Введение к работе
Актуальность темы. Алгебраическая геометрия — это одна из классических математических дисциплин, изучающая решения систем алгебраических уравнений над полем. Решения систем алгебраических уравнений изначально искались во множестве вещественных чисел, а затем и комплексных чисел. Оказалось, что многие из полученных результатов использовали лишь алгебраическую замкнутость поля комплексных чисел, и поэтому естественным образом были перенесены на случай произвольного алгебраически замкнутого поля. Более того, в первой половине ХХ-го века в работах А. Вейля, О. Зарисского, Б. Ван дер Вардена, Э. Нётер была развита алгебраическая геометрия над произвольным полем.
Переход от алгебраической геометрии над полем комплексных чисел к алгебраически замкнутому полю, а затем и к произвольному полю был обусловлен существованием общих принципов, верных при решение систем алгебраических уравнений над произвольным полем. Таким образом, история развития алгебраической геометрии над полем позволяет сформулировать следующую проблему: существуют ли общие принципы решения систем уравнений, верные не только для любого ПОЛЯ, но и для произвольной алгебраической системы языка без предикатов?
Решение данной проблемы составляет основное содержание универсальной алгебраической геометрии, новой математической дисциплины. Алгебраическая геометрия над произвольной алгебраической системой Л занимается изучением свойств элементов Л, задаваемых системами уравнений.
Изучение универсальной алгебраической геометрии (алгебраической геометрии над алгебраическими системами) было начато в работах Б.И. Плоткина [23, 24] (для многообразий алгебр), Г. Баумслага, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова [2] и А.Г. Мясникова, В.Н. Ремес-ленникова [22] (для групп). Данные работы являются попытками теоретически осмыслить результаты, полученные ранее при решении некоторых классов уравнений над конкретными алгебрами и группами (например, уравнения над свободной группой ранее изучались в работах Р. Линдона [18], К. Аппеля [1], А.И. Мальцева [20], Г.С. Маканина [19], А.А. Разборова [25, 26], Р.И. Григорчука и П.Ф. Курчанова [И]).
За последние годы накоплен достаточно богатый материал об алгебраических геометриях над различными алгебраическими системами. К настоящему времени многие задачи и проблемы алгебраической геометрии были решены в следующих классах групп и алгебр:
метабелевы группы: В.Н. Ремесленников [30], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [27, 28], В.Н. Ремесленников, Н.С. Романовский [31], В.Н. Ремесленников, Е.И. Тимошенко [32];
разрешимые группы: Н.С. Романовский [33];
алгебры Ли: Э.Ю. Даниярова, И.В. Казачков, В.Н. Ремесленников [3, 4], Э.Ю. Даниярова [8], Э.Ю. Даниярова, В.Н. Ремесленников [9], В.Н. Ремесленников, Р. Штёр [29];
свободная группа: А.Г. Мясников, О. Харлампович [13, 14, 15], 3. Села [34].
Отдельно следует сказать об алгебраической геометрии над свободной группой. Её развитие в первую очередь было вызвано попытками решить проблему Тарского об элементарной эквивалентности свободных некоммутативных групп конечных рангов. Работа над её решением велась многие годы и многими специалистами. Завершающие результаты были получены в работах А.Г. Мясникова, О. Харлампович и 3. Селы, указанных выше. Последние работы не только положительно решают проблему Тарского, но и содержат описание координатных групп алгебраических множеств над свободной группой и это описание дано на языке свободных конструкций.
Естественно, что после построения алгебраической геометрии над свободной группой была сделана попытка описать координатные алгебры над свободным моноидом. В настоящее время данная проблема, несмотря на работу многих специалистов, далека до окончательного решения. В качестве одной из причин её сложности укажем на один из результатов данной диссертации, утверждающий, что алгебраическая геометрия даже над однопорождённым бесконечным моноидом достаточна сложна.
В алгебраической геометрии над алгебраическими системами есть ряд общих принципов, которые не зависят от свойств конкретной алгебраической системы. В связи с тем, что стало появляться много работ над различными группами и алгебрами, возникла необходимость в изложении общих основ алгебраической геометрии над алгебраическими системами. В этом направлении работает коллектив математиков, состоящий из Э.Ю. Данияровой, А.Г. Мясникова и В.Н. Ремесленникова, которым уже подготовлено три статьи [5, 6, 7] по данной теме.
В данных работах были доказаны так называемые Объединяющие теоремы, позволяющие изучать координатные алгебры с семи разных точек зрения. Там же были сформулированы несколько проблем, решению которых посвящена вторая часть данной диссертации.
Статьи [5, 6, 7] по универсальной алгебраической геометрии объясняют общие принципы, верные для любой алгебраической системы. Но в то же время решение классификационных задач для конкретной алгебраической системы по-прежнему остаются интересным и требующим решения.
В частности, в первой главе настоящей диссертации, следуя идеям работ [5, 6, 7], изучается алгебраическая геометрия над однопорождённым бесконечным моноидом (наиболее естественное представление этого объекта — натуральные числа N с операцией сложения) и описываются все координатные моноиды.
Дополняя множество натуральных чисел до множества целых, мы получаем абелеву группу. Проблема описания координатных групп над группой Z была решена в работе [22], где было доказано, что любая координатная группа над Z изоморфна Zn, и наоборот: все декартовы степени Zn являются координатными группами алгебраических множеств HaflZ. Заметим также, что на самом деле в [22] были описаны координатные группы алгебраических множеств над любой абелевой группой.
К сожалению, в многообразии моноидов нет хороших структурных результатов (таких как теорема о разложении конечно порождённой абелевой группы в прямую сумму циклических групп), и поэтому не существует универсального метода, позволяющего по заданному коммутативному моноиду М описать все координатные моноиды алгебраических множеств над М. Более того, даже для моноида N натуральных чисел множество всех координатных моноидов достаточно сложно и, как доказано в диссертации, не исчерпывается декартовыми степенями Nn.
Многие свои понятия и подходы универсальная алгебраическая геометрия берёт из классической алгебраической геометрии над полем. Например, заимствованными понятиями являются алгебраическое множество и координатная алгебра — аналог понятия координатного кольца в классическом случае. На случай произвольной алгебраической системы обобщаются и некоторые результаты из алгебраической геометрии над полем (например, теорема о дуальной эквивалентности категории алгебраических множеств и координатных алгебр). Однако другие результаты (и их большинство) на случай произвольной алгебраической системы не переносятся. Это ставит перед исследователем задачу по поиску контрпримеров, не допускающих такое обобщение.
Кончено, построение таких примеров облегчается тем, что в качестве алгебраической системы Л мы можем брать произвольную модель произвольного языка без предикатов и доказывать, что алгебраическая гео-
метрия над ней не допускает переноса результатов с алгебраической геометрии над полем. Но большую ценность контрпример будет иметь, если найденная алгебра Л будет принадлежать стандартному многообразию алгебр (например, Л будет группой).
Конечно порождённые кольца многочленов над полями являются нё-теровыми. Этот факт в классической алгебраической геометрии над полем к играет решающую роль, так как аффинное пространство кп оказывается нётеровыми топологическим пространством (с топологией За-рисского). Произвольная алгебраическая система с таким свойством называется нётеровой по уравнениям.
Во второй главе настоящей диссертации в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп в языке со счётным множеством констант и решается ряд проблем, поставленный в работах [6, 7], и связанный с понятием нётеровости по уравнениям.
Помимо построения примеров, показывающих переносимость некоторых результатов с алгебраической проблемы над полем, в универсальной алгебраической геометрии рассматриваются и чисто теоретико-модельные проблемы. Например: является ли класс всех нётеровых по уравнениям алгебраических систем языка С аксиоматизируемым. В нашей диссертации даётся отрицательный ответ на этот вопрос.
Цель работы:
Описать координатные моноиды над коммутативным моноидом с сокращениями; доказать критерий неприводимости для алгебраических множеств. Решить проблемы, поставленные в универсальной алгебраической геометрии, связанными с понятием нётеровости по уравнениям и его обобщениями.
Методика исследований. В качестве методов исследования использовались методы линейной алгебры, теории моделей, универсальной алгебраической геометрии.
Научная новизна работы. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и перечислены ниже в порядке появления их в работе.
Описаны координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел Л/о в языке (+,0). Изучены моноиды универсально и геометрически эквивалентные Л/о-
Описаны неприводимые координатные моноиды над аддитивным моноидом натуральных чисел J\f в языке (+,0,1,2...). Предложен метод разложения приводимых алгебраических множеств над
J\f в объединение неприводимых компонент. Дана удовлетворительная аксиоматизация универсального замыкания Ucl(jV).
Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы произвольный моноид ЛЛ являлся координатным для некоторого непустого алгебраического множества над ЛЛ Дана удовлетворительная аксиоматизация квазимногообразия Qvar(jV) с помощью квазитождеств простейшего вида. Получены структурные результаты о координатных моноидах алгебраических множеств над Л/".
Построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в счётом языке С = (, Со, Сі, Сі ...), показывающие несовпадение свойств нётеровости по уравнениям и различных видов компактности (классов N, N', Q, U).
Теоретическая и практическая ценность. Была создана алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел (в стандартном и в языке с константами), построены примеры коммутативных идемпотентных полугрупп в языке с счётным числом констант, решающие проблемы, поставленные в работах [6, 7]. Доказана неаксиоматизируемость класса нётеровых по уравнениям коммутативных идемпотентных полугрупп в языке С.
Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на Омском алгебраическом семинаре (2008-2010), международных математических конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008-2010), "Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications" (USA, Hoboken, 2009) и международных семинарах "Makanin-Razborov Algorithm" (Italy, Alagna, 2008), "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (Омск, 2009).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [36, 37, 35, 38]. Работа [36] выполнена совместно с П.В. Морарем при равном вкладе соавторов.
Структура и объём работы. Диссертация изложена на ста пяти страницах, содержит введение, главу с предварительными сведениями, две главы с полученными результатами и список литературы. Главы разбиты на параграфы, список литературы содержит 38 наименований.
В первой главе изучается алгебраическая геометрия над аддитивным моноидом натуральных чисел и рассматриваются две алгебраические системы Л/о = (N; +, 0) и J\f = (N; +, 0,1, 2,...). В параграфе 1.1 дано описание всех координатных моноидов алгебраических множеств над
Л/о и доказываем, что все алгебраические множества над Л/о неприводи-мы. В параграфе 1.2 описаны все моноиды геометрически и универсально эквивалентные моноиду Л/о- Это позволит распространить полученные до этого результаты на целый класс коммутативных моноидов. В параграфе 1.3 описываются координатные моноиды неприводимых алгебраических множеств над Л/", а в параграфе 1.5 — все координатные моноиды над Л/". В параграфе 1.4 предложен метод разложения приводимого над J\f алгебраического множества в конечное объединение неприводимых и исследованы свойства такого разложения. Параграф 1.6 содержит метод вычисления радикала линейного уравнения t{X) = а, а Є N. Данные уравнения играют большую роль при аксиоматизации квазимногообразия, порождённого моноидом Л/".
Во второй главе настоящей диссертации все исследовния проводятся в в многообразии коммутативных идемпотентных полугрупп языка С = (, Со, Сі,...) (полугруппы такого языка здесь называются С-полугруппами). Найдены решения следующих проблемы, поставленные в работах [6, 7].
Проблема 1 [7]. Пусть V — некоторое многообразие алгебр. Существуют ли в V алгебры, показывающие различие классов N, U, Q, N', U'?
Проблема 2 [6]. Допустим, что каждая совместная над алгеброй А система уравнений S эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Будет ли из этого следовать, что алгебра А нётерова по уравнениям?
Проблема 3 [6]. Пусть V — многообразие алгебр языка С Будет ли аксиоматизируемым класс всех нётеровых по уравнениям алгебр из V
Проблема 4 (Проблема вложения) [7]. Пусть В — q^-компактная алгебра языка С. Пусть С — координатная алгебра над В. Будет ли С вкладываться в конечное декартово произведение алгебр изЦс1(>)? Если ответ "нет", то решить аналогичную проблему для u^-компактной алгебры В.
Исторически проблеме 1 предшествовала проблема разделения классов N, Q для групп. Эта проблема была решена Б.И. Плоткиным [24]. Проблема разделения пар классов пары N,N' и пары U,Q решена М.В. Котовым [16] для алгебраических систем языка (д ), состоящего из счётного числа одноместных функциональных символов.
Полный набор примеров (/^-полугруппы Ах^А^-.Л^-.Л^^ показывающих попарное несовпадение всех классов N^N^U^Q, приведён в параграфе 2.1. Таким образом, проблема 1 полностью и положительно решена в многообразии коммутативных идемпотентных /1-полугрупп. Кроме
того, мы строим /1-полугруппу Ль, не принадлежащую всем указанным выше классам. К тому же /1-полугруппа А\ решает в отрицательном смысле проблему 2. Иными словами, любая совместная над А\ система уравнений эквивалентна своей конечной подсистеме, но в то же время над А\ существуют несовместные системы, каждая конечная подсистема которых совместна.
Отрицательному решению проблемы 3 посвящен параграф 2.3. В этом параграфе найден критерий нётеровости по уравнениям /1-полугрупп (теорема 2.27). Следствием данного критерия является отрицательное решение проблемы 3.
В параграфе 2.2 будут определены /I-полугруппы В,С такие, что С — координатная полугруппа над u^-компактной /^-полугруппой В, и С не вложима ни в какое конечное декартово произведение /1-полугрупп из класса Ucl^)^. Таким образом, что построенные полугруппы В, С решают проблему 4 отрицательно.
