Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 4
1.1. Благодарности 10
2. Предварительные сведения 12
2.1. Подразбиения ребер и 2—срезки 12
2.2. Группы Коксетера 16
2.3. 0-моноид Гекке 18
2.4. Колчаны 19
2.5. Комплексы подслов 22
3. Комплексы подслов и движения в 0-моноиде Гекке 25
3.1. Движения кос и подразбиения рёбер 25
3.2. Геометрия ниль-движений 38
4. Гнездящиеся пары кручения, кластерные комплексы стабильно сти и ассоциаэдры стабильности 42
4.1. Пары кручения 42
4.2. Функции стабильности 43
4.3. Гнездящиеся семейства пар кручения и кластерные комплексы стабильности 47
4.4. Ассоциаэдры стабильности 52
5. Тождества на квантовый дилогарифм 57
5.1. Квантовые аффинные пространства и тождества Райнеке 57
5.2. Колчан Кронекера 61
5.3. Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенциалом 61
5.4. Примеры 64
5.5. Зелёные мутации и максимальные зелёные последовательности 68
6. Многогранники покрытий, нестоэдры и обобщённые ассоциаэдры 74
6.1. Покрытия и производящие множества 74
6.2. Кольцо выпуклых многогранников и покрытия 75
6.3. Ассоциаэдры стабильности типа Ап и нестоэдры 78
6.4. Обобщённые ассоциаэдры серии D и многогранники покрытий 79
7. Обобщённые ассоциаэдры, триангуляции многоугольников и срезки куба 87
писок литературы
- Группы Коксетера
- Геометрия ниль-движений
- Гнездящиеся семейства пар кручения и кластерные комплексы стабильности
- Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенциалом
Группы Коксетера
Мы будем рассматривать конечную группу Коксетера W, действующую на п—мерном евклидовом пространстве V, т.е. конечную группу, порождённую отражениями. Множество отражений в W обозначается R. Коксетеровским набором гиперплоскостей группы W называется набор всех отражающих гиперплоскостей. Его дополнение в V является объединением открытых полиэдральных конусов. Их дополнения называется камерами. Коксетеровский веер - это полиэдральный веер, образованный камерами вместе со всеми их гранями. Этот веер полон (его конусы покрывают V) и симплициален (все конусы симплициальны). Мы фиксируем произвольную камеру С, которую мы назовём фундаментальной камерой. Простыми отражениями группы W называются п отражений, ортогональных гиперплоскостям, определяющим гиперграни С. Множество S = {si,... , sn} С R простых отражений порождает W, поэтому выбор S эквивалентен выбору С. Пара (W; S) образует систему Коксетера. Для простых отражений Si,Sj Є S, обозначим черех m,y порядок произведения Группа Коксетера задаёт также систему корней Ф - векторов, нормальных к отражающим гиперплоскостям. Простыми корнями называются вектора, нормальные гиперплоскостям фундаментальной камеры и смотрящие внутрь её.
Длина l(w) элемента w Є W - это длина кратчайшего выражения w в виде произведения образующих из S. Выражение w = W\W i.. .wp с W\,... ,wp Є S называется приведённым, если р = l(w). Обозначим и;о самый длинный элемент W; известно, что он существует и единственен (это верно только для конечных групп Коксетера).
Мы обозначим через S множество слов в алфавите S, и пусть е обозначает пустое слово. Мы можем рассматривать S как свободный моноид на множестве образующих S с конкатенацией в качестве операции. Чтобы избежать путаницы, мы обозначаем печатной буквой s букву алфавита S, соответствующую отражению s Є S. Аналогично, мы используем печатную букву w, чтобы обозначить слово в S , и курсивную букву w, чтобы обозносить соответствующий элемент группы W. Например, мы пишем w := wi... wp, имея в виду, что слово w Є S образовано буквами wi,..., wp, в то время, как мы пишем w := W\.. .wp, когда хотим сказать, что групповой элемент w Є W является произведением простых отражений Wi, ... ,wp.
