Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели быстровращающихся намагниченных нейтронных звезд 18
1.1 Постньютоновская магнитная гидродинамика 18
1.2 Параметры модели и математическая постановка задачи 25
1.3 Метод аналитического вычисления потенциалов внутри тел, близких к эллипсоидам 31
1.4 Определяющая система уравнений математической модели нейтронной звезды 38
1.5 Математическое моделирование равновесных конфигураций в линейном приближении 45
1.6 Математическое моделирование равновесных конфигураций с разрывами давления на поверхности 49
1.7 Точки бифуркации 53
1.8 Математическое моделирование нелинейных деформаций вблизи точек бифуркации 57
2 Математическое моделирование гравитационного излучения пульсаров 64
2.1 Постановка задачи и основные принципы моделирования гравитационного излучения в волновой зоне 64
2.2 Спектр и поляризация гравитационного излучения пульсаров 74
2.3 Интенсивность квадрупольного гравитационного излучения 79
2.4 Нелинейные эффекты в гравитационном излучении быстровращающихся нейтронных звезд 88
2.5 Постньютоновские эффекты и октупольное гравитационное излучение 97
2.6 Эволюция звезды с потерей энергии на гравитационное и электромагнитное излучение 101
Новые геометрические методы в математическом моделировании самогравитирующих конфигураций 106
3.1 Каноническое разложение кривизны и уравнения Эйнштейна 106
3.2 Ковариантные ряды в нормальных координатах на многообразиях 117
3.3 Ковариантные ряды в векторных расслоениях 129
3.4 Индуцированная связность и перенос Ферми-Уокера 134
Математические модели самогравитирующих полей Янга-Миллса 147
4.1 Математическое моделирование самогравитирующих калибровочных полей в формализме канонического разложения кривизны 147
4.2 Математическое моделирование сферически-симметричных самогравитирующих конфигураций полей Янга-Миллса 152
4.3 Редукция системы Эйнштейна-Янга-Миллса для полей чисто магнитного типа 163
4.4 Математическое моделирование регулярных самогравитирующих конфигураций Янга-Миллса 166
4.5 Математическое моделирование самогравитирующих конфигураций Янга-Миллса с горизонтом событий 170
4.6 Численное решение краевых задач для сферически-симметричных полей Янга-Миллса 176
Заключение 185
Приложения 188
Литература 194
- Метод аналитического вычисления потенциалов внутри тел, близких к эллипсоидам
- Нелинейные эффекты в гравитационном излучении быстровращающихся нейтронных звезд
- Ковариантные ряды в нормальных координатах на многообразиях
- Математическое моделирование сферически-симметричных самогравитирующих конфигураций полей Янга-Миллса
Введение к работе
Математическое моделирование самогравитирующих систем вещества и полей стало в последние десятилетия одним из приоритетных направлений в развитии современной теории гравитации. В первую очередь этому способствовали выдающиеся открытия наблюдательной астрономией новых космических объектов, таких как пульсары; квазары и компактные рентгеновские источники: правильная интерпретация и степень информативности наблюдательных данных, содержащихся в исходящем от них электромагнитном излучении, непосредственно зависят от адекватности и самосогласованности математических моделей этих объектов. Наибольший интерес в настоящее время представляют пульсары, идентифицированные почти сразу после обнаружения, около тридцати лет назад, как быстровращающиеся намагниченные нейтронные звезды [1, 2], которые по праву рассматриваются как уникальные космические лаборатории для изучения гавитационного взаимодействия и свойств ядерного вещества при очень высоких давлениях и температурах [3, 4]. Проблема фигур равновесия быстровращающейся самогравитирующей жидкой капли долгое время рассматривалась как чисто математическая задача ньютоновской теории гравитации, в решение которой основной вклад внесли выдающиеся математики Б.Риман, К.Г.Якоби, А.М.Ляпунов; только в 80-х годах двадцатого века С.Чандрасекар, Дж.М.Бардин и др. впервые исследовали постньютоновские поправки и реакцию гравитационного излучения на
фигуру равновесия. Открытие пульсаров перевело эту проблему в практическую плоскость. Доминирующими факторами в динамике и эволюции пульсаров являются сильное собственное гравитационное поле, быстрое вращение с частотой, достигающей нескольких сотен оборотов в секунду, а также большое давление в центре, поэтому любая реалистичная математическая модель таких объектов должна, в рамках современных представлений о гравитации, основываться на общей теории относительности [5].
