Содержание к диссертации
Введение
1 Оптимальные стратегии в области инвестирования и потребления страховой компании в условиях стохастической неопределенности 11
1.1 Уравнения динамики оптимального потребления страховой компании 11
1.1.1 Постановка задачи оптимального управления капиталом страховой компании 11
1.1.2 Вывод динамики оптимального потребления в случае степенной функции полезности 14
1.1.3 Уравнение динамики оптимального потребления в случае произвольной функции полезности 19
1.2 Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий приналичии скачкообразной компоненты в динамике цены рискового актива 21
1.2.1 Постановка задачи 21
1.2.2 Вывод уравнения динамики оптимального управляющего параметра 22
1.2.3 Точная формула оптимального управления в случае логарифмической функции полезности капитала 25
1.2.4 Доказательство существования оптимального управления в случае степенной функции полезности 27
1.2.5 Монотонность оптимального управления по параметрам модели 27
1.3 Выводы 31
1.4 Математические основы модели 33
1.4.1 Основные понятия теории случайных процессов 33
1.4.2 Процессы со сносом и диффузией 35
1.4.3 Процессы со сносом и скачками 38
1.4.4 Процессы со сносом, диффузией и скачками 39
1.4.5 Стохастическое оптимальное управление 41
1.4.6 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Формула Дынкина 42
2 Сравнение критериев оптимальной деятельностистраховых компаний 47
2.1 Влияние ограничений контролирующих органов на инвестиционные стратегии страховых компаний 47
2.1.1 Задача оптимального управления, учитывающая актуальные ограничения на инвестиционные стратегии страховых компаний 49
2.1.2 Решение задачи оптимального инвестирования с ограничениями на управляющий параметр 51
2.2 Сравнение критериев оптимальной деятельности страхо вой компании 52
2.2.1 Краткая постановка задачи 52
2.2.2 Строгая постановка задачи 53
2.2.3 Алгоритм решения задачи сравнения критериев оптимального функционирования страховой компании 57
2.2.4 Полученные результаты в случае высокого коэффициента относительного неприятия риска 59
2.2.5 Полученные результаты в случае низкого коэффициента относительного неприятия риска 62
2.3 Выводы 65
3 Анализ латентных зависимостей убыточностей по различным линиям страхования 66
3.1 Модель диверсификации рисков страховой компании . 66
3.1.1 Постановка задачи 66
3.1.2 Исходные данные и методика решения задачи . 69
3.1.3 Подгонка частных распределений 71
3.1.4 Оценка параметров эллиптических копул 73
3.1.5 Оценка параметров семейств архимедовых копул . 75
3.1.6 Полученные результаты 76
3.2 Новая линия бизнеса и расчет необходимого капитала . 80
3.2.1 Постановка задачи 80
3.2.2 Полученные результаты 82
3.2.3 Выводы 85
3.3 Теоретические основы моделей главы 3 87
3.3.1 Аппарат копула-функций 87
3.3.2 Эллиптические копулы 89
3.3.3 Комонотонные копулы. Границы Фреше 90
3.3.4 Архимедовы копула-функций 93
3.3.5 Методы оценки копул 95
3.3.6 Различные меры риска 96
3.3.7 Формы зависимости 97
3.3.8 Генерация случайных векторов 98
- Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий приналичии скачкообразной компоненты в динамике цены рискового актива
- Задача оптимального управления, учитывающая актуальные ограничения на инвестиционные стратегии страховых компаний
- Алгоритм решения задачи сравнения критериев оптимального функционирования страховой компании
- Новая линия бизнеса и расчет необходимого капитала
Задача выбора оптимальных инвестиционных стратегий приналичии скачкообразной компоненты в динамике цены рискового актива
Пусть лицо, принимающее решения (ЛПР), инвестирует полностью свой капитал в безрисковый и рисковый активы, цены которых, Bt и Р4, удовлетворяют следующим уравнениям: где /о 0 - безрисковая процентная ставка, /J, TQ 0 - ожидаемая доходность рискового актива, t— время, ст - волатильность рискового актива, Wt - винеровский процесс, Д - неслучайная величина одного скачка, не зависящая от , Nt - количество скачков, произошедших в промежутке времени [0,t]. Предполагается, что процесс Nt является пуассоновским с интенсивностью Л 0. Член Pt- в уравнении (1.2.2) обозначает левосторонний предел lim Ра. s— t—
