Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи о работе системы скважин в неоднородном слое с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости 19
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Сведение задачи к основной системе интегральных и дифференциальных уравнений 26
1.3. Представление основной системы алгебраическими уравнениями 34
1.4. Сведение основной системы уравнений к вычислению квадратур и системы разностных соотношений в случае модели «разноцветных» жидкостей 39
Глава 2. Математические модели плоскопараллельного движения границы к скважинам в однородных слоях 42
2.1. Одномерное (радиальное) продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости 42
2.2. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей 47
2.3. Продвижение границы раздела жидкостей к центральной скважине с круговым контуром питания большого радиуса 57
2.4. Работа скважины с подвижной границей раздела жидкостей и каноническими контурами питания 64
2.5. Система скважин с первоначально каноническими подвижными границами раздела жидкостей 72
2.6. Скважина в слое, содержащем линию сброса и подвижную границу раздела жидкостей 78
2.7. Продвижение границы раздела жидкостей в случае заданных давлений на контурах скважины и питания 83
Глава 3. Математические модели двумерных движений границы к скважине в неоднородных слоях 87
3.1. Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в слоях проводимости Р = ys (s > 0 или s < 0) 87
3.2. Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = y~s 93
3.3. Работа скважины с подвижной границей раздела жидкостей и каноническими контурами питания в слое проводимости Р = y~s 97
3.4. Работа скважины в слое проводимости Р = y~s с границами раздела жидкостей канонического вида в начальный момент времени 102
3.5. Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = ys 105
3.6. Продвижение границы раздела жидкостей при заданных давлений на контурах скважины и питания в неоднородном слое проводимости Р = y~s 112
Заключение 116
Литература 117
Приложения 139
- Сведение задачи к основной системе интегральных и дифференциальных уравнений
- Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей
- Скважина в слое, содержащем линию сброса и подвижную границу раздела жидкостей
- Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = y~s
Введение к работе
Актуальность темы и обзор литературы. Эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, водоносных слоев грунта, решение задач о совместной фильтрации загрязненной и незагрязненной жидкостей, значимых в вопросах охраны окружающей среды, а также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет другую, обусловили разработку математических моделей совместной фильтрации различных жидкостей.
Задачами, связанными с совместной фильтрацией двух и более жидкостей, занимались многие исследователи. В общем случае, когда жидкости имеют различные физические свойства, решить эти задачи чрезвычайно сложно. Поэтому был построен ряд моделей, позволяющий исследовать этот процесс. Рассмотрим эти модели в порядке возрастания их сложности.
Наиболее проста модель «разноцветных» жидкостей. В этой модели физические и механические свойства вытесняемой и вытесняющей жидкостей полагаются одинаковыми [36, 152]. Граница раздела «разноцветных» жидкостей представляет собой линию отмеченных частиц. Модель «разноцветных» жидкостей широко используется, так как позволяет получить решения задач в конечном виде.
В книге В.Н. Щелкачева [188] исследована плоская задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в случае, когда область фильтрации ограничена линиями сброса. На основе проведенных исследований сформулированы рекомендации о наиболее выгодной расстановке скважин. Эти рекомендации приближенно скорректированы для случая различия вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей.
Пространственный случай перемещения водонефтяного контакта в однородном слое, без учета различия физических свойств воды и нефти, рассмотрен М.Д. Миллионщиковым [104]. Он изучил движение подошвенной воды к скважине, моделируемой пространственным стоком.
В общем виде параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных слоях получены О.В. Голубевой [35, 36, 152]. В качестве примера она рассмотрела течение к совершенной скважине и к галерее с постоянным дебитом.
С помощью модели «разноцветных» жидкостей решено большое количество конкретных задач. Так в работе Б.Э. Казарновской и П.Я. Полубариновой - Кочиной [75] решена задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в пластах в форме сферического купола и куполоцилиндрического свода, а в работе Б.Э. Казарновской [74] задача продвижения полосообразной нефтяной залежи большой протяженности к системе скважин, расположенных в линейном порядке параллельно контуру питания.
Случай перемещения водо - нефтяного контакта в наклонном пласте постоянной мощности рассмотрел Я.М. Сулейманов [164]. Плоской задаче стягивания контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в пласте, состоящем из двух зон различной проницаемости, посвящены исследования [70, 71]. Причем в работе [71] рассмотрен случай системы скважин, состоящей из двух эксплуатационных и одного нагнетательного рядов, а в работе [70] рассмотрен случай цепочки равноудаленных скважин с попарно чередующимися дебитами. В этих работах границы раздела зон, ряды скважин и начальный контур нефтеносности параллельны.
Н.П. Петровым [111] изучено продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в слоях, связанных конформными преобразованиями.
В случае, когда течение подчиняется нелинейному закону фильтрации, продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей исследовано в трудах О.В. Голубевой и В.Ф. Пивня [37, 112, 114 - 119].
Исследование влияния на перемещение контура нефтеносности расстояния от непроницаемой границы до эксплуатационных скважин, расположенных в два ряда, выполнено в работе [34].
На основе одножидкостной системы В.Ф. Пивень [120] оценил размеры очага загрязнения при его вымывании поступательным потоком из заполненного отходами хранилища, расположенного в клиновидном слое. Рассмотрены конкретные случаи первоначальной границы очага загрязнения: эллипс и парабола. В работе [89] построены последовательные положения водо-нефтяного контакта при его продвижении к системе из трех скважин, в случае однородного слоя.
Исследовано продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородном слое, толщина которого изменяется по экспоненциальному закону в статье [25], а в [171] по степенному закону.
На основе одножидкостной системы изучено вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин [147].
В данной работе модель «разноцветных» жидкостей применена к решению новых задач (см. 2.2 и 3.1) и использована, как тестовая, при численном решении новых задач о движении жидкостей различной вязкости.
В случае первичной разработки нефтяного месторождения используется модель «поршневого» вытеснения. В этой модели одна жидкость вытесняет другую полностью, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой. Вытесняющая и вытесняемая жидкости имеют различные физические свойства.
Наиболее полно исследованы одномерные задачи «поршневого» вытеснения, когда удается получить решения в конечном виде. Так, линейное и радиальное продвижение водо - нефтяного контакта, с учетом различия вязкостей воды и нефти, рассмотрено в однородных пластах в трудах [183, 188, 189, 203], в кусочно - однородных пластах в работе [194], в плоском пласте с неоднородной проницаемостью и пористостью в исследованиях [150]. Перемещение границы раздела воды и нефти в слабонаклоненных пластах изучено в [139].
