Содержание к диссертации
Введение
I. Модели и методы расчета взаимодействия пузырьков в ин тенсивных акустических полях: краткий обзор 13
1. Динамика отдельных пузырьков 14
2. Характерные особенности взаимодействия пузырьков в ин тенсивных акустических полях 20
3. Модели и методы расчета взаимодействия сферических пу зырьков 23
4. Модели и методы расчета взаимодействия слабонесферических пузырьков 33
5. Модели и методы расчета взаимодействия сильнонесферических пузырьков 37
6. Заключение по главе 1 49
II. Постановка задачи. Математическая модель взаимодействия пузырьков 51
7. Постановка задачи 52
8. Уравнения взаимодействия пузырьков 56
9. Учет влияния вязкости жидкости 66
10. Учет влияния сжимаемости жидкости 67
11. Учет влияния теплообмена между пузырьками и жидкостью 68
12. Математическая модель взаимодействия пузырьков 70
13. Метод расчета 72
14. Заключение по главе 2 73
III. Моделирование взаимодействия сферических пузырьков 74
15. Математическая модель взаимодействия сферических пу зырьков 75
16. Метод решения задач взаимодействия сферических пузырьков 78
17. Частный случай уравнений взаимодействия сферических пузырьков 84
18. Верификация математической модели и метода расчета задач взаимодействия сферических пузырьков 86
19. Взаимодействие двух сферических пузырьков 89
20. Заключение по главе 3 95
IV. Моделирование взаимодействия слабонесферических пузырьков 97
21. Частные случаи уравнений взаимодействия слабонесферических пузырьков 98
22. Верификация модели и метода расчета задач взаимодействия слабонесферических пузырьков 104
23. Взаимодействие двух пузырьков 108
24. Взаимодействие пузырька со стенкой 127
25. Взаимодействие трех пузырьков 133
26. Заключение по главе 4 138
Заключение 141
Литература 143
- Характерные особенности взаимодействия пузырьков в ин тенсивных акустических полях
- Учет влияния теплообмена между пузырьками и жидкостью
- Частный случай уравнений взаимодействия сферических пузырьков
- Верификация модели и метода расчета задач взаимодействия слабонесферических пузырьков
Введение к работе
Актуальность. Физические свойства жидкостей с пузырьками, происходящие в них химические превращения, биологические процессы и т.д. в значительной степени зависят от особенностей взаимодействия между пузырьками. Интенсивность такого взаимодействия увеличивается в акустических полях, где давление жидкости является переменным, вследствие чего пузырьки совершают нелинейные радиальные колебания. В результате взаимодействия радиальные колебания отдельных пузырьков могут усиливаться или ослабляться, пузырьки могут удаляться друг от друга или сближаться, формировать устойчивые структуры (связанные пары, кластеры, стримеры) и т.д.
Существующие в настоящее время математические модели и методы расчета задач взаимодействия пузырьков можно условно разбить на три группы. В первой из них уравнения взаимодействия представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно радиусов взаимодействующих пузырьков, пространственных координат их центров и, в случае несферических пузырьков, амплитуд отклонения формы пузырьков от сферической в виде отдельных сферических гармоник. Решение здесь, как правило, находится численно с применением какого-либо варианта метода Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования по времени. Вторую группу составляют различные варианты метода граничных элементов, а третью образуют методы прямого численного моделирования: конечных разностей и конечных элементов. Каждая группа имеет свои преимущества и недостатки. В частности, подходы первой группы, к которой относятся предлагаемые в настоящей работе модели, более просты и экономичны, но, вместе с тем, и более ограничены, например, из-за более жестких ограничений на величину отклонений формы пузырьков от сферической.