Актуальность математического моделирования конфигураций и эволюции пульсаров в значительной степени обусловлена проблемой регистрации гравитационных волн, поскольку отклонения фигуры звезды от осевой симметрии, вызываемые, например, магнитным полем в сочетании с эффектами вековой неустойчивости, делают ее источником монохроматического гравитационного излучения. Интерес к этой проблеме резко возрос после открытия в 80-х и в 90-х годах большого числа миллисекундных пульсаров [6, 7], так как интенсивность гравитационного излучения пропорциональна шестой спепени частоты вращения (для электромагнитного - четвертой). На сегодняшний день пульсары являются единственными перспективными источниками монохроматического гравитационного излучения. Именно монохроматичность позволяет "накапливать" сигнал во время регистрации и даёт возможность независимой проверки результатов, в то время как альтернативные источники гравитационного излучения, связанные с катастрофическими событиями в космосе, например, столкновением черных дыр, лишены этого преимущества. Еще более важно то, что уверенный приём гравитационных волн от пульсаров будет, по сути, первым шагом на пути к созданию гравитационно-волновой астрономии, открывая новый канал получения информации из космоса, наряду с электромагнитным и нейтринным каналами, действующими в настоящее время [8].
В течение последнего десятилетия в разных странах проводились интенсивные теоретические исследования и проектирования лазерных интерферометров, предназначенных для регистрации гравитационных волн от космических объектов [9, 11, 12]. К настоящему времени имеются пять реально введенных в эксплуатацию лазерно-интерферометрических лабораторий, в которых проводятся конкретные испытания чувствительности приборов на разных частотах регистрируемых колебаний:
LIGO - американский проект с тремя интерферометрами, два из которых имеют базу около четырех километров и разнесены на расстояние около 3000 км; в данном проекте в качестве ассоциированных членов принимают участие две группы российских ученых из МГУ и Института прикладной физики РАН;
VIRGO - франко-итальянская гравитационно-волновая обсерватория с трехкилометровым интерферометром, по своим частотным характеристикам схожая с LIGO, однако более защищенная от сейсмических шумов, что компенсирует, до некоторой степени, недостатки, связанные с уединенностью данного интерферометра;
GEO600 - германо-британский проект с короткой, шестиметровой базой интерферометра: планируется повышение чувствительности антенны за счет внедрения новейших измерительных технологий в ближайшее время;
ТАМА300 - японский проект с трехсотметровым интерферометром, успешно прошедший испытания чувствительности в 2002-ом году; уже спроектирован и строится трехкилометровый лазерный интерферометр, требующийся для создания полноценной и высокочувствительной гравитационно-волновой обсерватории;
ACIGA - австралийский консорциум - интерферометр для гравитационно-волновой астрономии: этот проект находится в ста-
дии испытаний и совершенствования.
В принципе, все указанные обсерватории ориентируются на пульсары, как один из самых перспективных источников гравитационных волн, хотя наилучшей чувствительностью на частоте ~ 1000Гц обладают проекты LIGO и VIRGO; первый из этих проектов предусматривает специальную программу по поиску гравитационных волн от периодических источников, в частности, пульсаров [10]. К концу 2002 года достигнутая в проекте LIGO чувствительность по величине возмущений метрики в этом диапазоне частот составила h ~ 10~21, а в планируемом в ближайшие годы развитии этого проекта под названием LIGOII она должна быть увеличена по крайней мере на порядок. Несмотря на то, что основные усилия экспериментаторов пока направлены исключительно на регистрацию какого-либо гравитационно-волнового сигнала на уровне шума самого приемника, проблема идентификации источника и сопоставления данных эксперимента с конкретной моделью выйдет по своей значимости на первое место непосредственно после первого успеха.
Отметим еще одно важнейшее направление в исследовании пульсаров, имеющее конкретные перспективы технического применения в ближайшие годы. Речь идет о создании уникального стандарта частоты и шкалы времени с высокой стабильностью на основе измерения интервалов времени между импульсами радиоизлучения пульсаров [89]. Подобные "часы"лишены основного недостатка квантовых часов любого типа, который заключается в непредсказуемом накоплении ошибки при измерении больших промежутков времени, что имеет принципиальное значение для повышения точности астрономических наблюдений и космической навигации даже в пределах солнечной системы; проект создания пульсарной шкалы времени, предусматривающий, в частности, вывод на орбиту Земли радиолокационной антенны для приема импульсов, начал прорабаты-
ваться в нашей стране и ряде других стран в 1989 году, но был отложен по соображениям не научного характера на неопределенное время. Совершенно очевидно, что в научном обосновании этого проекта проблема устойчивости конфигураций пульсаров вблизи точек бифуркации и их эволюции с потерей энергии на гравитационное и электромагнитное излучение играет очень важную роль.
