Содержание к диссертации
Введение
1. Современные подходы к оценке и прогнозированию стоимости финансовых активов 11
1.1. Рынок ценных бумаг: проблемы анализа и прогнозирования 11
1.2. Линейные модели оценки финансовых активов 26
1.3. Методы нелинейной динамики в перспективном анализе рынка ценных бумаг 41
2. Модели с многоуровневой структурой адаптивного механизма для прогнозирования стоимости финансовых активов 56
2.1. Адаптивное прогнозирование: принципы и модели 56
2.2. Мультитрендовые процессы и специфика их адаптивного моделирования 77
2.3. Прогнозные модели стоимости финансовых активов с регулируемой реакцией адаптивного механизма 95
3. Адаптивный анализ и оценка финансовых активов Российской торговой системы 109
3.1. Адаптивный анализ динамики равновесных цен на финансовые активы 109
3.2. Прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков 121
3.3. Адаптивный вариант модели оценки финансовых активов (САРМ) 133
Заключение 145
Список использованных источников
- Линейные модели оценки финансовых активов
- Методы нелинейной динамики в перспективном анализе рынка ценных бумаг
- Мультитрендовые процессы и специфика их адаптивного моделирования
- Прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Прогноз, признаваемый как необходимый инструмент инвестиционных решений, в то же время у большинства инвесторов вызывает недоверие. От него ждут точности, но, как правило, наступившая на рынке реальность не совпадает с прогнозными оценками. Такая ситуация стимулирует исследования, ориентированные на разработку методов, обеспечивающих при выполнении определенных условий более высокую точность. В рамках этих исследований аналитики рынка ценных бумаг продолжают поиски универсального инструмента, с помощью которого удастся приоткрыть тайные механизмы формирования стоимости финансовых активов.
Результаты, достигнутые на этом пути, радовали и огорчали инвесторов. Наибольшее развитие получила так называемая «линейная парадигма», согласно которой ожидаемые на рынке прибыли должны иметь приблизительно нормальное распределение и быть независимыми. В соответствии с этой парадигмой были разработаны такие модели, которые и по сей день лежат в основе подавляющего большинства практических руководств по финансовому менеджменту. Речь, прежде всего, идет о таких широко известных моделях, как САРМ и APT.
Однако несмотря на плодотворное развитие данной теории, до сих пор не все рыночные эффекты находят удовлетворительное объяснение. В поисках этих объяснений все большее внимание в последнее время уделяется исследованию финансовых рынков с использованием методов нелинейной динамики. Наиболее популярным из них стал метод нормированного размаха Херста, позволяющий устанавливать степень устойчивости временного ряда, а следовательно, гарантировать и его надежную экстраполяцию.
Широкую известность также получила и нелинейная статистическая модель Веге - Изинга, предполагающая, что вероятностное распределение изменений доходностей рынка во времени базируется не только на фундаментальных экономических условиях, но и на «групповом сознании» рынк&ачительные успехи достигнуты и в эконометрических исследованиях финансового рынка, что особенно ценно, поскольку именно они обеспечивают эмпирическую проверку рационалистических гипотез.
Во всех этих исследованиях доминирующей продолжает оставаться проблема прогнозирования основных характеристик финансового рынка. Широкомасштабное использование электронных торговых систем, естественно, повысило быстротечность всех процессов, протекающих на финансовом рынке. Это требует новых моделей и новых подходов. Какие из них станут перспективными - сложный вопрос. Любой поиск ответа, бесспорно, актуален, а значит, актуальна и тема диссертационного исследования, в рамках которого предлагается обратиться к принципам и идеям адаптивного моделирования.
Работа выполнялась в соответствии с комплексной программой научных исследований кафедры информационных технологий и математических методов в экономике Воронежского государственного университета «Математическое моделирование и информационные технологии в управлении экономическими процессами».
