Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Термоконвекция вязкой жидкости в плоских и тороидальных ячейках (аналитический обзор)
1.1. Конвекция Бенара-Рэлея
Математическая постановка задачи (11). Приближение Буссине-ска (13). Критические режимы (15).
1.2. Нелинейная теория конвекции Бенара-Рэлея 17
Математическая постановка задачи (17). Уравнения Лоренца (18). Аттрактор Лоренца (19).
1.3. Конвекция Веландера-Лоренца 22
Математическая постановка задачи (22). Трехмодовая аппроксимация (23). Уравнения Лоренца как точное решение задачи конвекции (24). Критерии регулярных и хаотических режимов (25). Детерминированный хаос (29).
1.4. Проблемы экспериментальной реализации модели Лоренца 31
Ранние эксперименты по наблюдению неустойчивых режимов термоконвекции в гидродинамических тороидальных ячейках (31). Критерии физической реализации модели Лоренца (33).
Глава 2. Математическая модель термоэлектрогидродинами-ческой конвекции в плоской полупроводниковой ячейке
2.1. Термоэлектрогидродинамическая конвекция свободных носителей заряда в полупроводниках 36
Математическая постановка задачи (37). Уравнения ТЭГДК (40). Численные оценки (42).
2.2. Термоэлектрогидродинамическая конвекция в полупро водниках с учетом столкновительных процессов 43
Электродинамика реальных полупроводников (43). Математическая постановка задачи (46). Анализ результатов (56).
2.3. Нелинейная теория термоэлектрогидродинамической
конвекции в плоской полупроводниковой ячейке 60
Математическая постановка задачи (60). Уравнения Лоренца (62). Аттрактор Лоренца. Детерминированный хаос (63).
Глава 3. Математическая модель термоэлектрогидродинамической конвекции в кольцевой полупроводниковой ячейке
3.1. Полупроводниковый аналог гидродинамической модели Лоренца 67
Математическая постановка задачи (68). Уравнения Лоренца (72).
3.2. Детерминированный хаос в кольцевой полупроводниковой термоэлектрогидродинамической ячейке 73
Анализ устойчивых и неустойчивых режимов ТЭГДК в кольцевой полупроводниковой ячейке (73). Перспективы практического применения ТЭГДК в кольцевых ячейках (77).
3.3. Проблемы экспериментальной реализации полупровод никового аналога модели Лоренца 77
Трудности технологического характера (78). Трудности визуализации конвективных токов (78). Метод гидродинамической аналогии (80).
Глава 4. Экспериментальная проверка модельных представлений
4.1. Описание экспериментальной установки и методики из мерений 81
Схема экспериментальной установки (81). Методика эксперимента (85).
4.2. Результаты экспериментальных исследований 86
Временные характеристики температурного градиента в ячейке и конвективного потока (86). Анализ результатов (86).
4.3. Математическая обработка результатов эксперимента 88
Фурье-анализ (88). Херст-анализ (90). DFA (92). Вейвлет-анализ (92). Корреляционный анализ (97). Аттрактор Лоренца (99).
Заключение 103
Приложения
- Проблемы экспериментальной реализации модели Лоренца
- Термоэлектрогидродинамическая конвекция в полупро водниках с учетом столкновительных процессов
- Детерминированный хаос в кольцевой полупроводниковой термоэлектрогидродинамической ячейке
- Временные характеристики температурного градиента в ячейке и конвективного потока
Введение к работе
з
Актуальность темы. Конвективные процессы играют большую роль в природе: в атмосфере Земли и планет, в океане, в ядрах планет, в звездах и др. объектах. Велика их роль и в технике: это конвективные неустойчивости в плазме, электронных и других потоковых системах, конвективные процессы в жидких кристаллах и т.п. Конвекция возникает в любом потенциальном поле (гравитационном, электростатическом и др.) при наличии в среде градиентов концентрации частиц или температуры.