С другой стороны, в теории поля интенсивно ведутся исследования самогравитирующих конфигураций неабелевых калибровочных полей уже более десяти лет, после открытия в 1988 году Р.Бартником и Я.Маккиноном статического солитонного решения уравнений Эйнштейна-Янга-М иллса [122] и его интерпретации как сфалерона Д.В.Гальцовым и М.С.Волковым [140]. Интерес к этой проблеме еще более возрос в связи с исследованием решений с горизонтом событий для неабелевых калибровочных полей. Результаты, всесторонне отраженные в недавнем обзоре [123], показывают, что нелинейность поля в корне меняет свойства решений: сюда можно отнести и сам факт существования солитонных решений, отсутствующих в электровакуумном случае, и нарушение, вообще говоря, теоремы единственности и теоремы об "отсутствии волос "для чёрных дыр. Актуальность этих исследований обусловлена непосредственной связью с физикой элементарных частиц и космологией, а в более общем плане - с фундаментальным вопросом о роли гравитации в микромире. В классической работе [13] М.А. Марков этот вопрос сформулирован так: "Может ли общая теория относительности, имеющая целью описание свойств пространства-времени, оказаться верной не только в большом, но и в малом?" Калибровочное поле допускает классическое описание, поэтому принципиальная проблема трактовки источника гравитации в микромире не возникает в данном случае, а геометрическая интерпретация поля, вместе с предположением о минимальности взаимодействия, приводит к
естественной и однозначной математической постановке задач. Таким образом, математическое моделирование самогравитирующих частицеподобных конфигураций позволит, как минимум, лучше понять ситуацию, оставаясь в рамках общей теории относительности; более радикальные теории, такие, как теория суперструн, в диссертации не рассматриваются.
Данная диссертационная работа посвящена построению математических моделей самогравитирующих квазистационарных конфигураций вращающихся нейтронных звезд и калибровочных полей с целью изучения их гравитационных полей, динамических характеристик и эволюции; кроме того, большое внимание уделено развитию новых математических методов для исследований в этой области, В общей теории относительности самогравитиру-ющие конфигурации любого рода описываются связанной системой уравнений Эйнштейна в асимптотически плоском пространстве-времени и динамических уравнений для источника гравитационного поля: для нейтронных звезд это уравнения релятивистской (магнитной) гидродинамики, а для калибровочных полей - уравнения Янга-Миллса. Основные трудности связаны с решением уравнений Эйнштейна и именно это обстоятельство объединяет, с точки зрения математического моделирования, два рассматриваемых класса объектов, различных по своей природе.
Изложим кратко содержание диссертации по главам.
В Главе 1 в постньютоновском приближении исследуются фигуры равновесия вращающихся нейтронных звезд в модели однородной намагниченной самогравитирующей жидкой капли, свободная поверхность которой близка к эллипсоиду. В первом разделе развит конкретный вариант итерационной схемы постньютоновских приближений, удобный для решения поставленной задачи, требующей одновременного учета релятивистских эффектов и влияния магнит-
ного поля на фигуру равновесия звезды. Во втором разделе обосновывается выбор модели (быстрого наклонного ротатора) с учетом известных из наблюдательной астрономии данных о пульсарах, вводится эффективное магнитное давление для магнитных полей, допускающих равновесные конфигурации звезды, обосновываются основные принципы моделирования и формулируется математическая постановка задачи. В третьем разделе развит оригинальный метод вычисления ньютоновского и постньютоновских потенциалов внутри тела, ограниченного поверхностью, близкой к эллипсоидальной, что представляет сложную математической задачу и является необходимым шагом в реализации всей программы: характер возмущений эллипсоидальной поверхности и величины отклонений неизвестны заранее, поэтому-численные методы интегрирования не применимы; отметим также, что развитый в диссертации метод непосредственно применим для вычисления произвольных интегралов потенциального типа внутри эллипсоидов и близких к эллипсоидам фигур, тогда как известный для эллипсоидов метод послойного интегрирования [69] не обобщается, по крайней мере непосредственно, на возмущенный случай. В конечном счете, именно результаты третьего раздела позволяют привести задачу к решению системы алгебраических уравнений. В четвертом разделе получена алгебраическая система уравнений, определяющая конфигурацию в линейном, по отклонениям от классического эллипсоида равновесия, приближении.