Более подробный обзор одномерных задач за 40 - 60 годы можно найти в книгах [144, 153, 183].
Известны и более поздние исследования. Так, в статье [72] отыскивается неизвестная подвижная граница при фильтрации через деформируемую, чисто трещиноватую породу, в случае сжимаемых и несмешивающихся жидкостей; в работе [33] доказывается единственность решения задачи о изотермическом движении двух вязких жидкостей при отсутствии фазовых переходов; модель Н.Е. Жуковского рассмотрена в [110]; в статье [ИЗ] рассмотрена нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости.
Для решения плоских и двумерных задач «поршневого» вытеснения многие исследователи используют ряд дополнительных условий, которые облегчают решение этих задач. В «поршневой» модели, предложенной Л.С. Лейбензоном, вязкость вытесняющей жидкости полагается равной нулю [97, 98], вследствие чего граница раздела жидкостей является контуром постоянного давления.
Для плоской задачи продвижения контура нефтеносности (контура постоянного давления) в однородном пласте
М. Маскетом [204] предложен путь его последовательного построения, требующий на каждом этапе определения давления в пласте. Рассмотрен случай, когда внутри контура нефтеносности имеется одна совершенная скважина.
В постановке Л.С. Лейбензона задача о продвижении водо -нефтяного контакта решена П.Я. Кочиной и Н.Н. Кочиной [86 — 88, 141 — 143] методами теории функции комплексного переменного. Нахождение последовательных положений водо -нефтяного контакта сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов ряда, определяющего функцию комплексного переменного, которая отображает неизвестную область течения на круг вспомогательной плоскости. В качестве границы, ограничивающей начальную область, занятую нефтью, выбирались полиномиальные кривые второго порядка: окружность и кардиоида. Найдены последовательные положения контура нефтеносности при его стягивании к единичной скважине и кольцевой батарее равнодебитных скважин, также приводятся аналитические формулы для времени заводнения скважин.
П.Я. Полубариновой - Кочиной было показано, что на водо -нефтяном контакте по мере продвижения (до прорыва воды в скважину) возникает точка заострения. Для случая области фильтрации, ограниченной полиномиальной кривой, Л.А. Галиным, несколько другим методом, также установлено, что возникновение точки заострения связано с потерей однолистности решения [32]. Задачи, связанные с образованием точек заострения, исследуются в работах [165, 176, 196, 198 - 200, 207, 208].
Теоретический результат об образовании точек заострения до того, как вытесняющая жидкость попадет в скважину, не подтвердился в экспериментах, проведенных на горизонтальном щелевом лотке [14 — 16, 146] П.Я. Полубариновой- Кочиной и А.Р. Шкирич [145], В.Л. Даниловым и Ю.А. Тепловым [62]. Объясняется это явление неучетом влияния поверхностного натяжения и сил инерции. Так, П.Я. Полубариновой - Кочиной [145] установлено, что при учете сил инерции в уравнениях фильтрации в окрестности теоретической точки возврата вместо бесконечно большой скорости движения границы раздела реализуется очень большая, но конечная скорость. Устранение точки возврата при учете межфазного натяжения в модели движения вязкой жидкости в узкой щели показано В.Л. Даниловым и Э.В. Скворцовым [63].
Случай, когда начальная область фильтрации представляет собой полуплоскость, рассмотрен в статьях П.П. Куфарева и Ю.П. Виноградова [94] и Н.А. Котеленца [84]. Здесь получены решения о продвижении контура нефтеносности к единичной скважине. В работе П.П. Куфарева [92] рассматривается стягивание контура нефтеносности к прямолинейной цепочке скважин в случае, когда первоначальная область фильтрации моделируется прямолинейной полосой параллельной цепочке скважин. Кроме того, П.П. Куфарев решил задачу о стягивании контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентричной скважине [91] и к системе скважин [93].
Методом П.Я. Полубариновой - Кочиной В.А. Карпычев [77] решал задачу о продвижении границы раздела между нефтью и водой в двухслойном пласте. В кусочно - однородном пласте, состоящем из пяти зон, вытеснение нефти газом исследовано Ф.Г. Огуджалиевым и Н.М. Гашиевым [109]. Батареи скважин расположены в первой и пятой зонах.
А. Р. Цицкишвили [177] предложил обобщение метода П.Я. Полубариновой - Кочиной на задачи двумерной фильтрации в односвязных областях, границы которых, наряду с известными границами (прямые, полупрямые, отрезки), содержат неизвестные (кривые депрессии, линии раздела двух жидкостей).
С. Ричардсон [207, 208] задачу о вытеснении несжимаемых жидкостей в пористой среде в постановке Л. С. Лейбензона решал методом нахождения бесконечной серии первых интегралов движений границы раздела.
Другой подход, позволяющий получить приближенные решения двумерных задач «поршневого» вытеснения, развит И.А. Чарным [180, 181, 183]. Этот подход состоит в том, что в рамках модели «поршневого» вытеснения полагается неизменность (жесткость) трубок тока в процессе вытеснения. Такой подход решения плоских задач «поршневого» вытеснения получил название метода жестких трубок тока.
Используя метод жестких трубок тока, И.А. Чарным в трудах [180, 181, 183] решены задачи фильтрации к совершенной скважине в полубесконечном пласте, в работах [95, 96, 181, 186] изучены задачи о наивыгоднейшей расстановке батареи скважин, в исследованиях [165, 187] решена задача стягивания водо - нефтяного контакта в случае первоначальной круговой границы раздела воды и нефти к эксцентричной скважине. Использованные в методе жестких трубок тока допущения проверены в работе [90] на электрогенераторе.
Наибольший успех в решении задач «поршневого» вытеснения одной жидкости другой был достигнут методами распределения на подвижной границе потенциалов простого и двойного слоя. В теории фильтрации эти методы первоначально использовали для решения задач сопряжения в кусочно - однородных пластах [27, 28, 31, 39, 40, 167 — 169]. Впервые потенциал простого слоя для решения обратных задач (см. ниже) с подвижной границей применил Г.Г. Тумашев [166].