К настоящему времени в рамках первой группы наиболее развитыми являются модели и методы исследования дальнего взаимодействия, когда расстояние между пузырьками относительно велико. В качестве меры близости взаимодействия пузырьков принято считать безразмерный параметр 5 = max [(Ri + Rj)/dij] < 1, где R,bJ Rj - радиусы пузырьков, d{j - рассто-
яние между их центрами (і ф j), i,j = 1,2,... К, К - общее количество взаимодействующих пузырьков. Изучение дальнего взаимодействия было начато еще в конце 19 века. С тех пор получено много теоретических и экспериментальных результатов. Теоретические исследования проводились, в основном, с применением математических моделей второго порядка точности по 5. Для адекватного описания наблюдаемых экспериментально кластеров и стримеров такой точности недостаточно, поскольку расстояние между пузырьками в этих структурах может быть меньше, чем при дальнем взаимодействии. Сравнительно недавно были разработаны модели, имеющие относительно 5 третий и четвертый порядки точности. Но и их точности может оказаться недостаточно из-за того, что для контроля достоверности результатов решение п-го порядка точности нужно сравнивать с решением (n + 1)-го порядка, так как лишь их близость позволяет сделать заключение о достоверности решения n-го порядка. Поэтому, строго говоря, модели четвертого порядка точности позволяют получить правильное решение лишь с третьим порядком, третьего - со вторым и т.д.
В большинстве существующих моделей первой группы пузырьки, как правило, считаются чисто сферическими. Вместе с тем, результатом взаимодействия может быть не только указанное выше сближение и удаление пузырьков или формирование из них связанного кластера, но и деформация пузырьков. Большие деформации могут привести к разрушению пузырьков. При разрушении каких-либо пузырьков в группе свойства всей группы могут существенно измениться. Поэтому деформацию пузырьков следует учитывать, иначе полученные теоретические предсказания их поведения могут оказаться неверными.
Таким образом, построение относящихся к первой группе математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу пузырьков («близкого» взаимодействия) в акустическом поле с учетом деформаций их поверхностей является весьма актуальным.
Цель работы. Целью работы является построение, верификация и апробация математических моделей взаимодействия близко расположенных друг к другу газовых пузырьков в жидкости в акустическом поле с учетом малых деформаций их поверхностей.
Научная новизна работы. Научная новизна диссертации состоит в
следующем.
Разработаны математические модели близкого взаимодействия сла-бонесферических пузырьков в виде систем ОДУ второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений их формы от сферической и первого порядка для температур газа в пузырьках с учетом влияния вязкости и сжимаемости жидкости, теплообмена между жидкостью и пузырьками.
Предложена методика численного решения соответствующих задач, включающая метод последовательных приближений для решения систем линейных уравнений относительно коэффициентов представления потенциала скорости в виде ряда по полиномам Лежандра и метод Дормана-Принса для решения систем ОДУ.
Обнаружены режимы взаимодействия пузырьков, при которых их радиальные колебания, пространственные перемещения и деформации не зависят от предыстории взаимодействия. Выявлено, что при дорезонанс-ном возбуждении радиальные колебания взаимодействующих пузырьков и их пространственные перемещения могут быть слабо зависящими от деформаций пузырьков. Показана возможность взаимодействия несферических пузырьков с образованием связанных пар и троек.
Научная и практическая ценность работы. Предложенные в работе математические модели и метод расчета динамики пузырьков могут быть использованы для проведения детальных исследований радиальных колебаний, пространственных перемещений и малых деформаций близко расположенных друг к другу пузырьков. Они могут применяться также для оценки взаимовлияния пузырьков в кластере. Их можно применять при планировании экспериментальных исследований взаимодействия пузырьков, для изучения циклических нагрузок при кавитационном воздействии на жесткие стенки. Предложенные математические модели и метод расчета можно использовать для получения эталонных решений при тестировании более сложных методов расчета взаимодействия пузырьков.