В трех следующих разделах построенная математическая модель применяется для расчетов параметров равновесных конфигураций, слабо отличающихся от сфероида, причем особое внимание уделено исследованию асимметричных относительно оси вращения отклонений фигуры равновесия от эллипсоида, которые приводят к излучению гравитационных волн. В пятом разделе приведены ре-
зультаты численных расчетов для коэффициентов, описывающих отклонения фигуры от эллипсоида вследствие постньютоновских и магнитных эффектов при конкретном значении А = 7г/4 угла наклона оси магнитной симметрии к оси вращения. Они дают полное представление о величинах деформаций для различных мод возмущений. В шестом разделе исследуются фигуры равновесия с разрывами давления на поверхности.Возможно, что на поверхности звезды терпит разрыв касательная составляющая магнитного поля и существует поверхностная плотность токов, а если проводимость звезды велика и она заряжена по поверхности, то терпит разрыв также и электрическое поле. Такие разрывы приводят к скачку давления на поверхности, а это существенно усложняет задачу. Здесь предложен метод, который позволяет, посредством введения эффективного давления, свести исследование фигур равновесия с разрывами давления на поверхности только к изучению уравнения гидростатического равновесия, определяющего равновесные конфигурации со свободной поверхностью и объемными возмущениями. В седьмом разделе рассматриваются точки бифуркации на последовательности фигур равновесия с одинаковой массой и плотностью вещества, в которых возмущения конфигурации, вызываемые внутренним магнитным полем не могут быть описаны в линейном приближении. Как показано в последнем, восьмом, разделе данной главы, вблизи точек бифуркации отклонения фигуры равновесия от сфероида носят нелинейный характер и определяются из уравнений третьего порядка по величине деформаций; этот эффект существенно повышает перспективность нейтронных звезд, как источников гравитационного излучения.
Основные результаты данной главы, полученные автором, опубликованы в работах [42, 43, 44, 45, 46, 47, 48].
Метод аналитического вычисления потенциалов внутри тел, близких к эллипсоидам
В этом разделе рассматривается математическая постановка задачи о фигурах равновесия нейтронных звезд в модели вращающейся самогравитирующей капли однородной намагниченной жидкости, а также проводится анализ используемых приближений и параметров модели с точки зрения наблюдательных данных о пульсарах. Общие результаты классической теории фигур равновесия самогра-витирующей жидкости очнь многообразны, но нас в дальнейшем будет интересовать случай близких к эллипсоидам фигур, к которым, по-видимому, можно отнести фигуры компактных релятивистских звезд. Наиболее подробная сводка результатов по классическим эллипсоидальным фигурам равновесия дана в [29, 31, 63, 61, 62, 32].
По современным представлениям [38, 27, 28, 3] пульсар представляет собой быстрый наклонный ротатор, т.е. быстровращающу-юся нейтронную звезду с сильным магнитным полем, обладающим осью симметрии, наклонной к оси вращения. У типичных нейтронных звезд масса , а плотность вещества в области центра составляет р и 1014 — 1015г/см3. Ограничение сверху на массу нейтронных звезд в значительной степени зависит от уравнения состояния вещества, которое пока плохо известно вследствие сложности нуклон-нуклонного взаимодействия для соответствующих энергий [41, 26, 27], однако рассматриваемая ниже математическая модель пульсара и методы решения уравнений не чувствительны, в отличие от вариационных методов, к значению этого параметра. Напротив, предположение об однородности звезды является очень сильным и требует дополнительного анализа. Мы приведем ряд аргументов, до некоторой степени оправдывающих упрощающее предположение об однородности вещества внутри звезды.
С точки зрения общих принципов математического моделирования, одной из основных проблем при построении модели является противоречие между ее соответствием реальному объекту и необходимостью возможно более точного решения определяющей системы уравнений. В рассматриваемом случае определенный акцент сделан на применении строгих методов математической физики, которые позволили предсказать ряд новых неожиданных эффектов: в первую очередь к ним относятся нелинейные деформации фигуры звезды вблизи точек бифуркации при слабых динамических возмущениях и появление гравитационного излучения с частотой, равной угловой скорости вращения звезды. При эвристическом подходе, который позволил получить первые оценки для деформаций фигуры звезды и интенсивности гравитационного излучения сразу после открытия пульсаров [38, 3] и этим фактически исчерпал свои возможности, эти эффекты остаются скрытыми. Как будет видно из последующих построений, указанные явления должны иметь место и для более реалистических уравнений состояния, но с другими числовыми характеристиками. Отметим также, что по расчетам ряда авторов [41, 39] вещество внутри нейтронной звезды должно быть практически несжимаемым и приближение однородной жидкости вполне оправдано.