Теоретические экспериментальные исследования конвекции
ведутся, начиная с классических работ А. Бернара и Рэлея по конвекции в тонких горизонтальных слоях вязкой жидкости. Огромное влияние на последующие исследования конвективной неустойчивости жидкости оказала работа Э. Лоренца3, открывшего возможность возникновения детерминированных непериодических течений (детерминированного хаоса) в конвекции Бенара-Рэлея. Как выяснилось впоследствии, уравнения Лоренца имеют строгое решение для тороидальных конвективных ячеек и встречаются во многих прикладных задачах гидродинамики и электрогидродинамики.
Одной из важных задач электрогидродинамики является создание полупроводниковых аналогов плоских и тороидальных конвективных ячеек, в которых имели бы место конвективные токи свободных носителей заряда. Такие устройства могут использоваться для определения некоторых физических параметров полупроводниковых материалов, а главное, в качестве генераторов несущей частоты в современных радиотехнических системах связи, основанных на модуляции хаотически детерминированных
Bernard Н. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide II Revue generale des Sciences, pures et appliques. - 1900. - V. 12. - P. 1261-1309.
2Rayleigh. On convection currents in a horizontal layer of fluid, when the higher temperature is on the under side II Phil. Mag. - 1916. - V. 6, № 32. -P. 529-543.
3Lorenz E.H. Deterministic Nonperiodic Flow II Journal of the Atmospheric Sciences. - 1963. -№ 20. -P. 130-141.
сигналов4. Поэтому математическое моделирование процессов упорядочения и хаотизации в такого рода конвективных ячейках представляется актуальным.
Построение подобных математических моделей для полупроводников имеет смысл лишь в том случае, если их известные гидродинамические аналоги приводят к экспериментально подтверждаемым выводам. Как показал СМ. Дроздов5, условия, заложенные в математическую модель, приводящую к уравнениям Лоренца, практически реализовать крайне сложно. Дело в том, что при достаточно больших температурных градиентах, при которых, согласно теоретическим представлениям, в тороиде должны появляться непериодические упорядоченные движения жидкости, велика вероятность появления поперечных по отношению к плоскости тороида движений, что приводит к увеличению числа степеней свободы системы. Кроме того, нарушается ламинар-ность течения.
Поэтому поиски таких сред, таких размеров тороида и таких условий нагревания, при которых возможно экспериментально реализовать все предсказываемые моделью Лоренца режимы регулярной и хаотической конвекции, в том числе, случай детерминированного хаоса, остаются актуальными.
Целью работы является построение математических моделей, сводимых к модели Лоренца, термоэлектрогидродинамиче-ской конвекции в плоских и кольцевых полупроводниковых ячейках и экспериментальная проверка теоретически предсказываемых режимов упорядочения и хаотизации на основе их гидродинамического аналога.
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
1. Анализ моделей термоконвекции вязкой жидкости в плоских и тороидальных ячейках, находящихся в поле силы тяжести. Выработка общих принципов построения таких моделей на осно-
4Дмитриев А.С., Старков СО. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 1998. - № 11. - С. 4-32.
5 Дроздов СМ. Моделирование возникновения нестационарности и хаоса в гидродинамической системе, управляемой небольшим числом степеней свободы // Изв. РАН. МГ. - 2001. - № 1. - С. 31-45.
ве уравнений гидродинамики. Анализ линейных и нелинейных режимов конвекции, условий возникновения регулярных и хаотических течений.
Построение математической модели термоэлектрогидро-динамической конвекции свободных носителей заряда в тонких полупроводниковых слоях примесных полупроводников на основе кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла, сводимых к уравнениям гидродинамики, в которых рассеяние электронов на фононах учитывается через релаксацию импульса.
Построение математической модели термоэлектрогидро-динамической конвекции свободных носителей заряда в кольцевых полупроводниковых ячейках. Доказательство ее сведения в трехмодовой аппроксимации к системе уравнений Лоренца. Исследование зависимости параметров модели от материала и размеров кольца, напряженности приложенного электрического поля и градиента температуры.