Пусть Xt обозначает капитал инвестора в момент времени t. Предполагается, что капитал Xt полностью инвестируется в рисковый и безрисковый активы. Пусть величины щ и 1 — щ обозначают доли капитала Xt, инвестируемого в рисковый и безрисковый активы соответственно. Величина щ является управляющим параметром модели. С учетом уравнений (1.2.1),(1.2.2) динамика капитала Xt задается следующим образом: Левосторонние пределы, обозначаемые в (1.2.3) через щ и Xt , определяются следующими равенствами: щ- = lim us, Xt- = lim Xs соот s- t- s- t— ветственно. Пусть инвестор заинтересован в максимизации ожидаемой полезности капитала в заданный момент времени Т +оо в будущем: Предполагается, что функция полезности f(x) удовлетворяет естественным ограничениям: f (x) О, f (x) 0. Функция полезности, удовлетворяющая указанным ограничениям и используемая в данной модели, записывается следующим образом: Предполагается дополнительно выполнение следующего неравенства: гарантирующего положительность (в вероятностном смысле) процесса Xt. В настоящем разделе находится решение задачи (1.2.4) при ограничениях (1.2.1)-(1.2.3),(1.2.б). После этого применяется функция полезности (1.2.5). Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия (1.2.1)-(1.2.6). Тогда оптимальное управление ul существует, является константой, обозначаемой через и , и удовлетворяет следующему уравнению: Поскольку целевой функционал (1.2.4) состоит только из терминальной части, оказывается возможным непосредственно применить формулу Ито к функции f(Xr) и вычислить математическое ожидание полученного выражения. Пусть Х0 0 и выполнено условие (1.2.6). Тогда согласно [Hanson, 2007] выполняется неравенство Xt 0 Vi, что оправдывает использование в дальнейшем функции полезности (1.2.5) с положительной областью определения. Применение оператора математического ожидания к левой и правой частей (1.2.9) приводит к следующему равенству: Оптимальное v, определенное формулой (1.2.12), удовлетворяет и достаточному условию максимума.
Действительно, Ф"{щ) = a2X2f"(Xt)+ XA2X2f"(Xt(l + utA)) 0 , т.к. /"() 0. Следовательно, и\ доставляет максимум функции Ф{щ). Подстановка функции полезности (1.2.5) в случае 0 7 1 в (1-2.12) приводит к следующему уравнению: что соответствует уравнению (1.2.7). В частности, формула (1.2.13) выполняется при логарифмической функции полезности (7 = 1): Уравнения (1.2.12)-(1.2.14) позволяют сделать 3 вывода: 1. Поскольку в уравнениях (1.2.13),(1.2.14) ни время t, ни капитал Xt явно не присутствуют, Uj является константой, обозначаемой и . 2. В случае А = 0 (1.2.12) преобразуется к формуле: и = — являющейся известным результатом в финансах [Merton, 1969]. Таким образом, настоящая модель является обобщением модели Мер-тона. 3. Задавшись знаком Д в формуле (1.2.12), можно сравнить результаты классической модели Мертона и рассматриваемой модели. Существуют 2 случая: управления в случае логарифмической функции полезности капитала Основной результат настоящего раздела сформулирован в следующей теореме: Теорема 1.2.2. Пусть условия (1.2.1)-(1.2.4),(1.2.6) выполнены. Пусть функция полезности задается формулой (1.2.5) при 7=1- Тогда оптимальное управление и рассчитывается по следующей формуле: Доказательство. Преобразование уравнения (1.2.14) приводит к следующему равенству: Уравнение (1.2.16) является квадратным уравнением относительно и . Два его корня (1.2.16): Поскольку в уравнениях (1.2.9), (1.2.10) логарифмическая функция полезности рассчитывается в точке Xt(l + Аи ), оптимальное и должно удовлетворять следующему неравенству: Xt(l + Аи ) 0. Ранее было показано, что Xt 0 Vi 0, поэтому требуется выполнение неравенство 1 + Аи 0, совпадающее с условием (1.2.6). Таким образом, объяснено применение условия (1.2.6) в постановке задачи. При Д 0 ограничение (1.2.6) преобразуется к неравенству и — —, а в случае Д 0 - к неравенству и —-г- Соответсвенно, анализ распадается на два случая. Случай 1. Величина D, определенная в (1.2.17), имеет следующую границу снизу D (сг2 + А(ц — г0))2. Объединение указанной границы снизу и рассматриваемого случая Д 0 приводит к следующему неравенству yD сг2 + Д(/І — го). Использование полученного неравенства в формуле (1.2.17) для и\ приводит к условию и\ — — . Таким образом, и\ не удовлетворяет условию (1.2.6). Второй корень Ц УД влетворяет первому ограничению, т.к. выполняется цепочка неравенств: 1 следует, что и\ — —. Верхняя граница щ, очевидно, задается следую щим неравенством: и% -—. Корень и% удовлетворяет условию (1.2.6) fi-r0 1 при выполнении неравенства г— — — что эквивалентно рассмат а1 Д риваемому случаю (1.2.18). Таким образом, и\ является оптимальным управлением в случае (1.2.18). В случае (1.2.19) корень и\ имеет следующую границу снизу: и\ т—. В этом случае корень щ может быть оптимальным управлением аг /Л-Го 1 при выполнени условия ;г— ——, что противоречит рассматривае сН Д мому случаю (1.2.19). Нижняя граница и\ задается следующим образом: и 2 — —, что согласуется с условием (1.2.6) в случае Д 0. Таким образом, Ц является оптимальным управление и во втором случае. В итоге корень и 2, определенный в (1.2.17), является оптимальным управлением в решаемой задаче.
Задача оптимального управления, учитывающая актуальные ограничения на инвестиционные стратегии страховых компаний
В рассмотренной задаче (1.1.1)-(1.1.5) инвестиционная стратегия страховой компании заключается в оптимальном распределении капитала между рисковым и безрисковым активами. На практике с целью повышения устойчивости и платежеспособности страховых компаний контролирующие органы вводят ряд ограничений на инвестиционные стратегии. Данные ограничения, как правило, представляют собой максимальные доли страховых резервов, инвестируемых в тот или иной актив. Инвестирование резервов в подавляющем большинстве стран нормируется в отношении диверсификации по типу инвестиций, лимиту вложений в определенные инвестиционные инструменты и условиям ликвидности. В странах ЕС действующие нормы представляют собой исчерпывающий список предельных относительных вложений страховых резервов в отдельные инвестиционные инструменты (активы). В некоторых странах ЕС допускается превышать эти пределы, однако инвестиции сверх установленных ограничений не считаются разрешенными активами, представляющими страховые резервы. Ограничения по инвестированию вводятся только на величину заемных средств, при инвестировании собственного капитала страховая компания имеет право использовать любую инвестиционную стратегию. В соответствии с вышесказанным необходимо изменить постановку задачи оптимизации так, чтобы учесть ограничения, накладываемые контролирующими органами на долю резервов страховой компании, инвестируемых в те или иные виды рисковых активов. Предполагается, что в инвестиционный портфель страховой компании входят п рисковых и один безрисковый активы. Динамика цен рисковых активов задается геометрическим броуновским движением: где і = 1, .., п и Wt обозначает ь—ый винеровский процесс. Цена безрискового актива удовлетворяет следующему уравнению:
Случайные величины dW в общем случае предполагаются линейно зависимыми, т.е. существует неотрицательно определенная ковариационная матрица С = (Cov(dP{4)/Pti4))) . Уравнение динамики капитала Xt страховой компании в случае тг коррелированных рисковых активов преобразуется следующим образом: где величина премий задается формулой (1.1.3), процесс St задает суммарные выплаты за временной промежуток [0, і], т.