В случае быстрого наклонного ротатора к отклонению от точной эллипсоидальное приводят возмущения, вызываемые магнитными напряжениями и постньютоновскими эффектами. В принципе, конкретная природа возмущающих факторов не ограничивается ничем, кроме предположения о том, что они допускают гидростатическое равновесие твердотельно вращающейся капли. Как известно, не любая конфигурация внутреннего магнитного поля допускает гидростатическое равновесие звезды. Для этого необходимо, чтобы величина (BV)B всюду внутри однородной и изотропной жидкости оказывалась представимой в виде градиента от некоторой скалярной функции [66, 67]. Известны точные решения для магнитных полей, допускающих гидростатическое равновесие, однако, нереальных с точки зрения астрофизики. Гидростатическое равновесие возможно и в случае мелкомасштабной хаотичности направлений силовых линий магнитного поля, когда усреднение по макроскопическим, но малым по сравнению с размерами звезды масштабам, приводит к понятию магнитного давления [16, 70]. Мы будем предполагать далее, что магнитное поле допускает гидростатическое равновесие и магнитные напряжения представимы в виде градиента от скалярной функции, которую будем называть эффективным магнитным давлением и обозначать также В2/(87г).
Для решения конкретной, поставленной здесь задачи, используемый нами метод обладает большой простотой и наглядностью. Использование функций Ламе в [29] делает вычисления очень громоздкими. В работах Чандрасекара [31, 36, 55]используется метод тензорных вириальных уравнений, которые очень удобны для исследования устойчивости фигур равновесия. Однако для расчетов конкретных параметров фигур равновесия при сложном характере возмущений этот метод мало пригоден, особенно при учете высших порядков. Полный анализ проблемы точек бифуркации в теории эллипсоидальных фигур равновесия в рамках ньютоновского подхода дан в классическом труде А.М.Ляпунова [65], но попытки обобщения его математически крайне изощренного метода на случай постньютоновских и намагниченных звезд, а также вычисление отклонений от эллипсоидальности, приводят к серьезным трудностям.
Движение быстрого наклонного ротатора в постньютоновском приближении полностью определяется уравнениями (1.23), (1.24), Пусть вращение происходит вокруг оси хг с постоянной угловой скоростью w. Тогда линейная скорость вращения равна
В первом постньютоновском приближении структура уравнений (1.23) и (1.24) допускает гидростатическое равновесие однородной вращающейся капли при стационарном вращении (1.28). Это означает, что уравнения (1.23) и (1.24) могут быть проинтегрированы и получено уравнение гидростатического равновесия, которое должно выполняться в каждой внутренней точке. Умножим уравнение (1.23) на v и вычтем его из (1.24). После формальных преобразований, с использованием калибровочных условий (1-8), и в предположении, что конфигурация магнитного поля допускает описание магнитных напряжений введением эффективного магнитного давления, интегрирование приводит к уравнению
Нелинейные эффекты в гравитационном излучении быстровращающихся нейтронных звезд
При этом уравнения соответствующих однородных систем линейно зависимы, и условию гидростатического равновесия можно удовлетворить, выбрав один из коэффициентов уравнения поверхности Z\,k произвольным: жидкая капля получает как бы дополнительную степень свободы. Вблизи точек (1.104) и (1.105) величины Z\-k в линейном приближении могут принять сколь угодно большие значения. Ясно, что в таких особых точках даже малые возмущения могут привести к значительным отклонениям конфигурации от исходной. Для конкретного описания конфигурации вблизи особых точек необходимо учитывать нелинейный характер деформаций, что и будет сделано ниже.
Решение системы (1.75) для Zfl становится особенным только в точке ei, когда функция Z)(e), определенная формулой (1.4), обращается в нуль, так как соответствующая система уравнений суть вырождений случай системы (1.62). Эта точка исследовалась в работе [31]. Однако можно сделать замечание общего характера, что исследование конфигураций для значений параметра не имеет существенного значения, так как при этом сфероид Макло-рена динамически неустойчив: этот результат получен еще Риманом [30]. Поэтому существенное значение имеют только точки ej, ео, ез- В Таблице 1 даны значения величины (w2/27r(7p)M, связывающей е и угловую скорость классического сфероида Маклорена, и значения постньютоновской поправки S(uj2/27rGp), из которых видно, что для реальной конфигурации данное значение сплюстнутости достигается при большем значении угловой скорости, чем для сфероида Маклорена. При близких к предельным для нейтронных звезд значениях ае = «о = 3, 2 Ю-2 поправки к параметру (u?2/2nGp) вблизи точки бифуркации Якоби ej достигают почти 4%: это обстоятельство указывает на черезвычайную важность постньютоновских поправок как при определении близости фигуры звезды к точке бифуркации по наблюдаемому в электромагнитном диапазоне значению угловой скорости, так и при интерпретации данных, которые планируется получать по гравитационно-волновому каналу.
Точки ej, єі, Є2, ез появляются и при исследовании фигур равновесия на устойчивость. В этих точках сфероид становится неустойчивой по отношению к одной из нейтральных мод колебаний, которые обычно обозначаются номерами (7, т) соответствующей сферической гармоники Yim, по которым раскладывается нормальное смещение. Так, точка бифуркации Якоби ej соответствует моде с номерами (2, 2), в\ - (4, 0), Є2 - (4, 2) и єз - (4, 4). Наиболее важное значение имеет точка бифуркации Якоби ej, поскольку в процессе квазистатического сжатия с сохранением момента вращения звезда достигает ее в первую очередь. Особая точка ео соответствует максимальному значению параметра и?/(2тгОр) как для постнью-тоновской, так и для ньютоновской конфигураций.
Следует отметить принципиальную разницу между деформациями звезды при потере устойчивости за счет действия диссипатив-ных процессов в особых точках и нелинейными деформациями в этих точках при наличии постоянных возмущений. Исследование на устойчивость приводит к тем же самым точкам бифуркации, что и изложенный выше подход, поскольку характеристические уравнения для определения собственных частот нормальных мод колебаний совпадают с уравнениями, возникающими в нашем случае при приравнивании нулю определителей линейных систем уравнений. В тоже время потеря устойчивости может происходить только при наличии эффективного механизма диссипации при сохранении момента импульса, либо в случае одновременной потери энергии и момента с разной скоростью, когда обычное соотношение ш dE/dJ не выполняется: такой эффект имеет место при гравитационном излучении [35, 34]. Однако вязкость и гравитационное излучение в данном случае действуют в противоположных направлениях, в значительной степени взаимно компенсируя порожденные ими возмущающие факторы. Поэтому для пульсаров, обладающих сравнительно небольшой вязкостью и весьма мощным(предсказываемым ОТО) гравитационным излучением, потеря устойчивости в точках бифуркации в принципе не может привести к значительным отклонениям фигуры звезды от сфероидальной формы [36]. То же самое следует из расчетов недавно обнаруженной неустойчивости относительно так называемых г-мод, которые существенно связаны с нарушением твердотельного вращения самогравитирующей конфигурации [12]. Напротив, основным принципиальным результатом трех предыдущих разделов является демонстрация того, что при твердотельном вращении однородной звезды слабые возмущения вблизи точек бифуркации, вызываемые магнитными натяжениями, приводят к нелинейной деформации фигуры звезды. При этом естественным является предположение о квазистационарной эволюции звезды, которая должна иметь место даже для очень малых значений вязкости вещества; это условие для большинства пульсаров, с температурой выше 108 К, по современным представлениям заведомо выполнено.
Математическое моделирование нелинейных деформаций вблизи точек бифуркации Вблизи точек бифуркации даже слабые возмущения приводят к существенным асимметричным деформациям фигуры звезды. При этом параметры конфигурации Z k в линейном приближении не могут быть определены, поскольку величины Zijk, рассматриваемые как функции параметра возмущений ае, в точках бифуркации не аналитичны при эе = 0 и не могут быть представлены в виде ряда по целым степеням 8Є.
В этом параграфе получены и исследованы в общем виде нелинейные уравнения, определяющие фигуру звезды в третьем приближении и позволяющие оценить возрастание интенсивности гравитационного излучения вблизи точки бифуркации. Для этого необходимо учесть в выражении (1.55) для гравитационного потенциала все члены до аэ3.
Ковариантные ряды в нормальных координатах на многообразиях
В этом разделе понятие "нелинейные эффекты "употребляется в широком смысле. Более конкретно, будут рассмотрены следующие эффекты. Во-первых, природа двухчастотного спектра гравитационного излучения быстрого наклонного ротатора. Как будет показано, существование излучения на частоте вращения связано с нелинейным характером гравитации. Во вторых, в данном разделе будет проведен анализ гравитационного излучения звезды по порядку величин вблизи точек бифуркации , где несимметричные относительно оси вращения деформации фигуры звезды под действием магнитных натяжений имеют нелинейный характер.
Хорошо известно, что гравитационное поле обладает самодействием в силу нелинейности уравнений ОТО. Одним из чистых проявлений такого самодействия является генерация гравитационного излучения быстрым наклонным ротатором на частоте вращения. В разделах 2 и 3 сделаны расчеты для первой гармоники, в которых получена интенсивность излучения и независимые состояния поляризации для возмущений метрики в волновой зоне. Однако, как указывалось, физическая природа этого излучения остается неясной, так как при движении, например, двух точечных масс по круговым орбитам вокруг общего центра инерции излучение генерируется только на удвоенной частоте вращения.
Для того, чтобы выяснить, чем обусловлена генерация первой гармоники будем рассматривать возмущения в волновой зоне без использования квадрупольной формулы (2.27). Из (2.7) и (1.20) для случая, когда магнитные напряжения имеют изотропный характер и могут быть описаны эффективным магнитным давлением, в наинизшем приближении имеем
Совершенно очевидно, что для вращающейся звезды первый член и все изотропные члены в (2.72) не дадут вклада в излучение на первой гармонике, но компоненты hi$ и h,23, как следует из предыдущих результатов будут содержать первую гармонику hri
Таким образом, можно сделать вывод, что гравитационное излучение на первой гармонике обусловлено трансформацией квазистационарных ньютоновских натяжений в гравитационную волну. Если бы гравитационное поле не обладало свойством быть источником самого себя, то есть нелинейностью, то излучение на частоте вращения отсутствовало бы. Поэтому генерация гравитационного излучения на первой гармонике является нелинейным эффектом общей теории относительности.
В то же время строгий подход к изучению данного эффекта требует прямого доказательства баланса энергии и момента импульса для конфигурации, не обдадающей симметрией относительно экватора. Нетривиальным аспектом в этой проблеме является несохранение отдельно механического момента импульса конфигурации, которое, тем не менее, не приводит к появлению прецессии, поскольку сохраняется полный момент, включающий вклады от магнитного и гравитационного полей, а также эффективной анизотропии звезды при наличии вязких напряжений. Сохранение полного момента является, в конечном счете, следствием консервативности тензора энергии-импульса, поэтому для магнитного поля, хаотично, возможно в виде мелкомасштабных доменов, распределенного внутри фигуры равновесия, баланс полного момента не вызывает сомнений. Однако при наличии достаточно сильной дипольной составляющей магнитного поля необходимы эффективные анизотропные натяжения, происхождение которых может быть обусловлено различными причинами, например, вязкостью или анизотропией нуклон-нуклоного взаимодействия [78]; для определенности будем называть их вязкими натяжениями. Мы рассмотрим этот вопрос для конфигураций, близких к сфере, обладающих чисто дипольным магнитным полем [91].
Рассмотрим вращение самогравитирующей капли однородной жидкости с внутренним магнитным полем, форма которой близка к сферической. Будем предполагать, что в отсутствие вращения капля, имеющая равновесный радиус RQ, обладает внутренним однородным магнитным полем - магнитный момент пульсара), которое сшивается с полем магнитного диполя во внешней области, равным в ближайшей зоне
При вращении капли с постоянной угловой скоростью ш, направленной под углом а к направлению магнитного момента /х, равновесная конфигурация приобретает вид трехосного эллипсоида (за счет анизотропии, создаваемой магнитными напряжениями), уравнение поверхности S которого запишем в виде Будем рассматривать случай достаточно медленого вращения, когда компоненты тензора а малы по сравнению с единицей; соответствующие условия будут очевидны из полученного приближенного решения. Тензор энергии-импульса рассматриваемой системы имеет теперь вид суммы четырех слагаемых: соответствующих вкладам масс, магнитного поля, ньютоновского поля и вязких натяжений. Для определения движения масс и расчета равновесных конфигураций жидкости мы будем использовать уравнение которое справедливо в случае достаточно слабого гравитационного поля (в формулу (2.78) входит обычная, а не ковариантная производная, поскольку ньютоновские натяжения уже включены в Ту). Нелинейные поправки ОТО могут быть найдены стандартным методом ньютоновских приближений.
Математическое моделирование сферически-симметричных самогравитирующих конфигураций полей Янга-Миллса
Отметим, что уравнения trtrnC = 0 (или эквивалентное ему уравнение tr U = 0) является следствием остальных уравнений Эйнштейна и уравнения Янга-Миллса (4.5), поэтому может быть исключено из рассматриваемой системы. Возможен, однако, другой подход к системе уравнений (4.5), (4.9) который используется ниже в математическом моделировании сферически самогравитирующих полей Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2). Этот подход заключается в исключении всех или части уравнений системы (4.5) с помощью тождеств Бианки для кривизны, в каноническом разложении которых компонента Н заменена правой частью второго равенства в (4.8); при этом уравнение trU = 0 в системе (4.9) становится независимым.
Постоянная связи 71 формально аналогичная электрическому заряду в теории Эйнштейна-Максвелла, является, по существу, свободным параметром, значение которого зависит от конкретной физической интерпретации самогравитирующего калибровочного поля. С другой стороны, уравнения Эйнштейна-Янга-Миллса инвариантны относительно масштабных преобразований, поэтому рассматриваемые математические модели в своих численных характеристиках зависят от 7 только как от масштабного фактора. По этой причине в дальнейших построениях удобно перейти к специальным единицам для длины и массы: - единицы, введенные Планком. Имеются веские основания полагать, что для микроскопических черных дыр 7 V", так что для них план-ковские единицы являются естественными; но для любого значения постоянной связи в результате такого выбора масштаба множитель 72GB правой части уравнений (4.9) исчезает.
Исследования самогравитирующих конфигураций нелинейных калибровочных полей интенсивно проводятся уже более десяти лет [123]. Были обнаружены нетривиальные солитонные решения [122] и черные дыры в согласованной системе уравнений Эйнштейна-ЯнгагМиллса (ЭЯМ), В результате данное направление стало наиболее важным в рамках концептуального вопроса о роли и характере гравитационного воздействия в микромире.
Все асимптотические плоские решения системы ЭЯМ получены численными методами для сферически-симметричноых конфигураций, что естественно объясняется сильной нелинейностью уравнений. Более того, все наиболее содержательные с физической точки зрения решения получены в статическом пределе, за исключением слабых аксиально-симметричных возмущений сферически-имметричных конфигураций и моделей коллапса с начальными данными статического решения; в этих случаях задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Известно, что все статические решения уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса неустойчивы по отношению к нестационарным возмущениям. С другой стороны, корректная постановка задач в теории гравитации предусматривает определение геометрии пространственно-временного многообразия в целом, допуская асимптотические и топологические дополнительные условия, условия симметрии, стационарные данные на горизонте событий и т.д., в то время как начальные данные на пространственно-подобной гиперповерхности требуют серьезного обоснования. Поэтому, уже заметный переход к исследованию преимущественно нестационарных задач для системы ЭЯМ является и необходимым и актуальным.
Сферически-симметричные самогравитирующие конфигурации являются, в определенном смысле, простейшими объектами для изучения в общей теории относительности, которые обладают основными чертами обширного класса реальных самогравитирующих систем и допускают, в то же время, подробное аналитическое исследование. С математической точки зрения условия сферической симметрии означают, что пространственно-временное многообразие обладает группой изометрий, изоморфной 0(3, R), действующей транзитивно на двумерных замкнутых пространственно-подобных подмногообразиях. При иследовании конкретных систем условия сферической симметрии обычно дополняются асимптотически плоскими условиями для метрики, однако они совместимы и с асимптотикой изотропных космологических моделей. Несмотря на то, что основная часть главы посвящена исследованию самогравитирую-щих полей Янга-Миллса с асимптотикой решения Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема, результаты данного раздела не зависят от выбора асимптотических условий и могут применяться в дальнейших исследованиях по неабелевым солитонам и черным дырам в ранней Вселенной; вполне возможно, что такая постановка проблемы окажется более корректной и физически оправданной.
Оставляя максимально оправданную калибровочную свободу в выборе координатной карты, допускающую указанную общность подхода, запишем метрику сферически-симметричного пространства-времени в форме
Как известно, сферически-симметричное пространство-время относится к типу D по Петрову [96], однако этим фактом не исчерпываются все полезные следствия из симметрии многообразия.
Для неабелевых калибровочных полей условия сферической симметрии подробно исследовались в работах [125, 127, 128, 122], в которых использовались различные подходы к решению основного вопроса: какие требования на структуру полей накладывают заданные изометрии пространства-времени. Дифференциальные условия любого типа - это условия на связность в главном расслоении калибровочной группы или, эквивалентно, в соответствующем векторном расслоении алгебр Ли, которые не имеют естественного, канонического происхождения, поскольку изометрии, вообще говоря, никак не связаны с параллельными переносами слоев указанных расслоений вдоль соответствующих векторных полей Киллинга. Напротив, существование изометрии накладывает вполне определенные ограничения на алгебраическую структуру поля кривизны и компонент О и Я ее канонического разложения. Поэтому цель данного раздела - изучение соответствующих алгебраических условий для полей Янга-Миллса, которое начнем с прямого вычисления кривизны для метрики 4.11 с использованием базиса 3.34