Степень разработанности проблемы. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг и развитие теории инвестиций в целом внесли, прежде всего, лауреаты Нобелевских премий (Дж. Тобин (1981), Г. Марковиц (1990), У.Ф. Шарп (1990), М.Шоулс (1997), Р. Ингл (2003)), а также ряд других зарубежных (Г. Дж. Александер, Дж. В. Бейли, Г. Дженкинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росс и др.) и отечественных (Л.О. Ба-бешко, Ю.П. Лукашин, Я.М. Миркин, А.О. Недосекин, Л.П. Яновский и др.) ученых.
Создание аппарата адаптивного моделирования социально-экономических процессов было начато Р. Брауном, Р. Майером, И.И. Пе-рельманом и продолжено Н.С. Райбманом, В.М. Чадеевым, В.П. Бородюком, Э.К. Лецким, Ю.П. Лукашиным, Е.М. Левицким, П.А. Иващенко, А.С. Кор-хиным, В.В. Давнисом и другими.
Разрабатываемые в диссертации адаптивные модели ориентированы на на прогнозирование мультитрендовых процессов, протекающих на финансовых рынках. Такие модели ранее не предлагались.
Целью диссертационного исследования является развитие математического аппарата анализа и прогнозирования стоимости финансовых активов на основе моделей с многоуровневой структурой адаптивного механизма.
Поставленная цель определила следующие задачи исследования:
изучение проблем анализа и прогнозирования современного рынка ценных бумаг;
анализ отечественных и зарубежных подходов к оценке стоимости финансовых активов, разработанных в рамках как линейной, так и нелинейной парадигмы;
построение прогнозных моделей мультитрендовых процессов, протекающих на рынках ценных бумаг;
разработка прогнозных моделей стоимости финансовых активов с регулируемой реакцией адаптивного механизма;
Ч применение адаптивных моделей для анализа динамики равновесных цен на финансовые активы;
0 построение прогнозных модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков;
модификация САРМ с использования принципов адаптации;
исследование прикладных возможностей предлагаемых моделей и процедур;
осуществление программной реализации всех разработанных моделей мультитрендовых процессов.
Объектом исследования является рынок ценных бумаг и его финансовые инструменты.
Предмет исследования - математический аппарат оценки, анализа и прогнозирования стоимости финансовых активов.
Теоретическую и методологическую основу исследования составили труды отечественных и зарубежных ученых по вопросам анализа рынка ценных бумаг, принятия инвестиционных решений, эконометрического моделирования финансовых процессов, адаптивного социально-экономического прогнозирования. Были использованы материалы периодической печати, законодательные акты, Интернет-ресурсы, в частности, данные, размещенные на официальном веб-сайте Российской торговой системы (http://www.rts.ru). Эти данные составили эмпирическую базу исследования.
При выполнении диссертационной работы применялись методы нелинейной динамики, адаптивного прогнозирования социально-экономических процессов, эконометрического моделирования.
Диссертационная работа выполнена в рамках п. 1.6 «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики ...», п. 1.9. «Разработка и развитие математических методов и моделей анализа и прогнозирования развития социально-экономических процессов общественной жизни...» паспорта специальности 08.00.13 - «Математические и инструментальные методы экономики».
Научная новизна исследования состоит в разработке прогнозных моделей с многоуровневой структурой адаптивного механизма, адекватно отражающих мультитрендовые процессы на финансовых рынках.
Научную новизну содержат следующие результаты диссертационного исследования: введено понятие «мультитрендовый процесс», введение которого позволяет объяснить возможность идентификации в динамике стоимости финансовых активов одновременное присутствие различных тенденций; Ч разработаны:
1) модели с многоуровневой структурой адаптивного механизма, позволяющие осуществлять идентификацию мультитрендовых процессов, которые характеризуются разным темпом смены закономерностей своего развития;
2) прогнозные модели стоимости финансовых активов с регулируемой реакцией адаптивного механизма, в которые заложена возможность комбинирования динамических характеристик процессов с субъективной оценкой ожидаемых изменений, что позволяет с достаточно высокой вероятностью предсказывать развороты трендов. Их программная реализация представляет собой человеко-машинный вариант прогнозной модели;
Ч предложена методика адаптивного анализа динамики равновесных цен на финансовые активы, позволяющая обнаружить динамические эффекты сближения и разбегания цен на финансовом рынке, что обеспечивает получение дополнительной информации при обосновании инвестиционных решений; построены прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков, что позволяет получить более точные оценки волатильности при анализе финансовых временных рядов.