Подход Г.Г. Тумашева был развит В.Л. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро — дифференциальных уравнений [44, 45, 51, 52, 68, 153, 195]. Подвижную границу он моделировал потенциалом простого слоя. Для решения интегро - дифференциального уравнения предложены методы: линеаризации, степенных рядов по времени, графо - аналитический, конечно - разностный и последовательного приближения. Предложенный метод позволил решить большой круг задач вытеснения. Рассмотрим их.
Плоские задачи «поршневого» вытеснения нефти водой из недеформируемого пласта постоянной мощности и проницаемости рассмотрены в работах В.Л. Данилова, В.В. Скворцова и A.M. Власова [44, 45, 51]. Интегро - дифференциальное уравнение в этих работах записано относительно искомой функции, описывающей границу раздела жидкостей в каждый момент времени. Особенности численного решения интегро -дифференциального уравнения накладывают ограничения на область, ограниченную контуром питания: она должна быть звездной.
Изучено продвижение контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентрично расположенной скважине [52, 60, 61, 159, 160]. Установлено влияние вязкостей нефти и воды на стягивание контура нефтеносности и время обводнения скважин. В работах [52, 68] рассмотрен случай продвижения первоначально прямолинейного контура нефтеносности к единичной скважине и бесконечной цепочке прямолинейных скважин.
Исследовано перемещение контура нефтеносности с учетом пониженной проницаемости в зоне вытеснения [47].
Отметим, что в случае, когда месторождение ограничено контуром питания, В.Л. Данилов предлагает использовать функцию Грина [52, 68]. Это позволяет моделировать контур питания только каноническими кривыми, для которых функции Грина известны. A.M. Власовым [30] сопоставлены метод нанесения на подвижную границу потенциала простого слоя и метод жестких трубок тока, на примере плоской задачи стягивания контура нефтеносности, имевшего первоначально форму круга, к эксцентричной скважине.
Вертикальное перемещение поверхности раздела двух жидкостей, имеющих различные вязкости и удельные веса, к дрене в однородном пласте изучено Э.В. Скворцовым [161 — 163]. Ю.С. Абрамовым и P.M. Кацем решены пространственные (осесимметричные) задачи о продвижении границы раздела воды и нефти. В работе [1] исследовано продвижение границы раздела воды и нефти к точечной скважине, расположенной на кровле пласта, с учетом их удельных весов и пренебрежением различия их вязкостей и капиллярных эффектов. В статье [2] рассмотрено движение границы раздела воды и нефти к несовершенной по степени вскрытия скважине при интенсивном отборе нефти (то есть пренебрегая различием удельных весов жидкостей). А в исследованиях [3] различие удельных весов воды и нефти учитывается.
Вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин исследуется в работах Н.К. Паведникова, P.M. Каца и Р.Т. Фазлыева [67, 78, 148, 170].
Задача движения границы раздела упругих жидкостей в упругих пластах с использованием тепловых потенциалов В.Л. Даниловым [48, 52] была также сведена к задаче Коши для интегро - дифференциального уравнения. В трудах [53 — 58] В.Л. Данилов предлагает использовать потенциал простого и двойного слоя для решения обратных задач в теории фигуры Земли и гравитационной разведке.
Моделирование процесса взаимного вытеснения вязких жидкостей в узкой щели постоянной толщины, с учетом капиллярных сил, выполнено в работах В. Л. Данилова и Э.В. Скворцова [49, 50, 52, 63]. Задача решалась методом нанесения на подвижную границу потенциалов простого и двойного слоя.
В.Л. Даниловым и Ю.А. Тепловым [62] в ходе экспериментальных исследований найдены условия, при которых учет межфазного натяжения необходим.
Для решения двумерных задач «поршневого» вытеснения в статье В.Ф. Пивня и Ю.С. Федяева [137] предложен метод интегро - дифференциального уравнения, отличный от метода В.Л. Данилова. Подвижная граница в этом методе моделируется вихревым слоем. Результаты численного счета сопоставлены с результатами, полученными автором данной работы, и результатами В.Л. Данилова. Установлено хорошее совпадение результатов.
Я.В. Прониным [149] построена двумерная модель продвижения границы раздела несжимаемых жидкостей различной плотности, находящихся в гравитационном поле. Граница раздела разноплотных жидкостей моделируется потенциалом двойного слоя. На основе построенной модели исследуется неустойчивость Релея - Тейлора, возникающую, когда тяжелая жидкость находится над легкой в поле тяжести. Для сглаживания границы на поздних стадиях Я.В. Пронин использует метод «вихревых капель».
Рассмотренные задачи являются прямыми задачами, в которых по заданным гидродинамическим условиям находится закон перемещения границы раздела жидкостей. Но интерес также представляют обратные задачи, в которых закон движения границы раздела известен, а искомыми являются гидродинамические условия (например, значения дебитов нагнетательных и эксплуатационных скважин), обеспечивающие перемещение границы раздела жидкостей по заданному закону. Обратным задачам посвящены работы Г.С. Салехова, В.Л. Данилова, Г.П. Цыбульского, А.В. Рослякова, Б.А. Азимова, Ш.М. Рагимова, В.Ю. Кима, В.Я. Булыгина и В.Д. Чугунова [6, 22, 41, 42, 43, 52, 59, 155 - 158, 178, 179, 184]. В этих работах исследования проведены на основе моделей «разноцветных» жидкостей и «поршневого» вытеснения.
При изучении вытеснения одной жидкости другой, на основе «поршневой» модели вытеснения, важное значение имеет проблема устойчивости их границы раздела. Исследованием неустойчивости границы раздела двух жидкостей занимались многие исследователи. В работе [197] установлено, что при вдувании воздуха в канал, заполненный глицерином, образуется перемещающийся «язык» воздуха. В.Я. Булыгин и Б.И. Плещинский [24] провели более сложные опыты в лотке, заполненном стеклянной крошкой.
Изучалось вытеснение подкрашенной водой смеси керосина и а - монобромнафталина, с коэффициентом преломления равным коэффициенту преломления стекла. Схемы стягивания границы раздела жидкостей к одной и двум «скважинам» фотографировались. Установлено, что первоначальная граница раздела жидкостей, имеющая форму окружности, в моменты времени t > 0 принимает неправильную извилистую форму, то есть имеет место образование «языков» (или «пальцев») вытесняющей жидкости.
В ходе экспериментальных исследований на горизонтальных моделях несцементированного пласта [81] установлено, что при отношении вязкостей вытесняемой и вытесняющей жидкостей /і//і* ^ 10 — 13 [ц вязкость нефти, ц* вязкость воды) даже при больших скоростях течение под действием капиллярных сил устойчивое, если же fi/ц* > 13, то для устойчивости необходимо снижение скоростей течения.
