Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Методологические подходы к оценке специфических активов 10
1.1. Категория специфических активов и ее место в экономической теории 10
1.2. Классификация специфических активов 27
1.3. Существующие подходы к оценке специфических активов.. 43
1.4. Постановка задачи моделирования оценки специфических активов 54
Выводы 69
Глава 2. Экономико-математические модели оценки специфических активов с дискретным временем 71
2.1. Модели перераспределения неслучайного квазирентного дохода с дискретным временем 72
2.1.1. Эргодические системы 76
2.1.2. Неэргодические системы 86
2.2. Модели перераспределения случайного квазирентного дохода с дискретным временем 96
2.2.1. Случай независимости систем общего потока доходов и его перераспределения 99
2.2.2. Случай зависимости систем общего потока доходов и его перераспределения 122
2.3. Модели сторонней оценки специфических активов с дискретным временем 126
Выводы и методические рекомендации 134
Глава 3. Экономико-математические модели оценки специфических активов с непрерывным временем 141
3.1. Модели перераспределения неслучайного квазирентного дохода с непрерывным временем 141
3.1.1. Эргодические системы 144
3.1.2. Неэргодические системы 154
3.2. Модели перераспределения случайного квазирентного доходас непрерывным временем 161
3.3. Модели сторонней оценки специфических активов с непрерывным временем 173
Выводы и методические рекомендации 176
Заключение 181
Список литературы
- Классификация специфических активов
- Постановка задачи моделирования оценки специфических активов
- Модели перераспределения случайного квазирентного дохода с дискретным временем
- Модели перераспределения случайного квазирентного доходас непрерывным временем
Введение к работе
Вопросы оценки активов выходят сегодня на первый план. Любая фирма в своей деятельности опирается на имеющиеся в ее распоряжении ресурсы. В соответствии с широко известным определением, ресурсы — это все активы, способности, организационные процессы, фирменные атрибуты, информация, знания и т. п., которые контролируются компанией и позволяют ей разрабатывать и претворять в жизнь стратегии, направленные на реализацию основных целей фирмы. При этом не все ресурсы в равной мере ценны для создания конкурентных преимуществ, однако, о каком бы ресурсе ни шла речь, для компании всегда актуальны вопросы его оценки.
В экономике расходование любых ресурсов (например, денег), создающее поток благ или услуг в будущем, именуется инвестициями, а сам источник потенциального потока называется активом. При этом можно выделить активы разной природы: материальные активы обеспечивают поток благ, финансовые - поток денежных доходов; большую долю составляют активы, имеющие нематериальную природу.
И формы конкуренции на рынках, и методы увеличения ценности бизнеса претерпевают постоянное изменение. Наиболее проблематичными с точки зрения оценки эффективности являются инвестиции в специфические активы, то есть в активы, которые имеют наибольшую ценность при определенных условиях или в рамках конкретной структуры. Одной из особенностей специфических активов является способность обеспечить фирме получение квазиренты, то есть дополнительного дохода. Например, патенты и авторские права позволяют их владельцам требовать выплаты роялти или получения исключительных прав на переиздание книг или компьютерных программ в течение определенного периода. РІнвестиции в образование могут создавать чрезвычайно важный актив - человеческий капитал, который «приводит к увеличению потока будущих доходов, а также к возникновению
потоков других, не менее важных, хотя, возможно, и не столь очевидных, благ» [75, с. 203]. Возможность оппортунистического поведения со стороны контрагентов, однако, может привести к потере этого дохода или его перераспределению.
В наши дни многие компании располагают специфическими активами -узнаваемой торговой маркой, пакетом патентов, изобретений специфическим оборудованием, месторождениями природных ресурсов и т.д., - которые способны генерировать поток доходов от их использования больший, чем универсальные активы. Таким образом, наличие проработанного экономико-математического механизма оценки специфических активов позволяет определить конкурентоспособность компании на рынке.
Ценность компании во многом определена таким специфическим активом, как человеческий капитал, который учитывает профессионализм менеджеров, опыт и квалификацию рабочих, инженеров, исследователей. Определение ценности знаний, приобретаемых на фирме и являющихся также специфическим активом, позволяет дать обоснованную оценку затрат фирмы на обучение персонала.
Оценка специфических активов дает возможность привлечения частного инвестора в различные сферы экономики, что является одной из наиболее актуальных задач развития российского фондового рынка.
Обоснованные модели, позволяющие проводить оценку, как отдельных активов, так и их комплексов, необходимы для принятия решений о целесообразности их приобретения. Без разработанных подходов к оценке невозможно и результативное корпоративное управление и контроль. Выработка стратегии компании может осуществляться только параллельно с процессом оценки. Необходимость построения обоснованных оценочных моделей определена потребностью разных участников рынка в определении ценности активов.
Кризис отечественного фондового рынка 1998 года требует формирования более точного механизма оценки активов компаний, действующих в условиях стратегической неопределенности и недостатка информации, поэтому неудивителен проявившийся в последние годы интерес к новым подходам и научным разработкам в этой области.
Все это подтверждает актуальность и научную значимость выбранной темы исследования.
Цель диссертационного исследования состоит в разработке теоретических основ моделирования ожидаемого потока доходов для оценки специфических активов, базирующихся на источниках квазиренты и сопутствующих данным факторам специфических рисков.
В соответствии с поставленной целью в диссертационном исследовании были поставлены и решены следующие задачи:
сформулирована проблема оценки специфических активов как отдельной экономической категории;
уточнено определение категории специфических активов с точки зрения факторов, приводящих к возникновению специфичности;
раскрыты особенности формирования ценности специфического актива во временном аспекте;
обосновано применение показателя квазиренты для задачи обобщенной оценки специфического актива;
обосновано применение теории марковских процессов при моделировании квазирентного потока для целей оценки как работающих специфических активов, так и дополнительных специфических возможностей;
6. предложен комплекс оценочных моделей, учитывающих
сопутствующие специфическим активам риски с выделением двух типов:
рисков общего квазирентного потока доходов и риска его перераспределения
между участниками.
Объектом исследования настоящей диссертации являются ожидаемые потоки доходов от использования специфических активов и характер их перераспределения между хозяйствующими субъектами.
В качестве предмета исследования выбрана система математических и инструментальных методов оценки специфических активов.
Теоретической и методологической основой исследования послужили работы ученых и специалистов по вопросам теории трансакционных издержек, теории агентских отношений, теории асимметричной информации, теории корпоративных финансов, теории прав собственности, теории ценообразования опционов, теории принятия решений в условиях риска и теории случайных процессов. Для решения поставленных задач использовались инструменты и методы стохастического моделирования марковских процессов.
Научная новизна исследования заключается в следующем:
Исследована сущность понятия «специфический актив» и предложено его новое определение как самостоятельной экономической категории, в котором под специфическим понимается актив, обладающий условной ценностью, заключающейся в способности генерировать квазиренту и зависящей от специфических внешних условий.
Предложена классификация специфических активов по источникам возникновения квазиренты, позволяющая исследовать и описать в экономико-математических оценочных моделях природу специфических рисков, относящихся к каждой классификационной группе активов.
Обоснован выбор инструментов и методов стохастического моделирования для целей оценки специфических активов, позволяющих наиболее адекватно описать природу специфичности и реализовать оценочный механизм в виде экономико-математических моделей определения ценности случайного квазирентного дохода.
4. Разработана система оригинальных экономико-математических
моделей оценки специфических активов, позволяющая учесть вероятностную
природу генерируемого потока доходов и неопределенность его
перераспределения между сторонами процесса взаимодействия, которая
включает: модели оценки специфических активов с учетом перераспределения
неслучайного квазирентного потока; модели оценки специфических активов с
учетом перераспределения случайного квазирентного потока; модели
сторонней оценки специфических активов.
Получены аналитические решения для конкретных схем процесса, реализующих представление о характере воздействия рисков на уровни потока доходов, а именно: модели параллельного воздействия рисков, модели последовательного воздействия рисков, модели последовательно-параллельного воздействия рисков.
Сформулированы методические рекомендации к определению необходимых параметров случайного процесса, учету степени информированности экспертов и обосновано применение разработанных экономико-математических моделей оценки специфических активов для различных субъектов и целей оценки, а также для реализации подхода квазинейтральной рискофобии.
Практическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в возможности применения предложенных экономико-математических моделей как для оценки отдельных специфических активов, так и при комплексной оценке компании, а также для повышения эффективности анализа текущей деятельности компании и принимаемых стратегических решений.
Апробация и реализация результатов работы. Основные результаты исследования обсуждались на научных семинарах кафедры «Исследование операций в экономике» Санкт-Петербургского государственного инженерно-экономического университета, апробированы при подготовке аналитических
отчетов для задач оценки специфических активов ОАО «Силовые Машины». Разработанный экономико-математический инструментарий использовался при прочтении курсов лекций по дисциплинам: «Экономико-математическое моделирование», «Математические методы и модели исследования операций», «Методы и модели в экономике».
