Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Микроструктура рынка — основные понятия, вопросы и проблемы 11
1.1. Микроструктура рынка, основные понятия 11
1.2. Подходы к моделированию микроструктуры рынка 14
1.2.1. Компоненты цены 14
1.2.2. Компоненты спрэда спроса-предложения 15
1.2.3. Модели управления запасами : 17
1.2.4. Модели, основанные на информации 18
1.3. Статистические свойства микроструктурных данных 20
1.3.1. Время и дискретность 20
1.3.2. Доходности, котировки и сделки 23
1.3.3. Взаимосвязь объема торгов и волатильности цен 26
1.3.4. Внутридневная сезонность и перерывы в работе рынков 29
1.4. Предсказуемость динамики рынка и торговые техники 31
ГЛАВА II. Эконометрические методы микроструктурного анализа динамики финансовых рынков 34
2.1. Статистические особенности микроструктурных данных 34
2.1.1. Микроструктурные данные, как временные ряды 34
2.1.2. Устойчивые характеристики распределений микроструктурных данных. 37
2.1.2.1. Процесс цены 37
2.1.2.2. Процесс частоты сделок 48
2.2. Базовые эконометрические модели для микроструктурных данных 54
2.2.1. Модели цены 54
2.2.1.1. Классическая методология моделирования Бокса — Дженкинса 54
2.2.1.2. Модификации моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего для финансовых данных 57
2.2.2. Модели волатильности 66
2.2.3. Модели авторегрессионной условной длительности 69
2.2.3.1. Подход Энгла 69
2.2.3.2. Основные параметризации моделей класса авторегрессионной условной длительности 70
2.2.3.3. Расширения класса моделей ACD 74
2.3. Модификация классического модельного аппарата для микроструктурного анализа 75
2.3.1. Цель построения модели одновременной динамики микроструктурных данных 75
2.3.2. Методы спецификации структуры модели 78
2.3.2.1. Возможные направлення модификации 78
2.3.2.2. Методы эмпирической оценки и верификации одновременных моделей 86
2.3.2.3. Работа с модифицированными моделями 93
ГЛАВА III. Моделирование микроструктурной динамики российского фондового рынка 97
3.1. Формирование массивов исходных данных 97
3.2. Первичный анализ выборок 100
3.2.1. Нестационарная динамика цен активов 100
3.2.2. Стационарные ценовые изменения 102
3.2.2.1. Порядок интегрированности динамики цен 102
3.2.2.2. Логарифмические доходности сделок 102
3.2.2.3. Автокорреляция и эмпирические распределения логарифмических доходностеи сделок 103
3.2.3. Статистические свойства длительностей между сделками 104
3.3. Построение простых моделей внутридневной динамики цен 105
3.3.1. Выбор формы моделей и методов оценки 105
3.3.2. Результаты оценки простых моделей 107
3.3.2.1. Общие закономерности в динамике среднего уровня ценовых изменений 107
3.3.2.2. Общие закономерности в динамике волатильности 109
3.3.2.3. Общие закономерности в характере стохастических компонент 109
3.4. Построение простых моделей частоты внутридневных торгов 110
3.4.1. Выбор формы моделей и методов оценки 110
3.4.2. Результаты оценки моделей длительностей 111
3.4.2.1. Общие закономерности в динамике условной длительности 111
3.4.2.2. Общие закономерности в оценках стохастической длительности 112
3.5. Анализ полученных результатов 113
3.5.1. Взаимосвязь исходных рядов данных 113
3.5.2. Взаимосвязь условных и стохастических компонент простых моделей 114
3.6. Построение моделей связанной динамики цен и длительностей 117
3.6.1. Альтернативные спецификации в рамках обобщенной модели 117
3.6.2. Анализ результатов оценки связанных моделей 118
3.6.2.1. Эффективность оценок 118
3.6.2.2. Порядок моделей 119
3.6.2.3. Распределение стохастических компонент 119
3.6.2.4. Структура взаимосвязей процессов динамики цены и длительностей 121
Заключение 123
Библиографический список 129
Приложения 142
- Взаимосвязь объема торгов и волатильности цен
- Модификации моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего для финансовых данных
- Цель построения модели одновременной динамики микроструктурных данных
- Общие закономерности в динамике среднего уровня ценовых изменений
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Работа финансовых рынков играет возрастающую роль в современной экономике, что было подтверждено развитием текущего мирового экономического кризиса. В связи с этим является обоснованным растущий интерес к аналитическим разработкам, посвященным изучению механизмов и результатов работы фондовых рынков, чему посвящено данной исследование.
