Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Алгоритмы численного моделирования специальных классов случайных процессов и полей 16
1.1. Алгоритмы моделирования совместных индикаторных рядов и полей на основе специального преобразования гауссовских процессов и полей 16
1.2. Специальные индикаторные совместные временные ряды 22
1.3. Численное моделирование специальных негауссовских процессов и полей (на основе индикаторных рядов, на основе метода обратных функций) 25
1.4.. Моделирование трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня 27
Глава 2. Вероятностные модели пространственных и пространственно - временных полей сумм осадков 45
2.1. Статистическая структура временных рядов индикаторов осадков по данным наблюдений (входные параметры для моделей, характеристики для верификации моделей) 47
2.2. Вероятностные модели временных рядов индикаторов осадков 56
2.3. Численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков 66
Глава 3. Вероятностные модели временных рядов и полей комплексов гидрометеорологических полей 78
3.1. Численное стохастическое моделирование комплексов гидрометеорологических полей с учетом физических связей 78
3.2. Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра 97
3.3. Некоторые вопросы точности моделирования и верификации моделей .109
Заключение 114
Литература 116
- Численное моделирование специальных негауссовских процессов и полей (на основе индикаторных рядов, на основе метода обратных функций)
- Моделирование трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня
- Численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков
- Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра
Введение к работе
Одной из важных и актуальных проблем при численном моделировании процессов в атмосфере является проблема, связанная с построением адекватных математических моделей на основе вероятностного подхода с использованием данных многолетних наблюдений. Накапливающийся с каждым годом объем информации об атмосферных процессах требует соответствующей физической и математической ее интерпретации и обобщения в виде математических моделей, учитывающих разнообразные вероятностные свойства и связи. Стохастические модели атмосферных процессов, построенные на основе реальных многолетних наблюдений, позволяют решать широкий класс фундаментальных и прикладных задач гидрометеорологии и климатологии в вероятностной интерпретации.
Под численной стохастической моделью реального временного ряда обычно понимают искусственную случайную последовательность (или псевдослучайную последовательность), которая по некоторому набору входных вероятностных характеристик совпадает, либо близка к наблюдаемой. Обычно в качестве входных характеристик используют одномерные распределения, корреляционные функции или спектральные плотности, для дискретных процессов матрицы переходных вероятностей и т. д. При построении стохастических моделей на основе реальных данных, как правило, приходится иметь дело с выборками ограниченного объема, поэтому соответствующие оценки входных характеристик содержат определенные статистические погрешности, однако соответствующие численные алгоритмы моделирования реализаций модельных последовательностей должны быть построены таким образом, чтобьі эти характеристики воспроизводились в модели по возможности точно. Реальные временные ряды, как правило, не стационарны, причем зависимость характеристик ряда от времени, может проявляться в различных временных интервалах по разному, например, в виде суточного хода параметров распределений, наличии глобального тренда и т.д., поэтому необходим учет в моделях и этих особенностей реальных рядов, а для этого требуется либо значительно больший объем информации, либо введения дополнительных гипотез о характере нестационарности.
Аналогичным образом определяется численная стохастическая модель реального многомерного гидрометеорологического процесса, а также поля на регулярной или нерегулярной сетке. В этом случае входными характеристиками для моделей могут служить матричные корреляционные функции, для негауссовских моделей наборы одномерных, а в некоторых случаях двумерных распределений и т.д.
На практике невозможно в полном объёме учесть все особенности реального ряда, поэтому численные стохастические модели строятся в определенной степени приближения. Чаще всего специфика ряда передается через одномерные распределения и корреляционные связи, поскольку для учета совместных распределений второго и более высокого порядка имеющейся информации оказывается недостаточно. Например, при решении задач по исследованию экстремальных погодных явлений, таких как длительное понижение температуры, длительные выпадение осадков и т.д. необходимо, чтобы в модели достаточно точно воспроизводились характеристики, определяемые совместным распределением достаточно большого числа значений ряда. Тем не менее, учет одномерных распределений и корреляций позволяет получать достаточно приемлемые результаты.