Структура работы. Диссертация состоит из трех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе с позиций институциональной экономики рассмотрена категория трансакционно - специфических активов и предложено расширить определение специфических активов с использованием теории ренты. Проанализированы существующие подходы к построению моделей оценки специфических активов. На основании проведенного анализа осуществлена постановка задачи моделирования оценки специфических активов.
Во второй главе разработаны модели: оценки специфических активов с учетом перераспределения неслучайного квазирентного потока, оценки специфических активов с учетом перераспределения случайного квазирентного потока, сторонней оценки специфических активов, - составляющие комплексную систему оценки специфических активов для дискретного времени.
В третьей главе дополнена система моделей, разработанных во второй главе, моделями оценки специфических активов в условиях непрерывного времени.
В заключении подведены итоги исследования, проанализирована его значимость и сформулированы предложения по использованию результатов моделирования.
В приложениях представлены необходимые математические расчеты и доказательства, используемые в ходе моделирования.
Классификация специфических активов
Из экономической теории известно, что каждому фактору производства соответствует определенный вид дохода, составной частью которого является экономическая рента [113, с. 109]. Как известно, экономисты-классики связывали понятие ренты лишь с земельными участками, однако, позднее стало принятым рассматривать экономическую ренту в составе доходов владельцев любого другого фактора.
Экономическая рента определяется как превышение оплаты услуг фактора над удерживающим его в данной области применения доходом [113, с. ПО]. Соотношение между удерживающим доходом и экономической рентой определяется степенью эластичности предложения данного фактора, которая, в свою очередь, зависит от разнообразия вариантов альтернативного использования. Таким образом, если предложение фактора абсолютно эластично, то его ценность будет определяться лишь удерживающим доходом; если же предложения абсолютно неэластично — экономической рентой [113, с. 112]. Чаще всего превышение доли экономической ренты над удерживающим доходом наблюдается у ресурсов, предложение которых ограничено в силу их уникальности.
По словам Яковца, «рента является формой выражения сверхприбыли (добавочного продукта), полученной в результате эксплуатации ограниченных разнокачественных ресурсов» [117, с. 8]. Это определение напрямую связывает категорию специфических активов с понятием ренты. В свете рассматриваемой проблематики это означает, что актив обладает различной ценностью, в зависимости от того, где, когда и при каких условиях он используется.
Принято выделять разные формы ренты. Абсолютная рента возникает при монопольной собственности на ограниченные ресурсы; дифференциальная - при использовании разнокачественных ресурсов; монопольная - при эксплуатации исключительных свойств ресурса [117, с.9].
Квазирентой называют выплаты владельцу фактора, предложение которого в коротком периоде фиксировано. В длительном же периоде, когда все факторы становятся переменными, эти платежи, в отличие от экономической ренты, исчезают. Автор данного термина, А. Маршалл, характеризовал им доход, приносимый каким-либо производительным капитальным благом [73, с. 135].
И. Шумпетер оперировал понятием квазиренты, говоря о доходах от средств производства, отслуживших свой нормативный срок, и о доходах краткосрочного периода от использования новых средств производства, обеспечивающих сокращение издержек на рабочую силу [98, с. 229].
Квазирента представляет собой сверхприбыль, получаемую в результате использования воспроизводимых факторов [117, с.9]. При этом данная категория отличается большей подвижностью и временным характером по сравнению с рентой. Яковец в своей работе приводит классификацию мировой квазиренты, выделяя ее следующие виды: 1) технологическая квазирента (сверхприбыль от использования более эффективных технологий); 2) интеллектуальная квазирента (сверхприбыль владельцев патентов и авторских прав); 3) организационно-хозяйственная квазирента (сверхприбыль от применения эффективных методов организации); 4) финансово-кредитная квазирента (сверхприбыль от проведения кредитных и валютных операций [117, с. 18]).
Имея общую природу (сверхприбыль, получаемую в результате экономической деятельности), рента и квазирента на качественном уровне различаются. Кроме уже отмеченного преходящего характера, квазирента имеет первоисточником «интеллект, знания и опыт человека, воплощенные в используемых технологиях, способах организации производства, методах маркетинга и менеджмента, финансово-кредитных инструментах и т.п. » [117, с.133].
Квазирента создается всегда, когда осуществляются инвестиции в специфические активы. При этом важно отметить, что особенность подобных активов связана не только со способностью приносить дополнительный доход, но и с сопутствующей этому свойству высокой степенью инвестиционного риска.
В отличие от универсального актива, специфические активы сложно перепрофилировать. Зачастую различные специфические активы образуют взаимозависимую группу внутри фирмы и, если последняя перестает существовать, ценность данных активов резко снижается. Таким образом, ценность специфических ресурсов может определяться лишь с учетом внешних условий.
О. Уильямсон показал, что в результате инвестиций в специфические активы, агент оказывается «заперт» в данную сделку, так как разрыв отношений становится равнозначен потере капитала, ведь активы приспособлены к особенностям данного партнера, а для всех остальных имеют малую ценность [103, с. 106].
Для проведения классификации специфических активов полезно упомянуть данное Уильямсоном описание различных типов специфических инвестиций. Автор в своей работе выделял: - специфичность местоположения, - специфичность физических активов, - специфичность человеческих активов - специфичность целевых активов [103, с. 167].
Постановка задачи моделирования оценки специфических активов
В экономике целью инвестиций в любые активы является получение отдачи. Если средства вкладываются в ценные бумаги, инвестора интересует отдача в виде доходности (процент) данного инструмента; если же финансируется некий нерыночный проект — в виде потока доходов [70, с. 55]. Таким образом, если нас интересует экономическая оценка любого актива, как отражение его ценности, то ее можно отождествить со способностью генерировать поток доходов в течение определенного периода времени. Следовательно, в качестве базового подхода к оценке можно использовать метод, основанный на капитализации будущих доходов.
По своему составу, характеру использования и влияния на результаты хозяйственной деятельности специфические активы очень неоднородны. Однако, как уже было показано в пункте 1.З., в оценке подобных активов важно их общее свойство, а именно: приносить непосредственно или опосредованно большую прибыль, или квазиренту. При этом оценка будущего всегда сопряжена с большей или меньшей степенью неопределенности.
Таким образом, при моделировании процесса оценки специфических активов возникают следующие задачи: 1) определить меру специфичности актива (лучшей при этом представляется оценка через понятие ликвидности); 2) сформулировать основные подходы к прогнозированию доходов (как основных составляющих ценности специфических активов); 3) сформулировать основные подходы к прогнозированию специфических внешних условий.
Итак, задача моделирования процесса оценки специфических активов распадается на две части: во-первых, моделирование случайного потока доходов, а во-вторых, моделирование специфических внешних условий.
Так как специфические активы были определены с позиций теории ренты, то для описания потока доходов целесообразно использовать подход добавленной экономической ценности (economic value added — EVA) [37, с. 20]. При этом если актив вовлечен во взаимодействие с другими ресурсами предприятия или компании, то невозможно достоверно выделить ту часть доходов, которая приходится на данный актив. Полезным в таком случае может оказаться метод, предусматривающий сначала определение доходов с участием специфического актива, а затем без него. Получившаяся разница и будет характеризовать ценность, добавленную активом.
Ценность специфических активов зависит и от того, на каком этапе находится их развитие или применение, так как «сверхприбыль возникает лишь на части жизненного цикла» [117, с. 135]. Еще Уильямсон указывал на то, что «специфичность активов возникает в межвременном контексте» [103, с. 107]. Особенно актуален данный вопрос в отношении объектов интеллектуальной собственности, ценность которых различна в зависимости от степени готовности к использованию. Таким образом, «вклад инноваций ...в повышение рыночной стоимости предприятия изменяется, по мере того как реализуются отдельные последовательные стадии жизненного цикла» [20, с. 182].
Для моделирования потока доходов от использования специфического актива необходимо учитывать способность актива непосредственно приносить доход и возможность его текущего использования. Так, если актив непосредственно участвует в производстве и генерирует поток доходов, то для его оценки, в соответствии с вышесказанным, может быть использован доходный подход. Если же ценность активов, например патентов, лицензий, торговой марки, состоит лишь в закреплении прав, а поток доходов формируется активами в основе, то в качестве подхода к оценке подобных нематериальных активов можно использовать опционную методологию, как универсальный подход к оценке прав. Опционный характер доходов будут иметь и те специфические активы (материальные и нематериальные), которые в данный момент не используются, а лишь заключают в себе потенциальные возможности. Так как ценность актива в этих случаях основывается, опять же, на потоке доходов, то в конечном итоге и опционный подход опирается на моделирование будущих денежных потоков.
Модели перераспределения случайного квазирентного дохода с дискретным временем
В постановке задачи моделирования выделялось два вида специфических рисков: первый имеет следствием изменение доли оценивающего субъекта в общей квазиренте, а второй — изменение всего дохода. Описанный выше комплекс моделей не рассматривает риск второго типа. Вместе с тем, для моделирования случайности общего квазирентного потока также можно применить аппарат марковских процессов.
Для -учета в оценочных моделях обоих видов риска целесообразно рассматривать два случайных процесса, обладающих марковским свойством и протекающих в системах R и S, описывающих возможные состояния общего потока доходов от специфического актива и доли в этих доходах одного из участников соответственно. Моделирование ситуации с точки зрения поведения двух систем позволяет разделить риски на те, которые воздействуют на общий квазирентный поток доходов, то есть влекут неблагоприятные последствия для всех субъектов взаимодействия, и те, которые влияют на перераспределение этого потока, то есть последствия которых неблагоприятны для одного из участников.
Время и множество значений (состояний) обоих случайных процессов являются дискретными. Таким образом, после каждого шага система R оказывается в одном из своих возможных состояний /?/, а система S — в 5,-.
Пусть Ps =\\Pij Hs" матрица одношаговых переходных вероятностей для состояний системы 5"; IIS = \pj - вектор-строка начальных вероятностей состояний системы S; PR=\\Pim\\R- матрица одношаговых переходных вероятностей для состояний системы R; Пк = praL - вектор-строка начальных вероятностей состояний системы R. При этом для переходных вероятностей за к- шагов и безусловных вероятностей на к-м шаге состояний обеих систем, S и R, справедливы уравнения Колмогорова-Чепмена, представленные формулами (2.1 а, б).
Для моделирования специфических рисков представляется целесообразным основываться на описании трех рисковых сценариев, предложенных в работе [70] и описанных в постановке задачи моделирования. Однако модели, изложенные в работе [70], описаны с позиций квазинейтральной рискофобии и рассматривают лишь два уровня дохода: плановый и пессимистический, чего недостаточно для формирования обобщенных оценочных моделей. Так как в данной работе подход квазинейтральной рискофобии не является предпосылкой разрабатываемых моделей, ограничение возможных состояний только плановым и пессимистическим является нецелесообразным.
Безотносительно вопроса о зависимости или независимости систем S и R, можно утверждать следующее.
Рассмотрим систему R, описывающую изменения общего потока доходов от использования специфического актива. На этот поток могут действовать риски различной природы.
Во-первых, вследствие форс-мажорных обстоятельств поток доходов может прекратиться вообще. Так как случайный процесс рассматривается как марковский, наступление таких обстоятельств означает, что в системе R в некоторый момент времени происходит переход в состояние «краха», означающее получение дохода до этого момента и отсутствие их, начиная со следующего периода.
Во-вторых, в силу наличия рисков, воздействующих постепенно и обусловленных конъюнктурными, законодательными и иными подобными изменениями, возможно снижение уровня потока доходов. Причем данное снижение может повлечь и полную остановку. Необходимо отметить, что под риском понимается именно снижение уровня потока, а не просто его изменение относительно планового уровня.
Таким образом, случайный процесс, происходящий в системе R, описывает рисковые ситуации, которые влекут неблагоприятные последствия одновременно для всех участников взаимодействия. Однако, этого нельзя сказать о системе S, характеризующей перераспределение потока доходов, так как ухудшение ситуации для одного из субъектов, выраженное в снижении его доли, будет означать улучшение для другого (или других).
Важно отметить, что в данной работе предполагается, что перераспределение потока доходов между участниками не воздействует на эффективность использования специфического актива, а, следовательно, и не может повлечь снижение величины общего квазирентного потока. В отличие от этого, взаимодействие двух систем, RHS,B другом направлении возможно. Так, снижение уровня общего потока доходов может повлечь за собой изменение условий дележа. Такое развитие событий будет означать переход к новой матрице переходных вероятностей в системе S после перехода к некоторому состоянию в системе R.
Учитывая анализ рисков двух систем, R и S, в качестве исходных предпосылок принимаются следующие. В системе R возможны четыре состояния: оптимистическое, плановое, пессимистическое и крах. Система S может включать три состояния: оптимистическое, плановое и пессимистическое,- при отсутствии риска прекращения взаимодействия, и четыре, если такая возможность существует. При желании список возможных состояний можно расширить и использовать полученные в моделях результаты, применив все выкладки для подмножеств состояний.
