Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Актуальность проблемы связана с широким представлением дисперсных систем в различных природных процессах и практической деятельности человека, в связи с чем возникает необходимость моделирования поведения таких систем в различных полях. В последние годы интенсивно развиваются методы аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях (электромагнитного поля, температуры, давления и т.д.). Моделирование движения таких дисперсных сред при различных внешних воздействиях - очень трудная задача, связанная с многообразием и сложностью проявлений свойств неоднофазности (взаимодействие фаз, структурирование и т.д.), что приводит к необходимости проведения все новых исследований в этой области. Одной из центральных проблем многофазных и, в частности двухфазных, сред является моделирование взаимодействия фаз.
Моделирование взаимодействия и движения двух и более частиц в вязкой жидкости очень сложная задача. В разное время предлагались разные подходы к решению этой проблемы. Метод отражений, впервые предложенный Smoluchowski [9], получивший дальнейшее развитие в работах Faxen, Kynch, Wakia [9] заключается в последовательном вычислении отраженных полей от поверхностей всех тел, погруженных в жидкость. Метод позволил получить хорошее аналитическое решение задачи о взаимодействии двух частиц и задачи о взаимодействии одной частицы и плоской стенки. Однако процедура этого метода оказалась достаточно сложна, так что уже для трех частиц было получено решение только для частного случая их расположения.
Поскольку решение общей задачи о взаимодействии нескольких сферических частиц оказалось довольно сложной задачей, было развито несколько частных методов. Gluckman [5] развил процедуру моделирования осесиымстричного течения вокруг группы частиц, что позволило ему найти коэффициенты сопротивления для каждой из нескольких частиц при обтекании их однородным потоком, параллельным их линии центров.
В ряде работ [3,4,6] (Ganatos, Kim, Schmitz и др.) рассматривалось решение задачи о двух частицах через нахождение матрицы подвижности. В результате описанного в этих работах метода в большинстве случаев получалась система линейных уравнений, которая затем численно решалась. Решение находилось с большой точностью. Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии многих частиц. Были предложены различные способы, как это можно сделать.
Метод стоксовой динамики, развитый в работах Bossis, Brady, Durlof-sky [1,2] с самого начала использовался как, главным образом, численный метод. Процедура расчета этим методом основана на представлении многочастичных взаимодействий суммой парных и учете результатов теории смазки с последующим вычислением сил, действующих со стороны жидкости.
В связи с интенсивным развитием компьютерных технологий прогрессирует и численное моделирование, позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло. Метод конечных элементов использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Однако, даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц трудной задачей, так как требует большого объема вычислений. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа частиц, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.
Цель и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование гидродинамического взаимодействия частиц в нестационарных потоках вязкой несжимаемой жидкости. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
разработка математической модели, учитывающей гидродинамическое взаимодействие частиц произвольного радиуса в нестационарном потоке несжимаемой жидкости;
получение на основе разработанной модели аналитических выражений для сил, действующих на частицы, и численного моделирования их поведения в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости;
изучение влияния гидродинамического взаимодействия частиц на возможность образования агрегатов в нестационарных потоках жидкости;
изучение влияния быстропеременного магнитного поля на динамику магнитных частиц с учетом их диполь-дипольного и гидродинамического взаимодействия и возможность образования агрегатов в таких магнитных полях.
Методы исследования базируются на методах моделирования
физических процессов, аналитических и численных методах решения уравнений математической физики.
Научная новизна работы заключается в следующем:
Предложена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости.
В рамках модели получены выражения для сил и моментов, действующих на частицы, и проведено численное моделирование поведение частиц в однородном потоке с учетом их гидродинамического взаимодействия.
Получены результаты численного моделирования динамики частиц и влияние гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов в быстропеременном потоке вязкой несжимаемой жидкости.
Предложена математическая модель, описывающая динамику магнитных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле с учетом их гидродинамического взаимодействия.
Получены результаты численного моделирования динамики дипольных частиц в быстропеременном внешнем магнитном поле и влияние такого поля на возможность образования агрегатов из магнитных частиц.
Достоверность полученных результатов подтверждается использованием известных аналитических и численных методов моделирования, а также непротиворечием полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.
Практическая значимость результатов исследования.
Результаты работы заключаются в создании математической модели, описывающей поведение частиц в вязкой жидкости в быстропеременных полях с учетом их гидродинамического взаимодействия. Полученная модель может быть использована при расчете процессов, происходящих в дисперсных системах и связанных с динамикой частиц в жидкости во внешних полях.
Основные положения, выносимые на защиту:
математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие частиц в быстропеременном потоке несжимаемой вязкой жидкости;
результаты расчета сил и моментов, действующих на частицы со стороны жидкости в результате их взаимодействия;
результаты численного исследования динамики частиц в быстропеременном потоке несжимаемой вязкой жидкости и влияния гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов из частиц;
математическая модель, описывающая динамику дипольных частиц в быстропеременном внешнем поле;
результаты численного исследования динамики дипольных частиц в быстропеременном внешнем поле и влияния такого поля на возможность образования агрегатов из частиц.
Апробация результатов.
Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах Средневолжского математического4 общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского; VII, VIII Международных конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения"(г. Саранск, 2006, 2008 гг.); Четвертой международной научной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(г. Саранск, 2009 г.); XIII, XIV научных конференциях молодых ученых, аспирантов и студентов Мордовского государственного университета имени Н.П. Огарева (г. Саранск, 2008, 2009 гг.); 13-ой Международной плесской конференции по нанодисперсным магнитным жидкостям (Плесе, 2008 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы составляет 140 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 65 рисунков, список литературы из 130 наименований.