Проверка пригодности модели для решения конкретных прикладных задач осуществляется на этапе верификации. На этом этапе по модельным выборкам и по реальному ряду оценивается некоторый набор характеристик, связанных со спецификой решаемой задачи, но не являющихся входными для модели. Степень близости соответствующих характеристик служит критерием качества модели, При этом для проверки качества модели выбирают такие характеристики, которые достаточно надежно оцениваются по имеющимся данным наблюдений. Например, в качестве таких характеристик могут быть использованы вероятности длительных выходов температуры воздуха за сравнительно невысокие уровни. Оценка вероятностей выхода за высокие уровни уже осуществляется по модельным данным.
Методы статистического моделирования случайных процессов и полей широко используются при решении теоретических и прикладных задач статистической океанологии. В работах [6-7,18-19,21,65-68] решается широкий круг задач, связанных с исследованием и стохастическим моделированием скалярных и векторных океанологических процессов и полей [6,66] на основе данных океанографических наблюдений. Исследованы вопросы верификации моделей, разработан и исследован широкий класс методов оценивания различных характеристик океанологических и метеорологических процессов [67-68] по данным измерений, исследован класс периодически нестационарных океанологических и метеорологических процессов [21,66], построен ряд соответствующих вероятностных моделей.
Накопленный опыт стохастического моделирования реальных процессов и полей, современные тенденции в развитии статистической метеорологии и климатологии, а также океанологии ставят новые актуальные задачи, связанные с применением методов статистического моделирования. Это в первую очередь экологические задачи, для которых необходима разработка методов комплексного стохастического моделирования атмосферных и океанологических процессов с привлечением большого объема информации [18], а также методов объединения гидротермодинамических и стохастических подходов к описанию реальных процессов [51,53,73,76-77]. Для решения этих задач требуется разработка новых эффективных алгоритмов стохастического моделирования многомерных процессов и полей.
Математическим аппаратом для построения стохастических моделей реальных процессов являются методы численного моделирования случайных процессов и полей. Развитию этих численных методов и разработке соответствующих алгоритмов посвящено достаточно большое число работ [9,17,23-25,34,45-47,53,57,58,60-63,66,69,70,72,74,75,78,91-93]. Центральное место среди них занимают методы моделирования гауссовых процессов и полей. В основе соответствующих алгоритмов лежат различного типа линейные преобразования независимых гауссовых величин [9,23,34,41,50,65,72,78] и др. В качестве одного из универсальных алгоритмов моделирования гауссовых векторов с заданной ковариационной матрицей можно привести алгоритм, основанный на методе условных математических ожиданий, который также сводится к линейному преобразованию независимых гауссовских величин, но в случае теплицевой ковариационной матрицы (случай стационарного процесса) соответствующие алгоритмы существенно упрощаются [41,50]. Среди наиболее распространенных моделей гауссовых стационарных процессов дискретного аргумента (или временных рядов) являются модели авторегрессии, а также смешанные модели авторегрессии и скользящего среднего [2,8,32,66] . Для построения начальных значений для них [39] также используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий. В работе [50] эти методы обобщаются на случай векторных последовательностей и полей дискретного аргумента. В работе [78] приведены алгоритмы моделирования однородных скалярных пространственных полей дискретного аргумента, основанные на модели скользящего среднего, причем соответствующие коэффициенты модели определяются через спектральное преобразование заданной корреляционной функции. В работе [15] рассматриваются класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями гауссовского типа, порождаемый решением задачи Коши для уравнения теплопроводности с белым шумом, взятым в качестве начального поля. Приближенное моделирование осуществляется на основе численного решения этой задачи. Рассматривается также класс однородных и изотропных гауссовских полей с корреляционными функциями Макдональда.