е. St — ]Ci=i Li Пусть величина Rt обозначает суммарные резервы на момент времени , а Щ%- величину инвестиций в г—ый рисковый актив в момент t. Ограничения на доли резервов, инвестируемых в рисковые активы, могут быть представлены в виде системы неравенств: где гг— наибольшая допустимая контролирующими органами доля резервов, инвестируемых в г— ый рисковый актив. В указанных обозначениях Пусть цель страховой компании заключается в максимизации ожидаемой полезности капитала: планирования, f(x)- функция полезности, удовлетворяющая ограничениям f (x) 0, f"(x) 0, U - множество допустимых управлений. Цель настоящего раздела заключается в анализе влияния ограничения (2.1.10) на решение задачи (2.1.12). Страховые резервы - как премий, так и убытков - рассчитываются по определенным формулам, учитывающим накопленную статистику по собранным премиям и произошедшим страховым случаям. Динамика резервов Rt отлична от динамики капитала Xt. Поэтому необходимо сделать допущения о взаимосвязи величин Xt и Rt. Для того чтобы перейти к ограничениям на долю капитала, инвестируемого в рисковые активы, левая и правая части неравенства (2.1.10) В качестве критерия выступала ожидаемая полезность капитала в случайный момент времени в будущем или ожидаемая полезность потока потребления на заданном интервале времени, которые максимизировались. В настоящем разделе в рассмотрение включены интересы страхователей. Предполагается, что страхователи заинтересованы в устойчивом функционировании страховой компании. Финансовая устойчивость организации определяется возможностью исполнения принятых на себя обязательств, т.е. выплату возмещений по страховым случаям. Поэтому в качестве нового критерия, учитывающего, с одной стороны, цели страхователей, с другой - ограничения контролирующих органов - рассматривается вероятность разорения страховой компании, которую необходимо минимизировать на заданном интервале времени.
В настоящем разделе решается задача поиска оптимальной доли капитала, инвестируемого в рисковый актив для двух различных функционалов. Первый функционал - максимум ожидаемой полезности капитала в будущий момент времени, второй - минимум вероятности разорения на конечном интервале времени. Оптимальное управление находится численными методами. В модели рассматривается страховая компания, занимающаяся основной деятельностью - сбором премий и выплатой возмещений по страховым случаям - и инвестициями на финансовом рынке. Предполагается, что страховая компания полностью инвестирует свой капитал Xt в момент времени t в безрисковый и рисковый активы, цены которых, Bt и Pt соответственно удовлетворяют уравнениям: где t - время, го 0" - безрисковая процентная ставка, /х го - рисковая доходность, а 0 - волатильность доходности рискового актива, Wt-винеровский процесс. Предполагается, что приращение капитала Xt в момент времени t определяется страхованием и инвестициями. Пусть щ и 1 — щ обозначают доли Xt, инвестируемого соответственно в рисковый и безрисковый активы. На величину щ контролирующие органы часто накладывают ограничения, например: 1- 0 щ 1, означающее запрет коротких позиций; 2. щ итах, где итах- максимально допустимая доля капитала, инвестируемого в рисковый актив. В рассматриваемой модели ограничения на величину щ не накладываются, но в результате численного моделирования будут получены границы для щ, при которых ожидаемая полезность капитала и вероятность разорения принимают оптимальные значения. Предполагается, что суммарные страховые премии pt = р, собираемые за единицу времени, постоянны. Размер одной страховой выплаты задается случайной величиной L, а суммарные страховые выплаты - сложным пуассоновским процессом St. Предполагается, что случайная величина L неотрицательна т.е. P(L 0) = 0, имеет конечное математическое ожидание E(L), дисперсию и неотрицательную функцию распределения F(x). Значение процесса St суммарных убытков рассчитывается по формуле: St — Yli=o гДе количество страховых случаев, произошедших (и урегулированных) за промежуток времени [0, і]. Предполагается, что процесс Л является пуассоновским с интенсивностью Л.
Алгоритм решения задачи сравнения критериев оптимального функционирования страховой компании
При выполненных ограничениях (2.2.1)-(2.2.3),(2.2.7) ищется решение задач с критериями (2.2.4),(2.2.5). Для задачи с целевой функцией (2.2.5) используется функция полезности (2.2.6). В классических актуарных моделях предполагается, что вероятность разорения на бесконечном интервале времени является функцией начального капитала, а на конечном - еще и горизонта времени, то есть ф(Хо, Т) . Поиск точной формулы вероятности разорения является одним из основных вопросов в актуарной математике. В общем случае точной формулы нет даже для классической модели Крамера-Лунберга. Известно [Бауэре, 2001], что аналитическую формулу вероятности разорения в модели Крамера-Лундберга удается вывести в двух следующих случаях: 1. Начальный капитал имеет нулевое значение: Х$ = 0. 2. Случайная величина L возмещения от одного страхового случая имеет показательное распределение. В классической модели Крамера-Лундберга существует верхняя оценка вероятности разорения на бесконечном промежутке времени как функция от начального капитала: где Х0— начальный капитал, R— константа Лундберга [Бауэре, 2001]. В настоящем разделе расчет вероятности разорения /- () осуществляется численно по формуле: где N - количество реализаций метода Монте-Карло, /V{xt o} - количество реализаций процесса Xt, при которых капитал принял отрицательное значение.
Реализация процесса Xt осуществляется до момента времени т\ = min(r, Т), т.е. до момента г разорения или горизонта планирования Т. Учитывая, что в модели возможны разорения, а функция полезности (2.2.6) определена только на неотрицательной области, необходимо определить значение критерия для этого случая. Принятие отрицательного значения капитала Xt для некоторой траектории в момент времени т Т означает, что наступило разорение, и эта траектория капитала далее не рассматривается. Предполагается, что для "разорившихся"траекторий выполнено равенство f{XT) = , получающееся подстановкой в 1-7 (2.2.6) значения х — 0. В общем случае все траектории реализуются до момента т\. Использование численного моделирования при поиске оптимального управления обусловлено еще и тем, что ограничение (2.2.7) постоянства допустимого управления и не позволяет решать поставленную задачу классическими методами оптимального управления. Результаты численного моделирования в настоящем разделе получены для ограниченного количества разумных значений параметров модели.
Показано, что изменение значений большинства параметров качественно не влияет на выводы, поэтому результаты являются устойчивыми. Начальные значения параметров двух моделей выбраны следующие: Ло = 3, E{L) = 1. ц = 0.1. г0 = 0.09, а = 0.3, Л = 0.5, в = 0.1,7 = 0.9. Горизонт планирования Т = 300 условных единиц времени длиной h = 0.1. Количество реализаций каждой траектории N = 600. Для критерия (2.2.5) в случае степенной функции полезности (2.2.6) существует классический результат - точная формула оптимального управления, - полученная в [Merton, 1969]: В формулировке задачи с критерием (2.2.5) на один параметр - 7 больше, чем в задаче с критерием (2.2.4). Этот параметр участвует только при вычислении значения функции полезности J(Xn), его изменение не влияет на (возможное) разорение страховой компании. Но варьирование 7 может изменить оптимальную стратегию страховой компании. В настоящем разделе получены три результата: 1. Установлено, что решения и\, и двух задач находятся в непосредственной близости. Из этого следует близость двух рассматриваемых критериев. 2. Показано, что результаты являются устойчивыми к изменению большинства параметров модели. 3. Показывается, что для случая относительно низкого неприятия риска страховой компанией выводы оказываются обратными. В постановке задачи использовалась степенная функция полезности (2.2.6) с параметром 7- При 0 7 1 страховая компания характеризуется строгой нерасположенностью к риску, поскольку дополнительная единица капитала приносит меньшее удовлетворение. В случаях 7 = 0 и 7 0 страховая компания нейтральна и строго расположена к риску соответственно. Указанный параметр, впервые введенный в [Arrow, 1963], получил название коэффициента относительного неприятия риска.
Чем больше 7 тем больше компания относительно не приемлет риск. Результаты численного моделирования существенно зависят от того, является ли значение 7 относительно высоким или низким, поэтому следующий анализ разумно разделить на два случая: высокого и низкого относительного неприятия риска соответственно. Пусть коэффициент относительного неприятия риска задается относительно высоким значением 7 = 0-9- Пусть через и\ и и\ обозначены оптимальные управления в задачах с критериями (2.2.4) и (2.2.5) соответственно. Следующий график демонстрирует зависимость значений критериев (2.2.4) и (2.2.5) от управления и. 0.25 0.15 Классический результат Мертона при рассматриваемых значениях параметров дает оценку им 0.12. В случае \i = 0.2 классический результат Мертона дает оценку и м и 1.36. Увеличение размера выплаты по одному страховому случаю E(L) в пять раз изменяет оптимальную стратегию несущественно. При этом графики критериев (2.2.4) и (2.2.5) имеют зеркальный вид. График 2.3 показывает, что при относительно высоких значениях E(L) два рассматриваемых критерия не противоречат друг другу. Критерии достигают оптимальных значений при и\ = и\ « 0.2. Таким образом, в этом случае 20% капитала следует инвестировать в рисковый актив. Пусть рассматривается страховая компания, характеризующаяся низким относительным неприятием риска. В этом случае параметр 7 функции полезности (2.2.6) относительно низок. На следующем графике показана зависимость E(f(Xn)) и г/ (-) от її, для значения 7 = 0.1.
Новая линия бизнеса и расчет необходимого капитала
Достаточно часто страховые компании заинтересованы в расширении своего страхового портфеля и поэтому рассматривают возможность принятия на себя рисков по новым линиям страхования. Одним из способов расширить бизнес заключается в том, что более крупные страховые компании поглощают более мелкие. В этом случае основной задачей для страховой компании является прогноз финансовых показателей нового страхового портфеля и принятие на их основе решения о присоединении (или неприсоединении) новой страховой линии. В настоящем разделе рассматриваются модели функционирования страховой компании, принимающей на себя риски по 5 видам страхования, и страховой компании с одной линией страхования. Пусть случайная величина Т№ обозначает полный убыток по второй страховой компании. Тогда, использовав обозначение L 1 суммарного убытка по 5 страховым группам первой страховой компании, величина суммарного убытка по новом} (объединенному) портфелю L 2 тривиально определяется следующим образом: Предполагается, что зависимость коэффициентов убыточностей в новом портфеле описывается эллиптическими и архимедовыми копула -функциями, рассмотренными в разделе 3.1. Параметры копула-функций портфеля с 6 линиями страхования оцениваются для двух различных случаев: 1. Относительно невысокого коэффициента ранговой зависимости Кен-далла убыточнсти по новой линии страхования с остальными, т.е. т6г = 0.1, где г = 1,...,5. 2. Более высокого коэффициента ранговой корреляции Кендалла Тбг = 0.3, где = 1, ...,5.
