Содержание к диссертации
Введение
1. Современные представления о математическом моделировании автоколебательных и автоволновых систем 10
1.1. Современные представления о моделировании автоколебательных систем 10
1.2. Методы математического моделирования автоволновых систем 18
2. Моделирование автоколебательного процесса в приэлектродном слое коллоидной среды (магнитная жидкость) 31
2.1. Основные уравнения движения проводящей частицы 31
2.2. Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях 35
2.3. Математическая модель движения заряженной проводящей частицы в приэлектродном слое 41
2.4. Колебания проводящей частицы в электрическом и магнитном полях 46
3. Методы построения математической модели автоволнового процесса 53
3.1. Экспериментальное наблюдение автоколебаний и автоволи и коллоидной среде 53
3.1.1. Описание экспериментальной установки для наблюдения и исследования автоволн 53
3.1.2. Объект исследования и методика эксперимента 56
3.2. Математическая модель автоволнового процесса 61
3,3. Алгоритмы численных методов решения уравнения автоволнового процесса 64
4. Моделирование автоволновых процессов в приэлектродном слое электрофоретической ячейки с магнитным коллоидом 83
4.1. Моделирование автоволнового процесса в приповерхностном слое магнитной жидкости в электрическом поле в системе COMSOL Multiphysics 83
4.1.1. Представление уравнения автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics 83
4.1.2. Решение задачи моделирования автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics 85
4.2. Динамика и взаимодействие автоволн 95
Заключение 100
Литература
- Методы математического моделирования автоволновых систем
- Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях
- Описание экспериментальной установки для наблюдения и исследования автоволн
- Представление уравнения автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Современный этап развития науки характеризуется исследованием различного рода нелинейных явлений. Однако к настоящему времени известно не много самоподдерживающихся в активной нелинейной среде волновых процессов, которые можно было бы наблюдать экспериментально за небольшой (порядка 1 минуты) период времени и параметры которого легко можно было бы изменять в лабораторных условиях. Математическая модель такого процесса состоит из ограниченного числа уравнений, т.е., с одной стороны, достаточно проста, а с другой, дает возможность описать и понять большой круг сложных явлений. Приэлектродный слой магнитного коллоида (магнитной жидкости), помещенный в электрофоретическую ячейку, при воздействии электрического поля представляет собой такую активную нелинейную среду, в которой наблюдался автоволновой процесс (АВ-процесс) [1].
Целью настоящей работы является математическое моделирование автоволн в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью, обоснование возможного механизма автоволнового процесса и численное решение уравнения автоволн.
В ходе достижения этой цели были поставлены и решены следующие задачи:
дано обоснование возможного механизма автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке с магнитной жидкостью;
построены математические модели автоколебательного и автоволнового процессов, протекающих в электрофоретической ячейке;
проведен сравнительный анализ методов решения уравнения автоволнового процесса и обоснована оптимальность выбранного метода;
выполнено численное решение уравнения автоволнового процесса;
разработана программа для визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.
Методы исследования
Использованы численные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений, дискретизации областей и аппроксимации зависимостей, включенные в математические пакеты MathCad 13, MatLab 6.5 и Curve Fitting Toolbox 1.1.1, COMSOL Multiphysics.
Научная новизна результатов работы
Впервые предложен и обоснован механизм возникновения автоколебательного процесса движения наночастиц при зарядке и разрядке вблизи электрода и в объемном заряде, протекающего в электрофоретической ячейке.
Обоснован механизм автоволнового процесса, протекающего в электрофоретической ячейке, как результат синхронизации автоколебаний заряженных частиц в приэлектродном слое.
Обоснована оптимальность применения метода конечных элементов для решения уравнения автоволнового процесса и найдено его численное решение.
Разработана программа визуализации численного решения уравнения автоволнового процесса.
Достоверность результатов обеспечена корректностью
применяемого математического аппарата, использованием обоснованных методов численных расчетов, а также качественным совпадением результатов численного решения с данными лабораторных экспериментов.
Практическая значимость
Научно-практическая значимость работы заключается в возможности применения ее результатов при разработке более общих моделей автоволновых процессов, протекающих в физических и химических системах, экономике, природе, обществе. Разработанная программа позволяет наглядно представить численное решение нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса, что может быть использовано в том числе при изучении дисциплин «Синхронизация и хаотизация в нелинейных активных средах», «Теория нелинейных колебаний».
Положения, выносимые на защиту
Механизм автоволнового процесса как результат синхронизации автоколебательного процесса заряженной частицы дисперсной среды магнитной жидкости в приэлектродном слое электрофоретической ячейки в электрическом и магнитном ПОЛЯХ.
Алгоритм расчета плотности поверхностного заряда, описываемого нелинейным дифференциальным уравнением автоволнового процесса.
Результаты численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса и обоснование оптимальности выбранного метода решения.
Визуализация численного решения нелинейного дифференциального уравнения автоволнового процесса (программный код).
Результаты вычислительного эксперимента, позволившие выявить физические параметры, влияющие на нелинейность модели.
Публикации и апробация работы. По материалам диссертации опубликовано 9 работ, из них 8 статей.
Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях: 11-ой и 12-ой Международных конференциях по магнитным жидкостям, г. Плес (сентябрь 2004 г., август-сентябрь 2006 г.); VII Международной конференции «Циклы» (2005 г.), 9 региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северокавказскому региону», г. Ставрополь, СевКавГТУ; второй Международной научно-технической конференции «Инфокоммуникационные технологии в науке и технике», г. Ставрополь, СевКавГТУ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 120 наименований, двух приложений. Основная часть работы изложена на 115 страницах.
Личный вклад соискателя
Результаты, представленные в диссертации, получены автором лично; выбор общего научного направления исследований и математическая постановка конкретных задач осуществлялись совместно с научным руководителем. Автору принадлежит самостоятельное численное решение поставленной задачи, обработка результатов и их интерпретация.
Методы математического моделирования автоволновых систем
Основные понятия и методы науки об автоволновых процессах находятся в стадии становления, а области приложения расширяются. Основные этапы в истории открытия автоволн следующие [47]: наблюдение волн распространения пламени и воли фазовых переходов; - открытие волн в химических реакторах с автоколебательными окислительно-восстановительными процессами; - исследование распространения возбуждений по нервным волокнам.
Автоволнами принято называть самоподдерживающиеся волны в активных средах. Первоначально термин автоволны предназначался для любых видов автоколебательных процессов в системах с распределенными параметрами, но затем стал применяться, главным образом, к таким процессам, где с волной переносятся относительно малые порции энергии, необходимые для синхронизации, последовательного запуска и переключения элементов активной среды.
Для неравновесных диссипативных распределенных систем можно указать базисный набор структур, с помощью которых можно либо проводить описание сложных движений, либо высказывать предположения об условиях возникновения того или иного режима. Известны следующие типы структур, наблюдаемых в однородной активной среде [47]: 1. Распространение уединенного фронта возбуждения (движение границы фазового перехода или фронта переключения) и бегущий фронт (БФ). 2. Распределение импульса стабильной формы (БИ). 3. Автономные локализованные источники волн: режим «эхо» и стабильный ведущий центр (ВЦ). 4. Стоячие волны. 5. Ревербератор. 6. Синхронные автоколебания в пространстве (СА). 7. Квазистохастические волны. 8. Стационарные во времени неоднородные распределения в пространстве - диссипативные структуры (ДС).
В основе данной классификации лежат наглядные физические представления, а ее математическим обоснованием является существование таких автомодельных перемещений, переход к которым может существенно понизить размерность пространства исходной модели.
Автоволны, возникающие в активных средах характеризуются не только наличием связи между отдельными элементами среды, по и сложным поведением самих отдельных элементов этой среды. В работах [6, 59] определены три типа таких элементов: бистабильный, возбудимый и автоколебательный, соответствующие видам составленных из них активных сред.
Возбудимый элемент имеет только одно устойчивое стационарное состояние. Внешнее воздействие, превышающее пороговый уровень, способно вывести элемент из устойчивого состояния и заставить его совершить некоторую эволюцию, прежде чем он вновь вернется в это состояние. Во время переходов, активный элемент способен повлиять на связанные с ним элементы и в свою очередь вывести их из стационарно го состояния. В результате, в такой среде распространяется волна возбуждения. Это наиболее распространенный вид автоволн в биологических средах, таких как нервная ткань [4], или сердечная мышца [12].
Автоколебательный элемент не имеет стационарных состояний и постоянно совершает устойчивые автоколебания определенной формы, амплитуды и частоты. Внешнее воздействие способно возмутить эти колебания. По прошествии некоторого времени релаксации, все их характеристики кроме фазы вернутся к своему устойчивому значению, по фаза может измениться. В итоге, в среде из таких элементов распространяются фазовые волны. Это, например, волны в электрогирлянде и некоторых химических средах.
Математическая модель движения проводящей частицы в электрическом и магнитном полях
Для слабопроводящей жидкости в квазистационарном поле вектора М\\Н, имеем [GradВ]-М =\М \V\II \. В дальнейшем обозначим —» — \М\ = М, \Н\ = Н,я выражение для силы, действующей на проводящую частицу в слабопроводящей жидкости, в электрическом и магнитном полях примет вид: F = z-E+MVH + — УМ2 (2.9) 2л Выше было сказано, что вязкость жидкости будем характеризовать скалярной величиной. Тогда уравнение движения примет вид: dV 1 р = Vp + z-E+MVH+ — VM2 + f]AV, (2.10) dt 2 ЇЇ слагаемым pg мы пренеорегаем.
Из работы [58] известно, что проводящую коллоидную частицу, помещенную во внешнее электрическое поле, можно рассматривать, как биполярный электрод с катодной и анодной полуповерхностями. В рассматриваемой модели частица имеет сферическую поверхность радиусам (рис.2.1).
Построим математическую модель движения такой частицы, помещенной в плоскопараллельную ячейку, межэлектродное пространство которой заполнено слабопроводящим диэлектриком.
Расстояние между электродами - х, приэлектродный слой - /, где / « х. Допустим, незаряженная частица находится вблизи электрода, тогда при включении электрического поля в возникшем объемном заряде она заряжается знаком, противоположным знаку ближайшего электрода.
На частицу в электрическом и магнитном полях действуют следующие силы: кул о невская Fq, притягивающая частицу к электроду; сила F/„ обусловленная полем гидростатического давления, имеющегося в электризованной жидкости; сила тяжести FiWiM и архимедова сила F(ipx; Fp -сила, действующая на диполь в неоднородном электрическом поле; F -сила, действующая со стороны магнитного поля Равнодействующая этих сил определяется уравнением: Fq+Fh + FA+FT+Fp+FM=67r-a-ii-u. (2,11)
В работе [70] показано, что для частицы порядка 10"8 м сила F}, пренебрежимо мала по сравнению с кулоновскои, что определяет направление дрейфа частицы под действием электрического поля, аналогично можно пренебречь и силой Fp. Силой тяжести и архимедовой силой также можно пренебречь, тж. Тарх 2,875-10 20 Н и Fnmic 2,140-10"19 И.
Таким образом, уравнение (2.11) примет вид: " -» Fq+ FM =6тг-а-!]-и. (2-12) В работе [58] приведена формула для скорости движения частицы в электрическом поле; 2-а т \jc+ -у]с if= -Q-E —г=—j=. (2.13) J1 yjc+ + Vc
Для нашего случая, с учетом воздействия магнитного поля выражение для скорости частицы примет вид: 2-а 2 vc -vc и = є-є -Е —j= = + і— І— шс Д)-V J7 + J7 6-x-a-rj н (2.14) где є- диэлектрическая проницаемость, г}-динамическая вязкость, г - концентрация катионов и анионов, тх - магнитный момент, Щ) функция Ланжевена. При противоположно направленных Я и формула (2.14) принимает вид: Г7 rz s-Щ) 2-а j Vf с +Vc Jn++xL Ь-л-a-j] И (2.15)
И может возникнуть ситуация, когда значение скорости с = 0, т.е. воздействие электрического и магнитного полей на частицу уравновесятся, отсюда следует, что воздействием постоянного магнитного поля можно компенсировать воздействие электрического поля, что может иметь практическую значимость для углеводородных сред.
Описание экспериментальной установки для наблюдения и исследования автоволн
В работе [71] для наблюдения автоволн использовалась установка для подавалось постоянное напряжение или постоянное и импульсное напряжение с различной частотой повторения и длительностью импульсов (генератор Г5-63 и ВУП-2).
На оптической скамье ОСК-2 устанавливался источник света 1 (лампа с монохроматором), свет от которого через поляроид 2 и объектив 3 попадал на ячейку 4. Ячейка устанавливалась на подставку с прижимными электродами.
Луч света от источника излучения сплошного спектра, сфокусированный линзой, отражался от поверхности ячейки, после чего отражаемый свет, пройдя через объектив 3, фиксировался фотоэлектронным умножителем ФЭУ-27-7.электрооптических измерений (рис.3.1). На электроды ячейки Сама элсктрофоретичсская ячейка (рис. 3.2) состоит из двух плоскопараллельных стекол 1, площадью 3x5 см". На поверхность стекол нанесен прозрачный проводящий слой диоксида олова- индия 2. Толщина слоя 2 h = 0,1 - 0.9 мкм. Расстояние между электродами задавали толщиной непроводящих прокладок 3, которую измеряли микрометром с погрешностью 0,005 мм. Для регистрации отраженного от поверхности ячейки луча на один из электродов иммерсионным веществом, глицерином, приклеивали прямоугольную стеклянную призму 4.
В эксперименте, наблюдаемом в работе [71] по исследованию автоволновых процессов в магнитной жидкости при воздействии электрического и магнитного полей применялись образцы магнитной жидкости на керосине с ПАВ.
Автоволновой процесс, математическая модель которого строится, можно описать следующим образом.
В открытую распределенную систему (электрофоретпческая ячейка с магнитной жидкостью 3 5 0,05 см3) извне поступала энергия, обусловленная воздействием электрического поля.
Поток электрической энергии управляется локальными свойствами приграничного слоя малой толщины.
В свою очередь локальные свойства приграничного слоя зависят как от величины внешнего воздействия, так и от процессов, происходящих в ячейке.
Частицы магнетита (10 им) в керосине с олеиновой кислотой в электрическом поле мигрировали к электродам. Если хотя бы один из них прозрачный (InS/i Ог на стекле толщиной 1 мкм), то в отраженном от него свете меняются условия интерференции, и спектр отраженного света изменяется от зелёного (рис. 3.3 а) до малинового (рис. 3.3 б). Эти волны легко различимы невооружённым глазом н имеют период порядка десятых долей секунды - одно из преимуществ данной среды, потому что иные АВП протекают либо слишком быстро, либо слишком медленно.
На поверхности электрода образовывается запирающий слои - і мкм с проводимостью на несколько порядков меньшей, чем проводимость магнитной жидкости в объеме. При определенной напряженности проводимость этого слоя резко увеличивается (так называемый эффект Вина в диэлектриках), слой становится неустойчивым, он заряжается одноименным с электродом зарядом и «отскакивает» от электрода, распадаясь на микрокапли и отдельные частицы.
Далее процесс повторяется, возникают автоколебания, которые легко наблюдать. Затем автоколебния синхронизируются, становятся видными характерные автоволны (рис. 3.4), пейсмекеры (рис. 3.5), ревербераторы (рис. 3.6), дифракция на препятствии (рис. 3.7) и подавление мод (рис. 3.8) [71].