Важным классом приближенных численных моделей гауссовских процессов и полей непрерывного аргумента являются методы, основанные на спектральном представлении случайных процессов и полей. Эти методы широко используются при решении прикладных задач, в которых требуется знать значение процесса или поля в произвольной точке области. Например, эти методы используются в задачах, связанных с исследованием рассеяния солнечного излучения на взволнованной поверхности моря или в облачных средах [47,62-63,93].
Наряду с методом обратных функций распределения и методом нормализации для моделирования негауссовских процессов и полей при решении задач статистической метеорологии используются различные модификации алгоритма моделирования негауссовских процессов и полей на точечных потоках [46]. Например, в работах [46,79] предложены и исследованы алгоритмы моделирования однородных и изотропных многомерных полей на точечных потоках Пальма с произвольной корреляционной функцией выпуклого типа, а в работе [31] рассмотрены алгоритмы кусочно-постоянной стохастической интерполяции процессов и полей дискретного аргумента, основанные на использовании регулярных точечных потоков. Используемые преобразования сохраняют основные свойства исходных процессов и полей дискретного аргумента: значения процесса и корреляций в узлах сетки, одномерные распределения в произвольной точке области, для процессов - стационарность, для полей - однородность (либо однородность и изотропность). Алгоритмы предназначены для построения вероятностных моделей временных рядов и полей метеоэлементов с использованием реальных данных на сетках большого размера, а также в тех случаях, когда необходимо моделировать значение поля в произвольной точке рассматриваемой области.
Как отмечалось, при решении прикладных задач статистической метеорологии и океанологии часто приходится иметь дело с различного типа нестационарными процессами. Исследованию и моделированию нестационарных процессов посвящены работы [21,66]. В качестве примера можно привести алгоритм моделирования периодически нестационарного скалярного случайного ряда, средние и корреляции которого имеют период длины р
В первой главе рассматриваются алгоритмы, используемые при построении совместных временных рядов сумм осадков, привязанных к различным пространственным точкам. Эти совместные ряды можно интерпретировать, как пространственно-временное поле на нерегулярной сетке (или сети гидрометеорологических станций). Рассматривается важный класс негауссовских процессов, описывающих чередование сухих и дождливых периодов. В случае, когда дождливому периоду ставится в соответствие 1, сухому — 0 мы получаем числовой индикаторный (или «бинарный») ряд, для которого рассматривается специальный набор алгоритмов, учитывающих специфику реальных индикаторных рядов, связанных с рядами сумм осадков. Рассматриваются алгоритмы, использующие индикаторные ряды для построения численных стохастических моделей сумм осадков. В первой главе рассматриваются также специальные алгоритмы моделирования трехмерных неоднородных гаусс овских полей, у которых горизонтальные корреляции зависят от вертикальной координаты. Алгоритмы основаны на линейном преобразовании гауссовских полей со специально подобранной корреляционной структурой такой, чтобы поле, полученное после этого линейного преобразования, обладало требуемыми свойствами. Исследуется область применимости этого метода для точных и приближенных решений.