Есть два типа операций в S , отражающих структуру группы W. Ниль-дви-жение Коксетера удаляет две одинаковых последовательных буквы Sj Sj из слова w Є S , для какого-нибудь і. Если w содержит подслово Sj Sj Sj Sj Sj... длины rriij, то определено движение кос, преобразующее w в w заменой Sj Sj Sj Sj Sj... на подслово Sj Sj Sj Sj Sj ... той же длины Шц. Заметим, что ни ниль-движение, ни движение кос не меняет групповой элемент w Є W, выраженный w. Напомним Свойство Слов, выполненное для любое системы Коксетера (W]S).
Теорема 2.2 ([ВВ, Theorem 3.3.1]) (1) Любое выражение w для w Є W может быть преобразовано в приведённое выражение для w последовательностью ниль-движений Коксетера и движений кос. Любые два приведенных выражения для w могут быть связаны друг с другом последовательностью движений кос.
Элемент Коксетера с - это произведение всех простых отражений в каком-либо порядке. Выберем произвольное приведённое выражение с для с и обозначим w(c) с —сортирующее слово для w, то есть лексикографически первое (как последовательность позиций) приведённое подслово в с00 = с с с... для w. В частности, w0(c) обозначает с—сортирующее слово самого длинного элемент w0 Є W.
Каждой конечной группой Коксетера W с системой образующих S соответствует свой 0-моноид Гекке. Он порождён множеством X = х\,... , хп, где Х{ отвечает Si. Отличие с исходной группой состоит в том, что каждая образующая Гекке является идемпотентом, т.е. удовлетворяет соотношению х\ = ХІ, в то время как образующие Коксетера являются инволюциями. Иначе говоря, вместо отражений мы рассматриваем проекторы. Кроме того, каждому соотношению кос Коксетера (siSj)mij = е соответствует соотношение кос Гекке вида
Элемент моноида, выражаемый полученным приведённым словом, не зависит от последовательности движений; он в точности равен произведению букв исходного слово в моноиде. Приведенное слово в образующих Гекке соответствует приведённому слову в образующих Коксетера заменой Х{ на S{. Для каждого слово Q в алфавите S, определим его произведение Демазюра (или О-произведение Гекке) 6(Q) следующим образом: мы заменяем все буквы Si на ХІ, приводим результат к произведению букв (в моноиде), заменяем все ХІ обратно на Sj, и рассматриваем результат как элемент W. Приведённые выше аргументы показывают, что это определение корректно. Известно (и нетрудно проверить), что Q содержит приведённое выражение для некоторого элемента группы р Є W тогда и только тогда, когда какое-нибудь приведённое выражение (Q) содержит приведённое выражение р. 2.4. Колчаны
Геометрия ниль-движений
(і) если Аі может быть реализован как нерв-комплекс простого многогранника Рі, то А2 может быть реализован как нерв-комплекс некоторого простого многогранника Pz]
(И) если многогранник Р\ флаговый, то многогранник Pz тоже флаговый.
Следствие 3.7. Предположим, что диаграмма Коксетера группы W просто вложена, т.е. W представляет собой конечное прямое произведение групп типов Ап,п l;Pn,n 4, 6, 7 или Eg. Тогда утверждения Теорем 3.3, 3.4, 3.5, и Следствий 3.4, 3.5 и 3.6 выполняются для любых слов и любых движений кос.
Пример: Рассмотрим группу типа А%. Мы опишем последовательность движений кос и соответствующие преобразования многогранников, двойственных соответствующим комплексам подслов. Групповой элемент 7Г, чьи приведённые В каждом столбце в правой части дан многогранник, двойственный комплексу A(Q,if0), где Q - слово в левой части. Подчеркнуты те буквы, которые задают вершины A(Q,it 0) и гиперграни этого многогранника. Здесь Asn - п—мерный ассоциаэдр; в частности, As2 - это пятиугольник. Р3 - многогранник, полученный из произведения / х As2 2—срезкой по ребру у одного из оснований. Последнее слово и последний As3 описаны в Примере 2.5.