Модели перераспределения случайного квазирентного доходас непрерывным временем
Так как описанные выше модели не рассматривали риск, связанный с изменением всего потока доходов, целесообразно и в непрерывных моделях ввести случайный процесс изменения общей сверхприбыли.
По-прежнему рассматриваются случайные процессы, обладающие марковским свойством и протекающие в системах R (описывает возможные значения общего потока доходов) и S (характеризует распределение потока доходов). Такое раздедение позволяет учитывать оба вида рисков: те, что воздействуют на общий квазирентный поток (отрицательно сказываются на всех участниках взаимодействия), и те, которые влияют на перераспределение потока (влекут неблагоприятные последствия для одного из участников). Пусть IJS = /7у - вектор-строка начальных вероятностей состояний системы S; IJR =IP„\R - вектор-строка начальных вероятностей состояний системы R; ITs(t) = /тДО - вектор-строка безусловных вероятностей состояний системы S в момент t; nR(t) = pm(t) R - вектор-строка безусловных вероятностей состояний системы R в момент t; As = UJ - матрица плотностей перехода для системы S; ЛЛ = Я/тл - матрица плотностей перехода для системы R. Как и в дискретном варианте, в данных моделях утверждается следующее.
На поток, описываемый системой R, действуют риски двух видов. Во-первых, из-за форс-мажорных обстоятельств в данной системе в некоторый момент времени наступает «крах», то есть полная остановка потока, означающая получение дохода только до этого момента. Во-вторых, из-за рисков, воздействующих более плавно, возможно снижение уроня потока, которое при определенных обстоятельствах может повлечь и остановку. Таким образом, систему R составляют по-прежнему четыре возможных состояния: оптимистическое, плановое, пессимистическое и крах.
Система S включает либо три состояния: оптимистическое, плановое и пессимистическое,- при отсутствии риска прекращения взаимодействия, либо четыре, если такая возможность существует. Предполагается, что перераспределение квазиренты не влияет на ее общий уровень.
В силу множества состояний «обобщенной системы», рассматриваемой для случая зависимости систем R и S, целесообразно при наличии исходных данных в терминах интенсивностей перехода осуществить дискретизацию, используя формулы (3.17) и (3.18), и рассматривать дискретные модели, описанные в пункте 2.2.2. главы 2 настоящей работы. Далее анализируются рисковые ситуации в предположении о независимости систем общего квазирентного потока и его перераспределения.
Пусть случайный процесс в системе S не зависит от развития случайного процесса в системе R. Тогда формула приведенной ценности квазирентного потока одного из участников взаимодействия с учетом (3.1) и (3.3) будет выглядеть следующим образом: 4 „]=I Є 2ХЛ,(О2ХР,(О m=l dt (3.33) где щР кір 1 " ожидаемое значение приведенной ценности квазирентного потока; S. - доля данного субъекта в общей квазиренте; Rm - положительный уровень квазиренты, то есть величина, соответствующая всем возможным состояниям системы R, кроме «краха»; tn - момент времени, соответствующий прекращению потока доходов; р - сила роста. В зависимости от характера рисков, присущих потоку доходов от специфического актива, целесообразно рассмотреть те же модели, что и в дискретном варианте. При этом, в силу сложности получаемых выражений, не рассматриваются ситуации, когда транзитивное подмножество является эргодическим. Для таких случаев, как уже было отмечено, имеет смысл осуществить дискретизацию и пользоваться решениями, найденными в пункте 2.2.1. главы 2 настоящей работы (отмечены как «случай а)»). Необходимо отметить, что такое сокращение, являясь с математической точки зрения достаточно сильным упрощением, не становится таковым с экономических позиций. Это оправдывается тем, что чаще всего «риск» воспринимается как возможность неблагоприятных исходов, а, значит, в первую очередь интересны события, заключающиеся в переходе к более низким уровням квазирентных доходов. Модель параллельных рисков для системы R Сначала рассматривается система R. В зависимости от возможных переходов графы состояний системы будут аналогичны графам для дискретной модели, представленным на рисунках 2.7. а, б, с той лишь разницей, что соответствующие им матрицы переходных вероятностей заменяются на матрицы интенсивностей перехода. Для этих систем в непрерывных моделях все множество состояний можно также разбить на два непересекающихся подмножества. Одно из них является поглощающим (состоянию Ro - «крах»), второе - источником (подмножество Wi, содержащее три транзитивных состояния). Поток квазирентного дохода существует, пока система находится в подмножестве Wj. Система не является эргодической, но для нее существует стационарное распределение с вероятностями состояний:
