Содержание к диссертации
Введение
1. Подготовительные результаты 29
1.1. Предварительные сведения о метабелевых алгебрах Ли 29
1.1.1. Определение метабелевой алгебры Ли 29
1.1.2. Определение радикала Фиттинга 30
1.1.3. Структура модуля на радикале Фиттинга 32
1.1.4. U-алгебры 34
1.1.5. Система порождающих элементов и определяющих соотношений 35
1.1.6. Расширения метабелевых алгебр Ли 36
1.1.7. Расширения радикала Фиттинга 37
1.1.8. Прямые суммы метабелевых алгебр Ли 39
1.1.9. Модульная структура на радикале Фиттинга. прямой суммы метабелевых алгебр Ли 40
1.1.10. Матричные метабелевы алгебры Ли 42
1.2. Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли 44
1.2.1. Категория Л-алгебр Ли 45
1.2.2. Логический язык категории А -алгебр Ли 47
1.2.3. Основные понятия алгебраической геометрии 48
1.2.4. Категория алгебраических множеств и категория координатных алгебр 54
1.2.5. Теорема об эквивалентности категории алгебраических множеств и категории координатных алгебр 55
1.2.6. Топология Зариского 61
1.2.7. Нстеровы по уравнениям алгебры 63
1.2.8. Универсальные классы 67
1.2.9, Логический аспект алгебраической геометрии в нетеровом случае 68
1.3. Свободная метабелева алгебра Ли 69
1.3.1. Канонический базис свободной метабелевой алгебры Ли 70
1.3.2. Решение уравнений над алгеброй Fr 71
1.3.3. Примеры алгебраических множеств над алгеброй Ff 72
1.3.4. Категория /^-алгебр 75
1.3.5. Fr -U-алгебры со свойствами U-l, U-2 78
2. Коммутативная алгебра 83
2.1. Q-идеалы 83
2.1.1. Линейные идеалы 83
2.1.2. Q-идеалы 86
2.1.3. Линейные гомоморфизмы 87
2.2. Q-модули 90
2.2.1. Определение, свойства и примеры Q-модулей 91
2.2.2. Структура Q-модуля: примарное разложение 99
2.2.3. Изолированные Q-модули 104
2.2.4. Вырожденные Q-модули 107
2.2.5. Системы модульных уравнений 109
3. Метабелевы Q-алгебры ли 112
3.1. Q-алгебры 112
3.1.1. Определение и свойства Q-алгебр 113
3.1.2, Примариое разложение Q-алгебр 116
3.2. F,.-Q-алгебры 125
3.2.1.Т^-О-алгебры со свойствами Q-l, Q-2, Q-3 126
3.2.2. Примарноеразложение /^-Q-алгебр 131
3.2.3. /^-гомоморфизмы 134
3.2.4. Пример Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l; Q-2, Q-3 137
4. Аксиомы 140
4.1. Универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли 141
4.1.1. Аксиоматика Q-алгсбр 141
4.1.2. Аксиоматика U-алгебр 147
4.1.3. Случай бесконечного поля 152
4.2. Квазиэквациональная теория алгебры Fr 156
4.3. Универсальная теория алгебры Fr 165
5. Основные результаты 169
5.1. Координатные алгебры над Fr. 169
5.1.1. Классификация координатных алгебр над Fr 170
5.1.2. Классификация неприводимых координатных алгебр над Fr 171
5.2. Алгоритмические проблемы 173
5.3. Алгебраические множества над Fr 174
5.3.1. Классификация неприводимых алгебраических множеств над алгеброй Fr 175
5:3.2. Произвольные алгебраические множества над Fr 179
5.3.2. Классификация алгебраических множеств в размерности один 183
5.3.3. Размерность 186
Список литературы 189
- Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли
- Свободная метабелева алгебра Ли
- Изолированные Q-модули
- Пример Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l; Q-2, Q-3
Введение к работе
Многие связи между подмножествами элементов фиксированной алгебраической системы А можно выразить на языке систем алгебраических уравнений над А. В классическом случае, когда А является полем, раздел математики, изучающий такого рода связи, называется алгебраической геометрией.
Становление алгебраической геометрии над полем вещественных чисел относят к XVII веку, когда в геометрию было введено понятие координат, позволившее рассматривать геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют алгебраическим соотношениям. Так, в геометрии на плоскости основным объектом алгебраической геометрии является плоская аффинная алгебраическая кривая -множество, заданное уравнением f(x,y) = 0, где / - многочлен от координат х и у, не являющийся константой. Кривые характеризуются в зависимости от их порядка, равного минимальной степени многочлена f(x,y), задающего данную кривую. Для случая поля вещественных чисел существует классификация кривых первого, второго и третьего порядков. Основным объектом алгебраической геометрии в трехмерном вещественном пространстве, является алгебраическая поверхность, то есть множество, заданное уравнением g(x,ytz) = 0, где g -многочлен от координат х, у иг.
Изучение алгебраических кривых и поверхностей с неизбежностью привело-к «комплексификации координат». С начала XVIII века алгебраическим уравнениям сопоставляют множества комплексных решений, а затем и приходят к рассмотрению уравнений с комплексными коэффициентами. Изучение алгебраической геометрии над полем комплексных чисел привело к значительному развитию технического аппарата и теоретических оснований алгебраической геометрии. Так, например, обобщением понятий алгебраической кривой и алгебраической поверхности стало понятие алгебраического многообразия, то есть решения системы алгебраических уравнений от конечного числа переменных; среди алгебраических многообразий выделяют неприводимые; на многообразиях определяют рациональные функции, а между многообразиями -рациональные и бирациональные отображения; вводят понятия проективных и квазипроективных многообразий, понятие размерности многообразия и т. д. Оказалось, что большинство полученных на этом пути результатов не используют топологию поля комплексных чисел и могут быть интерпретированы для произвольного алгебраически замкнутого поля.
Алгебраическая геометрия над алгебраически замкнутым полем является наиболее простым случаем. В частности, здесь получена классификация алгебраических кривых и неособых проективных поверхностей в заданном классе би рациональной эквивалентности. Однако вскоре было замечено, что недостаточно ограничиться только алгебраически замкнутыми полями. В начале 20 века в работах Л. Вейля, Зариского, Б. Л. Ван дер Вардена, Э. Нетер и других понятие алгебраической геометрии было обобщено на случай произвольного ноля. Нагата пошел дальше, развив основания алгебраической геометрии над дедекиндовыми областями.
Ведущей проблемой алгебраической геометрии над фиксированным полем является проблема классификации алгебраических многообразий. В наиболее сильной форме она предполагает классификацию всех алгебраических многообразий с точностью до изоморфизма. К сожалению, для конкретных полей эта,задача не поддается общему решению, но, тем не менее, она стимулирует изучать теорию, порождает большое количество работ и служит двигателем прогресса в этой области.
С 60-х годов XX века стала активно развиваться алгебраическая геометрия над конечными полями, которая получила применение в алгоритмических задачах теории чисел, например, в методе факторизации чисел.
Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами - это новое направление. На сегодняшний день оно представлено в основном алгебраической геометрией над группами, где получены хорошие результаты. Основы алгебраической геометрии над группами были заложены в работах Г. Баумслага, А. Г. Мясникова, В. Н. Рсмесленникова [2] и А. Г. Мясникова, B.FL Ремеслснникова [10], в которых были интерпретированы главные идеи алгебраической геометрии в ее алгебраическом и логическом аспектах для случая групп. Однако предложенная в данных статьях- система определений и набор основных результатов могут быть без труда перенесены на произвольную алгебраическую систему (без предикатов). Так, например, в препринте [24] нами были изложены элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли.
Перечислим наиболее яркие успехи алгебраической геометрии над группами. Прежде всего, достаточно хорошо решена основная проблема алгебраической геометрии о классификации координатных групп и алгебраических множеств в случае свободной группы. Дала классификация координатных групп на языке свободных конструкций. Это достигнуто благодаря работам многих специалистов в теории групп, отмстим среди них работы Р. Линдона [9], К. И. Аппеля [1], Р. Брайнта [3], Г. С. Маканина [17], А. Разборова
7 [ІЗ, 18], В. Н. Ремесленникова [19], Р. И. Григорчука и П. Ф. Курчанова [5], 3. Селы [16],
A. Мясникова, В. Ремесленникова и Д. Сербина [11, 12]. Завершающий результат был
получен в замечательных работах О. Харлампович и А. Мясникова [6, 7, 8].
Достаточно серьезные результаты по алгебраической геометрии над свободной метабелевой группой получены в работах О. Шапю [4], В. Н. Ремесленникова [20],
B. Ремесленникова и Р. Штёра [14,15], В. Н. Ремесленникова и Н. С. Романовского [21,
22], В. Н. Ремесленникова и Е. И. Тимошенко [23].
Работа над созданием алгебраической геометрии над алгебрами Ли над полем началась сравнительно недавно. Перед тем, как очертить результаты, полученные в этом направлении, приведем вкратце основные определения и обозначения алгебраической геометрии над алгебрами Ли.
Пусть А - фиксированная алгебра Ли над фиксированным полем к и X = {xv...,xa} — набор неизвестных. Тогда пространство А" называется аффинным «-мерным пространством. Алгебра Л[Х] = A* F(X), где * - знак свободного лиева произведения алгебр Ли, a F(X) - свободная алгебра Ли,.порожденная множеством X, называется свободной А -алгеброй, а ее элементы - многочленами; Приравнивая многочлены к нулю, получаем уравнения над алгеброй А'. Если feA[X], то корнем
многочлена / называется любой набор элементов ах,„.,ап є А, для которых /(а,,...,ан) = 0. Произвольное подмножество S
Классификация радикальных идеалов алгебры А[Х];
Классификация координатных алгебр над А.
Среди всех алгебр Ли выделяют алгебры нетсровы по уравнениям и области, алгебраическая геометрия над которыми имеет ряд приятных особенностей, связанных с топологией Зариского на аффинном пространстве А", Здесь, как и в классическом случае, топология Зариского определяется через предбазу замкнутых множеств, состоящую из всех алгебраических множеств. Алгебра А называется петеровой по уравнениям, если любая система уравнений S а А\Х] эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме. Любая конечно порожденная метабелева (а также нильпотентная) алгебра Ли является нетеровой по уравнениям.
Алгебраическая нетеровость соответствует нетеровости геометрической, а именно: алгебра А нетерова по уравнениям тогда и только тогда, когда л-мерное аффинное пространство А" нетерово (в топологическом смысле) при всех натуральных п. Алгебраическое множество Y д: А" называется неприводимым, если оно непредставимо в виде объединения двух собственных замкнутых подмножеств; координатная алгебра неприводимого алгебраического множества называется неприводимой. Справедлива теорема о том, что если алгебра А — нетерова по уравнениям, то любое алгебраическое множество над А представимо в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств, причем такое представление однозначно с точностью до перестановки компонент и откидывания лишних. Таким образом, основная задача алгебраической геометрии над нетеровой по уравнениям алгеброй А разбивается на две подзадачи:
Классификация неприводимых алгебраических множеств над А ;
Решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?
Алгебра Ли А называется областью, если в ней нет делителей нуля, то есть таких непулевых элементов х є А, для которых существует ненулевой у є А, такой, что идеалы id
9 алгебраических множеств. Свободная алгебра Ли является областью. Любое конечномерное линейное подпространство свободной алгебры Ли является алгебраическим множеством. Алгебраическое множество мы называем ограниченным, если оно по каждой своей координате вмещается в некоторое конечномерное линейное пространство.
В алгебраической геометрии над алгеброй Ли. Л: выделяют-три основных аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический (описание координатных алгебр на языке теоретико-модельных классов). Так, например, если алгебра Л нетерова по уравнениям, то логический аспект выражается теоремой о том, что семейство координатных алгебр над А совпадет с классом конечно порожденных алгебр из квазимногообразия qvarfyi), порожденного алгеброй А, а семейство неприводимых координатных алгебр совпадает с классом конечно порожденных алгебр из универсального замыкания ис\{А), порожденного алгеброй А.
На-сегодняшний день накопленные результаты по алгебраической геометрии над алгебрами Ли в основном относятся к двум областям исследований: к алгебраической геометрии над свободной метабелсвой алгеброй Ли Fr конечного ранга г надполем к-и к
алгебраической геометрии над свободной алгеброй Ли Lr конечного ранга г над полем k. Из полученных здесь результатов и представленных работ перечислим следующие:
1.. Построена алгебраическая геометрия над свободной метабелевой алгеброй Ли Рг
над конечным полем к. Соответствующая теория и является содержанием данной работы. К этой тематике относятся статьи Э Ю. Данияровой, И. В. Казанкова, В. Н. Рсмссленникова [26, 27, 28] и Э. 10. Данияровой [25]. Главными итогами перечисленных работ является классификация координатных алгебр над. Fr и неприводимых координатных алгебр, аксиоматическое описание квазимногообразия и универсального замыкания, порожденных алгеброй Fr, доказательство алгоритмической разрешимости квазиэквациональной и универсальной теории алгебры Fr, а также проблемы разрешимости систем уравнений над Fr.
2. Описаны ограниченные алгебраические множества над свободной алгеброй Ли Lr над шобым полем к и все алгебраические множества в размерности один. В работе Э. Ю. Данияровой и В. Н. Рсмеслешгакова [30] показано, что существует взаимно однозначное соответствие между оіраниченньши алгебраическими множествами над
10 алгеброй Lr и алгебраическими множествами над основным полем к. Отсюда следует, что алгебраическая геометрия над свободной алгеброй Ли устроена достаточно сложно и включает в себя всю теорию алгебраической геометрии поля к. Оказалось, что результаты работы [30] без изменений перекладываются на случай свободной антикоммутативной алгебры Ат ранга г. Алгебраическая геометрия над алгебрами Lf и Аг в настоящее время продолжает активно изучаться.
3. Исследованиям областей, полуобластей, делителям нуля в свободных произведениях алгебр Ли посвящены работы И. В. Чиркова и М. А. Шевелина [31 ] и Э Ю. Дапияровой, И. В. Казачкова, В. Н. Рсмесленникова [29].
В данной работе мы ставим перед собой задачу определить понятия алгебраической геометрии над алгебрами Ли и построить аліебраическую геометрию над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr конечного ранга г над полем к, классифицировать
координатные алгебры над Fr и неприводимые координатные шггсбры. Провести
описание данных алгебр разными способами, в том числе, дать аксиоматическое и структурное описание.
В качестве методов исследования использовались теория алгебр Ли, теория моделей и математическая логика, теория коммутативных колец многочленов и модулей над ними, а также алгебраическая геометрия над алгебрами Ли.
Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим некоторые из них в порядке появления в работе:
сформулированы основы алгебраической геометрии над алгебрами Ли;
построена теория Q-модулей над кольцами многочленов и доказана теорема о
примарном разложении Q-модулей в категории Q-модулей;
построена теория метабелевых Q-алгебр Ли и доказана теорема о примарном разложении Q-алгебр в категории Q-алгебр;
получено аксиоматическое описание квазимиогообразия, порожденного всеми Q-алгебрами, и универсального класса, порожденного нримарными Q-алгебрами;
найдены рекурсивные списки аксиом, порождающие квазимногообразис
qvar(/^) и универсальное замыкание ucl(Ff) свободной метабелевой алгебры
Ли/v;
6) доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквациональной и универсальной
теорий алгебры Fr;
7) доказана алгоритмическая разрешимость проблемы совместности систем
уравнений над алгеброй Fr\
описаны неприводимые алгебраические множества над алгеброй F/,
описаны алгебраические множества в размерности один над алгеброй Fr;
10) построена теория размерности алгебраических множеств над Fr.
Результаты 4)-10) справедливы только в случае конечного основного ноля.
Работа носит теоретический характер. Получена классификация координатных алгебр над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr конечного ранга над конечным полем и классификация неприводимых координатных алгебр. Доказана алгоритмическая разрешимость квазиэквационалыгой и универсальной теорий алгебры Fr. Результаты
данной диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов по алгебраической^ геометрии над алгебрами Ли, по подготовке учебных пособий.
Результаты работы докладывались на семинарах кафедр алгебры МГУ (Москва,. 2002), НГУ (Новосибирск, 2003), ОмГУ, Конгрессе "Роль математики в 21; веке" (Новосибирск, 2003), Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского государственного университета и 75-летию кафедры алгебры (Москва, 2004), Международной конференции "The Canadian Mathematical Society Winter 2004 Meeting" (Монреаль, Канада, 2004).
Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 27, 28]; Работы [26, 27, 28) выполнены совместно с И. В. Казачковьтм и В. Н. Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.
Диссертация изложена на 193 страницах, состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, большая часть параграфов структурирована по разделам. Список литературы содержит 47 наименований.
Первая глава работы сформирована из вводной информации о метабелевых алгебрах Ли (параграф 1.1), о модульной структуре на радикалах Фиттинга, об метабелевых U-алгебрах Ли, об элементах алі'ебраической геометрии над алгебрами Ли (параграф 1.2), а также сюда включены сведения о свободной метабелевой алгебре Ли Fr, категории
12 /^-алгебра Лии некоторые предварительные результаты алгебраической геометрии над алгеброй Fr (параграф 1.3).
Во второй главе мы вводим новую категорию идеалов в коммутативных кольцах многочленов и новую категорию модулей. В параграфе 2.1 даются определения линейною идеала, Q-идеала кольца многочленов, Q-радикала, линейного гомоморфизма колец многочленов и обсуждаются некоторые свойства таких объектов. В параграфе 2.2 мы определяем Q-модули над кольцами многочленов и исследуем структуру таких модулей. В частности, построена теория примарного разложения для Q-модулеи и доказано, что произвольный Q-модуль вкладывается в прямую сумму модулей без кручения.
Третью главу работы составляет изучение специальных метабелевых алгебр Ли, так называемых Q-адгебр. В параграфе 3.1 приводится определение Q-алгебры, как алгебры, радикал Фиттинга которой является Q-модулем. Здесь же доказывается теорема al-14 о том, что любая конечно порожденная Q-алгебра вкладывается в прямую сумму прима рных Q-алгебр. В параграфе 3.2 исследуются так называемые Fr -Q-алгебры Ли, удовлетворяющие свойствам Q-l,Q-2,Q-3, и доказывается теорема о примарном разложении в категории таких алгебр. В пятой главе будет показано, что данные алгебры!1 доставляют один из способов описания координатных алгебр над свободной метабелевой* алгеброй Ли F, над полем А;.
Четвертая: глава работы носит логический характер. В параграфе 4.1 построены' рекурсивные списки аксиом, определяющие следующие классы алгебр: 1) квазимногообразие. 0, порожденное всеми метабелевыми Q-алгебрами. Ли над полем к, 2) универсальный класс И, порожденный всеми метабелевыми U-алгебрами Ли над полем к. Все аксиомы параграфа4.1 являются универсальными формулами в языке первой ступени теории алгебр Ли над полем к. Параграфы4.2 и 4.3 продолжают рассуждения: параграфа 4.1. В них мы построили рекурсивные списки аксиом, определяющие такие классы, как: 1) квазимногообразие, порожденное алгеброй Ь\, 2)
универсальное замыкание, порожденное алгеброй Fr. Аксиомы данных параграфов
являются универсальными предложениями языка h. , обогащенного за счет констант
алгебры- Fr. Отметим, что все основные результаты четвертой главы справедливы только
в случае конечного поля к. Однако часть результатов не зависит от мощности поля к. Проведен анализ того, как изменятся полученные результаты в случае бесконечного поля к.
13 В пятой главе собраны вместе основные результаты работы и получено их применение к алгебраической геометрии над алгеброй Fr. Теорема res-I дает описание
координатных алгебр над Fr на пяти эквивалентных языках, среди которых аксиоматический и структурный. Аналогично теорема res-2 описывает неприводимые координатные алгебры над Ff пятью способами. В теоремах res-З и res-4 доказана
разрешимость квазиэкватшональной и универсальной теории алгебры Fr соответственно. Теорема res-5 утверждает, что над алгеброй Fr алгоритмически разрешима проблема совместности систем уравнений. В параграфе 5.3 приводится классификация неприводимых алгебраических множеств над Fr и алгебраических множеств в размерности один, там же построена теория размерности алгебраических множеств над Fr. Результаты этой главы формулируются лишь для конечного основного поля к. Если поле к бесконечно, то справедливы слабые формы доказанных утверждений.
Нумерация лемм, предложений, утверждений, теорем в работе для удобства восприятия связана с делениями на параграфы: буквенный префикс в номере результата указывает на параграф. Приведем список соответствий:
рг - параграф 1.1, предварительные сведения;
ag - параграф 1.2, элементы алгебраической геометрии;
f-параграф 1.3, свободная метабелева алгебра Ли;
id - параграф 2.1, Q-идеалы;
m - параграф 2.2, Q-модули;
al-параграф 3.1, Q-алгебры;
fq-параграф 3.2. Ff -Q-алгебры;
ах - параграф 4.1, универсальные аксиомы в языке первой ступени теории алгебр Ли;
q - параграф 4.2, квазиэквациопальная теория;
и - параграф 4.3, универсальная теория;
res - параграфы 5.1, 5.2, основные результаты;
am - параграф 5.3, алгебраические множества.
Первая глава-работы начинается с параграфа 1.1, в котором собраны сведения о метабелевых алгебрах Ли, необходимые в данной работе.
Напомним, что алгебра Ли А над полем к называется метабслсвой, если для любых элементов a,b,c,d є А верно (ab)(cd) = Q. Знаком "" мы обозначаем операцию умножения в алгебрах. Радикалом Фиттинга алгебры А называется идеал Fit(^), порожденный всеми элементами всех нильпотентных идеалов алгебры А. Если радикал Фиттинга метабелевой алгебры Ли А абелев, то он обладает структурой модуля над коммутативным кольцом многочленов R. Способ определения такой структуры, изложен в разделе 1.1.3. В разделе 1.1.4 вводится понятие U-алгебры и изучаются элементарные свойства таких алгебр.
Определение, Метабелева алгебра Ли А над полем к называется U-алгеброы, если
\t(A) абелев;
Fit(^) как модуль над кольцом многочленов не имеет кручения. Лемма рг-5. Любая подалгебра U-алгебры также является U-алгеброй. Лемма рг-7. Пусть А - U-алгебра. Тогда С(А) п А1 - 0,
Здесь С(А) — центр алгебры Л,и А2 — ее коммутант.
В разделе 1.1.7 определены две операции расширения метабслсвой алгебры Ли А с абелевым радикалом Фиттинга, одна из которых - это прямое присоединение к радикалу; Фиттинга it(A) модуля М над кольцом многочленов R; полученные таким образом алгебры мы обозначаем через А М.
Предложение рг-10. Пусть А — конечно порожденная метабелева U-алгсбра Ли над полем к. И пусть М — правый конечно порожденный модуль без кручения над кольцом многочленов R. Тогда алгебра А М является конечно порожденной метабелевой U-алгеброй Ли, причем Fit(^ Є М) = Fit(А) Є М..
В разделе 1.1.10 приводится определение специальных матричных метабелевых алгебр Ли из статьи [27]. Здесь показано, что свободна метабелева алгебра Ли любого ранга является матричной, любая матричная - является U-алгсброй, а любая конечно порожденная U-алгебра реализуется как матричная алгебра.
Параграф 1.2 посвящен основам алгебраической геометрии над алгебрами Ли. Здесь приводятся определения и результаты алгебраической геометрии над фиксированной алгеброй Ли А. Основные определения этого параграфа (понятия алгебраического
15 множества, радикала, координатной алгебры) уже изложены выше. В разделе 1.2.5 доказана следующая теорема, которую здесь мы сформулируем в слабой форме.
Теорема ag-7 (об эквивалентности категорий алгебраических множеств и координатных алгебр). Категория AS(A) алгебраических множеств над алгеброй Ли А эквивалентна категории СЛ(А) координатных А -алгебр Ли. В частности, два алгебраических множества Y и Z над алгеброй А изоморфны тогда и только тогда, когда А -изоморфны их координатные алгебры: Г(У) ~л T(Z).
Под А -алгеброй мы понимаем любую алгебру Ли В, содержащую подалгебру, изоморфную А, а под А -гомоморфизмом А -алгебр - гомоморфизм алгебр Ли, действующий тождественно на подалгебре А. Ранее в разделе 1.2.3 была доказана следующая лемма.
Лемма ag-2. Пусть Y с А"'— алгебраическое множество над алгеброй Ли А, Тогда точки множества Y находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами множества Нош^ (Г(Т), Л). всех А -гомоморфизмов из координатной алгебры Г(К) в алгебру А.
В разделе 1.2.6 мы определяем топологию Зариского на аффинном пространстве А", а в разделе 1.2.7 - понятие петеровых по уравнениям алгебр Ли.
Теорема ag-14. Любое алгебраическое множество YczA" над нетеровой по уравнениям алгеброй Ли А представляется в виде конечного объединения неприводимых алгебраических множеств (неприводимых компонент): Y=Y]kj...vYi. Причем, если
Yi%Yj для любых i,j, то это представление единственно с точностью до перестановки
неприводимых компонент.
Таким образом, при изучении алгебраической геометрии над нетеровой по уравнениям алгеброй Ли А мы выделяем две основные задачи:
классификация неприводимых алгебраических множеств над алгеброй А;
решение вопроса: когда конечное объединение неприводимых множеств является алгебраическим множеством над А ?
Переформулировав поставленные задачи на язык координатных алгебр, получаем следующие задачи:
3) классификация координатных алгебр всех алгебраических множеств над А ;
4) классификация координатных алгебр неприводимых алгебраических множеств над А, так называемых неприводимых координатных алгебр над А. Лемма ag-15. Пусть -А - конечно порожденная метабелева алгебра Ли. Тогда А нстерова по уравнением.
При построении алгебраической геометрии над произвольной алгебраической системой выделяют три аспекта: геометрический (описание алгебраических множеств), алгебраический (классификация координатных алгебр) и логический. Последний -привязывает классификацию координатных алгебр к описанию некоторых универсальных классов.
Через мы обозначили стандартный язык первой ступени теории алгебр Ли над полем к, а через А - обогащение с помощью добавление констант алгебры А. В'
Элементы алгебраической геометрии над алгебрами Ли
В этом параграфе мы приводим основные сведения об алгебраической геометрии над алгебрами Ли. Более общее и детальное изложение нижеследующего материала со всеми доказательствами можно найти в [24]. Здесь мы приводим доказательства только тех утверждений, которые важны для лучшего понимания результатов данной работы. Пусть к — произвольное поле, А фиксированная алгебра Ли над полем к. Далее при построении алгебраической геометрии алгебра А будет иірает роль множества коэффициентов, участвующих в записи уравнений. Решения уравнений с коэффициентами в алгебре А можно искать в самой алгебре А, однако при этом более общей задачей является поиск решений в некоторой «бо льшей» алгебре Ли В, которая содержит подалгебру А. В этом случае говорят об алгебраической геометрии над алгеброй В. Такие алгебры Ли, как В; мы называем -алгебрами. Формализация соответствующего понятия дана в нижеследующем разделе 1.2.1. Необходимые здесь определения из теории категорий можно найти в [32] и [42]. Существенную роль в работе играет логический аспект исследований. В качестве ссылок на литературу по математической логике и теории моделей приведем [33,34, 35, 36]. Алгебру Ли В над полем к назовем А -алгеброй, если она содержит выделенную подалгебру, изоморфную алгебре А. Более формально определение. А -алгебры выглядит следующим образом: Л-алгеброй называется алгебра Ли В надполем к в паре с лиевым вложением, X; А - В. Подалгебра С А -алгебры В называется А-подалгеброй, если СзЛ. Пусть В{ и В2 - А -алгебры Ли, Л, и А, - соответствующие вложения алгебры А в алгебры В, и В2. Лиев гомоморфизм р;В1- В2 назовем А -гомоморфизмом, если р{а)-а для всех аєЛ. Или, подробнее: р есть Л-гомоморфизм, если (/ (а)) - (а) для всех аєА, Через НоіпДІ?,,. ) обозначим множество всевозможных А -гомоморфизмов из В, в В2 Класс всех А -алгебр Ли над полем к образует категорию, морфизмами которой являются Л-гомоморфизмы. Знаком =А будем обозначать изоморфизмы в этой категории. Если Л - ненулевая алгебра Ли, то в категории Л-алгебр Ли нет нулевого объекта, а в случае Л-0 категория Л-алгебр Ли над полем к совпадает с категорией всех к -алгебр Ли. Введем следующие обозначения: S - оператор взятия Л -подалгебр; VA - оператор взятия декартовых произведений в категории Л-алгебр Ли; VA - оператор взятия ультрапроизведений в категории Л-алгебр Ли. Категория Л-алгебр Ли замкнута относительно действия данных операторов. В самом деле, Л-подалгебра Л-алгебры является Л -алгеброй по определению. Пусть теперь Bs, iel, - семейство Л -алгебр с заданными вложениями Д..: Л - Ві:, і є І, а В - их декартово произведение, В = J [ В,. В качестве выделенной подалгебры алгебры В, изоморфной алгебре А, выберем диагональ, то есть подалгебру: В результате, алгебра В (а также любая ее факторизация по ультрафильтру) является А -алгеброй.
Определение. Будем говорить, что Л-алгебра Ли !\ А-аппроксимируется (или просто аппроксимируется) А -алгеброй Ли В2, если для любого ненулевого элемента Ъ є В1 найдется такой А -гомоморфизм q h: Bi — В2, что (рь (р) О. Оказывается, что А -алгебра Ли Вх аппроксимируется А -алгеброй Ли В2 тогда и только тогда, когда BlsSAT A(B1). Доказательство этого утверждения можно найти, например, в [24]J Определение. Будем говорить, что А -алгебра Ли 5, А -дискриминируется (или просто дискриминируется) А -алгеброй Ли В2, если для любого конечного подмножества М ненулевых элементов алгебры В1 найдется такой Л-гомоморфизм рм : Вх — В2, что рм (Ь) 0 для любого ЬеМ\ Понятно, если алгебра 5, дискриминируется алгеброй Я,, то 5, аппроксимируется с помощью В2. Если X произвольное множество, а А -алгебра Ли В порождается объединением; A\JX в. категории всех алгебр Ли, 5 = алгебра А,Х , то будем говорить, что А -алгебра В порождается множеством X в категории А -алгебр Ли и обозначать этот факт с помощью записи В= Х А. Заметим, что алгебра В может быть конечно порожденной А -алгеброй Ли, оставаясь бесконечно порожденной алгеброй Ли в обычном смысле; это возможно, например, при бесконечно порожденной алгебре А. Пусть А = { ,,...,jen} - конечное множество. Обозначим через А[Х\ свободную А-алгебру Ли, порожденную множеством А", т.е. свободную алгебру в категории Л-алгебр Ли, порожденную множеством X. Нетрудно показать, что такой объект всегда существует и определяется следующим образом: А[Х] = A F{X), где F(X) - свободная алі"ебра Ли в категории всех -алгебр Ли, порожденная множеством X, а — знак свободного лиева произведения алгебр Ли, Знаком А будем обозначать свободное произведение в категории А -алгебр Ли. Нетрудно показать, что такая операция может быть определена и она сводится к свободному произведению с объединенной подалгеброй А в категории всех -алгебр Ли. Логический язык категории А -алгебр Ли. Изучение алгебраической геометрии над алгеброй А (и более общо, над А -алгеброй Ли В) тесно переплетается с некоторыми задачами математической логики и теории моделей.
В этом разделе мы приведем логическую интерпретацию понятия А -алгебры Ли над полем А; и зафиксируем логический язык (сигнатуру), который станет основой для исех последующих рассуждений, затрагивающих область исчисления предикатов и теории моделей. Пусть — стандартный язык первой ступени теории алгебр Ли над фиксированным полем к. Язык состоит из символа сложения "+", символа " 0" для обозначения пуля, символа лиева умножения "", а также набора символов {ка а є к) для задания унарных операций умножения на коэффициенты поля к: Расширим язык до языка А путем добавления в него в качестве констант всех элементов из алгебры А : л = и {са\аеА). Очевидно, что все А -алгебры Ли являются моделями сигнатуры л, Произвольный терм t(x],...,xn,ca ,...,ся ) языка А, зависящий от переменных х(,...,хп и констант са ,...,са , после интерпретации в любой Л-алгебре Ли равен некоторому элементу /{х ...,хп,щ,...,ат) алгебры- А[Х], где Х = {л:,,,..,л:п}. Работая с: термами, мы будем подразумевать их записанными в форме элементов алгебры 4[„"] . Класс всех А -алгебр Ли над полем к аксиоматизируем в языке А с помощью следующих двух серий аксиом: (1) Стандартная серия аксиом в языке , выделяющая класс всех алгебр Ли над полем к; (2) Серии аксиом, задающих вложение алгебры А : a) са = 0 для а = 0; b) Сщ+w = К, (ся,)+Кг ( ) Д любых а,,а2 є А, а,,а2 є к; c) сщ = са, саг Для любых а,, а2 є А; d) са О для всякого а є А , а = О. Пусть В - алгебра Ли над полем к, удовлетворяющая всем этим аксиомам. Серии аксиом а), Ь), с) постулируют существование гомоморфизма Л: А — В, а серия d) выражает инъективность гомоморфизма Л. 1.2.3. Основные понятия алгебраической геометрии. Ниже будут даны определения таких понятий алгебраической геометрии над алгеброй А (или над А -алгеброй Ли В), как уравнение, система уравнений, решение, алгебраическое множество, радикал, координатная алгебра и.т. д. Начнем с определения уравнения над алгеброй А или, другими словами, уравнения с коэффициентами из алгебры А. Пусть X={xlt...,xn} - конечный набор неизвестных, и А[Х] - свободная А -алгебра Ли, порожденная множеством X. Элементы / є А[Х] будем называть полиномами (или многочленами) от переменных х},...,х„ с коэффициентами из алгебры А : где at,...,am &А- константы. Приравнивая полином / к нулю, получаем уравнение над алгеброй А. Произвольное подмножество S алгебры А[Х] будем называть системой уравнений над алгеброй А. Пусть S - система уравнений над алгеброй А. Возникает вопрос: что понимать под решениями системы S1 Или: где искать решения системы 5? В общем случае будем предполагать, что, кроме алгебры А, зафиксирована некоторая А -алгебра Ли В над полем к, в которой и ищутся решения уравнений над алгеброй А.
Свободная метабелева алгебра Ли
В данной работе через Fr будем обозначать свободную метабелеву алгебру Ли конечного ранга г над полем к. Основная цель работы - это изучение алгебраической геометрии над алгеброй Fr. Если г = I, то алгебра Fr абелева и является одномерным векторным пространством, алгебраическая геометрия над которым известна (см. пример 3 из раздела 1.2.4), поэтому дальше всюду будем предполагать, что г 2. Пусть {а,,...,аг} - свободная база алгебры Ft. Через R обозначим кольцо коммутативных многочленов [ ,,...,: ;,.] от г переменных. 1.3.1. Канонический базис свободной метабелевой алгебры Ли. В статье В. А. Артамонова [38] доказана следующая теорема. Теорема f-1. Множество всех левонормированных мономов aiai...a1 , в которых буквы упорядочены так, что /, /2 ц ... im, составляет линейный базис алгебры Fr над полем к. Следствия. 1. Если г 2, то алгебра Fr нсабелева. 2. Элементы ах,,..,аг образуют максимальную систему элементов алгебры Fr, линейно независимую по модулю радикала Фиттинга Fit(Fr). В частности, Fit(Fr) обладает структурой модуля над кольцом К. 3. Любая система элементов {а\,...,а[}, s г, алгебры Fr линейно независимая по модулю Fit(Fr), порождает свободную метабелеву алгебру Ли со свободной базой {a v...,a s}. Далее линейный базис алгебры Fr из теоремы f-І будем называть каноническим. Утверждение f-2. Если г 2, то справедливо равенство Fit(Fr ) = Frz. А. Возьмём произвольный элемент aFt2 и покажем, что a$Vit(Fr). Распишем элемент а по каноническому базису: а = а +...+ап +Ь, где ft Е Fr2. Обозначим через с сумму аіаі +..лапаі . Поскольку a. F/,TOH СІ Fr2. Покажем, что с Fil(Fr). Предположим противное: CGFit(Fr). Элемент с можно включить в некоторую свободную базу алгебры Fr, полученную из исходной линейньш преобразованием букв а,,...,а,. Так как г 2, то найдется такой элемент d из свободной базы Fr,4TO dc 0. По лемме рг-1 существует такое т, что dcc...c = 0. Последнее равенство противоречит теореме f. Следовательно, c it(Fr) и ail(Fr). Таким образом, справедливо включение Fit(Fr)c:F/, а обратное включение Fii(Fr) Fr2 верно для любой метабелевой алгебры Ли. Тем самым равенство Fii(Fr) = Fr2 доказано, А Следствие. Радикал Фиттинга Fit(Fr) абелев. Утверждение f-З. Свободная метабелева алгебра Ли любого ранга, конечного или бесконечного, является U-алгеброй (определение см. в разделе 1.1.4). А Для доказательства утверждения достаточно объединить результаты теоремы рг-19 и следствия 2 леммы pr-16. А Следствие.
Если г 2, то C(Fr) = 0.. Решение уравнений над алгеброй F,. Покажем, что решение любого уравнения, а следовательно и системы уравнений, над алгеброй Fr сводится к задачам коммутативной алгебры. Как отмечалось в разделеТ.2.7, мы можем считать,, что уравнения над алгеброй Fr - это не что иное, как элементы алгебры Fr[X]Tl, где ГОЇ -многообразие мстабелевых алгебр Ли над полем к, Итак, пусть f(xl!...,xn)Fr\X]yt. Для решения уравнения / = 0 разложим каждое неизвестное xt в сумму: х, = anal+...+airar+yif. yt eFit(Fr), artf є , / = 1,..., п. Таким образом, мы расширили число переменных, получив пг переменных коэффициентов поля к,- а , / = 1,..., и, j = 1,..., г, - ии новых переменных у,, ...,у„, чьи значения мы ищем только внутри радикала Фиттинга Fit(Fr). Однако процедура решения уравнения / 0 тем самым упрощается. Действительно, разложим многочлен f(xl,...,xn,a],...,ar) по каноническому базису алгебры F,+M и подставим на место xt сумму из представления выше. Получим: где. /,,.../,, , ,...,йд - многочлены кольца k[tu [/ = 1,...,и, j = 1,...,г], причем / ,/г - многочлены степени 1;/[,...,/п многочлены кольца R, асе Fit(Fr). Таким образом, задача решения уравнения / = 0 разбивается на две части: 1) /,Ю=0, -., /r(arff) = 0, 2)-- ( ) ,-/+ - +К )Уп /п = 8(av)c-Первая часть - решение системы линейных алгебраических уравнений относительно переменных ai} - это задача линейной алгебры. Вторая часть — для каждого набора ai решений первой части получаем уравнение над модулем Fitfi ) от переменных y]t...,ync-коэффициентами в кольце Л - это задача алгебраической геометрии над модулем Fit(Fr). Как видно, оба уровня решений уравнения / = 0 над свободной метабелевой алгеброй Ли Fr относятся к задачам коммутативной алгебры. Пример 1. Рассмотрим следующее уравнение s(x) от одной переменной х: s(x) = x(ava2) = 0. Покажем, что У(ж) = РИ(,Рг). В самом деле,.так как радикал Фиттинга Fit(Fr) абелев и а, а2 е Fit(Fr), то Fit(i )Q V(j) . С!другой стороны, если xg.Fit(Fr), то (а, oa2)jt 0, так как Ff является U-алгеброй. Таким образом, имеет место равенство V(s) = Fit(Fr), то есть радикал Фиттинга Fit(/ ) является алгебраическим множеством. Пример 2. Обобщая результат примера 1, заметим, что п -мерный радикал Фиттинга- также является алгебраическим множеством, решающим систему уравнений от п переменных: S = {s(x]),...,s(x„)}. В параграфе 5.3 мы покажем, что п-мерный радикал Фиттинга Fit" (Fr) - это неприводимое алгебраическое множество, координатная алгебра которого равна Fr ф Тп, где Тн - свободный модуль ранга п над кольцом R (определение алгебры типа .Fr@Ta можно найти в разделе 1.1.7). Пример 3. Обозначим через /(л:,, х2, ах, а2) = 0 следующее уравнение от переменных х},х2 и констант ava2 алгебры Fr: х, о а} = х2 о а2. Докажем, что его решением V(/) является множество Сначала проверим включение У с V(/).
Действительно, (ссхах-fia2 +соя3)ча1 = f5axa2+caa\ а2 = (/?д, + аа2+са\)а2. Чтобы убедиться в обратном включении У(/)сУ, воспользуемся теоремой f-l. Нам будет удобнее провести рассуясдения для уравнения f(xl,x2,ar_i,ar). Ясно, что это то же самое. Предположим, что (xl,x2) V(f) и разложим элементы хх,х2 по каноническому базису алгебры Fr: х, =0 ,+...+0 ,+6., 6,eFitCFr),. al,...,a rek, / = 1,2. Гак как x]ar_l = x1at, то, во-нервых, a t,a 2,...,a r -Q, i=\,2; во-вторых, a2r_]--a\\ в-трстьих, bx оar_x -b2 оat. Далее, элементы bvb2 лежат в коммутанте Fr2, при их разложении по каноническому базису алгебры Fr каждое слагаемое имеет вид дуа; ...а, , где г, і2 ,і3 .-. /и и /3 (г-1). При умножении такого монома на дг_, или на аг снова получим элемент из канонического базиса. Таким образом, в разложении элемента \оаг_х по каноническому базису в каждом слагаемом д. а. ...а,, среди индексов /3,...,im есть индекс (r-1), а при разложении Ъг оаГ есть индекс г. Отсюда получаем, что существует такой элемент се/;2,, что b[=car и Ь2-сагЛ. Тем самым доказано включение Пример 4. Объединим результаты примеров 1 и 3. Пусть S — следующая система трех уравнений от двух переменных: Тогда решение V(S) - есть пересечение трех алгебраических множеств, V(s(xx)), V(.s(;t2)) и V(/), описанных в примерах 1 и 3. Следовательно, Пример 5. Пусть g(x],x2,al) = О - следующее уравнение, зависящее от переменных xvx2 и константы я, алгебры F/. Покажем, что решением V(#) является множество Включение У с: У(/) проверяется тривиально. Для проверки обратного включения разложим элементы произвольного решения (х]9х2) по каноническому базису алгебры Fr так же, как в примере 3. Получим, что а\=а\ь ..., al=a2r и, Ь ах=Ь2аах, где 6,,62 є Fit(/rr). Так как алгебра 7 является U-алгеброй (см. утверждение f-З), то имеем равенство 6, = 62. Тем самьш показано включение V(/) с Г . Пример 6. Рассмотрим систему 5 из г уравнений от двух переменных: S - {х]а]=х2а], х, я2 =х, я2, ..., х, яг =х2 яг}. Решение V(S) совпадает с пересечением г алгебраических множеств из примера 5 — V(g(fl[))» V(g(a2)),..., V(g(ar)). Таким образом, имеем; Пример 7. Теперь рассмотрим систему уравнений S от г переменных: Таким образом, S- состоит из г + С,2=- —- уравнений. Из предыдущих примеров следует, что решением V(S) является следующее множество: V(S) = {(соя,, соа2, ..., car)\ c&it(Fr)}. Действительно, если (х,,...,х,)є V(S), то х,,...,дгг є Fit(Fr). Кроме того, существует с є Fit(Fr), такой, что JC, = с я,. и je2 = с я2 (см. пример 4). Далее, существует; такой с є Fit(Fr), что х( = с я, и х3 = с о «3. Следовательно,. с а, - с я,, поэтому с = с (см. пример 5). Продолжая начатые рассуждения таким образом, получим, что х =са-для каждого j = 1,..., г. Пример 8.
Изолированные Q-модули
Как уже отмечалось выше, изолированные компоненты Q, примарного разложения нуля определяются однозначно. Однако определение подмодуля Qt, которое мы дали выше, Ц = {у М 3 / є R \ pt У /еМ-р/}, не слишком удобно для приложений, поэтому в следующей лемме собраны несколько эквивалентных форм описания компоненты Q.. Лемма т-16. Пусть /?. - изолированный идеал ассоциатора Ass(A/). Тогда отметим, что существование таких многочленов, как :s., следует из леммы id-4. Обозначим через Р1 множество {у є М \ у st - 0} и через Р2 -множество {у є М \ Аш(у) р.); Покажем, Пусть у єQt, то есть существует многочлен f pt, такой, что y fsM-p Тогда y-f -st є М f]pi следовательно, y-f st=0. При этом-/- Є рі,, следовательно, еР2".. Допустим, уе Р2. Согласно лемме т-1, аннулятор Annf ) - это пересечение каких-то линейных идеалов, из ассоциатора Ass(A/), причем в их число не входит идеал /?,.. Следовательно s. є Апп(д ) и у є /}. Заключительно предположим, что у є Р}. Тогда ,?; g pt и у-.v. =0, следовательно, Пусть pt - идеал из ассоциатора Ass(M). Напомним, что подмодуль M[Pi] состоит из всех элементов . у е М, аннулятор Апп(у) которых содержит идеал р,, Если р.- -изолированный идеал ассоциатора Ass(A/), то, как следует из леммы ш-16, QinM[pi] = Q. Если /?( - максимальный по включению идеал ассоциатора Ass(M), то очевидно, что Лемма m-17. Пусть М - Q-модуль, Ass(M) = {p],...ipn} и {Q]t...,Q„} - набор примарных компонент нуля модуля М. Тогда для любого i = \,...,n подмодуль M[pJ содержит в себе пересечение всех примарных компонент, за исключением Qi. Если же pt - максимальный но включению идеал ассоциатора Ass(AO, то А Без ограничения общности можно считать, что i = n. Предположим, что ysQt n,...r\Qn_i. Тогда для любого многочлена /є рп произведение y-f принадлежит примарной компоненте Qn, то есть y-feQlr\...nQH_i r\Qn, Следовательно, y-f = 0 и Теперь предположим, что в ассоциаторе Ass(M) не существует такого идеала рп что р ра. Пусть уеМ[рп]. По предположению найдутся линейные многочлены 1,&рп\рі для каждого / = 1,.-,л-1. Тогда у - /у- = 0, следовательно, у є Qi. Таким образом, yeQi r\...r\Qn . Равенство M[pn] = Q] п...( Qn.x.доказано. А Обобщим проведенные-, выше рассуждения в следующем предложении об изолированных Q-модулях.
Предложение т-18. Предположим, что М - изолированный Q-модуль и Ass(Af) = {д.- 5. Аппулятор любого элемента уеМ[р}]ф...М[рп] равен пересечению идеалов /7/, для которых у, 0 в разложении у = У\+—+уп, у І є M[/ J, / = 1,...,л: А Пункт 1 следует из леммыт-16, пункт2 - из определения подмодуля М[р;]. и-изолированности, пункт 3 - из леммы т-17. Докажем пункты 4-й 5. Пусть УіЄМ[р.], / = 1,..., и. Предположим, что , fa+ yn -fH -0 для каких-то многочленов /,...,/„ є Л, но, например, „ /„ 0. Тогда . -/+-+,) . /.- 0, (см ПУНКТ3). Следовательно, Уа /п є0чп ТА] Получаем противоречие с пунктом!. Таким образом, сумма подмодулей M[pJ -действительно является прямой. Пусть теперь у = у} +...+уя и, скажем, ,,.-, 0, а У.,+і = —= =0. Покажем, что Лпп(у) = р, п...n /?s. Если f . рхс\...С\ps, то, очевидно, у-/ = 0. Обратно, если /єАпп(;у),то ,./ = .,. = ../ = 0 (см. пункт 4). Следовательно, /є р, n...r\ps. А Вырожденные Q-модули. В случае, когда простой идеал рі є Ass(M) не является изолированным, соответствующую ему примарную компоненту Q., вообще говоря, можно определить с помощью другого подмодуля модуля М. Предложение П1-ІЗ о примарном разложении полностью опирается на леммьтт-11 и т-12. Анализ доказательства этих лемм приводит к следующему набору требований, в рамках сохранения которых компоненты Q можно варьировать: 1. Пересечение всех примарных компонент должно равняться нулю: Q]r\...r\Qn=0; 2. Для каждого і = \,...,п примарная компонента . должна быть подмодулем модуля М , а фактормодуль Мі должен быть иримарным Q-модулем, с которым ассоциирован идеал р,, для чего необходимо: 2.1. Чтобы модуль М\ был ненулевым, то есть должно выполняться неравенство Q, M ; 2.2. Идеал р, должен аннулировать модуль Мп поэтому: A/ cQ; 2.3. Так как кроме /?., в модуле Мі аннуляторов быть не должно, то: для любого многочлена fe.R\pj и любого элемента уєМ из условия y-feQ, необходимо следствие у є Qt. Как видно, примарная компонента Ql, которую мы определили вьппе, является минимальной среди возможных, то есть любая другая примарная компонента Q], соответствующая идеалу р,, обязательно содержит Qi: ( cr (?/. При этом любая изолированная примарная компонента является единственной, удовлетворяющей указанным требованиям, что следует из общей теории примарного разложения, а также может быть доказано непосредственно. Предположим, что модуль М вырожден, то есть максимальный линейный идеал A = id л,,...,JC, лежит в ассоциаторе Ass(M). Тогда соответствующая идеалу Д. примарная компонента QAf определенная множеством {у = M\3fe R\A y-f&M-A), есть не что иное, как М-Д. Для дальнейших приложений нам будет удобно переопределить компоненту QA, расширив ее от минимально возможной до максимально возможной. Обозначим через Q семейство всех подмодулей N модуля М, таких, что Q = {N M\ DM-A, NnM[A] = 0\. Ясно, что Q, не пусто, так как, например, содержит подмодуль М-А. Поскольку модуль М нетеров, то множество Q индуктивно. В самом деле, любая строго возрастающая последовательность подмодулей из Q, непременно конечна. По лемме Цорпа в П существуют максимальные элементы, причем любой элемент JV є Q содержится в некотором максимальном: Мт!Л є Q: JVCJV . Покажем, чго в качестве примарной компоненты QA можно выбрать любой максимальный элемент из Q. Лемма т-19. Пусть М — Q-модуль.
В обозначениях выше предположим, что QA является максимальным элементом множества О,. Тогда модуль М раскладывается в прямую сумму: А По определению подмодуля QA пересечение QAr\M[A] равно пулю. Покажем, что произвольный элемент у Е М лежит в сумме QA + М[А]. Действительно, если у І QA, то модуль -N порожденный элементом у и модулем QA, не лежит в-П. Следовательно, Nyf\M[A] 0. Последнее неравенство означает, что найдется многочлен f R и элементы у} є М А, у2е М[А], такие, что у / + у} = у2. Пусть . / = /0 + f{, где /0 є к, а /J є А. Тогда y-f0 =-yf\-yt+y2, следовательно, у eQ„+M[A]. А Лемма т-20. Пусть М - вырожденный Q-модуль, А є Ass(A/) и QA - произвольный максимальный элемент множества Q. Тогда утверждение лемм т-11 и т-12, а следовательно, и предложения га-13, теорем т-14 и т-15 остается в силе, если в качестве примарной компоненты, соответствующей идеалу А, взять подмодуль QA. А Для доказательства леммы достаточно убедиться в том, что подмодуль QA удовлетворяет списку требований, приведенному выше. Выполнение требования 1 следует из леммы т-17 и определения QA. Условие М А с: QA (требование 2.2) также заложено в определение модуля QA, а из него следует и требование2.3. Требование2.1 имеет место в силу того, что А Е Ass(M) и, следовательно, модуль А/[А] не равен нулю. Системы модульных уравнении. Результаты о примарном разложении Q-модулей найдут свое применение при изучении алгебраической геометрии над свободной метабелевой алгеброй Ли FT над конечным полем k. Как мы увидим позже, радикал Фиттинга Y\X{A) любой координатной алгебры А алгебраического множества над алгеброй Fr является Q-модулем. Причем такие Q-модули имеют некоторые общие дополнительные свойства, например, изолированность, выделение подмодуля Fit(Ff) прямым слагаемым и т.д. В результате, примарнос разложение модулей типа Fit( ) обрастает также рядом важных уточнений по сравнению с общим случаем. Чтобы не возвращаться позже к нюансам рассуждений, связанных с коммутативной алгеброй модулей, приведем в этом параграфе дополнительные сведения. Пусть Р - конечно порожденный модуль над кольцом многочленов R и N - его R -подмодуль. Под модульным уравнением E(yli...,yl) от переменных, у,,...,ys над подмодулем N будем подразумевать уравнение вида: где f\,—,f, — данные многочлены кольца R, и CGJV - данный элемент. Система модульных уравнений S над модулем N- - это некоторая совокупность таких уравнений. Система 5 совместна над модулем Р, если существует такие элементы yv...,y, еР, которые удовлетворяют каждому уравнению системы S. В противном случае говорят, что система несовместна.
Пример Fr -Q-алгебры со свойствами Q-l; Q-2, Q-3
Рассмотрим Fr -алгебру A-Frx(FrT}), равную прямой сумме неабелевых U-алгебр Fr и Fr7J, где 7].-свободный однопорожденный модуль над кольцом многочленов R = k[x{,...,xr] : с порождающим t. Из предложения al-6 следует, что алгебра А и любая ее подалгебра являются Q-алгебрами. Более того, в предложении fq-б доказано, что любая Fr -подалгебра алгебры А является Fr -Q-алгеброй, удовлетворяющей свойствам Q-1, Q-2, Через D обозначим Fr -подалгебру алгебры А, порожденную элементом (а,,0 D = алгебра Очевидно, что D - поднрямая сумма в Frx(Fr7{). Отсюда, согласно предложению рг-13, имеем включение: Fit(D) с: Fit( ). Разумеется, к алгебре D применима теорема al-14 о примарном разложении и ее уточнение - теорема fq-7. Ниже мы покажем, что 1. к алгебре D неприменим результат предложения al-l6; 2. вложение Л алгебры D в прямую сумму U-алгебр невозможно построить без локализации; 3. несмотря на то, что радикал Фиттинга Fit()) является подмодулем R -модуля Fit(i4),. его примарное разложение не наследуется с помощью примарного разложения в Fit( ); важную роль здесь играет тот факт, что изначально Fit( ) и Fit( ) — модули над разными кольцами многочленов. Введем следующие обозначения: M = F u(D), d = (at,t), aj =(я,,а,), j = ],...,r. Ясно, что система {al,...,ar,d} является максимальной линейно независимой по модулю F\t(D). Поэтому Ы -Q-модуль над кольцом многочленов R = k[av...,af,d\. Следующие два линейных идеала лежат в ассоциаторе Ass(A/): р} =id d — «, , р2 = id o . Действительно, р, - Апп(а, a2(d—а2)) и р2- Апп(а, о d).. Нетрудно проверить, что других идеалов в ассоциаторе нет, то есть Ass(M) = {pl,p2\. В силу. лсммьіґц-Г модуль М изолирован, а его примарные компоненты , и Q2 определяются однозначно. Воспользуемся леммой т-16: {?, = {уеМ\ yd = Q}, Q2 = {уєМ\ y{d-a1) = Q}: Фактормодули M, и М2 (Л/,-М!Qt) являются модулями без кручения над кольцом R = k[av„,,аг]. Пусть А{ и А2 - Fr-U-алгебры, такие, что F\\(Al) = Mv и ЩАг) = Мг.. Во-первых, покажем, что не существует такого элемента с є Fit(D), что fi2(dtt\)= pi coa ). Предположим противное: doa] coalGQ2i где с = (а,у), а є Fit(iv), и у є Fil(Fr 7;). Тогда Следовательно, у = і. Чтобы получить противоречие, покажем, что в радикале Фитгинга Fit(D) не содержится ни один из элемент из множества {(а,/) а є Fit(Fr)}. В самом деле, любой элемент из Fit(D) имеет вид (a,b + t-f), где а,Ь є Fit(Fr) и ./є Д - многочлен, причем /є А, Д = id xl,...,xr . В частности, / 1, поэтому (a,t) Fit(D).
Во-вторых, покажем, что не существует / -вложения Л: —»Л, Л2, которое являлось бы «продолжением» вложений /г и (р из теоремыт-15. В самом деле, предположим, что такое вложение X существует. Тогда оно непременно подчиняется следующим ограничениям: Поскольку гомоморфизмы модулей /г( :М- Мп / = 1,2, являются эпиморфизмами, то сутпествуют такие элементы Ц,Ъ 2 є Fit( ), что //,(6/)-6,, /-1,2. Так как по предположению Я - гомоморфизм алгебр, то должно выполняться равенство A(d) Л(а,) = Я(І/ о о,) -. Имеем: Л(а ЛЦ) = ( 00,, о о,) = 0,(6/)0 ,/ ) ) = (/ ,( , 0,), ( а,)).-С другой стороны, d о а, є Fit(Z)), следовательно,- X{d ах) - f.i(d ах) = (/4( 0(7,),/ ( / )). Отсюда получаем равенство / (01а,) = //2(62а,), которое, как мы = уже показали, не может выполняться ни при каком элементе 62eFit(/)). Поэтому невозможно найти элемент 62 є Мг и определить Л так, чтобы выполнялось необходимое. при гомоморфизме алгебр равенство X(d) 1(а,) = X(d а,). В-третьих, заметим, что в данном примере априори существует тождественное -вложение алгебры D в прямую сумму U-алгебр А = Frx(Fr Т}). Однако ограничение этого вложения на радикалах Фитгинга Fit(D)cY\t(Fr) x.(Fit(F/.)Tl) не совпадает с вложением //:Л/-»М, @М2. В данном случае М, =Fit(Fr), но М2 Fit(/ )7j. В то же время нетрудно видеть, что вложение Id:D— A может быть получено в результате продолжения действия /х и построений, связанных с локализацией, таких, которые проводились при доказательстве теоремы al-14. Сложности, возникающие уже в таком элементарном примере, показывают, как непросто устроен радикал Фитгинга Fit(D) как Q-модуль произвольной подалгебры (и даже Fr -подалгебры) Q-алгебры А. Четвертая глава данной работы носит логический характер. Здесь приводятся универсальные аксиомы, выражающие тс или иные свойства Q-алгебр и U-алгсбр. Напомним, что в разделе В параграфе 4.1 дается аксиоматическое описание квазимногообразия 2, порожденного всеми метабелевыми Q-алгебрами Ли над полем к, и универсального класса U, порожденного всеми метабелевыми U-алгебрами Ли над полем к. Все аксиомы этого параграфа являются универсальными формулами в языке . Как и всюду выше через Fr будем обозначать свободную метабелеву алгебру Ли над полем к ранга г 2 со свободной базой {ах,...,аг}. Согласно обозначениям, введенным в-разделе v - это обогащение языка за счет добавления всех констант алгебры Fr. Параграфы 4.2 и 4.3 продолжают рассуждения параграфа 4.1. В них мы пишем аксиомы в языке F . В пятой главе работы будет доказано, что квазитождества параграфа 4.2 порождают квазиэквациональнуто теорию алгебры1 Fr, а универсальные формулы параграфа 4.3 порождают универсальную теорию алгебры Fr. Отметим, что все заключительные результаты четвертой главы будут справедливы только в случае конечного поля к.
Однако часть результатов не зависит от мощности поля к\ поэтому не будем изначально вводить ограничений на поле к; отмечая при необходимости места, где конечность поля к существенна. Кроме того, будет проведен анализ того, как изменяться полученные результаты в случае бесконечного поля к. Перед тем как писать аксиомы, договоримся о некоторых обозначениях, сокращающих запись, общих для всех параграфов данной главы: Вместо одноместной операции са(х) умножения х на элемент поля а є к будем писать просто ах; Будем пользоваться модульной сигнатурой, то есть писать выражения вида Z /(jf,,...,jem), где f є k[xJt...,xm] — многочлен. Что это означает? Для ответа представим многочлен / в виде суммы одночленов: В этом параграфе мы напишем список квазитождеств в языке , определяющих квазимногообразие, порожденное всеми мстабелевыми Q-алгебрами Ли над полем к, а также систему универсальных формул в языке С, порождающую класс всех метабслевых U-алгебр над полем к. АЛЛ. Аксиоматика Q-алгебр. Пусть /С - класс всех метабелевых Q-алгебр Ли над полем к и О. квазимногообразие, порожденное классом /С , 0-qvar(/CJj). Цель данного раздела — это аксиоматическое описание класса О и доказательство равенства Ц,,.= / в случае конечного поля к (см. раздел 1.2.8). По определению Q-алгебры являются метабслевьши алгебрами Ли, поэтому запишем аксиому метабелевости. Q0: (аксиома метабелевости) Ясно, что любая алгебра Ли А, удовлетворяющая аксиоме Qo, является метабелевой: алгеброй Ли. Напомним, что радикал Фиттинга любой! метабелевой Q -алгебры Ли имеет тривиальное пересечение с ее коммутантом. Этот факт выражается с помощью следующей серии аксиом, Qi: (аксиомы о тривиальном пересечении центра и коммутанта) Для каждого натурального s пишем: Лемма ax-1. На любой метабелевой U-алгебре Ли U над полем А выполнены вес аксиомы серии А Действительно, пусть на элементах х,,..., ,, ,,..., , гє(/ вьшолнена посылка импликации из аксиомы Oj, Обозначим через /„ подалгебру алгебры U, порожденную всеми элементами x},...,xsiyl1l..,,ys. Согласно лемме рг-5, алгебра U0 также является U-алгеброй. При этом элемент z лежит как в коммутанте /02, так и в центре C(f/0) (см. лемму рг-3). Из леммы рг-7 следует, что C(/0)nt/02 =0, поэтому z = 0, что и требовалось показать.