Рассмотрим теперь слова вида QpQ , где Q,Q - произвольные слова в S ,p - приведённое выражение некоторого фиксированного элемента 7Г груп 38 пы W. Согласно Факту 2.2, любые два приведённых выражения р,р элемента 7Г связаны друг с другом последовательностью движений кос; следовательно, любые два слова Q р Q , Q р Q такого вида связаны друг с другом последовательностью движений кос. Поэтому, по Следствию 3.5 при некоторых условиях комплексы подслов A(QpQ/;7r) И A(Qp/Q/;7r) связаны друг с другом последовательностью подразбиений ребер и обратных подразбиений ребер. Пусть V будет Приведенных Выражений 7Г.
Определение: Для любых слов Q, Q Є S , определим частичный порядок PQ,Q ,TT на множестве V по следующему правилу: для р, р Є V, мы будем считать, что PQ;Q ;7I-(P, р ) истинно, если A(Q р Q ; 7г) может быть получен (с точностью до комбинаторного изоморфизма) из A(Qp/Q/;7r) последовательностью подразбиений ребер.
Проблема 3.1. Можно ли характеризовать все тройки (Q, Q ,7r), для которых PQ Q задает верхнюю или нижнюю полу решётку? A(Q , р) многогранен тогда и только тогда, когда многогранен A(Q,p). В этом случае B(Q , р) либо совпадает с произведением B(Q,p)xI, либо может быть получен из него обратной 2—срезкой. (Q,p) является гипергранью B(Q , р), соответствующей одной из удвоенных букв q.
Доказательство. Обозначим удвоенные позиции буквы q в Q символами q1 и q2, её позицию в Q символом q. Никакое приведённое выражение р не может содержать двух подряд идущих одинаковых бука; следовательно, дополнение к каждому приведённому выражение р в Q содержит хотя бы одну из букв q1 и q2. Отсюда следуем, что каждый максимальный симплекс в A(Q , р) лежит в объединении
Рассмотрим W = А і р = w0 и Q = S1S2S1S2S1. Как мы знаем, A(Q,p) является граничным комплексом пятиугольника, и двойственный многогранник Р = As2 тоже является пятиугольником. Тогда удвоение последней буквы в Q преобразует РвР , полученное из Р х / срезкой одного ребра у основания. Заметим, что мы можем удвоить любую букву в Q и получить тот же результат. Это так, поскольку любая буква в Q задаёт гипергрань в Р, и все гиперграни (т.е. рёбра) комбинаторно не отличимы друг от друга. Мы можем удвоить последнюю букву ещё раз. На следующем рисунке изображена диаграмма Шлегеля четырёхмерного многогранника, двойственного комплексу
Пусть W просто вложена. Тогда для произвольных Q,p любая последовательность движений кос и обратных ниль-движений Гекке из S(Q) в Q индуцирует последовательность преобразований, описанных в Теоремах 3.6 и 3.3 из A((Q); р) в A(Q; р). Как минимум одна такая последовательность существует (по Свойству Слов). Если 6(Q) = р} существует такая последовательность, переводящая (-1)-сферу в A(Q;p). Если A(Q;p) многогранен, двойственный ему многогранник может быть получен из (-1)-сферы последовательностью двойственных описанным выше преобразований. 4. Гнездящиеся пары кручения, кластерные комплексы стабильности и ассоциаэдры стабильности
В этой главе Л всегда будет малой абелевой категорией, все объекты которой имеют конечную длину. Из этого условия следует, что группа Гротендика К о (Л) является свободной абелевой группой, и множество классов изоморфизмов простых объектов образует её базис. Мы используем стандартное обозначение [Т] для класса в Ко(Л) объекта Т Є Л. Под подкатегориями мы всегда понимаем полные подкатегории.