Результаты более общих экспериментальных и теоретических исследований образования «языка» вытесняющей жидкости, проведенных в вертикальном лотке Хеле - Шоу и в круглом капилляре, приведены в статье [201]. В работе [210] показано, что основными параметрами, определяющими потерю устойчивости, являются смачиваемость пористой среды вытесняющей жидкостью, разность плотностей и вязкостей фильтрующихся жидкостей, величина поверхностного натяжения на границе раздела жидкостей и направление течения по отношению к силе тяжести.
Теоретическое исследование задачи об устойчивости границы раздела нефти и воды рассмотрено в трудах [23, 138, 182, 183, 193]. В работе [193] исследуется влияния капиллярных сил на устойчивость границы раздела, а в [138, 182, 183] исследуется проблема устойчивости перемещения контура нефтеносности относительно бесконечно малых возмущений.
В случае вторичной разработки месторождения учет переходной смеси вытесняемой и вытесняющей жидкостей необходим. В этом случае используется модель двухфазной (многофазной) фильтрации.
Без учета сил тяжести двухфазная фильтрация для линейного вытеснения рассмотрена в работах [140, 192]. Математические модели двухфазной фильтрации с учетом и без учета капиллярных и гравитационных сил исследуются в [76, 83]. Численное решение трехмерных задач двухфазной фильтрации исследовано в [190].
При определенных режимах разработки нефтяных месторождений в пласте возникает многофазное течение многокомпонентной смеси (например, при вытеснении газированной нефти водой). Здесь необходима модель многофазной фильтрации. Классические модели многофазной фильтрации рассмотрены в работах [5, 18, 19, 20, 102].
Существуют более сложные модели. Н.Ф. Айдашев [7] разработал и исследовал математическую модель, описывающую фильтрацию многофазной жидкости в деформируемом карбонатном коллекторе нефтяной залежи. В.В. Васильев [26] изучал движение фронта воды и границы водонефтяного контакта по толщине неоднородного нефтеносного коллектора, составленного из единичных блоков и блоков матрицы карбонатных трещиноватых пород.
В.Л. Данилов и P.M. Кац разработали метод зональной линеаризации [64 — 66, 68]. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтрация вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно использовать рассуждения, применимые в случае «поршневой» модели (модели Лейбензона - Маскета). Таким образом, результаты, полученные В.Л. Даниловым и P.M. Кацем, подчеркивают значимость модели «поршневого» вытеснения при исследовании движения жидкостей с учетом неполноты вытеснения.
Используя метод зональной линеаризации, в [69] решена плоская задача в однородном пласте о притоке первоначально круговой нефтяной зоны к эксцентрично расположенной скважине, в [73] изучена плоская задача двухфазной фильтрации к цепочке скважин.
Известны задачи с подвижной границей другого рода. Это задачи со свободной поверхностью — линией раздела между сухим и влажным грунтом. Такие задачи поставлены в гидродинамической теории безнапорной фильтрации. Они возникают при моделировании различных процессов: фильтрация несжимаемой жидкости через пористую преграду, под действием силы тяжести [4]; безнапорный приток жидкости к совершенной скважине, расположенной в центре кругового пласта [209]; приток жидкости из бесконечности к дренажной щели, расположенной на непроницаемом основании [146]; движение грунтовых вод в двух горизонтальных слоях, разделенных слабо проницаемым горизонтальным слоем [85]; вытеснение жидкости из бассейна в сухой грунт и приток грунтовых вод в бассейн [17]; растекание бугра двухслойной жидкости в однородной пористой среде под действием силы тяжести [211].
Отметим, что задачи со свободной поверхностью возникают и в других процессах различной физической природы: кристаллизация бинарных систем [151] (здесь свободная граница — граница раздела твердой и жидкой фаз); процессы оплавления, термической деструкции, сублимации, и так далее [185].
Построенные в нашей работе модели могут быть использованы для решения задач со свободной поверхностью.
В данной работе для решения задач о продвижении границы раздела жидкостей различной вязкости используется метод интегральных уравнений. Отметим, что этот метод применяется и в других работах по теории фильтрации и гидродинамики идеальной и вязкой жидкости. В работах В.Ф. Пивня, А.А. Аксюхина, А.А. Квасова, М.А. Фролова и С.Л. Ставцева [8 — 13, 79, 125, 129 — 134, 136, 172, 173, 175, 205] исследованы двумерные и трехмерные задачи сопряжения в неоднородных пластах. Рассмотрены случаи кусочно - неоднородных пластов с проводимостью характеризуемой степенной, гармонической и метагармонической функциями. Границы сопряжения и контур питания кусочно - гладкие кривые класса Ляпунова. Изложенные идеи метода решения задач сопряжения используются в данной работе.
В статьях [212, 206] интегральное уравнение применяется к решению задач продвижения частиц произвольной формы в вязкой жидкости. В работе [202] метод граничных интегральных уравнений применяется к трехмерной задаче образования водяного конуса. В книге [100] решаются задачи аэрации территории методом дискретных вихрей.
Таким образом, из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы задачи о работе системы скважин в неоднородных слоях с первоначально произвольной подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости при наличии произвольного контура питания и линии сброса.
Целью работы является создание и исследование новых математических моделей работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях в случае, когда подвижная граница раздела жидкостей различной вязкости и границы области фильтрации этих жидкостей моделируются кривыми класса Ляпунова. На основе этих моделей изучить влияние неоднородности слоев, границ области фильтрации и первоначальной формы границы раздела жидкостей, расположения скважин на продвижение этой границы, а также на дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).
Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:
Построены и исследованы новые двумерные математические модели работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Контур питания и граница раздела жидкостей различной вязкости моделируются кривыми класса Ляпунова.
Контур питания и граница раздела жидкостей различной вязкости моделируются потенциалами двойных слоев, что позволяет учесть условие затухания возмущений на бесконечности в случае неограниченных областей (содержащих бесконечноудаленную точку).
Получены в конечном виде решения новых задач о продвижении границы раздела «разноцветных» жидкостей, а также получено новое решение задачи о радиальном стягивании границы раздела жидкостей различной вязкости к центральной скважине. Эти решения использованы как тестовые.