В данном случае практическое использование рассмотренного алгоритма сводится к аппроксимации фактических корреляционных функций на уровнях функциями этого вида. Вторая глава посвящена разработке вероятностных моделей сумм осадков по данным реальных наблюдений. В качестве реальной информации об осадках используются данные для двух регионов России: равнинная часть Новосибирской области (47 метеорологических станций) и район Среднего Урала (2 метеорологических станции). Приводятся результаты статистической обработки реальных рядов, рассчитаны характеристики рядов, используемые в качестве входных параметров модели и характеристики, используемые для верификации моделей. В качестве последних рассматриваются важные для приложений распределения длительностей «сухих» и «дождливых» периодов. Задача решается в стационарном приближении, поэтому модели строятся на интервалах длиной в календарный месяц (на интервале такой длины рассматриваемые процессы близки к стационарным). Соответствующие стохастические модели строятся на основе алгоритмов, рассмотренных в Главе 1. Для моделирования необходимых для этого гауссовских совместных рядов используются алгоритмы, основанные на методе условных математических ожиданий, с последующими специальными функциональными их преобразованиями для учета негауссовости. Исследуются вопросы точности статистических оценок в зависимости от объема выборки, а также вопросы точности моделирования. В третьей главе рассматривается вероятностная модель и соответствующие численные алгоритмы моделирования комплекса трехмерных метеорологических полей, включающих поле температуры, поле геопотенциала и поля горизонтальных составляющих векторной скорости ветра, в которой взаимные связи между соответствующими полями определяются уравнением статики и геострофическими соотношениями. Получены соотношения, связывающие корреляционные функции вертикальных профилей поля температуры и поля геопотенциала, а также соотношения для соответствующих взаимных корреляционных функций. Для построения комплекса полей температуры и геопотенциала на основе уравнения статики используется сплайн-интерполяция соответствующих вертикальных профилей. При реализации этого алгоритма производится соответствующее восполнение корреляционной матрицы вертикальных профилей поля геопотенциала. В третьей главе рассматривается также алгоритм моделирования двумерных однородных и изотропных векторных полей горизонтальных составляющих скорости ветра на основе рассмотренного в первой главе метода условных математических ожиданий для моделирования многомерных гауссовских процессов. Проведены исследования точности алгоритма.
В заключение отметим, что в качестве исходных данных для построения моделей использованы многолетние ряды суточных сумм жидких осадков для отдельных станций Уральского региона и Новосибирской области. С использованием специальных статистических характеристик рассматриваемых рядов, имеющих важное практическое значение для исследования климатических свойств осадков, проведены исследования до верификации построенных моделей.
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на Семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на конференциях молодых ученых ИВМИМГ СО РАН (2000-2004 гг.), на четвертом международном семинаре по математическому моделированию в г. Санкт-Петербурге (2001 г.), на международной конференции по вычислительной математике в г. Новосибирске (ICCM-2002) и на Международной Конференции по Математическим Методам в Геофизике в г. Новосибирске (ММГ-2003). Основные результаты опубликованы в 7 работах, список которых помещен в конце диссертации [80-86].
Автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову, своему научному руководителю Огородникову Василию Александровичу за постоянное внимание и руководство работой, кандидату географических наук Немировской Ларисе Гдальевне за участие в постановке задач, связанных с осадками, а также кандидатам физико-математических наук Ухинову Сергею Анатольевичу и Бурмистрову Александру Васильевичу.
Численное моделирование специальных негауссовских процессов и полей (на основе индикаторных рядов, на основе метода обратных функций)
Одной из важных и актуальных проблем при численном моделировании процессов в атмосфере является проблема, связанная с построением адекватных математических моделей на основе вероятностного подхода с использованием данных многолетних наблюдений. Накапливающийся с каждым годом объем информации об атмосферных процессах требует соответствующей физической и математической ее интерпретации и обобщения в виде математических моделей, учитывающих разнообразные вероятностные свойства и связи. Стохастические модели атмосферных процессов, построенные на основе реальных многолетних наблюдений, позволяют решать широкий класс фундаментальных и прикладных задач гидрометеорологии и климатологии в вероятностной интерпретации.
Под численной стохастической моделью реального временного ряда обычно понимают искусственную случайную последовательность (или псевдослучайную последовательность), которая по некоторому набору входных вероятностных характеристик совпадает, либо близка к наблюдаемой. Обычно в качестве входных характеристик используют одномерные распределения, корреляционные функции или спектральные плотности, для дискретных процессов матрицы переходных вероятностей и т. д. При построении стохастических моделей на основе реальных данных, как правило, приходится иметь дело с выборками ограниченного объема, поэтому соответствующие оценки входных характеристик содержат определенные статистические погрешности, однако соответствующие численные алгоритмы моделирования реализаций модельных последовательностей должны быть построены таким образом, чтобьі эти характеристики воспроизводились в модели по возможности точно. Реальные временные ряды, как правило, не стационарны, причем зависимость характеристик ряда от времени, может проявляться в различных временных интервалах по разному, например, в виде суточного хода параметров распределений, наличии глобального тренда и т.д., поэтому необходим учет в моделях и этих особенностей реальных рядов, а для этого требуется либо значительно больший объем информации, либо введения дополнительных гипотез о характере нестационарности.