Основной особенностью данного диссертационного исследования является то, что оно выполнено в рамках микроструктурного подхода к анализу финансовых рынков. Рыночная микроструктура — новейший раздел финансовой экономики, сформировавшийся за последние 25-30 лет в ряде теоретических и эмпирических работ, сконцентрированных на выявлении и объяснении закономерностей в процессе установления цен на финансовые активы в самом краткосрочном периоде.
К микроструктурным данным относят внутридневную динамику цен активов и ее составляющие (цены поступающих ордеров на покупку и продажу, спрэды спроса-предложения), а также связанные показатели, характеризующие структуру рынка и активность торгов (объем заключаемых сделок, волатильность изменений цен активов, частоты заключаемых сделок и изменений цен). По количеству наблюдений в выборках за короткие периоды времени (например, за один торговый день) массивы этих данных относят к высокочастотным — даже при агрегации данных с интервалом в несколько минут количество наблюдений в выборках за один день в разы превышает объемы выборок ежедневных данных за один-два года.
Данное исследование посвящено методам анализа сверхвысокочастотных данных — рядам данных о ценах и связанных показателей отдельных сделок. Выборки таких данных отличаются объемом и структурой для различных финансовых инструментов и площадок, на которых происходят торги; наблюдения в них дискретны, нерегулярны и могут образовывать последовательности в несколько десятков тысяч точек в течение одного торгового дня.
Характерные для финансовых временных рядов свойства имеют тенденцию усиливаться при необходимом для микроструктурного анализа рассмотрении высокочастотных данных. Статистический анализ последовательностей таких рядов, следовательно, требует модификации классических методов анализа финансовых временных рядов с учетом свойств, характерных для высокочастотных данных. К таковым относят дискретность динамики, нерегулярность наблюдений и характерные для большинства финансовых данных вероятностные характеристики такие, как асимметрия и положительный эксцесс эмпирических распределений стационарных изменений цен, существенную автокорреляцию цен, доходностей активов, частоты и объемов торгов.
Степень разработанности проблемы. Стандартные теории, исходящие из таких предположений, как гипотеза эффективного рынка или идентичность участников рынка, подразумевают, что цены отражают всю доступную рыночную информацию, и исключают возможность экстремальных значений цен и доходностей активов, объемов торгов и пр., а также утверждают нецелесообразность технического анализа с целью извлечения спекулятивной прибыли от торгов на рынках. Считается, что наибольший вклад в развитие теории микроструктуры внесли работы таких зарубежных авторов, как О'Хара, Столл, Харрис, Фама, Хасбрук, Кайл, Гудхарт и др.
Существование потенциально предсказуемых сценариев развития динамки рынков и отношение к ним участников рынка, а также распространенность спекулятивных техник торговли, основанных на техническом анализе динамики цен, стимулировало иное направление исследований и положило основу новейшего этапа развития теории микроструктуры. Основной целью теоретических и эмпирических работ в этой области является выявление и объяснение систематически наблюдаемых сценариев развития динамики реальных рынков в ходе торгов. Наиболее известны результаты работ таких авторов, как Мандельброт, Энгл, Боллерслев, Андерсен, Мельвин, Баувенс, Гиот, Рассел и др.
Вклад российских исследователей в развитие методов анализа микроструктурных данных в основном заключается в работах Леонидова, Дремина, Трайнина, Старченко, Зайцевых, Дубовиковых и др., в эмпирических работах которых используются методы эконофизики для описания, моделирования и предсказания внутридневной, но не сверхвысокочастотной динамики цен активов.