Достоверность результатов работы. Достоверность результатов диссертации обеспечивается корректностью постановки задачи, согласова-
ниєм результатов расчетов с экспериментальными данными, численными решениями других авторов, численными решениями, полученными автором с применением других математических моделей.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на: Научной конференции «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006); Российской конференции «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007); VI и VII Молодежных научных школах-конференциях «Лобачевские чтения» (Казань, 2007, 2008); VII и VIII Всероссийских семинарах «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2008); XXVIII и XXIX Научных конференциях молодых ученых и специалистов ТГГПУ (Казань, 2008, 2009); Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008); VI Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е. Алемасо-ва «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008); Российском симпозиуме "Динамика многофазных сред", посвященном 50-летию чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина (Казань, 2008); Итоговых научных конференциях ИММ КазНЦ РАН за 2007, 2008 г. Работа в целом была заслушана на семинаре ИММ КазНЦ РАН под руководством чл.-корр. РАН Д.А. Губайдуллина.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 статей и 2 тезисов. Список публикаций приводится в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, содержащих 26 параграфов, и заключения. Изложена на 160 страницах, включающих 31 рисунок и список литературы из 167 наименований.
Характерные особенности взаимодействия пузырьков в ин тенсивных акустических полях
Взаимодействие пузырьков привлекло внимание исследователей еще в 19-м веке, когда отец и сын Бьеркнесы обнаружили и объяснили явление притяжения радиально пульсирующих пузырьков, если они колеблются в одинаковой фазе, и отталкивание, если они колеблются в противофазе. Результаты этих исследований изложены в книгах Bjerknes 1906 [57], Bjerknes 1915 [56]. Поэтому в последующем силу гидродинамического взаимодействия между пузырьками стали называть силой взаимодействия Бьеркнеса или вторичной силой Бьеркнеса, в отличие от первичной силы Бьеркнеса, которая выражает воздействие акустического поля на находящийся в нем пузырек.
Со взаимодействием пузырьков связаны такие явления, как кавитацион-ное разрушение материалов, кавитациониый шум (Кнэпп, Дейли и Хэммит 1974 [29], Leighton 1994 [115]). Из-за нелинейности радиальных пульсаций взаимодействующих пузырьков вторичная сила Бьеркнеса может изменять и величину, и даже направление (Konovalova and Akhatov 2005 [108]). Взаимодействие пузырьков может приводить к таким нелинейным явлениям, как удвоение периода и переход к хаотическим колебаниям (Fujikawa and Takahira 1988 [82]).
В результате взаимодействия из двух пузырьков могут формироваться связанные пары (Doinikov 2001 [74]), а из большого количества пузырьков - связанные кластеры. Примером связанных кластеров являются вет-веподобные образования нитевидных структур, называемых стримерами (Akhatov, Parlitz, and Lauterborn 1996 [44]).
В работе Кобелева, Островского и Сутина 1979 [30] сообщается об экспериментально обнаруженном эффекте самопросветления акустических волн в жидкости с пузырьками газа, заключающемся в том, что коэффициент затухания волны падает при возрастании ее интенсивности. По мнению авторов этот эффект обусловлен группировкой и слиянием пузырьков под действием сил Бьеркнеса.
Знание особенностей взаимодействия между пузырьками необходимо также и при расчете эффективных свойств смесей пузырьков с жидкостями. Согласно обзору статистической теории гетерогенных сред Batchelor 1974 [47], взаимодействие пузырьков несущественно при низких концентрациях пузырьков, когда их объемное содержание не превышает 1%. В противном случае взаимодействие пузырьков следует учитывать.
Взаимодействие пузырьков в сильных акустических полях во многом определяется тем, что для пузырьков, находящихся в сильных акустических полях, характерны: радиальные колебания немалой амплитуды; значительные пространственные перемещения; наличие (малых или больших) отклонений формы пузырьков от сферической.
Радиальные колебания большой амплитуды возбуждаются интенсивными колебаниями давления окружающей жидкости. Пространственные перемещения пузырьков могут вызываться как действием силы тяжести, наличием в акустическом поле градиентов давления, так и взаимодействием между пузырьками. С увеличением амплитуды радиальных колебаний скорость и величина пространственных перемещений пузырьков возрастают.
