Содержание к диссертации
Введение
1. Математическое моделирование темпе ратурного поля полупространства с теп лозащитным покрытием при высокотем пературном нагреве внешней средой 16
1.1. Постановка задачи и математическая модель 16
1.2. Аналитические представления решения исходной задачи 18
1.3. Результаты и их обсуждение 33
2. Иерархия математических моделей для описания температурного поля полупрост ранства с теплозащитным покрытием 38
2.1. Основные допущения и возможные варианты упрощения ис- ходной модели 38
2.2. Аналитические представления решений смешанных задач нестационарной теплопроводности, соответствующих упро щенным моделям 43
2.3. Достаточные условия применимости упрощенных моделей и анализ полученных результатов 58
3. Особенности процесса формирования тем пературных полей в полупространстве с теплозащитным покрытием при реализации импульсных режимов высокотемпе ратурного нагрева внешней средой 66
3.1. Постановка задачи, исходные допущения и математическая модель 66
3.2. Разработка аналитического метода для определения температурного поля границы экранированного полупространства 68
3.3. Результаты и их обсуждение 74
4. Влияние подвижности границы на температурное поле экранированного полупространства в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой 76
4.1. Исходные допущения и постановка задачи 76
4.2. Температурное поле полупространства с равномерно движущейся границей 78
4.3. О возможности реализации режима термостатирования движущейся границы 89
4.4. Температурное поле полупространства с движущейся по произвольному закону границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой 91
4.5. Результаты и их обсуждение 105
5. Исследование температурного поля экранированного полупространства при импульсно периодическом воздействии теплового потока с интенсивностью гауссовского типа и охлаждении внешней средой 110
5.1. Постановка задачи и математическая модель
5.2. Влияние определяющих параметров на установившееся значение температуры наиболее нагретой точки полупространства 117
5.3. Ограничения на значения определяющих параметров, обеспечивающие заданное максимальное значение температуры экранированного полупространства 126
Заключение 133
Список использованных источников
- Аналитические представления решений смешанных задач нестационарной теплопроводности, соответствующих упро щенным моделям
- Разработка аналитического метода для определения температурного поля границы экранированного полупространства
- Температурное поле полупространства с движущейся по произвольному закону границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой
- Влияние определяющих параметров на установившееся значение температуры наиболее нагретой точки полупространства
Введение к работе
Решение многих задач современной инженерной практики связано с необходимостью исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций, а также разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию слоя теплоизоляционного материала, служащего для снижения кондуктивно-го, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1-6]. Классификацию теплоизоляции проводят с использованием различных принципов [3, 7-9], а их сравнительный анализ - по "эффективным тепло-физическим характеристикам теплозащитного слоя" [3, 10, 11], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчете и оптимизации покрытия. В частности [3], основной характеристикой покрытия на установившейся стадии его теплообмена с высокотемпературной окружающей средой является термическое сопротивление Rt = //Ап, где / - толщина, а Ап - коэффициент теплопроводности теплоизоляционного слоя.
В рамках данного направления можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и интересующее исследователя время протекания процесса теплопереноса таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему высокотемпературному воздействию, можно пренебречь [12]. Это означает, что толщина теплового слоя (т.е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощенной в данный момент времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае теплоизолируемое тело можно моделировать полуограниченной областью, что позволяет получить более наглядные и удобные с точки зрения практического использования представления решений задач теплопроводности [15, 68].
Задачами рассматриваемого класса являются задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полупространством с покрытием конечной толщины, на границе которой реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т.е. между полупространством и покрытием реализуется граничное условие четвертого рода, и рассматриваются три основных режима внешнего теплового воздействия: нагрев температурой (граничное условие первого рода); нагрев тепловым потоком (граничное условие второго рода); нагрев средой (граничное условие третьего рода).
При изучении реальных процессов методами математического моделирования предпочтительно иметь аналитические или приближенные аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [13, 14, 3]. Кроме того, при практическом использовании аналитические представления требуют существенно меньших вычислительных затрат и необходимы для тестировании вновь создаваемых программных комплексов.
В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации первых двух режимов теплового воздействия на ее границе: при нагреве температурой [15] и при нагреве тепловым потоком [15, 68]. Предпринимаются попытки нахождения аналитического решения задачи теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации на ее границе третьего режима теплового воздействия - нагрева средой. Так, в работе [17] для достижения этой цели использован метод тепловых потенциалов; исходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение проведено численно с использованием специальных квадратурных формул.
Существует широкий класс практически важных инженерных задач, в которых коэффициент теплообмена приходится рассматривать как функцию времени: формирование пограничного слоя в условиях нестационарного обтекания твердых поверхностей охлаждающей жидкостью, нагреве тел переменным во времени потоком, при движении баллистического тела в среде с переменной температурой и плотностью, в процессах диффузии при переменной температуре и др. [14]. Использование классических методов математической физики для получения аналитических представлений их решений связано с преодолением трудностей принципиального характера [13].
На практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (в виде функционального ряда) или приближенные решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях (экспоненциальной, степенной, периодической) [18-62]. Для нахождения приближенных решений чаще всего используют метод Кармана-Польгаузена из теории гидродинамики пограничного слоя [29], метод осреднений функциональных поправок [18], метод сведения уравнения теплопроводности к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и далее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [46], метод неопределенных коэффициентов [26]. Следует заметить, что применение этих приближенных методов не намного облегчает практическое использование найденных решений, достаточно громоздких и требующих применения высокопроизводительной вычислительной техники.
Наиболее распространенными аналитическими методами решения рассматриваемых задач являются методы тепловых потенциалов, интегральных преобразований и функций Грина [13, 63-65, 14, 58].
Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочно-
постоянной зависимости. Этот случай имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных слоев твердого тела (слоя термоизоляционного материала) [1-3], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев при помощи кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближенных аналитических решений. Реализация таких (называемых импульсными) режимов внешнего теплового воздействия приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля, представляющим практический интерес.
Изучение процессов горения в твердотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия на твердые тела и др., связанных с изменением размеров твердого тела, приводит к так называемым задачам с подвижными границами. Несмотря на кажущуюся простоту математических моделей этих процессов, соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической. Краевые задачи такого рода (называемые обобщенными) принципиально отличны от классических и составляют новый раздел теории теплопроводности [13]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае также не применимы методы разделения переменных Фурье и интегральных преобразований [63], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы
области теплопереноса.
Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для очень частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специального функционального преобразования, с помощью которого обобщенная краевая задача формулировалась в подвижной системе координат.
Метод, основанный на использовании функциональных преобразований, позволящих формулировать исходную краевую задачу в подвижной системе координат, является мощным инструментом в случае, когда закон движения границы области теплопереноса известен. Тем не менее в условиях теплообмена с внешней средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода), использование этого подхода приводит к тому, что в преобразованной задаче коэффициент теплоотдачи оказывается функцией времени [21, 33, 30, 29, 39]. Возникающие в этом случае трудности, а также способы их преодоления описаны выше.
Кроме того, существуют специфические методы для получения аналитических решений задач в областях с подвижными границами: метод обобщенных рядов, метод дифференциальных рядов, метод обобщенных интегральных преобразований [14]. Эти методы позволяют получить точные аналитические решения краевых задач теплопереноса лишь для небольшого числа частных зависимостей коэффициента теплоотдачи от времени и частных законов движения границы. Расширение класса такого рода зависимостей представляет собой одну из открытых проблем математической теории теплопроводности.
При изучении процессов нестационарного теплопереноса, особенно в случае подвижных границ, когда не удается получить аналитическое представление решения соответствующей краевой задачи, целе-
сообразно привлечение общих методов математического моделирования. Одним из существенных этапов последнего является построение иерархии математических моделей изучаемого процесса и определение условий их применимости [66, 67]. Использование упрощенных моделей, допускающих точное аналитическое решение соответствующей задачи, позволяет выявить основные особенности изучаемого процесса и провести качественный анализ влияния определяющих параметров. Кроме того, при получении количественных результатов выбор адекватной модели часто помогает существенно сократить вычислительные затраты.
Важное место в математической теории теплопроводности занимают исследования процессов формирования температурных полей в области, моделируемой полупространством, при воздействии концентрированных и пространственно распределенных тепловых потоков [68, 15, 13, 69]. Особый интерес эти исследования представляют в задачах прогнозирования температурного состояния конструкции при воздействии лазерного излучения [16, 70-73] и при разработке эффективных методов тепловой защиты [1-3, 74, 75].
Математическому моделированию процесса формирования температурного поля в полупространстве при воздействии пространственно распределенного осесимметричного потока с интенсивностью гаус-совского типа посвящены работы [16, 70, 76, 77], а при воздействии концентрированных тепловых потоков - работы [77, 78-88]. В [89, 90] и [91] соответственно исследовано влияние теплоотдачи со свободной поверхности на формируемое температурное поле полупространства при воздействии пространственно распределенного и концентрированного тепловых потоков. С точки зрения тепловой защиты представляют интерес задачи, связанные с исследованием температурных полей в полупространстве с покрытием в условиях реализации различных режимов теплового нагрева и охлаждении внешней средой.
В последние годы особое внимание уделяется также проблеме
формирования температурных полей в анизотропных твердых телах при различных режимах внешнего теплового воздействия [92-98].
Цель и задачи исследования. Цель проведенных исследований - изучение характерных особенностей процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой и известных законах движения его границы.
Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.
Получение аналитических представлений решения задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с теплозащитным покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи.
Проведение параметрического анализа процесса формирования температурного поля в изучаемой системе с целью установления его характерных особенностей.
Разработка иерархии математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в изотропном полупространстве с покрытием и определение области возможного применения для каждой из этих моделей.
Математическая постановка задачи об определении температурного поля изотропного полупространства с "термически тонким" покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой и разработка аналитического метода ее решения, позволяющего проводить параметрический анализ изучаемого процесса.
Разработка аналитических и численно-аналитических методов исследования процесса формирования температурного поля экранированного полупространства с подвижной границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой.
Проведение параметрического анализа установившейся тем-
пературы наиболее нагретой точки изотропного полупространства с покрытием, находящегося под воздействием внешней среды и осесим-метричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме.
Методы исследования. Для решения задач, возникших в ходе выполнения диссертационной работы, использовались различные классы математических методов: методы математической физики и математической теории теплопроводности; методы интегральных преобразований и теории функций комплексного переменного; методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального и матричного анализа; численные методы решения и анализа интегральных уравнений.
Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов, полученных с использованием различных методов и вычислительных экспериментов. Сформулированные в работе допущения обоснованы как путем их содержательного анализа, так и методами математического моделирования. Результаты диссертационной работы согласуются с результатами, полученными ранее другими авторами и другими методами в частных и предельных случаях.
Научная новизна. Разработана иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в экранированном полупространстве при высокотемпературном нагреве внешней средой и определены достаточные условия применимости каждой из них.
В аналитически замкнутом виде найдены и теоретически обоснованы решения смешанных задач для уравнений в частных производных параболического типа и их систем, соответствующих разработанным математическим моделям иерархии, и с их использованием исследовано влияние определяющих параметров на процесс формиро-
вания изучаемого температурного поля.
С использованием разработанной иерархии моделей, а также предложенных аналитических и численных методов их реализации исследованы специфические особенности процессов формирования температурного поля полупространства с теплозащитным покрытием при различных режимах высокотемпературного нагрева внешней средой как при фиксированном положении его границы, так и при ее движении по заданному закону. Доказана теоретическая возможность реализации режимов термостатирования подвижной границы.
Определено множество допустимых значений вектора определяющих параметров рассматриваемой системы "полупространство - теплозащитное покрытие", находящейся под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовс-кого типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, при которых установившаяся температура наиболее нагретой точки полупространства не превосходит заданного значения.
Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы для исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций при реализации различных режимов высокотемпературного нагрева внешней средой, необходимых для разработки эффективных методов теплозащиты.
На защиту выносятся следующие положения:
аналитические представления решения задачи об определении температурного поля полупространства с покрытием при наличии идеального теплового контакта между ними и теплообменом с внешней средой по закону Ньютона с постоянным коэффициентом теплоотдачи;
иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля в полупространстве с теплозащитным покрытием;
аналитический метод и результаты исследования особенностей процесса формирования температурного поля в полупространстве с
термически тонким покрытием в импульсных режимах теплообмена с внешней средой, приводящих к кусочно-постоянным зависимостям коэффициента теплоотдачи от времени;
методы и результаты исследования влияния подвижности границы на температурное поле экранированного полупространства;
результаты параметрического анализа полученного решения задачи об определении установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированного полупространства, находящегося под воздействием внешней среды и осесимметричного теплового потока с интенсивностью гауссовского типа, функционирующего в импульсно периодическом режиме, а также достаточные условия непревышения этой температурой заданного значения.
Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались в МГТУ им. Н. Э. Баумана на Всероссийской конференции "Прикладные проблемы механики ракетно-космических систем", посвященной 40-летию со дня основания кафедры "Аэрокосмические системы" (декабрь 2000 г.) и на Всероссийской конференции "Необратимые процессы в природе и технике" (январь 2001 г.); в Санкт-Петербургском государственном техническом университете на XIII Школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А. И. Леонтьева "Физические основы экспериментального и математического моделирования процессов газодинамики и тепломассопереноса в энергетических установках" (май 2001 г.).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 5-ти научных статьях [99, 100, 62, 101, 102] и 2-х тезисах докладов [103, 104].
Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискате-
лю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 152 страницах, содержит 18 иллюстраций и 1 таблицу. Библиография включает 138 наименований.
Аналитические представления решений смешанных задач нестационарной теплопроводности, соответствующих упро щенным моделям
Решение многих задач современной инженерной практики связано с необходимостью исследования и прогнозирования теплового состояния конструкций, а также разработки методов их тепловой защиты. В настоящее время одним из наиболее эффективных способов теплозащиты является нанесение на основную конструкцию слоя теплоизоляционного материала, служащего для снижения кондуктивно-го, конвективного и радиационного теплообменов на ней [1-6]. Классификацию теплоизоляции проводят с использованием различных принципов [3, 7-9], а их сравнительный анализ - по "эффективным тепло-физическим характеристикам теплозащитного слоя" [3, 10, 11], что позволяет использовать методы математического моделирования при расчете и оптимизации покрытия. В частности [3], основной характеристикой покрытия на установившейся стадии его теплообмена с высокотемпературной окружающей средой является термическое сопротивление RT = //Ап, где / - толщина, а Ап - коэффициент теплопроводности теплоизоляционного слоя.
В рамках данного направления можно выделить класс задач, в которых сочетание теплофизических свойств материалов, геометрических размеров конструкций и интересующее исследователя время протекания процесса теплопереноса таково, что тепловыми эффектами на границе, не подверженной внешнему высокотемпературному воздействию, можно пренебречь [12]. Это означает, что толщина теплового слоя (т.е. поверхностного слоя, в котором происходит резкое изменение температуры и в котором сосредоточено основное количество теплоты, поглощенной в данный момент времени) мала по сравнению с размерами теплоизолируемого тела. В этом случае теплоизолируемое тело можно моделировать полуограниченной областью, что позволяет получить более наглядные и удобные с точки зрения практического использования представления решений задач теплопроводности [15, 68].
Задачами рассматриваемого класса являются задачи математической теории теплопроводности для двухслойной области, моделируемой полупространством с покрытием конечной толщины, на границе которой реализуется заданный режим теплового воздействия. При этом, как правило, предполагается наличие идеального теплового контакта между слоями области, т.е. между полупространством и покрытием реализуется граничное условие четвертого рода, и рассматриваются три основных режима внешнего теплового воздействия: нагрев температурой (граничное условие первого рода); нагрев тепловым потоком (граничное условие второго рода); нагрев средой (граничное условие третьего рода).
При изучении реальных процессов методами математического моделирования предпочтительно иметь аналитические или приближенные аналитические решения соответствующих математических задач, которые значительно упрощают не только процедуру параметрического анализа, но и решение задач оптимизации [13, 14, 3]. Кроме того, при практическом использовании аналитические представления требуют существенно меньших вычислительных затрат и необходимы для тестировании вновь создаваемых программных комплексов.
В настоящее время известны аналитические решения задач теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации первых двух режимов теплового воздействия на ее границе: при нагреве температурой [15] и при нагреве тепловым потоком [15, 68]. Предпринимаются попытки нахождения аналитического решения задачи теплопроводности для двухслойной области (полупространство с покрытием) при реализации на ее границе третьего режима теплового воздействия - нагрева средой. Так, в работе [17] для достижения этой цели использован метод тепловых потенциалов; исходная задача сведена к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, но его решение проведено численно с использованием специальных квадратурных формул. Существует широкий класс практически важных инженерных задач, в которых коэффициент теплообмена приходится рассматривать как функцию времени: формирование пограничного слоя в условиях нестационарного обтекания твердых поверхностей охлаждающей жидкостью, нагреве тел переменным во времени потоком, при движении баллистического тела в среде с переменной температурой и плотностью, в процессах диффузии при переменной температуре и др. [14]. Использование классических методов математической физики для получения аналитических представлений их решений связано с преодолением трудностей принципиального характера [13].
На практике используются различные подходы, позволяющие найти точные (в виде функционального ряда) или приближенные решения задач математической теории теплопроводности для пластины, цилиндра, шара и полуограниченного стержня при произвольном законе изменения коэффициента теплоотдачи во времени или при его частных зависимостях (экспоненциальной, степенной, периодической) [18-62]. Для нахождения приближенных решений чаще всего используют метод Кармана-Польгаузена из теории гидродинамики пограничного слоя [29], метод осреднений функциональных поправок [18], метод сведения уравнения теплопроводности к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и далее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [46], метод неопределенных коэффициентов [26]. Следует заметить, что применение этих приближенных методов не намного облегчает практическое использование найденных решений, достаточно громоздких и требующих применения высокопроизводительной вычислительной техники.
Наиболее распространенными аналитическими методами решения рассматриваемых задач являются методы тепловых потенциалов, интегральных преобразований и функций Грина [13, 63-65, 14, 58].
Среди всего многообразия возможных временных законов изменения коэффициента теплообмена можно выделить случай кусочно постоянной зависимости. Этот случай имеет место при моделировании высокотемпературных воздействий, сопровождающихся термодеструкцией поверхностных слоев твердого тела (слоя термоизоляционного материала) [1-3], когда продолжительность переходного процесса при изменении режима внешнего воздействия мала по сравнению с длительностью воздействия. В ряде случаев при помощи кусочно-постоянной зависимости можно аппроксимировать нелинейные законы изменения коэффициента теплообмена с целью получения приближенных аналитических решений. Реализация таких (называемых импульсными) режимов внешнего теплового воздействия приводит не только к улучшению или ухудшению условий теплообмена с окружающей средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля, представляющим практический интерес.
Изучение процессов горения в твердотопливных ракетных двигателях, абляции, эрозии электрических контактов, лазерного воздействия на твердые тела и др., связанных с изменением размеров твердого тела, приводит к так называемым задачам с подвижными границами. Несмотря на кажущуюся простоту математических моделей этих процессов, соответствующие задачи являются далеко не тривиальными с точки зрения нахождения их точного аналитического решения даже в тех случаях, когда закон движения границы известен. С математической точки зрения это означает, что область, в которой ставится краевая задача для уравнения теплопроводности, не является цилиндрической. Краевые задачи такого рода (называемые обобщенными) принципиально отличны от классических и составляют новый раздел теории теплопроводности [13]. Вследствие зависимости положения границы области теплопереноса от времени к такому классу задач в общем случае также не применимы методы разделения переменных Фурье и интегральных преобразований [63], поскольку, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса.
Необходимо отметить, что в большинстве случаев точные решения задач такого типа удавалось получить при помощи удачных догадок и искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного и параболического) и для очень частного вида граничных условий. Прогресс в этой области связан с использованием специального функционального преобразования, с помощью которого обобщенная краевая задача формулировалась в подвижной системе координат.
Разработка аналитического метода для определения температурного поля границы экранированного полупространства
В теории теплопроводности значимое место занимают исследования, связанные с изучением температурных полей в твердых телах, на границах которых реализуются нестационарные режимы теплообмена с внешней средой, приводящие к временному изменению коэффициента теплоотдачи [1-3, 13, 18-65]. В частности, необходимость учета зависимости коэффициента теплоотдачи от времени возникает в задачах теплопереноса при наличии высокотемпературных воздействий, сопровождаемых деструкцией поверхностных слоев термонагружен-ного твердого тела. Подобные ситуации могут приводить не только к активации или ухудшению условий теплообмена с внешней средой, но и к специфическим особенностям эволюции температурного профиля в процессе его формирования. Основная цель проведенных исследований - изучение особенностей процесса формирования температурного поля на границе твердого тела, моделируемого полупространством с "термически тонким" покрытием, при реализации импульсных режимов теплообмена с внешней средой и наличии идеального теплового контакта в системе "полупространство-покрытие" .
Математическая модель (3.1) представляет собой смешанную задачу нестационарной теплопроводности, в которой наличие "термически тонкого" покрытия учтено обобщенным граничным условием при = 0, явно содержащим производную от температуры по времени. С учетом предположения (3.2) о виде функциональной зависимости /3 = /?(Fo) можно утверждать [106], что, во-первых, решение задачи (3.1) существует и единственно, и, во-вторых, для его нахождения правомерно использование перобразования Лапласа (1.8) по временному переменному Fo. 3.2. Разработка аналитического метода для определения температурного поля границы экранированного полупространства
В силу линейности рассматриваемой задачи для ее решения можно воспользоваться известным подходом [15]: в задаче (3.1) считать /?(Fo) = / и найти ее решение #0( Fo), Fo Fo = 0, являющееся искомым при 0 Fo Fo 1 ; в задаче (3.1) считать /3(Fo) Е И при начальном условии #i(,Fo ) найти ее решение #i(,Fo), Fo Fo , искомое при Fo Fo Fo , и т.д. Но в связи с громоздкостью аналитических выражений, получаемых при непосредственном применении этого подхода, и трудоемкостью их численной реализации для достижения основной цели исследований воспользуемся следующими соображениями.
Применив к правой и левой частям полученного равенства оператор L l обратного интегрального преобразования Лапласа (1.9) с учетом (3.14), (3.18) и воспользовавшись теоремой о свертках [15, 108], находим функцию при различных значениях параметров /?о, A? р2- При этом неравенство Рк Pk+i соответствует ухудшению условий теплообмена с внешней средой на (к-\-1)-м временном интервале, а неравенство / Pk+i - их улучшению. Улучшение условий теплообмена сопровождается резким возрастанием температуры на границе полупространства, особенно на начальной стадии (см. рис. 3.1, зависимость (1) при Fo 0 и зависимость (3) при 0 Fo 2). Ухудшение условий теплообмена приводит к образованию характерной зоны релаксации (зависимость (3) при Fo 2 и зависимость (2) при Fo 0). При этом длительность периода монотонного убывания температуры в этой зоне определяется как величиной (Pk — Pk+i) , так и продолжительностью ( Fo fc+1 — Fo M предыдущей фазы. Но при реализации любого импульсного режима теплообмена с внешней средой, определяемого функциональной зависимостью. По результатам проведенных исследований могут быть сделаны следующие выводы. 1. Аналитические представления решения задачи об определении температурного поля экранированного полупространства, полученные при выполнении диссертационной работы с использованием "точной модели", позволяют проводить параметрический анализ изучаемого процесса. 2. Характерные особенности процесса формирования температурного поля в системе "полупространство-покрытие" значимо зависят от параметра Н, увеличение значения которого ассоциируется со снижением интенсивности теплообмена между высокотемпературной внешней средой и термоизолируемой областью. 3. Специфика асимптотического поведения температуры на границе экранированного полупространства полностью определяется значением критерия Био и отношением коэффициентов теплопроводности материалов покрытия и полупространства. 4. Разработанная иерархия математических моделей для описания процесса формирования температурного поля экранированного полупространства, находящегося под воздействием высокотемпературной внешней среды, позволяет корректно и эффективно решать практически важные задачи. 5. Для нахождения решения задачи об определении эволюции температуры границы полупространства с "термически тонким" покрытием при реализации импульсных режимов теплообмена с внешней средой целесообразно использование аналитического метода, разработанного в ходе проведения настоящих исследований и позволяющего корректно и эффективно решать практически важные задачи. 6. Улучшение условий теплообмена с внешней средой сопровождается резким возрастанием температуры на границе экранирован 134 ного полупространства, а их ухудшение - образованием зоны релаксации, длительность которой определяется как продолжительностью предыдущей фазы, так и модулем приращения коэффициента теплоотдачи. 7. Асимптотика температуры границы экранированного полупространства не зависит от реализуемого импульсного режима теплообмена с высокотемпературной внешней средой и определяется лишь значением коэффициента теплообмена его последней фазы.
Температурное поле полупространства с движущейся по произвольному закону границей в нестационарных условиях теплообмена с внешней средой
С использованием моделей "сосредоточенная емкость" и "усеченная модель сосредоточенная емкость" исследованы особенности процесса формирования температурного поля в полупространстве с движущейся по заданному закону границей при реализации нестационарных режимов теплообмена с внешней средой, приводящих к зависимости коэффициента теплоотдачи от времени. Решение многих практически важных задач связано с необходимостью математического моделирования процессов теплопереноса в твердых телах при реализации режимов нестационарного теплообмена с внешней средой, приводящих к временному изменению коэффициента теплоотдачи (см. раздел 3.1). Трудности, возникающие при решении подобных задач, хорошо известны. Они еще более усугубляются в тех случаях, когда возникает необходимость учета влияния разного рода механических и физико-химических процессов на температурное поле термонагруженнои области, так как их протекание неизбежно приводит к изменению размеров твердого тела вследствие временного изменения положения его границ. Среди задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами особое место занимают задачи, связанные с исследованием температурных полей в областях с границами, движущимися по заданному закону [64, 116-119, 14]. Они возникают, например, в режимах высокотемпературного воздействия на твердое тело, сопро вождаемых термодеструкцией его поверхностных слоев. В этих усло-вияхів системе "твердое тело - внешняя среда" возможно образование пограничного слоя, выполняющего функции пленочного покрытия и по физическому смыслу являющегося термически тонким.
Поскольку из физических соображений ясно, что максимальное по координате значение температуры достигается на границе полупространства, то для изучения влияния скорости движения покрытия на температурное состояние защищаемой области достаточно рассмотреть значение температуры на границе х = 0. На рис. 4.2 приведены результаты расчетов, проведенных с использованием формулы (4.14) при пяти различных значениях параметра Vo. Графическая информация позволяет сделать вывод о том, что рост скорости Vo движения границы приводит не только к снижению асимтотического значения температуры на ней, но и к уменьшению времени переходного процесса от 0(0,0) = 0 до 0(0, т) « А[А + V0(DV0 + В)]-1. Проведенный вычислительный эксперимент позволил также установить, что качественный характер влияния комплексных параметров А, В и D, определенных равенствами (1.18), на изучаемое температурное поле не зависит от параметра VQ. 4.3. О возможности реализации режима термоста-тирования движущейся границы
В общем случае, при нелинейном законе движения I = l(Fo) границы полупространства и нестационарных условиях теплообмена с внешней средой, приводящих к функциональной зависимости Bi = Bi(Fo) [13], возможны ситуации, которые сопровождаются неординарными вариантами развития изучаемого процесса формирования температурного поля. Не останавливаясь на обосновании практической реализуемости рассмотренной ниже ситуации, проиллюстрируем сказанное следующими рассуждениями. Будем предполагать, что / = /(Fo) - неубывающая неотрицательная функция, дифференцируемая хотя бы в обобщенном смысле, /(0) = 0, a Bi = Bi (Fo) удовлетворяет стандартным требованиям теоремы существования и единственности решения рассматриваемой задачи [106]. В этом случае также допустимо использование подвижной системы кооординат (4.3), в которой математическая модель (4.26) примет следующий вид: Следует подчеркнуть, что интерес к импульсным режимам теплообмена с кусочно-постоянным законом Bi (r) обусловлен многими причинами. Во-первых, наряду с интересной физической интерпретацией этот случай важен при тестировании получаемых результатов, поскольку приводит к наиболее простым представлениям решения 9(0,т) задачи (4.28)-(4.31). Во-вторых, в этом случае можно получить достаточно простые оценки асимптотического поведения функции 0(0,т) при г — +оо, определяющие влияние параметров импульсного теплообмена на установившееся температурное поле изучаемой области. В частности, при 1 (т) = 0, эти оценки показывают (см. (3.25)), что реализация любого импульсного режима теплообмена с кусочно-постоянным законом не приводит к качественному изменению характера поведения функции 6(0, т) при т — -f со: в(0, т) — 1 при г — +оо. Рассмотрим, как влияет подвижность границы на установившееся (при t — +оо) температурное поле области, моделируемой полупространством. С учетом высказанных соображений ограничимся оценкой асимптотического поведения функции в(х, т) при t —» +оо в режиме теплообмена с внешней средой, описываемом законом Ньютона, при постоянной скорости движения границы полупространства, т.е. примем. Таким образом, подвижность границы области, моделируемой полупространством, приводит к зависимости формируемого в ней температурного поля от интенсивности теплоотдачи на границе этой области. При заданной скорости Vo равномерного движения это влияние тем больше, чем выше интенсивность теплоотдачи Bi на внешней границе.
Влияние определяющих параметров на установившееся значение температуры наиболее нагретой точки полупространства
С использованием двумерного аналога "точной модели" (1.1)-(1.7) решена задача определения установившейся температуры наиболее нагретой точки экранированного полупространства в случае нагрева импульсно периодическим потоком с интенсивностью гауссовс-кого типа и охлаждении внешней средой. Установлено, что не существует оптимальной толщины теплозащитного покрытия, обеспечивающей минимальное значение этой температуры. Определены достаточные условия, при которых эта температура не превосходит заданной величины. Решение многих инженерных задач связано с необходимостью исследования температурного состояния областей, подверженных нагреву внешним тепловым потоком и охлаждении внешней средой. К простейшим задачам этого класса может быть отнесена задача изучения температурного поля двухслойной области, моделируемой полупространством с покрытием конечной толщины. Эффективность выбора параметров теплозащитного покрытия в значительной степени определяется пространственно-временной структурой воздействующего на него теплового потока. В теоретических исследованиях значительное место уделяется тепловым потокам с интенсивностью гауссовского типа [16, 71-73] как при стационарном, так и при нестацонарном [128-137, 76, 77, 89, 90] режимах воздействия.
В настоящей главе рассматривается изотропное полупростран Ill ство с теплозащитным покрытием, внешняя поверхность которого нагревается осесимметричным импульсно периодическим потоком гаус-совского типа и охлаждается внешней средой с постоянной температурой Тс. Основная цель проведенных исследований заключается в изучении влияния теплофизических и геометрических характеристик покрытия на установившееся значение температуры наиболее нагретой точки полупространства, а также в определении достаточных условий, обеспечивающих непревышение этим значением заданной величины 9 . Для достижения поставленной цели воспользуемся двумерным аналогом "точной модели" Для достижения основной цели исследования найдем установившуюся температуру наиболее нагретой точки полупространства. Так как из физических соображений ясно, что максимальное значение температуры защищаемой области достигается в точке с координатами Заметим также, что математическая модель (5.5) описывает процесс охлаждения внешней средой экранированного полупространства, подверженного нагреву импульсно периодическим потоком (5.2), при условии, что температура внешней среды совпадает с начальным распределением температуры в двухслойной области. Влияние толщины покрытия h. В первую очередь нас будет интересовать вопрос существования оптимального значения толщины покрытия h, обеспечивающей минимальную установившуюся температуру Ф наиболее нагретой точки полупространства. Для обоснования возможности дифференцирования по параметру h под знаком интеграла (5.19) докажем леммы 5.1 и 5.2. С учетом леммы 5.1 и представления (5.29) можно утверждать, что Ф /ДЗ3) 0 для всех допустимых значений вектора параметров 3 . Таким образом, Ф(У) монотонно убывает с ростом h и не существует оптимальной толщины покрытия, которая обеспечивала бы минимальное значение установившейся температуры наиболее нагретой точки полупространства.
Поскольку при любых допустимых значениях вектора параметров У функция фз{р,У), V 0 неотрицательна, то можно утверждать, что Ф Лі 0 для всех Лі 0. Таким образом, температура Ф(3 ) монотонно возрастает с ростом параметра Л = AJ1 = Ап/А, что полностью согласуется с физическим содержанием изучаемого процесса: чем больше отношение коэффициентов теплопроводности материалов покрытия и полупространства, тем выше температура наиболее нагретой точки защищаемой области. Согласно (5.21) подынтегральная функция в правой части последнего равенства неотрицательна при р 0. Таким образом, рост Bi приводит к снижению установившегося значения температуры наиболее нагретой точки полупространства (см. рис. 5.2). Этот результат допускает наглядное физическое объяснение: улучшение условий теплообмена с внешней средой приводит к более интенсивному охлаждению покрытия. Влияние параметров go? Fo и AFo может быть исследовано с помощью элементарного анализа. Согласно (5.19), рост мощности qo и длительности Fo активной фазы единичного импульса ассоциируется с увеличением установившегося значения температуры наиболее нагретой точки полупространства, а рост длительности AFo - с его уменьшением, что также полностью согласуется с физическим содержанием процесса (см. рис. 5.1). Кроме того, влияние параметров Fo. Определим достаточные условия, при которых установившееся значение температуры Ф(У) наиболее нагретой точки полупространства на превосходит заданного максимального значения в. определяющих параметров задачи на установившуюся температуру Ф(У) наиболее нагретой точки полупространства, а именно. Несмотря на то, что построенная оценка проста в использовании и наглядна, результат (5.34) достаточно груб, поскольку не зависит от критерия Bi, что с физической точки зрения соответствует случаю, когда подверженное воздействию теплового потока покрытие не охлаждается внешней средой. Уравнение (5.41) имеет единственое решение v Є [0, 1] (см. рис. 5.3), которое может быть найдено приближенно с использованием известных численных методов: метода бисекции или метода Ньютона [114, 138].