Задача о работе системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости, принадлежащей классу Ляпунова, сведена к обобщенной задаче Коши для системы интегральных и дифференциальных уравнений, совместно с интегральными соотношениями. Эта система решена численно на основе метода дискретных особенностей.
Исследовано влияние первоначальной формы границы раздела жидкостей, неоднородности слоя, расположения скважин, формы контура питания и линии сброса на продвижение этой границы, дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).
Предложенные модели могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и используемые в работе основные уравнения фильтрационного движения.
Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае однородных и неоднородных слоев (пластов). Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.
В случае, когда движение жидкостей различной вязкости радиальное, и в случае модели «разноцветных» жидкостей найдены решения в конечном виде для времени заводнения (загрязнения) скважины. В случае двумерных движений жидкостей различных вязкостей время заводнения (загрязнения) скважины найдено численно.
В работе исследованы важные для практики характеристики: изменение квазипотенциала (давления) на контурах скважин с течением времени при заданных дебитах скважин и изменение дебитов скважин при заданных квазипотенциалах на контурах скважин.
Исследовано влияние на продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости к системе скважин неоднородности слоя, формы первоначальной границы раздела жидкостей, контура питания и линии сброса, расположения скважин. Это позволило указать критерии использования простых формул для времени заводнения (загрязнения) скважин в модели «разноцветных» жидкостей вместо сложных численных расчетов.
Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, подтверждена сопоставлением полученных результатов с известными результатами, найденными на основе других моделей, являющихся частным случаем построенных в работе моделей.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Б.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), по вычислительным методам в
Институте вычислительной математики (рук. Е.Е. Тыртышников), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).
По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998 — 2001 г.г.); ежегодных научных конференциях Орловского госуниверситета (1998 — 2001 г.г.); на Международной научно - практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (Орел, 1999 г.), на X Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2001», посвященном памяти профессора СМ. Белоцерковского (Херсон, 29 мая — 5 июня 2001 г.).
Результаты работы представлены в виде докладов на Международной конференции, посвященной П.Я. Полубариновой -Кочиной "Modern approaches to flow in porous media" (г. Москва, 6 — 8 сентября 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2000», посвященном 80 - летию со дня рождения профессора СМ. Белоцерковского (Орел, 29 мая — 2 июня 2000 г.).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [105 — 108, 134, 135, 205].
На защиту выносятся: построенные и исследованные новые математические модели двумерных задач о работе системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости в однородных и неоднородных слоях с проводимостью, характеризуемой степенной функцией в случае, когда область совместной фильтрации жидкостей ограничена контуром питания и линией сброса; исследованные влияния неоднородности слоя, формы границ, расположения скважин на продвижение границы раздела, на дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений).
Структура и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений и 114 иллюстраций. Общий объем работы составляет 191 страницу. Библиография содержит 212 наименований.
Сведение задачи к основной системе интегральных и дифференциальных уравнений
Эксплуатация нефтяных и газовых месторождений, водоносных слоев грунта, решение задач о совместной фильтрации загрязненной и незагрязненной жидкостей, значимых в вопросах охраны окружающей среды, а также исследование других процессов, в которых одна жидкость вытесняет другую, обусловили разработку математических моделей совместной фильтрации различных жидкостей.
Задачами, связанными с совместной фильтрацией двух и более жидкостей, занимались многие исследователи. В общем случае, когда жидкости имеют различные физические свойства, решить эти задачи чрезвычайно сложно. Поэтому был построен ряд моделей, позволяющий исследовать этот процесс. Рассмотрим эти модели в порядке возрастания их сложности.
Наиболее проста модель «разноцветных» жидкостей. В этой модели физические и механические свойства вытесняемой и вытесняющей жидкостей полагаются одинаковыми [36, 152]. Граница раздела «разноцветных» жидкостей представляет собой линию отмеченных частиц. Модель «разноцветных» жидкостей широко используется, так как позволяет получить решения задач в конечном виде.
В книге В.Н. Щелкачева [188] исследована плоская задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в случае, когда область фильтрации ограничена линиями сброса. На основе проведенных исследований сформулированы рекомендации о наиболее выгодной расстановке скважин. Эти рекомендации приближенно скорректированы для случая различия вязкостей вытесняющей и вытесняемой жидкостей.
Пространственный случай перемещения водонефтяного контакта в однородном слое, без учета различия физических свойств воды и нефти, рассмотрен М.Д. Миллионщиковым [104]. Он изучил движение подошвенной воды к скважине, моделируемой пространственным стоком.
В общем виде параметрические уравнения движения границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных слоях получены О.В. Голубевой [35, 36, 152]. В качестве примера она рассмотрела течение к совершенной скважине и к галерее с постоянным дебитом. С помощью модели «разноцветных» жидкостей решено большое количество конкретных задач. Так в работе Б.Э. Казарновской и П.Я. Полубариновой - Кочиной [75] решена задача продвижения границы раздела «разноцветных» жидкостей в пластах в форме сферического купола и куполоцилиндрического свода, а в работе Б.Э. Казарновской [74] задача продвижения полосообразной нефтяной залежи большой протяженности к системе скважин, расположенных в линейном порядке параллельно контуру питания. Случай перемещения водо - нефтяного контакта в наклонном пласте постоянной мощности рассмотрел Я.М. Сулейманов [164]. Плоской задаче стягивания контура нефтеносности к прямолинейной батарее скважин в пласте, состоящем из двух зон различной проницаемости, посвящены исследования [70, 71]. Причем в работе [71] рассмотрен случай системы скважин, состоящей из двух эксплуатационных и одного нагнетательного рядов, а в работе [70] рассмотрен случай цепочки равноудаленных скважин с попарно чередующимися дебитами. В этих работах границы раздела зон, ряды скважин и начальный контур нефтеносности параллельны. Н.П. Петровым [111] изучено продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в слоях, связанных конформными преобразованиями. В случае, когда течение подчиняется нелинейному закону фильтрации, продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей исследовано в трудах О.В. Голубевой и В.Ф. Пивня [37, 112, 114 - 119]. Исследование влияния на перемещение контура нефтеносности расстояния от непроницаемой границы до эксплуатационных скважин, расположенных в два ряда, выполнено в работе [34]. На основе одножидкостной системы В.