По классификации, приведённой в работе [47], наблюдаемую автоволновую среду можно отнести ко второму классу подобных сред: в ней существует локальная положительная обратная связь, которая обеспечивает наличие N - образной характеристики среды с падающим участком «отрицательного» сопротивления в любом элементарном объёме (рис. 3.9), где (ркрі - критическое значение напряжения между слоем частиц и электродом, при котором происходит «пробой» диэлектрика; (ркр2 -критическое значение напряжения между слоем частиц и электродом, при котором начинается следующий этап электроочистки.
Моделируемый нами автоволновой процесс подобен образованию стратов или доменов в электронно-дырочной плазме полупроводников, распространению «нормальных» зон в однородной сверхпроводящей проволоке и т.д.
Представление уравнения автоволнового процесса в системе COMSOL Multiphysics
COMSOL Multiphysics - это интерактивная среда для моделирования, дающая возможность решать дифференциальные уравнения в частных производных (PDE). Для того, чтобы смоделировать какой-либо физический процесс, основанный на уравнениях в частных производных необходимо описать PDE через один из прикладных режимов: 1. коэффициентная форма; 2. генеральная форма; 3. ослабленная проекционная формулировка.
Используя этот режим можно исполнять различные типы анализа, включая стационарный и нестационарный, линейный и нелинейный, в том числе параметрический.
Поставим задачу решить уравнение относительно величины максимального заряда, отнесенного к единице поверхности. Пренебрегая толщиной ячейки, моделируемое поле будет плоско-параллельным.
Рассматриваемая модель не является мультифизической, поскольку мы анализируем одно физическое явление - автоволновой процесс, поэтому неизвестной или зависимой переменной является ps Для представления уравнения автоволнового процесса в системе Multiphysics уравнение (3.2) можно классифицировать следующим образом:
1. по числу измерений пространства, в котором заданы уравнения -двумерное (2D) уравнение;
2. по максимальному порядку пространственных дифференциальных операторов - PDE второго порядка;
3. по максимальному порядку временных дифференциальных операторов - «параболическое» (с временным дифференциальным оператором первого порядка), в системе COMSOL Multiphysics оно называется нестационарным (Time dependent) PDE.
В общем виде в системе Multiphysics уравнение автоволнового процесса выражается в коэффициентной форме уравнением da div(c gradu + au-y) + /3- gradu + cm -f в области Q dt hu - г на участке границы 8Q\ и (с gradu + ait -/) + qu - g на участке границы 50.-, (4-1) где О - некоторая область в двумерном пространстве, в которой нужно рассчитать скалярное поле, граница этой области 6Q; и - искомое скалярное поле; da, a,f- заданные скалярные поля; a,fi,y- заданные векторные поля; с-заданное скалярное или тензорное (второй валентности) поле. Поля da, с, а, /?, у, a, f представляют коэффициенты PDE или параметрами материальных свойств среды. Скалярные переменные h, г, q, g- коэффициенты граничных условий.
При da Ф 0 краевая задача называется нестационарной. Для нестационарных задач пространственные координаты х, у и переменная, обозначающая время t называются независимыми переменными.
Второе уравнение в (4.1) называется граничным условием первого рода (граничным условием Дирихле). Третье уравнение (4.1) называется граничным условием второго рода (граничным условием Неймана).
Геометрические параметры решаемой задачи имеют следующие значения: размеры электрофоретической ячейки 3 5 0,05 см"1 с граничными условиями 1-го рода: p\lXit , = f(x,y,iyt r 0. Геометрическая модель электрофоретической ячейки, построенная графическими средствами системы Multiphysics представлена па рис. 4.1. 4 Параметры зон расчетной области D = —- коэффициент диффузии (не зависит от х и у). Согласно эквивалентной схемы ячейки с магнитной жидкостью (рис. 4.2) [71]:
