Введение к работе
Актуальность темы исследования. Изучение многообразия модулей кривых
одно из активно развивающихся направлений алгебраической геометрии, востребованное не только внутри самой алгебраической геометрии, но и во многих других разделах математики, в первую очередь в теоретической физике. Классическим объектом исследования в алгебраической геометрии является некомпактное многообразие Л4а,„ модулей неособых алгебраических кривых (римановых поверхностей) фиксированного рода д en фиксированными точками, называемых пунктированными кривыми. Такое многообразие модулей существует, если группа автоморфизмов соответствующих пунктированных кривых конечна, что согласно классическому результату Гурвица1 автоматически выполнено при любом п > 0 при д > 1 и требует п > 1 при д = 1 и п > 3 при д = 0. В этом случае пунктированная кривая называется стабильной; для стабильных кривых конструкция многообразия модулей Л4д,п и его компактификации Л4а,п с применением геометрической теории инвариантов дана в ставших уже классическими работах Кнудсена2, Делння и Мамфорда3. При этом точкам компактификации многообразия модулей соответствуют особые кривые, имеющие только простейшие особые точки (т.е. двойные точки с разделенными касательными), на которых отмечено п неособых точек, при условии, что группа автоморфизмов такой кривой конечна. Такие особые пунктированные кривые также называются стабильными в смысле Делиня-Мамфорда. Основным комбинаторным инвариантом пунктированной кривой X с простейшими особенностями является двойственный модулярный граф Г(Х), вершины которого соответствуют неприводимым компонентам кривой, ребра — двойным особым точкам, а полуребра
отмеченным точкам.
Модулярные графы соответствуют различным стратам компактификации многообразия модулей, а их комбинаторика — геометрии примыкания этих стратов. Это обстоятельство явилось причиной интенсивного внимания к модулярным графам в
]Hurwitz A. Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sicli, Math. Ann., 41, (1893), 403-442.
2Knudsen F. Projectivity of the moduli space of stable curves, I, Math. Scand., 39 (1976), 19-66 II, Math. Scand., 52 (1983), 161-199, III, Math. Scand., 52 (1983), 200-212.
3Deligne P., Mumford D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Publ. Math. IHES, 1969, vol. 36, 75-109.
течение последних 10-15 лет Особенно востребованным в этом направлении оказался язык производящих функций (точнее, производящих формальных рядов), являющихся, по существу, статистическими суммами квантовой теории поля. Первый фундаментальный пример в этом направлении — многообразия модулей рациональных кривых Мо,п с п > 3 отмеченными точками, представляет собой классическое многообразие модулей кривых Веропезе степени п — 3 в Р-3, проходящих через п фиксированных точек общего положения, описан на современном языке в работе Капранова4. Основные результаты об эйлеровой характеристике и многочлене Пуанкаре компактифицированного многообразия Мо,п оказалось удобно сформулировать именно на языке производящих функций модулярных деревьев5. Именно в этой ситуации был впервые отмечен феномен взаимной обратности производящих функций для открытой части .Мо.п и для его компактификации, доказанный в общем виде в [3] (см. также главу 3 настоящей диссертации). В отличие от случая рода 0 при д > 0 компактифицированное многообразие модулей всегда особо и должно рассматриваться как орбиобразие, при этом вычисление его виртуальной эйлеровой характеристики оказалось весьма трудной задачей, поддававшейся решению только для малых значений рода6. Основополагающей в этом направлении явилась работа Харера и Загара7 по вычислению виртуальной эйлеровой характеристики неком-пактнфнцированного многообразия модулей Мд,п- Этот результат использован (в качестве начального условия) при вычислении виртуальной эйлеровой характеристики -Mgtn в [3] (см. также главу 3 настоящей диссертации).
Связь производящих функций модулярных графов с уравнением Бюргерса на первый взгляд представляется весьма неожиданной. Уравнение Бюргерса появилось в конце сороковых годов XX века8 в гидро- и аэро-механике. Вскоре была найде-
^Kapranov М. Veronese curves and Grothendieck-Knudscn mooduli space Л?о,„, J. Algebraic Geometry, 2, 1993, 239-262
5 Manin Yu.I. Generating functions in algebraic geometry and sums over trees, in: The moduli spaces of curves, eds. Dijkgraaf et al. Birkhauser, 1995, 199-230 (1995).
'Getzler E. Intersection theory on Л/1,4 and elliptic Gromov-Witten invariants J. Amer. Math. Soc. 10 (1997), 973-998, Getzler E. Topological recursion relations in genus 2, in: Integrable systems and algebraic geometry, (Kobe/Kyoto, 1997), 73-106, World Sei. Publishing, 1998.
7 Harer J., Zagier D. The Euler characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math., 85,457-485 (1986).
'Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech., 1, (1948), 171-199,
на для него линеаризующая подстановка Коула-Хопфа9, сводящая его к обычному уравнению теплопроводности. Подстановка Коула-Хопфа для большинства интересных производящих функций модулярных графов приводит к задаче Коши для уравнения теплопроводности с расходящимися или, по крайней мере, очень быстро растущими начальными условиями. Однако чисто формальная запись в этих случаях интеграла Пуассона позволяет проинтерпретировать соответствующие производящие формальные ряды как асимптотические разложения гауссовых интегралов, аналогичные рассматриваемым в последнее время в квантовой теории поля. Представляется, что связь производящих функций модулярных графов с уравнением теплопроводности указывает на фундаментальный характер понятия модулярного графа и позволяет ожидать новых интересных результатов в этом направлении.
"Индивидуальная"геометрия пунктированных кривых с простейшими особенностями, кажется, первоначально привлекала меньше внимания. В ряде работ геометрия таких кривых изучалась для получения геометрических результатов о неособых кривых путем рассмотрения деформации такой кривой в стабильную особую кривую10. Последовательно эти вопросы обсуждаются в книге А.Н.Тюрина "Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции"11, где особое внимание уделяется м-кривым, имеющим только рациональные неприводимые компоненты и трехвалентный двойственный модулярный граф. Такие .м-кривые являются максимально вырожденными кривыми с простейшими особенностями, соответствующими нульмерным стратам многообразия модулей. В упомянутой книге А.Н.Тюрпна также вводится понятие топологически тривиального расслоения на .м-кривой и рассматриваются многообразия модулей топологически тривиальных расслоений на них. Однако следует отметить, что интересной геометрией, практически полностью параллельной геометрии псособых кривых, обладают не только л«-крнвые, но и любые стабильные пунктированные кривые с простейшими особенностями. При этом кривыми "общего типа"оказываются кривые, имеющие двойственный модулярный граф с числом связности (иногда — числом реберной связности) не менее трех. Веро-
9 Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quart App. Math., 9, 225-236 (1951), Hopf E. The partial differential equation ut + uuz = /шхх, Comm. Pure Appl. Math, 201-230 (1950).
10C.Ciliberto,A.Lopez,R.Miranda Projective degenerations of КЗ surfaces, Gaussian maps and Fano threefolds, Invevt. Math., v.114, 1993, p. 641-667.
11 Тюриц A.H. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции, Москва-Ижевск, 2003
ятно, впервые такого рода комбинаторно-топологическое условие на двойственный граф было сформулировано (для кривых без отмеченных точек) в работе 12.
Цель работы — исследование пунктированных кривых с простейшими особенностями с точки зрения алгебраической геометрии и комбинаторики. В частности, наша цель состояла в том, чтобы показать, что кривые с простейшими особенностями обладают богатой геометрией, аналогичной классической геометрии неособых кривых, и богатой комбинаторикой,
Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии и теории графов, теории производящих функций, дифференциальных уравнений в частных производных, а также компьютерные вычисления с использованием пакета "MAPLE".
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации можно кратко сформулировать следующим образом.
Для стабильных по Делиню-Мамфорду пунктированных кривых получено описание канонического и дважды-канонического отображений, параллельное классическому описанию для неособых кривых.
Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных расслоений на кривых с простейшими особенностями с точки зрения геометрической теории инвариантов и компактификация этих многообразий модулей топологически тривиальными пучками без кручения. Для топологически тривиальных пучков ранга 1 и 2 получены явные критерии стабильности.
Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных пучков ранга 1 на кривых с простейшими особенностями как торического горенштей-иова многообразия Фаио; доказано, что для кривых с трехсвязным двойственным графом последний определяется этим многообразием модулей однозначно (дискретная теорема Торелли).
12 Catanese F., Franciosi М., Hulek К., Reid М. Embeddings of curves and surfaces, Nagoya Math. Journal, 1999, v. 154, p. 185-220.
Доказано, что производящие функции модулярных графов удовлетворяют уравнению Бюргерса, а экспонента от них — уравнению теплопроводности. Для первого члена разложения по родам производящей функции — производящей функции модулярных деревьев — получена в общем виде формула обращения, известная прежде только в частных случаях5. Для вычисления последующих членов разложения производящей функции по родам получены явные реку-рептные интегральные формулы.
Получены явные формулы для производящих функций комбинаторных трехвалентных графов как асимптотические разложения решений уравнения Бюргерса, выраженных через модифицированные функции Бесселя или функции Эй-ри. Эти решения доставляют интересный явный пример к теореме А.Н.Тихонова 13 о неединственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности с начальными условиями, растущими быстрее, чем ех .
Получены явные рекурентные формулы для вычисления виртуальной эйлеровой характеристики компактифицированных по Делпню-Мамфорду многообразий модулей пунктированных кривых Мд<п. Численные значения виртуальной эйлеровой характеристики Л4д^п вычислены для п = 0,1 и всех д < 20, а также для всех д < 7 и п < 6.
Научная значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Различные результаты и методы данной работы имеют широкий спектр применения: в алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов и теории производящих функций, а также в квантовой теории поля.
Апробация работы. Разделы диссертации неоднократно докладывались на семинаре по алгебраической геометрии и на семинаре по дискретной математике в Математическом институте РАН им. Стеклова, на различных семинарах на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета, в Институте Теоретической и Экспериментальной физики РАН, в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне, на международной конференции по векторным расслоениям в Порто (Португалия) в 2003 году, на семинарах по алгебраической
13 Tykhonov A.N. Theoremes d'unicinte pour l'equation de la chaleur, Математический сборник, 42:2, стр. 199-216, (1935).
геометрии Института Макса Планка (Бонн, Германия) в 2003, 2005 и 2006 годах, Геттингенского Университета (Германия) в 2003 и 2005 годах, Университета Джонса Хоикинса (Балтимор, США) в 2004 году, Курантовского Математического Института (Нью-Йорк, США) в 2004 году.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 33 наименований. Объем диссертации — 130 страниц.