Ф. Пивень [120] оценил размеры очага загрязнения при его вымывании поступательным потоком из заполненного отходами хранилища, расположенного в клиновидном слое. Рассмотрены конкретные случаи первоначальной границы очага загрязнения: эллипс и парабола. В работе [89] построены последовательные положения водо-нефтяного контакта при его продвижении к системе из трех скважин, в случае однородного слоя. Исследовано продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородном слое, толщина которого изменяется по экспоненциальному закону в статье [25], а в [171] по степенному закону. На основе одножидкостной системы изучено вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин [147]. В данной работе модель «разноцветных» жидкостей применена к решению новых задач (см. 2.2 и 3.1) и использована, как тестовая, при численном решении новых задач о движении жидкостей различной вязкости. В случае первичной разработки нефтяного месторождения используется модель «поршневого» вытеснения. В этой модели одна жидкость вытесняет другую полностью, в результате чего граница раздела жидкостей является резкой. Вытесняющая и вытесняемая жидкости имеют различные физические свойства. Наиболее полно исследованы одномерные задачи «поршневого» вытеснения, когда удается получить решения в конечном виде. Так, линейное и радиальное продвижение водо - нефтяного контакта, с учетом различия вязкостей воды и нефти, рассмотрено в однородных пластах в трудах [183, 188, 189, 203], в кусочно - однородных пластах в работе [194], в плоском пласте с неоднородной проницаемостью и пористостью в исследованиях [150]. Перемещение границы раздела воды и нефти в слабонаклоненных пластах изучено в [139]. Более подробный обзор одномерных задач за 40 - 60 годы можно найти в книгах [144, 153, 183]. Известны и более поздние исследования. Так, в статье [72] отыскивается неизвестная подвижная граница при фильтрации через деформируемую, чисто трещиноватую породу, в случае сжимаемых и несмешивающихся жидкостей; в работе [33] доказывается единственность решения задачи о изотермическом движении двух вязких жидкостей при отсутствии фазовых переходов; модель Н.Е. Жуковского рассмотрена в [110]; в статье [ИЗ] рассмотрена нелинейная фильтрация жидкостей различной вязкости.
Продвижение границы раздела «разноцветных» жидкостей
Исследуем влияние показателя s в законе (3.1.1) на продвижение границы Ft раздела жидкостей различной вязкости к скважине. Результаты исследований сопоставим с аналогичными исследованиями, проведенными в 3.2, соответствующие случаю продвижения границы Tt с фиксированным дебитом скважины. Пусть параметрические уравнения окружности Го имеют вид 2 (2.4.4), радиус скважины равен Я і = -Ю-3. Тогда кратчайшее расстояние d от контура Го до центра контура скважины равно 2 d = -. Эти размеры выбраны также, как и в 3.2 для того, чтобы результаты исследований можно было сопоставить. Характер стягивания границы Г4, площади и конфигурации целиков не извлеченной жидкости для различных значений параметра Л такие же, как и в 3.2. Изменение дебита скважины q с течением времени t при показателе s = 0,2,4 построено на рис. 3.6.1 для Л = 0,5 и рис. 3.6.2 для Л = —0,5. Видим, что с ростом показателя s дебит q увеличивается. При параметре Л = 0,5 дебит скважины q уменьшается с течением времени t (s = 0,2,4), при Л = —0,5 дебит q увеличивается с течением времени t (s = 0,2,4). Наиболее резкое изменение дебита q происходит при приближении времени t ко времени Т. Полученный результат на рис. 3.6.1 и рис. 3.6.2 находится в соответствии с результатом, полученным ранее на рис. 3.2.9 (для Л = 0, 5) и рис. 3.2.10 (для Л = —0, 5). Так, с ростом показателя s для того, чтобы поддержать постоянным дебит скважины, потенциал а± на контуре скважины необходимо уменьшать, как на рис. 3.2.9 и рис. 3.2.10. Если этого не делать и оставить потенциал а\ постоянным, то дебит скважины с ростом s будет увеличиваться, как показано на рис. 3.6.1 и рис. 3.6.2. Сопоставляя рисунки далее, замечаем, что при Л = 0,5 на рис. 3.2.9 для поддержания постоянного дебита скважины q потенциал а\ на контуре скважины необходимо уменьшать с течением времени , а если потенциал а і не менять, то дебит q будет увеличиваться с течением времени t, как показано на рис. 3.6.1. Для параметра Л = —0, 5, наоборот, чтобы поддержать постоянным дебит скважины q, потенциал а і на контуре скважины с течением времени t необходимо увеличивать (см. рис. 3.2.9), в противном случае, если потенциал а.\ — const, дебит скважины q будет падать с ростом времени t (см. рис. 3.6.2). То, что при прочих равных условиях дебит скважины в степенном слое всегда больше, чем в слое постоянной проводимости известно в работе [9]. На рис. 3.6.3 (для параметра Л = 0,5) и рис. 3.6.5 (для Л = —0,5) построено изменение расстояния р с течением времени t, в случае, когда s = 2,4. Пунктирная линия на этих рисунках соответствует частному случаю, когда показатель s = 0 (однородный слой с прямолинейным контуром питания). В качестве характерного размера на рис. 3.6.3 и рис. 3.6.5 выбрано расстояние d. Точки пересечения кривых на на этих рисунках с осью абсцисс определяют время Т. Для удобства время Т приведено в таб. 3.6.4 (для Л = 0, 5) и таб. 3.6.6 (для Л = —0,5). Видим, что расстояние р в каждый момент времени t и время Т с ростом показателя s уменьшаются. Аналогичный результат получен в 3.2. Сопоставим между собой таб. 3.2.3 с таб. 3.6.4 и таб. 3.2.5 с таб. 3.6.6. Видим, что при А = 0,5 время Т для каждого из показателей s = 0, 2,4 будет больше в случае, когда поддерживается постоянным дебит (таб. 3.2.3), чем в случае, когда поддерживается постоянный потенциал (таб. 3.6.4). Объяснение этому в следующем, при Л = 0, 5 дебит скважины увеличивается с течением времени t в случае, когда потенциал на контуре скважины фиксирован, а значит в этом случае граница Tt быстрее достигнет контура скважины, чем в случае, когда дебит фиксирован. При Л = —0,5, наоборот, дебит скважины с течением времени уменьшается, что приводит к тому, что в случае фиксированного потенциала и показателя s — 0 на контуре скважины время Т оказывается больше, чем в случае, когда фиксировано давление на контуре скважины (см. таб. 3.6.6 и таб. 3.2.5). При Л = —0,5 и показателе s = 2,4 дебит скважины с течением времени уменьшается, но с ростом показателя s он увеличивается. В результате чего время Т в случае фиксированного потенциала а\ оказывается меньше, чем в случае, когда фиксирован дебит скважины q (см. таб. 3.6.6 и таб. 3.2.5). Этот результат отличен от результатов 2.7, где проведены аналогичные исследования в однородном слое. Основные результаты работы состоят в следующем: 1. Построены и исследованы новые двумерные математические модели работы системы скважин в однородных и неоднородных слоях с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Проводимости неоднородных слоев моделируются степенными функциями координат. 2. Получены в конечном виде решения конкретных задач о продвижении границы раздела «разноцветных» жидкостей в неоднородных и однородных слоях, а также задачи о радиальном стягивании границы раздела жидкостей различной вязкости к центральной эксплуатационной скважине в однородном слое. Найденные решения используются как тестовые. 3. Когда границы моделируются кривыми класса Ляпунова и жидкости имеют различную вязкость, исследование этих задач сведено к решению обобщенной задачи Коши для основной системы, состоящей из интегральных уравнений, интегральных соотношений и дифференциальных уравнений. Эта система решена численно методом дискретных особенностей. 4. Построенные математические модели применены к конкретным задачам практики, связанных с продвижением границы раздела жидкостей к системе скважин. Изучено влияние на продвижение этой границы ее первоначальной формы, неоднородности слоев, формы контура питания и линии сброса. Установлено влияние размещения скважин и их дебитов на перемещение границы. Исследовано изменение со временем квазипотенциала (давления) на контуре скважины, работающей с постоянным дебитом, и изменение дебита скважины при фиксированном на ее контуре квазипотенциале (давлении). Указаны условия, при которых вместо сложных численных расчетов основной системы можно использовать простые аналитические формулы, полученные для модели «разноцветных» жидкостей.
Скважина в слое, содержащем линию сброса и подвижную границу раздела жидкостей
Случай, когда начальная область фильтрации представляет собой полуплоскость, рассмотрен в статьях П.П. Куфарева и Ю.П. Виноградова [94] и Н.А. Котеленца [84]. Здесь получены решения о продвижении контура нефтеносности к единичной скважине. В работе П.П. Куфарева [92] рассматривается стягивание контура нефтеносности к прямолинейной цепочке скважин в случае, когда первоначальная область фильтрации моделируется прямолинейной полосой параллельной цепочке скважин. Кроме того, П.П. Куфарев решил задачу о стягивании контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентричной скважине [91] и к системе скважин [93].
Методом П.Я. Полубариновой - Кочиной В.А. Карпычев [77] решал задачу о продвижении границы раздела между нефтью и водой в двухслойном пласте. В кусочно - однородном пласте, состоящем из пяти зон, вытеснение нефти газом исследовано Ф.Г. Огуджалиевым и Н.М. Гашиевым [109]. Батареи скважин расположены в первой и пятой зонах.
А. Р. Цицкишвили [177] предложил обобщение метода П.Я. Полубариновой - Кочиной на задачи двумерной фильтрации в односвязных областях, границы которых, наряду с известными границами (прямые, полупрямые, отрезки), содержат неизвестные (кривые депрессии, линии раздела двух жидкостей).
С. Ричардсон [207, 208] задачу о вытеснении несжимаемых жидкостей в пористой среде в постановке Л. С. Лейбензона решал методом нахождения бесконечной серии первых интегралов движений границы раздела.
Другой подход, позволяющий получить приближенные решения двумерных задач «поршневого» вытеснения, развит И.А. Чарным [180, 181, 183]. Этот подход состоит в том, что в рамках модели «поршневого» вытеснения полагается неизменность (жесткость) трубок тока в процессе вытеснения. Такой подход решения плоских задач «поршневого» вытеснения получил название метода жестких трубок тока.
Используя метод жестких трубок тока, И.А. Чарным в трудах [180, 181, 183] решены задачи фильтрации к совершенной скважине в полубесконечном пласте, в работах [95, 96, 181, 186] изучены задачи о наивыгоднейшей расстановке батареи скважин, в исследованиях [165, 187] решена задача стягивания водо-нефтяного контакта в случае первоначальной круговой границы раздела воды и нефти к эксцентричной скважине. Использованные в методе жестких трубок тока допущения проверены в работе [90] на электрогенераторе.
Наибольший успех в решении задач «поршневого» вытеснения одной жидкости другой был достигнут методами распределения на подвижной границе потенциалов простого и двойного слоя. В теории фильтрации эти методы первоначально использовали для решения задач сопряжения в кусочно - однородных пластах [27, 28, 31, 39, 40, 167 — 169]. Впервые потенциал простого слоя для решения обратных задач (см. ниже) с подвижной границей применил Г.Г. Тумашев [166].
Подход Г.Г. Тумашева был развит В.Л. Даниловым, который предложил способ сведения задач взаимного вытеснения несжимаемых жидкостей к одному или системе интегро — дифференциальных уравнений [44, 45, 51, 52, 68, 153, 195]. Подвижную границу он моделировал потенциалом простого слоя. Для решения интегро - дифференциального уравнения предложены методы: линеаризации, степенных рядов по времени, графо - аналитический, конечно - разностный и последовательного приближения. Предложенный метод позволил решить большой круг задач вытеснения. Рассмотрим их.
Плоские задачи «поршневого» вытеснения нефти водой из недеформируемого пласта постоянной мощности и проницаемости рассмотрены в работах В.Л. Данилова, В.В. Скворцова и A.M. Власова [44, 45, 51]. Интегро - дифференциальное уравнение в этих работах записано относительно искомой функции, описывающей границу раздела жидкостей в каждый момент времени. Особенности численного решения интегро -дифференциального уравнения накладывают ограничения на область, ограниченную контуром питания: она должна быть звездной.
Изучено продвижение контура нефтеносности, первоначально имеющего форму окружности, к эксцентрично расположенной скважине [52, 60, 61, 159, 160]. Установлено влияние вязкостей нефти и воды на стягивание контура нефтеносности и время обводнения скважин. В работах [52, 68] рассмотрен случай продвижения первоначально прямолинейного контура нефтеносности к единичной скважине и бесконечной цепочке прямолинейных скважин. Исследовано перемещение контура нефтеносности с учетом пониженной проницаемости в зоне вытеснения [47].
Отметим, что в случае, когда месторождение ограничено контуром питания, В.Л. Данилов предлагает использовать функцию Грина [52, 68]. Это позволяет моделировать контур питания только каноническими кривыми, для которых функции Грина известны.
A.M. Власовым [30] сопоставлены метод нанесения на подвижную границу потенциала простого слоя и метод жестких трубок тока, на примере плоской задачи стягивания контура нефтеносности, имевшего первоначально форму круга, к эксцентричной скважине.
Вертикальное перемещение поверхности раздела двух жидкостей, имеющих различные вязкости и удельные веса, к дрене в однородном пласте изучено Э.В. Скворцовым [161 — 163]. Ю.С. Абрамовым и P.M. Кацем решены пространственные (осесимметричные) задачи о продвижении границы раздела воды и нефти. В работе [1] исследовано продвижение границы раздела воды и нефти к точечной скважине, расположенной на кровле пласта, с учетом их удельных весов и пренебрежением различия их вязкостей и капиллярных эффектов. В статье [2] рассмотрено движение границы раздела воды и нефти к несовершенной по степени вскрытия скважине при интенсивном отборе нефти (то есть пренебрегая различием удельных весов жидкостей). А в исследованиях [3] различие удельных весов воды и нефти учитывается.
Вытеснение нефти водой в площадных системах расстановки скважин исследуется в работах Н.К. Паведникова, P.M. Каца и Р.Т. Фазлыева [67, 78, 148, 170].
Задача движения границы раздела упругих жидкостей в упругих пластах с использованием тепловых потенциалов В.Л. Даниловым [48, 52] была также сведена к задаче Коши для интегро - дифференциального уравнения. В трудах [53 — 58] В.Л. Данилов предлагает использовать потенциал простого и двойного слоя для решения обратных задач в теории фигуры Земли и гравитационной разведке.
Продвижение границы раздела жидкостей в слое проводимости Р = y~s
Предложенные модели могут быть применены для исследования явлений и процессов различной физической природы, которые описываются уравнениями такого же математического вида, как и используемые в работе основные уравнения фильтрационного движения.
Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае однородных и неоднородных слоев (пластов). Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.
В случае, когда движение жидкостей различной вязкости радиальное, и в случае модели «разноцветных» жидкостей найдены решения в конечном виде для времени заводнения (загрязнения) скважины. В случае двумерных движений жидкостей различных вязкостей время заводнения (загрязнения) скважины найдено численно.
В работе исследованы важные для практики характеристики: изменение квазипотенциала (давления) на контурах скважин с течением времени при заданных дебитах скважин и изменение дебитов скважин при заданных квазипотенциалах на контурах скважин.
Исследовано влияние на продвижение границы раздела жидкостей различной вязкости к системе скважин неоднородности слоя, формы первоначальной границы раздела жидкостей, контура питания и линии сброса, расположения скважин. Это позволило указать критерии использования простых формул для времени заводнения (загрязнения) скважин в модели «разноцветных» жидкостей вместо сложных численных расчетов.
Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, подтверждена сопоставлением полученных результатов с известными результатами, найденными на основе других моделей, являющихся частным случаем построенных в работе моделей.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Б.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), по вычислительным методам в
Институте вычислительной математики (рук. Е.Е. Тыртышников), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).
По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998 — 2001 г.г.); ежегодных научных конференциях Орловского госуниверситета (1998 — 2001 г.г.); на Международной научно - практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (Орел, 1999 г.), на X Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2001», посвященном памяти профессора СМ. Белоцерковского (Херсон, 29 мая — 5 июня 2001 г.).
Результаты работы представлены в виде докладов на Международной конференции, посвященной П.Я. Полубариновой -Кочиной "Modern approaches to flow in porous media" (г. Москва, 6 — 8 сентября 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «МДОЗМФ — 2000», посвященном 80 - летию со дня рождения профессора СМ. Белоцерковского (Орел, 29 мая — 2 июня 2000 г.). Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [105 — 108, 134, 135, 205]. На защиту выносятся: построенные и исследованные новые математические модели двумерных задач о работе системы скважин с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости в однородных и неоднородных слоях с проводимостью, характеризуемой степенной функцией в случае, когда область совместной фильтрации жидкостей ограничена контуром питания и линией сброса; исследованные влияния неоднородности слоя, формы границ, расположения скважин на продвижение границы раздела, на дебиты скважин и распределение на них квазипотенциалов (давлений). Структура и краткое содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы, трех приложений и 114 иллюстраций. Общий объем работы составляет 191 страницу. Библиография содержит 212 наименований. Глава 1 посвящена постановке задачи о работе системы числа к совершенных скважин в неоднородном слое с подвижной границей раздела жидкостей различной вязкости. Первоначальная граница раздела жидкостей и контур питания представляют собой кривые класса Ляпунова. Решение задачи сведено к решению системы двух интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма, к интегральных соотношений на контурах скважин и дифференциальных уравнений движения границы раздела жидкостей. Эта система решается численно методом дискретных особенностей. Метод дискретизации позволяет расширить класс исследованных задач на случай кусочно - гладких кривых класса Ляпунова. В случае модели «разноцветных» жидкостей исследование задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения границы или их численному решению методом Эйлера. Глава 2 посвящена построению и исследованию свойств новых математических моделей плоскопараллельного движения границы раздела жидкостей в однородных слоях. Получено в конечном виде решение задачи о радиальном движении границы раздела жидкостей различной вязкости. Решены в конечном виде конкретные задачи о движении границы раздела «разноцветных» жидкостей. Решены задачи о продвижении границы раздела жидкостей различной вязкости в случае когда дебиты скважин заданы и постоянны, а потенциалы (давления) на контурах скважин подлежат определению, и, когда заданы и постоянны потенциалы на контурах скважин, а их дебиты подлежат определению. Исследовано влияние формы первоначальной границы раздела жидкостей, контура питания и линии сброса на продвижение границы раздела к системе скважин и на распределение потенциалов между ними. Глава 3 посвящена построению и исследованию новых математических моделей движения границы раздела жидкостей в неоднородных слоях. Проводимости неоднородных слоев моделируются функцией вида Р — ys (s 0 или s 0). В случае модели «разноцветных» жидкостей решения конкретных задач получены в конечном виде. В случае жидкостей различной вязкости задачи решены численно. Исследовано влияние неоднородности слоя и формы границ на продвижение границы раздела, а также на дебиты скважин и квазипотенциалы на их контурах.