Апробация результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: семинарах и научных сессиях в Воронежском государственном университете; Международной научной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Мстера, 1999; Дивноморск, 2000; Королев, 2002); V Международной научно-практической конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2005); Международной научно-практической конференции
Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2005, 2006);
VI Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2006), а также на общероссийских и региональных конференциях.
На защиту выносятся следующие положения:
понятие «мультитрендовый процесс»;
модели с многоуровневой структурой адаптивного механизма, позволяющие осуществлять идентификацию мультитрендовых процессов;
прогнозные модели стоимости финансовых активов с регулируемой реакцией адаптивного механизма;
методика адаптивного анализа динамики равновесных цен на финансовые активы;
прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетеро-скедастичных остатков.
Практическая значимость работы определяется тем, что основные сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений.
Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных финансовых временных рядах (в частности, котировок акций таких российских компаний, как ОАО «РАО ЕЭС», ОАО «Сургутнефтегаз», ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский Никель»), показав свою достаточно надежную работоспособность.
Отдельные результаты диссертационного исследования можно использовать при подготовке экономистов и менеджеров в курсах: «Математиче ские модели финансового анализа», «Финансовый менеджмент», «Модели и методы социально-экономического прогнозирования».
Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 13 печатных работ. В работах, выполненных в соавторстве, соискатель изложил авторский подход к прогнозированию финансово-экономического развития предприятия; осуществил компьютерное моделирование финансово-экономической деятельности предприятия; разработал имитационную модель для прогнозирования финансово-экономической деятельности предприятия; предложил подход к определению ожидаемых объемов спроса на продукцию на основе использования логистической функции; описал сценарный подход к прогнозированию доходности предприятия и определил специфику такого подхода; изложил основные этапы методики определения ситуации, когда возникает необходимость изменения структуры портфеля; предложил адаптивный вариант модели оценки финансовых активов и показал его преимущества; предложил в качестве дополнительной характеристики риска использовать энтропию; разработал один из возможных вариантов стратегии улучшения финансово-экономического состояния фирмы; дал формальное описание механизму, реализующему в рамках мультитрендовой модели расщепление прогнозной траектории на варианты ожидаемого будущего.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы из 153 наименования, в т.ч. англоязычных - 43, и приложений. Основной текст изложен на 146 страницах, содержит 25 таблиц, 24 рисунка.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, определены предмет и объект исследования, сформулирована цель и поставлены задачи, решение которых необходимо для ее достижения, раскрыта научная новизна и практическая значимость результатов исследования.
В первой главе раскрыты проблемы прогнозирования рынка ценных бумаг и его финансовых инструментов, проведен тщательный анализ совре -менных подходов к оценке стоимости финансовых активов, разработанных в рамках как линейной, так и нелинейной парадигмы.
Во второй главе показано развитие аппарата адаптивного прогнозирования, определена специфика адаптивного моделирования мультитрендовых процессов, разработаны прогнозные модели стоимости финансовых активов с многоуровневой структурой адаптивного механизма, а также модели с регулируемой реакцией адаптивного механизма.
В третьей главе предложена методика адаптивного анализа динамики равновесных цен на финансовые активы, разработаны прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков, с использованием адаптивных принципов модифицирована классическая модель оценки финансовых активов.
В заключении изложены основные научные результаты и выводы диссертационного исследования.
Линейные модели оценки финансовых активов
Изложенные в предыдущем параграфе факты позволили сделать вывод о том, что рынки ценных бумаг являются трудно прогнозируемыми и потому продолжают привлекать широкий круг исследователей. Наибольшее развитие теория инвестиций в ценные бумаги получила в период господства так называемой «линейной парадигмы», согласно которой ожидаемые на рынке прибыли должны иметь приблизительно нормальное распределение и быть независимыми. Рассмотрим основные вехи становление теории, основанной на этой парадиге, и остановимся более подробно на наиболее значимых моделях, разработанных в ее рамках.
Начальный этап развития относится к 20-30-м гг. XX столетия и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен прежде всего основополагающими работами И. Фишера по теории процентной ставки и приведенной стоимости [122]. Важная особенность теоретических работ этого периода состоит в выработке гипотезы о полной определенности условий, в которых осуществляется процесс принятия финансовых решений. Круг применяемых тогда математических средств сводился к элементарной алгебре и началам фундаментального анализа. Совокупность этих средств, ориентированных на проведение финансовых расчетов в условиях определенности, получила название финансовой математики. Несмотря на господство «детерминированного подхода», важность факторов неопределенности и риска в финансовых проблемах осознавалась вполне четко. Лишь применение качественных, теоретико-вероятностных методов позволило существенно продвинуться в исследовании влияния риска на принятие инвестиционных решений.
Современная теория инвестиций берет свое начало с 1952г., когда появилась статья Г. Марковица [132], нобелевского лауреата по экономике 1990г. В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. Основной заслугой Марковича стала теоретико-вероятностная формализация понятия доходности и риска. Именно он первым привлек внимание к общепринятой в настоящее время трактовке диверсификации портфелей и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение доходности портфеля, выбирая акции, цены на которые меняются по-разному [133,134].
В первой половине 60-х гг. XX в. учеником Марковица У. Шарпом, также в 1990г. ставшего нобелевским лауреатом по экономике, была предложена так называемая однофакторная модель рынка капиталов [145]. В этой модели впервые появились знаменитые «альфа» и «бета» характеристики акций. Идеи Шарпа стали известны как модели оценки долгосрочных активов, основанные на предположении, что на конкурентном рынке ожидаемая премия за риск изменяется прямо пропорционально коэффициенту бета (стандартный измеритель риска).
В настоящее время модель Марковича используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестируемого капитала по различным типам активов: акциям, облигациям и т.д. Однофакторная модель Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестируемый в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (т.е. по конкретным акциям, облигациям и т.д.)
Влияние «портфельной теории» Марковича [133, 134] значительно усилилось после появления в конце 50-х и начале 60-х гг. работ Д. Тобина (нобелевского лауреата по экономике 1981г.) [149, 150]. В подходе Тобина основной темой становится анализ факторов, заставляющих инвесторов формировать портфели активов, а не держать капитал в какой-либо одной, например, налично-денежной форме. Кроме того, Д. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковича.
Начиная с 1964г. появляются три работы, открывшие следующий этап в инвестиционной теории, связанный с так называемой моделью оценки финан совых активов, или САРМ (Capital Asset Price Model). Работы Шарпа (1964г., [146]), Линтнера (1965г., [128, 129]), Моссина (1966г., [135]) были посвящены одному и тому же вопросу: «Допустим, что все инвесторы, обладая одной и той же информацией, одинаково оценили доходность и риск отдельных акций. Допустим также, что все они формируют свои оптимальные в смысле теории Марковица портфели акций исходя из индивидуальной склонности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций?». Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэкономическое обобщение теории Марковица [95].
В 1977г. эта теория подверглась жесткой критике в работах Р. Ролла [140]. Ролл высказал мнение, что САРМ следует отвергнуть, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Его основной аргумент строится на предположении о возможном существовании портфелей или отдельных рисковых активов, которым соответствует нулевое значение коэффициента /?, и исследовании модели без учета безрисковой ставки процента.
Однако несмотря на критические замечания как стороны Р. Ролла, так и со стороны других исследователей (в частности, Ю. Фама и К. Френча, которые изучали зависимость между /? -коэффициентом и доходностью нескольких тысяч акций на протяжении 50 лет и обнаружили, что акции с большими значениями «бета»-коэффициента имели приблизительно ту же доходность, что и при его малых значениях), САРМ остается, пожалуй, самой значительной и влиятельной современной финансовой теорией. И поскольку практические руководства по финансовому менеджменту и по сей день основываются главным образом на САРМ, остановимся на ней более подробно.
Основополагающая посылка этой модели состоит в том, что в состоянии равновесия доход от сделок на финансовом рынке вознаграждает людей за их рискованные инвестиции [99]. Обычно люди не склонны к рискованным действиям, в связи с чем премия за риск для всей совокупности рискованных активов должна быть реально ощутимой, чтобы у них присутствовало желание владеть рискованными активами.
Методы нелинейной динамики в перспективном анализе рынка ценных бумаг
В последнее время все большое внимание уделяется исследованию финансовых рынков с использованием методов нелинейной динамики [8, 69-72, 106-109].
Современный подход к изучению нелинейной динамики выделяет две основные вехи в ее развитии [39, 58]:
1. Этап диссипативных структур (1950-1980-е гг.). Термин «диссипатив ные структуры» был введен основателем современной теории сложности, но белевским лауреатом И. Пригожиным и относится прежде всего к диссипа тивным процессам (вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволяли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформули ровать с течением времени похожие стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных, т.е. к построению бифуркацион ной диаграммы.
Математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией дифференциальных уравнений и теорией бифуркации на плоскости. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XX века), успешно применялись в теории колебаний, что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.
Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам - неподвижным точкам - соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, более сложным - предельным циклам - различные периодические волновые процессы.
2. Этап динамического хаоса (с начала 1980-х гг. и по настоящее время).
Термин «хаос», под которым понимается непредсказуемое поведение детер минированных систем, был введен в научный обиход в 1975г Т.-У. Ли и Дж.
Иорком. Термин «динамический» означает, что отсутствуют источники флуктуаций. Ключевым понятием данного этапа стала чувствительность к начальным условиям: экспоненциальное разбегание двух близких траекторий для класса хаотических аттракторов. Скорость разбегания определяется величиной наибольшего показателя Ляпунова. Из-за указанной чувствительности нельзя сравнивать траекторию объекта и модели в одни и те же моменты времени: малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать, что приведет через некоторое время к совершенно разным траекториям. Вследствие этого или приходится ограничиваться кратковременными прогнозами, или изыскивать адекватные способы сравнения поведения модели и объекта. Одним из последних может быть использование некоторых функционалов от траектории, определяющих количественные характеристики хаоса.
Задачи, которые решались на этом этапе, относятся к анализу временных рядов (в частности, нахождение горизонта прогноза), построению прогнозирующих систем, определению законов движения объекта по ограниченному ряду наблюдений.
Однако алгоритмы нахождения количественных характеристик хаоса, построения прогнозирующих систем являются достаточно «капризными», так как требуют большой выборки очень точных измерений предшествующих состояний объекта. В то же время живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке. Таким образом, можно сказать, что возник новый класс задач, весьма сложный для разработчиков программ и легко решаемый биологическими субъектами.
Символами этой эпохи стали логистическое отображение, множества Кантора, система Лоренца. Заметим, что именно Э. Лоренц в 1963г. явился одним из основоположников теории хаоса.
В ответ на вопрос о причинах повышенного интереса к теории хаоса сегодня можно указать следующее: изучение хаоса обеспечивает новые концептуальные и теоретические средства, позволяющие понять сложное поведение систем, которое не удавалось объяснить иными теориями; хаотическое поведение универсально, так как оно проявляется в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, а том числе и интересующих нас рынках ценных бумаг.
Более того, наиболее страстные защитники новой науки - теории хаоса -утверждают, что грядущим поколениям XX век будет памятен лишь благодаря трем великим революциям в физике: теории относительности, квантовой механике и хаосу [118]. Так, теория относительности, можно сказать, разделалась с иллюзиями Ньютона об абсолютном пространстве-времени, квантовая механика развеяла мечту о детерминизме происходящих событий, а хаос покончил с фантазией о полной предопределенности развития систем.
Если теория хаоса является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), то крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф. Последний тип разрывов был введен Р. Томом в 1972г. и Е. Зиманом в 1977г. Согласно теории катастроф, крупномасштабные разрывы (катастрофы) в определенном состоянии переменных происходят при плавном изменении других, управляемых переменных, когда последние достигают критических бифуркационных значений. В экономике применение теории катастроф впервые продемонстрировал Е. Зи-ман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на рынке акций.
Теория катастроф обеспечила качественный анализ общей структуры таких разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.