Следуя [As], определим пару кручения в Л как пару (Т, J7) подкатегорий, называемых классом кручения (или подкатегорией кручения) и классом без кручения, удовлетворяющих следующим двум условиям:
Из условия (ТІ) следует, что подобъект X в (Т2) является максимальным под-объектом Т, лежащим в 7 ; отсюда следует его единственность. Такой X называется подобъектом кручения Т относительно пары кручения (Т, J7). в абелеву группу поля комплексных чисел такой, что для любого ненулевого объекта X Є Л число Z(X) отлично от 0 и его аргумент, называемый фазой, лежит в интервале [0,7г). Ненулевой объект X Є Л называется полустабильным (соответственно, стабильным), если для любого его собственного подобъекта Y фаза Y меньше либо равна фазы X (строго меньше фазы X, соответственно). Гомоморфизм Z иногда называют центральным зарядом. Поскольку это гомоморфизм групп, он определятся комплексными числами Z(Si),i Є I. Заметим, что любой простой объект Л стабилен, поскольку он не имеет ненулевых собственных подобъектов.
Предложение 4.1. f([KingJ,[RudJ)J Пусть Z : KQ(A — С функция стабильности. Для любого действительного числа /І рассмотрим полную подкатегорию АИ категории А} образованную нулевым объектом и полу стабильными объектами фазы /І. а) Подкатегория АИ в А замкнута относительно расширений, ядер и ко Предложение 4.2. [BKTjfBlJ Пары (А И}А И) и (А И}А И) являются парами кручения в А. Итак, каждая функция стабильности Z определяет убывающую цепь подкатегорий кручения A JJ, I Є Ш. Аналогично,Z определяет возрастающую цепь подкатегорий без кручения А 1 fi Є Ш. Мы будем называть семейства пар кручения, где подкатегории кручения убывают от А до 0, а подкатегории без кручения возрастают от 0 до А} гнездящимися семействами пар кручения [ВКТ]. Нас будут интересовть не только и не столько функции стабильности, а такие гнездящиеся семейства.
Пусть А - категория представлений колчана Qop, I = {1,2,... ,п} - множество вершин Q] Si,і Є І - простое представление, сконцентрированное в вершине г, т.е. в ней находится одномерное векторное пространство, а во всех остальных - 0. Пример: Рассмотрим случай, когда Q - следующий колчан типа А2 где Si и 5 2 - простые представления, отвечающие вершинам, Р2 - проективное накрытие 5 2, заданное тождественным отображение к — к (мы рассматриваем представления Qop). В частности, представление Р2 является единственным не простым неразложимым объектом и его единственным собственным подпредставлением является Si. Если рассматривать только функции стабильности общего положения (т.е. такие, для которых центральный заряд Z отображает два ненулевых класса на один луч из 0, только если они Q—пропорциональны), есть только два случая: либо фаза Si строго больше фазы 5 2, либо строго меньше.
Гнездящиеся семейства пар кручения и кластерные комплексы стабильности
В этом разделе мы переформулируем результаты предыдущего раздела в терминах групп Коксетера и систем корней. Выбор элемента Коксетера эквивалентен выбору колчана Q, являющегося ориентацией диаграммы Коксетера группы W.
Для любого корня а обозначим за Га множество подсистем ранга 2 в Ф, содержащих а и таких, что а не является в них канонической образующей.
Рассмотрим элемент w группы W. Инверсиями w называются положительные корни, которые w переводит в отрицательный. Иногда инверсиями также называют отражения t Є R такие, что l(tw) l(w). Как множество корней-инверсий w, так и множество отражений-инверсий, которые мы будем обозначать lnv(w) и inv(if) соответственно, однозначно определяют w. Мощность каждого из этих множеств равна l(w). Каждое приведённое выражение ai... &k элемента w даёт явное описание инверсий w : отражения имеют вид U = а\... ai-ididi-i... а\\ корни имеют вид /. = а\й2 ... di-i/3ai, где і = 1,..., к. Все дальнейшие утверждения можно сформулировать как в терминах отражений, так и в терминах корней. Мы будем, в основном, использовать язык систем корней. Нам понадобятся следующие утверждения из работ Ридинга-Шпайера [RS] и Чебальоса-Лаббе-Штумпа [CLS].