Экспериментальная реализация модели Лоренца в гидродинамической вертикальной тороидальной ячейке и подтверждение теоретически предсказываемых в полупроводниковых ячейках режимов конвекции на основе метода гидродинамической аналогии. Применение методов Фурье-, Херст-, вейвлет-анализов, DFA и корреляционного анализа для исследования степени хао-тизации в наблюдаемых временных рядах измерений и наличия в них долговременной памяти, в том числе детерминированного хаоса.
Методы исследования. Исследования базируются на использовании методов математического моделирования (построение математической модели для конкретной физической задачи), методов решения гидродинамических, термодинамических, электродинамических задач (решение кинетического уравнения Больцмана и уравнений Максвелла сведением к уравнениям гидродинамики путем усреднения скоростей свободных носителей заряда), численных методов решения системы уравнений (анализ системы уравнений Лоренца для плоской и кольцевой термоконвективной ячейки), методов анализа дискретных временных рядов (математическая обработка экспериментальных данных с по-
мощью Фурье-, Херст-, Вейвлет-, корреляционного анализа и DFA).
Научная новизна. В работе впервые получены следующие новые научные результаты:
построена и исследована математическая модель термо-электрогидродинамической конвекции в тонких полупроводниковых слоях с учетом столкновительных процессов свободных носителей заряда;
построена и исследована математическая модель термо-электрогидродинамической конвекции в кольцевой полупроводниковой ячейке с учетом рассеяния свободных носителей заряда на ионах и примесях кристаллической решетки;
экспериментально реализована модель Лоренца в гидродинамической вертикальной ячейке, которая позволила наблюдать все теоретически предсказанные режимы конвекции;
Практическая значимость работы состоит в следующем:
из полученных экспериментально значений критических электрических чисел Рэлея можно определить такие параметры полупроводника, как эффективная масса или подвижность свободных носителей заряда, что дает еще один метод нахождения данных параметров;
кольцевые термоконвективные полупроводниковые ячейки могут быть использованы для генерации несущего сигнала в современных системах связи с использованием детерминированного хаоса.
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной математической постановкой задач, применением в ходе исследований строгих математических методов, а также применением в экспериментах сертифицированных средств измерений и заводских термопреобразователей.
Основные положения, выносимые на защиту: 1. В квазибаллистически тонких слоях примесных полупроводников, помещенных в поперечное электрическое поле,
при наличии в них градиента температуры возможно возникновение термоэлектрогидродинамической конвекции свободных носителей заряда, аналогичной конвекции Бе-нар а-Рэлея в горизонтальном слое вязкой жидкости.
В кольцевой полупроводниковой ячейке, находящейся в электрическом поле, ориентированном в плоскости кольца, при наличии градиента температуры возможно возникновение термоэлектрогидро динамической конвекции свободных носителей заряда, аналогичной конвекции Ве-ландера-Лоренца в вертикальной тороидальной гидродинамической ячейке.
Экспериментально реализована модель конвективной неустойчивости Лоренца в вертикальной тороидальной гидродинамической ячейке, заполненной глицерином, подтверждающая все предсказываемые режимы конвекции, в том числе, возникновение детерминированного хаоса.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались на школе-семинаре «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники», проводимой Ульяновским филиалом ИРЭ РАН (2001 - 2004 гг.); на школе-семинаре «Материалы нано-, микро и оптоэлектроники: физические свойства и применения» (Саранск, 2002 г.); на Межд. конф. «Континуальные алгебраические логики, исчисления и нейроинформатика в науке и технике» (Ульяновск, 2006 г.), на ежегодных научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета; на научных семинарах кафедры «Физика» Ульяновского государственного технического университета под руководством д.ф.-м.н., доцента Р.А. Браже (Ульяновск, 2001 - 2006 гг.), на научном семинаре кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета под руководством д.ф.-м.н., профессора П.А. Вельмисова (Ульяновск, 2006 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 научных работ, из них две в журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заклю-
чения и списка литературы. Материал изложен на 136 страницах, содержит 55 рисунков, 6 таблиц и список литературы из 144 наименований.
Проблемы экспериментальной реализации модели Лоренца
При решении задачи о конвекции Рэлея-Бенара нельзя не учитывать вязкость жидкости. Для решения этой задачи используют приближение Буссинеска [49]. В этом приближении изменения плотности, вызванные неоднородностью температуры, считаются малыми и ими можно пренебречь [50 - 52] везде, кроме уравнения Навье-Стокса в члене с подъемной силой. В этом приближении систему уравнений можно переписать в виде
Здесь она записана в безразмерных переменных. Для этого введены следующие единицы измерения: расстояние - толщина рассматриваемого слоя h, времени — h2/v, скорости - xl - давления - p0vx/h2, температуры - Ah. Т,р — соответственно отклонения от среднего значения температуры и давления, Ra. = [gflAL4 )/(v%) - число Рэлея, r = v/z - число Прандтля. Несмотря на сделанные допущения, решения этой системы уравнений достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Приравняв скорость нулю, можно найти условие теплового равновесия, которое было сформулировано В. С. Сорокиным [53]: VT0=-Ay.
Отсюда следует, что для существования механического равновесия градиент температуры должен иметь только одну составляющую - z и зависеть от неё по линейному закону. Это объясняется тем, что при линейном градиенте жидкость нагревается слоями. Поэтому на некоторый элемент объема архимедова сила не действует, так как его окружение имеет такую же плотность [54].
Для решения задачи конвекции в тонком слое дополнительно к системе уравнений (1.2) необходимо добавить граничные условия. Для упрощения считают границы свободными, плоскими, а слой бесконечным [39]. Температура на границах фиксирована, тогда для z = 0: z = h :
Система (1.2) и граничные условия (1.3) составляют математическую модель, описывающую конвекцию бесконечного, тонкого слоя вязкой жидкости со свободными границами. Впервые эту задачу сформулировал и решил Рэлей.
Решение линеаризованной системы (1.2) дают значения декрементов затухания [55] в зависимости от чисел Рэлея, Прандтля и волнового числа: - Рг+1 " 2Рг („v+ )±Jf T(«v+ )4 . (1.4) v 2Pr J v ; Рф2лг2+2)
Критические режимы. Из этого выражения, когда подкоренное выражение равно нулю, можно найти критическое число Рэлея Rac, при котором возникают колебательные возмущения: 4Рг к2 причем, по мере удаления от критической точки, частота колебаний растет по корневому закону.
Приравняв Яп, взятое с минусом, к нулю, получаем критическое число Рэлея, при котором возникают конвективные ячейки. Находя минимум по к, получаем минимальное критическое число Рэлея:
Наименьшее значение число Рэлея принимает для основной моды, при которой возникают самые крупные ячейки. В табл. 1.1 приведены значения критических чисел Рэлея и соответствующего волнового числа.
Из табл. 1.1 видно, что с увеличением п минимальные критические числа Рэлея быстро растут и смещаются в сторону коротковолновых возмущений.
Зная минимальное число Рэлея, можно рассчитать разность температур, которую необходимо создать для возникновения конвективных ячеек при известной толщине слоя. Однако данная теория не позволяет оценить, какие по форме ячейки будут образовываться. В уравнение для декрементов затухания (1.4), волновой вектор входит в виде к2, а соотношение между его компонентами может быть произвольным. Было построено много уравнений, которые дают квадратные, треугольные, гексагональные и пр. ячейки [56, 57].
Хотя данная теория решает задачу идеализированную, физически не реальную, она позволяет найти аналитическое решение. Это дает возможность оценить процессы, происходящие в жидкости, позволяет определить условия, при которых возникает упорядоченная структура, но не дает определить, по каким траекториям движется жидкость при возникновении конвективных структур.
Термоэлектрогидродинамическая конвекция в полупро водниках с учетом столкновительных процессов
Электродинамика реальных полупроводников. В предыдущей части была рассмотрена теория явления термоэлектрогидродинамиче-ской конвекции с учетом тепловых возмущений в электронном (дырочном) газе [85]. При рассмотрении было сделано допущение об отсутствии механизмов рассеяния носителей заряда в образце. Для удовлетворения данного допущения приходилось рассматривать полупроводниковые слои баллистической толщины, т.е. такие, в которых движение носителей заряда от одной поверхности до другой в поперечном направлении происходит без испускания фононов [86]. В реальных полупроводниках крайне сложно реализовать подобные режимы. Этому мешают наличие разнообразных примесей, точечных дефектов, краевых и объемных дислокаций. В этих условиях возникновение устойчивых конвективных ячеек в полупроводнике даже баллистической толщины труднообъяснимо. Поэтому необходимо рассмотреть математическую модель, которая бы это учитывала. Именно эта задача и будет решена в этом пункте.
Полное описание движения свободных носителей заряда в кристаллической решетке полупроводника чрезвычайно сложно и должно учитывать кроме них наличие фононов, примесей, краевых эффектов и пр. [87 - 89]. Для переноса зарядов в субмикронных полупроводниковых слоях наиболее строгим методом анализа является метод Монте-Карло [90, 91], основанный на кинетических представлениях. Применение этого метода, однако, требует большого количества машинного времени, поэтому разработаны различные модельные представления, приводимые к менее детальному, но вполне адекватному решению задачи. Из таких моделей отметим дрейфово-диффузионную модель [92], ее модификацию, учитывающую энергию носителей заряда - энергетическую модель [93] и различные гидродинамические модели [94].
Диффузионно-дрейфовая и энергетические модели могут быть формально получены из кинетического уравнения Больцмана [95] путем применения приближения Чепмена-Энскога [96] и представлений линейной термодинамики необратимых процессов. Однако в субмикронных слоях электрические поля могут быть весьма сильными, что вызывает разогрев носителей заряда и заметное отклонение их свойств от предсказываемых линейными соотношениями Онсаге-ра [97].
Гидродинамические модели позволяют описывать такие неравновесные эффекты без больших объемов вычислительной работы, типичных для кинетических моделей. Одна из таких моделей была предложена Блотекером [94] и исследована Баккарани и Уордемэном [98]. Она включает в себя уравнения баланса для концентрации носителей заряда, импульса и энергии, полученные как уравнения для моментов функции распределения из основного кинетического уравнения Больцмана. Замкнутость этой системы уравнений достигается введением феноменологического уравнения типа уравнения Фурье для теплового потока. При этом коэффициент теплопроводности содержит свободный член, значение которого выбираются путем сопоставления с результатами, полученными методом Монте-Карло [99]. Однако в этой модели не удовлетворяются соотношения взаимности Онсагера.
Более строгая гидродинамическая модель была предложена Ли и Тангом [100]. В ней свободные члены также выбираются из сопос тавления с данными метода Монте-Карло, но a priori не постулируется закон Фурье для теплового потока и, кроме того, поток энергии рассматривается как дополнительная независимая физическая переменная. Жесткая зависимость от результатов метода Монте-Карло делает эту модель не вполне ясной с физической точки зрения.
Здесь будет реализован метод сведения кинетического уравнения Больцмана к уравнениям гидродинамики путем усреднения скоростей свободных носителей заряда [101] без обращения к методу Монте-Карло [102], что позволяет получить искомые уравнения наиболее общим способом.
Одновременно будет поставлена строгая в математическом и физическом отношении задача о переносе свободных носителей заряда в полупроводнике, помещенном во внешнее однородное электрическое поле, и рассмотрена проблема конвективной неустойчивости и устойчивости токовых течений. В основе подхода лежит полная система уравнений, описывающих плазму электронного (дырочного) газа в примесных полупроводниках п- или р- типа, включая кинетическое уравнение Больцмана [103] с интегралом столкновений и членом, учитывающем наличие электрического поля, и уравнения Максвелла.
Детерминированный хаос в кольцевой полупроводниковой термоэлектрогидродинамической ячейке
Анализ устойчивых и неустойчивых режимов ТЭГДК в кольцевой полупроводниковой ячейке. Для оценки возможных значений параметров а, г полученного полупроводникового аналога модели Лоренца, основанного на квазигидродинамических уравнениях, воспользуемся принятыми в рамках такого подхода [100, 105] кинетическими представлениями относительно коэффициентов вязкости, температуропроводности и времени релаксации импульса. Иначе го воря, предполагается, что свободные электроны полупроводника сохраняют характеристики одноатомного электронного газа независимо от нашего усредненного описания их движения. Поскольку в газах коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности % равны по величине коэффициенту диффузии D, то в соответствии с формулой Эйнштейна v = % = D = MkBT/e, где /л - подвижность электронов.
Таким образом, в нашей модели число Прандтля j = v/% = 1, и конвективное движение электронной квазижидкости в круговом кольце (Ь = 1), начинающееся при г 1, должно сохранять устойчивость до значения г = г [72, 114], где _ а{а + Ь + 3) _ а(а + 4) _ ст-b-l а-2
Изменением геометрии ячейки и подбором параметра Ъ невозможно получить положительные значения г при т= 1. Следовательно, конвекция электронной квазижидкости в полупроводниковом кольце, если и будет происходить, то всегда в режиме г г , когда аттрактор Лоренца является единственным притягивающем множеством на фазовом портрете системы [72]. Конвективный ток в кольце будет носить характер стохастических автоколебаний.
Проведем теперь численные оценки величины параметра г в полупроводниковом кольце, взяв в качестве примера материал с высокой подвижностью электронов - антимонид индия (InSb), легированный медью (Си). Он обладает следующими интересующими нас характеристиками [110, 111]: m =0,12-10"31 кг, Еа= 0,056 эВ, =7,8 м2/(В-с), ио 10,7м"\ Значение г существенным обрачом лапи сит от соотношения величин h и Л Тр. В соответствии с вышеизложенным h = InRntfnD, а тр = jum /е, так что J _ 2mQeR3 тр м Задав в качестве минимально возможного из технологических соображений значение радиуса кольца R 10 3M, получаем /z 10 кг-м/с, J/TP 10 м/с. Отсюда ясно, что в формулах (3.10) у »h.C учетом этой оценки / р can nQwR т Тх у = к ґ \ J К-\ Х R 2 J причем X = D = /JkBT R2 R2 R2e Для Т = 300 К, R 10 3 м получаем г 10"5АГ, где, АГ = 2Г, - разность температур на образце, а Е и АГ— измеряется в единицах СИ. Зависимость r(, А7) приведена на рис. 3.2.
Из полученного соотношения, а также рис. 3.2 видно, что при выбранном размере полупроводникового кольца и разумных разностях температур, создаваемых на гранях образца, режимы, при которых начинается конвективный ток в кольце (г 1), достигаются при достаточно малых величинах напряженности приложенного к образцу электрического поля. Величина напряженности составляет всего 103-М04В/м.
Увеличение напряженности поля и размеров кольца приводит к быстрому росту г (рис. 2.2,2.3) и возрастанию турбулентности потока. При этом трехмодовая аппроксимация, заложенная в основу теории, перестает быть корректной.
Перспективы практического применения ТЭГДК в кольцевых ячейках. Благодаря тому, что здесь конвекция возникает в полупроводниковом кольце, в результате движения зарядов возникает магнитное поле. Поэтому съем информации о стохастических колебаниях тока в кольцевых полупроводниковых ячейках может быть осуществлен при помощи датчиков магнитного поля.
Данное явление имеет помимо теоретической, огромную практическую значимость. Устройство, сделанное на его основе будет иметь малый размер. Колебания же магнитного поля, создаваемые им, могут быть использованы в качестве несущего сигнала для передачи конфиденциальной и секретной информации в современных системах связи [120-121].
Временные характеристики температурного градиента в ячейке и конвективного потока
Фурье анализ. На рис. 4.4 представлены результаты Фурье-анализа [126-128] спектров мощности АТІ2 и АТАВ для соответствующих зависимостей [129] (рис. 4.3). В двойном логарифмическом масштабе все спектры обнаруживают линейную зависимость от частоты. Из этого можно сделать вывод, что соответствующие временные ряды характеризуются распределением с «тяжелыми хвостами» в виде гиперболической зависимости мощности спектральных гармоник P(f) от частоты (распределение Леви-Парето-Ципфа):
Для каждой зависимости был рассчитан спектральный показатель Р (4.2), найденный по тангенсу угла наклона графиков для АТц и АТАВ соответственно. Повышение удельного веса низкочастотных гармоник во временной зависимости АТ\2 по сравнению с белым шумом (Р= 0) связано с периодическим включением и выключением нагревателя с целью поддержания АТ\2 = const ± д. Полученные значения р показывают, что оба временных ряда обладают признаками розового шума, причем интересующий нас процесс конвекции по своим шумовым характеристикам приближается к коричневому (броуновскому) шуму, для которого Р= 2.
Херст-анализ. Степень отклонения значений временного ряда от случайных изменений и наличия долговременной памяти в системе позволяет оценить Херст-анализ [130-132]. Его важнейшей характеристикой для временного ряда Хк{к= 1,2, ...,JV) является показатель Херста, определяемый из соотношения R/S = (aN)H, где R = тах(д: ) - min ) - размах отклонения, стандартное отклонение, а - константа. Значениям 0 Н 0,5 соответствуют случайные отклонения относительно средних значений ряда, не обладающие признаками самоподобия (эргодические процессы). Н=0,5 соответствует броуновский процесс (коричневый шум), характеризуемый независимыми приращениями к значениям временного ряда, но наличием некоторой его стохастической устойчивости. При Н 0,5 имеет место персистентный (самоподдерживающийся) процесс, который обладает долговременной памятью и является самоподобным (фрактальным) - черный шум. Показатель Херста связан с /?по формуле [132]: Р = 2Н+\. (4.3)
На рис. 4.5 представлены результаты Хёрст-анализа временных рядов АГ12 и АТАВ ДЛЯ рассматриваемых зависимостей из рис 4.3 в той же последовательности [133]. Найденные по тангенсу угла наклона прямых значения показателя Хёрста показывают, что все временные ряды являются черным шумом, обладающие долговременной памятью.
DFA. Однако, как показано в [134, 135], большей устойчивостью к шуму, более эффективным вычитанием трендов и большей статистической достоверностью при сигналах одинаковой длины обладает модификация Херст-анализа - DFA (detrended fluctuation analysis - флуктуационный анализ с удалением трендов).
В этом методе вычисляется среднеквадратичная ошибка линей к ной аппроксимации случайных блужданий ,y( ) = Xlz( ) z иссле дуемого временного ряда, z(i) = 1,2,... Д: и считается, что при наличии масштабной инвариантности (скейлин-га) F{n) па, где а — так называемая скейлинговая экспонента. Она связана со спектральным показателем /? соотношением /3 = 2а-1. (4.4)
На рис. 4.6 показаны результаты применения этого метода к тем же временным рядам. По тангенсу угла наклона соответствующих прямых были найдены скейлинговые экспоненты а и по формуле (4.4) вычислены значения Д Результаты расчетов приведены в табл. 4.1.
Из табл. 4.1 видно, что DFA и Фурье-анализ хорошо согласуются между собой, что нельзя сказать про Херст-анализ. Это говорит о не вполне правомочной применимости Херст-анализа к данным видам временных зависимостей. Вейвлет-анализ. Ни Фурье-анализ, ни DFA не позволяет ответить на вопрос о степени влияний колебания разности температур АТ\2 в ячейке на процесс конвекции.