Однако оба подхода к динамике разрывов - и теория катастроф, и теория хаоса - могут рассматриваться как специальные случаи более широкой категории теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где происходят скачки на плав ных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983г. С их точки зрения, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.
Мультитрендовые процессы и специфика их адаптивного моделирования
Давно замечено, что при прогнозировании финансовых рынков на небольшие периоды времени, прогнозные оценки в наибольшей степени зависят от тенденций, которые проявляются в последний момент его функционирования. В силу этого наиболее предпочтительными для получения краткосрочных прогнозов считаются адаптивные модели, в которых, как следует из предыдущего параграфа, этому обстоятельству придается существенное значение. Статистика их применения действительно подтверждает эту точку зрения. Специалисты-практики утверждают, что точность адаптивных прогнозов в среднем на два-три процента выше, чем точность прогнозов, получаемых традиционными методами. Однако абсолютизирование адаптивных свойств и игнорирование специфики, которая отличает динамику рынка ценных бумаг от динамики других экономических процессов, ограничивает прикладные возможности адаптивного подхода.
Как правило, на рынке одновременно присутствуют несколько тенденций, которые, естественно, должны найти свое отражение в формируемой прогнозной оценке стоимости финансового актива. Чтобы идентифицировать все эти тенденции пришлось бы изучать закономерности ежедневных котировок, недельных, месячных, годовых. Можно также исследовать закономерности, проявляющие устойчивость, в специальным образом определенных интервалах времени, например девятидневных, двенадцатидневные и т.п. Однако каждый раз точно идентифицировать искомую тенденцию и промежуток времени, на котором она доминирует, вряд ли удастся. Поэтому для моделирования целесообразно использовать классификацию обобщенного характера, в соответствии с которой рассматриваются краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные тенденции. В принципе, число уровней классификации может быть и больше и меньше трех, в зависимости от целей, которые требуется достичь в результате решения поставленной задачи.
Идентификация для одного и того же процесса, характеризующего стоимость финансового актива, нескольких трендов позволяет рассматривать рыночные процессы как мультитрендовые. В общем случае модель таких процессов можно записать в виде следующего выражения у, = D(0 + С(0 + К(0 + st t = \,2,...,T, (2.66) где у. - стоимость актива в момент времени t; D(/)- функция, с помощью которой описывается долгосрочная тенденция; С(ґ) - функция, с помощью которой описывается среднесрочная тенденция; K(t) - функция, с помощью которой описывается краткосрочная тенденция; st - случайная составляющая, характеризующая необъясняемую часть вариации моделируемого показателя.
Записанная выше модель чрезмерно абстрактная формализация реальных процессов, но с ее помощью удобно разъяснить смысл, который мы вкладываем в понятие «мультитрендовый процесс». Известно, что фактическая траектория процесса не совпадает с траекторией тренда. Если в качестве тренда мы рассматриваем функцию долгосрочной тенденции D(/), то расчетное значение AD=D(0, (2.67) принадлежащее графику этой тенденции, отличается от фактического значения на величину у,-у? =С(0 + К(0 + е„ (2.68) которую можно интерпретировать с позиций долгосрочной перспективы как случайную.
Аналогично, если в качестве тренда рассматривать функцию среднесрочной тенденции, то получаем расчетное значение yf = D(t) + C(t) (2.69) и соответствующее отклонение y,-%=K(t) + et, (2.70) интерпретируемое как случайная величина с позиций среднесрочной перспективы.
Повторяя те же самые рассуждения при использовании в качестве тренда краткосрочной тенденции, получаем расчетное значение у? = D(0 + С(0 + К(0 (2.71) и соответствующее отклонение У,-У?=е,. (2.72)
Таким образом, для одного и того же момента времени мы можем рассматривать четыре значения одной и той же величины: фактическое значение и три расчетных. Это позволяет, в зависимости от горизонта принимаемого решения ориентироваться на те оценки, которые являются расчетными характеристиками соответствующего тренда.