Пусть как и в разделе 3.1, мерой риска является показатель Value-at-Risk. Тогда основные задачи настоящего раздела формулируются следующим образом: 1. Определение величины Ха дополнительного капитала требуемого для покрытия новых обязательств. 2. Расчет абсолютной выгоды (или убытка) от объединения страховых компаний: Предполагается, что новая линия бизнеса имеет гамма-распределение с параметрами к — 0.11 и в = 8.03, соответствующими математическому ожиданию /z = 0.85 и стандартному отклонению а = 0.1. Предполагается, что суммарная заработанная премия за последний интервал времени по старому портфелю равна ЕР = 1 млрд. у.е. Заработанная премия по новой линии страхования составляет 150 млн. у.е. В настоящей модели используются параметры маргинальных распределений и копула-функций, полученные в разделе 3.2. Переход от относительных показателей убыточности LR к абсолютным величинам полных убытков l/s)осуществляется на основе равенства (3.1.2) с использованием свойства неотрицательной однородности VaRg (X). Доли в заработанной премии в новом страховом портфеле из-за включения 6-й группы изменились и составляют: и \ = 0.19. w = 0.33, w = 0.13, 7«4 = 0.09, w;5 = 0.13, w6 = 0.13. При сделанном допущении о маргинальном распределении LR(6\ рассчитывается показатель VaRo,gg(LR ) = 112.2% и соответствующий размер требуемого капитала в случае, если монопродуктовая компания функционирует отдельно VaRo (L ) = EP VaRo.wiLR ) = 168 млн. у.е. Известно, что мера риска VaRq(X) не является субаддитивной.
Поэтому знак величины Ді, определенной в (3.2.2) заранее неизвестен. С точки зрения экономии средств на формирование резервов решение об объединении страховых компаний должно приниматься на основании знака Аі по следующему правилу: 1. Если Ai 0, то страховым компаниям выгодно объединиться (либо многопродуктовой компании открыть новую линию страхования). 2. При выполнении неравенства Ді 0 компаниям не следует объединяться. 3. При Ді = 0 для принятия решения необходимо проанализировать дополнительные факторы. Замечание. Случай Ді = 0 соответствует аддитивности VuRogg(X). В отличие от существующих исследований в данной области, в настоящей модели дополнительно рассматривается целевая функция первой страховой компании - Дг- изменение финансового результата за счет объединения капиталов, определенная в (3.2.3). 1. Увеличение коэффициента хвостовой зависимости нивелирует эффект диверсификации. Действительно, величина Ai увеличивается при уменьшении степеней свободы (что эквивалентно увеличению хвостовой зависимости) эллиптических копул. Для архимедовых копул наибольшее значение величины Дх наблюдается при использовании копулы Гумбеля, характеризующейся положительной зависимостью верхних хвостов \ц. 2. В случае относительно невысокого коэффициента корреляции Кен-далла - Тбі = 0.1 - значение Аі для всех копула-функций является отрицательным. Поэтому с точки зрения экономии капитала двум страховым компаниям выгодно объединиться. В случае т& = 0.3 и использовании копулы Гумбеля эффект диверсификации сводится на нет: квантиль суммарных убытков объединенной компании больше суммы квантилей убытков двух компаний, функционирующих независимо друг от друга. 3. Для относительно невысокого коэффициента корреляции Кендал-ла новой группы со всеми остальными при всех копула-функциях, кроме Гумбеля, добавление новой линии страхования увеличивает финансовый результат объединенного портфеля. Но увеличение указанного коэффициента до т г = 0.3 приводит к тому, что прибыль новой (объединенной) компании становится меньше прибыли многопродуктовой компании для всех типов зависимости, кроме копулы Клейтона. Увеличение Ді с ростом коэффициента верхней хвостовой зависимости, наблюдаемое в таблицах 3.9 и 3.10, согласуется с результатом раздела 3.1 - ВеЛИЧИНЫ ОТНОСИТеЛЬНОЙ DBvaR И абсОЛЮТНОЙ CSvaR выгоды уменьшались при увеличении коэффициента Ац. Приведенные вычисления указывают на то, что критерии экономии капитала за счет диверсификации и увеличения финансового результата не всегда эквивалентны друг другу. В следующей теореме приведены условия, при которых указанные критерии являются согласованными. Теорема 3.2.1. Пусть 7гь 7Гг и Ai обозначают соответственно финансовый результат старого портфеля, финансовый результат нового (объединенного) портфеля и абсолютную выгоду от диверсификации. Тогда следующие неравенства являются эквивалентными:
