых технологий, направленных на усиление несущей способности жидкой фазы.
В России есть много регионов, в которых строительство ведется на
слабых обводненных грунтах. Строительство железнодорожных и
автомобильных дорог, особенно нефтегазопромысловых,
сопровождается обязательным прохождением заболоченных участков и участков, состоящих из слабых грунтов. Современное теоретическое описание процесса консолидации водонасыщенного грунта с помощью уравнений теплопроводности подтверждается экспериментом на начальном временном участке и принципиально расходится с экспериментом при приближении к окончанию процесса консолидации, так как по теории напряжения в жидкой фазе обращаются в нуль в то время как натурные эксперименты многих авторов указывают на несущую способность поровой жидкости при стабилизированном состоянии грунта. На многих научно - технических совещаниях подчеркивалось необходимость дальнейших теоретических и экспериментальных исследований, направленных на изучение несущей способности жидкости в двухфазной среде из слабых грунтов.
На этом основании следует считать, что тема диссертационной работы, связанная с построением новой математической модели, описывающей несущую способность поровой жидкости в двухфазном основании из слабого водонасыщенного грунта в процессе его консолидации является актуальной.
Общая характеристика кинематической модели двухфазной среды.
Отметим, что согласно известным линейным моделям механики грунтов поровое давление при стабилизированном состоянии обращается в ноль и сами модели описываются системами параболических уравнений в частных производных. Описание данной проблемы с позиций механики композитов приводит к тому, что определяющие соотношения содержат «разрывные по координатам материальные функции». В кинематической модели разрывные материальные функции отсутствуют, вместо них вводятся материальные постоянные или функции времени для жидкой и твердой фаз и универсальные постоянные, зависящие от механических характеристик обеих фаз. Приводятся методики проведения новых лабораторных экспериментов, примеры определения материальных постоянных и функций времени, характеризующих вязкоупругие свойства двухфазной среды.
Одномерный вариант кинематической модели, предложенный Л.Е. Мальцевым, в диссертации обобщается на случаи двух и трех измерений. Согласно кинематической модели в одной геометрической точке предполагается наличие двух материальных точек: жидкой и твердой. Твердая фаза (скелет грунта) описывается двумя моделями деформируемого твердого тела: упругой и вязкоупругой.
В жидкой фазе относительные линейные деформации вызываются в каждом направлении не напряжениями, а частными производными от нормальных напряжений, то есть перепадами давлений, приходящимися на единицу длины. Касательные напряжения отсутствуют.
Относительные деформации предполагаются малыми (линейная теория). Взаимодействие твердой и жидкой фаз описывается с помощью кинематической гипотезы, согласно которой относительные деформации жидкой и твердой фаз в каждом направлении противоположны по знаку и пропорциональны. Противоположность по знаку означает, что твердая фаза освобождает часть своего дифференциально малого размера для того, чтобы он заместился жидкой фазой, либо наоборот. Жидкая фаза также описывается двумя моделями, одна из которых учитывает зависимость механических характеристик от времени, а другая не зависит от времени.
Аналоги физических уравнений для жидкой фазы и кинематических уравнений, описывающих взаимодействие двух фаз, в научной литературе отсутствуют.
Вместо описания механического поведения двухфазной среды под нагрузкой с помощью системы уравнений параболического типа (модели теории фильтрационной консолидации) в диссертации предлагаются двух и трехмерные модели, основанные на системах эллиптических уравнений как в теории упругости, которые содержат на один аргумент меньше (время отсутствует) на первом этапе решения задачи и позволяют получать аналитические решения для стабилизированного состояния, то есть после окончания процесса консолидации. Кинематические модели допускают предельный переход, при котором исключается вклад жидкой фазы, и получаются основные уравнения теории упругости. Эллиптичность уравнений позволяет использовать методику теории упругости при формулировке теорем Бетти и Клапейрона для двухфазного тела и разложить решения Фламана и Буссинеска на две фазы.
Целью диссертационной работы является решение научно-технической проблемы математического моделирования напряженного и деформированного состояния водонасыщенного грунта (двухфазного
тела) с позиций теории вязкоупругости при описании процесса консолидации и с позиций обобщения теории упругости на двухфазное тело после окончания процесса консолидации, то есть при стабилизированном состоянии среды. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
Построение упругих и вязкоупругих математических моделей в виде систем дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Получение фундаментальных решений типа Фламана и Буссинеска, которые после переобозначений (принцип Вольтерра) одновременно являются фундаментальными решениями интегро-дифференциальных уравнений в изображениях по Лапласу-Карсону, привело к созданию новой ветви теории упругости и вязкоупругости, описывающей напряженное и деформированное состояние водонасыщенного грунта.
Доказательство положительной определенности полученного обобщенного несимметричного дифференциального оператора Ляме (оператора эллиптического типа).
Доказательство существования и единственности обобщенного решения смешанной задачи о равновесии двухфазного тела.
Разработка методик определения параметров (материальных постоянных и функций времени) кинематической модели, описывающих упругие или вязкоупругие свойства двухфазной среды по результатам одномерных, лотковых и натурных испытаний.
Разработка аналитических (в упругом варианте кинематической модели) и численно-аналитических (в вязкоупругом варианте) методов решения краевых задач для двухфазного полупространства и двухфазной полуплоскости, основанных на новых фундаментальных решениях.
Методы исследования. При анализе полученных математических моделей и решении краевых задач используются методы
математической физики, теории упругости и вязкоупругости, методы теории дифференциальных уравнений.
Качественный анализ изучаемой проблемы осуществляется по аналитическим зависимостям и приближенным с помощью ЭВМ с использованием современных интегрированных сред разработки программных продуктов и комплексов программ.
Научная новизна работы состоит в том, что
Упругие варианты математических моделей двухфазной среды описываются системами двух и трех линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа, которые отличаются от известных уравнений Ляме дополнительными слагаемыми, отражающими разгружающий вклад жидкости. Соответствующий уравнениям дифференциальный оператор назван обобщенным оператором Ляме.
Показана положительная определенность обобщенного несимметричного оператора Ляме для ограниченной односвязной области с кусочно гладкой границей. Из положительной определенности доказано существование и единственность обобщенного решения задачи о равновесии двухфазного тела.
При исследовании свойств обобщенного оператора Ляме получены основные теоремы для двухфазного тела (типа Клапейрона, типа Бетти, аналоги формул Грина).
Фундаментальные решения Фламана для упругой однофазной полуплоскости и Буссинеска для упругого однофазного полупространства аналитически разложены на две фазы. Показано, что разложение решения Фламана на две фазы совпадает с точным решением системы обобщенных дифференциальных уравнений Ляме. Фундаментальные решения применены для аналитических расчетов двухфазных плоских и пространственных оснований, загруженных площадными фундаментами.
Упругие аналоги фундаментальных решений Фламана и Буссинеска представлены в вязкоупругом варианте. В соответствии с работами основателей советской школы вязкоупругости А.А. Ильюшина, П.М. Огибалова решение вязкоупругих задач разбито на два этапа: упругий и вязкоупругии. Для фиксированной точки пространственных координат приближенный аналитико-численный переход от решения в изображениях по Лапласу-Карсону к решению в оригинале осуществляется по модификации метода ломаных Л.Е.Мальцева, которая позволяет получать немонотонные оригиналы.
Созданы методики определения механических постоянных и функций времени (параметров кинематической модели) по результатам одно-, двумерных лабораторных и натурных экспериментов.
Достоверность защищаемых положений обеспечивается:
-строгостью постановки задач и используемого математического аппарата;
-сопоставлением результатов численных и аналитических решений а) с данными лабораторных и натурных экспериментов, б) с решениями, известными в литературе;
-сравнением полученных в работе результатов с известными фундаментальными положениями теории упругости;
-применением теории линейных операторов.
Практическая значимость. На основании предложенных математических моделей проведено научное обоснование расчетов напряженного и деформированного состояния двухфазных оснований из слабых водонасыщенных грунтов при разных плоских (задача Фламана) и пространственных нагрузках (задача Буссинеска) на дневной поверхности и для сочетаний нагрузок (взаимное влияние фундаментов). Приведены решения разнообразных задачи в упругой и вязкоупругой постановках. Разработаны методики обработки лотковых и натурных испытаний.
11 На защиту выносятся:
а) двух- и трехмерные системы линейных дифференциальных
уравнений, которые отличаются от уравнений Ляме дополнительными
слагаемыми в каждом уравнении;
б) исследование свойств обобщенного оператора Ляме;
доказательство существования и единственности обобщенного решения
задачи о равновесии двухфазного тела;
в) выражение удельной внутренней энергии для двухфазного тела
и ее свойства;
г) формулировки и выводы основных теорем о взаимности работ и
Клапейрона;
д) фундаментальные решения типа Фламана и Буссинеска для
двухфазного тела и их вязкоупругие варианты;
е) определение параметров кинематической модели по
результатам лабораторных и натурных экспериментов.
Апробация работы. Основные результаты работы доложены на:
II Всероссийской научно - практической конференции «Моделирование технологических процессов бурения, добычи нефти и газа и обустройства сопровождающих объектов на основе современных технологий». (Тюмень, 2000),
научно - практической конференции «Актуальные проблемы строительства и экологии Западно-Сибирского региона». (Тюмень, 2000),
Международном научном симпозиуме «Упругость и неупругость». (Москва, 2002),
Международном совещании заведующих кафедрами «Механика грунтов, оснований и фундаментов», «Инженерная геология и геоэкология», «Подземные сооружения» (Москва, 2002),
городском научном семинаре НИИ оснований и подземных сооружений (Москва, 2002),
научно - техническом семинаре факультета «Мосты и тоннели» Государственного университета путей сообщения (Санкт - Петербург, 2003),
городском научном семинаре кафедры «Механика многофазных сред» Тюменского государственного университета (Тюмень, 2003),
Всероссийской конференции «Научно - технические проблемы в строительстве» (Новосибирск, 2003),
Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2003),
научном семинаре кафедры «Механика композитов» Московского государственного университета (Москва, 2003),
научном семинаре института Математического моделирования РАН (Москва, 2003), научном семинаре кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (Саранск, 2004),
научном семинаре лаборатории механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета (Казань, 2004),
XVII сессии Международной научной школы «Модели механики сплошной среды» (Казань, 2004),
научном семинаре кафедр вычислительной математики и теоретической механики Казанского государственного университета (Казань, 2005),
семинарах кафедры математики и информатики и кафедры математического моделирования факультета математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета (2003-2005гг).
Применение моделей жидкости и газа к грунтам
Увеличение влажности грунта приближает его к свойствам вязкой жидкости, описанием которой занимается гидромеханика. Если в поровой воде учитывать содержание пузырьков газа, то сжатие газообразной фазы можно определить уравнениями теории газа. Для многофазных грунтов использование разделов механики твердого тела, жидкости и газа связано с границами применимости к ним [25].
Для идеальной жидкости предполагается, что она изотропна, несжимаема и не обладает внутренним трение. По закону Паскаля во всех направлениях в рассматриваемой точке жидкости давления одинаковы. Свойства идеальной жидкости использовались Н.М. Герсевановым (1933), В.А. Флорином (1938) для описания грунтовой массы, то есть глинистого грунта, поры которого полностью заполнены несжимаемой идеальной жидкостью.
При течении вязких жидкостей следует учитывать в ней внутреннее трение по закону Ньютона: T = J]-V, где: v - скорость течения жидкости, т] - коэффициент внутреннего трения или вязкости. Н.Н. Маслов (1968) рассматривал грунт как вязкую жидкость (однофазную систему), свойства которой зависят от «плотности -влажности».
Газ в порах грунта содержится растворенным в воде в виде пузырьков. Физическое уравнение для газосодержащей поровой жидкости для объемного изменения можно получить путем рассмотрения двух состояний некоторого замкнутого объема V жидкости при различном значении давлений Р/ и Р/1 в предположении изотермического сжатия и расширения, базируясь на известных законах Бойля-Мариотта и Генри.
При постоянной массе плотностью р в рассматриваемом объеме уравнение состояния получается в виде (З.Г. Тер-Мартиросян,1976): 1 дР = 1-// р дРГРа+Р, где: Ра - атмосферное давление, Р, - поровое давление, /, коэффициент водонасыщенности. В основу этого уравнения заложен принцип сжимаемости жидкости Л.С. Лейбензона (1947), согласно которому заполняющие поры вода и воздух рассматриваются как один компонент, обладающий сжимаемостью.
Для практических целей, когда диапазон изменения уплотняющего давления невелик, можно использовать линеаризованное уравнение состояния газированной поровой жидкости: где mw - коэффициент объемной сжимаемости поровой жидкости.
От действия на основание нагрузок, от сооружений промышленного и гражданского строительства сопротивлением сжатию свободного газа можно пренебречь. При устройстве глубоких подземных сооружений ниже уровня подземных вод, в связи с высокими давлениями в воде пор грунта, необходимо учитывать растворимость газа в воде и ее сжимаемость.
Теория фильтрационной консолидации является первой двухфазной теорией, предложенной профессором К. Терцаги (1925), который исходил из того положения, что процесс консолидации водонасыщенных грунтов полностью обусловлен фильтрацией в них воды под действием напора, создаваемого внешним давлением. Основополагающее уравнение сохранения массы поровой воды имеет формулировку, которая была высказана академиком Н.Н. Павловским в 1922г.: увеличение расхода воды равно уменьшению пористости грунта; расход воды, выдавливаемой из пор грунта, подчиняется закону фильтрации Дарси [122]; уменьшение пористости прямо пропорционально частной производной от напряжения в скелете грунта. Физические аспекты задачи безнапорной фильтрации описаны [83].
К уравнению сохранения массы добавляется статическое уравнение: сумма напряжений в твердой и жидкой фазах равна напряжению, приложенному к дневной поверхности грунта. Считается, что это напряжение приложено к большой площади, поэтому модель называется одномерной. Уравнение сохранения массы поровой воды окончательно преобразуется в линейное дифференциальное уравнение параболического типа, то есть с точностью до обозначений оно совпадает с уравнением теплопроводности. Поровое давление имеет тот же смысл, что и температура в уравнении теплопроводности.
Нагружение дневной поверхности можно сравнить с нагреванием этой поверхности в начальный момент времени, тогда нижнюю границу сжимаемого слоя можно сравнить с теплоотводящей границей. Температура в активном слое будет монотонно понижаться до нуля. Следовательно, поровое давление будет монотонно убывать во времени до нуля.
Введение слагаемых, учитывающих жидкую фазу в уравнениях Ляме по окончанию процесса консолидации
При математическом моделировании статического процесса напряженно-деформированного состояния водонасыщенного грунта под действием внешних сил с учетом остаточных поровых давлений справедливы допущения:
1.Вместо гомогенной (однофазной) среды с наличием макроскопических (по отношению к молекулярным масштабам) неоднородностей рассматривается двухфазная среда, в которой каждая из фаз (твердая и жидкая) является однородной сплошной средой. В одной геометрической точке по модели находятся две материальные точки: жидкая и твердая.
2.Перемещения частиц твердой (s) и жидкой (I) фаз малы, относительные деформации, взятые по модулю, не превосходят 0,01.
З.Для скелета справедливы шесть гипотез теории упругости: идеальной упругости, изотропности и однородности, линейной связи между напряжениями и деформациями, сплошности, независимости действия сил, о естественном ненапряженном состоянии тела.
4.Для жидкой фазы вводится гипотеза о линейной связи между частной производной от напряжения в жидкой фазе и ее относительной деформацией (п. 1.5), которая обобщается на трехмерный случай, то есть вводится эта пропорциональность вдоль каждой из координатных осей. Время отсутствует, поэтому процесс фильтрации не рассматривается и свойства идеальной, вязкой жидкости не вводятся. Вместо равенства напряжений на горизонтальных и боковых площадках элементарного параллелепипеда вода наделяется свойством, согласно которому эти напряжения разные (как и у скелета грунта), что подтверждается единичными лабораторными экспериментами [56]. По вязкоупругому варианту кинематической модели поровая вода обладает памятью. Другими словами, она является своеобразным жидким материалом, который вместе со скелетом воспринимает часть внешней нагрузки. Особенность жидкости заключается в том, что относительная деформация вызывается перепадом напряжений, приходящимся на единицу длины (частной производной от напряжения), а не самим напряжением. Гипотеза однородности сохраняется, вместо изотропности жидкого материала вводится ортотропность.
Напомним [95], что Томас Юнг в своих "Лекциях по натуральной философии и механике материалов" (1807г.) указал, что способность сопротивляться сдвигу отличает твердые тела от жидких, поэтому касательные напряжения в жидкую фазу по кинематической модели не вводятся.
5. Кинематическая гипотеза о взаимодействии двух фаз (п. 1.5): одна фаза освобождает часть своего объема для другой фазы. Вследствие ограничения на относительные деформации К + є + Ь33 ) 3-0,01, (І є[. I о,01, i=s,l), относительное изменение объема, а, следовательно, и массы не превышает 3% [92], поэтому уравнение сохранения массы, как и в теории упругости, не используется, сплошность тела обеспечивается применением линейных геометрических уравнений Коши к каждой из фаз. Приведем физическое уравнение для жидкой фазы (1.1) п. 1.5 в одномерном случае. dz h h
В левой части записан перепад напряжений, приходящийся на единицу длины, поэтому коэффициент пропорциональности к предложено записывать в виде погонного модуля, параметр Ь(м) может совпадать либо с высотой образца, либо с толщиной сжимаемой толщи. В качестве развития модели введем новую механическую характеристику, Р1 которую назовем обобщенным перепадом напряжений в жидкой фазе и h = P , dz Р1 =Е є
В дальнейшем Р (МПа) методически будем использовать также как используется напряжение а в записи закона Гука т = Еє.
Физические уравнения для жидкой фазы в пространственном случае модели записываются по аналогии с одномерным вариантом: ЗД Р phhi4is Механические постоянные i,j = 1,2,3. (модули деформаций) и геометрические характеристики л; описывают возможную ортотропию жидкости. Например, в случае водонасыщенного полуразложившегося торфа механические характеристики вдоль остатка стебля и поперек различны, они различны в плоскости слоя и поперек плоскости.
Связь между работой внешних и внутренних сил
Начнем с формулировки известного в теории упругости результата [77]. При деформации тела энергия подводится к нему частично в виде механической работы, совершаемой над телом внешними силами, частично в форме тепловой энергии, электрических зарядов и т.д. Обозначим через 8Q - механический эквивалент тепловой энергии, подводимой к телу, в форме отличной от механической работы, через 5Т - приращение кинетической энергии, через 5V - приращение потенциальной энергии, через SR приращение работы внешних сил, действующих на однофазное упругое тело. Закон сохранения энергии примет следующую запись SR + SQ = ST + SV
В случае описания процесса статической деформации, когда все скорости всех точек тела бесконечно малы, и кинетической энергией можно пренебречь, приращение тепловой энергии пренебрежимо мало по сравнению с 5R, что приводит к простейшей записи закона сохранения энергии SR = SV, согласно которому потенциальная энергия тела определяется только механической работой, затраченной внешними силами на преодоление сопротивления относительно жесткого тела, так как механический эквивалент, подводимой к телу в форме, отличной от механической работы пренебрежимо мал.
Обозначим через W удельную работу деформации или потенциальную энергию единицы объема двухфазного тела в данной его точке. Между потенциальной энергией всего тела V и величиной W по определению существует зависимость причем при всяком малом изменении формы бесконечно малого элементарного параллелепипеда с размерами dx1dx2dx3, выделенного мысленно из тела, приращение его потенциальной энергии SV = SWdx1dx2dx3 равно приращению 5R обратимой механической работы внешних сил, действующих на этот параллелепипед. Приращение 8R механической работы внешних (по отношению к вырезанному однофазному упругому параллелепипеду) сил описывается соотношением SR = [cjjj .SUj + o-j-SSjj )dx1dx2dx3. На основании уравнений равновесия ст,,8и = 0, поэтому Us J выражение для приращения работы упростилось: SR/(dx1dx2dx3) = сг є,.
Так как 5R = 5V, то энергия, накапливаемая телом должна быть во всех точках тела функцией, зависящей только от деформаций тела в данной точке, поэтому полностью определяться ее шестью компонентами, то есть W = \А/\є11,є22,є33,є12,є13,є23). В законе сохранения энергии 8R = 3\I приращение удельной потенциальной энергии 5W с точностью до малых второго порядка заменяется первым полным дифференциалом: 8W SW = dW = -dii (3.3) дєу J
Приращение работы SR внешних сил, действующих на элементарный параллелепипед, также заменим на первый полный дифференциал с помощью переобозначений &.. - йе» и введем приращение удельной работы внешних сил: = Ж- (3.4) dR dx1dx2dx3 IJ IJ Закон сохранения энергии сейчас формулируется в виде: dx1dx2dx3 Из сопоставления формул (3.3) и (3.4) получаем зависимости dW . . ...
В теории упругости их называют формулами Грина, а удельную работу деформации W упругим потенциалом.
Отметим, что формулы Грина являются математическим описанием закона сохранения энергии SR = SWdx1dx2dx3 после замен приращений Ж и W на полные дифференциалы dR и dW первого порядка.
Обобщим закон сохранения энергии на двухфазное тело, затем приращение удельной работы внешних сил заменим на полный дифференциал и получим аналог формул Грина для двухфазного тела.
Приращение работы внешних сил, действующих на элементарный двухфазный параллелепипед в соответствии с п. 3.1 записывается как сумма приращений двух работ:
SRsl=SRs+SR ,
где SRS - приращение работы внешних сил, приложенных только к
скелету грунта, в двухфазном элементарном параллелепипеде, SR1 -приращение работы внешних сил, приложенных только к поровой жидкости в том же двухфазном элементарном параллелепипеде.
Закон сохранения энергии в двухфазном теле предлагаем сформулировать следующим образом, используя те же допущения, что в законе сохранения энергии для однофазного тела:
Приращение потенциальной энергии SWsldx1dx2dx3 равно приращению SRsl механической работы внешних сил, действующих на мысленно выделенный двухфазный элементарный параллелепипед.
Разложение решения Фламана на две фазы
Напомним решение задачи Фламана о действии погонной нагрузки F (рис.5.3), от которой переходят к нагрузке, расположенной на поверхности полуцилиндра. Отличия в постановках задачи Фламана в теории упругости и в данной работе заключается в том, что в теории упругости задача Фламана рассматривается для неограниченной полуплоскости, а при разложении нормального напряжения на две фазы вводится в качестве нижней границы S1 полуокружность конечного радиуса R и на ней задаются однородные кинематические условия uL =0. Таким образом, введение ограниченной односвязной области упрощает разложение решения Фламана на две фазы и в то же время с точки зрения механики грунтов не является упрощением задачи, так как в механике грунтов сжимаемая область конечна. В главе 4 исследованы свойства соответствующего дифференциального оператора в ограниченной области.
Решение, отвечающее сосредоточенной силе, называется фундаментальным, так как переход к решению для произвольной нагрузки осуществляется с помощью операции интегрирования. Таким образом, имея фундаментальное решение, путем применения операции интегрирования получим решение для любой распределенной нагрузки.
Математическая абстракция в виде сосредоточенной силы вводится именно потому, что, получив решение, отвечающее абстрактному нагружению, мы сразу получим возможность получить решение для любого загружения путем применения операции интегрирования. Выбор полярной системы координат оказал решающее влияние на решение задачи о полосовой нагрузке. Только в полярной системе координат два напряжения ав и тгв обращаются в ноль. Поэтому остается только одна компонента напряженного состояния аг и формула для ее нахождения принимает весьма простой вид. Все это относится и к однофазному телу, но и для двухфазного тела выбор полярной системы координат имеет решающее значение, т.к. только к одномерному напряженному состоянию можно применить одномерную кинематическую модель.
Прежде чем сделать действительное разложение решения Фламана на две части выполним вспомогательную задачу. Формулы разложения на две фазы касаются только нормальных напряжений, поэтому касательные напряжения остаются без изменений, Ч / 1 COS U ч/л г\ їх- л\ r=(Jr-r= -— = 1- =. тгв=- (5-1) жт Правые части формул тождественно совпадают с решением Фламана 2 F cose аг= — гв=тге=0 ЖГ поэтому они являются точным решением плоской задачи теории упругости.
Соответствующая постановка задачи по кинематической модели получается путем подстановки в систему уравнений теории упругости разложений только по нормальным напряжениям при сохранении касательных напряжений: дг дв г дтгв , (г?-,е)2тп9;=0 дг г дв г д г-а[){ 1д ( г- г){1д( -а г) = о дг2 г2 дв2 г дг
Следовательно, точное решение двумерной задачи по кинематической модели совпадает с разложением решения Фламана на две фазы.
Разложение решения Фламана на две фазы первоначально представляется формулами s і 2F COSd sin п ж г Как уже отмечалось знак «минус» означает сумму напряжений, т.к. в твердой фазе положительными считаются растягивающие напряжения, а в жидкой - сжимающие. К формулам добавляются физическое и кинематическое уравнения кинематической модели, уравнения Коши и r - h H r E1 dr ди г rs физическое уравнение для скелета грунта с учетом ase =0: , є8г = -Кє г, s dLjSr I dU r s 1 s с cs E1 r dr r dr r E r K2
Предположим, что (Jg=0, о- 0=О, тогда разложение выражения 70-а 0= 0 на две фазы не требуется. Для того чтобы показать, что введенное предположение является правильным, сделаем следующее замечание: в главе 4 показано, что дифференциальный оператор пространственной кинематической модели является положительно определенным. Отсюда следует положительная определенность дифференциального оператора для плоского случая кинематической модели. Из положительной определенности оператора следует не только существование, но и единственность решения рассматриваемой задачи, поэтому введенное предположение является правильным.