Лемма 4.5. [RS, Lemma 2.25] последовательность различных корней из Следующие два утверждения эквивалентны: Для любой системы подкорней Ф Є Ф ранга 2 с каноническими образующими (і\ и СК2, подпоследовательность /Зі,... ,/3, состоящая из элементов Ф , является либо начальной, либо конечной подпоследовательностью /іі, /І2, , Mm 53
Лемма 4.6. [RS, Lemma 2.26] Пусть w Є W и пусть Ф є Ф подсистема ранга 2, все положительные корни которой лежат в luv(w). Если последовательность корней какого-либо приведённого выражения w начинается с а Є Ф , то а является канонической образующей Ф .
Существует биекция LrCWo между множеством букв слова cw0 = С\С2 ... cnW\W2 WN И множеством Ф _і = — П 1—1Ф+ почти положительных (т.е. простых отрицательных и всех положительных) корней системы корней Ф, связанной с W : Выбор w0 задаёт полный порядок Wo на Ф+ : a Wo /3, если Lr (а) идёт в w0 раньше Lr (/3). Известно, что такой порядок удовлетворяет следующему условию: для любой подсистемы корней ранга 2 в Ф с каноническими образующими а,/3 либо (1\(х + Ъ\(3 Wo (12OL + t 2/5, если выполнено а\ а,2, либо (1\(х + Ъ\(3 Wo (12OL + &2А если а\ а,2- Иначе говоря, положительные корни любой подсистемы ранга 2 упорядочены в одном из двух естественных направлений. Нетрудно проверить, что любое движение кос в слове w0 меняет порядок положительных корней ровно в одной подсистеме ранга 2.
Выбор с также задаёт полный порядок на Ф+ : c= Wo(c) Выбор с задаёт колчан Q} и мы переформулируем все результаты прошлого раздела для категории представлений Q в терминах корней.
Мы будем называть корень 7 Є Ф+ (с, wQ) — стабильным, если для любой некоммутативной подсистемы ранга 2 (а,(3) , содержащей 7 и такой, что 7 Ф а, /3, мы имеем Видно, что это условие зависит от с, но не от с, поэтому обозначение корректно. Пусть Stab(c,wQ) - множество (с, wQ)— стабильных корней. Основным результатом этой главы является следующая теорема. Теорема 4.3. (і) Вершины A(cw0;w0) и, эквивалентно, гиперграни B(cWo;«J0) находятся во взаимно-однозначном соответствии с простыми отрицательными и (с,wQ) — стабильными положительными корнями в системе Ф;
Пусть w0, Wo таковы, что Stab(c,wQ) С Stab(c,w/0). Тогда комплекс A(cw 0;w0) получается из комплекса A(cw0;w0) последовательностью подразбиений рёбер. Аналогично, многогранник B(cw 0;«)0) получается из многогранника B(cw0;«)0) последовательностью срезок граней коразмерности 2.
Это теорема побуждает нас дать следующие определения: комплекс A(cw0;w0) мы будем называть (с,wQ)—кластерным комплексом стабильности, а многогранник B(cw0;«)0) - (с}\?0) — ассоциаэдром стабильности. Доказательство пункта (ii) теоремы абсолютно аналогично доказательству теоремы 4.2, с точностью замены представлений на корни. Его можно разбить на несколько лемм ниже, чьи доказательства также аналогичны доказательствам лемм предыдущего раздела. Пункт (і) теоремы 4.3 следует из сравнения лемм 4.9 и 4.9.
Рассмотрим произвольный корень а Є Ф+. Для каждой подсистемы из Га с каноническими образующими /3,7, мы имеем либо /3 с а с 7, либо j са с /3. Рассмотрим множество Sr(a) канонических образующих /3 элементов Га, для которых /3 с а, и множество Qr(a) канонических образующих 7 элементов Га, для которых а с 7 Лемма 4.7. Для любого корня а Є Ф+\П существует и единственен такой корень sr(a) Є Sr(a), что для любого корня /З Є Sr(a),/3 = sr(a), выполнено /3 Wo sr(a). Корень ST(a) (c, wQ) — стабилен.
Лемма 4.8. Корень а Є Ф+\П (с,wQ) — стабилен тогда и только тогда, когда 8т(а) Wo а. В этом случае qr(a) є Stab(c, wQ). Лемма 4.9. Пусть w0,w 0 - приведённые выражения w0} связанные одним движением кос, и пусть a . Stab(c,w0),a Є Stab(c,w/0). Тогда верно следующее:
Здесь роль подкатегорий без кручения играют с—сортируемые элементы [R1][RS], а роль порядка, обратного индуцированному колчаном Ауслан-дера-Рейтен - их с—сортировочные слова. Соответствующее доказательство из предыдущего раздела переносится на эту ситуацию благодаря леммам 4.5 и 4.6.
Пусть с - приведённое выражение произвольного (возможно, совпадающего с с) элемента Коксетера с в группе W и пусть Q - соответствующий колчан. Пусть QCiCj - колчан, полученный из Q стиранием всех рёбер, ориентированных по-разному в Q и в Q (мы не удаляем никаких вершин); WC;C/ - группа Коксетера, т. ч. QCiCj является ориентацией её диаграммы Коксетера. Мы можем рассматривать с как элемент Коксетера в WC;C/.
Инвариант Дональдсона-Томаса для колчанов с потенциалом
Доказательство. Пункты 2) и 3) сразу следуют из пункта 1), поэтому мы будем доказывать только его. Каждая гипергрань Dn соответствует либо паре центрально симметричных диагоналей, либо диаметру какого-то цвета. Поймём вначале, какой вид имеют гиперграни, соответствующие парам диагоналей. Каждая такая пара разбивает наш 2п-угольник Р2п на три части: одна содержит его центр, пусть она является 2(п — к — 1)-угольником; две другие являются тогда (к + 3)-угольниками и центрально друг другу симметричны. Каждая крашеная триангуляция Р2П} содержащая нашу пару диагоналей, задаёт единственную крашеную триангуляцию 2(п — к — 1)-угольника и единственную пару триангуляции этих (& + 3)-угольников, симметричных друг другу относительно центра P2n i очевидно, все такие тройки триангуляции соответствуют каким-то крашеным триангуляциям Р2п. Отсюда, из теоремы 6.4 и из определения фли-пов типа Dn легко видеть, что такие гиперграни имеют вид Ask Dn k l, ясно также, что при фиксированном к их ровно п штук.
Видно, что осталось доказать, что гипергрань, соответствующая произвольному крашеному диаметру, является Asn l. Пусть Р2п имеет вид А\А2 ... АпВ\В2 Вп (т.е. АІ и ВІ - его вершины), центр Р2п обозначим за О. Рассмотрим диаметр А\В\ из D\ и крашеные триангуляции, его содержащие. Каждая из этих триангуляции симметрична относительно О, поэтому однозначно определяется множеством пересечений своих диагоналей (включая крашеные диаметры) с многоугольником А\А2 ... АпВ\ (под многоугольником здесь, конечно, понимается двумерный объект, а не его граница). Выбросим из этих множеств наш диаметр, тогда любое из вышеописанных пересечений диагонали с многоугольником является одним из следующих объектов: 1) диагональ многоугольника А\А2 ... АпВ\\ 2) диаметр А\В\ многоугольника Р2п из 1 3) отрезок вида АІО, где 1 і п.
Представим, что мы сдвинули точку О так, что А1А2 ... АпВ\0 оказался выпуклым многоугольником. Нетрудно видеть, что наши пересечения диагоналей с A\A% ... АпВ\ оказываются его обычными диагоналями, множества из этих пересечений, соответствующие крашеным триангуляциям Р2п, оказываются его обычными триангуляциями, а их подмножества - обычными частичными триа-унгуляциями. Всё это вместе и означает, по теореме 6.4, что гипергрань, отвечающая нашему диаметру, является Asn l. Ясно, что гиперграни, отвечающие другим диаметрам, имеют тот же комбинаторный тип.
Предложение 6.3. Пусть Хп - n-мерный многогранник, не раскладывающийся в нетривиальное прямое произведение, и пусть у Хп есть, как минимум, (2п + 3) гиперграни, не раскладывающиеся в нетривиальное прямое произведение. Тогда Хп не строится ни по какому покрытию.
Доказательство. Предположим, что Хп строится по некоторому покрытию В. Поскольку Хп не раскладывается в прямое произведение, В связно. Нетрудно видеть, что тогда В есть покрытие на множестве [п + 1]. Поймём, сколько у соответствующего ему многогранника может быть гиперграней, не раскладывающихся в нетривиальное прямое произведение. Из определения dB видно, что неразложимые гиперграни отвечают таким элементам покрытия І є В, что либо В\і, либо В/1 оказывается одноэлементным множеством. Ясно, что это означает, что либо /, либо [п + 1]\/ - одноэлементное множество. Тогда таких I не больше 2(n + 1) = 2n + 2 (не больше, поскольку не каждое множество [п+ 1]\ {к} обязано лежать в покрытии В). Значит, у соответствующего В многогранника Хп не больше (2n + 2) неразложимых гиперграней. Мы пришли к противоречию с предположением, что и доказывает требуемое утверждение.
Следствие 6.3. Пусть в разложении n-мерного выпуклого многогранника Хп на множители оказалось т (с учётом кратности) множителей, не раскладывающихся в нетривиальное прямое произведение, и пусть у Хп есть, как минимум, (2(п + т) + 1) гипергрань, в чьём разложении ровно т неразложимых множителей (с учётом кратности). Тогда Хп не строится ни по какому покрытию.
Доказательство. Пусть Хп = Y\ Y2 Ym строится по покрытию, тогда каждый из многогранников Yi строится по покрытию. Тогда каждая гипергрань Хп имеет вид где Y - гипергрань Yi. Это означает, что каждая гипергрань, в чьём разложении ровно т неразложимых множителей, является произведением неразложимой гиперграни Yi на все остальные У,- (для каждого і). По Предложению 6.3 у Yi не больше 2(diml + 1) неразложимых гиперграней, поэтому гиперграней Хп, в чём разложении ровно т множителей, не может быть больше
Доказательство теоремы 6.3 При всех п Asn не раскладывается в нетривиальное прямое произведение (например, поскольку Asn является граф-ассоциэдром для связного графа). Тогда и Dn при п 3 не раскладывается в нетривиальное прямое произведение, поскольку из пункта 1) Предложения 6.2 у него есть гиперграни как минимум двух различных комбинаторных типов, каждый из которых не раскладывается в прямое произведение (по индукции). Из пункта 1) Предложения 6.2 это означает, что при п 4 у Dn есть ровно Зп гиперграней, не раскладывающихся в прямое произведение: это 2п экземпляров Asn l и п экземпляров Dn l. При п 4 Зп 2п + 3, поэтому требуемое следует из Предложения 6.3.
Предложение 6.4. Пусть многогранник X раскладывается в произведение многогранников А и В. Тогда X является многогранником покрытия (соответственно нестоэдром, граф-ассоциэдром) тогда и только тогда, когда и А, и В являются многогранниками покрытий (соответственно нестоэдрами, граф-ассоциэдрами)
Доказательство. Будем доказывать утверждение для многогранников покрытия, в остальных случаях всё аналогично. Пусть X строится по покрытию В. Из вида оператора dB и определения гомоморфизма из кольца покрытий в кольцо выпуклых многогранников, каждая гипергрань X является произведением двух многогранников покрытий, а значит, сама оказывается многогранником покрытия. Тогда, по индукции, нетрудно получить, что каждая грань X является многогранником покрытия. Но у X есть грани pt х В = В и А х pt = А, поэтому А и В - многогранники покрытий. В обратную сторону утверждение очевидно, поскольку многогранники покрытий образуют кольцо.