Аналогичным образом определяется численная стохастическая модель реального многомерного гидрометеорологического процесса, а также поля на регулярной или нерегулярной сетке. В этом случае входными характеристиками для моделей могут служить матричные корреляционные функции, для негауссовских моделей наборы одномерных, а в некоторых случаях двумерных распределений и т.д.
На практике невозможно в полном объёме учесть все особенности реального ряда, поэтому численные стохастические модели строятся в определенной степени приближения. Чаще всего специфика ряда передается через одномерные распределения и корреляционные связи, поскольку для учета совместных распределений второго и более высокого порядка имеющейся информации оказывается недостаточно. Например, при решении задач по исследованию экстремальных погодных явлений, таких как длительное понижение температуры, длительные выпадение осадков и т.д. необходимо, чтобы в модели достаточно точно воспроизводились характеристики, определяемые совместным распределением достаточно большого числа значений ряда. Тем не менее, учет одномерных распределений и корреляций позволяет получать достаточно приемлемые результаты.
Проверка пригодности модели для решения конкретных прикладных задач осуществляется на этапе верификации. На этом этапе по модельным выборкам и по реальному ряду оценивается некоторый набор характеристик, связанных со спецификой решаемой задачи, но не являющихся входными для модели. Степень близости соответствующих характеристик служит критерием качества модели, При этом для проверки качества модели выбирают такие характеристики, которые достаточно надежно оцениваются по имеющимся данным наблюдений. Например, в качестве таких характеристик могут быть использованы вероятности длительных выходов температуры воздуха за сравнительно невысокие уровни. Оценка вероятностей выхода за высокие уровни уже осуществляется по модельным данным.
Исследованию вопросов, связанных со статистической интерпретацией гидрометеорологических данных, а также использованию методов статистического моделирования для решения задач статистической гидрометеорологии и климатологии посвящено большое число работ. Например, в работах [13,27 30,33,36-38,43-44,52,54-56,59,87-90] рассматривается широкий круг задач, которые эффективно решаются с использованием численных стохастических моделей реальных атмосферных процессов. В этот круг входят задачи по численному исследованию точности статистических оценок различных характеристик гидрометеорологических процессов [30,56], задачи о статистических закономерностях экстремальных атмосферных явлений [27,29,43-44,54,87-90], задачи о воздействии случайных метеорологических факторов на различные динамические системы или объекты [1,12], агрофизические задачи, з частности задачи, связанные с исследованием влияния изменения климата на продуктивность сельскохозяйственных культур [26] и т.д. Численные модели случайных полей широко используются в задачах оптики атмосферы, например в задачах исследования рассеяния солнечного излучения в облачных средах [50].
Моделирование трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня
Способы моделирования пространственных и пространственно-временных дискретных полей осадков основаны на алгоритмах и подходах, рассмотренных пунктах 1Л -1.2 Под негауссовским дискретным полем мы будем понимать последовательность случайных S -мерных негауссовских векторов в совокупности образующих вектор с некоторой блочной ковариационной матрицей R{m)- Распределения компонентов вектора t и матрица Я{т) считаются заданными. При задании этих параметров учитывается условие их взаимной совместимости. Например, при построении вероятностных моделей полей суточных сумм осадков используется приближенный прием, основанный на методе «обратных функций распределения». Безусловное эмпирическое интегральное распределение Р{ х) — F{x) может быть вычислено двумя способами: в первом способе учитывается только распределение при условии, что осадки имеют место (подробно об этом описано в работе [22]), во втором случае интегральное распределение вычисляется по массиву данных, в котором отсутствие осадков отождествляется с нулевым их количеством. Способ построения таких распределений будет более подробно описан во второй главе.