Цель данной работы — разработка модельного аппарата анализа сверхвысокочастотных последовательностей данных о внутридневной динамике цен торгуемых на рынке активов с учетом их характерных свойств как временных рядов и взаимосвязей с ключевыми характеризующими структуру рынка и ход торгов показателями — волатильностью изменений цен и частотой торгов.
В соответствии с целью работы поставлены следующие задачи:
1. Проанализировать последовательности цен активов и соответствующие частоты торгов на предмет проявления характерных свойств высокочастотных финансовых временных рядов и выяснения возможностей применения классического модельного аппарата статистического анализа.
2. На основе классического модельного аппарата оценить динамическую структуру процессов цен на активы и частоты торгов.
3. По результатам проверки качества оценок классических моделей оценить необходимость рассмотрения взаимосвязанной динамики частоты торгов и цен, предложить соответствующие модификации классических моделей и методы эффективной работы с ними.
Выполнить анализ рассматриваемых последовательностей цен и частоты торгов модифицированными методами; на основе статистического анализа качества полученных оценок сделать выводы о применимости предложенных модификаций модельного аппарата, их преимуществах и недостатках по сравнению с классическими моделями.
Изучить структуру взаимосвязей микроструктурных компонентов динамики рынка на основе оценок моделей одновременной динамики цен и частоты торгов для рассматриваемых инструментов.
Объектом данного исследования является микроструктурная динамика российского финансового рынка. Рассматривается внутридневная сверхвысокочастотная нерегулярная динамика цен на три торгуемых в фондовой секции Московской межбанковской валютной биржи инструмента (обыкновенные акции ОАО «Газпром», ОАО «Мобильные телесистемы» и ОАО «Сберегательный банк России») за 5 различных периодов времени продолжительностью в один торговый день.
Предмет исследования — модели и методы эконометрического анализа сверхвысокочастотных временных рядов цен активов и промежутков времени между заключаемыми сделками.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. В работе показано, что микроструктурная динамика частоты торгов и динамики цен торгуемых активов взаимосвязаны.
2. Предложен метод параметризации и эффективной оценки объединенной пространственно-временной модели, описывающей одновременную сверхвысокочастотную динамику цен торгуемых активов, волатильности стационарных приращений цен и частоты торгов.
3. Впервые в регрессионном анализе сверхвысокочастотных временных рядов использовано безгранично делимое модифицированное альфа- устойчивое с облегченными хвостами распределение и метод оценки параметров регрессионных моделей на основе характеристических функций.
4. С помощью предложенного метода на примере анализа динамики торгов на российском фондовом рынке показано, что сверхвысокочастотная волатильность цен и частота торгов не являются заменяемыми показателями активности торгов и оказывают различное влияние на динамику цен активов.
Основная часть работы представлена в трёх главах. Первая глава представляет собой обзор литературы в области микроструктуры рынков. Выделяются основные понятия и вопросы теории и практики микроструктурного анализа реальных рынков. Особое внимание уделяется обзору эмпирических исследований, посвященных изучению взаимосвязей между компонентами динамики цены на зарубежных рынках и факторами, ее определяющими, для зарубежных рынков. Помимо результатов эмпирических исследований рассматриваются соответствующие теоретические построения, объясняющие и интерпретирующие наблюдаемые в реальных данных закономерности, что позволяет определить спектр возможных областей применения статистических моделей.
Во второй главе приводится обзор методологии проводимого исследования. Рассматриваются классические модели анализа временных рядов финансовых показателей с учетом их специфических свойств. В первой части главы обсуждаются основные свойства высокочастотных данных, которые необходимо учитывать при выборе спектра статистических моделей. Основное внимание уделено вопросу о характеристиках распределений стационарных изменений цен активов и о характере проявления последних при переходе к рассмотрению высокочастотных данных. Во второй части главы приводится обзор классического модельного аппарата описания независимой динамики стационарных временных рядов. Рассматриваются модели класса авторегрессии дробно интегрированного скользящего среднего с условно гетеро скедастичными остатками. Отдельно указываются модификации данных моделей, применяемые в анализе финансовых показателей с учетом специфических вероятностных свойств (в основном, асимметрия и эксцесс распределений). В третьей части главы описан новый подход финансовой эконометрики, применяемый в микроструктурном анализе, — модели авторегрессионной условной длительности, разработанные специально для анализа динамики частоты торгов на финансовых сделках. В четвертой части второй главы предлагается авторская модификация классического модельного аппарата для описания одновременной динамики цен и частоты торгов. Особое внимание уделяется распределению стохастической компоненты в модели динамики цены; предлагается использовать ранее не применявшееся в регрессионном анализе финансовых временных рядов модифицированное устойчивое распределение с облегченными хвостами из класса безгранично делимых распределений. Распределение обладает большой гибкостью в описании асимметрии и эксцесса случайных величин, легко стандартизируемо (что важно в моделировании условной волатильности цен) и допускает явную формализацию широко обсуждаемой в микроструктуре декомпозиции стохастической компоненты в сумму случайного блуждания и процесса экстремальных выбросов (скачкообразного процесса). С учетом аналитических свойств распределения предлагается использовать обобщенный метод моментов для оценки параметров модифицированной модели.
Результаты расчетов в соответствии с поставленными задачами приводятся в третьей главе. На первом этапе исследования показано, что внутридневную динамику торгов на российском рынке можно анализировать, как совокупность высокочастотных нерегулярных финансовых временных рядов. На втором этапе рассматриваемые выборки были исследованы методами классического аппарата анализа временных рядов с модификациями, учитывающими характер высокочастотных финансовых данных.
Статистический анализ качества оценки параметризаций моделей выявил ряд недостатков в объясняющей силе классических моделей, с учетом которых была предложена структура модифицированных моделей. На третьем и четвертом этапе показано, что оценка ряда спецификаций предложенного типа модели обладает лучшей объясняющей силой и статистической значимостью, учитывая взаимосвязи между различными компонентами микроструктурных данных.
Апробация работы и публикации. По вопросам применяемого модельного аппарата и его приложений к анализу российского финансового рынка автором опубликовано 11 работ; из них: 2 в журнале, рекомендованном ВАК для публикации материалов диссертаций, — «Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Социально-экономические науки», 9 в сборниках материалов и трудов всероссийских с международным участием научных и научно-практических конференций. Содержание и результаты работы обсуждались на двух методических семинарах в Институте экономики и организации промышленного производства СО РАН, а также были представлены на ряде научнопрактических конференций.
Взаимосвязь объема торгов и волатильности цен
Помимо автокорреляции в динамике цен, во многих исследованиях как внутридневных, так и менее высокочастотных данных о торгах на рынках отмечены такие свойства изменений цен и доходностей, как гетероскедастичность, положительный эксцесс асимметрия распределений. При этом в динамике объема и волатильности помимо автокорреляции наблюдается пространственная взаимосвязь. В соответствии с результатами применения моделей класса авторегрессионной условной гетероскедастичности (autoregressive conditional heteroscedasticity model, ARCH model) волатильность изменений цен не постоянна, имеет долгую память, кластеризуется и проявляет инерцию. Характерные свойства рыночной активности также подтверждаются данными о частоте торгов, динамике спрэдов и объемов заключаемых сделок.
Эмпирические исследования показывают высокую автокорреляцию и кластеризацию в динамике волатильности изменений цен в периоды высокой и низкой рыночной активности [96 — 98]. Исследования внутридневных данных за долгие периоды подтверждают наличие короткой и долгосрочной памяти в динамике волатильности изменений цен, а также в динамике спрэдов и частоты торгов [49,53,54,99]. В качестве одной из причин кластеризации рассматривается то, что рыночные новости также кластеризуются, и рынок приспосабливается к ним практически моментально. Другой вариант — это различия в ожиданиях участников рынка с различным целями, «обучение» которых при поступлении новой информации и соответствующая корректировка ожиданий занимает до нескольких часов, что приводит к чрезмерной волатильности в этот период [45, 100, 101].
Также АЯСН-эффект в динамике ежедневных наблюдений за рыночными ценами интерпретируется, как следствие межвременной зависимости в динамике процесса образования и поступления на рынок новой информации. Эти эффекты включают в себя долгую память и инертность волатильности к шокам, а также такие наблюдаемые свойства данных, как кластеризация, ненормальность и нестабильность эмпирических распределений доходностей активов. Ежедневный объем торгов (как источник рыночной информации) имеет существенную объясняющую силу в динамике ежедневной волатильности доходностей, что также соответствует предположению о следовании ежедневных доходностей их внутридневной динамике. ARCH-эффекты имеют свойство исчезать, когда в качестве фактора волатильности рассматривается объем торгов [102]. Альтернативным фактором волатильности выступает частота заключаемых сделок и соответствующих изменений цены [103].
В качестве другого возможного объяснения !/?С//-эффекта в динамике доходностей предлагается, различная важность поступающих новостей для участников рынка. В качестве подтверждения рассматривается динамика активности спекулянтов различного типа («фундаменталистов» и «техников») и количества заключаемых сделок в течение дня [104].
В эмпирических исследованиях выявлена сильная связь между объемом и абсолютным значением изменений цен. Одним из объяснений положительной корреляции между объемом торгов и волатильностью является их связь через динамику поступления рыночных новостей [74, 75, 99, 105].
В моделях, основанные на информации, взаимосвязь между волатильностью и объемом объясняется тем, что плохо информированные участники рынка предпочитают заключать сделки, в периоды наибольшей ликвидности и глубины рынков, чтобы транзакционные издержки были для них минимальны. Тогда увеличение глубины и ликвидности рынка приводит к росту рыночной активности и концентрации торговли, при этом информированные участники также будут заключать сделки для поддержания скрытности своего положения. Чрезмерная концентрация торговли приводит к раскрытию дополнительной информации и, таким образом, большей волатильности цен. Также эту связь относят на счет общего ненаблюдаемого связывающего фактора — количества («кусочков» или «порций») новой информации [51] — который положительно коррелирован как с волатильностью доходностей, так и с объемом торгов. Предполагается, что новая информация стимулирует участников рынка и способствует изменению их резервированных цен и, следовательно, котировок. Дисперсия ежедневного изменения цен и среднего ежедневного объема торгов зависит от трех факторов: средняя скорость поступления новой информации в течение дня; степень приятия новой информации участниками рынка; количество активных участников рынка. В частности, считается, что при заданном количестве участников, увеличение объема торгов в результате изменения ожиданий приводит к росту волатильности. Если число участников растет, то средний объем торгов, соответственно, увеличивается, а волатильность изменений цен снижается [51, 106].
Модификации моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего для финансовых данных
Прияв за «конечный пункт» современную теорию и практику микроструктурного анализа финансовых рынков, всю историю развития модельного аппарата финансовых временных рядов можно разделить на следующие 6 этапов. 1. Единственный тип моделей — это модели среднего уровня цен, доходностеи и пр. показателей, считающихся стационарными в среднем и дисперсии.
Развитие моделей стохастической волатильности и условной авторегрессионной гетероскедастичности. 3. Изучение взаимосвязей динамики условного среднего и условной дисперсии стационарных процессов ценовых изменений на рынке. 4. Микроструктурный анализ, изучение точечных (моментных) процессов цен, ценовых механизмов. 5. Анализ нерегулярности динамики торгов на рынках, разработка моделей длительности. 6. Микроструктурный анализ нерегулярной динамики торгов, ценовых изменений на рынках с существующих моделей, модифицированных для описания гипотез микроструктуры и стилизованных статистических свойств высокочастотных данных. Логичным продолжением развития методологии анализа финансовых рынков на низком, микроструктурном уровне будет являться изучение взаимосвязи нерегулярности торгов с динамикой ценовых изменений, включая латентную динамику волатильности. Развитие модельного аппарата условной волатильности безусловно стационарных в дисперсии ценовых изменений существенно увеличило возможности описания динамики цен финансовых активов и прогностические возможности моделей динамики цен. Естественно ожидать, что переход к анализу неагрегированных микроструктурных данных — данных о каждой сделке, являющейся результатом взаимодействия спроса и предложения на рынке активов в каждый момент времени — сделает доступной информацию, необходимую для выявления устойчивых закономерностей функционирования рыночных механизмов и улучшения качества наиболее краткосрочных прогнозов. Наиболее полное описание системы пространственных и временных взаимосвязей между процессами, отражающими динамику торгов на рынке, четкое разделение авторегрессионной составляющей и строго стационарной стохастической компоненты ценообразования необходимы для ответа на такие вопросы микроструктуры, как: 1. Каковы направления прогнозируемых взаимосвязей показателей, характеризующих динамику работы торгового механизма и чем каковы реакции отдельных показателей на ожидаемые изменения друг друга? 2. Каковы природа случайных шоков в динамике отдельных показателей и как их возникновение в динамике одних показателей сказывается на ожидаемом уровне других? 3. Каковы возможные методы прогнозирования динамики торгов в самом краткосрочном периоде и их ожидаемая точность? 4. Насколько устойчивы выявляемые закономерности в ожидаемой и стохастической компонентах динамики торгов в зависимости от рынков, типов торгуемых инструментов, внешних экономических условий и тенденций на рынках и т.д.? Основная цель данной работы — предложить подход к моделированию микроструктурной динамики торгов на финансовых рынках, который позволит приблизиться к ответам на эти вопросы и сформировать направление дальнейшего развития микроструктуры и практики анализа динамики финансовых рынков в краткосрочном периоде. В общем виде все модели, описанные в п. 2.2. можно представить в виде серии условно независимых моделей линейной фильтрации истории процессов стационарных ценовых изменений, их условной волатильности и длительности, в которых в динамике этих процессов выделяются условно постоянные составляющие и строго стационарные случайные шоки: где функции fx (.), ax (.) являются такими суперпозициями элементарных скалярных функций и линейных фильтров истории процессов i%, что выполняются свойства стохастических составляющих ех (2.74) — (2.76). Истории процессов (2.71) — (2.73) связаны ограниченно — условная волатильность стационарных ценовых изменений связана с шоками ценовых изменений и может влиять на их условный средний уровень, а история длительности не связана с ценовыми изменениями вообще. Для определения структуры возможных взаимосвязей компонентов процессов (2.68) — (2.70) необходимо объединение множества регрессоров (2.71) — (2.73) в «единую» историю процесса динамики торгов: В динамике исходных высокочастотных процессов pt и dt остальные компоненты (2.69), (2.71) — (2.73) являются латентными и их многообразие исключает допустимые для моделей класса ARFIMA, FIG ARCH, AACD и т.п. методы спецификации формы функций /Д.) и ах() перебором различных спецификаций и отсев неподходящих на основе статистических критериев по результатам оценки параметров всех конкурирующих форм.
Цель построения модели одновременной динамики микроструктурных данных
В ранних исследованиях применение нормального распределения для описания остатков в регрессионных моделях интервальных, агрегированных временных рядов было обосновано центральной предельной теоремой. С развитием рынков и технических возможностей анализа более высокочастотных данных менялся инструментарий анализа стохастической компоненты динамики цен активов.
Исследователи отказались от нормального распределения в пользу законов, отвечающих эмпирическим характеристикам данных. Использование большинства распределений, описанных в п. 2.1., обосновано тем, что они имеют аналитическое выражение для функций плотности и первого и второго моментов, и, таким образом, не усложняют технику оценки параметров и проверки статистических гипотез, но при этом способны уловить необходимые эмпирические характеристики, типичные для остатков в регрессионных моделях финансовых временных рядов. Большинство этих распределений не отражает природу финансовых данных и поэтому не обладает достаточно гибкостью в их описании.
Основной гипотезой финансовой математики, объясняющей толстые хвосты, асимметрию и положительный эксцесс распределений стационарных изменений цен на активы, является предположение о скачкообразной природе этих изменений [141, 142, 144, 147, 148]. Считается, что стохастическая компонента динамики процессов изменения цен на рынке не является однородной. Основу колебаний составляет так называемая диффузионная составляющая, которая образуется в результате агрегирования множества одновременно действующих подобных факторов (предпочтений агентов, свойств торгового механизма и пр.) [1,2,6, 148, 154]. Согласно центральной предельной теореме, результирующий эффект этих факторов хорошо представим нормальным распределением. Но изменения цен подвержены также факторам, влияние которых не укладывается в нормальную диффузию и происходит в виде случайных шоковых реакций на события, как правило, внешние для рынка вообще или конкретного инструмента.
Эта гипотеза соответствует представлению изменений цен (2.2), которое широко используется в финансовой математике при описании динамики цен на базовые активы в моделях цен производных инструментов. Мандельброт впервые применил в анализе динамики цен акций альфа-устойчивое распределение с бесконечной дисперсией [95, 141, 142, 147]. Это распределение, изученное в первой половине XX в. Леви, Леви и Хинчиным и др. представляет собой наиболее широкий класс устойчивых к суммированию распределений и включает в себя нормальное распределение, являясь также основой обобщенной центральной предельной теоремы (для случайных величин с бесконечной дисперсией) [95, 143, 145, 147, 148]. Это распределение представимо в виде (2.2) и обладает толстыми хвостами, асимметрией и положительным эксцессом. Распространения в исследованиях устойчивые распределения не получили в виду того, что все частные случаи, за исключением нормального, имеют бесконечную дисперсию, которая традиционно выступает в финансах мерой риска и считается конечной [146 — 154].
Следующий шаг в развитии этого направления анализа был сделан также в теории ценообразования производных финансовых активов. Для описания динамики доходностей базовых активов применяются модели на основе безгранично делимых распределений — широкий класс распределений, обобщающий диффузионно-скачкообразное представление (2.2) с нормальной диффузией и скачкообразной компонентой, следующей составному процессу Пуассона. Распределение случайной величины называют безгранично делимым, если для любого п \ можно найти такие независимые одинаково распределенные случайные величины пі,...,пп, что ]„ - Большинство безгранично делимых распределений не имеют аналитического выражения для функций распределения и плотности распределения вероятности, основной параметризацией класса безгранично делимых распределений является характеристическая функция, выраженная в форме Леви - Хинчина. Согласно этой формуле любое безгранично делимое распределение однозначно определяется совокупностью параметров {m,a2,v(dx)} и характеристическая экспонента (натуральный логарифм характеристической функции) распределения имеет вид: Поскольку характеристическая экспонента суммы случайных величин представляет собой сумму характеристических экспонент, то из (2.78) видно, что безгранично делимое распределение представляет собой сумму нормально распределенной случайно величины с параметрами т, а и составного процесса Пуассона с мерой скачка v(dx). Соответственно, параметры т и а2 называют средним и дисперсией диффузионной составляющей, а меру v(dx) — мерой скачка или мерой Леви. Одним из наиболее популярных направлений в анализе динамики цен финансовых активов в настоящее время является применение безгранично делимых модификаций устойчивого распределения [146—154]. В данной работе предлагается в качестве распределения стохастической компоненты процесса изменений цены использовать модифицированное устойчивое распределение с облегченными хвостами (modified tempered stable distribution, MTS), которое было предложено Рачевым и др. в 2006 г. [146, 153]
Общие закономерности в динамике среднего уровня ценовых изменений
По результатам применения критериев стационарности к выборкам цен активов (Приложение 3) также видно, что для 12 из 15 выборок по ADF критерию не удается отвергнуть гипотезу о нестационарности отклонений цен от линейного тренда на высоком уровне значимости. Нестационарность отклонений цен на акции ОАО «МТС» за 21 ноября 2007г. и за 19 августа 2008г. и на акции ОАО «Газпром» за 10 марта 2009 отвергается ADF критерием с уровнем значимости не менее 98%, 91% и 95%, соответственно. Однако стационарность этих отклонений отвергается KPSS критерием на уровне значимости не менее 99%.
Таким образом, рассматриваемые ряды динамики цен активов являются реализациям процессов, интегрированных не менее второго порядка. Применение разностных преобразований для перехода к стационарным рядам не желательно, т.к. приведет к существенному увеличению волатильности рядов.
Для перехода к стационарным рядам решено использовать популярное в финансовой математике и эконометрике преобразование — переход к логарифмическим доходностям сделок, т.е. к первым разностям натурального логарифма цен активов. Полученные выборки логарифмических доходностей проверяются на стационарность аналогично проверке динамики цен — по ADF и KPSS критериям в двух формах. Графики выборок логарифмических доходностей сделок и результаты проверки их на стационарность приведены в Приложении 4. Гипотеза о нестационарности всех 15 выборок логарифмических доходностей отвергается ADF критерием на уровне значимости не менее 99.99%, а гипотезу о стационарности всех выборок не удается отвергнуть KPSS критерием на уровне значимости не менее 90%. Таким образом, все рассматриваемые ряды логарифмических доходностей можно считать реализациями стационарных в среднем процессов. Выбор формы авторегрессионной модели условного среднего стационарных изменений цены зависит от статистических свойств выборок. Мотивацией для построения моделей класса авторегрессии интегрированного скользящего среднего является автокорреляция рассматриваемых стационарных ярдов. Важным при моделировании динамики финансовых временных рядов является выбор отвечающей эмпирическим свойствам рядов формы распределения стохастической компоненты динамики ряда, которая выбирается на основе внешнего вида эмпирической плотности распределения вероятностей исходного ряда и значений некоторых его базовых статистик (коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса). В Приложении 5 приведены графики выборочных автокорреляционных функций рядов логарифмических доходностей и графики эмпирических оценок их плотностей распределения в сравнении с соответствующими выборкам плотностями нормального распределения.
Для всех рядов логарифмических доходностей характерна существенная автокорреляция как минимум на первых лагах, а в некоторых случаях наблюдаются характерные для периодических колебаний медленно затухающие повторяющиеся всплески корреляции на больших лагах. Такой вид автокорреляционных функций соответствует методологии построения моделей класса ARM А.
Эмпирические плотности всех рядов логарифмических доходностей проявляют характерные для финансовых временных рядов свойства — лептокуртозис (вершина эмпирических плотностей выше соответствующей нормальной плотности), толстые хвосты и асимметрию. Эти свойства являются обоснованием применения в качестве распределения стохастических компонент динамики стационарных ценовых изменений распределений Стьюдента, GED и пр., описанных в Главе 2.
Последовательности промежутков времени между сделками являются специфическими временными рядами. Теория стационарности временных рядов не относится к такому типу данных, и для построения моделей авторегрессионной условной длительности не требуются преобразования исходных рядов. Основной мотивацией для построения моделей класса ACD является существенная автокорреляция длительностей и соответствие их эмпирических распределений форме распределений класса экстремальных значений или т.п.
В Приложении 6 приведены графики выборочных автокорреляционных функций и эмпирические плотности распределения вероятностей для рассматриваемых рядов длительностей между сделками. Для всех рядов характерна значительная и медленно убывающая с ростом лага выборочная автокорреляция, что говорит о возможности построения для этих рядов моделей класса ACD. Эмпирические функции распределения вероятности для выборок длительностей между сделками существенно отличаются от соответствующих выборкам плотностей экспоненциального распределения, однако общая форма плотности соблюдается — высокая вершина близка к нулю по оси абсцисс, вероятность хвоста убывает, как некоторая показательная функция. Таким образом, разумно представить стохастические компоненты моделей ACD, как величины типа экстремальных значений.