Пузырьки в реальности чисто сферическими не бывают. Однако иногда деформацией их поверхностей можно пренебречь. Для отдельных пузырьков подобная ситуация имеет место, например, на режиме длительной устойчивой периодической сонолюминесценции отдельного пузырька в пучности ультразвуковой стоячей волны давления (Barber, Hiller, Lofstedt et al. 1997 [46], Putterman and Weninger 2000 [138], Маргулис M.A. 2000 [35]). Это явление открыто в 1990 году Gaitan and Crum 1990 [84] и с тех пор довольно активно изучается. Значительный интерес к нему вызван тем, что свет в нем (в отличие от известного ранее явления люминесценции многих пузырьков, вызываемого также ультразвуковым акустическим возбуждением) излучается не многими, а одним пузырьком и столь интенсивно, что оказывается видимым невооруженным глазом (в случае многопузырьковой сонолюминесценции его видно только в затемненном помещении и при наличии в жидкости лиминисцирующих примесей) Barber, Hiller, Lofstedt et al. 1997 [46]. Сохранению формы пузырька близкой к сферической на режиме однопузырьковой сонолюминесценции способствует, в частности, то, что пузырек в жидкости практически не перемещается, т.к. под влиянием действующих на него первичных сил Бьеркнеса, обусловленных переменным градиентом давления в жидкости, он оказывается "запертым" в определенном месте пространства (в пучности стоячей волны давления).
При взаимодействии пузырьков их также иногда можно считать сферическими. В частности, несферичность пузырьков убывает с увеличением вязкости жидкости, с увеличением поверхностного натяжения и расстояния между пузырьками. Допущение о том, что форма пузырька является чисто сферической, приводит к упрощению математической формулировки задачи. Естественно, что принятие такого допущения должно быть обоснованным.
Характер взаимодействия между пузырьками во многом зависит от расстояния между ними. В качестве меры близости взаимодействия пузырьков принято считать безразмерный параметр 6 = max [(7 + Rj)/dij] 1 -максимальное по всем парам взаимодействующих пузырьков отношение суммы их радиусов к расстоянию между их центрами, где R{, Щ - радиусы пузырьков, dij - расстояние между их центрами (г ф j), i,j — 1,2,... К, К - общее количество взаимодействующих пузырьков. Ясно, что чем ближе взаимодействующие пузырьки, тем выше должна быть точность используемой для описания их динамики математической модели относительно 6.
Наиболее популярным методом получения уравнений взаимодействия сферических пузырьков (обыкновенных дифференциальных уравнений для радиусов взаимодействующих пузырьков и пространственных координат их центров) является формализм Лагранжа. Так, в работе Воинова и Головина 1970 [20] формализм Лагранжа применяется для пузырьков, взаимодействующих в гидростатическом поле. При этом учитываются дис-сипативные силы через скорость диссипации кинетической энергии движения жидкости. Вывод состоит из трех этапов. На первом этапе выводятся уравнения поступательного движения пузырьков, на втором - уравнения их радиального движения, на третьем учитывается влияние вязкости жидкости. Конечные выражения получены с точностью до второго порядка относительно 6.
В работе Кузнецова и Щукина 1972 [32] формализм Лагранжа применяется для описания взаимодействия двух пузырьков в вязкой жидкости. Получены уравнения взаимодействия, имеющие относительно 5 третий порядок точности. Методом малого параметра в первом и втором приближениях получены аналитические выражения для скорости пузырьков и времени их взаимодействия. Приводятся сравнения с экспериментами.
Учет влияния теплообмена между пузырьками и жидкостью
Выражение для давления (7.2) соответствует либо чисто изотермическому (Гг = 1), либо чисто адиабатическому (Г,- = к) пузырьку. В реальности же 1 ТІ к. Простейший способ учета этого обстоятельства состоит в скачкообразном изменении Г между 1 и к (например, Reddy and Szeri 2002 [140] полагают Г» = 1 при R Ro и Г» = к при R R0).
В настоящей работе, следуя Hilgenfeldt, Grossmann, and Lohse 1999 [95], Г считается функцией числа Пекле, которое, как известно, характеризует соотношение между конвективным и молекулярным переносом тепла. Число Пекле принимается в виде где Ui - характерная скорость радиального движения поверхности пузырька, Хг — \/{Picv), Аг- - коэффициент теплопроводности газа в пузырьке, cv - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, pi - плотность газа в пузырьке. Полагается, что Аг- = До (Тг-/То) , / = ро,г {Rd,i/Rif -, Ро,г = Ро,г/ (RgTo), где То - температура жидкости, ТІ - температура газа, Ао - теплопроводность газа при температуре То, ро,г _ начальная плотность газа, ро,г - начальное давление газа, Rg - газовая постоянная. В качестве ха-рактерной скорости С/г- принимается характерная скорость свободных незатухающих колебаний адиабатического пузырька (определяемая через полную энергию колебаний)
При использовании (11.1), (11.2) вместо (7.2) в правых частях уравнений системы (8.16) для радиусов пузырьков возникает зависимость от температуры Tj, и к системе уравнений (8.16) добавляются уравнения (11.2). Согласно (8.6), в полученной выше системе уравнений взаимодействия пузырьков (8.16) предполагается, что число гармоник, определяющих малые отклонения формы пузырьков от сферической, является неограниченным. Это, в частности, проявляется в том, что суммирование по п в выражении г si = Ri-\-aniPni ведется от 2 до со. В реальности же из-за растущего с увеличением п демпфирующего влияния вязкости жидкости максималь-ное значение числа п в этом выражении ограничено, т.е. можно использовать 2 п N.
В уравнениях (8.16) предполагается также, что порядок их точности относительно параметра 6 = max [(/ + Rj)/dij], характеризующего макси-мальную близость между взаимодействующими пузырьками, является произвольным. Это проявляется в том, что в слагаемых уравнений системы (8.16) суммирование по 7 У степеней d 1 ведется до со, поскольку порядок точности относительно 5 фактически определяется показателями степени параметра dZ1. Вместе с тем ясно, что при численном решении задач можно использовать лишь конечный порядок точности М, а произвольно высокий порядок точности можно достигнуть лишь последовательным увеличением числа М.
Рассмотрим теперь, как будет выглядеть математическая модель взаимодействия пузырьков в том случае, когда число гармоник п, определяющих отклонение формы пузырьков от сферической, изменяется в диапазоне 2 п 7V, а порядок точности относительно д равен М. В этом случае при М 2 будем, в частности, иметь
Частный случай уравнений взаимодействия сферических пузырьков
Незначительные различия объясняются разными методами решения (погрешность метода расчета настоящей работы совпадает с погрешностью модели: О ( 54)).
Для иллюстрации правильности решения системы (15.4), получаемого по предложенному в предыдущей главе алгоритму, проводится его сравнение с решением, рассчитанным по совершенно иным по форме уравнениям (17.1). При этом задача взаимодействия двух пузырьков была подобрана так, что четвертое и пятое приближения по 5 ее решения еще значительно расходятся, а пятое и шестое - уже довольно близки. Это обстоятельство контролировалось по решению системы (15.4). Поэтому из близости пятых приближений решения данной задачи по уравнениям (15.4) и по уравнениям (17.1) можно заключить о правильности работы предлагаемого алгоритма расчета.
На рис. 6 приведено изменение координат центров пузырьков на протячетырех периодов их взаимодействия, рассчитанное с помощью моделей 3-6-го порядков точности в рамках систем (15.4) и (17.1). При этом вязкость жидкости учитывается в предположении потенциальности движения жидкости (т.е. в выражениях (15.5) и (17.2) А — 1), а сжимаемость -согласно (10.1). Расчеты проводились для адиабатических пузырьков при амплитуде колебаний давления жидкости Ар = 1.21 бар. Начальные значения радиусов пузырьков, координат их центров следующие: Щ = 4 мкм, Rj = 5 мкм, Zi — 100 мкм, Zj=0 (dij = 100 мкм). Другие входные данные те же, что и в предыдущей задаче.
Из рис. 6 видно, что решения 3-го и 4-го порядков точности в рамках систем (15.4) и (17.1) довольно далеки от "эталонного" решения, под которым понимается решение 6-го порядка точности по уравнениям (15.4), а решения 5-го порядка в рамках систем (15.4) и (17.1) с ним совпадают. Отсюда следует, что алгоритм решения уравнений (15.4) работает правильно.
Некоторые характерные особенности взаимодействия пузырьков в рассматриваемых ниже задачах демонстрируются на примере взаимодействия двух (г-го и j-то) пузырьков одинакового размера. Результаты расчетов для одного периода колебаний давления жидкости представлены на рис. 7. В верхней части рис. 7 приведены временные зависимости радиусов пузырьков и параметра Г&, а в нижней - временные зависимости положений центров пузырьков на оси z и величины малого параметра 6. Решение получено с третьим (М = 3) порядком точности относительно 6 при следующих входных данных: со = 1500 м/с, ро = 998 кг/м3, ро — 1 бар, То = 293.15 К, а = 0.0725 Н/м, /І = 10 3 кг/(м с), к = 1.4, cv = 720 ДжДкг К), Л0 = 0.0258 Вт/(м К), Rg = 287 Дж/(кг К), Ар = 1.2 бар, UJ/2TT = 20 кГц. При t = 0: Rj = Rj = 3 мкм, 7 = Rj = 0, zi — 300 мкм, Zj — 0 (dij — 300 мкм), Zi — Zj = 0.
Большую часть времени пузырьки при взаимодействии ведут себя как изотермические (Г/t 1). Вместе с тем, кратковременно в окрестностях локальных экстремальных сжатий, возникающих в ходе радиальных колебаний пузырьков, следующих за их максимальным расширением, поведение пузырьков становятся близкими к адиабатическому (величина Г& заметно превышает 1, приближаясь к к= 1.4). Это означает, что пузырьки нельзя рассматривать как чисто изотермические, или адиабатические. (Отметим, что описываемые ниже особенности взаимодействия можно получить и в таких предположениях, но при этом размеры пузырьков будут несколько иными.)
Для пространственных передвижений пузырьков характерно, что при расширении они перемещаются значительно меньше и медленнее, чем при сжатии. Наибольшие смещения наблюдаются в ходе первого наиболее сильного сжатия, особенно в его заключительной высокоскоростной стадии, где смещение составляет около 6 мкм, что в 2 раз больше равновесного радиуса. Последующие пространственные перемещения в ходе затухающих радиальных колебаний являются менее выраженными, а к концу периода практически исчезают. Параметр 6: характеризующий близость взаимодействия, принимает максимальное значение (около 0.16) в момент максимального расширения пузырьков.
Далее приводятся три примера взаимодействия двух сферических пузырьков при входных данных и начальных условиях, близких к тем, что использовались в предыдущем случае. В этих примерах пузырьки сближаются и образуют связанную пару. ственного положения пузырьков на оси z и параметра 6 в ходе взаимодействия пузырьков на протяжении 50 периодов колебаний давления жидкости. В начале взаимодействия / = 2.5 мкм, Rj = 4.5 мкм. Приведены решения, полученные относительно 5 с порядком точности М — 3 (штриховые кривые), 4 (пунктирные кривые) и 5 (сплошные кривые). Кривые с М 5 совпадают.
В ходе первых 15 периодов пузырьки находятся еще относительно далеко друг от друга, так что их взаимодействие можно описывать моделью третьего порядка. Затем примерно через 3 периода пузырьки формируют связанную пару, которая в последующем смещается как единое целое. Расстояние между пузырьками в паре удовлетворительно описывается при М = 3, однако скорость смещения пузырьков в этом случае оказывается совершенно неверной (направленной противоположно тому, что должно быть). При М = 4 скорость смещения пары получается правильной по направлению, но неверной по величине. И лишь модели с М 5 дают полностью правильное решение. Максимальное значение параметра 6 при сближении пузырьков и формировании связанной пары возрастает от 0.15 до 0.55, а затем остается постоянным.
Изменение расстояния между центрами пузырьков в рассмотренном на рис. 8 примере характеризует рис. 9д, где точками отмечена величина dij/dij(0) в начале каждого очередного периода колебаний давления жидкости. Как видно, после образования пары расстояние между пузырьками в указанные моменты времени оказывается одинаковым.
Верификация модели и метода расчета задач взаимодействия слабонесферических пузырьков
Предложены математическая модель произвольно близкого взаимодействия нескольких (двух и более) сферических газовых пузырьков, находящихся на оси симметрии задачи, а также упрощенная модель, имеющая пятый порядок точности относительно малого параметра д. Уравнения второй модели, в отличие от уравнений первой, содержащих коэффициенты разложения потенциала по полиномам Лежандра, полностью разрешены относительно радиусов пузырьков и их пространственных положений. В случае двух пузырьков приведено доказательство сходимости представления потенциала скорости в виде суммы рядов по полиномам Лежандра в системах координат взаимодействующих пузырьков. Проведено тестирование предлагаемого метода нахождения коэффициентов указанных рядов и сравнение его эффективности с двумя другими методами, один из которых известен в литературе. Выполнена верификация предлагаемых моделей. Для иллюстрации их применимости к изучению более "близкого" взаимодействия пузырьков, чем это можно сделать с помощью известных моделей аналогичного типа, приведены три примера, различающиеся характером пространственных перемещений пузырьков после образования связанной пары. В первом примере период пространственных колебаний пузырьков в паре совпадает с периодом колебаний давления жидкости, во втором превышает его в два раза, а в третьем изменяется апериодически.
Представлена упрощенная модель взаимодействия газовых пузырьков в сильном акустическом поле с учетом малых деформаций их поверхностей, имеющая по д четвертый порядок точности. Она получается из наиболее общей математической модели настоящей работы в том случае, когда пузырьки находятся относительно далеко друг от друга. Дифференциальные уравнения данной модели записаны в терминах радиусов взаимодействующих пузырьков, координат их центров на оси симметрии и амплитуд малых отклонений их формы от сферической. Коэффициенты представления потенциала скорости жидкости в виде рядов по полиномам Лежандра в них отсутствуют. Поэтому они более удобны как для анализа, так и применения. Однако недостатком упрощенной модели является ее ограниченная точность, так что ее можно использовать лишь при достаточно больших расстояниях между пузырьками. Для описания очень близкого взаимодействия пузырьков она не походит. В таком случае нужно применять более общие выражения второй главы.
Из указанных уравнений взаимодействия двух пузырьков как частный случай получены уравнения динамики отдельного пузырька у плоской жесткой стенки. В этом случае число уравнений уменьшается в 2 раза. Для верификации предлагаемых моделей взаимодействия слабонесфе-рических пузырьков использовано известное решение Plesset and Chapman 1971 [130] задачи о схлопывании кавитационного пузырька около плоской жесткой стенки, полученное конечно-разностным методом.
Для иллюстрации применимости предлагаемых моделей рассматривается справедливость обычно используемого в литературе предположения о сохранении сферической формы двух и более взаимодействующих пузырьков.
Уравнения (8.16) второй главы представляют основную математическую модель взаимодействия пузырьков настоящей работы. Их главным достоинством является то, что они позволяют изучать взаимодействие пузырьков практически при произвольно малых (но не равных нулю) расстояниях между пузырьками, т.е. при произвольных значениях числа М, определяющего порядок точности модели относительно параметра 5, характеризующего близость взаимодействующих пузырьков. Вместе с тем, уравнения (8.16) являются довольно громоздкими. Кроме того, в них входят коэффициенты В І представления потенциала скорости жидкости в виде рядов по полиномам Лежандра и их производные В7І, явные выражения которых через радиусы пузырьков, координаты их центров и амплитуды отклонений их формы от сферической не используются, иначе конечные уравнения были бы еще более громоздкими.
В литературе, как правило, применяются уравнения взаимодействия пузырьков, имеющие по 6 какой-либо определенный порядок точности. Если порядок точности относительно небольшой, то уравнения взаимодействия можно существенно упростить, так что они становятся более удобными как для анализа, так и для решения. Для сферических пузырьков уравнения такого типа имеются до четвертого порядка точности, а для слабонесфери-ческих пузырьков, как представляется, - лишь не выше второго. Поэтому ниже предлагается система таких уравнений, имеющая по 6 четвертый порядок точности, т.е. в предположении, что величиной б5 по сравнению с 1 можно пренебречь.