При построении стохастических полей суточных сумм осадков по первому способу отдельно моделируется поле индикаторов осадков Zt =(X: --- Xs) с заданными вероятностями P{Zi — 1) — РІ и блочной ковариационной матрицей матрицы SxS, А = 0, m --1. Далее поле сумм осадков стоится следующим способом: если значение индикаторного поля принимает значение 1, то она заменяется величиной, соответствующей количеству осадков, которая моделируется в соответствии с функцией распределения F(x), вычисленное по первому способу. При использовании функции распределения F(x), вычисленной по второму способу, индикаторное поле не используется, и задача решается только в рамках метода «обратных функций распределения». При моделировании индикаторного поля на основе порогового преобразовании типа (1.1.1) алгоритмы пересчета корреляций для гауссовского поля отличаются от рассмотренных ранее лишь размерностью решаемой задачи. При построении поля часто используют предположение, что по времени процесс стационарный (для многих случаев такое приближение вполне приемлемо, хотя, как было отмечено, он заметно отличается от стационарного), поэтому матрицу В{т) {Pt4+h) будем рассматривать как блочно-теплицеву. Соответствующие пространственные поля, в которых не учитывается временная зависимость, будем обозначать как При численном моделировании гауссовских полей с дискретным аргументом на сетках, используемых для построения численных гидротермодинамических моделей одна из основных трудностей состоит в задании ковариационной матрицы (или ковариационной функции) поля. С учетом того, что размерность ковариационной матрицы для таких полей чрезвычайно велика, полное ее задание по имеющейся реальной информации практически невозможно, поэтому при решении практических задач статистической метеорологии [66] ограничиваются заданием упрощенной ковариационной матрицы. Например, для полей геопотенциала приемлемым является задание корреляционной матрицы в виде прямого произведения корреляционных матриц по вертикали и горизонтали (ковариационная матрица получается в результате умножения значений поля на соответствующие климатические стандартные отклонения). По горизонтали для этих полей с достаточной степенью точности выполняется свойство однородности и изотропности и при этом структура поля слабо зависит от высоты, поэтому алгоритм моделирования поля сводится к одному из наиболее известных з литературе [71] алгоритмов моделирования полей «по строкам и столбцам». В отличие от геопотенциала, горизонтальные корреляции поля температуры существенно зависят от высоты (или в изобарической системе координат от уровня). В данном пункте рассматривается модификация этого алгоритма, предназначенная для моделирования полей, у которых горизонтальные корреляции меняются от уровня к уровню. Для простоты мы будем рассматривать вертикальное сечение поля { } при фиксированном j и в дальнейшем будем пользоваться обозначением { Р}, р = 1,...,/72, / = \,...,п. Таким образом, пусть мы имеем поле.
Численные модели пространственных и пространственно-временных полей суточных сумм жидких осадков
Для исследования специфического поведения фактических кривых при достаточно больших значениях длительностей (к 4) для зимнего периода проведены следующие численные эксперименты. С помощью численной модели, основанной на пороговом преобразовании гауссовского ряда, построены модельные ряды осадков, имитирующие реальные данные за J лет (здесь J = 29). Обозначим соответствующую выборку гДе как и выше j =1,...,,/ - условный номер года наблюдений, а N число таких выборок. Далее по каждой из выборок { [j]} оценивались распределения длительности Р (Z-, = к) серий суток с осадками, в результате построена выборка из N соответствующих распределений (в экспериментах N полагалось равным 10000). По этой выборке вычислены интервалы, которые с доверительной вероятностью а — 0.9 накрывают оцениваемые вероятности P{Ly—k). На Рис. 2.4 приведены кривые полученных доверительных интервалов в зависимости от длительности серий и соответствующая кривая фактического распределения. Для каждого к доверительные интервалы [ак,Ьк] вычислялись следующим образом: строился вариационный ряд, соответствующий выборке оценок Р (Ц — к) из 1000 элементов, затем с концов этого ряда обрезалось по 5% вариационного ряда и в качестве ак и Ьк выбирались начальные и конечные элементы вариационного ряда. Полученные доверительные интервалы свидетельствуют в пользу гипотезы о том, что колебания в фактической кривой распределения длительностей серий с осадками обусловлены ограниченностью объема