Возможность выделения долгосрочных, среднесрочных и краткосрочных трендов позволяет сделать вывод о том, что продолжительность существования одних закономерностей отличается от продолжительности существования других и, следовательно, в модели должен быть предусмотрен различный темп смены этих закономерностей. Это не противоречит тому, что в реальности происходит на рынке ценных бумаг. Действительно, с течением времени доминирование одних тенденций затухает, а других возрастает, старые тенденции заменяются новыми, неожиданно для всех участников рынка наступают развороты тренда и т.п.
Прогнозные модели с адаптивной авторегрессией условно гетероскедастичных остатков
Основная ориентация адаптивных моделей, разработанных во второй главе, - прогнозирование стоимости финансовых активов. Безусловно, прогноз стоимости активов является самой важной задачей при обосновании инвестиционных решений (прогнозная доходность без труда определяется по прогнозной стоимости). Принятие инвестиционных решения без оценки ожидаемых результатов вряд ли можно считать рациональным, а инвесторы, как правило, действуют рационально и, следовательно, им нужен прогноз как подтверждение рациональности их ожиданий. Но прогноз, и это всем известно, практически никогда не совпадает с наступающей реальностью, а это значит, что инвестор принимает решение в условиях риска. И поэтому нужен дополнительный анализ изменчивости (волатильности) самого прогнозируемого показателя.
Анализ волатильности является обязательным элементом процедуры по оценке финансовых рисков. Эффективным аппаратом, применяемом для этих целей является предложенная Инглом регрессионная модель с условно гете-роскедостичными остатками (ARCH модели). С ее помощью удается адекватно отразить изменение дисперсии, являющейся, по сути, измерителем присущей рынку неопределенности.
Основная идея, заложенная в ARCH модели, состоит в отражении различия между условными и безусловными моментами второго порядка. Тогда как безусловные вариации и ковариации постоянны, условные моменты нетривиально зависят от прошлых состояний и развиваются во времени. В простейшем случае ARCH модель может быть записана в виде
Для случайной величины st выполняются все предпосылки классической регрессионной модели. Действительно, E(st\xt,st_l) = 0, (3.21) E(tx,) = 0, (3.22) V(s,) = V[E(e, I ,_,)] + E[V(st sM)] = = 0 + a0 + «j E(f/2_1) = = 0+ ( ). (3.23)
Используя этот результат и то обстоятельство, что V(st) = \(et_x), получаем, что дисперсия случайной составляющей st постоянна \{е, ) = - -. (3.24) 1-«! В то же время условная дисперсия этой случайной составляющей зависит от времени V(S,SM) = E(S,2 M) = = E(W2)(«O+«I 2-I) = = a0+criff/-i- (3.25) Здесь использовано то обстоятельство, что Е(и,) = 1.
Таким образом, все условия классической регрессии выполняются и оценки, полученные с помощью МНК, Ь = (Х ХГ Х у, (3.26) являются несмещенными и эффективными среди линейных оценок.
Однако, как было показано Инглом, с помощью метода максимального правдоподобия можно получить нелинейные оценки коэффициентов этой модели, превосходящие по эффективности линейные. Логарифм функции правдоподобия для модели с условно гетероскедастичными остатками записывается следующим образом: lnZ, = — 1п2я--і:іп(«о+«Л2-і)- І: Sj—T 021) 2 2 t=i 2 /=i a0 + axst_x где Et =yt -x,b.
Максимизация In L требует применения нелинейных методов оптимизации. Для получения наиболее эффективных оценок коэффициентов ARCH модели Инглом и Джаджем предложена достаточно простая четырехшаговая процедура, краткое описание которой приводится ниже. 1. С помощью обычного МНК получают оценки Ь = (Х Х)-1Х у и вычисляют остатки е = у — ХЬ .Полученные оценки b состоятельны, асимптотически нормальны, но неэффективны. 2. По остаткам с помощью МНК получают вектор а = (а0, ах) коэффи 2 2 циентов регрессии at на ,_j af =а0+ 6 , t = 2,..., Т. (3.28)
После выполнения этого шага целесообразно проверить гипотезу на отсутствие условной гетероскедастичности. (Детали такого тестирования будут описаны отдельно.) Если условная гетероскедастичность подтверждается, то выполняется следующий шаг.