выборки. Точность оценки распределения длительностей серий суток с осадками для объема выборки J = 29, (январь). Кривая 1- среднее распределение длительности серий Р (Д = k), вычисленное по 10000 выборкам объема J. Кривые 2,3 - границы интервалов оценок Р (ij = к) для доверительной вероятности а = 0.9, 4 фактическое распределение длительности серий, вычисленное по выборке объема J лет. В заключение пункта приведем результаты численных экспериментов по исследовано влияния погрешностей во входных матрицах переходных вероятностей на точность марковской модели. Вследствие того, что в качестве входных характеристик для марковской модели используются оценки начальных вероятностей и соответствующих матриц перехода до третьего порядка включительно, которые оценены по достаточно небольшому объему выборки, модельный ряд на начальном участке оказывается нестационарным и выходит на стационарный уровень лишь асимптотически. Здесь следует также отметить, что при оценке параметров модели использовалось предположение о стационарности реального ряда, который, вообще говоря, стационарным не является, и это также вносит свой вклад в рассогласованность матриц вероятностей перехода и начальных вероятностей. модельного ряда, трехсвязная марковская модель) . Численный эксперимент состоял в следующем: по выборкам месячной длины за период 29 лет оценивались начальные вероятности и упомянутые выше матрицы вероятностей переходов. С их помощью строилась марковская цепь, причем первые три элемента ряда строились с использованием начальных вероятностей и матриц вероятностей перехода на один и два шага. Далее по модельным выборкам месячной длины за условный период в N лет оценивались вероятности P{%t = 1) как функции от времени (в модельных расчетах N выбиралось равным 10000, что обеспечивает приемлемую точность оценки величины P(%t — 1) для каждого момента времени). На верхней части Рис. 2.5 в качестве входных параметров для модели используются оценки, полученные по реальным данным за 29 лет (выборка 1). Здесь пунктирной линией обозначена величина Р (%{ — 1) = р{, используемая в качестве начальной вероятности, а сплошная линия - оценка P(%t — 1) как функция от времени по модельной выборке объемом в 10000 реализаций ряда (выборка 2). Видно, что процесс по этому параметру в первые несколько дней существенно зависит от времени и постепенно выходит на стационарный уровень в пределах статистической погрешности. При этом в модели реализуется вероятность P(%t — 1), существенно отличная от рх. На нижней части Рис. 2.5 в качестве входных параметров для модели используются оценки, полученные по выборке 2, причем в выборку не вошли значения ряда, для которых P{%t = 1) и матрицы переходных вероятностей существенно зависят от времени. Здесь пунктирной линией также обозначена величина Р (%( = 1) = pl, но вычисленная указанным способом по выборке 2. С использованием этих входных параметров на основе той же марковской трехсвязнои модели строится новая выборка (выборка 3) объемом в 10000 реализаций и по ней снова оценивается P(%t = 1) как функция от времени. График этой функции представлен сплошной линией на нижней части рис. 2.5. Видно, что в пределах статистической погрешности процесс близок к стационарному с первого шага. Из проведенных экспериментов видно, что использование оценок параметров марковской модели по выборке ограниченного объема может привести к существенной рассогласованности параметров модели, и соответственно, к существенной потере точности модели на уровне входных параметров.
Численная вероятностная модель пространственных полей вектора скорости ветра
Практический интерес представляет точность, с которой в модели воспроизводится корреляционная матрица R(m), В работе показано [34], что корреляционная матрица поля связана с Bt \k] соотношением R{m) B n)Q{m){BT{m)) \ где В{гп)- нижняя блочно треугольная матрица, составленная из матриц —В [] ЛА) и единичных матриц на главной блочной диагонали, a Q/m\- блочная диагональная матрица, на блочной диагонали которой стоят матрицы Ql. Если В1 \к\ и Qt вычислены с погрешностями, то в результате вычислений в модели мы получаем матрицу Кт\, отличающуюся от заданной матрицы R,m,. Результаты соответствующих вычислений, проведенных с двойной точностью, показали, что для корреляционной функции (3.3.2) изотропного поля геопотенциала точность вычислений достаточно высокая. Дополнительная погрешность при моделировании векторных полей скорости ветра в данном случае определяется тем, что в качестве аппроксимации соотношений (3.1.1) используются конечные разности.
Для корреляционной функции (3.3.3) соответствующие погрешности вычисления В\к\ и R.m-, приведены в Таблице 3.6. В столбцах Ви и В приведены соответствующие расчетные значения элементов матрицы Вк ]к\ для проверки тождества (3.2.20) при р — 22, к = 23 для двух тестовых значений параметра J3 близких к 2 в формуле (3.3.3). В столбцах г(к,0) и г (&,0) Пі сравниваются элементы заданной и расчетной ковариационной матрицы. Отметим, что но данным, приведенным в этой таблице видно, что алгоритм начинает проявлять признаки вычислительной неустойчивости, хотя на рассматриваемом интервале ( = 1,...,23) точность воспроизведения расчетных корреляций удовлетворительна. При р — 2 алгоритм неустойчив, поэтому для этого случая был использован простейший способ регуляризации, рассмотренный в [50] и состоящий в том, что вместо (3.3.2) используется корреляционная функция RH (0) .= 1, RH (р) = (1 - є) ехр(-а//), р 0, где є - достаточно малое число. Результаты расчетов с такой корреляционной функцией (по аналогии с данными из Таблицы 3.6) приведены в Таблице 3.7. 1 Для иллюстрации рассмотренных алгоритмов на Рис. 3.2 приведены изолинии [10,13] составляющих Ruu(i У Л) и j?vv(i — 70,у — у0) корреляционного тензора (3.2.3) векторного поля ветра (3.2.1) теоретического и полученного в результате расчетов с помощью алгоритма (3.2.6), (3.2.15) для матрицы R , построенной с помощью формул (3.2.3) и (3.3.1). Здесь iQ,jQ - координаты центральной точки сеточной области, a i,j- координаты остальных точек области. Для оценки этих функций было использовано 2000 113 независимых реализаций поля U(i,j) с использованием дополнительного осреднения по полю. В заключение отметим, что рассмотренные в данной работе алгоритмы стохастического моделирования векторных полей скорости ветра предназначены для использования при построении динамико-вероятностных моделей атмосферных процессов [51]. Заключение. Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем: 1. Разработан метод моделирования трехмерных гауссовских полей с учетом зависимости горизонтальных корреляций от уровня. Рассматривается область применения этого метода для точных и приближенных решений. Рассматриваются специальные классы корреляционных матриц. 2. Предложено несколько специальных методов для моделирования индикаторных процессов и полей. Изучаются свойства и приложения этих алгоритмов. 3. На временном интервале в один месяц построена численная вероятностная модель поля суточных сумм осадков. При построении используются индикаторные поля. 114 4. Построена вероятностная модель комплекса метеорологических полей: включающих поле геопотенциала, поле температуры и поле вектора скорости ветра. Для моделирования предложено использовать физические связи в виде уравнения статики и геострофических соотношений. Модель предназначена для использования ее в задачах вариационного согласования вероятностных и динамических моделей атмосферных процессов. 5. Для построения пространственных полей скорости ветра предложен специальный векторный подход, основанный на методе условных математических ожиданий, использующий предположения об однородности и изотропности поля скорости ветра. Специфика соответствующей блочной корреляционной матрицы позволяет уменьшить объем вычислений (приблизительно в два раза) по сравнению со случаем, когда используется неизотропное поле скорости ветра. 6. Осуществлен ряд численных расчетов, подтверждающих теоретические результаты. Все алгоритмы реализованы на IBM PC на языке FORTRAN в виде комплекса программ.
